Sử Dụng Kỹ Thuật “Phễu” Và “Cây Phễu” Để Tìm Đường Đi Ngắn Nhất Trên Bề Mặt Của Khối Đa Diện.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2020

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC
VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------
Nguyễn Thị Mỹ Hạnh
SỬ DỤNG KỸ THUẬT “PHỄU” VÀ “CÂY PHỄU” ĐỂ TÌM
ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT TRÊN BỀ MẶT CỦA KHỐI ĐA DIỆN
Chuyên ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 8460112
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. Phan Thành An
Hà Nội - 2020

L˝I CAM OAN
Tæi xin cam oan måi k‚t qu£ cıa • t i: Sß döng kÿ thu“t ph„u v c¥y
ph„u ” t…m ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n ¢ ÷æc tr…nh b
y trong ba b i b¡o [7], [10] v [5], c¡c v‰ dö v sŁ li»u trong lu“n v«n l
trung thüc. N‚u khæng óng nh÷ ¢ n¶u tr¶n, tæi xin ho n to n chàu tr¡ch
nhi»m v• • t i cıa m…nh.
H Nºi, ng y 25 th¡ng 8 n«m 2020
Nguy„n Thà Mÿ H⁄nh

L˝IC MÌN
Líi ƒu ti¶n trong b£n lu“n v«n tæi xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh tîi
PGS. TS. Phan Th nh An ¢ h÷îng d¤n tæi ho n thi»n b£n lu“n v«n n y.
M°c dò r§t b“n rºn vîi cæng vi»c nh÷ng thƒy v¤n luæn d nh nhœng thíi
gian quþ gi¡ cıa m…nh ” h÷îng d¤n v ch¿ b£o tæi t“n t…nh. Trong qu¡
tr…nh l m lu“n v«n b£n th¥n tæi cÆn câ nhi•u thi‚u sât, tuy nhi¶n thƒy
¢ luæn luæn ºng vi¶n v t⁄o i•u ki»n tŁt nh§t ” tæi câ th” ho n thi»n b£n
lu“n v«n cıa m…nh.
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi to n th” c¡c thƒy cæ trong
Vi»n To¡n håc ¢ truy•n ⁄t, chia s· cho tæi nhœng ki‚n thøc bŒ ‰ch.
çng thíi, tæi công xin b y tä sü bi‚t ìn s¥u s›c tîi c¡c thƒy cæ v c¡c anh
chà em cıa Håc vi»n Khoa håc v Cæng ngh» ¢ gióp ï v quan t¥m tæi
trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p.
Tæi công xin ÷æc gßi líi c£m ìn tîi gia …nh, b⁄n b– v anh chà
trong nhâm nghi¶n cøu ¢ luæn cŒ vô, ºng vi¶n, gióp ï tæi trong qu¡
tr…nh tham gia nhâm nghi¶n cøu ” tæi cıng cŁ ÷æc ki‚n thøc v trau dçi
c¡c k¾ n«ng sß döng c¡c phƒn m•m hØ træ cho • t i cıa m…nh.
H Nºi, ng y 25 th¡ng 8 n«m 2020
Nguy„n Thà Mÿ H⁄nh

Möc löc
L˝I CAM OAN 3
L˝IC MÌN 0
DANH MÖC K HI U 3
M— U 4
1 T M ×˝NG I NG N NH T GIÚA HAI I M TRONG
AGI C ÌN 6
1.1 AGIC ÌN........................ 6
1.2 ˙THÀ,C YV CHUTRNH,C Y ÏNG U . . . . 8
1.3 HNH¨NGTAYV HNHPHU............. 11
1.4 THU TTO NT M ×˝NG ING NNH TGIÚAHAI
IMTRONG AGIC ÌN ............... 14
2 TM ×˝NG ING NNH TTR NB M TCÕA
KHÏ A DI N 19
2.1 PHPLT .......................... 19
2.2 THU TTO NDÒNGNGU˙NS NGV BŃG. . . . . 23
3 T M ×˝NG I NG N NH T GIÚA HAI I M TRONG M¸T D Y M T TAM
GI C TRONG KH˘NG GIAN
BA CHI U 31 3.1 ×˝NGTR C ÀATH NGNH TV C CPH UD¯C
THEO D Y M T TAM GI C TRONG KH˘NG GIAN BA
CHIU............................. 31
1

2
3.2 THUTTONTMCHNHXC ×˝NG ING N
NH T GIÚA HAI I M D¯C THEO D Y M T TAM
GIC.............................. 35
3.3 ÙNG DÖNG THU T TO N NFU T M ×˝NG I NG N
NH TTØM¸T I MT˛IT TC C C I MTR N
B MTKH¨I ADIN .................. 43
KTLUN 51
T ILI UTHAMKH O 52

3
DANH MÖC K HI U
[a; b]
E = (e1; : : : ; em)
F = (f1; : : : ; fm+1)
Fpq(s)
G
P = (q1; q2; : : : ; qn)
di
vi
(1)
; vi
(2)
SP (s; vi
(j)
)
Ri
I
ei
P roje
I
i
ei
CF(u; v)
Mºt o⁄n thflng giîi h⁄n bði hai i”m a v b
Mºt d¢y c¡c c⁄nh chung
Mºt d¢y m°t câ m + 1 tam gi¡c li•n k•
Mºt ph„u dåc theo F t÷ìng øng vîi [p; q] câ châp l i”m s
Mºt ç thà væ h÷îng
Mºt a gi¡c ìn câ n ¿nh
Mºt ÷íng ch†o cıa a gi¡c P
Hai i”m ƒu mót cıa ÷íng ch†o di
÷íng i ng›n nh§t tł s tîi i”m cuŁi vi
(j)
Ph„u ÷æc giîi h⁄n bði SP (v; vi
(1)
), SP (v; vi
(2)
) v ÷íng ch†o di
nh cıa cıa i”m nguçn s l¶n c⁄nh ei
H…nh chi‚u cıa Iei l¶n c⁄nh ei
÷íng tr›c àa thflng nh§t tł u tîi v

4
M— U
Hi»n nay, mºt trong nhœng v§n • ang ÷æc c¡c nh khoa håc nghi¶n
cøu trong l¾nh vüc tŁi ÷u, h…nh håc t‰nh to¡n l t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n
nh§t giœa hai i”m tr¶n b• m°t cıa mºt khŁi a di»n, i•u n y r§t câ ‰ch trong
ng nh cæng nghi»p ch‚ t⁄o ræ-bŁt, tŁi ÷u h» thŁng thæng tin àa
lþ v i•u h÷îng (xem [1, 2, 3, 4]). ” gi£i quy‚t b i to¡n nâi tr¶n, nhi•u nh
khoa håc ¢ ÷a ra c¡c ph÷ìng ¡n cho vi»c t…m ÷íng i ng›n nh§t
giœa hai i”m trong mºt d¢y m°t tam gi¡c tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n
(xem [5, 6]).
N«m 1984, Lee v Preparata [7] ¢ giîi thi»u mºt thu“t to¡n ” t…m
÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong mºt a gi¡c ìn vîi º phøc t⁄p thíi gian l
O(n log n) vîi n l sŁ ¿nh cıa a gi¡c ìn. N«m 1986, Sharir and Schorr [8]
¢ tr…nh b y mºt thu“t to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m tr¶n b•
m°t cıa khŁi a di»n lçi vîi n ¿nh cıa mºt khŁi a di»n còng º phøc t⁄p thíi
gian l O(n3
log n). Thu“t to¡n n y công ÷æc c£i ti‚n hìn vîi º phøc t⁄p thíi
gian l O(n2
log n) bði Mount v o n«m 1987 [9]. Vîi b i to¡n t…m c¡c ÷íng
i ng›n nh§t tł mºt i”m cŁ ành tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi a
di»n, khŁi a di»n ð ¥y khæng nh§t thi‚t ph£i lçi, n«m 1990, Chen and
Han cæng bŁ mºt thu“t to¡n vîi º phøc t⁄p thíi gian l O(n2
) [10] vîi n l sŁ
m°t cıa khŁi a di»n ang x†t. Tuy nhi¶n, i”m y‚u cıa thu“t to¡n m Chen v
Han ÷a ra l ph£i l“t c¡c m°t tam gi¡c cıa mºt d¢y m°t tam gi¡c li•n k• v
s›p x‚p chóng l⁄i theo thø tü. N«m 2019, An ¢ sß döng k¾ thu“t l“t
phflng còng vîi þ t÷ðng "Ph„u" dåc theo d¢y m°t tam gi¡c ” t‰nh to¡n
÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m còng vîi º phøc t⁄p thíi gian l O(n2
) vîi n l
sŁ m°t cıa d¢y tam gi¡c ang x†t.

5
Lu“n v«n tr…nh b y l⁄i mºt sŁ thu“t to¡n v• t…m ÷íng i ng›n nh§t
trong mºt a gi¡c ìn, mºt khŁi a di»n v mºt d¢y m°t tam gi¡c trong khæng
gian ba chi•u theo ba ch÷ìng.
Ch÷ìng 1: T…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong a gi¡c ìn. Ch÷ìng
ƒu ti¶n, lu“n v«n tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v• lþ thuy‚t ç thà, giîi
thi»u kh¡i ni»m v• a gi¡c ìn, c¥y Łi ng¤u ” tł â h…nh th nh kh¡i ni»m
v• h…nh Łng tay, h…nh ph„u. B¶n c⁄nh â, lu“n v«n công tr…nh b y
thu“t to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong a gi¡c ìn cıa Lee
v Preparata (hay cÆn gåi l thu“t to¡n "Ph„u") n«m 1984 [7] v ÷a ra
mºt v‰ dö minh ho⁄ cho thu“t to¡n.
Ch÷ìng 2: T…m ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t khŁi a di»n. Trong ch÷ìng
n y, lu“n v«n tr…nh b y l⁄i kh¡i ni»m v• ph†p l“t d¢y m°t tam gi¡c l¶n
còng mºt m°t phflng, ành ngh¾a v• h…nh chi‚u cıa £nh nguçn l¶n
mºt c⁄nh, bâng cıa h…nh chi‚u v thu“t to¡n v• "t…m ÷íng i ng›n nh§t
tł mºt i”m nguçn tîi t§t c£ c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t khŁi a di»n"
b‹ng vi»c sß döng nguçn s¡ng v bâng. Thu“t to¡n n y ÷æc tr…nh b
y trong [10] n«m 1990.
Ch÷ìng 3: T…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong d¢y m°t tam gi¡c
trong khæng gian ba chi•u. — ch÷ìng cuŁi còng, lu“n v«n tr…nh b
y thu“t to¡n T…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong d¢y m°t tam
gi¡c trong khæng gian ba chi•u ÷æc ÷a ra bði An n«m 2019 [5]
b‹ng vi»c sß döng þ t÷ðng ph„u v k¾ thu“t l“t phflng. Lu“n v«n
tr…nh b y l⁄i kh¡i ni»m ÷íng tr›c àa thflng nh§t, kh¡i ni»m ph„u v vi»c
x¡c ành "ph„u" mîi qua ph†p l“t phflng. B¶n c⁄nh â, lu“n v«n chøng
minh ÷æc r‹ng £nh cıa c¡c ph„u sau khi l“t khæng bà – l¶n nhau.
Phƒn cuŁi còng, lu“n v«n s‡ tr…nh b y v• vi»c øng döng thu“t to¡n
t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m dåc theo d¢y m°t tam gi¡c trong
khæng gian ba chi•u ” gi£i b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t
khŁi a di»n .

6
Ch÷ìng 1
TM ×˝NG ING NNH T GIÚA HAI I M
TRONG A GIC ÌN
Trong ch÷ìng n y, lu“n v«n tr…nh b y l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc cì b£n
trong lþ thuy‚t ç thà, c¡c kh¡i ni»m v• a gi¡c ìn, c¥y Łi ng¤u, h…nh Łng
tay v Ph„u trong khæng gian hai chi•u ÷æc tr…nh b y v l n•n t£ng ” x¥y
düng thu“t to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong a gi¡c ìn câ sß
döng k¾ thu“t Ph„u .
1.1 AGI C ÌN
” gi£i quy‚t ÷æc b i to¡n v• t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m s
v t n‹m trong a gi¡c ìn m ÷íng i ng›n nh§t â khæng c›t bi¶n cıa a gi¡c,
chóng tæi s‡ tr…nh b y l⁄i mºt v i ành ngh¾a sau:
H…nh 1.1Mºt ÷íng g§p khóc ìn.

