Một Số Kết Quả Về Hình Lồi, Đường Kính Của Hình Và Vận Dụng.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
VŨ VĂN NINH
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI,
ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
VŨ VĂN NINH
MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÌNH LỒI,
ĐƯỜNG KÍNH CỦA HÌNH VÀ VẬN DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Trần Xuân Quý
THÁI NGUYÊN - 2017

1
Möc löc
Líi mð ƒu 2
1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà 2
1.1. Kh¡i ni»m v• h…nh lçi [3] . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2. Giao cıa c¡c h…nh lçi [7] . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2 V• h…nh lçi v ÷íng k‰nh cıa h…nh 18
2.1. ành ngh¾a ÷íng k‰nh cıa h…nh [3] . . . . . . . . . . 18
2.2. °t v§n • [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.3. Chia h…nh phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4. Chia h…nh cƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3 Mºt sŁ d⁄ng to¡n v“n döng 38
3.1. V• h…nh lçi [2], [3] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.2. Mºt b i thi håc sinh giäi c¡c n÷îc [2], [7] . . . . . . . 49
K‚t lu“n 66
T i li»u tham kh£o 67

2
Líi mð ƒu
To¡n håc ríi r⁄c v h…nh håc tŒ hæp l mºt chı • thó và, ÷æc ph¡t
tri”n m⁄nh m‡ tr¶n th‚ giîi trong nhœng n«m gƒn ¥y. C¡c k‚t qu£ li¶n
quan khæng ch¿ h§p d¤n c¡c nh to¡n håc øng döng m cÆn h§p d¤n
c¡c em håc sinh phŒ thæng, bði c¡c k‚t qu£ l“p lu“n t÷ duy h§p d¤n.
¥y công l chı • khai th¡c cho c¡c b i to¡n thß t i v ph£i tri”n t÷ duy cho
håc sinh trung håc. â l lþ do, tæi lüa chån chı • n y • thüc hi»n • t i
lu“n v«n Th⁄c s¾ To¡n håc, chuy¶n ng nh Ph÷ìng ph¡p to¡n sì c§p, vîi
• t i: "Mºt sŁ k‚t qu£ v• h…nh lçi, ÷íng k‰nh cıa h…nh v v“n döng".
Lu“n v«n s‡ tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ v• h…nh lçi, ÷íng k‰nh cıa
h…nh: giao kh¡c rØng cıa c¡c h…nh lçi, b i to¡n chia h…nh, mºt sŁ
d⁄ng to¡n v“n döng. Ngo i phƒn mð ƒu, danh möc t i li»u tham kh£o,
lu“n ¡n gçm ba ch÷ìng.
Ch÷ìng 1. Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà.
Trong ch÷ìng n y chóng ta • c“p ‚n kh¡i ni»m h…nh lçi v c¡c k‚t qu£ v•
giao kh¡c rØng cıa c¡c h…nh lçi. Ch÷ìng 2. V• h…nh lçi v ÷íng k‰nh
cıa h…nh.
Trong ch÷ìng n y chóng ta • c“p ‚n kh¡i ni»m ÷íng k‰nh cıa h…nh,
b i to¡n chia h…nh phflng th nh nhä nh§t c¡c h…nh câ ÷íng k‰nh
nhä hìn, b i to¡n chia h…nh cƒu th nh bŁn phƒn câ ÷íng k‰nh nhä
hìn m khæng th” chia th nh sŁ phƒn nhä hìn.
Ch÷ìng 3. Mºt sŁ d⁄ng to¡n v v“n döng.
Trong ch÷ìng n y tr…nh b y c¡c b i to¡n v“n döng c¡c k‚t qu£ ÷æc
tr…nh b y trong ch÷ìng 1, 2 v mºt sŁ b i to¡n ÷æc l§y tł c¡c ký thi håc
sinh giäi QuŁc gia v QuŁc t‚.

1
Lu“n v«n n y ÷æc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¤n t“n t…nh v ch¿ b£o
cıa thƒy gi¡o TS. Trƒn Xu¥n Quþ. Tæi xin b y tä lÆng k‰nh trång v
bi‚t ìn s¥u s›c ‚n thƒy. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn ban l¢nh ⁄o Khoa
To¡n Tr÷íng ⁄i håc Khoa håc, c¡c thƒy c¡c cæ ¢ trang bà ki‚n thøc, t⁄o
i•u ki»n cho tæi trong thíi gian håc t“p t⁄i tr÷íng.
Th¡i Nguy¶n, ng y 25 th¡ng 9 n«m 2017
T¡c gi£ lu“n v«n
Vô V«n Ninh

2
Ch÷ìng 1
Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n bà
1.1. Kh¡i ni»m v• h…nh lçi [3]
Khi håc h…nh håc phflng chóng ta ¢ l m quen vîi c¡c h…nh lçi,
chflng h⁄n c¡c h…nh tam gi¡c, c¡c h…nh b…nh h nh, c¡c h…nh thang
v c¡c a gi¡c •u l c¡c h…nh lçi.
H…nh 1
Trong s¡ch gi¡o khoa c¡c a gi¡c lçi ÷æc • c“p tîi v ÷æc ành ngh¾a
nh÷ sau: mºt a gi¡c l a gi¡c lçi khi nâ n‹m v• mºt ph‰a cıa ÷íng thflng
i qua mºt c⁄nh b§t k….
Nh÷ng ành ngh¾a n y r§t h⁄n ch‚ khæng th” ¡p döng cho h…nh câ
‰t nh§t mºt c⁄nh khæng ph£i l o⁄n thflng (chflng h⁄n h…nh trÆn, c¡c
h…nh e-lip), ho°c l h…nh khæng câ giîi h⁄n trong m°t phflng (mºt gâc
chflng h⁄n).
” mð rºng kh¡i ni»m h…nh lçi ng÷íi ta ÷a ra ành ngh¾a sau ¥y
mð rºng cho c¡c h…nh khæng ph£i l c¡c a gi¡c.

3
ành ngh¾a 1.1 Mºt h…nh F ÷æc gåi l lçi khi v ch¿ khi måi i”m A, B
thuºc F th… o⁄n AB thuºc F.
H…nh 2
D„ th§y r‹ng c¡c a gi¡c lçi công lçi theo kh¡i ni»m n y. V ngo i c¡c a
gi¡c lçi th… c¡c h…nh trÆn, h…nh elip, h…nh vi¶n ph¥n h…nh
khæng câ giîi h⁄n trong m°t phflng công l h…nh lçi.
H…nh 3
Trong h…nh tr¶n ta câ th” t…m th§y c¡c v‰ dö v• h…nh khæng ph£i
l h…nh lçi. C¡c h…nh lçi âng (hi”u theo ngh¾a gi£i t‰ch l nâ chøa
t§t c£ c¡c i”m giîi h⁄n cıa nâ) v bà ch°n (câ th” phı nâ b‹ng mºt h…nh
trÆn ı lîn) ÷æc gåi l c¡c oval. Ngo i ra cÆn câ c¡c h…nh lçi khæng
bà ch°n: nßa m°t phflng, mºt gâc nhä hìn 180 º, mºt d£i, phƒn m°t
phflng giîi h⁄n bði mºt ÷íng thflng parabol.
C¡c i”m cıa mºt h…nh lçi ÷æc chia th nh hai lo⁄i i”m trong v i”m
bi¶n.
ành ngh¾a 1.2 Mºt i”m gåi l i”m trong cıa h…nh lçi F n‚u tçn t⁄i mºt
h…nh trÆn nh“n nâ l m t¥m v n‹m ho n to n trong F.

4
H…nh 4
ành ngh¾a 1.3 Mºt i”m gåi l i”m bi¶n cıa h…nh lçi F n‚u mØi h…nh
trÆn nh“n nâ l m t¥m chøa ‰t nh§t mºt i”m khæng thuºc h…nh lçi
F .
H…nh 5
ành ngh¾a 1.4 N‚u F h…nh lçi âng th… t“p hæp c¡c i”m bi¶n l
nhœng ÷íng li¶n töc ÷æc gåi l bi¶n cıa F. C¡c oval câ bi¶n l mºt ÷íng
kh†p k‰n.
C¡c h…nh trong lu“n v«n n y •u ÷æc hi”u l c¡c h…nh âng câ t‰nh c£
bi¶n, trł tr÷íng hæp ngo⁄i l» m ta nâi rª.
ành lþ 1.1 Mºt ÷íng thflng qua i”m trong h…nh lçi F c›t bi¶n t⁄i óng
2 i”m. Khi â o⁄n nŁi hai i”m n y n‹m trong F.
B¥y gií x†t B l mºt i”m bi¶n tòy þ cıa mºt h…nh lçi F. Tł B ta k·
nhœng nßa ÷íng thflng xu§t ph¡t tł B v ch⁄y qua ‰t nh§t mºt i”m b¶n
trong cıa F.

5
H…nh 6
C¡c tia n y s‡ t⁄o n¶n mºt nßa m°t phflng ho°c l t⁄o n¶n mºt gâc lçi.
ành ngh¾a 1.5 ÷íng thflng d i qua ‰t nh§t mºt i”m bi¶n v khæng i
qua i”m trong n o cıa h…nh lçi F gåi l ÷íng thflng tüa cıa F.
Trong tr÷íng hæp thø nh§t ÷íng thflng t⁄o n¶n nßa m°t phflng l ÷íng
thflng tüa duy nh§t cıa F.
H…nh 7
CÆn trong tr÷íng hæp thø hai, h…nh F n‹m trong mi•n trong cıa gâc
[
ABC nhä hìn 180 º v qua B s‡ câ væ h⁄n ÷íng thflng tüa cıa h…nh [
lçi F: b§t ký ÷íng thflng n o khæng i qua i”m trong cıa gâc ABC •u s‡
l ÷íng thflng tüa cıa F.
C¡c tia t⁄o n¶n bði BA+
v BC+
÷æc gåi l nßa ti‚p tuy‚n cıa F t⁄i B.
Tâm l⁄i l i qua mºt i”m bi¶n tòy þ cıa F câ ‰t nh§t mºt ÷íng thflng tüa.
ành lþ 1.2 Qua mºt i”m bi¶n B cıa h…nh lçi F câ ‰t nh§t mºt ÷íng
thflng tüa. Trong tr÷íng hæp câ duy nh§t mºt ÷íng thflng tüa th… B
gåi l i”m ch‰nh quy cıa F:

6
ành ngh¾a 1.6 N‚u qua i”m bi¶n B cıa h…nh F câ væ h⁄n ÷íng
thflng tüa th… i”m B gåi l khæng ch‰nh quy ho°c l ¿nh cıa F.
1.2. Giao cıa c¡c h…nh lçi [7]
Trong phƒn n y chóng ta l m quen vîi mºt ành lþ r§t quan trång cıa
h…nh håc tŒ hæp. N‚u cho tr÷îc mºt hå c¡c h…nh lçi, chóng ta
quan t¥m ‚n c¥u häi khi n o hå h…nh lçi n y câ giao kh¡c rØng.
Nhœng c¥u häi â ÷æc °t ra khi xem x†t mºt h» i”m câ th” phı ÷æc
bði mºt h…nh trÆn câ b¡n k‰nh cho tr÷îc hay khæng (ta câ th” th§y
ngay i•u â t÷ìng ÷ìng vîi c¥u häi: li»u hå c¡c h…nh trÆn câ t¥m t⁄i c¡c
i”m ¢ cho v b¡n k‰nh cho tr÷îc câ giao vîi nhau kh¡c rØng hay
khæng?). Nhœng c¥u häi t÷ìng tü nh÷ v“y câ th” °t ra m°c dò câ th”
khâ nh“n bi‚t hìn. Chflng h⁄n ta câ th” häi khi n o trong a gi¡c cho tr÷îc
tçn t⁄i mºt i”m, câ th” tł â quan s¡t ÷æc h‚t t§t c£ c¡c c⁄nh cıa a gi¡c...
Nh÷ng h…nh lçi trong khæng gian mºt chi•u ( ÷íng thflng) câ th”
nh“n bi‚t v chia lîp kh¡ ìn gi£n. Chóng ch¿ câ th” l mºt o⁄n, mºt
kho£ng, mºt tia ho°c l c£ ÷íng thflng m thæi. Trong khæng gian 2-
chi•u, tøc l tr¶n m°t phflng th… h…nh lçi a d⁄ng hìn v °c bi»t khâ l
v§n • nh“n bi‚t khi n o giao cıa chóng kh¡c rØng. Chflng h⁄n n‚u cho
tr÷îc mºt h…nh (ho°c h» mºt i”m) th… r§t khâ tr£ líi khi n o câ th” phı
nâ b‹ng mºt h…nh trÆn b¡n k‰nh R. Ta câ th” d„ d ng nh“n th§y
r‹ng c¥u häi â t÷ìng ÷ìng vîi c¥u häi li»u h» c¡c h…nh trÆn b¡n
k‰nh R câ t¥m t⁄i c¡c i”m thuºc h…nh (ho°c h» i”m cho tr÷îc) câ giao
kh¡c rØng hay khæng?
Tr÷îc h‚t ta câ th” d„ d ng chøng minh m»nh • sau cho khæng gian
mºt chi•u:
ành lþ 1.3 Mºt hå I c¡c o⁄n thflng [ai; bi] tr¶n ÷íng thflng cho tr÷îc câ
giao kh¡c rØng khi v ch¿ khi giao cıa hai o⁄n b§t k… trong chóng
kh¡c rØng.
Chøng minh:

7
i•u ki»n cƒn: N‚u giao c¡c o⁄n cıa hå I kh¡c rØng
) 9c 2 I ) c 2 [ai; bi] [aj; bj] ; 8i; j:
i•u ki»n ı: N‚u giao cıa hai o⁄n thflng b§t k… trong mºt hå c¡c o⁄n
thflng kh¡c rØng th… giao cıa hå c¡c o⁄n thflng n y s‡ kh¡c rØng.
L÷u þ r‹ng [ai; bi] [aj; bj] t÷ìng ÷ìng vîi i•u ki»n
minfbi; bjg maxfai; ajg. Th“y v“y, n‚u:
[ai; bi] [aj; bj] 6=
th… tçn t⁄i: c 2 [ai; bi] [aj; bj] : Khi â ta câ bi; bj c v c 6= ai; aj. Do â ta
câ:
minfbi; bjg c maxfai; ajg
Ng÷æc l⁄i, n‚u minfbi; bjg maxfai; ajg, th… chån c thäa m¢n:
minfbi; bjg c maxfai; ajg
Khi â c 2 [ai; bi] v c 2 [aj; bj] cho n¶n:
c 2 [ai; bi] [aj; bj] :
V“y ta câ i•u ki»n: [ai; bi] [aj; bj] 6= t÷ìng ÷ìng vîi i•u ki»n minfbi; bjg
maxfai; ajg.
Vîi l÷u þ tr¶n, n‚u câ mºt hå I c¡c o⁄n thflng [ai; bi] sao cho giao cıa
hai o⁄n thflng trong chóng kh¡c rØng th… ta câ:
inffbi : i 2 I g supfai : i 2 I g
Khi â i”m c thäa m¢n:
inffbi : i 2 I g c supfai : i 2 I g
s‡ thuºc giao chung cıa t§t c£ c¡c o⁄n thflng thuºc hå I.
Chó þ: Ta ph£i dòng inf v sup v… n‚u I l hå væ h⁄n c¡c o⁄n th…
minfbi; bjg; maxfai; ajg câ th” khæng tçn t⁄i. V‰ dö
I = 1 n ; 1 + n ; n 2 N
1 1
n
I = ; 1 + n ; n 2 N
1 1

I = 1 n; 2
8
; n 2 N
n
1 1
Tr¶n m°t phflng, m»nh • t÷ìng tü công óng. Tuy nhi¶n chøng minh
cho tr÷íng hæp hå væ h⁄n c¡c h…nh lçi s‡ khâ hìn r§t nhi•u. — ¥y ta
chøng minh m»nh • t÷ìng tü cho hœu h⁄n c¡c h…nh lçi.
ành lþ 1.4 Giao cıa mºt hå hœu h⁄n c¡c h…nh lçi tr¶n m°t phflng
kh¡c rØng n‚u giao cıa ba h…nh b§t k… trong chóng kh¡c rØng.
Chøng minh: ành lþ hi”n nhi¶n óng cho 3 h…nh.
Ta chøng minh quy n⁄p theo sŁ n c¡c h…nh lçi (n 4).
Ta chøng minh cho n = 4.
Gåi F1; F2; F3; F4 l 4 h…nh lçi sao cho 3 h…nh b§t ký trong chóng
câ giao kh¡c rØng.
A1 2F2F3F4
A2 2F1F3F4
A3 2F1F2F4
A4 2F1F2F3
Tr÷íng hæp 1. N‚u 2 i”m trong sŁ 4 i”m A1; A2; A3; A4 tròng nhau.
Gi£ sß A1 A2 ) A1 2 F1 F2 F3 F4.
V“y ta ch¿ x†t 4 i”m A1; A2; A3; A4 ph¥n bi»t.
Tr÷íng hæp 2. A1; A2; A3; A4 thflng h ng.
Gi£ sß A2A3 A1A4.
) A2 2A1A4 )A2 2F2 )A2 2F1F2F3F4.
Tr÷íng hæp 3. Bao lçi cıa A1; A2; A3; A4 l tø gi¡c A1A2A3A4.
X†t O l giao i”m cıa 2 ÷íng ch†o A1A3 v A2A4. Suy ra
O 2A1A3)O2F2F4
O 2A2A4)O2F1F3
) O2F1F2F3F4:
Tr÷íng hæp 4. Bao lçi cıa A1A2A3A4 l tam gi¡c.
Gi£ sß A4 n‹m trong ho°c tr¶n 4A1A2A3 m A1; A2; A4 2 F4.

9
) 4A1A2A4 F4 ) A4 2 F4.
) A4 2F1F2F3F4.
V“y ành lþ óng cho tr÷íng hæp n = 4.
Gi£ sß ành lþ óng cho tr÷íng hæp n 4. Ta chøng minh nâ óng vîi
n + 1. Th“t v“y, x†t n + 1 h…nh lçi F1; F2; :::; Fn; Fn+1 thäa m¢n giao
cıa 3 h…nh b§t ký kh¡c rØng.
X†t n h…nh lçi sau: F1; F2; :::; Fn 1; Fn Fn+1, n h…nh n y thäa
m¢n i•u ki»n cıa ành lþ v… n‚u 3 h…nh b§t ký trong chóng khæng
chøa Fn Fn+1 câ giao kh¡c rØng. N‚u câ mºt trong ba h…nh l Fn
Fn+1 th… ta quy v• bŁn h…nh Fn; Fn 1 v 2 h…nh kia, n¶n câ giao
kh¡c rØng. V“y n h…nh tr¶n thäa m¢n i•u ki»n cıa ành lþ.
Theo gi£ thi‚t quy n⁄p F1 F2 ::: Fn 1 Fn Fn+1 6= ;.
Tøc l n + 1 h…nh lçi ¢ cho câ giao kh¡c rØng.
ành lþ 1.5 Cho ba h…nh b…nh h nh F1; F2; F3; c¡c c⁄nh cıa chóng
song song vîi hai ÷íng thflng cŁ ành. Khi â, n‚u måi c°p hai h…nh trong
chóng câ i”m chung, th… c£ ba h…nh b…nh h nh công câ i”m chung.
Chøng minh:
H…nh 8
Ta chån trong m°t phflng h» tåa º vîi c¡c tröc n‹m tr¶n hai ÷íng thflng
¢ cho. K‰ hi»u A1 l i”m chung cıa F2 v F3, A2 l i”m chung cıa F1 v
F3, A3 l i”m chung cıa F1 v F2.
K‰ hi»u (xi; yi) l tåa º cıa i”m Ai Łi vîi h» tåa º ¢ chån (i = 1, 2, 3).

10
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta câ th” gi£ thi‚t nhœng h…nh b…nh h
nh F1; F2; F3; ÷æc g¡n nh¢n sao cho vîi c¡c tåa º t÷ìng øng x1; x2; x3;
thäa m¢n b§t flng thøc x1 x2 x3.
H…nh b…nh h nh F1 s‡ chøa c¡c i”m A2 v A3. Khi â, nâ chøa t§t c£
nhœng i”m P vîi tåa º (x; y) sao cho x2 x x3; y2 y y3 vîi
y2 y3 ho°c l y3 y y2 vîi y3 y2.
T÷ìng tü, F2 s‡ chøa t§t c£ nhœng i”m Q vîi tåa º (x; y) sao cho x1 x
x3; y1 y y3 vîi y1 y3 ho°c l y3 y y1 vîi y3 y1. Ta l°p l⁄i l“p lu“n tr¶n vîi
h…nh b…nh h nh F3, ta s‡ nh“n ÷æc sü tçn t⁄i i”m P vîi tåa º (x2; z),
m nâ n‹m tr¶n c£ ba h…nh b…nh h nh. Th“t v“y, cho c¡c ch¿ sŁ i; j;
k nh“n nhœng gi¡ trà 1, 2, 3 v gi£ sß r‹ng b§t flng thøc sau óng yi yj
yk. Khi â b‹ng c¡ch °t yi = z, s‡ nh“n ÷æc k‚t qu£ cƒn thi‚t.
K‚t hæp vîi ành lþ 1.4 ta ÷æc k‚t qu£
ành lþ 1.6 Trong m°t phflng cho hœu h⁄n c¡c h…nh b…nh h nh câ c¡c
c⁄nh song song vîi hai ÷íng thflng cŁ ành. N‚u måi c°p hai h…nh trong
chóng câ i”m chung, th… t§t c£ c¡c h…nh b…nh h nh công câ i”m chung.
B i to¡n 1.1 Chøng minh r‹ng mºt hå c¡c a gi¡c æi mºt c›t nhau s‡ câ
mºt c¡t tuy‚n chung.
Líi gi£i:
Cho hå a gi¡c F m Fi Fj 6= ; vîi måi Fi; Fj 2 F .
Gåi d l ÷íng thflng b§t ký.

11
Gåi [ai; bi] l h…nh chi‚u cıa Fi l¶n d.
Ta th§y Fi Fj 6= ; ) [ai; bi] [aj; bj] 6= ;
Do â c¡c o⁄n [ai; bi] câ i”m chung A.
÷íng thflng i qua A v vuæng gâc vîi d l c¡t tuy‚n chung cƒn t…m.
B i to¡n 1.2 Tr¶n m°t phflng câ mºt sŁ i”m m kho£ng c¡ch giœa hai
i”m b§t ký trong chóng khæng v÷æt qu¡ 1. Chøng minh r‹ng câ th”
1
phı chóng bði mºt h…nh trÆn b¡n k‰nh
p . 3
Líi gi£i: L§y hå c¡c i”m Mi (i = 1; 2; :::; n) sao cho MiMj 1. Gåi Fi 1
l c¡c ÷íng trÆn t¥m Mi, b¡n k‰nh p . 3
Ta s‡ chøng minh giao cıa 3 ÷íng trÆn trong hå Fi kh¡c rØng.
Th“t v“y, x†t 3 i”m b§t ký cıa hå Mi gi£ sß l M1; M2; M3.
Tr÷íng hæp 1. 4M1M2M3 câ mºt gâc lîn hìn ho°c b‹ng 90o
.
Gi£ sß M1 > 90o
. Khi â ÷íng trÆn ÷íng k‰nh M2M3 chøa 4M1M2M3.
Suy ra c 2 2
p
3
b¡n k‰nh ÷íng trÆn n y R < M2M3 1
< 1
:
Tr÷íng hæp 2. 4M1M2M3 nhån.
Suy ra mºt trong ba gâc cıa tam gi¡c n y câ mºt gâc lîn hìn ho°c b‹ng
60o
. Gi£ sß Mc1 60o
.

tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
12
Gåi (O; R) l ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p 4M1M2M3. Theo ành lþ h m sin:
M
2
M
3
M
1
M
2 1
R = <p :
2 sin M1 2 sin 60o
3
1
) 4M1M2M3 chøa trong h…nh trÆn t¥m O; p .
3
) F1; F2; F3 câ i”m chung.
V“y trong hå Fi câ giao kh¡c rçng, A l mºt i”m thuºc phƒn chung n y.

1
÷íng trÆn A; p l ÷íng trÆn cƒn t…m.
3
B i to¡n 1.3 Tr¶n m°t phflng câ mºt sŁ c¡c h…nh trÆn. Bi‚t r‹ng câ
mºt ¾a trÆn câ t‰nh ch§t l vîi ba h…nh trÆn tòy þ trong chóng
luæn câ th” t…m và tr‰ ” °t ¾a c›t c£ ba h…nh trÆn n y. Chøng
minh r‹ng tçn t⁄i mºt và tr‰ ” °t ¾a c›t t§t c£ c¡c h…nh trÆn ¢ cho.
Líi gi£i:
Gåi Fi l c¡c h…nh trÆn t¥m I, b¡n k‰nh Ri. ¾a trÆn câ t¥m I, b¡n
k‰nh R.
X†t c¡c h…nh trÆn Ci t¥m Ii, b¡n k‰nh Ri + R > IIi. Ta th§y n‚u ¾a
trÆn c›t Fi th… I 2 Ci.
Theo gi£ thi‚t 3 h…nh trÆn Ci câ giao kh¡c rØng l I. Do â hå Ci câ
giao kh¡c rØng. Ta ch¿ cƒn °t t¥m I cıa ¾a v o và tr‰ n y.

