Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
PHẠM THỊ THU TRANG
TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2019

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
PHẠM THỊ THU TRANG
TÍNH BẤT KHẢ QUY
CỦA ĐA THỨC VỚI HỆ SỐ NGUYÊN
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8 46 01 13
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn
THÁI NGUYÊN - 2019

Möc löc
Líi c£m ìn 2
Mð ƒu 3
1 Ti¶u chu'n Eisenstein v ti¶u chu'n rót gån theo module
mºt sŁ nguy¶n tŁ 5
1.1 Ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ mð rºng . . . . . . . . . . 6
1.2 Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v b i
to¡n ng÷æc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy 16
2.1 Gi¡ trà kh£ nghàch v t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . 16
2.2 Gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . . 21
2.3 Mºt ti¶u chu'n mîi v• t‰nh b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . 27
2.4 Gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i Łi sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy . . . 32
K‚t lu“n 37
T i li»u tham kh£o 38
1

Líi c£m ìn
Tr÷îc ti¶n tæi xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh v s¥u s›c nh§t tîi GS.TS
L¶ Thà Thanh Nh n. M°c dò r§t b“n rºn trong cæng vi»c, song ngay tł
nhœng ng y ƒu ti¶n Cæ ¢ luæn t“n t…nh ch¿ b£o, h÷îng d¤n v ÷a ra
nhœng líi khuy¶n câ ‰ch gióp tæi ho n thi»n lu“n v«n n y.
Tæi công xin gßi líi c£m ìn tîi c¡c thƒy, cæ c¡n bº khoa To¡n - Tin,
tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n, Ban gi¡m hi»u v c¡c çng
nghi»p tr÷íng Trung håc phŒ thæng Ho nh Bç - T¿nh Qu£ng Ninh
còng c¡c b⁄n t“p th” lîp Cao håc To¡n K11D, ¢ khæng ch¿ trang bà cho
tæi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch m cÆn luæn luæn gióp ï tæi, t⁄o i•u ki»n
cho tæi trong thíi gian theo håc t⁄i tr÷íng.
CuŁi còng, tæi xin ch¥n th nh b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n gia …nh, b⁄n b–,
nhœng ng÷íi ¢ khæng ngłng ıng hº, ºng vi¶n, hØ træ v t⁄o måi i•u ki»n
gióp tæi v÷æt qua nhœng khâ kh«n ” ho n thi»n lu“n v«n.
2

Mð ƒu
T‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n tr¶n tr÷íng c¡c sŁ
phøc C v tr¶n tr÷íng c¡c sŁ thüc R ¢ ÷æc gi£i quy‚t tł th‚ k 19 thæng
qua ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ. Tuy nhi¶n, t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi
h» sŁ nguy¶n tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q ‚n nay v¤n ang th¡ch thøc c¡c
nh To¡n håc tr¶n th‚ giîi.
Trong lu“n v«n n y, t¡c gi£ tr…nh b y l⁄i mºt sŁ ti¶u chu'n b§t kh£ quy
cıa a thøc tr¶n tr÷íng sŁ hœu t Q vîi h» sŁ nguy¶n trong c¡c b i b¡o gƒn
¥y [8] v [11].
Lu“n v«n gçm 2 ch÷ìng. Trong ch÷ìng 1, chóng tæi tr…nh b y hai
ti¶u chu'n b§t kh£ quy nŒi ti‚ng. Phƒn 1:1 tr…nh b y Ti¶u chu'n
Eisenstein v c¡c mð rºng. Phƒn 1:2 tr…nh b y ti¶u chu'n rót gån theo
module mºt sŁ nguy¶n tŁ v ph¡t bi”u £o cıa ti¶u chu'n n y. Nºi dung
ch÷ìng 1 ÷æc vi‚t theo b i b¡o [11] cu£ R. Thangadurai n«m 2007.
Ch÷ìng 2 tr…nh b y c¡c ti¶u chu'n b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu
t Q li¶n quan ‚n c¡c gi¡ trà kh£ nghàch v gi¡ trà nguy¶n tŁ cıa a thøc vîi
h» sŁ nguy¶n. Phƒn 2:1 tr…nh b y c¡c ti¶u chu'n v• sü li¶n quan giœa
gi¡ trà kh£ nghàch vîi t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc. Phƒn 2:2 tr…nh b y
v• mŁi quan h» giœa gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy. C¡c k‚t qu£
ð hai phƒn n y công ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [11] cıa R. Thangadurai
n«m 2007. Phƒn 2:3 tr…nh b y mºt ti¶u chu'n b§t kh£ quy mîi tr¶n
tr÷íng Q c¡c sŁ hœu t li¶n quan ‚n a thøc câ c¡c h» sŁ nguy¶n t«ng dƒn
theo ch¿ sŁ v câ h» sŁ cao nh§t nguy¶n tŁ ho°c nh“n ‰t nh§t mºt gi¡
trà nguy¶n tŁ. K‚t qu£ cıa phƒn n y ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa A.
Jakhar v N. Sangwan n«m 2018. Phƒn 2:4 tr…nh b y v• gi¡ trà nguy¶n
tŁ t⁄i Łi sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n. Nºi
dung cıa phƒn n y ÷æc vi‚t tr¶n cì sð nºi dung b i b¡o [11] cıa R.
Thangadurai n«m 2007.
3

Trong lu“n v«n n y, c¡c ti¶u chu'n trong c¡c phƒn 2:1 v• gi¡ trà kh£
nghàch v t‰nh b§t kh£ quy; phƒn 2:2 v• gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t
kh£ quy; phƒn 2:3 v• ti¶u chu'n mîi cho t‰nh b§t kh£ quy l nhœng k‚t
qu£ ch÷a ÷æc tr…nh b y trong b§t cø lu“n v«n th⁄c s¾ n o tr÷îc ¥y.
Hìn th‚, trong c¡c phƒn 1:1, 1:2, 2:4, m°c dò câ mºt sŁ k‚t qu£ ¢ quen
bi‚t v ÷æc tr…nh b y trong mºt v i lu“n v«n tr÷îc ¥y (xem [1], [2]), nh÷ng
c¡ch chøng minh v v‰ du hƒu nh÷ l mîi, do ch‰nh t¡c gi£ lu“n v«n tü
t‰nh to¡n. °c bi»t n‚u trong lu“n v«n [2], Nguy„n V«n L“p chøng minh a
thøc x4
2x2
+ 9 l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zp
vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• nhâm, th… trong
lu“n v«n n y chøng minh a thøc x4
+ 1 b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£
quy tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p b‹ng c¡ch sß döng ki‚n thøc v• tr÷íng
hœu h⁄n.
Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 5 n«m 2019
T¡c gi£ lu“n v«n
Ph⁄m Thà Thu Trang
4

Ch÷ìng 1
Ti¶u chu'n Eisenstein v ti¶u chu'n
rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n
tŁ
Mºt a thøc vîi h» sŁ tr¶n mºt tr÷íng ÷æc gåi l b§t kh£ quy n‚u nâ câ
b“c d÷ìng v khæng ph¥n t‰ch ÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc câ b“c
th§p hìn. Mºt a thøc b“c d÷ìng vîi h» sŁ tr¶n mºt tr÷íng l kh£ quy n‚u nâ
l t‰ch cıa hai a thøc vîi b“c th§p hìn.
Chó þ r‹ng t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc phö thuºc v o tr÷íng cì sð.
Chflng h⁄n, a thøc x2
2 l b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Q c¡c sŁ hœu t , nh÷ng
khæng b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng R c¡c sŁ thüc. a thøc x2
+ 1 b§t kh£ quy
tr¶n tr÷íng R nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng C c¡c sŁ phøc.
T‰nh b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ phøc v tr¶n tr÷íng c¡c sŁ thüc ¢
÷æc l m rª nhí ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ: Måi a thøc b“c d÷ìng vîi h» sŁ
phøc •u câ ‰t nh§t mºt nghi»m phøc. V… th‚ c¡c a thøc b§t kh£ quy
tr¶n C l v ch¿ l c¡c a thøc b“c nh§t. C¡c a thøc b§t kh£ quy tr¶n R
l v ch¿ l c¡c a thøc b“c nh§t ho°c a thøc b“c hai câ bi»t thøc ¥m. C¥u
häi ÷æc °t ra l khi n o a thøc f(x) ¢ cho l kh£ quy hay b§t
kh£ quy tr¶n Q? Cho ‚n nay, khæng câ i•u ki»n cƒn v ı n o câ th” ¡p
döng ÷æc cho t§t c£ c¡c a thøc, m ta ch¿ câ mºt sŁ ti¶u chu'n ” ki”m tra
t‰nh b§t kh£ quy cıa mºt sŁ tr÷íng hæp cö th”.
Rª r ng måi a thøc b“c nh§t •u b§t kh£ quy tr¶n Q. C¡c a thøc b“c hai
v b“c ba l b§t kh£ quy tr¶n Q n‚u v ch¿ n‚u nâ khæng câ nghi»m
5

hœu t . Łi vîi a thøc b“c lîn hìn 3, n‚u a thøc câ nghi»m hœu t th… nâ
khæng b§t kh£ quy. Tuy nhi¶n i•u ng÷æc l⁄i khæng óng. Chflng h⁄n, a
thøc (x2
+ 1)2
khæng câ nghi»m hœu t , nh÷ng khæng b§t kh£ quy.
Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr…nh b y hai ti¶u chu'n nŒi ti‚ng v• t‰nh
b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n düa
theo b i b¡o [11] cıa R. Thangadurai. Phƒn thø nh§t d nh ” tr…nh b y Ti¶u
chu'n Eisensrein v mºt sŁ mð rºng cıa nâ. Mð rºng thø nh§t ÷æc ph¡t hi»n
bði H. Chao trong b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion,
Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159 v mð rºng thø hai ÷æc
÷a ra bði S. H. Weintraub trong b i b¡o A mild generazation of Eisenstein
criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141
(2013), 1159-1160. Phƒn ti‚p theo tr…nh b y mºt trong nhœng ti¶u chu'n
b§t kh£ quy phŒ bi‚n nh§t, â l ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ
nguy¶n tŁ. Ph¡t bi”u £o cıa ti¶u chu'n n y khæng cÆn óng nœa, chóng
tæi ÷a ra mºt chøng minh chi ti‚t ” minh håa i•u n y.
1.1 Ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ mð rºng
Trong möc n y, chóng tæi tr…nh b y l⁄i ti¶u chu'n Eisenstein v mºt sŁ
mð rºng li¶n quan v• t‰nh b§t kh£ quy cıa c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n
tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t¿ Q. ¥y l mºt trong nhœng ti¶u chu'n quen
thuºc th÷íng ÷æc sß döng khi l m c¡c b i to¡n v• t‰nh b§t kh£ quy cıa a
thøc tr¶n Q.
Cho
f(x) = anxn
+ an 1xn 1
+ + a1x + a0
l a thøc b“c n vîi ai 2 Z; an 6= 0.
Ti¶u chu'n b§t kh£ quy ÷æc bi‚t ‚n nhi•u nh§t hi»n nay l ti¶u chu'n
Eisenstein, ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau.
1.1.1 ành lþ 1. Cho a thøc f(x) = anxn
+ an 1xn 1
l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c n > 0. N‚u tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n tŁ p sao
cho p - an; p j ai vîi måi i = 0; 1; : : : ; n 1 v p2
- a0, th… a thøc f(x) b§t
kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. Gi£ sß f(x) kh£ quy tr¶n Q. Theo BŒ • Gauss, tçn t⁄i bi”u
6
+ + a1x + a0