7
ành ngh¾a 1.1.1. [7] Mºt ÷íng g§p khóc ìn l mºt d¢y c¡c i”m qi (i = 1;
2; : : : ; k), ð â t§t c£ c¡c c°p i”m li•n k• nh÷ qi v qi+1 ÷æc nŁi th nh mºt
o⁄n (i = 1; 2; : : : ; k 1) v khæng câ hai o⁄n khæng li¶n ti‚p n o c›t nhau
(xem h…nh 1.1).
Khi chuØi ÷íng g§p khóc ìn l mºt vÆng trÆn kh†p k‰n s‡ x¡c
ành ÷æc mºt a gi¡c.
ành ngh¾a 1.1.2. [7] Mºt a gi¡c ìn câ n ¿nh P = (q1; q2; : : : ; qn) l mºt
chuØi a gi¡c vîi qn+1 = q1, tøc l qn ÷æc nŁi vîi q1. Mºt ÷íng ch†o cıa P l
mºt o⁄n [qi; qj], j 6= i + 1 v khæng c›t b§t k… mºt c⁄nh n o cıa
P . P ÷æc tam gi¡c ph¥n n‚u mi•n trong cıa nâ ÷æc chia ra bði n 2 tam
gi¡c v n 3 ÷íng ch†o.
H…nh 1.2Mºt a gi¡c ìn P = (q1; q2; q3; q4; q5; q6).
H…nh 1.3 a gi¡c ìn P ÷æc tam gi¡c ph¥n bði c¡c ÷íng ch†o [q1; q3]; [q3; q6]; [q6; q4].
Chóng ta th§y tr¶n h…nh 1.3 l mºt a gi¡c ìn 6 ¿nh ¢ ÷æc tam gi¡c
ph¥n th nh 4 tam gi¡c bði 3 ÷íng ch†o.

8
1.2 ˙THÀ,C YV CHUTRNH,C Y ¨ING U
C¡c kh¡i ni»m sau ¥y s‡ l ki‚n thøc cì sð cho b i to¡n v• t…m ÷íng i
ng›n nh§t trong mºt a gi¡c ìn ho°c mºt khŁi a di»n. — ¥y, lu“n v«n ch¿
tr…nh b y c¡c kh¡i ni»m li¶n quan ‚n ç thà væ h÷îng.
H…nh 1.4 Minh ho⁄ mºt ç thà væ h÷îng.
ành ngh¾a 1.2.1. [15] Mºt ç thà væ h÷îng G l mºt c°p câ thø tü G =
(V, E), trong â V l mºt t“p kh¡c rØng gçm c¡c ¿nh, E l mºt t“p gçm c¡c
c⁄nh - mØi c⁄nh câ hai ƒu mót t⁄o bði hai ¿nh cıa ç thà væ h÷îng G.
Khi bi”u di„n mºt ç thà væ h÷îng tr¶n m°t phflng ta bi”u di„n c¡c
¿nh cıa ç thà bði c¡c ÷íng trÆn nhä, c¡c c⁄nh cÆn l⁄i ÷æc bi”u di„n b‹ng
mºt ÷íng cong nŁi c¡c ¿nh cıa c⁄nh. Ta k‰ hi»u mºt c⁄nh e ÷æc giîi h⁄n
bði hai ƒu mót l hai ¿nh a v b l e = [a; b], khi â a v b ÷æc
gåi l hai ¿nh k• nhau, hai c⁄nh câ chung mºt ¿nh ÷æc gåi l hai c⁄nh
k• nhau. Cung d⁄ng [b; b] vîi b 2 V ÷æc gåi l khuy¶n (xem H…nh 1.4).
B“c cıa v l sŁ c¡c ¿nh k• vîi v.
V‰ dö 1.2.1. Cho ç thà G = (V, E) vîi V = fa; b; c; d; eg v E =
f[a; b]; [b; b]; [b; c]; [c; d]; [d; e]; [e; c]g. Khi â G l mºt ç thà væ h÷îng ÷æc
bi”u di„n nh÷ H…nh 1.4.

9
ành ngh¾a 1.2.2. [15] Vîi G = (V, E) l mºt ç thà væ h÷îng, mºt h nh
tr…nh ÷æc ành ngh¾a trong G l mºt d¢y v0e1v1e2 : : : envn sao cho vîi
måi i = 0; 1; 2; : : : ; n, vi 2 V v i = 1; 2; : : : ; n, ei l c⁄nh k• cıa c¡c ¿nh vi 1
v vi. Khi â, n ÷æc gåi l º d i, v0 ÷æc gåi l ¿nh ƒu, vn ÷æc gåi l ¿nh cuŁi.
Ta nâi r‹ng, mºt h nh tr…nh ÷æc gåi l kh†p k‰n n‚u ¿nh ƒu v ¿nh
cuŁi cıa nâ tròng nhau. Mºt h nh tr…nh ÷æc gåi l ÷íng n‚u c¡c ¿nh cıa h
nh tr…nh â •u kh¡c nhau. Mºt h nh tr…nh kh†p k‰n ÷æc gåi
l chu tr…nh n‚u nâ câ º d i ‰t nh§t l 3 v khi xo¡ i mºt ¿nh cuŁi th… trð
th nh ÷íng.
ành ngh¾a 1.2.3. [15] Mºt ç thà G = (V, E) ÷æc gåi l li¶n thæng n‚u
hai ¿nh vi v vj kh¡c nhau b§t k… cıa G tçn t⁄i mºt h nh tr…nh væ h÷îng
trong G vîi ¿nh ƒu l vi v ¿nh cuŁi l vj.
ành ngh¾a 1.2.4. [15] Mºt ç thà væ h÷îng li¶n thæng khæng câ
khuy¶n, khæng câ chu tr…nh ÷æc gåi l c¥y.
H…nh 1.5 Minh ho⁄ mºt c¥y.
Coi mºt a gi¡c ìn P ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n giŁng nh÷ mºt khæng
gian ç thà G m ð â mØi m°t cıa tam gi¡c s‡ t÷ìng øng vîi mºt nót i”m cıa
ç thà v mØi c⁄nh s‡ ÷æc t⁄o th nh bði vi»c nŁi hai nót i”m vîi nhau. Khi
â, ç thà Łi ng¤u s‡ trð th nh mºt c¥y m c¡c ¿nh cıa nâ câ b“c lîn nh§t l
3.

10
ành ngh¾a 1.2.5. [7] C¥y Łi ng¤u cıa mºt a gi¡c ìn P ¢ ÷æc tam gi¡c
ph¥n l mºt ç thà G = (V, E) sao cho mØi nót cıa V t÷ìng øng vîi mºt tam
gi¡c thuºc a gi¡c ìn P v mØi c⁄nh cıa E nŁi hai nót thuºc V cıa hai tam
gi¡c câ chung mºt ÷íng ch†o trong P.
V‰ dö 1.2.2. X†t mºt a gi¡c ìn P = (q1; q2; : : : ; q11) ÷æc tam gi¡c
ph¥n bði c¡c ÷íng ch†o [q2; q3], [q2; q4], [q4; q5],[q5; q6], [q6; q7], [q7;
q8], [q8; q9], [q6; q8]. X¡c ành mºt c¥y Łi ng¤u cıa a gi¡c ìn P .
H…nh 1.6 a gi¡c ìn ÷æc P ÷æc tam gi¡c ph¥n bði c¡c ÷íng ch†o.
H…nh 1.7C¥y Łi ng¤u l ÷íng m u ä cıa a gi¡c ìn P .
K‰ hi»u 4(s) l tam gi¡c chøa i”m s v 4(t) l tam gi¡c chøa i”m t,
÷íng i ng›n nh§t tł i”m s tîi t trong a gi¡c ìn P l .
V… G = (V; E) l mºt c¥y n¶n trong G s‡ tçn t⁄i duy nh§t mºt ÷íng i
nŁi hai ¿nh cıa V t÷ìng øng vîi 4(s) v 4(t) (hai ¿nh n y câ th” khæng
tròng vîi s v t). Hìn nœa, mØi c⁄nh thuºc lƒn l÷æt c›t mØi ÷íng ch†o cıa
P (theo thø tü tł s ‚n t) t⁄i mºt i”m duy nh§t, v mØi ÷íng ch†o cıa P chia
P th nh hai mi•n t÷ìng øng chøa s v t. V… th‚ ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi t
n‹m trong P công s‡ c›t mØi ÷íng ch†o

11
cıa P t⁄i mºt i”m duy nh§t. Hay nâi mºt c¡ch kh¡c, ÷íng i ng›n nh§t giœa
hai i”m s v t công s‡ l mºt ÷íng g§p khóc v bŒ • sau ¥y s‡ l m rª hìn v•
i•u n y.
BŒ • 1.2.1. [7] X†t mºt a gi¡c ìn P câ n ¿nh ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n bði
c¡c ÷íng ch†o, ta k‰ hi»u l di (trong â i = 1; : : : ; n 3). Cho S l t“p hæp
t§t c£ c¡c i”m ƒu mót cıa c¡c ÷íng ch†o di (i = 1; : : : ; n 3) v ÷íng i ng›n
nh§t, khi â t§t c£ c¡c ¿nh cıa ÷íng i ng›n nh§t giœa s v t s‡ n‹m trong
t“p S [ fs; tg.
Do S l t“p hæp c¡c i”m ƒu v i”m cuŁi cıa c¡c ÷íng ch†o n¶n ð ¥y S
ch‰nh l t“p hæp t§t c£ c¡c ¿nh cıa a gi¡c ìn P . V“y ” t…m ÷íng i ng›n
nh§t giœa hai i”m s v t chóng ta s‡ cƒn ph£i t…m ÷íng i ng›n nh§t tł s
tîi t§t c£ c¡c i”m ƒu mót cıa c¡c ÷íng ch†o cıa P
v i”m cuŁi còng l i”m t. Hæp t§t c£ c¡c ÷íng i ng›n nh§t n y s‡ t⁄o th
nh mºt c¥y G vîi gŁc l i”m s.
1.3 HNH¨NGTAYV HNH PH U
” t…m c¡c ¿nh cıa c¥y G = (V; E) khæng cƒn ph£i i x†t h‚t t§t c£
c¡c ¿nh cıa a gi¡c ìn P m ch¿ cƒn t…m ra mºt mi•n thuºc a gi¡c ìn P
công chøa ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m s v t. ” x¡c ành ÷æc h…nh Łng
tay hay mi•n a gi¡c P cƒn x¡c ành ÷æc mi•n chøa ÷íng ng›n nh§t tł s tîi
t.
ành ngh¾a 1.3.1. [7] Mºt a gi¡c ìn P ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n ÷æc gåi l
h…nh Łng tay n‚u c¥y Łi ng¤u cıa a gi¡c ìn P â l mºt ÷íng g§p khóc ìn.
Chuy”n b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m cıa mºt a gi¡c
ìn th nh b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m cıa mºt h…nh Łng
tay, vi»c t…m h…nh Łng tay gióp gi£m bît vi»c x†t c¡c ¿nh thuºc a gi¡c
ìn P m ÷íng ng›n nh§t tł s tîi t khæng i qua, nh÷ng ” gi£i quy‚t b i to¡n
t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong a gi¡c ìn th… Lee v Preparata
¢ ÷a ra kh¡i ni»m v• ph„u . X†t mºt h…nh Łng tay

12
H…nh 1.8 H…nh Łng tay P 0
l mi•n ÷æc tæ m u n¥u.
P câ n ¿nh, s l i”m thuºc h…nh Łng tay P , di l c¡c ÷íng ch†o cıa P
(1 n n 3). Chóng ta s‡ k‰ hi»u:
ˆvi
(1)
v vi (2) l hai i”m ƒu mót cıa ÷íng ch†o di (vîi 1 i n 3).
SP (s; vi
(j)
) l ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi i”m cuŁi vi
(j)
vîi (j = 1; 2)
n‹m trong a gi¡c ìn P . Theo BŒ • 1.2.1 th… t“p t§t c£ c¡c ¿nh m
÷íng SP (s; vi
(j)
) i qua vîi (j = 1; 2) •u l c¡c ¿nh thuºc a gi¡c
ˆ ìn P .
Gåi v l i”m chung cıa SP (s; vi
(1)
) v SP (s; vi
(2)
) sao cho v l ¿nh
ˆ xa nh§t t‰nh tł s.
SPi = SP (s; vi
(1)
) [ SP (s; vi
(2)
).
H…nh 1.9 H…nh £nh minh ho⁄ cho h…nh ph„u Ri vîi châp ph„u l v v c⁄nh chung di.