13
B i to¡n 1.4 Tr¶n m°t phflng câ mºt sŁ h…nh trÆn. Bi‚t r‹ng câ mºt
¾a trÆn câ t‰nh ch§t l vîi ba h…nh trÆn tòy þ trong chóng luæn
câ th” t…m và tr‰ ” °t ¾a phı c£ ba h…nh trÆn n y. Chøng minh
r‹ng tçn t⁄i mºt và tr‰ ” °t ¾a phı t§t c£ c¡c h…nh trÆn.
Líi gi£i:
X†t c¡c h…nh trÆn Fi t¥m Ii, b¡n k‰nh Ri v ¾a câ t¥m I b¡n k‰nh R.
X†t c¡c h…nh trÆn (Ci) t¥m Ii, b¡n k‰nh R Ri.
Ta th§y r‹ng ¾a trÆn phı Fi khi v ch¿ khi IIi < R+Ri. Do â I 2 (Ci).
Theo gi£ thi‚t cø ba h…nh trÆn tòy þ luæn t…m ÷æc và tr‰ ” ¾a
phı 3 h…nh trÆn n y câ ngh¾a l cø ba h…nh trÆn (Ci) tòy þ câ
giao kh¡c rØng l i”m I.
Do â hå (Ci) câ giao kh¡c rØng. Ta °t ¾a sao cho t¥m cıa ¾a v o và
tr‰ giao kh¡c rØng n y.
B i to¡n 1.5 Tr¶n m°t phflng câ mºt sŁ h…nh trÆn. Bi‚t r‹ng câ mºt
¾a trÆn câ t‰nh ch§t l vîi ba h…nh trÆn tòy þ trong chóng luæn câ
th” t…m và tr‰ ” °t ¾a n‹m trong c£ ba h…nh trÆn n y. Chøng minh
r‹ng tçn t⁄i mºt và tr‰ ” °t ¾a n‹m trong t§t c£ c¡c h…nh trÆn ¢ cho.
Líi gi£i:
X†t c¡c h…nh trÆn Fi t¥m Ii, b¡n k‰nh Ri v ¾a câ t¥m I b¡n k‰nh R.
X†t c¡c h…nh trÆn (Ci) t¥m Ii, b¡n k‰nh Ri R.
Ta th§y r‹ng ¾a trÆn phı Fi khi v ch¿ khi IIi < R+Ri. Do â I 2 (Ci).

14
Theo gi£ thi‚t cø ba h…nh trÆn tòy þ luæn t…m ÷æc và tr‰ ” ¾a
n‹m trong ba h…nh trÆn n y câ ngh¾a l cø ba h…nh trÆn (Ci) tòy þ
câ giao kh¡c rØng l i”m I.
Do â hå (Ci) câ giao kh¡c rØng. Ta °t ¾a sao cho t¥m cıa ¾a v o và
tr‰ giao kh¡c rØng n y.
B i to¡n 1.6 Tr¶n m°t phflng câ mºt sŁ c¡c ÷íng thflng. Bi‚t r‹ng câ
mºt ¾a trÆn câ t‰nh ch§t l vîi ba ÷íng thflng tòy þ trong chóng
luæn câ th” t…m và tr‰ °t ¾a c›t c£ ba ÷íng thflng n y. Chøng minh
r‹ng tçn t⁄i mºt và tr‰ c›t t§t c£ c¡c ÷íng thflng ¢ cho.
Líi gi£i:
X†t c¡c hå ÷íng thflng di cıa • b i v¾a câ t¥m I, b¡n k‰nh R.
Gåi Fi l d£i song song, ð â di n‹m giœa Fi v kho£ng c¡ch tł di ‚n bi¶n
cıa Fi l R.
Ta th§y r‹ng, n‚u di c›t ¾a th… I 2 Fi. Theo gi£ thi‚t ” b i ta câ ba

15
d£i b§t ký trong hå Fi câ giao kh¡c rØng l I. Do â hå Fi câ giao kh¡c
rØng ta °t ¾a sao cho t¥m I cıa ¾a n‹m ð và tr‰ n y.
B i to¡n 1.7 Tr¶n mºt ÷íng trÆn ìn và câ mºt h» c¡c cung nhä hìn
câ t‰nh ch§t l giao cıa ba h…nh b§t ký trong chóng kh¡c rØng.
Chøng minh r‹ng giao cıa c£ h» kh¡c rØng.
Líi gi£i:
MØi cung øng vîi mºt h…nh vi¶n ph¥n.
H…nh vi¶n ph¥n lçi do cung nhä hìn .
Ba cung b§t ký câ giao kh¡c rØng khi v chi khi ba h…nh vi¶n ph¥n
t÷ìng øng câ giao kh¡c rØng.
Do â hå c¡c h…nh vi¶n ph¥n câ giao kh¡c rØng.
L§y mºt i”m b§t ký thuºc giao n y, k†o d i ÷íng thflng nŁi i”m O vîi i”m
n y c›t ÷íng trÆn t⁄i hai i”m. Mºt trong hai i”m n y l i”m cƒn t…m.
B i to¡n 1.8 Tr¶n mºt ÷íng trÆn ìn và câ mºt h» cung câ º d i nhä hìn
2
3 câ t‰nh ch§t l giao cıa hai cung b§t ký trong chóng kh¡c rØng.
Chøng minh r‹ng giao cıa c£ h» kh¡c rØng.
Líi gi£i:
L§y mºt cung b§t ký trong chóng. Gi£ sß l cung AB.

16
Theo gi£ thi‚t suy ra N khæng n‹m tr¶n b§t cø cung n o c›t ÷íng
trÆn t⁄i i”m N v tr£i thflng ra ta s‡ câ b i to¡n:
Hai o⁄n b§t ký nhä hìn
2
3 câ giao kh¡c rØng, ta câ giao cıa hå c¡c
o⁄n kh¡c rØng.
Tł â, ta câ giao cıa hå c¡c cung kh¡c rØng.
B i to¡n 1.9 Trong mºt khu tri”n l¢m tranh câ h…nh a gi¡c câ c¡c c⁄nh
khæng tü c›t. Chøng minh r‹ng n‚u cø ba bøc t÷íng tòy þ luæn t…m
÷æc mºt i”m nh…n th§y t§t c£ chóng th… ta t…m ÷æc mºt i”m
nh…n th§y t§t c£ c¡c bøc t÷íng.
Líi gi£i:
Gåi di l hå c¡c ÷íng thflng chøa c⁄nh cıa a gi¡c. Gåi Mi l nßa m°t
phflng câ bí l di chøa mºt phƒn cıa a gi¡c li•n vîi c⁄nh t÷ìng øng. Mºt
i”m trong a gi¡c nh…n th§y c⁄nh th… ph£i thuºc nßa m°t phflng t÷ìng
øng.
V“y cø ba bøc t÷íng tòy þ luæn t…m ÷æc mºt i”m nh…n th§y t§t c£

17
chóng øng vîi cø ba nßa m°t phflng trong hå Mi luæn câ mºt i”m
chung. Do â t§t c£ c¡c nßa m°t phflng câ i”m chung. i”m chung n y l
i”m cƒn t…m.

18
Ch÷ìng 2
V• h…nh lçi v ÷íng k‰nh cıa h…nh
2.1. ành ngh¾a ÷íng k‰nh cıa h…nh [3]
Tr÷îc ti¶n chóng ta h¢y quan s¡t mºt h…nh trÆn. N‚u b¡n k‰nh
cıa nâ l R th… ÷íng k‰nh d cıa nâ s‡ l 2R. Vîi P l mºt i”m tòy þ cıa
h…nh trÆn, n‚u k‰ hi»u R(P ) v r(P ) l kho£ng c¡ch lîn nh§t v nhä
nh§t tł P tîi c¡c i”m ð tr¶n bi¶n cıa h…nh trÆn (c¡c i”m tr¶n ÷íng
trÆn) th… R(P ) l kho£ng c¡ch tł P tîi i”m tr¶n ÷íng trÆn v xuy¶n t¥m
Łi vîi nâ (n‹m kh¡c ph‰a vîi nâ so vîi t¥m cıa ÷íng trÆn), cÆn r(P ) l
kho£ng c¡ch tł P tîi i”m công thflng h ng vîi P v t¥m ÷íng trÆn nh÷ng
l⁄i công ph‰a vîi P. Chóng ta d„ d ng nh“n th§y r‹ng
R(P ) + r(P ) = d, v R = min R(P ) : P thuºc ÷íng trÆn .
N‚u chóng ta chån mºt h…nh F l mºt h…nh tòy þ v công ành ngh¾a
t÷ìng tü R(P) v r(P) l kho£ng c¡ch lîn nh§t v nhä nh§t tł i”m P cho
tr÷îc trong F tîi bi¶n cıa F v R(F ) = max fR(P ) : P 2 F g th…
nâi chung R(F ) 6= r(F ). Chflng h⁄n n‚u F l h…nh tam gi¡c tòy þ th…
R(F) l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p nâ v r(F) l b¡n k‰nh ÷íng trÆn
nºi ti‚p nâ. Nh÷ v“y þ t÷ðng sß döng t‰nh ch§t b¡n k‰nh ” ành
ngh¾a ÷íng k‰nh cıa h…nh trÆn khæng ÷a ‚n ành ngh¾a ÷íng
k‰nh cıa h…nh b§t ký ÷æc.
Nh÷ng chóng ta câ th” ành ngh¾a ÷íng k‰nh cıa h…nh trÆn b‹ng
mºt con ÷íng kh¡c khæng phö thuºc v o b¡n k‰nh cıa nâ.
Tr÷îc h‚t ta nh“n x†t r‹ng kho£ng c¡ch giœa hai i”m tòy þ M v N
trong h…nh trÆn khæng lîn hìn ÷íng k‰nh cıa nâ.

19
H…nh 9
V ta câ th” t…m ÷æc hai i”m cıa h…nh trÆn sao cho kho£ng
c¡ch giœa chóng l ÷íng k‰nh cıa h…nh trÆn. Nh÷ v“y ÷íng k‰nh
cıa h…nh trÆn l kho£ng c¡ch lîn nh§t cıa hai i”m thuºc nâ.
ành ngh¾a 2.1 Kho£ng c¡ch d ÷æc gåi l
1. Kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t k… M v
d.
2. Ng÷íi ta câ th” t…m ÷æc hai i”m A v
÷íng k‰nh cıa h…nh F n‚u:
N cıa h…nh F khæng lîn hìn
B trong F sao cho AB = d.
H…nh 10
Vîi ành ngh¾a n y chóng ta câ th” ành ngh¾a cho måi h…nh ÷íng
k‰nh cıa nâ v ÷íng k‰nh ÷æc ành ngh¾a theo c¡ch n y cho ta
h…nh £nh "chi•u d i" cıa nâ.
H…nh 11
Chflng h⁄n n‚u F l nßa h…nh trÆn ÷æc t⁄o bði mºt ÷íng k‰nh AB
chia æi mºt h…nh trÆn cho tr÷îc th… rª r ng ÷íng k‰nh cıa F
ch‰nh l AB.
N‚u nh÷ F l mºt h…nh a gi¡c th… câ th” th§y r‹ng ÷íng k‰nh cıa F
l kho£ng c¡ch lîn nh§t giœa hai ¿nh n o â cıa a gi¡c.

20
H…nh 12
Trong tr÷íng hæp °c bi»t n‚u h…nh F l mºt tam gi¡c th… c⁄nh lîn nh§t
cıa tam gi¡c s‡ l ÷íng k‰nh cıa h…nh.
H…nh 13
Trong tr÷íng hæp tŒng qu¡t n‚u F l mºt cung trÆn giîi h⁄n bði mºt
d¥y cung a th… a l ÷íng k‰nh cıa h…nh n‚u cung trÆn â khæng lîn
hìn nßa ÷íng trÆn v trong tr÷íng hæp cung trÆn lîn hìn nßa ÷íng
trÆn th… ÷íng k‰nh cıa nâ công óng l ÷íng k‰nh cıa h…nh trÆn ¢
cho.
H…nh 14
N‚u ÷íng k‰nh cıa mºt h…nh F b‹ng d th… trong F câ th” tçn t⁄i nhi•u
c°p i”m m kho£ng c¡ch giœa chóng l d.
Trong h…nh elip ch¿ câ mºt c°p i”m nh÷ v“y, trong mºt tam gi¡c •u
câ ba c°p i”m, trong h…nh vuæng câ hai c°p i”m nh÷ th‚ v trong
h…nh trÆn câ væ h⁄n c°p i”m ÷íng k‰nh nh÷ v“y.

21
H…nh 15
H…nh F ÷æc t⁄o bði tł h…nh tam gi¡c •u c⁄nh d b‹ng c¡ch tł mØi ¿nh
düng th¶m cung trÆn b¡n k‰nh d v giîi h⁄n bði hai c⁄nh b¶n công câ
væ sŁ c°p i”m câ kho£ng c¡ch b‹ng ÷íng k‰nh.
B i to¡n 2.1 Cho mºt h…nh F tòy þ. Vîi mØi i”m P trong F kþ hi»u
R(P ) v r(P ) l kho£ng c¡ch lîn nh§t v kho£ng c¡ch nhä nh§t tł P ‚n
bi¶n cıa F . °t R = minfR(P ) : P 2 F g v r = maxfr(P ) : P 2 F g. Gåi d
l ÷íng k‰nh cıa F . Chøng minh b§t flng thøc R r. Trong tr÷íng hæp
n o th… ta câ flng thøc.
Líi gi£i:
L§y mºt i”m P b§t ký cıa F .
Do R(P ) l kho£ng c¡ch lîn nh§t tł P tîi c¡c i”m bi¶n cıa F . Do
â ÷íng trÆn t¥m P , b¡n k‰nh R(P ) phı F .
Do r(P ) l kho£ng c¡ch nhä nh§t tł P tîi c¡c i”m bi¶n cıa F . Do
â F phı ÷íng trÆn t¥m P , b¡n k‰nh r(P ). V… v“y l§y 2 i”m P; Q
b§t ký cıa F th… ÷íng trÆn t¥m P , b¡n k‰nh R(P ) phı ÷íng trÆn
t¥m Q, b¡n k‰nh r(Q) ) R(P ) r(Q); 8P; Q 2 F ) R r.
D§u "=" x£y ra khi v ch¿ khi F l h…nh trÆn.