di„n f(x) = g(x)h(x), trong â g(x) = bmxm
+ + b1x + b0 2 Z[x] v h(x) =
ckxk
+ + c1x + c0 2 Z[x] vîi deg g(x) = m; deg h(x) = k v
m; k < n: Do p l ÷îc cıa a0 = b0c0 n¶n p j b0 ho°c p j c0. M°t kh¡c, p2
khæng l ÷îc cıa a0 n¶n trong hai sŁ b0 v c0, ch¿ câ mºt v ch¿ mºt sŁ chia
h‚t cho p. Gi£ thi‚t p j c0. Khi â b0 khæng chia h‚t cho p. V… an = bmck
v p - an n¶n bm v ck •u khæng chia h‚t cho p: Do â tçn t⁄i sŁ r b† nh§t
sao cho cr khæng l bºi cıa p: Ta câ
ar = b0cr + (b1cr 1 + b2cr 2 + + brc0):
V… r k < n n¶n p j ar. Theo c¡ch chån r ta câ
p j b1cr 1 + b2cr 2 + + brc0:
Suy ra p j b0cr; i•u n y l væ l‰ v… c£ hai sŁ b0 v cr •u khæng l bºi cıa
p. V“y f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q.
C¡c a thøc thäa m¢n ành lþ 1 ÷æc gåi l a thøc Eisenstein. Chflng
h⁄n, a thøc x5
4x4
+ 18x3
+ 24x2
+ 4x + 6 l a thøc Eisenstein v… nâ b§t
kh£ quy theo Ti¶u chu'n Eisenstein vîi p = 2.
Thæng th÷íng, Ti¶u chu'n Eisenstein khæng ¡p döng ÷æc trüc ti‚p
cho a thøc f(x), m chóng ta câ th” ¡p döng cho a thøc f(x + a) vîi a l
h‹ng sŁ n o â. Chó þ r‹ng a thøc f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q n‚u
v ch¿ n‚u a thøc f(x + a) l b§t kh£ quy tr¶n Q vîi måi sŁ nguy¶n a. Do
v“y, chóng ta cŁ g›ng t…m h‹ng sŁ a vîi hy vång khi bi‚n Œi a thøc
f(x + a) ta ÷æc mºt a thøc mîi thäa m¢n c¡c i•u ki»n cıa Ti¶u chu'n
Eisenstein. D÷îi ¥y l mºt v‰ dö v• t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc chia ÷íng
trÆn thø p vîi p l mºt sŁ nguy¶n tŁ.
1.1.2 V‰ dö 1. Cho p l sŁ nguy¶n tŁ. Khi â a thøc chia ÷íng trÆn thø p
f(x) = xp 1
+ xp 2
+ + x + 1 l b§t
kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. a thøc f(x) = xp 1
+ xp 2
+ + x + 1 câ c¡c h» sŁ •u b‹ng 1
n¶n khæng th” ¡p döng trüc ti‚p Ti¶u chu'n Eisenstein ” x†t t‰nh b§t
kh£ quy cıa f(x).
7

xp 1
Chó þ r‹ng f(x) = . Suy ra, chån a = 1 ta câ
x 1
f(x + 1) = (x + 1)p
1 = xp 1
+ C1
xp 2
+ : : : + Cp 2
x + Cp 1
;
x p p p
trong â Ck
= p! l sŁ tŒ hæp ch“p k cıa p phƒn tß. Do p nguy¶n
p (p k)!k!
tŁ n¶n Ck
l bºi cıa p vîi måi k = 1; 2; : : : ; p 2 v Cp 1
= p khæng l
p p
bºi cıa p2
. V… v“y f(x + 1) l b§t kh£ quy theo Ti¶u chu'n Eisenstein (¡p
döng cho sŁ nguy¶n tŁ p). Do â f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q:
Nh÷ v“y, thæng qua ti¶u chu'n Eisenstein, tł b i to¡n ban ƒu v• x†t
t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc b“c n vîi h» sŁ nguy¶n, ta ÷a v• b i to¡n
ph¥n t‰ch n h» sŁ cıa a thøc mîi f(x + a), sau khi bi‚n Œi a thøc f(x +
a) cƒn t…m ra ÷îc chung nguy¶n tŁ phò hæp cıa c¡c h» sŁ, trł h» sŁ cao
nh§t, cıa a thøc f(x + a). Hi”n nhi¶n, chóng ta cŁ g›ng bi‚n Œi a thøc ” t⁄o
ra a thøc mîi vîi h» sŁ lîn hìn, nh÷ng nhi»m vö sau â l t‰nh to¡n v ki”m tra
c¡c ÷îc nguy¶n tŁ chung cıa c¡c h» sŁ thäa m¢n
i•u ki»n trong Ti¶u chu'n Eisenstein. Tuy nhi¶n, chóng ta ch÷a ch›c
ch›n v• sü tçn t⁄i cıa ph†p bi‚n Œi ” a thøc ban ƒu chuy”n th nh a thøc
mîi câ th” ¡p döng ti¶u chu'n Eisenstein, tøc l ch÷a ch›c ¢ t…m ÷æc sŁ
nguy¶n a ” a thøc f(x + a) ¡p döng ÷æc Ti¶u chu'n Eisenstein øng vîi
mºt sŁ nguy¶n tŁ p n o â. V‰ dö, ng÷íi ta ¢ ch¿ ra r‹ng a thøc x4
10x2
+ 1 l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng t…m ÷æc sŁ nguy¶n a ” a thøc
(x + a)4
10(x + a)2
+ 1
b§t kh£ quy theo Ti¶u chu'n Eisenstein vîi mºt sŁ nguy¶n tŁ p n o â.
Trong phƒn cuŁi cıa möc n y, chóng ta nh›c l⁄i mºt sŁ mð rºng cıa
Ti¶u chu'n Eisenstein. Tr÷îc h‚t chóng ta nh›c l⁄i ti¶u chu'n b§t kh£ quy
cıa H. Chao trong b i b¡o A Generalization of Eisenstein’s Criterion,
Mathematics Magazine, Vol. 47 (1974), 158-159.
1.1.3 ành lþ 2. Cho f(x) = anxn
+ : : : + a1x + a0 l a thøc b“c n vîi h» sŁ
nguy¶n. Gi£ sß p l mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho câ hai ch¿ sŁ t 6= k thäa
m¢n: p khæng l ÷îc cıa at, p l ÷îc cıa ai vîi måi i 6= t v p2
khæng l ÷îc
cıa ak. Khi â n‚u f(x) l t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th… mºt
trong hai a thøc â câ b“c lîn hìn ho°c b‹ng j t k j.

8

Chøng minh. Xem [1].
Tr÷îc khi ÷a ra mºt sŁ v‰ dö minh håa cho vi»c ¡p döng ti¶u chu'n
trong ành lþ 2, chóng ta chó þ i•u ki»n v• nghi»m hœu t cıa a thøc vîi
h» sŁ nguy¶n nh÷ sau: N‚u r=s l ph¥n sŁ tŁi gi£n v l nghi»m cıa a thøc
f(x) vîi h» sŁ nguy¶n, th… r ph£i l ÷îc cıa h» sŁ tü do v s l ÷îc cıa h» sŁ
cao nh§t.
ành lþ tr¶n l mºt mð rºng khæng tƒm th÷íng cıa Ti¶u chu'n Eisen-
stein. Chó þ r‹ng n‚u f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n ph¥n t‰ch ÷æc th
nh t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ hœu t g(x) v h(x), th… nâ ph¥n t‰ch
÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n g1(x) v h1(x), trong â
deg g(x) = deg g1(x) v deg h(x) = deg h1(x), xem BŒ • Gauss ([3, ành
lþ 2.3.2]). V… th‚, khi t = n v k = 0, th… ành lþ tr¶n trð th nh Ti¶u chu'n
Eisenstein. Khi t = 0 v k = n th… måi a thøc thäa m¢n i•u ki»n trong
ành lþ tr¶n v¤n l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q.
1.1.4 V‰ dö 2. C¡c a thøc sau l b§t kh£ quy tr¶n Q.
(i) f(x) = 18x100
50x2
+ 40x + 1.
(ii) g(x) = 322x4
+ 256x2
+ 5x + 2.
Chøng minh.
(i) p döng ành lþ 2 vîi t = 0, k = 100 v p = 2, ta suy ra f(x) b§t kh£ quy
tr¶n Q.
(ii) p döng ành lþ 2 vîi t = 1, k = 4 v p = 2, ta suy ra r‹ng n‚u h(x)
l mºt a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v l ÷îc cıa g(x), th… h(x) ph£i câ b“c lîn
hìn ho°c b‹ng 3 ho°c h(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 1. D„ th§y r‹ng n‚u
g(x) câ nh¥n tß b“c 1 th… nâ ph£i câ nghi»m hœu t , v nghi»m â ch¿
câ th” l 1; 1; 2; 2: Rª r ng t§t c£ c¡c sŁ tr¶n •u khæng l nghi»m cıa g(x),
v… th‚ nâ khæng câ nh¥n tß b“c 1. Suy ra h(x) câ b“c 4 ho°c câ b“c 0.
V… th‚ g(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
S. H. Weintraub trong b i b¡o: A mild generazation of Eisenstein
crite-rion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 141
(2013), 1159-1160 ¢ ÷a ra mæt mð rºng cıa Ti¶u chu'n Eisenstein,
÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau.
1.1.5 ành lþ 3. Cho f(x) = anxn
+ : : :+ a1x+ a0 l a thøc b“c n vîi h» sŁ
nguy¶n. Gi£ sß p l mºt sŁ nguy¶n tŁ sao cho p khæng l ÷îc cıa an, p
9

l ÷îc cıa ai vîi måi i 6= n v p2
khæng l ÷îc cıa ak vîi 0 k n 1. Gåi k0 l sŁ
b† nh§t trong c¡c sŁ k thäa m¢n i•u ki»n tr¶n. Khi â n‚u f(x) = g(x)h(x) l
t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th…
minfdeg g(x); deg h(x)g k0:
Chøng minh. Xem [1].
ành lþ tr¶n công l mºt mð rºng khæng tƒm th÷íng cıa Ti¶u chu'n
Eisenstein. Khi k0 = 0, th… ta nh“n ÷æc Ti¶u chu'n Eisenstein. Khi k0 = 1
v f(x) khæng câ nghi»m hœu t , th… f(x) công b§t kh£ quy theo ành lþ
tr¶n. Khi k0 = 2 v f(x) khæng câ nh¥n tß b“c hai, th… f(x) công b§t kh£
quy.
1.1.6 V‰ dö 3. a thøc f(x) = x4
14x2
+ 4 l b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. p döng ành lþ 3 vîi n = 4, k0 = 2 v p = 2, ta suy ra r‹ng n‚u
f(x) = g(x)h(x) l t‰ch cıa hai a thøc vîi h» sŁ nguy¶n, th… g(x) ho°c
h(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 2. Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ sß
h(x) câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 2. X†t tr÷íng hæp h(x) câ b“c 1. Khi â f(x)
câ nghi»m hœu t , v nghi»m â ch¿ câ th” l 1; 1; 2; 2; 4; 4: Rª
r ng t§t c£ c¡c sŁ tr¶n •u khæng l nghi»m cıa f(x), v… th‚ h(x) khæng
th” câ b“c 1. Gi£ sß h(x) câ b“c 2. Theo BŒ • Gauss, ta câ th” vi‚t
x4
14x2
+ 4 = (x2
+ ax + b)(x2
+ cx + d)
vîi a; b; c; d l c¡c sŁ nguy¶n. çng nh§t h» sŁ c£ hai v‚ ta ÷æc
a + c = 0; b + d + ac = 14; ad + bc = 0; bd = 4:
Suy ra (b; d) ch¿ câ th” l mºt trong c¡c c°p sau
(1; 4); ( 1; 4); (2; 2); ( 2; 2); (4; 1); ( 4; 1):
Ki”m tra t§t c£ c¡c tr÷íng hæp tr¶n ta •u th§y ho°c c¡c flng thøc khæng
thäa m¢n, ho°c a khæng l sŁ hœu t . V… th‚ h(x) ch¿ câ th” câ b“c 0.
Suy ra f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
10