13
ành ngh¾a 1.3.2. [7] Mºt mi•n Ri ÷æc giîi h⁄n bði SP (v; vi
(1)
), SP (v;
vi
(2)
) v ÷íng ch†o di vîi (1 i n 3) s‡ ÷æc gåi l ph„u , v ÷æc gåi l châp cıa
ph„u.
Gi£ sß c¡c ÷íng g§p khóc con • c“p sau kh¡c rØng, khi â SP (v; vi
(j)
)
vîi j = 1; 2 s‡ l mºt ÷íng g§p khóc lçi h÷îng v o trong. Khi â, chóng ta câ
m»nh • sau.
M»nh • 1.1. [7] N‚u SP (v; vi
(j)
) l c¡c ÷íng g§p khóc lçi h÷îng v o trong
th… công câ ngh¾a l m°t lçi cıa nâ h÷îng v o mi•n trong cıa P .
Chøng minh. B‹ng ph÷ìng ph¡p quy n⁄p, chóng ta s‡ ch¿ ra ÷æc ph„u
Ri n‹m ho n to n trong a gi¡c ìn P .
X†t c¡c ÷íng ch†o ds; ds+1; : : : ; di 1 bà c›t bði c¡c ÷íng g§p khóc
SP (v; vi
(1)
) v SP (v; vi
(2)
). Rª r ng, 4vvs
(1)
vs
(2)
= Rs n‹m ho n to n trong
a gi¡c ìn P .
Gi£ sß r‹ng Ri 1 P , khi â mi•n Ri mîi ÷æc t⁄o th nh tł mi•n Ri 1
hæp th¶m vîi mºt phƒn ho°c to n bº mºt tam gi¡c (tam gi¡c chøa c⁄nh di)
n‹m trong a gi¡c ìn P . Tł â, chóng ta công suy ra ÷æc
Ri P .
Trong tr÷íng hæp SP (v; vi
(j)
) khæng l ÷íng g§p khóc lçi trong
th… theo b§t flng thøc tam gi¡c (tŒng cıa hai c⁄nh bao gií công lîn hìn
c⁄nh cÆn l⁄i), ta luæn t…m ÷æc mºt ÷íng i ng›n nh§t tł v tîi vi v ÷íng
ng›n nh§t â luæn n‹m trong a gi¡c ìn P . i•u n y tr¡i vîi gi£ thi‚t ban ƒu
khi SP (v; vi
(j)
) l ÷íng ng›n nh§t tł v tîi vi (xem H…nh 1.10).
T‰nh ch§t lçi n y công ch¿ ra r‹ng SP (v; vi
(1)
) v SP (v; vi
(2)
) bà
chia nh¡nh nhi•u nh§t ch¿ t⁄i mºt ¿nh v, n‚u chóng bà chia nh¡nh ð mºt
¿nh u1 n o â th… nâ s‡ l⁄i g°p nhau t⁄i mºt ¿nh u2 n o â, v hai ÷íng g§p
khóc t¡ch ríi tł u1 tîi u2 n y ph£i l ÷íng g§p khóc lçi trong. Khi â, SPi =
SP (v; vi
(1)
) [ SP (v; vi
(2)
), v v ÷æc gåi l ¿nh cıa hai ÷íng g§p khóc lçi
h÷îng trong.
— ¥y, mºt trong hai ÷íng g§p khóc câ th” l rØng (nh÷ng khæng th”
hai ÷íng g§p khóc â còng rØng, v… vi
(1)
6= vi
(2)
). N‚u SP (v; vi
(1)
) rØng
th… rª r ng SP (v; vi
(2)
) = di v ng÷æc l⁄i. Trong tr÷íng hæp n y, ph„u Ri
suy bi‚n khæng câ mi•n trong v SPi trð th nh mºt ÷íng g§p khóc ìn.

14
H…nh 1.10H…nh £nh minh ho⁄ cho t‰nh lçi trong cıa SP (s; vi
(j)
).
” l m rª ÷æc þ ngh¾a cıa t‰nh lçi trong, v mºt trong hai ÷íng
g§p khóc câ th” rØng, chóng ta s‡ còng t…m hi”u k¾ hìn v• thu“t to¡n
t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong mºt a gi¡c ìn cıa Lee v
Preparata trong phƒn d÷îi ¥y.
1.4 THU TTO NTM ×˝NG ING NNH TGIÚA HAI I M TRONG A GI
C ÌN
Xu§t ph¡t tł mºt ¿nh nguçn s thu“t to¡n sau ¥y x¥y düng c¡c ÷íng
SPi = SP (v; vi
(1)
) [ SP (v; vi
(2)
) chøa ÷íng bi¶n cıa ph„u Ri cho tîi khi tîi
i”m ‰ch (tøc l vi
(2)
t), chóng ta còng i x†t b i to¡n sau:
B i to¡n: X†t mºt h…nh Łng tay P v hai i”m cho tr÷îc s v t thuºc
h…nh Łng tay P â. T…m ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi t n‹m trong P .
H…nh 1.11 H…nh £nh minh ho⁄ cho b÷îc tŒng qu¡t; h…nh a) uj 2 uaua 1 : : : u0; h…nh b) uj 2
uaua+1 : : : ub.

15
Algorithm 1 Thu“t to¡n Lee v Preparata
1: B÷îc khði t⁄o: X¥y düng SP1 b‹ng c¡ch nŁi s vîi v1
(1)
v v1
(2)
.
2: B÷îc tŒng qu¡t: (X¥y düng SPi+1 tł SPi)
X†t v l ¿nh cıa SPi = SP (v; vi
(1)
) [ SP (v; vi
(2)
)
SPi ÷æc chia l m hai nh¡nh t⁄i v
Chóng ta k‰ hi»u hai nh¡nh â l uaua+1 : : : ub v uaua 1 : : : u0
— â v = ua; vi
(1)
= ub; vi
(2)
= u0 B›t
ƒu duy»t tł i”m u0; u1; : : : ; ub(2)
j l ch¿ sŁ nhä nh§t sao cho vi+1uj l ÷íng ti‚p tuy‚n cıa bi¶n Ri.
Tr÷íng hæp 1 : j a (xem H…nh 1.11 a))
Xo¡ h‚t c¡c c⁄nh ulul+1 vîi 0 l j 1.
ˆ Th¶m c⁄nh ujvi
(2)
+1.
Tr÷íng hæp 2 : j > a (xem H…nh 1.11 b))
Xo¡ h‚t c¡c c⁄nh ujul+1 vîi 0 l j 1.
Th¶m c⁄nh ujvi
(2)
+1.
Mi•n Ri+1 s‡ nh“n uj l ¿nh mîi.
3: B÷îc k‚t thóc: Sau khi x¥y düng ÷æc SPn 3, ÷íng ch†o dn 2 chia P th nh hai mi•n, v mºt trong
hai mi•n n y s‡ chøa i”m ‰ch t.
- G¡n vn
(2)
2 = t.
- p döng b÷îc tŒng qu¡t cho tłng tr÷íng hæp vîi i = n 3 v SPn 2 = SP (s; vn
(1)
2)[SP (s; t).
- SP (s; t) SPn 2.
V‰ dö 1.4.1. X†t mºt a gi¡c ìn P vîi 13 ¿nh, mºt i”m nguçn s v i”m ‰ch
t (xem H…nh 1.12). T…m ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi t b‹ng c¡ch sß döng
thu“t to¡n Lee v Preparata.
H…nh 1.12 a gi¡c ìn P = (q1; q2; : : : ; q13) câ i”m nguçn l s v i”m tîi l t.

16
H…nh 1.13 a gi¡c ìn P ÷æc tam gi¡c ph¥n bði c¡c ÷íng ch†o n†t øt.
H…nh 1.14C¥y Łi ng¤u cıa a gi¡c ìn P l ÷íng m u ä.
H…nh 1.15Mi•n P 0
m u xanh l¡ l h…nh Łng tay chøa ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi t.
H…nh 1.16 Ph„u thø nh§t giîi h⁄n bði SP (s; q11), SP (s; q13) v ÷íng ch†o [q11; q13] câ châp l s.

17
H…nh 1.17Ph„u thø hai giîi h⁄n bði SP (s; q11), SP (s; q3) v ÷íng ch†o [q3; q11] câ châp l s.
H…nh 1.18Ph„u thø ba giîi h⁄n bði SP (s; q11), SP (s; q4) v ÷íng ch†o [q4; q11] câ châp l s.
H…nh 1.19 Ph„u thø t÷ giîi h⁄n bði SP (s; q10), SP (s; q4) v ÷íng ch†o [q4; q10] câ châp l s.

18
H…nh 1.20Ph„u thø n«m giîi h⁄n bði SP (s; q4), SP (s; q9) v ÷íng ch†o [q4; q9] câ châp l s.
H…nh 1.21Ph„u thø s¡u giîi h⁄n bði SP (s; q5), SP (s; q9) v ÷íng ch†o [q5; q9] câ châp l s.
H…nh 1.22Ph„u thø b£y bà suy bi‚n, mi•n trong b‹ng rØng, SP (s; q9) l ÷íng m u hçng.
H…nh 1.23SP (s; t) = SP (s; q9) [ SP (q9; t) l ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi t.

19
Ch÷ìng 2
TM ×˝NG ING NNH T TR NB M
TCÕAKH¨I A
DI N
Trong ch÷ìng n y, lu“n v«n tr…nh b y thı töc l“t phflng mºt d¢y m°t
tam gi¡c theo c¡c c⁄nh chung v vi»c x¡c ành ÷íng i ng›n nh§t tł mºt i”m
nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa mºt khŁi a di»n
m c¡c m°t ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n trong khæng gian ba chi•u b‹ng c¡ch
sß döng mºt thu“t to¡n nguçn s¡ng v bâng [10]. B¶n c⁄nh â, lu“n v«n
công tr…nh b y mºt v‰ dö minh ho⁄ cho thu“t to¡n.
2.1 PH PL T
X†t P l mºt m°t a di»n vîi c¡c m°t ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n trong
khæng gian ba chi•u, vîi s l mºt ¿nh cıa khŁi a di»n P cƒn t…m ra mºt
÷íng ng›n nh§t tł i”m nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t khŁi a di»n
P . Lu“n v«n s‡ tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m v• d¢y m°t, d¢y c⁄nh m
Mitchell ÷a ra n«m 1987 [9].
F = (f1; f2; : : : ; fm+1) v E = (e1; e2; ; em) lƒn l÷æt l mºt d¢y c¡c
m°t v mºt d¢y c¡c c⁄nh, fi fi+1 = ei, f1 l tam tam gi¡c chøa ¿nh nguçn s.
Ngo⁄i trł c¡c tr÷íng hæp cö th” kh¡c, c¡c d¢y m°t tam gi¡c ÷æc • c“p ‚n sau
¥y •u d¢y m°t m c¡c tam gi¡c kh¡c nhau tłng æi mºt.
K¾ thu“t ph†p l“t phflng (planar unfolding) l ph÷ìng ph¡p ÷æc sß
döng ” t…m ÷íng i ng›n nh§t. Ta thüc hi»n l“t phflng c¡c m°t f1; f2; : : : ;
fm lƒn l÷æt theo e1; e2; : : : ; em l¶n m°t phflng chøa m°t fm+1.