22
B i to¡n 2.2 Chøng minh r‹ng sŁ ÷íng k‰nh cıa mºt n-gi¡c tòy þ
khæng v÷æt qu¡ n. H¢y ch¿ ra mºt n-gi¡c câ óng n ÷íng k‰nh.
Líi gi£i: Vîi n = 3. Ta câ tam gi¡c câ ba c⁄nh n¶n khæng câ qu¡ ba
÷íng k‰nh.
Gi£ sß n-gi¡c câ khæng qu¡ n ÷íng k‰nh (n 3). Ta chøng minh
n + 1 gi¡c câ khæng qu¡ n + 1 ÷íng k‰nh.
Th“t v“y, n‚u mØi ¿nh câ khæng qu¡ hai÷íng k‰nh th… sŁ ÷íng
k‰nh
2(n + 1)
cıa n + 1 gi¡c khæng v÷æt qu¡ = n + 1.
N‚u câ mºt ¿nh A n o â cıa n + 1 gi¡c câ khæng ‰t hìn ba ÷íng
k‰nh AB; AC; AD.
_
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t ta câ th” coi C thuºc cung nhä BD cıa
÷íng trÆn (A; d) vîi d l ÷íng k‰nh cıa n-gi¡c.
Ta s‡ chøng minh qua C ch¿ câ mºt ÷íng k‰nh AC. Th“t v“y, gi£ sß
tçn t⁄i ¿nh E cıa n + 1 gi¡c sao cho CE = d.
Khi â E n‹m trong ÷íng trÆn (A; d) do AE < d. Do CE = d n¶n E ph£i
n‹m ngo i h…nh qu⁄t ABD.
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t gi£ sß B; E kh¡c ph‰a vîi AD.
Khi â BE ph£i c›t o⁄n AC v… n‚u BE khæng c›t o⁄n AC, ta h⁄ EH
vuæng gâc vîi AC t⁄i H.
CE > CH AC = d (væ lþ)
X†t tø gi¡c ABCE ta câ:
AB+CE <OB+OA+OC+OE =BE+AC

, d + d < BE + d , BE > d (væ lþ)

23
X†t n gi¡c trong n + 1 gi¡c bä i i”m C. Theo gi£ thi‚t quy n⁄p câ
khæng qu¡ n ÷íng ch†o.
V“y n + 1 gi¡c câ khæng qu¡ n + 1 ÷íng ch†o.
Ch¿ ra mºt v‰ dö.
n = 3 : Tam gi¡c •u câ 3 ÷íng k‰nh l 3 c⁄nh.
n > 3 : n gi¡c ABA1 : : : An 3C nh÷ h…nh v‡ câ n ÷íng k‰nh.
B i to¡n 2.3 Chøng minh r‹ng måi h…nh câ ÷íng k‰nh d •u câ th”
phı bði mºt h…nh vuæng c⁄nh d.
Líi gi£i:
Ta l§y mºt h…nh vuæng ı lîn ” phı mºt h…nh F câ ÷íng k‰nh d. Ta
tành ti‚n h…nh vuæng n y ” ÷æc h…nh vuæng mîi câ ‰t nh§t hai c⁄nh
l ÷íng thflng tüa cıa F . Hai c⁄nh n y c›t nhau ð A. Tr¶n hai c⁄nh n y
l§y hai i”m B; C sao cho AB = AC = d.

24
Ta th§y r‹ng h…nh vuæng c⁄nh d câ ba ¿nh A; B; C phı h…nh F .
B i to¡n 2.4 T…m sŁ n nhä nh§t sao cho câ n i”m trong h…nh chœ nh“t p
3 4 th… luæn câ hai i”m
trong chóng câ kho£ng c¡ch nhä hìn 5.
Líi gi£i:
Gåi h…nh chœ nh“t k‰ch th÷îc 3x4 l ABCD ð â AB = 4; AD = 3.
Gåi O l giao cıa 2 ÷íng ch†o.
5
Do kho£ng c¡ch giœa 5 i”m A; B; C; D; O lƒn l÷æt l 3; 4 v •u lîn
2
p
hìn 5 n¶n n 6. p
Ta chia h…nh chœ nh“t ABCD th nh 5 h…nh câ ÷íng k‰nh 5 nh÷
h…nh sau.

25
N‚u ta °t v o trong h…nh chœ nh“t ABCD n i”m (n 6) th… theo
nguy¶n lþ Direcle s‡ câ ‰t nh§t 2 i”m n‹m 1 trong 5 h…nh ÷íng
k‰nh p
5 ð b¶n.
p
V“y kho£ng c¡ch giœa 2 i”m n y nhä hìn 5.
B i to¡n 2.5 Câ th” phı h…nh F trong h…nh sau b‹ng mºt h…nh a gi¡c
câ ÷íng k‰nh b‹ng ÷íng k‰nh cıa F hay khæng? H¢y t‰nh a(F ).
Líi gi£i:
Do h…nh F câ væ h⁄n ÷íng k‰nh n¶n n‚u câ mºt a gi¡c phı F câ
còng ÷íng k‰nh th… F ph£i câ hœu h⁄n ÷íng k‰nh. Do â, khæng
th” phı F bði mºt a gi¡c câ còng ÷íng k‰nh.
Khæng th” chia F th nh 2 phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn v… n‚u chia F
l m 2 phƒn th… mºt trong 2 phƒn n y ph£i chøa 2 ¿nh cıa A; B; C cıa
F , h…nh n y câ ÷íng k‰nh l ÷íng k‰nh cıa F (væ lþ).
Ta câ th” chia F l m 3 phƒn nh÷ h…nh tr¶n vîi O l t¥m cıa 4ABC.
V“y a(F ) = 3:
B i to¡n 2.6 Cho F l mºt h…nh câ væ h⁄n ÷íng k‰nh. Chøng minh
r‹ng khæng th” phı F b‹ng mºt a gi¡c câ còng ÷íng k‰nh.

26
Líi gi£i: H…nh F câ væ h⁄n ÷íng k‰nh. N‚u câ mºt a gi¡c phı F câ
còng ÷íng k‰nh th… F ph£i câ hœu h⁄n ÷íng k‰nh. Do â, khæng
th” phı F bði mºt a gi¡c câ còng ÷íng k‰nh.
B i to¡n 2.7 Câ th” phı mºt h…nh elip b‹ng mºt h…nh a gi¡c câ còng
÷íng k‰nh hay khæng?
Líi gi£i:
Hai ¿nh cıa tröc lîn l hai ¿nh cıa a gi¡c phı. T⁄i ¿nh n y câ ‰t nh§t
hai ÷íng tüa cıa a gi¡c phı c¡c ÷íng n y công l ÷íng thflng tüa cıa elip
nh÷ng t⁄i ¿nh cıa elip ch¿ câ mºt ÷íng thflng tüa. V“y khæng tçn t⁄i a
gi¡c câ còng ÷íng k‰nh vîi elip phı elip.
B i to¡n 2.8 Chøng minh r‹ng mºt h…nh ÷íng k‰nh d câ th” phı ÷æc p
bði tam gi¡c •u câ c⁄nh 3d
Líi gi£i:

27
Cho h…nh F câ÷íng k‰nh d.
Ta câ th” phı F bði mºt tam gi¡c •u ı lîn, mØi c⁄nh cıa tam gi¡c •u n y
ta t…m ÷æc hai ÷íng thflng tüa cıa F song song vîi c⁄nh n y. S¡u ÷íng
thflng tüa n y t⁄o th nh hai tam gi¡c •u H1; H2.
L§y mºt i”m M b§t ký trong F . Gåi d1; d2 l ÷íng cao cıa H1; H2.
Ta câ b i to¡n:
TŒng kho£ng c¡ch tł mºt i”m trong mºt tam gi¡c •u tîi c¡c c⁄nh b‹ng
÷íng cao cıa tam gi¡c •u.
1 1 1
S
ABC
= S
ABM
+ S
MBC
+ S
MAC
=
AB:h1 + BC:h2 + AC:h3
2 2 2
,
1 1
AB:h = AB(h1 + h2 + h3)
2 2
, h = h1 + h2 + h3
V“y tŒng kho£ng c¡ch tł M tîi c¡c c⁄nh cıa H1 v H2 b‹ng d1 + d2 m
tŒng kho£ng c¡ch tł M tîi hai c⁄nh song song cıa H1 v H2 nhä hìn
d, do d l ÷íng k‰nh cıa F .
Tł â ta câ: d1 + d2 < 3d.
3d
V“y mºt trong 2 sŁ d1; d2 câ mºt sŁ nhä hìn ho°c b‹ng . Gi£ sß
2
3d
d1 .
2 2d1 p
C⁄nh cıa H1 b‹ng p d 3.
3

28
2.2. °t v§n • [3]
Cho mºt h…nh F tòy þ, chóng ta nghi¶n cøu ð ¥y b i to¡n chia F th
nh c¡c phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn ÷íng k‰nh cıa h…nh ¢ cho. SŁ
phƒn nhä nh§t ” câ th” chia nh÷ v“y ÷æc k‰ hi»u l a(F).
N‚u chóng ta chia mºt h…nh trÆn ÷íng k‰nh d ra l m hai phƒn
bði mºt ÷íng li¶n töc nŁi hai i”m M v N n o â tr¶n ÷íng trÆn th… mºt
trong hai phƒn ÷æc chia s‡ chøa i”m xuy¶n t¥m Łi M’ cıa M v nâ s‡ l
÷íng k‰nh d l º d i MM’.
H…nh 16
M°t kh¡c ta luæn câ th” chia h…nh trÆn ra l m ba phƒn sao cho mØi
phƒn trong chóng câ ÷íng k‰nh nhä hìn d.
H…nh 17

29
Vîi mºt tam gi¡c •u công x£y ra t÷ìng tü.
H…nh 18
N‚u ch¿ chia mºt tam gi¡c •u ra l m hai phƒn th… mºt trong hai phƒn
â s‡ chøa hai ¿nh cıa tam gi¡c v ÷íng k‰nh cıa phƒn â ch‰nh l
÷íng k‰nh cıa h…nh tam gi¡c ¢ cho.
Nh÷ v“y l nâi chung ta khæng chia ÷æc mºt h…nh câ ÷íng k‰nh d
l m hai phƒn sao cho ÷íng k‰nh cıa mØi phƒn nhä hìn d, nh÷ng ta
câ th” chia chóng l m ba phƒn câ t‰nh ch§t nh÷ tr¶n. T§t nhi¶n câ
nhœng h…nh câ th” chia l m hai phƒn theo ÷íng k‰nh nhä hìn ÷íng
k‰nh cıa h…nh ¢ cho.
N‚u F l mºt h…nh trÆn hay l mºt h…nh tam gi¡c •u th… a(F)= 3, v
F l h…nh b…nh h nh ho°c l h…nh elip th… a(F)= 2. V§n • chia mºt
h…nh ra c¡c h…nh câ ÷íng k‰nh nhä hìn khæng ch¿ ÷æc °t ra vîi
c¡c h…nh phflng m cÆn ÷æc °t ra vîi c¡c h…nh khæng gian (v c£ vîi
c¡c h…nh trong khæng gian n-chi•u).
V§n • t…m c¡c gi¡ trà câ th” cıa a(F) ÷æc nh to¡n håc Brosuk
K.(ng÷íi Balan) °t ra tłng nhœng n«m 1933 v tł â câ r§t nhi•u cæng
tr…nh khoa håc nghi¶n cøu v• v§n • n y. Trong phƒn sau chóng ta
xem x†t gi£i b i to¡n cho nhœng h…nh phflng v sau â gi£i quy‚t b i
to¡n chia h…nh cƒu trong khæng gian ba chi•u.
2.3. Chia h…nh phflng [3]
— tr¶n kia chóng ta ¢ th§y r‹ng a(F ) = 2 óng cho mºt sŁ h…nh
trong m°t phflng (elip ho°c l h…nh b…nh h nh) v Łi vîi mºt sŁ h…nh
kh¡c, chflng h⁄n Łi vîi h…nh trÆn ho°c tam gi¡c •u, ta câ a(F ) = 3.
Mºt c¥u häi t§t nhi¶n ÷æc °t ra l li»u câ h…nh F n o ” a(F ) > 3 hay

30
khæng? Tøc l câ hay khæng mºt h…nh F m khi chia F ra ba phƒn tòy
þ ta s‡ luæn câ mºt h…nh câ ÷íng k‰nh b‹ng ÷íng k‰nh cıa F . C¥u
tr£ líi l khæng. Chóng ta chøng minh k‚t qu£ cıa Brosuk r‹ng måi h…nh
F câ th” chia l m ba phƒn sao cho mØi phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn.
Phƒn chı y‚u trong chøng minh k‚t qu£ cıa Brosuk l m»nh • sau,
÷æc nh to¡n håc Hung t¶n l Pal chøng minh trong n«m 1920.
ành lþ 2.1 MØi h…nh phflng F vîi ÷íng k‰nh d câ th” °t v o mºt
h…nh löc gi¡c •u câ kho£ng c¡ch giœa c¡c c°p c⁄nh Łi di»n b‹ng d.
Chøng minh.
Þ t÷ðng chı y‚u cıa chøng minh n y l phı h…nh F ÷íng k‰nh d cho
tr÷îc b‹ng mºt h…nh löc gi¡c •u câ t‰nh ch§t l h…nh löc gi¡c •u n y
câ th” chia th nh ba phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn d.
H…nh 19
Ta chån mºt ÷íng thflng l khæng c›t F v tành ti‚n l l⁄i gƒn F cho ‚n khi
nâ i qua mºt i”m cıa F.
Qua â ta thu ÷æc mºt ÷íng thflng l1 câ t‰nh ch§t l nâ ch¿ câ
chung vîi F mºt i”m duy nh§t v F n‹m v• mºt ph‰a vîi ÷íng thflng l1.
T÷ìng tü nh÷ v“y ta câ mºt ÷íng thflng tüa thø hai l2 // l1 sao cho F
n‹m trong kho£ng giœa cıa l1 v l2. Rª r ng kho£ng c¡ch giœa l1 v l2
khæng v÷æt qu¡ d.