1.2 Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ v b i
to¡n ng÷æc
Mºt ti¶u chu'n x†t t‰nh b§t kh£ quy tr¶n Q công r§t quen bi‚t, ÷æc
gåi l ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ.
Tr÷îc khi ph¡t bi”u ti¶u chu'n r§t quen thuºc n y, chóng ta cƒn nh›c l⁄i
mºt sŁ kþ hi»u.
Cho n > 1 l mºt sŁ tü nhi¶n. Kþ hi»u Zn l v nh c¡c sŁ nguy¶n modulo
n. Khi â Zn l mºt tr÷íng (tøc l måi phƒn tß kh¡c 0 trong Zn •u câ nghàch
£o) khi v ch¿ khi n l sŁ nguy¶n tŁ. Chflng h⁄n, Z5 l mºt tr÷íng, Z4 khæng
l tr÷íng. Ta quy ÷îc vi‚t a thøc f(x) 2 Zp[x], vîi p
l sŁ nguy¶n tŁ, l a thøc thu ÷æc b‹ng c¡ch chuy”n h» sŁ cıa f(x) v o
tr÷íng Zp. Chflng h⁄n, n‚u f(x) = 10x2
+ 8, th… f(x) = 3x2
+ 1 2 Z7[x].
Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ ÷æc ph¡t bi”u nh÷
sau.
1.2.1 ành lþ 4. Cho f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n. N‚u tçn t⁄i
sŁ nguy¶n tŁ p sao cho f(x) b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Zp v deg f(x) = deg
f(x), th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. V… a thøc f(x) b§t kh£ quy tr¶n Zp n¶n deg f(x) > 0: Suy
ra deg f(x) > 0. Gi£ sß f(x) kh£ quy tr¶n Q. Theo BŒ • Gauss, f(x) câ
ph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x) trong â g(x); h(x) 2 Z[x] v g(x); h(x) câ b“c
nhä hìn b“c cıa f(x). Chó þ r‹ng f(x) = g(x)h(x). Do â deg f(x) = deg g(x)
+ deg h(x): Rª r ng ta câ deg g(x) deg g(x) v deg h(x) deg h(x). Do â f(x)
ph¥n t‰ch ÷æc th nh t‰ch cıa hai a thøc g(x); h(x) câ b“c th§p hìn. i•u n
y m¥u thu¤n vîi t‰nh b§t kh£ quy cıa f(x) tr¶n Zp.
Ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ l mºt ti¶u chu'n r§t
hœu hi»u ” ki”m tra t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n. Câ
nhœng a thøc câ th” ¡p döng trüc ti‚p ti¶u chu'n n y, chflng h⁄n vîi c¡c a
thøc b“c ba, ng÷íi ta th÷íng rót gån theo modulo mºt sŁ nguy¶n tŁ p rçi
ki”m tra a thøc trong Zp[x] câ nghi»m trong Zp hay khæng. V‰ dö, a
thøc
f(x) = x3
+ 591x2
+ 3801
+ 24240
11

l b§t kh£ quy tr¶n Q. Th“t v“y, trong v nh Z2[x], a thøc f(x) = x3
+ x2
+ 1
khæng câ nghi»m trong Z2, v… th‚ a thøc f(x) b§t kh£ quy tr¶n Z2. Do
deg f(x) = 3 = deg f(x), n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành lþ 1.2.1. Chó
þ r‹ng vi»c ki”m tra nghi»m hœu t cıa a thøc f(x) ð tr¶n l v§n • khæng kh£
thi b‹ng c¡c cæng cö thæng th÷íng.
1.2.2 V‰ dö 4. X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) = 5x2
+ 20x + 19:
Chøng minh. V… f(x) = 2x2
+ 2x+ 1 2 Z3[x] khæng câ nghi»m trong Z3
v deg f(x) = 2 n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Z3. Rª r ng deg f(x) = deg f(x)
n¶n f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành lþ 1.2.1.
1.2.3 V‰ dö 5. X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc sau
g(x) = 6x4
+ 10x3
9x2
+ 11x + 1:
Chøng minh. V… g(x) = x4
+ x2
+ x + 1 2 Z5[x] khæng câ nghi»m trong
Z5 n¶n nâ khæng câ nh¥n tß b“c mºt. Gi£ sß g(x) kh£ quy tr¶n Z5. Khi â
g(x) = (x2
+ ax + b)(x2
+ cx + d)
vîi a; b; c; d 2 Z5. çng nh§t h» sŁ ð hai v‚ cıa flng thøc n y ta ÷æc
a + c = 0; b + ac + d = 1; ad + bc = 1; bd = 1:
V… bd = 1 v vai trÆ cıa b; d l nh÷ nhau n¶n khæng m§t t‰nh tŒng
qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t (b; d) = (1; 1) ho°c (b; d) = (2; 3) ho°c (b; d) = (4;
4). N‚u (b; d) = (1; 1) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho ta a + c = 0 v
a + c = 1, væ l‰. N‚u (b; d) = (2; 3) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho
ta a = 1; c = 4; v do â ph÷ìng tr…nh thø hai cho ta 4 = ac = 1, væ l‰.
N‚u (b; d) = (4; 4) th… c¡c ph÷ìng tr…nh ƒu v cuŁi cho ta a + c = 0 v 4(a
+ c) = 1, væ l‰. V… v“y h(x) b§t kh£ quy tr¶n Z5. V… deg h(x) = 4 =
deg h(x) n¶n theo ành lþ 1.2.1 a thøc h(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
i•u ng÷æc l⁄i cıa ành lþ 4 l khæng óng, ngh¾a l , n‚u f(x) b§t kh£
quy tr¶n Q th… ch÷a ch›c nâ ¢ b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi mºt sŁ nguy¶n tŁ
p n o â. D. Hilbert l ng÷íi ƒu ti¶n ch¿ ra v‰ dö v• mºt a thøc vîi h» sŁ
nguy¶n b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi måi sŁ
nguy¶n tŁ p. Trong lu“n v«n th⁄c s¾ cıa Nguy„n V«n L“p (xem [2]) ¢ ÷a ra
chøng minh chi ti‚t r‹ng a thøc x4
2x2
+ 9 l b§t kh£ quy tr¶n
12

Q nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p. Chøng
minh tr…nh b y trong [2] ph£i sß döng nhœng ki‚n thøc kh¡ s¥u v• lþ
thuy‚t nhâm.
Trong lu“n v«n n y, chóng tæi l m rª k‚t qu£ cıa D. Hilbert b‹ng c¡ch ch¿
ra r‹ng a thøc x4
+ 1 b§t kh£ quy tr¶n Q, nh÷ng khæng b§t kh£ quy tr¶n
Zp vîi måi p nguy¶n tŁ. Chøng minh k‚t qu£ n y düa theo b i b¡o
[8] b‹ng c¡ch sß döng nhœng ki‚n thøc v• mð rºng tr÷íng. V… th‚, tr÷îc
h‚t chóng ta cƒn tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc v• mð rºng tr÷íng.
1.2.4 ành ngh¾a 1. Cho K l mºt tr÷íng v F l mºt tr÷íng chøa K. Khi â ta
nâi F l mæt mð rºng tr÷íng cıa K v ta vi‚t l F=K. X†t F nh÷ mºt khæng
gian vec tì tr¶n tr÷íng K. N‚u chi•u cıa K-khæng gian v†c tì F l n th… ta
nâi mð rºng tr÷íng F=K câ b“c n.
Chflng h⁄n, cho K = Q v
p p
F = Q[ 2] = fa + b 2 j a; b 2 Qg: p
Khi â F l K-khæng gian v†c tì chi•u l 2 vîi mºt cì sð l f1; 2g. V…
th‚ b“c cıa mð rºng F=K l 2.
1.2.5 M»nh • 1. Cho K l mºt tr÷íng v f(x) 2 K[x] l mºt a thøc
b§t kh£ quy tr¶n K. Cho deg f(x) = n v l mºt nghi»m trong mºt mð
rºng tr÷íng n o â cıa K. Khi â
K[ ] = fg( ) j g(x) 2 K[x]g
l mºt mð rºng tr÷íng cıa K, b“c cıa mð rºng l n v h» f1; ; : : : ; n 1
g
l mºt cì sð cıa K[ ].
Chøng minh. . Xem [3, M»nh • 2.4.2]
V‰ dö, cho K = Q v f(x) = x5
2. Khi â f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo
Ti¶u chu'n Eisenstein vîi p = 2. Gåi l mæt nghi»m cıa f(x) trong C (chó
þ r‹ng f(x) luæn câ nghi»m trong C theo ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ). Khi â
Q[ ] l mºt mð rºng b“c 5 cıa Q v h» f1; ; 2
; 3
; 4
g l mºt cì sð cıa Q[ ].
1.2.6 M»nh • 2. Cho K l mºt tr÷íng v f(x) 2 K[x]. Khi â tçn t⁄i duy nh§t
mºt tr÷íng tŁi thi”u chøa K v chøa t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x).
Chøng minh. Xem [3, ành lþ 2.4.7]
13

Cho K l mºt tr÷íng v f(x) 2 K[x] l a thøc câ b“c n. Tr÷íng tŁi thi”u chøa
K v chøa ı n nghi»m cıa f(x) (luæn tçn t⁄i theo m»nh • tr¶n) ÷æc gåi l
tr÷íng ph¥n r¢ cıa f(x) tr¶n K. V‰ dö, cho K = R v f(x) = x2
+ 1. Khi â
f(x) b§t kh£ quy tr¶n R. C¡c nghi»m cıa f(x) l i v i. Do â C l tr÷íng tŁi thi”u
chøa R v chøa c¡c nghi»m cıa
f(x), nâi c¡ch kh¡c C l tr÷íng ph¥n r¢ cıa f(x) tr¶n R. Cho K = Q v p
f(x) = x2
2: Khi â Q[ 2] l tr÷íng tŁi thi”u chøa Q v c¡c nghi»m cıa f(x), do â
nâ l tr÷íng ph¥n r¢ cıa f(x) tr¶n Q.
K‚t qu£ d÷îi ¥y cho ta c§u tróc cıa tr÷íng hœu h⁄n.
1.2.7 M»nh • 3. C¡c ph¡t bi”u sau l óng.
(i) N‚u K l tr÷íng hœu h⁄n câ q phƒn tß th… q l lôy thła cıa mºt sŁ
nguy¶n tŁ.
(ii) N‚u q l lôy thła cıa mºt sŁ nguy¶n tŁ, th… tçn t⁄i duy nh§t mºt tr÷íng
câ q phƒn tß.
(iii) Gi£ sß q = pk
vîi k l mºt sŁ tü nhi¶n v p l sŁ nguy¶n tŁ. Khi â
tr÷íng ph¥n r¢ cıa ak thøc xpk
x 2 Zp[x] ch‰nh l t¥p t§t c£ c¡c
nghi»m cıa a thøc xp
x trong mºt mð rºng n o â cıa Zp.
Chøng minh. Xem [3, M»nh • 2.4.10].
B¥y gií chóng ta sß döng c¡c k‚t qu£ tr¶n v• mð rºng tr÷íng ” chøng
minh khflng ành cıa D. Hilbert v• sü tçn t⁄i mºt a thøc vîi h» sŁ nguy¶n
b§t kh£ quy tr¶n Q, nh÷ng kh£ quy tr¶n måi tr÷íng Zp vîi p nguy¶n tŁ.
1.2.8 ành lþ 5. a thøc f(x) = x4
+ 1 b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£ quy
tr¶n Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p.
Chøng minh. Vîi p = 2, rª r ng f(x) = x4
+ 1 (x2
+ 1)2
2 Z2[x]. Suy ra a
thøc f(x) kh£ quy tr¶n Z2.
Cho p 3 l sŁ nguy¶n tŁ b§t ký. Khi â, p l sŁ l·. Vi‚t p = 2k + 1, ta câ p2
1 = 4k(k + 1) l sŁ chia h‚t cho 8. Chó þ r‹ng n‚u n l ÷îc cıa
m vîi n; m l hai sŁ nguy¶n d÷ìng, th… xn
1 l ÷îc cıa xm
1. Suy ra
(x8
1) j (xp2 1
1):
Nh¥n c£ hai v‚ vîi x ta suy ra
x(x4
+ 1)(x4
1) j (xp2
x):
14