20
H…nh 2.1Mºt d¢y c¡c m°t tam gi¡c (f1; f2; : : : ; fm+1) lƒn l÷æt li•n k• theo c¡c c⁄nh (e1; e2; ; em).
Thı töc cıa ph†p l“t d¢y m°t F ÷æc mæ t£ nh÷ sau [10]:
Thı töc l“t phflng
1: F = ff1g.
2: For i:=1 to m do
Quay F quanh ei cho tîi khi F v fi+1 còng n‹m tr¶n mºt m°t phflng v kh¡c ph‰a vîi m°t fi+1
so vîi c⁄nh ei;
F := F [ fei; fi+1g.
3: End
Quy tr…nh n y dłng l⁄i khi c¡c m°t f1; f2; : : : ; fm còng n‹m tr¶n m°t phflng chøa m°t fm+1.
×u i”m cıa ph†p l“t khi sß döng ” gi£i b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t
l gióp chóng ta ÷a b i to¡n tł khæng gian ba chi•u v• b i to¡n trong
khæng gian hai chi•u m khæng m§t i º ch‰nh x¡c v• kho£ng c¡ch giœa
hai i”m tr¶n mºt m°t v º lîn c¡c gâc trong còng mºt m°t phflng.
BŒ • 2.1.1. Vîi mºt d¢y m°t F = (f1; f2; ; fm+1) v d¢y c⁄nh chung
E = (e1; e2; ; em) khi thüc hi»n ph†p l“t phflng c¡c m°t f1; f2; : : : ; fm l¶n
m°t phflng chøa m°t phflng fm+1 th… º lîn cıa c¡c gâc trong mºt m°t
tam gi¡c fi v kho£ng c¡ch hai i”m p v q (vîi p; q 2 fi, 1 i m + 1) ÷æc b£o
to n.
V‰ dö 2.1.1. X†t d¢y m°t tam gi¡c F = f4v0v1v2 ; 4v1v2v3 ; 4v1v3v4 g v d¢y
c⁄nh E = f[v1; v2]; [v1; v3]g nh÷ h…nh 2.2, c¡c ¿nh v0(0; 0; 3), v1(0; 0; 0),
v2(0; 3; 0), v3(3; 0; 0), v4(0; 0; 3). Thüc hi»n l“t m°t phflng m°t 4v0v1v2
v 4v1v2v3 l¶n m°t phflng chøa 4v1v3v4 lƒn l÷æt theo d¢y c⁄nh f[v1; v2]; [v1; v3]g.

21
H…nh 2.2 Minh ho⁄ d¢y m°t tam gi¡c f4v0v1v2 ; 4v1v2v3 ; 4v1v3v4 g.
ˆ Ta thüc hi»n theo óng quy tr…nh ph†p l“t phflng d¢y m°t tam gi¡c:
B÷îc 1: Ta chån F := f4v0v1v2g, quay F quanh c⁄nh [v1; v2] tîi khi
m°t 4v0v1v2 v m°t 4v1v2v3 còng n‹m tr¶n mºt m°t phflng v hai m°t
phflng n y n‹m kh¡c ph‰a so vîi c⁄nh v1v2. Khi â, F :=
F [ f[v1; v2]; 4v1v2v3g.
Nh“n th§y r‹ng hai m°t 4v0v1v2 ; 4v1v2v3 t⁄o vîi nhau mºt gâc = 90o
,
khi thüc hi»n quay m°t chøa F l¶n m°t phflng chøa 4v1v2v3 b‹ng ma
tr“n quay [14] ta câ th” t‰nh ÷æc to⁄ º cıa I[v1;v2](x0
; y0
; z0
) - l £nh
cıa cıa v0 sau khi l“t øng vîi c⁄nh [v1; v2], x0
; y0
; z0
lƒn l÷æt l to⁄ º
cıa I[v1;v2] theo c¡c tröc Ox, Oy, Oz.
Ta câ
0
y00
1
=
0
0 1 0 01 0 01 :
x cos 0 sin 0 0
B
10
C B
0 0 0 1C B 1C
@
z
A @
sin 0 cos 1 3
A @ A

22
H…nh 2.3Minh ho⁄ ph†p l“t m°t phflng 4v0v1v2 l¶n m°t phflng chøa 4v1v2v3 qua c⁄nh [v1; v2].
M°t kh¡c khi l“t chóng ta cƒn m°t chøa 4v3v0v1 n‹m ð m°t cÆn l⁄i
cıa c⁄nh v1v2 n¶n = (180o
).
0 x0
1 = 0 0 1 0 0 1 :
y0 01 0 0 01 0 3
0 1 0 0 0 C
B
10
C B
0 0 0 1C B 1
@
z
A @ A @ A
ˆ V“y to⁄ º cıa I[v1v2] l ( 3; 0; 0).
B÷îc 2: Vîi F := F [ f[v1; v2]; 4v1v2v3g, quay F quanh c⁄nh [v2; v3] tîi
khi F v m°t 4v2v3v4 còng n‹m tr¶n mºt m°t phflng, F v m°t 4v2v3v4
n‹m ð hai b¶n cıa c⁄nh [v2; v3]. Khi â, F := F [
f[v2; v3]; 4v2v3v4g.
Nh“n th§y r‹ng F v 4v2v3v4 t⁄o vîi nhau mºt gâc = 90o
, khi thüc hi»n
quay F l¶n m°t phflng chøa 4v1v2v3 ta câ th” t‰nh ÷æc to⁄ º cıa
I[v2;v3](x00
; y00
; z00
) - l £nh cıa cıa I[v1;v2] sau khi l“t, x00
; y00
; z00
lƒn l÷æt l to⁄ º cıa I[v2;v3] theo c¡c tröc Ox, Oy, Oz.

23
H…nh 2.4 Minh ho⁄ d¢y m°t tam gi¡c f4v0v1v2
; 4v1v2v3 ; 4v1v3v4 g.
Ta câ
0
x00
1 0
1 0 0 0 3
1
y00 = 0 cos sin 01 0 0 :
B z100C
B 0 0 0 1C B 1 C
@ A @
0 sin cos 0 0
A
A @
— ¥y, = 90o
.
0 x00 1 = 0 1 0
y00 0 1
B z1
00 C B 0 0
0 0
@ A @
V“y to⁄ º cıa I[v2;v3] l ( 3; 0; 0).
1 0 1
0 0 3
1 0CB 0 C:
0 0
A@
0
A
0 1 1
2.2 THU T TO N DÒNG NGU˙N S NG V B´NG
Thu“t to¡n dòng nguçn s¡ng v bâng l mºt thu“t to¡n x¡c ành ÷íng i
ng›n nh§t tł mºt i”m nguçn tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n.
Thu“t to¡n sß döng k¾ thu“t l“t phflng, l“t t§t c£ c¡c m°t f1; f2; : : : , fm
l¶n m°t phflng chøa m°t fm+1 lƒn l÷æt theo c¡c c⁄nh
chung ei. K‰ hi»u fi l £nh cıa fi vîi 1 i m, Iei l £nh cıa cıa i”m nguçn s
l¶n c⁄nh ei vîi 1 i m.

24
ành ngh¾a 2.2.1. [10] H…nh chi‚u cıa Iei l¶n c⁄nh ei l mºt o⁄n thflng
n‹m tr¶n c⁄nh e v ÷æc k‰ hi»u l P roj
Iei
sao cho ÷íng ng›n nh§t tł
i ei
i”m nguçn s tîi i”m t vîi t 2 P roje
I
i
ei
i qua d¢y c¡c c⁄nh e1; e2; : : : ; ei 1
÷æc l“t th nh mºt o⁄n thflng (hay ch‰nh l ÷íng tr›c àa). i•u n y câ
ngh¾a l vîi b§t k… t 2 P roje
I
i
ei
câ th” nŁi Iei v t vîi nhau b‹ng mºt o⁄n
thflng ch¿ i qua d¢y c¡c c⁄nh ; ;:::; (xem H…nh 2.5).
e1 e1 ei 1
H…nh 2.5H…nh chi‚u cıa Iei l¶n c⁄nh ei.
T‰nh ch§t sau v•÷íng i ng›n nh§t [10]:
1. Mºt ÷íng ng›n nh§t i qua mºt m°t khæng qu¡ mºt lƒn.
2. Hai ÷íng ng›n nh§t khæng th” c›t nhau ngo⁄i trł t⁄i hai i”m: i”m nguçn
v i”m tîi.
ành ngh¾a 2.2.2. [10] Nguçn s¡ng øng vîi c⁄nh ei l
÷íng i ng›n nh§t tł £nh i”m nguçn s l Iei tîi t vîi
t“p hæp t§t c£
c¡c t 2 P roje
I
i
ei
.
ành ngh¾a 2.2.3. [10] Bâng cıa h…nh chi‚u P roje
I
i
ei
1 1 tr¶n m°t fi l mi•n
giîi h⁄n bði c¡c ÷íng i ng›n nh§t tł £nh nguçn Iei tîi c⁄nh ei v c¡c
h…nh chi‚u cıa £nh nguçn Iei l¶n c¡c c⁄nh cıa m°t fi chøa nguçn s¡ng
t÷ìng øng vîi c⁄nh ei (xem H…nh 2.6).

25
H…nh 2.6Bâng cıa h…nh chi‚u P roje
I
i
ei
1
1 tr¶n m°t fi.
H…nh 2.7Ph¥n t‰ch c⁄nh chung e v• hai ph‰a.
Ph¥n t‰ch mºt c⁄nh chung th nh hai c⁄nh ÷æc ành h÷îng sao cho
£nh nguçn ch¿ câ th” n‹m ph‰a b¶n tr¡i cıa c⁄nh ành h÷îng (xem
H…nh 2.7). M°t n‹m kh¡c ph‰a vîi c⁄nh ành h÷îng ÷æc gåi l m°t bâng
cıa c⁄nh ành h÷îng â, tł â ta th§y ÷æc mºt m°t câ th” l m°t bâng cıa ba
c⁄nh cıa nâ hay mºt m°t câ th” câ ba c⁄nh ành h÷îng.

26
Thu“t to¡n sau ¥y x¥y düng mºt c¥y ÷æc gåi l c¥y tuƒn tü,
mºt nót trong c¥y tuƒn tü n y s‡ l mºt bº ba v ÷æc k‰ hi»u l n = (e; I; P
roje
I
e ) vîi Ie l £nh nguçn cıa e. Ta nâi nót n n‹m tr¶n c⁄nh e, e l c⁄nh cıa n
v bâng cıa n l bâng cıa P roje
I
e .
Xu§t ph¡t tł mºt i”m nguçn s, t…m t§t c£ c¡c ÷íng i ng›n nh§t tł i”m
nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i cıa khŁi a di»n P , chóng tæi °t ra b i to¡n:
B i to¡n: X†t mºt khŁi a di»n P m c¡c m°t cıa khŁi a di»n ¢
÷æc tam gi¡c ph¥n th nh m m°t (xem ành ngh¾a 1.1.2), 4vpq l mºt
m°t cıa khŁi a di»n P . T…m ÷íng i ng›n nh§t tł mºt ¿nh nguçn s tîi c¡c
¿nh cÆn l⁄i cıa khŁi a di»n â.
Algorithm 2 (Thu“t to¡n Thì ng¥y)
1: root:= s;
For t§t c£ c¡c c⁄nh e Łi di»n vîi i”m nguçn s do
th¶m nót (e; s; e) l con cıa gŁc s:
/*e l c⁄nh cıa m°t câ i”m nguçn s*/
/*s l mºt ¿nh cıa mºt m°t tam gi¡c thuºc khŁi a di»n.*/
2: For i:= 1 to m do
/*m l sŁ c¡c m°t cıa khŁi a di»n sau khi c¡c m°t ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n .*/ For t§t
c£ c¡c l¡ (e; I; P roje
I
) t⁄i møc ith do
Begin
l“t I quanh c⁄nh e nh“n ÷æc I: /* I
còng m°t phflng vîi 4vpq,*/ /* m°t
bâng cıa c⁄nh e.*/
For e0
:= [v; p]; [q;
v] t‰nh P roje
I
0;
If P roje
I
0 kh¡c rØng then
th¶m (e0; I; P rojI ) l con cıa (e; I; P rojI ).
e0 e
V‰ dö 2.2.1. X†t mºt khŁi a di»n m c¡c m°t ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n th nh
6 m°t (xem H…nh 2.8) v c¡c ¿nh s(0; 0; 3), v1(0; 0; 0), v2(3; 0; 0), v3(0;
3; 0), v4(1:5; 1:5; 3). T…m ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh nguçn S tîi c¡c ¿nh
cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n b‹ng c¡ch sß döng thu“t to¡n 2.
Trong v‰ dö n y ta câ th” ch¿ ra ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t
khŁi a di»n tł ¿nh S lƒn l÷æt tîi c¡c ¿nh v1 b‹ng 3, ÷íng i ng›n nh§t tł s
tîi v2, v3 •u b‹ng 4:24, ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t khŁi a di»n tł s tîi v4
b‹ng 6:18.