31
Chån mºt ÷íng thflng m nghi¶ng vîi l1 mºt gâc 60 v ti‚n h nh t÷ìng
tü nh÷ Łi vîi l1 v l2, ta thu ÷æc hai ÷íng thflng tüa m1 // m2 c›t c°p
÷íng thflng l1 // l2 t⁄o th nh h…nh b…nh h nh ABCD.
B¥y gií chóng ta lòi c¡c ÷íng thflng l1, l2, m1; m2; p1 v p2 sao cho
chóng còng c¡ch O mºt kho£ng d
2 th… c¡c ÷íng thflng n y c›t nhau
t⁄o th nh mºt löc gi¡c •u câ kho£ng c¡ch c¡c c°p c⁄nh Łi di»n b‹ng d v
chøa F. }
p döng ành l‰ n y ta câ th” chøng minh d„ d ng k‚t qu£ sau:
ành lþ 2.2 MØi h…nh F tr¶n m°t phflng vîi ÷íng k‰nh d •u câ th” chia
th nh ba phƒn sao cho ÷íng k‰nh cıa mØi phƒn khæng v÷æt qu¡
p
2
3
d.
Chøng minh: p döng bŒ • Pal ta phı h…nh F b‹ng mºt h…nh löc gi¡c
•u câ kho£ng c¡ch giœa c°p c⁄nh Łi di»n b‹ng d
H…nh 20
B‹ng c¡ch chia nh÷ h…nh ta chia h…nh löc gi¡c l m ba phƒn câ ÷íng
p
k‰nhóng b‹ng
B i to¡n 2.9 H¢y t…m mºt v‰ dö v• h…nh phflng ÷íng k‰nh d khæng p
th” chia l m ba phƒn vîi ÷íng k‰nh nhä hìn 2
3
d.
Líi gi£i: Ta l§y ÷íng trÆn. Ta chia ÷íng trÆn th nh ba phƒn th… ba
phƒn n y giao nhau t⁄i ba i”m n‹m tr¶n ÷íng trÆn, gi£ sß l A; B; C.
2
3
d. ành l‰ ÷æc chøng minh. }

32
N‚u 4ABC •u th… ÷íng k‰nh cıa ba phƒn lîn hìn c⁄nh cıa p
4ABC b‹ng
d
2
3
.
N‚u 4ABC khæng •u th… trong ba c⁄nh cıa 4ABC ph£i câ mºt
pp
c⁄nh lîn hìn
d
2
3
. Phƒn chøa c⁄nh n y câ ÷íng k‰nh lîn hìn
d
2
3
.
B i to¡n 2.10 T…m sŁ n nhä nh§t sao cho tł n i”m n‹m trong mºt p
h…nh ÷íng k‰nh d luæn t…m ÷æc hai i”m câ kho£ng c¡ch nhä hìn d 3 .
2
Líi gi£i:
p
Ba ¿nh cıa tam gi¡c •u ABC câ kho£ng c¡ch l d >
d 3
) n 4:
2
Ta s‡ chøng minh n = 4.
Phı h…nh F bði mºt löc gi¡c •u t¥m O, câ kho£ng c¡ch giœa hai c⁄nh
Łi di»n b‹ng d.

33
Gåi M; N; P l trung i”m cıa ba c⁄nh khæng k• nhau. Ta chia löc gi¡c p
•u th nh ba phƒn câ ÷íng k‰nh
d
2
3
nh÷ h…nh v‡ tr¶n.
BŁn i”m n‹m trong F th… s‡ câ hai i”m n‹m ð mºt trong ba ngô
gi¡c tr¶n h…nh. Do â, kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t ký khæng nhä hìn
p
d 3 .
2 p
Gi£ sß kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t ký b‹ng
d 3
th… c¡c i”m n y
2
ch¿ câ th” l M; N; P ) n = 3 (væ lþ).
B i to¡n 2.11 Chøng minh r‹ng mºt h…nh ÷íng k‰nh d luæn câ th”
d
phı ÷æc mºt h…nh trÆn câ b¡n k‰nh
p . 3
Líi gi£i:
Ta phı h…nh F bði mºt a gi¡c •u t¥m O câ kho£ng c¡ch giœa hai c°p
c⁄nh Łi di»n b‹ng d. Ta phı löc gi¡c n y bði ÷íng trÆn t¥m O, b¡n
d
k‰nh p . ÷íng trÆn n y s‡ phı F .
3
2.4. Chia h…nh cƒu [3]
Nh÷ d„ nh“n th§y r‹ng trong khæng gian câ nhœng h…nh F m a(F)
b‹ng 2 ho°c 3. Trong h…nh sau bi”u di„n mºt h…nh khŁi F vîi a(F ) = 2.

34
H…nh 21
Ngo i ra n‚u F l mºt h…nh nân câ chi•u cao nhä hìn ÷íng k‰nh cıa ¡y
th… a(F ) = 3.
Bði v… ÷íng k‰nh cıa h…nh ch‰nh l ÷íng k‰nh cıa ¡y v do â
a(F ) 3 (v… ÷íng trÆn ¡y khæng th” chia l m hai phƒn câ ÷íng k‰nh
nhä hìn); mºt c¡ch chia h…nh F ra l m phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn
÷æc ch¿ ra trong h…nh sau.
H…nh 22
Trong khæng gian tçn t⁄i nhœng h…nh câ a(F ) > 3, chflng h⁄n mºt h…nh
tø di»n •u c⁄nh d câ t‰nh ch§t n y. (N‚u chia nâ ra l m ba phƒn th… s‡ câ
mºt phƒn chøa hai ¿nh cıa tø di»n do â s‡ câ kho£ng c¡ch d,
v do â ÷íng k‰nh cıa phƒn n y s‡ l d). H…nh cƒu công câ t‰nh
ch§t n y, nh÷ ành l‰ sau ch¿ ra:
ành lþ 2.3 Mºt h…nh cƒu vîi ÷íng k‰nh d khæng th” chia th nh ba
phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn d ÷æc.
Chøng minh.

35
Gi£ sß r‹ng ta câ th” chia mºt h…nh cƒu E ÷íng k‰nh d ra l m ba
phƒn M1; M2 v M3 sao cho mØi phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn d. Ta
k‰ hi»u S l phƒn di»n t‰ch m°t ngo i cıa E.
H…nh 23
T“p hæp c¡c i”m cıa S thuºc M1 ÷æc k‰ hi¶u l N1, v t÷ìng tü cıa M2
v M3 l N2 v N3. Nh÷ v“y l m°t cƒu S ÷æc chia ra th nh ba phƒn N1;
N2; N3, mØi phƒn rª r ng câ ÷íng k‰nh nhä hìn d. Vîi d1 ta
k‰ hi»u ÷íng k‰nh cıa h…nh N1, m ta bi‚t l d1 < d, v ta °t h = d d1
3
Ta s‡ thüc hi»n tr¶n S mºt sü ki‚n thi‚t sau. Ta chån ra hai i”m
xuy¶n t¥m Łi P v Q v gåi nâ l cüc cıa h…nh cƒu v chia c›t m°t cƒu S
b‹ng mºt sŁ m°t phflng song song vîi nhau v công vuæng gâc vîi PQ.
Thi‚t di»n cıa mØi m°t phflng vîi S l mºt ÷íng trÆn. Nhœng ÷íng trÆn
n y chia m°t cƒu S th nh nhœng h…nh xuy‚n. MØi h…nh n y ÷æc
chia c›t bði nhœng ÷íng vuæng gâc vîi ÷íng trÆn sao cho h…nh
d¡ng chia c›t n y gæi cho chóng ta tîi nhœng bøc t÷íng x¥y
düng(h…nh tr¶n). T§t nhi¶n ta câ th” chia màn ‚n nØi mØi h…nh
÷æc chia n y câ ÷íng k‰nh nhä hìn h.
B¥y gií ta quan s¡t t§t c£ phƒn chia câ chung i”m vîi N1. Nhœng
phƒn n y t⁄o n¶n vîi nhau mºt h…nh G1. V… t“p hæp N1 câ ÷íng
k‰nh d1 v ÷íng k‰nh mØi phƒn l⁄i nhä hìn h cho n¶n ÷íng k‰nh cıa
G1 nhä hìn d1 + 2h = d h < d. B¥y gií chóng ta quan s¡t c¡c ÷íng bi¶n
cıa G1. D„ d ng nh“n th§y chóng ÷æc c§u t⁄o bði mºt sŁ hœu

36
h⁄n ÷íng âng k‰n khæng tü c›t. B¥y gií câ th” chån mºt i”m b§t k… tr¶n
bi¶n v di chuy”n dåc ÷íng bi¶n. D„ th§y chóng ta s‡ trð v• i”m xu§t ph¡t
sau mºt thíi gian di chuy”n. L÷u þ r‹ng bi¶n cıa G1 câ th” ÷æc t⁄o th nh
bði nhi•u ÷íng âng k‰n nh÷ v“y v ta k‰ hi»u chóng l L1; L2; : : : ; Lk.
X†t h…nh G1
0
l h…nh Łi xøng vîi G1 qua t¥m h…nh cƒu. D„ nh“n th§y
r‹ng G1 v G1
0
khæng câ i”m chung. Bði v… n‚u chóng câ i”m chung A
n o â th… i”m B Łi xøng vîi A qua t¥m h…nh cƒu công
thuºc giao cıa chóng, khi â ÷íng k‰nh cıa G1 s‡ AB = d, væ l‰.
Do l‰ do Łi xøng, ÷íng bi¶n cıa G1
0
s‡ l L1
0
; L2
0
; : : : ; Lk
0
, Łi xøng
cıa L1; L2; : : : ; Lk, qua t¥m h…nh cƒu. V… G1 0 v G1 khæng câ i”m chung
cho n¶n c¡c ÷íng bi¶n cıa chóng công khæng câ i”m chung.
T§t c£ 2k ÷íng âng k‰n khæng tü c›t v æi mºt khæng c›t nhau
n y s‡ chia m°t cƒu S ra l m 2k + 1 mi•n m ta s‡ °t t¶n l §t n÷îc.
MØi §t n÷îc ho°c ÷æc chøa trong G1; G1
0
ho°c ð ngo i c£ G1 l¤n G1 0.
V… nhœng ÷íng L1; L2; : : : ; Lk Łi xøng vîi L1
0
; L2
0
; : : : ; Lk
0
; mØi §t
n÷îc câ mºt §t n÷îc Łi xøng vîi nâ, ho°c l nâ tü Łi xøng vîi b£n
th¥n nâ qua t¥m h…nh cƒu. V… sŁ c¡c §t n÷îc l sŁ l·, cho n¶n ph£i tçn
t⁄i ‰t nh§t mºt §t n÷îc Łi xøng vîi b£n th¥n nâ qua t¥m h…nh cƒu.
Gi£ sß H l mºt §t n÷îc nh÷ v“y v C l mºt i”m b¶n trong H. V… H tü Łi
xøng, cho n¶n i”m C0
Łi xøng vîi C qua t¥m h…nh cƒu công thuºc H.
Tł â suy ra H câ ÷íng k‰nh d, cho n¶n mi•n trong cıa H
ho n to n n‹m ngo i G1 v G1
0
. V… H l mºt §t n÷îc, tøc l mºt mi•n
li¶n thæng cıa m°t cƒu, cho n¶n tçn t⁄i mºt ÷íng li¶n töc n‹m ho n
to n trong H nŁi C vîi C0
. ÷íng 0
Łi xøng vîi qua t¥m h…nh cƒu
công nŁi C vîi C0
v n‹m ho n to n ð trong mi•n H. V… v
0
khæng
câ i¶m chung vîi G1 n¶n công khæng câ i”m chung n o vîi N1.
B¥y gií chóng ta kh£o s¡t t“p hæp N1; N2 v N3. MØi i”m tr¶n thuºc
mºt trong c¡c t“p N2 ho°c N3. Hai i”m C v C0
thuºc hai t“p kh¡c nhau
¢ nâi tr¶n, do C v C0
Łi xøng vîi nhau, khæng m§t tŒng qu¡t gi£ sß
C thuºc N2 v C0
thuºc N3. K‰ hi»u D l i”m cuŁi cıa t“p N2 n‚u i
theo tł C ‚n C0
. D¾ nhi¶n l D công thuºc N3, v… n‚u khæng s‡
t…m ÷æc i”m k‚ c“n n o â r§t gƒn D trong qu¡ tr…nh i ti‚p

37
tł D tîi C0
tr¶n , â l i•u m¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t i”m D l i”m
cuŁi thuºc N2 n‹m tr¶n trong qu¡ tr…nh i nâi tr¶n. V“y D n‹m tr¶n
c£ N2 l¤n N3. CuŁi còng ta kh£o s¡t i”m D0
Łi xøng vîi D qua t¥m
h…nh cƒu. i”m D0
n‹m tr¶n 0
n¶n khæng thuºc N1. Nh÷ng D0
công
khæng th” thuºc N2 ho«c N3, v… n‚u khæng N2 ho°c N3 s‡ câ ÷íng
k‰nh d, væ l‰. M¥u thu¤n n y k‚t thóc chøng minh cıa ta. }
Nh÷ v“y l câ nhœng v“t th” khæng gian F m a(F ) > 3. Li»u a(F) câ
th” b‹ng bao nhi¶u. Li»u h…nh cƒu câ th” chia ra l m 4 phƒn câ ÷íng
k‰nh nhä hìn, hay ph£i chia l m nhi•u phƒn hìn. Vîi h…nh cƒu ta câ
th” d„ th§y câ th” chia nâ ra l m 4 phƒn câ ÷íng k‰nh nhä hìn.
H…nh 24
Mºt c¡ch chia düa tr¶n t‰nh Łi xøng cıa h…nh cƒu b‹ng c¡ch nºi ti‚p
h…nh cƒu bði mºt h…nh tø di»n •u v chia h…nh cƒu ra l m bŁn phƒn
bði thi‚t di»n x¡c ành bði t¥m h…nh cƒu v c¡c ¿nh tø di»n •u.