V… th‚ f(x) = x4
+ 1 l ÷îc cıa a thøc xp2
x. Kþ hi»u Fp2 l tr÷íng
ph¥n r¢ cıa a thøc xp2
x tr¶n tr÷íng Zp (luæn tçn t⁄i theo M»nh ” 2).
Khi â Fp2 ch‰nh l t“p nghi»m cıa a thøc xp2
x trong mºt mð rºng
n o â cıa Zp (xem M»nh • 3). V… Fp2 câ p2
phƒn tß v Zp câ p phƒn tß
n¶n Fp2 l Zp-khæng gian v†c tì chi•u 2.
Ta chøng minh ành lþ b‹ng ph÷ìng ph¡p ph£n chøng.
Gi£ sß f(x) = x4
+ 1 b§t kh£ quy tr¶n K := Zp vîi sŁ nguy¶n tŁ p 3
n o â. Ta cƒn t…m m¥u thu¤n.
Gåi l mºt nghi»m cıa f(x). Khi â công l nghi»m cıa a thøc
xp
2
x. V… th‚ l phƒn tß cıa tr÷íng ph¥n r¢ Fp2 cıa a thøc xp2
x
tr¶n K. °t K1 = K[ ]. Khi â K1 l tr÷íng trung gian giœa K v Fp2 .
V… f(x) b§t kh£ quy tr¶n K v deg f(x) = 4, n¶n theo M»nh • 1, K1 l mºt
khæng gian v†c tì câ chi•u b‹ng 4 tr¶n K. Nh÷ v“y, khæng gian v†c tì
con K1 l K- khæng gian v†c tì chi•u 4, trong khi â khæng gian v†c tì
chøa K1 l Fp2 l⁄i l K- khæng gian v†c tì chi•u 2, i•u n y l væ lþ.
1.2.9 Chó þ. N«m 2005, E. Diver, P. A. Leonard v K. S. Williams trong
b i b¡o Irreducible quartic polynomials with factorizations modulo p,
Amer. Math. Monthly, 112, No.10, 876-890, ¢ ÷a ra i•u ki»n cƒn v ı cho
a thøc b“c 4 vîi h» sŁ nguy¶n l b§t kh£ quy tr¶n Q nh÷ng kh£ quy tr¶n
Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p. K‚t qu£ n y ¢ ÷æc Nguy„n V«n L“p tr…nh b y
l⁄i trong lu“n v«n th⁄c s¾ cıa m…nh (xem [2]). Công n«m 2005, R.
Guralnick, M. Schacher, J. Sonn trong b i b¡o Irreducible polynomials
which are locally reducible everywhere ¢ ch¿ ra r‹ng, vîi måi hæp sŁ n
4, tçn t⁄i mºt a thøc b§t kh£ quy f(x) 2 Z[x] câ b“c n m kh£ quy tr¶n
tr÷íng Zp vîi måi sŁ nguy¶n tŁ p.
15

Ch÷ìng 2
Gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡ trà nguy¶n tŁ
v t‰nh b§t kh£ quy
Möc ti¶u thø nh§t cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y hai ti¶u chu'n b§t kh£
quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q li¶n quan ‚n c¡c gi¡ trà kh£ nghàch v gi¡
trà nguy¶n tŁ cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n.
Möc ti¶u thø hai cıa ch÷ìng n y l tr…nh b y mºt ti¶u chu'n mîi v•
t‰nh b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n sao cho c¡c
h» sŁ t«ng dƒn theo b“c v câ h» sŁ cao nh§t nguy¶n tŁ ho°c nh“n ‰t
nh§t mºt gi¡ trà nguy¶n tŁ.
C¡c k‚t qu£ ð ch÷ìng n y mºt phƒn düa theo b i b¡o [11] cıa R.
Thangadurai n«m 2007 v mºt phƒn ÷æc vi‚t düa theo b i b¡o [8] cıa A.
Jakhar v N. Sangwan n«m 2018: An irreducibility criterion for integer
polynomials, Amer. Math. Monthly, 125, 464-465.
K‚t qu£ ch‰nh cıa Ch÷ìng 2 l ành lþ 6, ành lþ 7, ành lþ 8, ành lþ 9,
ành lþ 10, ành lþ 11 v ành lþ 12.
2.1 Gi¡ trà kh£ nghàch v t‰nh b§t kh£ quy
Cho f(x) = anxn
+ : : : + a1x + a0 câ b“c n vîi h» sŁ nguy¶n. Kþ hi»u
sŁ lƒn a thøc f(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch tr¶n t“p sŁ nguy¶n l u(f), tøc l
u(f) := Cardfm 2 Z j f(m) 2 f1; 1gg:
Chflng h⁄n, n‚u f(x) = x4
x
kh¡c 0 v f(x) = 1 khi
+ 1, th… u(f) = 1. Th“t v“y, f(x) > 1 vîi måi v
ch¿ khi x = 0. N‚u g(x) = x2
+ x + 1 th…
16

u(g) = 2. Th“t v“y, ta luæn câ g(x) > 0 vîi måi x. Hìn nœa, g(x) = 1 khi v
ch¿ khi x = 0 ho°c x = 1.
N‚u f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i c¡c sŁ nguy¶n x = bi vîi i = 1; 2; : : : ; m,
tøc l m
i
Q
th… f(x) 1 = r(x) (x bi), trong â r(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n,
=1
m
Yi
f(x) = r(x) (x bi) + 1;
=1
trong â r(x) 2 Z[x]:
T÷ìng tü, n‚u f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i c¡c sŁ nguy¶n x = bi vîi i =
m
1; 2; : : : ; m, th… f(x) + 1 = r(x) (x bi), trong â r(x) l a thøc vîi
=1
h» sŁ nguy¶n, tøc l i
Q
m
Y
f(x) = r(x) (x bi) 1;
i=1
trong â r(x) 2 Z[x]:
2.1.1 M»nh • 4. N‚u f(x) nh“n gi¡ trà +1 (t÷ìng øng 1) t⁄i m > 3 gi¡ trà
nguy¶n kh¡c nhau cıa bi‚n x, th… f(x) khæng th” nh“n gi¡ trà 1 (t÷ìng
øng +1).
Chøng minh. Gi£ sß m > 3 v b1; b2; : : : ; bm l c¡c sŁ nguy¶n æi mºt ph¥n
bi»t sao cho f(bi) = 1 vîi måi i = 1; : : : ; m. Khi â
f(x) = (x b1)(x b2) : : : (x bm)g(x) + 1
vîi g(x) 2 Z[x]. Gi£ sß bm+1 l sŁ nguy¶n sao cho f(bm+1) = 1. Khi â,
thay x = bm+1 v o flng thøc tr¶n ta nh“n ÷æc
1 = (bm+1 b1)(bm+1 b2) : : : (bm+1 bm)g(bm+1) + 1:
Suy ra
(b
m+1
b
1
)(b
m+1 b2) : : : (bm+1 bm)g(bm+1) = 2:
Do â, c¡c hi»u sŁ bm+1 bi l ÷îc cıa 2, v… th‚ nâ ch¿ câ th” l 1 ho°c
2. V… c¡c bi l æi mºt ph¥n bi»t n¶n m 4: N‚u m = 4, th… ta câ
( 1)( 2)(1)(2)g(bm+1) = 2:
17

1
Suy ra g(bm+1) = 2, i•u n y l væ lþ. Do â m 3: Tr÷íng hæp cÆn l⁄i ÷æc
chøng minh t÷ìng tü.
Chóng ta câ th” xem chi ti‚t hìn M»nh • 4 trong mºt b i b¡o «ng
tr¶n t⁄p ch‰ nŒi ti‚ng Annals of Math. xu§t b£n n«m 1993 cıa hai nh
to¡n håc H. L. Dorwart v O. Ore.
2.1.2 M»nh • 5. N‚u f(x) câ b“c n v n 4, th… u(f) n.
Chøng minh. Gi£ sß u(f) > n, n 4: Khi â u(f) 5. Suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1
‰t nh§t 3 lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 ‰t nh§t 3 lƒn. Khæng m§t t‰nh
tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 ‰t nh§t 3 lƒn. Gi£ sß
f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn 3 lƒn. Theo M»nh • 4, f(x) khæng nh“n gi¡ trà
1, suy ra f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n lƒn, i•u n y l væ lþ v… deg f = n ( a
thøc câ b“c n câ nhi•u nh§t n nghi»m, suy ra a thøc b“c n nh“n còng
mºt gi¡ trà t⁄i nhi•u nh§t n i”m). Do â f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i óng 3 lƒn.
Gi£ sß f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i m lƒn, th…
m = u(f) 3 > n 3 2:
Gåi b1; b2; b3 l c¡c gi¡ trà nguy¶n æi mºt kh¡c nhau sao cho
f(b1) = f(b2) = f(b3) = 1:
Gåi c1; c2; : : : cm; m 2 sao cho
f(c1) = f(c2) = = f(cm) = 1:
Suy ra
f(x) = (x b1)(x b2)(x b3)g(x) + 1;
vîi g(x) l a thøc câ h» sŁ nguy¶n. Thay x = ci vîi i = 1; 2 ta câ
2 = (ci b1)(cib2)(cib3)g(ci):
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta gi£ thi‚t b1 < b2 < b3: Khi â ci b1; ci b2;
ci b3 l ba ÷îc kh¡c nhau cıa 2, v… th‚ mºt trong 3 ÷îc â ph£i l 2
ho°c 2, v hai ÷îc cÆn l⁄i l 1 v 1. Gi£ sß øng vîi c1, mºt trong ba
÷îc â l 2. Khi â c1 b1 = 2, c1 b2 = 1 v c1 b3 = 1. N‚u øng
vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc â công l 2 th… ta ph£i câ c2 b1 = 2 v do
â c2 = c1, væ lþ. Suy ra øng vîi c2, mºt trong c¡c ÷îc â l 2. Suy ra
18

c2 b3 = 2, do â c2 = b2, væ lþ v… f(c2) = 1 trong khi â f(b2) = 1.
Tr÷íng hæp øng vîi c1, mºt trong ba ÷îc b‹ng 2, ta l“p lu“n t÷ìng tü
v d¤n ‚n m¥u thu¤n. V“y m»nh • ÷æc chøng minh.
2.1.3 M»nh • 6. N‚u f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c n th… ta luæn
câ u(f) 2n.
Chøng minh. Gåi m1 l sŁ lƒn f(x) nh“n gi¡ trà 1 v m2 l sŁ lƒn f(x) nh“n
gi¡ trà 1. Khi â u(f) = m1 +m2. Ta câ mi n v… a thøc f(x) 1 v a thøc f(x)
+ 1 •u câ khæng qu¡ n nghi»m. V… th‚ u(f) 2n.
ành lþ sau “y l k‚t qu£ ch‰nh cıa möc n y, ÷a ra mºt ti¶u chu'n b§t
kh£ quy tr¶n Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n düa theo mŁi quan h» giœa
b“c cıa a thøc v sŁ lƒn nh“n gi¡ trà kh£ nghàch cıa a thøc. R. Thangadurai
trong b i b¡o Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,
«ng tr¶n t⁄p ch‰ Mathematics Newsletter th¡ng 9 n«m 2007, ð trang
30, ¢ ph¡t bi”u nh÷ sau.
2.1.4 ành lþ 6. Cho f(x) l a thøc câ h» sŁ nguy¶n. N‚u f(x) câ b“c n 8 v
f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn
th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. Ta chøng minh ph£n chøng. Gi£ sß f(x) khæng b§t kh£
quy tr¶n Q. Theo BŒ • Gauss, f(x) = g(x)h(x) trong â g(x) v h(x) l c¡c
nh¥n tß khæng tƒm th÷íng cıa f(x), tøc l g(x) v h(x) •u l a thøc b“c
d÷ìng vîi h» sŁ nguy¶n. V… b“c cıa f(x) l tŒng cıa b“c cıa g(x) v h(x),
n¶n khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t g(x) câ b“c m vîi m n=2
4. Theo gi£ thi‚t, f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f) lƒn ho°c f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f)
lƒn. Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t f(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(f)
lƒn.
Ta khflng ành g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(g) lƒn ho°c g(x) nh“n gi¡ trà
1 t⁄i u(g) lƒn. N‚u g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i ‰t nh§t 4 lƒn ho°c g(x) nh“n gi¡
trà 1 t⁄i ‰t nh§t 4 lƒn th… khflng ành tr¶n suy ra ngay tł M»nh • 4. Gi£
sß ng÷æc l⁄i, tøc l g(x) nh“n gi¡ trà 1 nhä hìn 4 lƒn v công nh“n
gi¡ trà 1 nhä hìn 4 lƒn. Chó þ r‹ng u(g) u(f) v u(h) u(f) bði v… n‚u f(x)
nh“n gi¡ trà 1 t⁄i x = a th… g(x) v h(x) công nh“n gi¡ trà 1 t⁄i x = a. Do â
theo gi£ thi‚t ta câ u(g) u(f) > n=2: Suy ra u(g) 5. Khæng m§t t‰nh
tŒng qu¡t ta câ th” gi£ thi‚t g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng
19