27
ˆ H…nh 2.8 Minh ho⁄ khŁi a di»n trong khæng gian ba chi•u trong V‰ dö 2.2.
B÷îc 1: Ta g¡n: root:= s;
C¡c c⁄nh: [v1; v2], [v1; v3], [v2; v3] l c¡c c⁄nh Łi di»n vîi gŁc s.
Khi â: ([v1; v2]; s; [v1; v2]), ([v1; v3]; s; [v1; v3]), ([v2; v3]; s; [v2; v3]) l
ˆ con cıa gŁc s.
B÷îc 2: Do khŁi a di»n n y sau khi c¡c m°t ÷æc tam gi¡c ph¥n s‡ câ
t§t c£ 6 m°t n¶n c¥y chóng tæi x¥y düng s‡ câ 6 møc.
Møc 1: Łi vîi ([v1; v2]; s; [v1; v2]), ([v1; v3]; s; [v1; v3]), ([v2; v3]; s; [v2;
v3]) l l¡ ta thüc hi»n l“t s lƒn l÷æt quanh c¡c c⁄nh [v1; v2], [v1; v3], [v2;
v3] l¶n m°t phflng chøa c¡c m°t 4v1v2v3, 4v3v4v6, 4v4v5v6, 4sv1v5 v
£nh cıa s t÷ìng øng tr¶n mØi m°t phflng l“t l I[v1;v2], I[v1;v3], I[v2;v3].
Łi vîi 4sv1v3 v 4v1v3v4 sau khi çng phflng, ta g¡n e0
:=
I
[v1;v4]
[v1; v4]; [v3; v4] v thüc hi»n t‰nh h…nh chi‚u P roj[v1;v4] cıa £nh
nguçn I[v1;v4] l¶n c⁄nh [v1 ; v4
I
[v ;v ] cıa £nh nguçn I[v3;v4]
] v P roj [v3;v4 ]
3 4
l¶n c⁄nh [v3; v4].

28
Th¶m [v1 ; v4
]; I
[v1;v4 ]
; P roj
[v1;v4] v [v3
; v
4
]; I
[v3;v4 ]
; P roj
[v3;v4]
I
[v1;v4]
I
[v3;v4]
l con cıa ([v1; v3]; s; [v1; v3]). Nguçn s¡ng tł i”m nguçn s tîi ¿nh
v4 ÷æc t‰nh b‹ng 6:18 v c›t c⁄nh [v1; v3] t⁄i i”m câ to⁄ º
l (0; 0:74; 0)
:=
I[v1;v4]
[v1; v4]; [v2; v4] v thüc hi»n t‰nh h…nh chi‚u P roj[v1;v4] cıa £nh
nguçn I[v1;v4] l¶n c⁄nh [v1; v4] v I
[v ;v ] cıa £nh nguçn I[v2;v4]
P roj[v 2;v 4]
2 4
l¶n c⁄nh [v2; v4].
;v4] v [v2; v4]; I[v2;v4]; P roj[v2;v4]
Th¶m [v1; v4
]; I
[v1;v4]; P roj
[v1
I
[v1;v4]
I
[v2;v4]
l con cıa ([v1; v2]; S; [v1; v2]). Nguçn s¡ng tł i”m nguçn s tîi ¿nh
l (0:74; 0; 0)
:=
[v2; v4]; [v3; v4]
I
[v2;v4]
v thüc hi»n t‰nh h…nh chi‚u P roj[v2;v4] cıa £nh
nguçn I[v2;v4] l¶n c⁄nh [v2; v4] v I[v ;v ] cıa £nh nguçn I[v3;v4]
P roj[v 3;v 4]
3 4
l¶n c⁄nh [v3; v4].
;v4] v [v3; v4]; I[v3;v4]; P roj[v3;v4]
Th¶m [v2; v4
]; I
[v2;v4]; P roj
[v2
I
[v2;v4]
I
[v3;v4]
l con cıa ([v2; v3]; S; [v2; v3]). Nguçn s¡ng tł i”m nguçn s tîi ¿nh
l (1:5; 1:5; 0)
Møc 2:
[v1; v4]; I[v1;v4 ]
; P roj
[v1;v4]
Łi vîi l¡ ð møc 1 ta l⁄i ti‚p töc thüc
I
[v ;v ]
1 4
hi»n vi»c l“t I[v1;v4] quanh c⁄nh [v1; v4] ho°c [v3; v4] ” ÷æc £nh
nguçn mîi t÷ìng øng l
I
[v1;v4]
v I
[v3;v4]
.
3 4
]
[v3;v4 ] [v3;v4]
[ 1 2 ] [v1;v2] [v
1
;v
2
]
I[v1;v4] [
Th¶m v ; v ; I ; P roj
I[v
1
;v
2
]
v v; v ; I ; P roj
I[v
3
;v
4
]
l con cıa [v1; v4]; I[v1;v4]; P roj[v1;v4] . Tł ¥y ta s‡ t‰nh ÷æc
÷íng i ng›n nh§t tł £nh nguçn I[v1;v4] tîi ¿nh v2 v b‹ng 6 v
i qua d¢y c⁄nh [v1; v3], [v1; v2].
ta l⁄i ti‚p töc thüc hi»n vi»c
Łi vîi l¡ [v3; v4]; I[v3;v4]; P roj[v3 ;v4]
I
[v ;v]
3 4
l“t I
[v3;v4] quanh c⁄nh [v2; v3] ho°c [v2; v4] ” ÷æc £nh nguçn mîi

29
t÷ìng øng l
I
[v2;v3]
v I
[v2;v4]
.
[ 2 4
]
[v2;v4 ] [v2;v4]
[ 2 3
]
[v2;v3] [v
2
;v
3
]
I[v1;v4]
Th¶m v; v ; I ; P roj
I[v
2
;v
3
]
v v; v ; I ; P roj
I[v
2
;v
4
]
i qua d¢y c⁄nh [v1; v3], [v3; v4]
] ð møc 1 ta l⁄i ti‚p töc thüc
Łi vîi l¡ [v1
; v4
]; I[v1;v4]
; P roj
[v1;v4 I
[v ;v ]
1 4
I
[v1;v3]
v I
[v3;v4]
.
]
; P roj
[v3;v4]
[ 1 3 ] [v1;v3] [v
1
;v
3
]
I[v1;v4] [v3; v4]; I[v3;v4
Th¶m v; v ; I ; P rojI[v
1
;v
3
]
v I
[v3;v4]
i qua d¢y c⁄nh [v1; v2], [v1; v4].
Łi vîi l¡ [v1; v4]; I[v1;v4 ]
; P roj
[v1;v4 I
[v ;v ]
1 4
I
[v1;v3]
v I
[v3;v4]
.
3 4
]
[v3;v4 ] [v3;v4]
Th¶m [v1
; v3]; I[v1;v3]; P roj[v
1;v
3]
I[v1;v4] [
I
[v1;v3] v v; v ; I ; P rojI[v
3
;v
4
]
i qua d¢y c⁄nh [v1; v2], [v1; v4].
Łi vîi l¡ [v2; v4]; I[v2;v4 ]
; P roj
[v2;v4 I
[v ;v ]
2 4
I
[v2;v1]
v I
[v4;v1]
.
4 1
]
[v4;v1 ] [v4;v1]
Th¶m [v2
; v1]; I[v2;v1]; P roj[v
2
;v
1
]
I[v2;v4] [
I
[v2;v1] v v; v ; I ; P rojI[v
4
;v
1
]
÷íng i ng›n nh§t tł £nh nguçn I[v1;v4] tîi ¿nh v3 v b‹ng 7:88
v i qua d¢y c⁄nh [v2; v3], [v2; v4].
Łi vîi l¡ [v3; v4]; I[v3;v4 ]
; P roj
[v3;v4 I
[v ;v ]
3 4
nguçn mîi t÷ìng øng l I[v3;v1] v
I
[v4;v1]
. ; v
1
]; I
[v4;v1 ]
; P roj
[v4;v1]
Th¶m [v3 ; v1
]; I
[v3;v1 ]; P roj
[v3;v1] v [v4
I
[v3;v1]
I
[v4;v1]

30
l con cıa [v2 ; v4
]; I
[v2 ;v4 ]
; P roj
[v2;v4 ] . Tł ¥y ta s‡ t‰nh ÷æc
I
[v ;v ]
2 4
÷íng i ng›n nh§t tł £nh nguçn I[v1;v4] tîi ¿nh v3 v b‹ng 7:88 v i
qua d¢y c⁄nh [v2; v3], [v3; v4].
T÷ìng tü thüc hi»n tłng b÷îc th¶m l¡ v t‰nh c¡c h…nh chi‚u cıa £nh
nguçn tr¶n c⁄nh t÷ìng øng ð c¡c møc ti‚p theo ta thu ÷æc k‚t qu£ l
÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa
khŁi a di»n.
H…nh 2.9 ÷íng i ng›n nh§t l c¡c ÷íng m u ä tł ¿nh nguçn s tîi c¡c ¿nh v1, v2, v3, v4.

31
Ch÷ìng 3
TM ×˝NG ING NNH T GIÚA HAI I M
TRONG M¸T
D YM TTAMGI CTRONG KH˘NG
GIAN BA CHI U
Ch÷ìng n y tr…nh b y l⁄i mºt thu“t to¡n hœu hi»u trong vi»c t…m
÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong mºt d¢y m°t tam gi¡c trong khæng
gian ba chi•u b‹ng c¡ch sß döng ph„u t÷ìng øng vîi c¡c c⁄nh chung cıa
d¢y m°t tam gi¡c v l“t phflng mØi ph„u â. T¡c gi£ công ch¿ ra r‹ng £nh
cıa ph„u sau khi l“t s‡ khæng – l¶n nhau [5].
3.1 ×˝NGTR C ÀATH NGNH TV C CPH U D¯C THEO D Y M T
TAM GI C TRONG KH˘NG GIAN BA CHI U
Mºt ÷íng nŁi hai i”m p v q trong mºt d¢y m°t tam gi¡c cıa
F = ff1; f2; : : : ; fm; fm+1g l mºt ÷íng g§p khóc [m
i=0[vi; vi+1] vîi v0 = p,
vm+1 = q, mØi o⁄n thflng [vi; vi+1] n‹m tr¶n mºt tam gi¡c n o â cıa F, ¿nh
vi (vîi 1 i m) cıa ÷íng nŁi giœa p v q thuºc mºt c⁄nh chung trong d¢y m°t F.
ành ngh¾a 3.1.1. [5] Mºt ÷íng [m
i=0[vi; vi+1] trong mºt d¢y c¡c tam
gi¡c cıa F = ff1; f2; : : : ; fm; fm+1g vîi v0 = u, vm+1 = v, o⁄n thflng [vi;
vi+1] n‹m tr¶n mºt tam gi¡c n o â cıa F, mØi ¿nh vi cıa ÷íng n y thuºc c⁄nh
chung n o â cıa F ÷æc gåi l ÷íng tr›c àa thflng nh§t tł u