38
Ch÷ìng 3
Mºt sŁ d⁄ng to¡n v“n döng
3.1. V• h…nh lçi [2], [3]
B i to¡n 3.1 Chøng minh giao kh¡c rØng cıa c¡c h…nh lçi l mºt
h…nh lçi. Khflng ành cÆn óng cho hæp c¡c h…nh lçi khæng?
Líi gi£i: Cho F1, F2, ..., Fn l c¡c h…nh lçi.
F1 F2 ... Fn = H
8A, B 2 H ) A, B 2 Fi, i = 1, 2, ..., n.
X†t i”m M b§t ký thuºc o⁄n AB, do Fi l c¡c h…nh lçi n¶n M 2
Fi , i = 1, 2, ..., n.
) M 2 H ) AB H ) H lçi.
Khflng ành khæng cÆn óng cho hæp cıa c¡c h…nh lçi.
V‰ dö hæp cıa hai ÷íng trÆn khæng giao nhau (C1), (C2).
L§y A 2 (C1), B 2 (C2), nh÷ng AB * (C1) (C2).

39
B i to¡n 3.2 Cho h…nh F tòy þ. Chøng minh r‹ng luæn tçn t⁄i mºt
h…nh lçi G phı F sao cho n‚u H l mºt h…nh lçi phı F th… H ph£i phı
G. G gåi l bao lçi cıa F.
Líi gi£i:
Gåi K l t“p hæp c¡c h…nh lçi phı F. K 6= ; do câ ‰t nh§t m°t phflng
phı F.
Gåi G = Ki (Ki 2 K). Theo b i tr¶n th… G lçi.
Do H phı F ) H thuºc K ) H phı G.
B i to¡n 3.3 Cho n i”m tr¶n m°t phflng. Chøng minh r‹ng bao lçi cıa
nâ l mºt a gi¡c lçi (ho°c l o⁄n thflng) vîi ¿nh l mºt sŁ i”m trong c¡c i”m ¢
cho.
Líi gi£i:
Cho h» i”m H = fA1; A2; :::; Ang.
Gåi l l ÷íng thflng sao cho A1; A2; :::; An n‹m còng ph‰a vîi l.
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t câ th” gi£ sß A1 l i”m sao cho:
d(A1; l) = min d(Ai; l) vîi A1 l i”m ngo i còng b¶n ph£i n‚u câ nhi•u
i”m Ai sao cho d(Ai; l) ⁄t min.
K· ÷íng thflng l1 qua A1 v song song vîi l.
Tł i”m A1 quay l1 theo h÷îng ng÷æc chi•u kim çng hç cho ‚n khi g°p
mºt i”m n o â cıa H ta ÷æc ÷íng thflng l2. Khæng m§t t‰nh tŒng
qu¡t câ th” gi£ sß A2 l i”m ngo i còng b¶n ph£i trong c¡c i”m â.

40
Cø ti‚p töc nh÷ th‚ ta ÷æc ÷íng thflng cuŁi còng lm qua A1.
a gi¡c lçi K = A1; A2; :::; Am chøa t§t c£ c¡c i”m ¢ cho.
Ta chøng minh K l bao lçi cıa H.
Th“t v“y, gåi I l h…nh lçi chøa H.
C⁄nh cıa K l o⁄n thflng nŁi hai i”m cıa H n¶n c⁄nh cıa K thuºc
Ta l§y i”m M b§t ký cıa K. K· mºt ÷íng thflng b§t ký qua M
luæn c›t bi¶n cıa K t⁄i 2 i”m n‹m tr¶n c⁄nh. M c⁄nh cıa K thuºc I n¶n
hai i”m n y thuºc I. Do I lçi n¶n o⁄n thflng nŁi hai i”m n y thuºc I. Do â
M thuºc I. V“y K I. N¶n K l bao lçi cıa H.
B i to¡n 3.4 Tr¶n m°t phflng cho mºt sŁ i”m khæng n‹m tr¶n mºt
÷íng thflng. Chøng minh r‹ng tçn t⁄i ba i”m sao cho ÷íng trÆn i qua
nâ khæng chøa i”m n o ¢ cho ð b¶n trong.
Líi gi£i:
Cho h» i”m K = fA1; A2; :::; Ang.
Gåi B1B2:::Bm l a gi¡c bao cıa h» K ) Bi 2 K.
Ta x†t 2 i”m B1; B2. Gåi A l
lîn nh§t
i”m cıa K sao cho B1AB2

trong c¡c gâc B1AjB2 (Aj 2 K).
Gåi (C) l ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p 4B1AB2:
N‚u câ 1 i”m P 2 K sao cho P n‹m trong (C).

Khi â B1P B2 > B1AB2 væ lþ do B1AB2 lîn nh§t.

41
B i to¡n 3.5 Tr¶n m°t phflng cho mºt sŁ hœu h⁄n i”m. Chøng minh r‹ng
luæn t…m ÷æc mºt i”m sao cho gƒn nâ nh§t câ khæng qu¡ ba i”m
¢ cho.
Líi gi£i: Gåi d l kho£ng c¡ch ng›n nh§t giœa hai i”m ¢ cho cıa t“p
hæp i”m.
Gåi M l t“p hæp t§t c£ c¡c i”m nh÷ v“y.
Tr÷íng hæp 1. M l mºt o⁄n thflng.
Gåi A l i”m ƒu mót cıa M. V“y câ óng mºt i”m gƒn A nh§t.
Tr÷íng hæp 2. M khæng l o⁄n thflng.
Gåi G l a gi¡c bao cıa M, A l mºt ¿nh cıa G.
N‚u trong G câ 4 i”m B1; B2; B3; B4 2 G sao cho: B1; B2; B3; B4 theo
thø tü ng÷æc chi•u kim çng hç. AB1 = AB2 = AB3 = AB4 = d: Khi
o o
th… BiBj< d.
â BiABj 60 , v… n‚u BiAB1 < 60

180
o
, væ lþ dâ G l a gi¡c
) B1AB4 = B1AB2 + B2AB3 + B3AB4
lçi.
V“y A l i”m câ nhi•u nh§t ba i”m gƒn A nh§t.

42
B i to¡n 3.6 Tr¶n m°t phflng cho n ÷íng thflng sao cho khæng câ hai
÷íng thflng n o song song v khæng câ ba ÷íng thflng n o çng quy.
T‰nh sŁ mi•n t⁄o th nh v sŁ c¡c a gi¡c lçi trong c¡c mi•n n y?
Líi gi£i:
a. SŁ mi•n.
Gåi S(n) l sŁ mi•n t⁄o th nh bði n ÷íng thflng. Ta câ S(1) = 2.
T‰nh S(n + 1)
÷íng thflng thø n + 1 c›t n ÷íng thflng cÆn l⁄i t⁄o th¶m n giao i”m, n
i”m n y t⁄o th¶m n + 1 mi•n mîi do â S(n + 1) = S(n) + n + 1
) S(n) = 2 + 2 + 3 + 4 ++ n
= 1 + n(n + 1)
2
= n
2
+ n + 2
2
b. SŁ a gi¡c.
C¡ch 1.
Gåi (C) l ÷íng trÆn ı lîn chøa t§t c£ giao i”m cıa n ÷íng.
Cø mºt ÷íng b§t ký c›t (C) t⁄i 2 i”m. Do â, n ÷íng n y c›t (C) t⁄i 2n i”m.
Do â, n ÷íng n y chia ÷íng trÆn th nh 2n cung, mØi cung øng vîi mºt
mi•n mð, mØi mºt mi•n âng øng vîi mºt a gi¡c lçi. V“y sŁ a gi¡c lçi l :
S(n) 2n = n2
+ n + 2 2n = n2
3n + 2
2 2

43
C¡ch 2. (Ph÷ìng ph¡p quy n⁄p).
Gåi P (n) l sŁ a gi¡c lçi trong c¡c mi•n t⁄o th nh.
Ta câ: P (3) = 1.
Dü o¡n:
(n 1)(n 2)
P (n) = 1 + 2 + + (n 2) = (n 3) (1)
2
Chøng minh
(3 1)(3 2)
n 3 : P (3) = = 1 ) óng.
2
(k 1)(k 2)
Gi£ sß (1) óng vîi n = k (k 3) ta câ: P (k) = .
2
Ta chøng minh: P (k + 1) = k(k 1) = P (k) + k 1
2
÷íng thø k + 1 c›t k ÷íng tr÷îc t⁄o ra (k 1) o⁄n thflng. Trong c¡c o⁄n n
y n‚u o⁄n thuºc mi•n mð cıa S(k) th… t⁄o th¶m mºt a gi¡c mîi. CÆn o⁄n
thuºc mi•n âng cıa S(k) th… s‡ chia mi•n âng l m hai a gi¡c. Do â:
P (k + 1) = P (k) + k 1
(n 1)(n 2)
V“y sŁ a gi¡c lçi l P (n) = :
B i to¡n 3.7 Cho a1; a2; a3; b1; b2; b3 2 R. Chøng minh r‹ng ‰t
nh§t mºt trong t¡m h» ph÷ìng tr…nh câ d⁄ng sau væ nghi»m.
8
> a1x + b1y >< c1
>
<
a2x + b2y >< c2
>
>

:
a3x + b3y >< c3

44
Líi gi£i: X†t c¡c ÷íng thflng
d1 : a1x + b1y = c1
d2 : a2x + b2y = c2
d3 : a3x + b3y = c3
Ba ÷íng n y chia m°t phflng Oxy l m nhi•u nh§t b£y mi•n, mØi mi•n
s‡ l mºt mi•n nghi»m cıa mºt h» ¢ cho. V“y câ nhi•u nh§t l b£y h» câ
nghi»m. N¶n câ ‰t nh§t mºt h» væ nghi»m.
B i to¡n 3.8 Tr¶n m°t phflng câ n 4 i”m khæng còng thflng h ng. Bi‚t
r‹ng cø chån ra ba i”m khæng thflng h ng n o công câ th” t…m
÷æc mºt i”m thø t÷ ” bŁn i”m n y t⁄o th nh mºt h…nh b…nh h nh th…
n = 4.
Líi gi£i:
Gåi G l bao lçi cıa h» i”m ¢ cho.
Tr÷íng hæp 1. G l h…nh b…nh h nh ABCD.
N‚u tçn t⁄i i”m M n‹m trong G. Khi â ¿nh thø t÷ N cıa h…nh b…nh h
nh BM AN khæng n‹m trong G (væ lþ).

45
) G ch¿ câ bŁn i”m A; B; C; D:
Tr÷íng hæp 2. G khæng l h…nh b…nh h nh.
Ta x†t mºt ¿nh A b§t ký cıa G, ta câ hai c⁄nh AB v AC.
Gåi l1; l2 l hai ÷íng thflng tüa cıa G lƒn l÷æt song song vîi AC v AB.
l1; l2 lƒn l÷æt i qua i”m P; Q cıa G. BŁn ÷íng thflng AB; AC; l1; l2 t⁄o
th nh h…nh b…nh h nh H. Ta câ G H.
Khi â ¿nh thø t÷ K cıa h…nh b…nh h nh P AQK n‹m ngo i H. Do â
K khæng n‹m trong G (væ lþ). N¶n tr÷íng hæp n y khæng x£y ra.
V“y ch¿ câ bŁn i”m thäa m¢n i•u ki»n • b i.
B i to¡n 3.9 Chøng minh r‹ng mºt a gi¡c lçi khi v ch¿ khi bŁn ¿nh b§t
ký cıa chóng t⁄o th nh mºt tø gi¡c lçi.
Líi gi£i:
i•u ki»n cƒn. N‚u mºt a gi¡c H l a gi¡c lçi.
Khi â mºt tø gi¡c b§t ký cıa H lçi v… n‚u khæng lçi th… bao lçi cıa nâ
l mºt tam gi¡c n‹m trong H, n¶n H câ mºt ¿nh n‹m trong H (væ lþ).