3 lƒn. Khi â g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i ‰t nh§t 2 lƒn. Theo l“p lu“n t÷ìng tü nh÷
trong chøng minh M»nh • 5, ta th§y i•u n y khæng th” x£y ra. V“y khflng
ành ÷æc chøng minh.
Theo khflng ành tr¶n, ta câ th” gi£ thi‚t g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i u(g) lƒn
vîi u(g) > n=2: Gåi a1; a2; : : : au(f) l c¡c sŁ nguy¶n ph¥n bi»t sao cho
f(ai) = 1 vîi måi i. Theo khflng ành tr¶n g(ai) = 1 vîi måi i. V… f(ai) =
g(ai)h(ai) n¶n h(ai) = 1 vîi måi i. Nh÷ v“y h(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i ‰t
nh§t u(f) lƒn. V… u(f) > n=2 n¶n deg h(x) u(f) > n=2.
Suy ra deg h(x) + deg g(x) > deg f(x). i•u n y l væ lþ.
Chøng minh t÷ìng tü, n‚u g(x) nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn, th…
h(x) công nh“n gi¡ trà 1 lîn hìn n=2 lƒn, v v… th‚ tŒng b“c cıa g(x) v
b“c cıa h(x) lîn hìn n, væ lþ. Do v“y f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q.
2.1.5 V‰ dö 6. X†t t‰nh b§t kh£ quy cıa c¡c a thøc sau tr¶n Q:
(i) f(x) = x9
13x7
+ 37x5
13x3
+ 36x + 1.
(ii) g(x) = (x 1)(x2
1) 1.
Chøng minh.
(i) Ta câ f(x) 1 = (x 2)(x + 2)(x 3)(x + 3)x(x4
+ 1): V… th‚ f(x)
nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng 5 i”m. V… deg f(x) = 9 v 5 > 9=2 n¶n theo ành lþ 6
ta suy ra f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
(ii) Ta câ g(x) + 1 = (x 1)(x2
1). V… th‚ g(x) nh“n gi¡ trà 1 t⁄i óng 2 i”m.
deg g(x) = 3 v 2 > 3=2, nh÷ng g(x) khæng b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành
lþ 6. Th“t v“y, ta câ g(0) = 0 do â g(x) kh£ quy tr¶n Q.
Rª r ng a thøc g(x) trong V‰ dö 6 câ sŁ lƒn nh“n gi¡ trà 1 lìn hìn deg
g(x)=2 nh÷ng khæng b§t kh£ quy theo ành lþ 6 bði v… deg g(x) < 8. Chó
þ r‹ng vi»c x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) nâi tr¶n b‹ng Ti¶u chu'n
Eisenstein ho°c b‹ng ph÷ìng ph¡p rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ
•u khæng kh£ thi. Tuy nhi¶n n‚u sß döng ành lþ 6 th… vi»c x†t t‰nh b§t
kh£ quy cıa a thøc n y quy v• vi»c ph¥n t‰ch a thøc f(x) 1 th nh nh¥n tß,
v a thøc f(x) 1 câ 5 nghi»m nguy¶n n¶n vi»c ph¥n t‰ch l d„ d ng.
Trong phƒn cuŁi cıa möc n y, chóng tæi tr…nh b y kh¡i ni»m v mºt
sŁ k‚t qu£ v• a thøc b†o li¶n quan ‚n gi¡ trà kh£ nghàch cıa a thøc.
20

2.1.6 ành ngh¾a 2. a thøc g(x) 2 Z[x] ÷æc gåi l b†o n‚u
‘(g) := u(g) deg g(x) > 0:
Chflng h⁄n, a thøc f(x) = 2x2
4x+1 l b†o v… deg f(x) = 2 v u(f) = 3.
a thøc g(x) = x2
+ 3x + 1 l a thøc b†o v… deg g(x) = 2 v u(g) = 4.
a thøc h(x) = x4
+ 3x2
+ 2 khæng b†o v… deg h(x) = 4 v u(h) = 0.
a thøc t(x) = x3
x2
+ x + 1 khæng b†o v… deg t(x) = 3 v u(t) = 1.
2.1.7 M»nh • 7. N‚u f(x) l a thøc b†o, th… deg f(x) 3.
Chøng minh. Gi£ sß deg f(x) 4.
Theo M»nh • 5, ta câ u(f) deg f(x). M f(x) l a thøc b†o n¶n u(f) > deg
f(x). Do â deg f(x) 3.
N«m 1993, hai nh to¡n håc H.L. Dorwart v O. Ore trong b i b¡o
Criteria for the irreducibility of polynomial, Annals of Math. 34, No. 1,
81-94, ¢ chøng minh r‹ng n‚u f(x) l mºt a thøc b†o câ b“c n, th… f(x) =
hi( x a), trong â a l mºt sŁ nguy¶n v hi(x); i = 1; 2; : : : ; 5 ÷æc cho d÷îi ¥y
h1(x) = x(x 1)(x 3) + 1; n = 3; u(f) = 4:
h2(x) = (x 1)(x 2) 1; n = 2; u(f) = 4:
h3(x) = 2x(x 2) + 1; n = 2; u(f) = 3:
h4(x) = 2x 1; n = 1; u(f) = 2:
h5(x) = x 1; n = 1; u(f) = 2:
2.2 Gi¡ trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy
Möc ti¶u cıa phƒn n y l tr…nh b y mºt sŁ ti¶u chu'n b§t kh£ quy tr¶n
Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n trong mŁi quan h» vîi gi¡ trà nguy¶n tŁ
cıa a thøc.
K‰ hi»u
P (f) := Cardfn 2 Z : f(n) = p; trong â p l sŁ nguy¶n tŁg:
Khi â P (f) l sŁ lƒn f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ ho°c sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n
tŁ. Chó þ r‹ng P (f) = 1 vîi væ h⁄n a thøc f(x) 2 Z[x]. Th“t v“y, ành lþ
Dirichlet ph¡t bi”u r‹ng n‚u a; b l hai sŁ tü nhi¶n nguy¶n tŁ
21

còng nhau, th… tçn t⁄i væ h⁄n sŁ nguy¶n tŁ trong d¢y sŁ fan + bgn2N.
V… v“y câ væ h⁄n a thøc d⁄ng f(x) = ax + b vîi a; b l c¡c sŁ nguy¶n sao
cho gcd(a; b) = 1, v c¡c a thøc n y thäa m¢n P (f) = 1:
ành lþ sau ¥y l mºt trong hai k‚t qu£ ch‰nh cıa möc n y, ch¿ ra r‹ng
n‚u f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i nhi•u hìn 2 lƒn b“c cıa nâ th… f(x) b§t kh£
quy tr¶n Q. ành lþ n y ÷æc vi‚t düa theo ph¡t bi”u cıa R. Thangadurai
trong b i b¡o Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are Integers,
Mathematics Newsletter, Vol 17, ð trang 31. Ti¶u chu'n n y theo ngh¾a n
o â l kh¡ d„ sß döng ” x†t t‰nh b§t kh£ quy.
2.2.1 ành lþ 7. Cho f(x) l a thøc câ h» sŁ nguy¶n vîi b“c l n > 0.
N‚u P (f) > 2n th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. Ta chøng minh b‹ng ph£n chøng. Gi£ sß f(x) khæng b§t
kh£ quy. Theo BŒ • Gauss, ta câ ph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x) trong â
g(x); h(x) 2 Z[x] v b“c cıa g(x), b“c cıa h(x) •u d÷ìng. Gi£ sß P (f) = m. Khi
â tçn t⁄i c¡c sŁ nguy¶n b1; b2; : : : ; bm sao cho f(bi) l sŁ nguy¶n tŁ ho°c l
sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ.
Gi£ sß p = f(n) = g(n)h(n) l mºt sŁ nguy¶n tŁ. Khi â, ho°c g(n) = 1
ho°c h(n) = 1. Do v“y, g(bi) = 1 ho°c h(bi) = 1 vîi måi i = 1; 2; : : : ; m.
Suy ra u(h) + u(g) P (f) > 2n theo gi£ thi‚t. Gi£ sß deg g(x) = r. Khi â deg
h(x) = n r. Theo M»nh • 2.1.3, ta câ u(g) 2r v u(h) 2(n r). Suy ra u(g) +
u(h) 2n, i•u n y l væ lþ. Do â f(x) b§t kh£ quy.
H» qu£ sau ¥y ÷æc suy ra trüc ti‚p tł ành lþ 7.
2.2.2 H» qu£ 1. Cho f(x) l a thøc câ h» sŁ nguy¶n vîi b“c l n > 0.
N‚u P (f) = 1 th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
2.2.3 V‰ dö 7. C¡c a thøc sau l b§t kh£ quy tr¶n Q.
(i) f(x) = x4
10x2
+ 11.
(ii) g(x) = x4
3x 3.
(iii) h(x) = 3x2
+ 11x + 121.
Chøng minh.
(i) Ta câ f(0) = 2; f(1) = 2; f( 1) = 2; f(3) = 2; f( 3) = 2; f(2) = 17; f( 2)
= 17; f(4) = 107; f( 4) = 107: V… 2; 17; 107 l c¡c sŁ
22

nguy¶n tŁ n¶n f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i ‰t nh§t 9 lƒn. V… b“c cıa a
thøc l 4 n¶n theo ành lþ 7, a thøc f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
(ii) Ta câ g(0) = 3, g(1) = 5, g(2) = 7, g( 2) = 19; g(4) = 241; g( 4) =
271; g(5) = 613; g( 5) = 643; g(7) = 2377.
V… 3; 5; 7; 19; 241; 271; 613; 643; 2377 l c¡c sŁ nguy¶n tŁ ho°c sŁ
Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ v deg g(x) = 4 n¶n theo ành lþ 7, a thøc g(x) l b§t
kh£ quy tr¶n Q.
(iii) Ta câ h( 7) = 191; h( 6) = 163; h( 1) = 113; h(3) = 181; h(5) =
251. V… 113; 163; 181; 191; 251 l c¡c sŁ nguy¶n tŁ n¶n h(x) nh“n gi¡
trà nguy¶n tŁ t⁄i ‰t nh§t 5 lƒn. V… b“c cıa a thøc l 2 n¶n theo ành lþ 7, a
thøc h(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chó þ r‹ng, a thøc g(x) trong V‰ dö 7 l b§t kh£ quy theo Ti¶u chu'n
Eisenstein vîi p = 3. T‰nh b§t kh£ quy cıa h(x) câ th” suy ra tł thüc t‚
h(x) khæng câ nghi»m hœu t (h» sŁ tü do cıa h(x) câ c¡c ÷îc: 1, 11, 121
n¶n vi»c t…m nghi»m cıa h(x) t÷ìng ÷ìng vîi vi»c t…m gi¡ trà cıa h(x) t⁄i
nhœng ÷îc n y). Tuy nhi¶n t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) trong V‰ dö
7 khæng th” suy ra tł Ti¶u chu'n Eisenstein v công khæng th” suy ra tł
ph÷ìng ph¡p rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ.
ành lþ sau ¥y công l k‚t qu£ ÷æc vi‚t düa theo nºi dung b i b¡o cıa
R. Thangadurai Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients are
Integers, Mathematics Newsletter, Vol 17, ð trang 31. ¥y l k‚t qu£
ch‰nh thø hai cıa möc n y, cho ta mºt ti¶u chu'n b§t kh£ quy cıa a
thøc düa tr¶n sŁ lƒn nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ, gi¡ trà Łi nguy¶n tŁ ho°c gi¡
trà kh£ nghàch. Theo nhi•u ngh¾a n o â, ¥y công l mºt ti¶u chu'n hœu
hi»u ” x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc.
2.2.4 ành lþ 8. Cho f(x) l a thøc câ b“c n vîi h» sŁ nguy¶n. N‚u tçn t⁄i n +
1 sŁ nguy¶n m1; m2; : : : ; mn+1 sao cho jmi mjj > 2 vîi måi i 6= j v f(mi)
l sŁ nguy¶n tŁ, sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ ho°c sŁ kh£ nghàch, th… f(x) b§t
kh£ quy tr¶n Q:
Chøng minh. Ta chøng minh b‹ng ph£n chøng. Gi£ sß f(x) khæng b§t
kh£ quy tr¶n Q. Theo BŒ • Gauss, f(x) = g(x)h(x), trong â g(x); h(x) l
c¡c a thøc b“c d÷ìng câ h» sŁ nguy¶n. X†t t⁄i c¡c sŁ nguy¶n mi, v…
f(mi) = g(mi)h(mi) l sŁ nguy¶n tŁ, sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ ho°c kh£
23