32
tîi v trong F n‚u tŒng º lîn c¡c gâc cıa ÷íng n y t⁄i c¡c ¿nh vi b‹ng . ÷íng
tr›c àa thflng nh§t nh÷ th‚ ÷æc k‰ hi»u l CF (u; v).
H…nh 3.1 ÷íng tr›c àa thflng nh§t m u ä tr¶n b• m°t khŁi l“p ph÷ìng t⁄i i”m v1, v3; v1; v3 l trung i”m
cıa c¡c c⁄nh chøa nâ.
Chóng ta công câ th” gåi mºt o⁄n thflng tr¶n mºt tam gi¡c fi l mºt
÷íng tr›c àa thflng nh§t. X†t i”m u l mºt i”m thuºc F v e = [p; q] l mºt c⁄nh
chung trong F, x†t s l i”m chung xa nh§t cıa ÷íng ng›n nh§t SP (u; q)
nŁi hai i”m u v q trong F v ÷íng ng›n nh§t SP (u; p) nŁi hai i”m u v p
trong F t÷ìng øng vîi i”m u. K‰ hi»u Fpq(s) l mi•n con cıa F ÷æc bao
bði SP (s; p) v SP (s; q) v [p; q].
ành ngh¾a 3.1.2. [5] Mi•n Fpq(s) ÷æc gåi l ph„u dåc theo F t÷ìng øng
vîi c⁄nh chung [p; q], s l châp cıa ph„u v SP (s; p) v SP (s; q) ( ” ng›n
gån chóng tæi k‰ hi»u l B1 v B2) l bi¶n cıa ph„u. Trong tr÷íng hæp ìn
gi£n, chóng tæi s‡ k‰ hi»u ph„u l F .
Tł ành ngh¾a 3.1.2 câ th” th§y r‹ng mºt ph„u câ th” ÷æc x¥y
düng l¶n tł mºt d¢y m°t tam gi¡c. Gi£ sß r‹ng 4vpq l mºt tam gi¡c thuºc F
n‹m kh¡c ph‰a vîi i”m u qua c⁄nh chung [p; q]. T“p hæp Fb = F [ 4pqv
÷æc gåi l mi•n ÷æc xß l‰ cıa F v v ÷æc gåi l i”m tîi trüc ti‚p cıa F .

33
H…nh 3.2 Ph„u ÷æc t⁄o bði bi¶n B1 = SP (s; p) v B2 = SP (s; q) v c⁄nh chung [p; q]; Fb = F [4pqv l
mi•n ÷æc xß l‰.
L§y u; u0
2 F ho°c u; u0
2 Fb, vi»c x¥y düng Fb công giŁng nh÷
vi»c h…nh th nh d¢y m°t tam gi¡c, tł â chóng ta câ th” thay th‚ F b‹ng
Fb. Khi â, ÷íng tr›c àa thflng nh§t trong ph„u mîi h…nh th nh s‡ ÷æc
k‰ hi»u l CFb(u; u0
). Gi£ sß r‹ng khæng câ ph„u n o rØng th… Fpq(s)
vîi s 2= [p; q], B1 B2 = fsg, B1 [p; q] = fpg, B2 [p; q] = fqg, chóng ta
câ m»nh • sau:
M»nh • 3.1. [5] Cho mºt ph„u F = Fpq(u) dåc theo d¢y m°t tam gi¡c F, z
2= [p; q], vîi mØi i 2 f1; 2g tçn t⁄i mºt ÷íng tr›c àa thflng nh§t ÷æc k‰ hi»u
l Ti trong Fb i qua mºt ¿nh cıa Bi v g°p o⁄n [p; q] t⁄i mºt i”m duy nh§t.
Ti‚p theo, lu“n v«n s‡ tr…nh b y l⁄i ành lþ v• c¡c ph„u mîi sau khi
l“t khæng bà – l¶n nhau, vi»c n y s‡ l m gi£m ÷æc c¡c b÷îc t‰nh to¡n
trong qu¡ tr…nh t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m tr¶n d¢y m°t cıa
mºt tam gi¡c.
ành lþ 3.1.1. [5] nh cıa ph„u Fpq(u) thæng qua ph†p l“t dåc theo d¢y
c¡c c⁄nh cıa ph„u l¶n m°t phflng chøa tam gi¡c 4pqv khæng bà – l¶n
nhau, c¡c £nh cıa c¡c bi¶n cıa ph„u lçi h÷îng ra ngo i cıa 4upq.

34
H…nh 3.3 z l i”m £nh duy nh§t t÷ìng øng vîi mi•n ìn Rz = 4zw1w2 v z0
l i”m £nh duy nh§t t÷ìng øng
vîi mi•n ìn Rz0 = 4z0
w1
0
w2
0
.
Chøng minh. ƒu ti¶n, ta cƒn chøng minh i”m z v £nh cıa nâ z l duy nh§t
t÷ìng øng vîi mi•n ph„u chøa i”m z. Ta l§y z 2 F n[p; q]. Tł M»nh • 3.1,
chóng ta gi£ sß r‹ng: w1 = T [p; q]; w2 = T [p; q].
Ta gåi: Ti := CFb(z; wi) vîi i = 1; 2.
V… T1(z) v T2(z) l c¡c ÷íng i tr›c àa thflng nh§t v d i nh§t xu§t
ph¡t tł i”m z n¶n T1(z) v T2(z) l duy nh§t.
Tł â, ta câ th” th§y r‹ng i”m z l i”m duy nh§t t÷ìng øng vîi
mi•n ìn Rz ÷æc h…nh th nh bði c¡c ÷íng tr›c àa thflng nh§t T1(z) v
T2(z) v [p; q].
Ch‰nh v… th‚, º lîn cıa t§t c£
c¡c gâc cıa mºt ÷íng s‡ ÷æc b£o
4zw1w2, d¤n
to n qua ph†p l“t phflng v £nh cıa mi•n Rz tøc l Rz l
tîi £nh cıa i”m z l z công l duy nh§t t÷ìng øng vîi tam gi¡c Rz.
Gi£ sß tçn t⁄i hai i”m z; z0
2 F n [p; q] sao cho
R
z = Rz0 th… b‹ng
c¡ch ÷a ra sŁ tam gi¡c trong ph„u Fpq(u) m T1(z) v T2(z) i qua, chóng
ta câ th” chøng minh ÷æc r‹ng T1(z) = T1(z0
) v T2(z) = T2(z0
) hay i”m
z z0
.
Ta suy ra ÷æc £nh cıa ph„u Fpq(u) thæng qua ph†p l“t dåc theo
d¢y c¡c c⁄nh cıa ph„u l¶n m°t phflng chøa tam gi¡c 4pqv khæng bà –
l¶n nhau. Do º lîn cıa t§t c£ c¡c gâc cıa hai bi¶n B1 v B2 ÷æc b£o to n
qua ph†p l“t n¶n £nh cıa hai bi¶n cıa ph„u •u l c¡c ÷íng lçi h÷îng ra ngo
i.

35
3.2 THU TTO NTMCHNHX C ×˝NG ING N
NH T GIÚA HAI I M D¯C THEO D Y M T TAM
GI C
Thu“t to¡n t…m ch‰nh x¡c ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m dåc theo
d¢y m°t tam gi¡c trong khæng gian ba chi•u ÷æc giîi thi»u trong [11]. Tł
ành lþ 3.1.1 thu“t to¡n ÷æc tr…nh b y b‹ng vi»c sß döng þ t÷ðng ph„u
t÷ìng øng vîi c¡c c⁄nh chung dåc theo d¢y m°t tam gi¡c v l“t phflng
tłng ph„u â, ta gåi thu“t to¡n â l NFU.
Ta x†t F = Fpq(u) l mºt ph„u trong F v B1 = SP (u; p), B2 =
SP (u; q) l hai bi¶n cıa ph„u; v l i”m tîi v Fb l mi•n ÷æc xß l‰ cıa F .
"Ph„u" ÷æc tr…nh b y nh÷ mºt h ng æi k‚t thóc k†p m c¡c ¿nh
÷æc s›p x‚p theo thø tü: F = (pr; pr 1: : : : ; p1; u; q1; : : : ; qs 1; qs), ð â
u = p0 = q0, q = qs, [p; q] l mºt c⁄nh chung cıa F, B1 i qua c¡c ¿nh
p0; p1; : : : ; pr v B2 i qua c¡c ¿nh q0; q1; : : : ; qs cıa F. Ph„u dåc theo
F t÷ìng øng vîi c⁄nh [v; q] (c⁄nh chung [p; v] công t÷ìng tü nh÷ th‚) cıa F l
mºt ph„u mîi ÷æc x¥y düng tł Fpq(u) v i”m tîi v.
Gi£ sß r‹ng [v; q] l mºt c⁄nh chung cıa F. Quy tr…nh l“t ph„u mîi
NFU (F; v; q; u; SP (u; v)) d÷îi ¥y ” x¥y düng mºt ph„u mîi t÷ìng øng vîi
c⁄nh chung [v; q] theo ành l‰ 3.1.1. Sau khi l“t phflng ph„u Fpq(u) l¶n
m°t phflng chøa 4pqv, ÷íng i ng›n nh§t tł châp u ‚n i”m tîi v s‡ ÷æc
t‰nh to¡n, chóng ta thüc hi»n k· c¡c ÷íng ti‚p tuy‚n tł v tîi c¡c ÷íng lçi
h÷îng ra ngo i B1 v B2 tr¶n m°t phflng chøa 4pqv.
B i to¡n: X†t mºt ph„u F F = ff1; f2; : : : ; fm; fm+1g, u l châp cıa
ph„u F , 4pqv 2 F, ph„u F v 4pqv câ c⁄nh chung [p; q]. X¥y düng mºt
ph„u mîi Fb = F [ 4pqv ” t…m ÷íng i ng›n nh§t SPFb(u; v) tł u
tîi v.

36
Algorithm 3 (Thı töc l“t ph„u mîi (F; v; q; u; SPFb(u; v)))
1: Procedure NEWFUNNEL-UNFOLDING (F; v; q; u; SPFb(u; v))
2: L“t F dåc theo d¢y c¡c c⁄nh chung t÷ìng øng cıa F giœa u v [p; q] l¶n m°t phflng chøa 4pqv.
°t B1 v B2 l £nh sau khi l“t cıa c¡c bi¶n t÷ìng øng B1 v B2 cıa F.
/*Theo ành lþ 3.1.1, B1 v B2 l nhœng ÷íng g§p khóc lçi h÷îng ra ph‰a ngo i cıa 4upq.*/
3: X¡c ành ÷íng ti‚p tuy‚n tł v tîi mºt trong hai ÷íng g§p khóc B1 v B2 tr¶n m°t phflng chøa 4pqv v
vf l ti‚p i”m.
4: Chån ÷íng tr›c àa thflng nh§t CFb(vf ; v) m £nh cıa nâ l mºt o⁄n thflng [vf ; v] v chån
÷íng ng›n nh§t SPFb(u; vf ) nŁi u v vf trong Fb (k‰ hi»u l B(u; vf ) cıa bi¶n B1 (n‚u vf 2 B1)
ho°c B2 (n‚u vf 2 B2) giœa u v vf .
5: SPFb(u; v) = SPFb(u; vf ) [ CFb(vf ; v).
6: L“t t§t c£ c¡c ¿nh k‚t thóc ph‰a b¶n tr¡i (pr) cıa F cho tîi khi ch⁄m v o vf .
7: If châp cıa F ÷æc l“t then châp cıa ph„u mîi s‡ l vf .
8: Th¶m v v o i”m k‚t thóc b¶n tr¡i cıa F .
9: Set u := vf , p := v
10: Return < F
pq
(u); SP
Fb(u;v)
>
/*F = Fpq(u); SPFb(u; v) ÷æc c“p nh“t*/
/*F l mºt ph„u mîi t÷ìng øng vîi c⁄nh chung F [p; q]).*/
11: End procedure.
V‰ dö 3.2.1. X†t mºt d¢y m°t tam gi¡c gçm câ 10 m°t v 12 ¿nh, c¡c
¿nh v0( 3; 3; 3), v1( 3; 0; 3), v2(0; 3; 3), v3(0; 0; 3), v4(0; 0; 0), v5(0; 3; 0),
v6(3; 3; 0), v7(3; 0; 0), v8(3; 0; 3), v9(0; 0; 3), v10(0; 3; 3), v11(3; 3; 3).
T…m ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh v0 tîi ¿nh v10 tr¶n d¢y m°t tam gi¡c ¢ cho b‹ng
c¡ch sß döng thu“t to¡n 3.
H…nh 3.4 Minh ho⁄ d¢y m°t tam gi¡c ff1; f2; : : : ; f9; f10g trong khæng gian ba chi•u.