46
i•u ki»n ı. N‚u bŁn ¿nh b§t ký cıa a gi¡c H •u l tø gi¡c lçi.
Gåi G l bao lçi cıa H. Gi£ sß H khæng lçi.
) tçn t⁄i ¿nh M cıa H m M n‹m trong G.
Khi â ta chia G th nh c¡c tam gi¡c bði c¡c ÷íng ch†o xu§t ph¡t tł mºt
¿nh cıa G. Do â tçn t⁄i mºt tam gi¡c chøa i”m M (M khæng th” n‹m
tr¶n c⁄nh cıa tam gi¡c n y do n‚u n‹m tr¶n th… ba ¿nh cıa tam gi¡c n
y v M khæng l tø gi¡c). Khi â tø gi¡c t⁄o th nh bði ba ¿nh cıa tam gi¡c
n y v M khæng lçi (væ lþ). V“y H lçi.
B i to¡n 3.10 Chøng minh r‹ng trong n«m i”m b§t ký tr¶n m°t phflng
m ba trong chóng khæng thflng h ng luæn tçn t⁄i bŁn i”m l“p th nh tø
gi¡c lçi.
Líi gi£i:
X†t bao lçi cıa n«m i”m n y.
Tr÷íng hæp 1. Bao lçi l ngô gi¡c.
Khi â theo b i tr¶n, bŁn i”m b§t ký l“p th nh tø gi¡c lçi.
Tr÷íng hæp 2. Bao lçi l tø gi¡c.

47
Khi â bao lçi ch‰nh l tø gi¡c cƒn t…m.
Tr÷íng hæp 3. Bao lçi l tam gi¡c
Gi£ sß l 4ABC m hai i”m M; N n‹m trong tam gi¡c n y. Gi£ sß i”m N
n‹m trong 4MAC. Do B; M; N khæng thflng h ng n¶n c°p i”m N; A v
N; C th… mºt c°p còng ph‰a vîi BM, mºt c°p kh¡c ph‰a vîi BM. Gi£
sß NC còng ph‰a vîi BM, suy ra tø gi¡c BM NC l tø gi¡c lçi.
B i to¡n 3.11 Tr¶n m°t phflng cho mºt sŁ n-gi¡c •u. Chøng minh r‹ng
bao lçi cıa nâ l mºt a gi¡c câ khæng ‰t hìn n ¿nh.
Líi gi£i:
Gåi B l a gi¡c bao cıa mºt sŁ n-gi¡c •u.
Gi£ sß B câ k c⁄nh (k < n).

48
k2) = k
Khi â gâc nhä nh§t cıa B, gi£ sß l C (
k
1 .
2
2
Gâc C < 1 (l gâc cıa n gi¡c •u).
n
Do â, n gi¡c •u nh“n C l m ¿nh khæng n‹m trong B (væ lþ).
V“y B câ khæng ‰t hìn n ¿nh.
B i to¡n 3.12 Cho mºt a gi¡c khæng tü c›t v hai i”m A v B
khæng n‹m tr¶n bi¶n sao cho o⁄n AB khæng i qua ¿nh n o cıa a gi¡c.
Chøng minh r‹ng A v B ð trong còng mi•n cıa a gi¡c khi v ch¿ khi AB
c›t bi¶n cıa a gi¡c t⁄i sŁ i”m chfin.
Líi gi£i:
X†t hai i”m AB mØi khi c›t c⁄nh cıa a gi¡c th… s‡ Œi mi•n. Do â AB
c›t bi¶n cıa a gi¡c t⁄i mºt sŁ i”m chfin khi v ch¿ khi A; B ð trong còng
mºt mi•n a gi¡c â.
a gi¡c khæng tü c›t khæng câ t‰nh ch§t n y.
V‰ dö nh÷ h…nh sau ta th§y A; B n‹m trong hai mi•n cıa a gi¡c
nh÷ng A; B c›t bi¶n cıa a gi¡c t⁄i hai i”m.

49
3.2. Mºt b i thi håc sinh giäi c¡c n÷îc [2], [7]
B i to¡n 3.13 (Thi væ àch Matxcova 1961) Cho 100 i”m tr¶n m°t
phflng, sao cho hai i”m n o công câ kho£ng c¡ch khæng qu¡ 1 v ba
i”m n o công l c¡c ¿nh cıa mºt tam gi¡c tò. Chøng minh r‹ng tçn t⁄i
mºt h…nh trÆn b¡n k‰nh
1
2 phı 100 i”m ¢ cho.
Líi gi£i:
Gåi 100 i”m ¢ cho l A1; A2; :::; A100.
1
Gåi (Fi) l ÷íng trÆn t¥m Ai, b¡n k‰nh 2.
Ta x†t 3 ÷íng trÆn b§t ký trong hå (Fi). Gi£ sß l (Fm); (Fn); (Fk).
Ta câ th” gi£ sß 4AmAnAk tò t⁄i Am.
Gåi I l trung i”m cıa AnAk.
1
V… AnAk < 1 ) AnI; AkI < 2 ) I 2 (Fn); (Fk).
1

Do gâc AnAmAk tò n¶n ÷íng trÆn I; 2 phı Am.
1
) AmI < 2 ) I 2 (Fm).
V“y (Fm); (Fn); (Fk) câ giao kh¡c rØng.
) Hå (Fi) câ giao kh¡c rØng.
Ta °t t¥m cıa ÷íng trÆn b¡n k‰nh
1
2 v o mºt i”m cıa giao n y th…
÷íng trÆn â s‡ phı hå Ai.
B i to¡n 3.14 (Thi væ àch Matxcova 1975) Cho mºt ngô gi¡c lçi câ
t§t c£ c¡c gâc l gâc tò. Chøng minh r‹ng tçn t⁄i hai ÷íng ch†o cıa ngô
gi¡c sao cho hai h…nh trÆn câ ÷íng k‰nh l c¡c ÷íng ch†o â phı
k‰n a gi¡c.
Líi gi£i:

50
Gåi AB l c⁄nh lîn nh§t cıa ngô gi¡c lçi ABCDE.
K· Ax; By vuæng gâc vîi AB ta ÷æc mºt d£i.
[ [
Do EAB; ABC tò n¶n E; C n‹m ngo i d£i n y.
D n‹m trong d£i v… n‚u D n‹m ngo i gi£i, v‰ dö D n‹m còng ph‰a vîi
C Łi vîi By th… ED > AB, tr¡i vîi gi£ thi‚t AB lîn nh§t. H⁄
DH vuæng gâc vîi AB t⁄i H ) H n‹m trong o⁄n AB.
÷íng trÆn ÷íng k‰nh AD phı tø gi¡c AHDE.
÷íng trÆn ÷íng k‰nh BD phı tø gi¡c DHBC.
B i to¡n 3.15 (Thi væ àch Matxcova 1974)
NŁi mºt i”m M n‹m trong mºt löc gi¡c •u câ c⁄nh º d i b‹ng 1 vîi c¡c ¿nh
cıa löc gi¡c â, ta ÷æc s¡u tam gi¡c. Chøng minh r‹ng trong sŁ s¡u tam
gi¡c §y tçn t⁄i hai tam gi¡c m mØi c⁄nh khæng nhä hìn 1.
Líi gi£i:
Gåi O l t¥m cıa löc gi¡c •u ABCDEF .

51
N‚u M O th… b i to¡n ÷æc chøng minh.
X†t M 6 O. Gi£ sß O thuºc mi•n trong cıa 4MAB.
o o o60;MBA60,n¶nAMB60 Khi â, MAB .
Tł â ta câ,

MAB AMB n¶n MB AB = 1:

MBA AMB n¶n MA AB = 1:
V“y 4MAB câ c¡c c⁄nh khæng nhä hìn 1.
Ta câ, MF + MC > F C = 2.
V“y mºt trong hai c⁄nh MF; M C câ mºt c⁄nh lîn hìn 1.
Gi£ sß l MC suy ra 4MBC câ c¡c c⁄nh khæng nhä hìn 1.
B i to¡n 3.16 (Thi væ àch Hungary 1930)
Gåi M l mºt i”m tòy þ n‹m trong tam gi¡c nhån ABC v khæng tròng vîi
t¥m O cıa ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c. Chøng minh r‹ng trong c¡c
o⁄n thflng AM; BM; CM tçn t⁄i mºt o⁄n thflng lîn hìn R, mºt o⁄n thflng
nhä hìn R. (R l b¡n k‰nh ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p 4ABC)
Líi gi£i:
Do 4ABC nhån n¶n O n‹m trong 4ABC. Gi£ sß M n‹m trong 4OAC.
H⁄ MH?BO t⁄i H. Ta câ, BM BH > BO = R.
H⁄ OI?AC t⁄i I. Do 4OAC c¥n suy ra I l trung i”m cıa AC.
M ph£i n‹m mºt trong hai 4OAI ho°c 4OIC. Gi£ sß, M n‹m trong
4OAI. Suy ra AM < OA = R do OA l ÷íng k‰nh cıa 4OAI.

52
B i to¡n 3.17 (Olympic To¡n håc QuŁc t‚ 1970)
Trong m°t phflng cho 100 i”m, trong â khæng câ ba i”m n o thflng h
ng. Ta x†t t§t c£ nhœng kh£ n«ng t⁄o th nh tam gi¡c câ ¿nh tł nhœng
i”m n y. Chøng minh r‹ng câ nhi•u nh§t 70% nhœng tam gi¡c nâi tr¶n
l nhœng tam gi¡c nhån.
Líi gi£i:
Tr÷îc ti¶n ta câ bŒ • sau:
BŒ •. N‚u cho n«m i”m, trong â khæng câ ba i”m n o thflng h ng th…
tçn t⁄i ‰t nh§t ba tam gi¡c khæng nhån câ ¿nh l nhœng i”m n y.
Chøng minh
Tr÷íng hæp 1. N‚u bao lçi cıa 5 i”m l tam gi¡c. Gåi 5 i”m â l A; B; C;
D; E ð â D; E n‹m trong tam gi¡c 4ABC.

N‚u 2 gâc trong 3 gâc ADB; ADC; BDC nhån. Gi£ sß l ADB v ADC
o o
) D n‹m ngo i 4ABC (væ
th… BDC = 360 ADB ADC > 180
lþ).
V“y câ ‰t nh§t 2 tam gi¡c khæng nhån ¿nh D.
T÷ìng tü, câ ‰t nh§t 2 tam gi¡c khæng nhån ¿nh E.
V“y trong tr÷íng hæp n y s‡ câ ‰t nh§t bŁn tam gi¡c khæng nhån.
Tr÷íng hæp 2. N‚u bao lçi cıa 5 i”m l tø gi¡c lçi ABCD, E n‹m

53
trong tø gi¡c ABCD.
Do Ab + Bb + Cb + Db = 360o
n¶n câ ‰t nh§t mºt gâc khæng nhån.
Tam gi¡c câ ¿nh n y khæng nhån.
E khæng n‹m tr¶n ÷íng ch†o AC do khæng câ ba i”m n m thflng h
ng. Gi£ sß E n‹m trong 4ABC.
Chøng minh nh÷ tr÷íng hæp 1, ta câ ‰t nh§t hai trong ba tam gi¡c
4ABE; 4AEC; 4BEC khæng nhån.
V“y trong tr÷íng hæp n y câ ‰t nh§t ba tam gi¡c khæng nhån.
Tr÷íng hìp 3. N‚u bao lçi l tø gi¡c ABCDE.
TŒng c¡c gâc trong cıa nâ l 540o
. Nh÷ v“y, ‰t nh§t câ hai gâc cıa
ngô gi¡c khæng nhån. Do â câ ‰t nh§t hai tam gi¡c khæng nhån.
N‚u 2 gâc khæng nhån k• nhau, v‰ dö A; B.
X†t tø gi¡c ACDE câ ‰t nh§t mºt tam gi¡c khæng nhån (Chøng minh
nh÷ tr÷íng hæp 2).
N‚u 2 gâc khæng nhån khæng k• nhau, v‰ dö A; C.

54
X†t tø gi¡c ACDE câ ‰t nh§t mºt tam gi¡c khæng nhån.
V“y câ ‰t nh§t ba tam gi¡c khæng nhån.
Theo bŒ •, tł 100 i”m ta câ th” chån ÷æc 3:C100
5
tam gi¡c khæng
nhån. Nh÷ng còng mºt tam gi¡c câ th” t⁄o bði nhœng c°p n«m i”m
kh¡c nhau, ngh¾a l mºt tam gi¡c n‹m trong C97
2
c°p n«m i”m.
3:C5
Nh÷ v“y, câ th” chån ‰t nh§t 100 tam gi¡c khæng nhån. SŁ c¡c tam
C97
2
gi¡c l C3
.
100
Ngh¾a l sŁ c¡c tam gi¡c nhån câ nhi•u nh§t l :
3:C5
C3
100 :
100 C 2
97
T sŁ sŁ l÷æng n y tr¶n to n bº sŁ tam gi¡c l :
3:C5
3
C972 10
C3
100
: C3
= 1 = 0;7
100 100
B i to¡n 3.18 (Olympic To¡n håc QuŁc t‚ 1972)
Chøng minh r‹ng mØi tø gi¡c nºi ti‚p câ th” chia ra n tø gi¡c (n 4) m
mØi tø gi¡c n y nºi ti‚p trong mºt ÷íng trÆn.
Líi gi£i:
Ta chøng minh cho n = 4.
Cho tø gi¡c ABCD nºi ti‚p. Gåi Ab l gâc nhä nh§t trong c¡c gâc cıa tø
gi¡c ABCD.
L§y i”m A1 n‹m trong tø gi¡c ABCD ı gƒn i”m A sao cho nhœng ÷íng
thflng k· qua A1 song song vîi c¡c c⁄nh AB v AD c›t c¡c c⁄nh BC v CD
t⁄i B1 v D1.