nghàch, n¶n mºt trong hai sŁ g(mi) ho°c h(mi) ph£i kh£ nghàch, tøc l
g(mi) = 1 ho°c h(mi) = 1 vîi måi i.
Ta khflng ành khæng tçn t⁄i i 6= j sao cho g(mi) = 1 v g(mj) = 1. Th“t
v“y, gi£ sß ng÷æc l⁄i. Vi‚t
g(x) = bdxd
+ bd 1xd 1
+ + b0:
L§y hi»u g(mi) g(mj) ta ÷æc
bd(mi
d
mj
d
) + bd 1(mi
d 1
mj
d 1
) + + b1(mi mj) = 2:
Rª r ng v‚ tr¡i cıa flng thøc tr¶n l bºi cıa mi mj. V… th‚ mi mj l
÷îc cıa 2, i•u n y m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t jmi mjj > 2. Do â khflng
ành ÷æc chøng minh.
Theo khflng ành tr¶n, g(x) n‚u nh“n gi¡ trà 1 th… khæng nh“n gi¡ trà 1
t⁄i c¡c sŁ m1; m2; : : : ; mn+1 v ng÷æc l⁄i. V… th‚ t⁄i n + 1 sŁ n y, g(x) nh“n
nhi•u nh§t l d lƒn vîi d l b“c cıa g(x). T÷ìng tü, ta câ th” ch¿ ra r‹ng t⁄i c¡c
sŁ m1; m2; : : : ; mn+1, h(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch t⁄i nhi•u nh§t d0
lƒn,
trong â d0
l b“c cıa h(x). Suy ra sŁ lƒn h(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch ho°c
g(x) nh“n gi¡ trà kh£ nghàch t⁄i c¡c sŁ m1; m2; : : : ; mn+1
nhi•u nh§t l d + d0
lƒn. V… th‚
n = d + d0
n + 1;
n¶n i•u n y l væ lþ. V“y f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
2.2.5 V‰ dö 8. a thøc f(x) = x6
3x5
87x4
+ 118x3
+ 21x 1 l b§t
kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. Ta câ
f( 22) =107187629;
f( 8) = 58601;
f( 4) = 23269;
f(0) = 1;
f(12) =634859;
f(18) =19888469;
f(30) =588786929:
24

M°t kh¡c deg f(x) = 6 v tçn t⁄i b£y sŁ m1 = 22, m2 = 8, m3 = 4, m4 = 0,
m5 = 12, m6 = 18 v m7 = 30 thäa m¢n t‰nh ch§t hi»u giœa hai sŁ b§t
ký câ gi¡ trà tuy»t Łi lîn hìn 2. Hìn nœa gi¡ trà f(x) t⁄i b£y sŁ n y •u l sŁ
nguy¶n tŁ, sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ ho°c kh£ nghàch. Theo ành lþ 8, a thøc
f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chó þ r‹ng t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc f(x) trong V‰ dö 8 khæng th”
suy ra tł c¡c ti¶u chu'n ¢ tr…nh b y ð phƒn tr÷îc: Ti¶u chu'n Eisenstein
v c¡c mð rºng; ti¶u chu'n rót gån theo module mºt sŁ nguy¶n tŁ; ti¶u
chu'n b§t kh£ quy li¶n quan ‚n sŁ lƒn a thøc nh“n gi¡ trà kh£ nghàch (
ành lþ 6).
C¡c ành lþ 9 v ành lþ 10 ÷æc tr…nh b y d÷îi ¥y ÷æc ph¡t bi”u düa
tr¶n nºi dung b i b¡o Irreducibility of Polynomials Whose Coefficients
are Integers cıa R. Thangadurai tr¶n t⁄p ch‰ Mathematics Newsletter,
17, (2007), 29-37.
2.2.6. ành lþ 9. Cho f(x) l P (f)
+ 2u(f) n + 4 th… f(x)
a thøc b“c n > 0 vîi h» sŁ nguy¶n. N‚u
b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q:
Chøng minh. Ta chøng minh b‹ng ph÷ìng ph¡p ph£n chøng.
Gi£ sß a thøc f(x) khæng b§t kh£ quy tr¶n Q. Theo BŒ • Gauss, f(x)
câ ph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x), trong â g(x) v h(x) l c¡c a thøc câ b“c d÷ìng
vîi h» sŁ nguy¶n. Khæng l m m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß ‘(g) ‘(h); trong â
‘(g) = u(g) deg g(x), ‘(h) = u(h) deg h(x) nh÷ ành ngh¾a 2. Ta s‡ chøng
minh
‘(g) + ‘(h) P (f) + 2u(f) n:
Gi£ sß m 2 Z sao cho f(m) l mºt sŁ nguy¶n tŁ. Ta câ f(m) = g(m)h(m).
Suy ra g(m) ho°c h(m) nh“n gi¡ trà 1 ho°c 1. Trong khi â vîi mØi m 2 Z
sao cho f(m) l kh£ nghàch ta công câ g(m) ho°c h(m) nh“n gi¡ trà kh£
nghàch. Do â
u(g) + u(h) P (f) + 2u(f):
Ta câ
‘(g) + ‘(h) = u(g) deg g(x) + u(h) deg h(x) = u(g) + u(h) n P (f) +
2u(f) n:
25

Theo gi£ thi‚t P (f) + 2u(f) n + 4, suy ra P (f) + 2u(f) n 4. Do v“y, ta ÷æc
‘(g) + ‘(h) 4. N‚u ‘(g) > 0 v ‘(h) > 0 th… theo ành ngh¾a 2, ta câ a thøc
g(x); h(x) l a thøc b†o. Theo M»nh • 7 , ta câ deg g(x); deg h(x) 3 k†o
theo tŒng cıa chóng khæng th” 7. Do â, ch¿ câ g(x) ho°c h(x) l a thøc
b†o. Khæng l m m§t t‰nh tŒng qu¡t,
gi£ sß g(x) l a thøc b†o. V… h(x) khæng l a thøc b†o v n 7 n¶n
deg h(x) 4 v ‘(h) 0. Khæng nhœng th‚, v… ‘(g) + ‘(h) 4, ta câ
‘(g) = u(g) deg g(x) 4 suy ra u(g) 4 + deg g(x), m¥u thu¤n v…
deg g(x) 3 v u(g) 2 deg g(x). Do â f(x) ph£i b§t kh£ quy tr¶n
tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q.
2.2.7. V‰ dö 9. a thøc f(x) = x4
5x2
+ 3 l a thøc b§t kh£ quy tr¶n
tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q.
Chøng minh. Ta câ deg f(x) = 4 v f(x)+1 = (x 1)(x+1)(x 2)(x+2):
V… th‚ f(x) nh“n gi¡ trà b‹ng 1 t⁄i óng 4 i”m.
V… f(4) = f( 4) = 179 l sŁ nguy¶n tŁ, n¶n f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n
tŁ t⁄i ‰t nh§t 2 lƒn. Nh÷ v“y ta câ
P (f) + 2u(f) 2 + 2:4 = 10 > deg f(x) + 3:
V“y a thøc f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q theo ành lþ 2.2.6.
2.2.8. ành lþ 10. Cho f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c n 7.
N‚u P (f) n + 3 th… f(x) b§t kh£ quy tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q:
Chøng minh. N‚u P (f) n + 4 th… rª r ng
P (f) + 2u(f) n + 4:
Trong tr÷íng hæp n y, theo ành lþ 9, a thøc f(x) b§t kh£ quy. V… v“y, ta
ch¿ cƒn chøng minh ành lþ trong tr÷íng hæp P (f) = n + 3.
Gi£ sß i•u ng÷æc l⁄i, tøc l f(x) khæng b§t kh£ quy. Khi â theo BŒ •
Gauss, ta vi‚t ÷æc f(x) = g(x)h(x) trong â g(x); h(x) l c¡c a thøc vîi h» sŁ
nguy¶n câ b“c d÷ìng. Theo chøng minh ành lþ 9 ta câ
‘(g) + ‘(h) P (f) + 2u(f) n;
trong â ‘(g) v ‘(h) ÷æc x¡c ành nh÷ trong ành ngh¾a 2.
26

V… P (f) = n + 3 n¶n
‘(g) + ‘(h) n + 3 + 2u(f) n = 3 + 2u(f):
Do â ‘(g) ho°c ‘(h) ph£i d÷ìng. V… deg f(x) 7 theo gi£ thi‚t, n¶n theo
M»nh • 7, g(x) ho°c h(x) ph£i l a thøc b†o.
Khæng m§t tŒng qu¡t, gi£ sß g(x) l a thøc b†o. Khi â, h(x) khæng
l a thøc b†o. V… th‚ ‘(g) 1 v ‘(h) 0: Suy ra ‘(g) + ‘(h) ‘(g). Tuy nhi¶n ta
câ
‘(g) + ‘(h) P (f) + 2u(f) n n + 3 n = 3:
Do â ‘(g) 3. Suy ra u(g) deg g(x) + 3. Tuy nhi¶n theo c¡c l“p lu“n nh÷
trong phƒn cuŁi chøng minh ành lþ 6 ta suy ra u(g) deg g(x) + 1, m¥u
thu¤n vîi u(g) deg g(x) + 3. Do â a thøc f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q:
2.2.9. V‰ dö 10. a thøc f(x) = x7
14x5
+ 49x3
36x + 11 b§t kh£ quy
tr¶n Q:
Chøng minh. Ta câ n = deg f(x) = 7:
f(0) = 11; f(1) = 11; f( 1) = 11; f(2) = 11; f( 2) = 11;
f(3) = 11; f( 3) = 11; f(4) = 5051; f(7) = 604811; f(17) = 390700811:
Trong â 11; 5051; 604811; 390700811 l nhœng sŁ nguy¶n sŁ. Nh÷
v“y f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i ‰t nh§t 10 lƒn, hay P (f) 10 = n + 3: Do
â P (f) n + 3.
Theo ành lþ 10, a thøc f(x) = x7
14x5
+ 49x3
36x + 11 b§t kh£ quy
tr¶n Q:
2.3 Mºt ti¶u chu'n mîi v• t‰nh b§t kh£ quy
Möc ti¶u cıa phƒn n y l tr…nh b y mºt ti¶u chu'n mîi v• t‰nh b§t kh£
quy tr¶n tr÷íng Q cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n sao cho c¡c h» sŁ t«ng
dƒn theo b“c v nh“n ‰t nh§t mºt gi¡ trà nguy¶n tŁ. C¡c k‚t qu£ cıa phƒn
n y ÷æc vi‚t chı y‚u düa theo b i b¡o cıa A. Jakhar v N. Sangwan n«m
2018: An irreducibility criterion for integer polynomials, Amer. Math.
Monthly, 125, 464-465. K‚t qu£ ch‰nh cıa phƒn 2:3 l ành lþ 11.
27

Gåi C l t“p c¡c i”m ph‰a trong h…nh trÆn phøc b¡n k‰nh l ìn và,
tøc
l
C := fz 2 C : jzj < 1g;
trong â C l tr÷íng sŁ phøc.
Tr÷îc khi ph¡t bi”u k‚t qu£ ch‰nh cıa möc n y, chóng ta cƒn mºt sŁ
k‚t qu£ bŒ træ sau ¥y.
Chøng minh m»nh • sau ¥y ÷æc tr…nh b y trong t i li»u A Class of
Irreducible Polynomials cıa t¡c gi£ J. Harrington, L. Jones [M»nh • 2.3,
trang 113-119] ÷æc xu§t b£n n«m 2013.
2.3.1 M»nh • 8. Cho f(x) = anxn
+ + a0 2 Q[x] v gi£ sß ai 6=
0; aj =6 0 vîi 0 i < j n. Gi£ sß
X
jalj qt
jatj
0 l n; l6=t
trong â 0 t n; t 6= i; t 6= j v q 2 R vîi 0 < q 1. N‚u f(x) câ mºt nghi»m vîi
2 fz 2 C j q jzj 1g
th… b§t flng thøc tr¶n trð th nh flng thøc v
2(j i)
= 1.
B¥y gií chóng ta s‡ chøng minh hai m»nh • cì sð m k‚t qu£ cıa
chóng ºc l“p vîi nhau v kh¡ thó và.
2.3.2 M»nh • 9. Cho a thøc f(x) = anxn
+ + a0 2 Z[x] sao cho
0 < a0 a1 : : : ak 1 < ak < ak+1 : : : an 1 an
vîi ch¿ sŁ k thäa m¢n 0 k n 1. Khi â t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x) •u thuºc t“p
C.
Chøng minh. ƒu ti¶n ta chøng minh f(x) câ t§t c£ c¡c nghi»m •u thuºc
t“p
fz 2 C : jzj 1g:
Gi£ sß ng÷æc l⁄i, f(x) câ mºt nghi»m sao cho j j > 1: Khi â l nghi»m cıa
F (x) = (x 1)f(x) = anxn+1
+ (an 1 an)xn
+ + (a0 a1)x a0:

Chó þ r‹ng module cıa t‰ch hai sŁ phøc b‹ng t‰ch cıa hai module cıa
hai sŁ phøc â. Hìn nœa, module cıa tŒng hai sŁ phøc luæn nhä hìn ho°c
28

b‹ng tŒng hai module cıa hai sŁ phøc â. V… th‚ theo gi£ thi‚t cıa M»nh
• v gi£ thi‚t j j > 1 ta câ
jan
n+1
j a0 + (a1 a0)j j + + (an an 1)j jn
< a0j jn
+ (a1 a0)j jn
+ + (an an 1)j jn
= jan
n
j;
i•u n y l m¥u thu¤n v… an > 0: Do â t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x) ph£i
thuºc h…nh trÆn b¡n k‰nh ìn và.
” chøng minh c¡c nghi»m cıa f(x) •u thuºc C, ta ch¿ ra j j 6= 1. Gi£
sß j j = 1. Hi”n nhi¶n c¡c h» sŁ cıa xk
v xk+1
trong F (x) l ¥m, ngo⁄i trł h»
sŁ an l d÷ìng. Do v“y, gi£ thi‚t cıa M»nh • 8 ÷æc thäa m¢n vîi t = n + 1; i
= k; j = k + 1 v q = 1. Công theo M»nh • 8, ta câ 2
= 1, khæng th” x£y ra
bði v… d„ th§y f(1) v f( 1) •u kh¡c 0 theo gi£ thi‚t ban ƒu. V“y t§t c£ c¡c
nghi»m cıa f(x) •u thuºc C:
2.3.3 M»nh • 10. Cho a thøc f(x) 2 Z[x] l mºt a thøc câ t§t c£ c¡c
nghi»m n‹m trong t“p C. N‚u tçn t⁄i sŁ nguy¶n m vîi jmj 2 sao cho jf(m)j l
sŁ nguy¶n tŁ, th… f(x) l b§t kh£ quy tr¶n Q:
Chøng minh. Gi£ sß ng÷æc l⁄i, a thøc f(x) khæng b§t kh£ quy tr¶n Q.
Khi â, theo BŒ • Gauss, ta câ ph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x), trong â g(x);
h(x) 2 Z[x]. Theo gi£ thi‚t, jf(m)j l sŁ nguy¶n tŁ n¶n ‰t nh§t jg(m)j ho°c
jh(m)j b‹ng 1. Khæng m§t tŒng qu¡t, gi£ sß jg(m)j = 1: Gi£ sß deg g(x) =
k. Theo ành lþ cì b£n cıa ⁄i sŁ, g(x) ph£i câ k nghi»m trong C, mØi
nghi»m t‰nh vîi sŁ bºi cıa nâ. Gåi 1; : : : ; k l c¡c nghi»m cıa g(x). Khi â
chóng công l nghi»m cıa f(x) v
k
Y
g(x) = c (x i);
i=1
trong â c l h» sŁ cao nh§t cıa g(x). Theo gi£ thi‚t v• c¡c nghi»m cıa f(x)
ta câ i 2 C, j ij < 1 vîi måi 1 i k. Theo gi£ thi‚t, jmj 2: Chó þ r‹ng module
cıa hi»u hai sŁ phøc lîn hìn ho°c b‹ng hi»u cıa hai module cıa hai sŁ phøc
â. V… th‚ ta câ
k k k
Y Y Yi
1;
jg(m)j = jc (m i)j jcj (jmj j ij) > jcj (jmj 1)
i=1 i=1 =1
suy ra jg(m)j > 1, i•u n y l m¥u thu¤n.

29

B‹ng c¡c l“p lu“n t÷ìng tü nh÷ trong chøng minh M»nh • 10, ta thu
÷æc k‚t qu£ sau.
2.3.4 M»nh • 11. Cho a thøc t“p
fz 2 C : jzj > 1g. N‚u jf(0)j l tr¶n
Q:
f(x) 2 Z[x] câ t§t c£ c¡c nghi»m trong
mºt sŁ nguy¶n tŁ th… f(x) b§t kh£ quy
B¥y gií chóng ta chøng minh k‚t qu£ ch‰nh cıa phƒn n y, nâi v• mºt
ti¶u chu'n mîi cho t‰nh b§t kh£ quy tr¶n Q cıa c¡c a thøc vîi h» sŁ
nguy¶n thäa m¢n t‰nh ch§t: c¡c h» sŁ cıa nâ t«ng dƒn theo b“c v a
thøc nh“n ‰t nh§t mºt gi¡ trà nguy¶n tŁ.
2.3.5 ành lþ 11. Cho a thøc f(x) = anxn
+ an 1xn 1
+ + a1x + a0 vîi h»
sŁ nguy¶n thäa m¢n mºt trong c¡c i•u ki»n:
(i) 0 a0 a1 : : : ak 1 < ak < ak+1 : : : an vîi c¡c gi¡ trà cıa sŁ k thäa m¢n 0
k n 1;
(ii) janj > jan 1j + + ja0j vîi a0 6= 0:
Gi£ sß janj l mºt sŁ nguy¶n tŁ ho°c jf(m)j l mºt sŁ nguy¶n tŁ vîi sŁ
nguy¶n m thäa m¢n jmj 2. Khi â f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q. Hìn nœa, n‚u
jmj = ar
vîi a v r l hai sŁ tü nhi¶n th… f(xr
) l b§t kh£ quy tr¶n Q.
Chøng minh. Chó þ r‹ng n‚u a thøc f(x) thäa m¢n i•u ki»n (i) cıa ành lþ,
th… theo M»nh • 9, t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x) •u n‹m ph‰a trong ÷íng
trÆn ìn và, tøc l •u n‹m trong t“p C = fz 2 C : jzj < 1g. Hi”n nhi¶n n‚u i•u
ki»n (ii) ÷æc thäa m¢n v j j 1 th… tł t‰nh ch§t cıa module cıa hi»u hai
sŁ phøc, ta suy ra
jf( )j janjj jn
n 1 jajjj jj
j jn 0
janj n 1 jajj 1 > 1:
X @ Xj A
j=0 =0
V… th‚ f( ) 6= 0. Do v“y, trong tr÷íng hæp f(x) thäa m¢n i•u ki»n (ii) cıa
ành lþ th… t§t c£ nghi»m cıa f(x) ph£i n‹m trong C. Theo gi£ thi‚t
1
a0 6= 0, n¶n t§t c£ c¡c nghi»m cıa a thøc g(x) := xn
f x n‹m trong
t“p fz 2 C : jzj > 1g. Do â khi janj = jg(0)j l mºt sŁ nguy¶n tŁ th…
theo M»nh • 2.3.4, g(x) b§t kh£ quy tr¶n Q: Suy ra f(x) b§t kh£ quy tr¶n
Q. N‚u tçn t⁄i mºt sŁ nguy¶n m vîi jmj 2 sao cho jf(m)j nguy¶n tŁ th…
f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q theo M»nh • 10. Ta ch¿ cÆn ph£i chøng
30

minh r‹ng n‚u jmj l mºt lôy thła b“c r cıa mºt sŁ nguy¶n, th… f(xr
) b§t
kh£ quy tr¶n Q. V… t§t c£ c¡c nghi»m cıa f(x) n‹m trong t“p C, tøc
l •u câ module nhä hìn 1, n¶n n‚u l nghi»m cıa f(xr
), th… r
ph£i
l nghi»m cıa f(x), tøc l l mºt c«n b“c r cıa vîi l nghi»m cıa
f(x). Suy ra, module cıa ph£i nhä hìn 1. V… v“y, t§t c£ c¡c nghi»m cıa
f(xr
) công n‹m trong C. T÷ìng tü, t§t c£ c¡c nghi»m cıa f( xr
) công n‹m
trong C. V… jf(m)j l mºt sŁ nguy¶n tŁ, n¶n theo M»nh • 10 ta thu ÷æc k‚t
qu£ mong muŁn.
2n
+ 1 l mºt sŁ nguy¶n tŁ. Khi â a thøc
2.3.6 H» qu£ 2. Gi£ sß 2
2n
n
+ an 1x
n 1
+ + a1x + a0;
f(x) = (2 + 1)x
vîi
2n
1 a0 : : : ak 1 < ak < ak+1 : : : an 1 2 + 1
v 1 k n 1 b§t kh£ quy tr¶n Q
Chøng minh. Ta câ 22n
+ 1 l mºt sŁ nguy¶n tŁ. Khi â a thøc
2n
n
+ an 1x
n 1
+ + a1x + a0
f(x) = (2 + 1)x
vîi
2n
1 a0 : : : ak 1 < ak < ak+1 : : : an 1 2 + 1
v 1 k n 1 thäa m¢n i•u ki»n (i) cıa ành lþ 11. Do â f(x) l
a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q.
2.3.7 V‰ dö 11. a thøc f(x) = 11x5
+ 3x4
2x3
+ x + 1 l a thøc b§t
kh£ quy tr¶n Q:
Chøng minh. a thøc f(x) = 11x5
+ 3x4
2x3
+ x + 1 câ a5 = 11; a4 = 3;
a3 = 2; a2 = 0; a1 = 1; a0 = 1: C¡c h» sŁ n y thäa m¢n
ja5j > ja4j + ja3j + ja2j + ja1j + ja0j:
Hìn nœa, a5 = 11 v f(2) = 389 l c¡c sŁ nguy¶n tŁ. Nh÷ v“y f(x) thäa m¢n
i•u ki»n (ii) cıa ành lþ 11 vîi m = 2. Do â f(x) l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q:
2.3.8 V‰ dö 12. a thøc g(x) = 64x5
+ 2x4
5x3
+ 2x2
9 b§t kh£ quy tr¶n
tr÷íng c¡c sŁ hœu t Q:
31

Chøng minh. a thøc g(x) = 64x5
+ 2x4
5x3
+ 2x2
1 câ a5 = 64; a4 = 2;
a3 = 5; a2 = 2; a1 = 0; a0 = 9: C¡c h» sŁ n y thäa m¢n
ja5j > ja4j + ja3j + ja2j + ja1j + ja0j:
Chån m = 2, ta câ
g(2) = 64:25
+ 2:24
5:23
+ 2:22
1 = 211
9 = 2039
l mºt sŁ nguy¶n tŁ. Nh÷ v“y g(x) thäa m¢n i•u ki»n (ii) cıa ành lþ 11 vîi
m = 2. Do â g(x) l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q:
2.4 Gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i Łi sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy
Chóng ta ành ngh¾a chi•u cao cu£ f(x)
H1
=
0 i n 1 aian
max
v
ai
2 1=(n i)
H = 0 i n 1 an
:
max
V… a thøc f(x) cho tr÷îc n¶n ta ho n to n x¡c ành ÷æc H1, H2 v r.
Gåi
H = minfH1
1=(r+1)
+ 1; 2H2g:
N‚u c¡c nghi»m cıa f(x) n‹m trong giîi h⁄n tr¶n m°t phflng phøc th…
chóng ta câ th” chøng minh c¡c ti¶u chu'n b§t kh£ quy sß döng c¡c i•u
ki»n tr¶n. Do â, ƒu ti¶n chóng ta ÷a ra mºt sŁ c“n cho nghi»m phøc b§t
ký cıa f(x) theo c¡c ành lþ d÷îi ¥y.
2.4.1 M»nh • 12. Gåi f(x) l a thøc b“c n vîi h» sŁ nguy¶n.
f(x) = anxn
+ an 1xn 1
+ + a1x + a0
Gi£ sß an k = 0 vîi måi k = 1; 2; : : : ; r trong â 0 r n 1. N‚u
2 C l mºt nghi»m cıa f(x) th…
j j < H1
1=(r+1)
+ 1:
32