37
X¥y düng mºt ph„u ban ƒu F := 4v0v1v2, châp ph„u l ¿nh v0, hai
bi¶n cıa ph„u l hai c⁄nh cıa tam gi¡c B1 = SP (v0; v1) = [v0; v1] v B2 =
SP (v0; v2) = [v0; v2], c⁄nh chung l [v1; v2]. Vîi ph„u ƒu ti¶n øng vîi c⁄nh
[v1; v2] ta t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł châp ph„u v0 tîi c¡c ¿nh v1; v2 •u
b‹ng 3.
H…nh 3.5Ph„u câ châp l v0 t÷ìng øng vîi c⁄nh chung [v1; v2].
Ti‚p töc vi»c t…m ph„u mîi b‹ng vi»c thüc hi»n vi»c l“t ph„u F l¶n
m°t phflng chøa tam gi¡c 4v1v2v3. Trong tr÷íng hæp n y, ph„u F v
4v1v2v3 còng n‹m tr¶n mºt m°t phflng, ta x¡c ành mi•n ÷æc xß l‰
l Fb := F [ 4v1v2v3, ph„u mîi (F; v3; v1; v0; SPFb(v0; v3)). Khi â ph„u
mîi h…nh th nh câ châp l v0, bi¶n mîi l B1 = SP (v0; v3) = [v0; v3] v B2 =
SP (v0; v2) = [v0; v2] v c⁄nh chung l [v2; v3]. Vîi ph„u mîi h…nh th nh ta
t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł v0 tîi ¿nh v3 l 4.24.

38
H…nh 3.6 Ph„u (F; v2; v3; v0; SPFb(v0; v3)) t÷ìng øng vîi c⁄nh chung [v3; v2].
Thüc hi»n vi»c t…m ph„u mîi tr¶n d¢y m°t tam gi¡c ¢ cho t÷ìng øng
vîi c⁄nh [v2; v4] b‹ng vi»c l“t F l¶n m°t phflng chøa 4v3v2v4. Sau khi x¡c
ành ÷æc mi•n ÷æc xß l‰ Fb := F [4v3v2v4, ph„u mîi (F; v4; v3; v0; SPFb(v0;
v4)). Khi â ph„u mîi h…nh th nh câ châp l v0, bi¶n mîi l B1 = SP (v0; v4)
v B2 = SP (v0; v2) = [v0; v2] v c⁄nh chung l [v2; v4], ta t‰nh ÷æc ÷íng i
ng›n nh§t tł v0 tîi ¿nh v4 l 6.71.
T÷ìng tü nh÷ v“y, khi l“t ph„u mîi h…nh th nh theo c⁄nh chung
[v4; v5], khi â ta x¡c ành ÷æc châp l v0, mi•n xß l‰ F := F [ 4v2v4v5,
ph„u mîi (F; v5; v4; v0; SPF (v0; v5)) bi¶n mîi l B1 = b
( 0
; v
4)
v B
2 =
SP (v0; v5) v c⁄nh chung
b
l
SP v
[v4; v5], ta t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł
v0 tîi ¿nh v5 l 6.

39
H…nh 3.7Ph„u (F; v4; v2; v0; SPFb(v0; v4)) t÷ìng øng vîi c⁄nh chung [v2; v4].

40

41
H…nh 3.12 ÷íng i ng›n nh§t tł v tîi ¿nh v v ph„u (F; v ; v ; v ; SP (v ; v )) t÷ìng øng vîi
c⁄nh chung [v9; v8]. 0 4 8 9 4 Fb 4 8

42
H…nh 3.13 ÷íng i ng›n nh§t tł v tîi ¿nh v v ph„u (F; v ; v ; v ; SP (v ; v )) t÷ìng øng vîi
c⁄nh chung [v9; v11]. 0 4 11 9 4 Fb 4 11
H…nh 3.14 ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh v0 tîi ¿nh v10 tr¶n d¢y m°t tam gi¡c trong khæng gian ba chi•u.

43
3.3 ÙNG DÖNG THU T TO N NFU T M ×˝NG I NG NNH TTØM¸T I
MT˛IT TC C C I M TR NB M TKH¨I ADI N
Thu“t to¡n NFU t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m tr¶n d¢y m°t
tam gi¡c trong khæng gian ba chi•u khæng nhœng gióp gi£m sŁ ph†p
to¡n trong qu¡ tr…nh t…m ÷íng i ng›n nh§t m cÆn câ øng döng khi
t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai ¿nh cıa mºt khŁi a di»n. Łi vîi thu“t to¡n
thì ng¥y trong V‰ dö 2.2.1, vi»c l“t ra nhi•u d¢y m°t m§t r§t nhi•u thíi
gian t‰nh to¡n công nh÷ l nhœng d¢y m°t khæng hœu döng, tøc l câ
nhœng d¢y m°t ÷æc l“t ra khæng x¡c ành ÷íng i ng›n nh§t. Thay v…
vi»c t…m ÷íng i ng›n nh§t tł mºt i”m nguçn cho tr÷îc tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i
tr¶n b• m°t mºt khŁi a di»n, b i to¡n ÷æc chuy”n th nh t…m ÷íng i ng›n
nh§t tł i”m nguçn cho tr÷îc tîi mºt ¿nh cÆn l⁄i cıa khŁi a di»n v sß döng
thu“t to¡n NFU.
V‰ dö sau ¥y s‡ l m rª ÷æc t‰nh øng döng cıa thu“t to¡n NFU
so vîi thu“t to¡n thì ng¥y.
V‰ dö 3.3.1. X†t mºt khŁi a di»n m c¡c m°t ¢ ÷æc tam gi¡c ph¥n th nh
16 m°t (xem h…nh 2.8) v c¡c ¿nh s(1:5; 1:5; 6), v1(0; 0; 3), v2(3; 0; 3),
v3(3; 3; 3) v4(0; 3; 3), v5(0; 0; 0), v6(3; 0; 0), v7(3; 3; 0), v8(0; 3; 0), v9(1:5;
1:5; 3). T…m ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t
cıa khŁi a di»n b‹ng c¡ch sß döng thu“t to¡n dòng nguçn s¡ng v thu“t
to¡n NFU.
B¥y gií ta s‡ thüc hi»n gi£i v‰ dö tr¶n b‹ng hai thu“t to¡n: thu“t
to¡n thì ng¥y v thu“t to¡n NFU.
Sß döng thu“t to¡n thì ng¥y ” gi£i b i to¡n:
Trong v‰ dö n y ta câ th” ch¿ ra ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t
khŁi a di»n tł ¿nh s lƒn l÷æt tîi c¡c ¿nh v1, v2, v3, v4 •u b‹ng 3:67, ÷íng i
ng›n nh§t tł s tîi v5, v6, v7, v8 •u b‹ng 6:5287, ÷íng i ng›n nh§t tr¶n b• m°t
khŁi a di»n tł s tîi v9 b‹ng 9:7 v i qua d¢y
c⁄nh f[v1; v2]; [v2; v5]; [v5; v6]g.

44
ˆH…nh 3.15 Minh ho⁄ khŁi a di»n trong khæng gian ba chi•u trong V‰ dö 3.3.1.
B÷îc 1: Ta g¡n: root:= s;
C¡c c⁄nh: [v1; v2]; [v2; v3]; [v3; v4]; [v4; v1] l c¡c c⁄nh Łi di»n vîi gŁc s.
Khi â: ([v1; v2]; s; [v1; v2]), ([v2; v3]; s; [v2; v3]), ([v3; v4]; s; [v3;
v4]), ([v4; v1]; S; [v4; v1]) l con cıa gŁc s.
Kho£ng c¡ch tł ¿nh s tîi lƒn l÷æt c¡c ¿nh v1; v2; v3; v4 •u b‹ng 3:67.
H…nh 3.16Minh ho⁄ (4Sv1v2; 4v1v2v5) trong khæng gian ba chi•u.

ˆ 45
B÷îc 2: Do khŁi a di»n n y sau khi c¡c m°t ÷æc tam gi¡c ph¥n s‡ câ
t§t c£ 16 m°t n¶n c¥y chóng tæi x¥y düng s‡ câ 16 møc.
Møc 1: Łi vîi ([v1; v2]; s; [v1; v2]), ([v2; v3]; s; [v2; v3]), ([v3; v4]; s; [v3; v4]),
([v4; v1]; s; [v4; v1]) l l¡ ta thüc hi»n l“t s lƒn l÷æt quanh c¡c c⁄nh [v1;
v2]; [v2; v3]; [v3; v4]; [v4; v1], ta nh“n th§y (xem h…nh 3.16):
(4Sv1v2; 4v1v2v5) = 153o
43o
; (4Sv3v4; 4v3v4v7) = 153o
43o
;
(4Sv2v3; 4v2v3v6) = 153o
43o
; (4Sv4v1; 4v4v1v8) = 153o
43o
.
— møc 1 n y, ta thüc hi»n l“t s lƒn l÷æt qua c¡c c⁄nh [v1; v2], [v2; v3],
[v3; v4], [v4; v1] l¶n m°t phflng chøa c¡c m°t 4v1v2v5, 4v2v3v6,
4v3v4v7, 4v4v1v8 v £nh cıa s t÷ìng øng tr¶n mØi m°t phflng l“t l I[v1;v2],
I
[v2;v3]
, I
[v3;v4]
, I
[v4;v1]
.
Łi vîi
4
sv
1
v
2
v
4
v
1
v
2
v
5
sau khi çng phflng, ta g¡n e0
:= [v
1
; v
5
]; [v
2
; v
5
]
I[v ;v ]
v thüc hi»n t‰nh h…n h h… nh c hi‚u P r oj[v1;v5] c ıa £ nh n guçn I[v1;v5] l¶n
1 5
c⁄nh [v1; v5] v I
[v ;v ] cıa £nh nguçn I[v2;v5] l¶n c⁄nh [v2; v5].
P roj[v 2;v 5]
2 5
Th¶m [v1 ; v5
]; I
[v1 ;v5 ]
; P roj
[v1 ;v5 ]
I
[v ;v ]
1 5
cıa ([v1; v2]; s; [v1; v2]).
v [v2 ; v5
]; I
[v2 ;v5 ]
; P roj
[v2 ;v5 ] l con
I
[v ;v ]
2 5
Tł ¥y, ta t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi ¿nh v5 b‹ng 6:5287 i qua
c⁄nh [v1; v2].
T÷ìng tü Łi vîi 4sv2v3 v 4v2v3v6, 4sv3v4 v 4v3v4v7, 4sv4v1 v
4v4v1v8 ta s‡ t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł s tîi c¡c ¿nh v6, v7,
v8 v còng b‹ng 6:5287. ]; I
[v2 ;v5]
; P roj
[v2;v5 ] ta l⁄i ti‚p töc thüc hi»n
Møc 2: Łi vîi l¡ [v2; v5 I
[v ;v ]
2 5
vi»c l“t I[v2;v5] quanh c⁄nh [v2; v5] ho°c [v1; v5] ” ÷æc £nh nguçn mîi
t÷ìng øng l I[v2;v5] v I[v1;v5]. Tł ¥y ta s‡ t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł
I[v2;v5] tîi ¿nh v6 v b‹ng 6:5287.
C¡c l¡ kh¡c ð møc n y ta công l m t÷ìng tü ” t…m ÷æc ÷íng i ng›n
nh§t tł £nh nguçn tîi c¡c ¿nh v7, v8.
Møc 3: Łi vîi l¡ [v5; v6
]; I
[v5 ;v6 ]; P roj
[v5;v6 ] ta l⁄i ti‚p töc thüc hi»n
I
[v ;v ]
5 6
vi»c l“t I[v2;v5] quanh c⁄nh [v5; v6] ” ÷æc £nh nguçn mîi t÷ìng øng
l I[v5;v6]. Tł ¥y ta s‡ t‰nh ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł I[v5;v6] tîi ¿nh v9 v
b‹ng 9:7.