Chøng minh. Gåi 2 C l mºt nghi»m cıa f(x). V… l mºt nghi»m cıa
f(x) v an k = 0 vîi måi k = 1; 2; : : : ; r n¶n ta câ
an
n
= an r 1
n r 1
+ + a1 + a0
)
n
=
a
n r 1 n r 1
+ +
a
1
+
a
0
:
an an an
Do â
1 :
j jn
H1 j jn r 1
+ : : : + j j + 1 = H1 n r
j j 1
j j
N‚u j j 1 th… hi”n nhi¶n j j < H1
1=(r+1)
+ 1 v… H1 > 0. N‚u j j > 1, theo
b§t ph÷ìng tr…nh tr¶n ta câ
j jn
(j j 1) H1(j jn r
1) < H1j jn r
) j jr
(j j 1) < H1:
V…
1)r+1
j jr
(j j
(j j 1);
ta câ
(j j 1)r+1
H1
v suy ra j j < H1
1=(r+1)
+ 1.
N‚u r = 0 trong ph¡t bi”u cıa M»nh • 12 th… ta câ an 1 6= 0. Chøng
minh i•u n y ÷æc • c“p ‚n trong cuŁn s¡ch Exercises de math†ma-tiques
÷æc xu§t b£n n«m 1857 cıa nh to¡n håc A.L. Cauchy, trang 176.
2.4.2 M»nh • 13. Gåi f(x) l a thøc b“c n vîi h» sŁ nguy¶n
f(x) = anxn
+ an 1xn 1
+ + a1x + a0:
N‚u 2 C l mºt nghi»m cıa f(x) th… j j < 2H2:
Chøng minh. Gåi bi =
ai
vîi måi i = 1; 2; : : : ; n 1. K‰ hi»u
a
n
c := max fjbij1=(n i)
g
0i n 1
v = c : ” chøng minh m»nh •, ta ch¿ cƒn ch¿ ra r‹ng j j < 2 công nh÷ c =
H2:
33

ai
Theo ành ngh¾a, ta câ j j cn i
vîi måi i = 1; 2; : : : ; n 1. Khi â
an
an
n + c
n 1 + + cn = an cn
n
+ cn n 1 + + cn
b
n 1 b0 1 b
n 1 b0
1
(an
n
+ an 1
n 1
+ + a0)
=cn
1
= f( ) = 0:
cn
V… an 6= 0, ta câ
n
+
b
n 1 n 1
+ +
b
0
= 0:
c cn
V… jbij cn i
n¶n ta ÷æc
j jn
1 + j j + j j2
+ : : : + j jn 1
:
N‚u j j 2, theo b§t flng thøc tr¶n ta câ
n j jn 1 < j jn
;
1 j j
j j j j 1
k†o theo j j < 2, m¥u thu¤n vîi i•u gi£ sß tr¶n. Suy ra j j < 2, tøc l j j <
2c. V… c = H2 n¶n ta thu ÷æc j j < H2:
2.4.3 ành lþ 12. Gi£ sß f(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n b“c n f(x)
= anxn
+ an 1xn 1
+ + a1x + a0:
N‚u tçn t⁄i sŁ nguy¶n m H + 1 sao cho f(m) nguy¶n tŁ th… f(x) b§t kh£
quy tr¶n tr÷íng sŁ hœu t Q:
Chøng minh. Gi£ sß f(x) l a thøc b“c n vîi h» sŁ nguy¶n. Chån 2 C l mºt
nghi»m cıa f(x). Theo M»nh • 12 v M»nh • 13, ta câ
j j < H1
1=(r+1)
+ 1 v j j < 2H2:
Do â
j j < H:
Ta chøng minh b‹ng ph÷ìng ph¡p ph£n chøng. Gi£ sß f(x) = g(x)h(x)
trong â g(x), h(x) l c¡c a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c d÷ìng. V… f(m) l
sŁ nguy¶n tŁ n¶n f(m) = g(m)h(m) suy ra g(m) ho°c h(m) b‹ng 1. Khæng
m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß g(m) = 1. Vi‚t l⁄i a thøc
34

Q
( ) i ( ) i
g(x) = c i(x i) trong â iC l c¡c nghi»m cıa g(x) v c l h» sŁ cao
nh§t cıa g x . V… l c¡c nghi»m cıa g x n¶n công l c¡c nghi»m
cıa f(x), ta câ j ij < H. Do â
1 = jg(m)j = jcj
Y
i jm ij
Y
i (m j ij) >
Y
i (m H) 1:
i•u n y l m¥u thu¤n. Do â f(x) l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q:
2.4.4 V‰ dö 13. a thøc f(x) = 10x5
+ 3x4
+ 2x3
+ x + 1 l a thøc b§t
kh£ quy tr¶n Q:
Chøng minh. a thøc f(x) câ a5 = 10; a4 = 3; a3 = 2; a2 = 0; a1 = 1; a0 =
1: Suy ra r = 0. Theo c¡ch ành ngh¾a H1, H2 v H ð ƒu möc 2.4, ta câ
1 2 3
3
H1 = max ; ; = ;
10 10 10 10
= max
1 1 2 3
=
3
H2 ( )1=5
; ( )1=4 ; ( )1=2
; ( )1=1 ;
10 10 10 10 10
H = minfH1
1=(r+1)
+ 1; 2H2g = min
3
+1;2:
3
= 2:
3
=
3
:
10 10 10 5
Chån m = 2. Rª r ng m > H + 1 v f(2) = 389 l sŁ nguy¶n tŁ. Theo
ành lþ 12, f(x) l a thøc b§t kh£ quy tr¶n Q.
N«m 1980, J. Brillhart trong b i b¡o Note on Irreducibility Testing,
«ng tr¶n t⁄p ch‰ Math. of computation, 35, 152, 1379 - 1381, ¢ ch¿ ra
r‹ng t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc câ th” suy ra tł gi¡ trà nguy¶n tŁ cıa a
thøc t⁄i mæt và tr‰ Łi sŁ ı lîn.
2.4.5 ành lþ 13. Cho f(x) l N‚u
f(x) nh“n gi¡ trà nguy¶n f(x) b§t
kh£ quy tr¶n Q.
a thøc vîi h» sŁ nguy¶n câ b“c d÷ìng.
tŁ t⁄i mºt sŁ nguy¶n ı lîn, th… a thøc
Chøng minh. Th“t v“y, gi£ sß f(x) khæng b§t kh£ quy. Khi â f(x) câ
ph¥n t‰ch f(x) = g(x)h(x) trong â g(x) v h(x) l c¡c a thøc câ b“c d÷ìng
vîi h» sŁ nguy¶n. Gåi fbig v fb0
jg lƒn l÷æt l t“p t§t c£ c¡c nghi»m
nguy¶n cıa a thøc g(x) 1 v h(x) 1. Khi â hai t“p fbig v fb0
jg l hai t“p hœu
h⁄n. K‰ hi»u M1 = max jbij; M2 = max jb0
jj v M := max M1; M2. Gi£ sß
tçn t⁄i sŁ nguy¶n m sao cho jmj > M v f(m) l sŁ nguy¶n tŁ,
35

th… g(m) ho°c h(m) ph£i nh“n gi¡ trà 1 ho°c 1, tøc l m 2 fbig ho°c m 2
fbjg. i•u n y l væ lþ. Do â f(x) b§t kh£ quy tr¶n Q.
Theo H» qu£ 1, n‚u P (f) = 1 th… f(x) b§t kh£ quy. i•u ng÷æc l⁄i
khæng óng. Ngh¾a l , n‚u f(x) b§t kh£ quy, nh…n chung ta khæng suy
ra ÷æc P (f) = 1. Sau ¥y l mºt v‰ dö.
2.4.6 V‰ dö 14. a thøc f(x) = xn
+ 105x + 12 b§t kh£ quy tr¶n Q v f(x)
khæng nh“n gi¡ trà nguy¶n tŁ ho°c sŁ Łi cıa sŁ nguy¶n tŁ (tøc l
P (f) = 0).
Chøng minh. a thøc f(x) = xn
+ 105x + 12 b§t kh£ quy theo ti¶u chu'n
Eisenstein vîi p = 3. Ta câ ph¥n t‰ch
f(x) = x(xn 1
+ 105) + 12:
Vîi mØi sŁ nguy¶n m b§t ký, ta câ f(m) = m(mn 1
+ 105) + 12 luæn l
sŁ chfin. Gi£ sß tçn t⁄i sŁ nguy¶n m ” f(m) = 2: Khi â
m(mn 1
+ 105) + 12 = 2:
Suy ra m l ÷îc cıa 10. Thß t§t c£ c¡c tr÷íng hæp m l ÷îc cıa 10 ta th§y
flng thøc tr¶n •u khæng thäa m¢n. V“y f(x) khæng nh“n gi¡ trà b‹ng 2.
Do â f(m) luæn l hæp sŁ vîi måi sŁ nguy¶n m, tøc l P (f) = 0.
36

K‚t lu“n
Trong lu“n v«n n y chóng tæi ¢ tr…nh b y nhœng nºi dung sau v•
t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc vîi h» sŁ nguy¶n:
Chøng minh Ti¶u chu'n Eisenstein ( ành lþ 1) v mºt sŁ mð rºng (
ành lþ 2, ành lþ 3).
Chøng minh ti¶u chu'n rót gån theo module mæt sŁ nguy¶n tŁ (
ành lþ 4) v b i to¡n ng÷æc.
Chøng minh c¡c inh lþ v• mŁi li¶n h» giœa gi¡ trà kh£ nghàch, gi¡
trà nguy¶n tŁ v t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc.
Chøng minh c¡c ành lþ v• mŁi li¶n h» giœa gi¡ trà nguy¶n tŁ t⁄i Łi
sŁ ı lîn v t‰nh b§t kh£ quy.
Chøng minh ành lþ v• mŁi li¶n h» giœa t‰nh b§t kh£ quy v gi¡ trà
nguy¶n tŁ.
V‰ dö minh håa cho c¡c ành lþ, c¡c m»nh •.
37

T i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Nguy„n Kh›c H÷ðng (2018), Ti¶u chu'n Eisenstein v• t‰nh b§t kh£
quy cıa a thøc, Lu“n v«n Th⁄c s¾, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc
Th¡i Nguy¶n.
[2] Nguy„n V«n L“p (2015), V• a thøc kh£ quy tr¶n Zp nh÷ng b§t kh£
quy tr¶n Q, Lu“n v«n Th⁄c s¾, Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i
Nguy¶n.
[3] L¶ Thà Thanh Nh n (2015), Gi¡o tr…nh Lþ thuy‚t a thøc, Nh xu§t
b£n ⁄i håc quŁc gia H Nºi.
Ti‚ng Anh
[4] H. Chao (1974), A Generalization of Eisenstein’s Criterion, Mathe-
matics Magazine, Vol. 47, 158-159.
[5] E. Diver, P. A. Leonard and K. S. Williams (2005), Irreducible
quartic polynomials with factorizations modulo p, Amer. Math.
Monthly, 112, No.10, 876-890.
[6] M. Filaseta (1982), A further generalization of an irreducibility theo-
rem of A.Cohn, Canad. J. Math., 34, 1390-1395.
[7] R. Guralnick, M. Schacher, J. Sonn (2005) Irreducible polynomials
which are locally reducible everywhere, Proc. Amer. Math. Ann.,
133, No. 11, 3171-3177.
[8] A. Jakhar and N. Sangwan (2018), An irreducibility criterion for in-
teger polynomials, Amer. Math. Monthly, 125, 464-465.
38

[9] J. Harrington and L. Jones (2013), A Class of Irreducible
Polynomi-als,Colloq. Math. 132, 113-119.
[10] M. Ram Murty (2002), Prime numbers and irreducible polynomials,
Amer. Math. Mothlly, 109 , No. 5, 452-458.
[11] R. Thangadurai (2007), Irreducibility of Polynomials Whose Coeffi-
cients are Integers, Mathematics Newsletter, 17, 29-37.
[12] , S. H. Weintraub (2013), A mild generazation of Eisenstein
criterion, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol.
141, 1159-1160.
39

Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc

Similar to Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Tính bất khả quy Của đa thức với hệ số nguyên.doc