46
H…nh 3.17Minh ho⁄ ÷íng i ng›n nh§t tł I[v1v2] ‚n v5 trong khæng gian ba chi•u.
H…nh 3.18Minh ho⁄ ÷íng i ng›n nh§t tł I[v2;v5] ‚n v6 trong khæng gian ba chi•u.
Ti‚p töc vi»c l“t v t‰nh to¡n c¡c h…nh chi‚u nh÷ th‚ cho tîi møc thø
16, t§t c£ c¡c ÷íng i ng›n nh§t tł i”m nguçn s tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i s‡ ÷æc
t‰nh.

47
H…nh 3.19Minh ho⁄ ÷íng i ng›n nh§t tł I[v5;v6] ‚n v9 trong khæng gian ba chi•u.
Sß döng thu“t to¡n NFU ” gi£i b i to¡n:
Łi vîi thu“t to¡n NFU, ” t…m ÷íng ng›n nh§t tł i”m nguçn s tîi c¡c
¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n, ta chuy”n b i to¡n th nh c¡c b i to¡n
nhä. Łi vîi c¡c ¿nh k• vîi ¿nh s nh÷ v1, v2, v3, v4 ta câ th” t…m ra luæn
÷æc ÷íng i ng›n nh§t tł i”m nguçn s tîi c¡c ¿nh â. Łi vîi c¡c ¿nh v5, v6, v7,
v8, v9, ta cƒn t…m t§t c£ c¡c d¢y m°t chøa c¡c ¿nh s ho°c v5, s ho°c v6,
s ho°c v7, s ho°c v8, s ho°c v9 v sß döng thu“t to¡n NFU ” t…m ÷íng i
ng›n nh§t tr¶n tłng d¢y m°t. Sau khi t…m ÷æc c¡c ÷íng i ng›n nh§t â ta so
s¡nh c¡c ÷íng i ng›n nh§t câ còng i”m nguçn v i”m tîi vîi nhau v chån ra
÷íng i ng›n nh§t.
Nh÷ v“y, khi sß döng thu“t to¡n NFU ” gi£i b i to¡n t…m ÷íng i
ng›n nh§t tł mºt i”m nguçn tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n
sŁ c¡c ph†p to¡n ¢ ÷æc gi£m i r§t nhi•u so vîi vi»c sß döng thu“t to¡n thì
ng¥y.

48
H…nh 3.20 ÷íng i ng›n nh§t m u ä tł ¿nh nguçn s tîi c¡c ¿nh tr¶n b• m°t khŁi a di»n.
” l÷æc bä nhœng d¢y m°t m ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh nguçn tîi
¿nh cƒn t…m khæng ph£i l ÷íng ng›n nh§t tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n,
ta còng x†t l⁄i d¢y m°t trong V‰ dö 3.2.1 l mºt d¢y m°t tam gi¡c cıa khŁi
a di»n nh÷ H…nh 3.21.
H…nh 3.21D¢y tam gi¡c ¢ chån ÷æc tæ m u xanh trong V‰ dö 3.2.1 chøa hai ¿nh v0
v v10.

49
Trong V‰ dö 3.2.1 ÷íng i ng›n nh§t v0 tîi v10 l ÷íng m u ä i qua
¿nh v4 v ¿nh v9 nh÷ng Łi vîi khŁi a di»n d÷îi ¥y th… nâ khæng cÆn l
÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh v0 tîi ¿nh v10 tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n.
H…nh 3.22 ÷íng i ng›n nh§t m u ä thuºc d¢y m°t m u xanh ¢ chån tr¶n b• m°t khŁi a di»n.
” £m b£o ÷æc r‹ng ÷íng i ng›n nh§t tł i”m nguçn tîi ¿nh cƒn
t…m l ng›n nh§t tr¶n b• m°t cıa khŁi a di»n lu“n v«n s‡ sß döng kÿ thu“t
c“p nh“t d¢y m°t tam gi¡c mîi ÷æc Val†rie Pham-Trong, Nicolas
Szafran v Luc Biard tr…nh b y n«m 2001 [6]. Trong tr÷íng hæp ÷íng i
ng›n nh§t tr¶n mºt d¢y m°t tam gi¡c khi ¢ ÷æc l“t phflng l mºt o⁄n thflng
th… b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t ÷æc gi£i quy‚t, cÆn n‚u ÷íng i ng›n
nh§t tr¶n mºt d¢y m°t tam gi¡c khi l“t phflng l mºt ÷íng g§p khóc (g§p t⁄i
c¡c ¿nh câ tŒng sŁ o lîn hìn 180o
- ¿nh xoay) th… thu“t to¡n s‡ c“p
nh“t mºt d¢y m°t mîi quanh ¿nh xoay â. Hå công chøng minh ÷æc r‹ng
÷íng ng›n nh§t tr¶n d¢y m°t mîi c“p nh“t ch¿ câ th” nhä hìn ho°c b‹ng
÷íng ng›n nh§t tr¶n d¢y m°t tr÷îc khi c“p nh“t. p döng k¾ thu“t â ” gi£i b
i to¡n trong V‰ dö 3.3.1, ta câ th” chån ra ÷æc mºt d¢y m°t mîi (xem
H…nh 3.23).

50
H…nh 3.23 Chån d¢y m°t mîi m u t‰m xoay quanh ¿nh v5 chøa ÷íng i ng›n nh§t giœa hai ¿nh v0
v v10 kh¡c.
Sß döng thu“t to¡n NFU ” t…m ÷íng i ng›n nh§t tł ¿nh v0 tîi ¿nh
v10 tr¶n d¢y m°t tam gi¡c mîi c“p nh“t ta thu ÷æc ÷íng i ng›n nh§t tŁt
hìn ÷íng i ng›n nh§t khi ch÷a c“p nh“t d¢y m°t tam gi¡c (xem H…nh
3.24).
H…nh 3.24 ÷íng i ng›n nh§t m u ä tł v0 tîi v10 tr¶n d¢y m°t tam gi¡c mîi.

51
KTLUN
Lu“n v«n n y ÷æc tr…nh b y theo ba ch÷ìng vîi nºi dung ch‰nh l gi£i
quy‚t b i to¡n t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m tr¶n d¢y m°t tam gi¡c trong
khæng gian ba chi•u b‹ng þ t÷ðng ph„u câ sß döng k¾ thu“t l“t phflng. Tł â ph¡t
tri”n thu“t to¡n b‹ng vi»c x¥y düng t…m ÷íng i ng›n nh§t tł mºt i”m nguçn tîi c¡c
¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa khŁi aˆdi»n b‹ng vi»c lüa chån mºt d¢y m°t tam
gi¡c kh¡c.
Ch÷ìng 1: Nºi dung ch‰nh trong ch÷ìng n y l gi£i quy‚t b i to¡n
t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m trong mºt a gi¡c ìn. ¥y l b i
ˆ to¡n ÷æc gi£i trong khæng gian hai chi•u câ sß döng kÿ thu“t ph„u .
Ch÷ìng 2: Ch÷ìng n y tr…nh b y v• kÿ thu“t l“t phflng mºt d¢y m°t
tam gi¡c cıa mºt d¢y m°t tam gi¡c ¢ cho tr÷îc v sau â ÷a ra thu“t
to¡n dòng nguçn s¡ng v bâng (thu“t to¡n Thì ng¥y) ” x¡c ành ÷íng i
ng›n nh§t tł mºt i”m nguçn tîi c¡c ¿nh cÆn l⁄i tr¶n b• m°t cıa mºt
khŁi a di»n. Sau â, lu“n v«n công ÷a ra mºt v‰ dö ” minh ho⁄ cho
thu“t to¡n, çng thíi công cho th§y ÷æc sü cçng
ˆ k•nh cıa sŁ c¡c ph†p to¡n trong vi»c t‰nh to¡n ÷íng i ng›n nh§t.
Ch÷ìng 3: Ch÷ìng cuŁi còng tr…nh b y l⁄i thu“t to¡n t…m ÷íng i ng›n
nh§t giœa hai i”m dåc theo d¢y m°t tam gi¡c trong khæng gian ba
chi•u b‹ng c¡ch sß döng k¾ thu“t l“t phflng c¡c m°t tam gi¡c v þ
t÷ðng ph„u (thu“t to¡n NFU). Lu“n v«n công ÷a ra mºt øng döng cıa
thu“t to¡n NFU trong vi»c t…m ÷íng i ng›n nh§t giœa hai i”m tr¶n b•
m°t cıa khŁi a di»n b‹ng c¡ch lüa chån mºt d¢y m°t tam gi¡c kh¡c
chøa hai i”m cƒn t…m ÷íng i ng›n nh§t.

52
T i li»u tham kh£o
[1] P. K. Agarwal, S. Har-Peled, M. Karia. Computing approximate short-
est paths on convex polytopes. Algorithmica. 2002;33(2):227 242.
[2] J. A. Sethian. Fast marching methods. SIAM Rev. 1999;41(2):199 235.
[3] S. Nazari, M. R. Meybodi, M. A. Salehigh, S. Taghipour. An
advanced algorithm for finding shortest path in car navigation
system. 2008 First International Conference on Intelligent Networks
and Intelligent Sys-tems. 2008;671-674.
[4] V. Akman. Geometry and graphics applied to robotics. Theoreti-cal
foundations of computer graphics and CAD NATO ASI Series.
1988;40:619-638.
[5] P. T. An. Finding Shortest paths in a sequence of triangles in 3D by
the planar unfolding. Numerical Functional Analysis and
Optimization. 2019; 40(8):1532-2467.
[6] V. P. Trong, N. Szafran, L. Biard. Pseudo-geodesics on
threedimen-sional surfaces and pseudo-geodesic meshes.
Numerical Algorithms. 2001;26(4):305-315.
[7] D. T. Lee, F. P. Preparata. Euclidean shortest paths in the
presence of rectilinear barries. NETWORKS. 1984;14(3):393-410.
[8] M. Sharir, A. Schorr. On shortest paths in polyhedral spaces. SIAM
Journal on Computing. 1986; 15(1):193-215.
[9] J. S. B. Mitchell, D. M. Mount, C. H. Papadimitriou. The discrete
geodesic problem. SIAM Journal on Computing. 1987; 16(4):647-668.

53
[10] J. Chen, Y. Han. Shortest paths on a polyhedron, Part I:
Computing shortest paths. International Journal of Computational
Geometry and Applications. 1990; 6(2):360-369.
[11] D. M. Mount. On finding shortest paths on convex polyhedra. Mary-
land Univ College Park Center for Automation Research. 1985.
[12] P. T. An. Finding shortest paths in a sequence of triangles in 3D
by method of orienting curves. Optimization. 2018; 67(1):159-177.
[13] E. W. Dijkstra. A note on two problems in connection with graphs.
Numerische Mathematik. 1959;1:269 271.
[14] P. R. Evans. Rotations and rotation matrices. Acta
Crystallographica Section D, Acta Cryst. 2001;57:1355-1359.
[15] R. J. Wilson. Introduction to graph thery. Fourth edison. Addison
Wes-ley Longman Limited. Edinburgh Gate, Harlow, Essex CM20
2JE, Eng-land. 1996.

Sử Dụng Kỹ Thuật “Phễu” Và “Cây Phễu” Để Tìm Đường Đi Ngắn Nhất Trên Bề Mặt Của Khối Đa Diện.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Sử Dụng Kỹ Thuật “Phễu” Và “Cây Phễu” Để Tìm Đường Đi Ngắn Nhất Trên Bề Mặt Của Khối Đa Diện.doc

Similar to Sử Dụng Kỹ Thuật “Phễu” Và “Cây Phễu” Để Tìm Đường Đi Ngắn Nhất Trên Bề Mặt Của Khối Đa Diện.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Sử Dụng Kỹ Thuật “Phễu” Và “Cây Phễu” Để Tìm Đường Đi Ngắn Nhất Trên Bề Mặt Của Khối Đa Diện.doc