55
Do Db + Bb = 180o
. Ta gi£ thi‚t Db 90o
; Bb 90o
.
Tr¶n AD ta l§y i”m K sao cho A1KD = ADC. i”m K thuºc o⁄n AD do A1
ı gƒn A.
[
Tr¶n o⁄n AB l§y i”m L sao cho A1LB = ABC. i”m L düng ÷æc v…
[
n‚u L n‹m ngo i o⁄n AB th… ABC = A1LB < Ab væ lþ do gâc Ab nhä
nh§t.
Hai h…nh thang c¥n A1KDD1; A1LBB1 nºi ti‚p.
Tø gi¡c A1B1CD1 çng d⁄ng vîi ABCD n¶n tø gi¡c n y nºi ti‚p.
= 360o o o
AKA1 + ALA1 A1KD + A1LB = 360 (D+B)=180 .
N¶n tø gi¡c ALA1K nºi ti‚p. b b
V“y khflng ành óng vîi n = 4.
Vîi mØi h…nh thang c¥n ta •u câ th” chia th nh tòy þ nhœng h…nh
thang c¥n b‹ng nhœng ÷íng song song vîi ¡y.
V“y tø gi¡c ABCD nºi ti‚p câ th” chia th nh n tø gi¡c (n 4) m mØi tø
gi¡c n y nºi ti‚p trong mºt ÷íng trÆn.
B i to¡n 3.19 (Ba Lan 1989)
Gi£ sß mºt tam gi¡c câ th” °t tr÷îc ÷æc v o trong mºt h…nh vuæng câ
di»n t‰ch b‹ng 1 sao cho t¥m cıa h…nh vuæng khæng n‹m trong
h…nh tam gi¡c. H¢y ch¿ ra r‹ng mºt c⁄nh cıa h…nh tam gi¡c câ º d i
nhä hìn 1.
Líi gi£i:

56
Qua t¥m O cıa h…nh vuæng k· l1 song song vîi c⁄nh gƒn nh§t cıa
tam gi¡c, l2 l ÷íng thflng vuæng gâc vîi l1 t⁄i O.
l1; l2 chia h…nh vuæng th nh 4 tø gi¡c çng d⁄ng. Do O khæng n‹m
trong tam gi¡c n¶n tam gi¡c câ th” n‹m trong nhi•u nh§t hai tø gi¡c k•
nhau. Theo nguy¶n lþ Dirichlet, hai trong sŁ ba ¿nh cıa tam gi¡c ph£i
n‹m trong còng mºt tø gi¡c. Gi£ sß l tø gi¡c AMON. BŁn c⁄nh cıa tø gi¡c
n y nhä hìn 1. p
AO= 2
2
<1:
MN2
=AM2
+AN2
<(AM +AN)2
=1)MN <1:
V“y tø gi¡c AMON câ ÷íng k‰nh nhä hìn 1. V“y c⁄nh cıa tam gi¡c n‹m
trong tø gi¡c AMON câ c⁄nh nhä hìn 1.
B i to¡n 3.20 (Australia 1991)
Câ n i”m tr¶n m°t phflng sao cho di»n t‰ch t⁄o bði ba i”m b§t ký
trong chóng lîn nh§t b‹ng 1. Chøng minh r‹ng n i”m n y n‹m tr¶n
ho°c n‹m trong mºt tam gi¡c n o â câ di»n t‰ch lîn nh§t b‹ng 4.
Líi gi£i:
Cho n i”m A1; A2; :::; An thäa m¢n i•u ki»n • b i.
Gåi Ai; Aj; Ak l ba i”m sao cho 4AiAjAk câ di»n t‰ch lîn nh§t trong
c¡c tam gi¡c câ ¿nh l 3 i”m trong n i”m A1; A2; :::; An.
K· ÷íng thflng l1 qua Ai v song song vîi AjAk, vîi måi i”m Am ta câ
di»n t‰ch 4AmAjAk nhä hìn ho°c b‹ng di»n t‰ch 4AiAjAk n¶n Am
n‹m trong nßa m°t phflng chia bði l1 v chøa o⁄n AjAk.

57
V“y n i”m A1; A2; :::; An n‹m trong nßa m°t phflng n y.
Chøng minh t÷ìng tü n i”m A1; A2; :::; An n‹m trong nßa m°t phflng
chia bði l2 v chøa o⁄n AiAj v nßa m°t phflng chia bði l3 v chøa o⁄n
AiAk.
Do â, n i”m A1; A2; :::; An n‹m trong 4ABC vîi A; B; C l giao i”m cıa
l1; l2; l3. Di»n t‰ch 4ABC g§p 4 lƒn di»n t‰ch 4AiAjAk. V“y di»n
t‰ch 4ABC câ di»n t‰ch lîn nh§t b‹ng 4.
Do â b i to¡n ÷æc chøng minh.
B i to¡n 3.21 (Putman 1969)
Chøng minh r‹ng ÷íng cong li¶n töc b§t ký vîi º d i b‹ng 1 câ th” phı
÷æc bði h…nh chœ nh“t âng câ di»n t‰ch b‹ng
1
4.
Líi gi£i:
Ta °t ÷íng cong sao cho nhœng i”m cuŁi cıa nâ n‹m tr¶n mºt ÷íng

58
thflng d.
Ta phı ÷íng cong bði mºt h…nh chœ nh“t câ di»n t‰ch nhä nh§t câ
c¡c c⁄nh song song ho°c vuæng gâc vîi d.
Gåi a; b l chi•u rºng v chi•u cao cıa h…nh chœ nh“t.
Gåi P0; P5 l i”m cuŁi cıa ÷íng cong.
P1; P2; P3; P4 l bŁn i”m cıa ÷íng cong n‹m tr¶n bŁn c⁄nh cıa h…nh
chœ nh“t.
÷íng z‰c z›c P0P1P2P3P4P5 câ º d i lîn nh§t b‹ng 1 do º d i cıa
÷íng z‰c z›c n y.
TŒng h…nh chi‚u cıa ÷íng z‰c z›c b¶n c⁄nh n‹m ngang cıa h…nh
chœ nh“t khæng nhä hìn a do ÷íng z‰c z›c câ P1; P3 n‹m tr¶n 2
c⁄nh b¶n tr¡i v b¶n ph£i cıa h…nh chœ nh“t.
TŒng h…nh chi‚u cóa ÷íng z‰c z›c b¶n c⁄nh thflng øng cıa h…nh chœ
nh“t khæng nhä hìn 2b do P0; P5 n‹m tr¶n d v P2; P4 n‹m tr¶n 2 c⁄nh
b¶n tr¶n v b¶n d÷îi cıa h…nh chœ nh“t. p
V“y ÷íng z‰c z›c câº d i ‰t nh§t l a
2
+ 4b
2
.
p
Do â, a2
+ 4b2
1:
Theo b§t flng thøc trung b…nh cºng, trung b…nh nh¥n ta
câ 4ab a2
+ 4b2
1: ) ab
1
4.
Do â h…nh chœ nh“t câ di»n t‰ch lîn nh§t b‹ng
1
4:
B i to¡n 3.22 (Balan 1981-1982)
Cho mºt ngô gi¡c lçi m t§t c£ c¡c c⁄nh cıa nâ câ º d i a. Chøng minh
r‹ng câ th” °t trong nâ mºt tam gi¡c •u câ º d i c⁄nh b‹ng a.
Líi gi£i: Cho ABCDE l ngô gi¡c lçi m c¡c c⁄nh cıa nâ câ º d i a.
Gi£ sß AC l ÷íng ch†o câ º d i lîn nh§t.
1
Do AC l
[ o o
÷íng ch†o câ º d i lîn nh§t n¶n ABC5 :540 =108.
[ o
n¶n
AC l c⁄nh ¡y lîn nh§t cıa 4ABC c¥n t⁄i B v ABC > 60
AC > AB = a.
o
M AC > AD, do â AC l c⁄nh lîn nh§t cıa 4ADC n¶n ADC > 60 . [ o
Chøng minh t÷ìng tü ta câ AEC > 60 .

59
[ o
v
o
,P =AECD.
Gi£ sß EAC < 60 ACD < 60
[ o
X†t 4AP C câ AC > AP v AC > P C. Tł â ta câ AP C > 60 .
V… AC < AB + BC = 2a, n¶n AP < 2a v CP < 2a.
Gåi F G l ÷íng trung b…nh cıa 4AP C. Khi â
F G = 1AC < a
2
AF = 1
AP < a
2
CG =
1
CP < a
2
M AE = CD = a, suy ra E ð giœa F v P cÆn D ð giœa P v G.
Khi â, a = ED F G < a væ lþ.
[ o o
Tł â suy ra EAC 60 ho°c ACD 60 .
[ o
. Khi â, trong 4ACE câ gâc t⁄i ¿nh A v E
Tł gi£ sß EAC 60
khæng nhä hìn 60o
, AE = a suy ra tam gi¡c n y câ th” °t ÷æc mºt tam
gi¡c •u c⁄nh a ð b¶n trong.

60
B i to¡n 3.23 (H Lan 1978)
Trong m°t phflng cho 1978 i”m. MØi i”m l t¥m cıa mºt ÷íng trÆn i qua
mºt i”m cŁ ành O. Chøng minh r‹ng tł nhœng h…nh trÆn ÷æc t⁄o ra, câ
th” chån ÷æc n«m h…nh trÆn m chóng phı t§t c£ 1978 i”m.
Líi gi£i:
Gåi P l i”m xa nh§t Łi vîi i”m O giœa 1978 i”m ¢ cho.
÷íng thflng OP v hai ÷íng thflng qua O t⁄o vîi OP mºt gâc 60o
chia
m°t phflng l m s¡u phƒn.
÷íng trÆn t¥m P phı t§t c£ c¡c i”m n‹m trong hai phƒn chøa P .
Trong mØi phƒn cÆn l⁄i, ÷íng trÆn t¥m t⁄i i”m c¡ch xa O nh§t phı t§t
c£ nhœng i”m trong phƒn n y.
BŁn h…nh trÆn n y vîi h…nh trÆn ƒu ti¶n phı 1978
i”m ¢ cho.
B i to¡n 3.24 (Thöy i”n 1983)
Mºt h…nh vuæng câ c⁄nh b‹ng 1 ph£i phı ba h…nh trÆn nh÷ nhau.
1. Chøng minh r‹ng ta câ th” l m ÷æc vîi nhœng h…nh trÆn b¡n k‰nh p
nhä hìn 2
2
.
2. H¢y t…m kh£ n«ng b¡n k‰nh nhä nh§t cho nhœng h…nh trÆn n y.
Líi gi£i:
1. Cho h…nh vuæng ABCD c⁄nh l 1.
4DEF l tam gi¡c •u câ ¿nh E; F t÷ìng øng tr¶n c⁄nh BC v AB.
DFC = 180o DFE EFB = 75o

61
DC 1 1 p
DF = = = = 6
sin DF

C sin 75
o
sin 30
o
cos 45
o
+ cos 30
o
sin 45
o
p 2
Gåi I l ¿nh thø t÷ cıa h…nh chœ nh“t EBF I.
DIF
[
= 180o
F
[
IB = 135o
> 90o
. T÷ìng tü DIE
[
> 90o
.
Do â:
÷íng trÆn ÷íng k‰nh DF phı tø gi¡c DCF I.
÷íng trÆn ÷íng k‰nh DE phı tø gi¡c DIEA.
÷íng trÆn ÷íng k‰nh EF phı tø gi¡c BEIF .
M BF =
p
p <
p
6 2 2 n¶n ta câ th” phı h…nh vuæng ABCD
p
b‹ng ba h…nh trÆn b¡n k‰nh nhä hìn 2 .
2
2. N‚u ta phı h…nh vuæng bði ÷íng trÆn b¡n k‰nh nhä hìn
p
p
6 2
th… º d i ÷íng g§p khóc m ÷íng trÆn n y ch›n tr¶n c⁄nh cıa
h…nh chœ nh“t s‡ nhä hìn AD + DE.
p p
Do â 3 h…nh trÆn câ còng ÷íng k‰nh nhä hìn 6 2 khæng
th” phı k‰n c¡c c⁄nh cıa h…nh vuæng. V“y b¡n k‰nh nhä nh§t l p p
6 2.
2
B i to¡n 3.25 (Li¶n Xæ 1970)
Cho hai h…nh chœ nh“t giŁng nhau sao cho c¡c c⁄nh cıa chóng c›t
nhau t⁄i t¡m i”m. Chøng minh di»n t‰ch cıa phƒn chung cıa hai
h…nh chœ nh“t lîn hìn mºt nßa di»n t‰ch cıa mØi h…nh chœ nh“t.
Líi gi£i:

62
Gåi a; b l º d i c⁄nh h…nh chœ nh“t. Gåi 4 i”m lƒn l÷æt n‹m tr¶n bŁn
c°p c⁄nh theo thø tü l A; B; C; D. Ta câ kho£ng c¡ch tł C ‚n c⁄nh Łi
di»n cıa hai h…nh chœ nh“t b‹ng nhau. N¶n AC l ph¥n gi¡c cıa gâc
t⁄o bði nhœng c⁄nh giao nhau t⁄i A.
T÷ìng tü BD l ph¥n gi¡c cıa nhœng c⁄nh giao nhau t⁄i B.
Ta câ: Ac1 = Dc1 = Dc2 = Cc1 = Cc2 = Bc1 = Bc2 do sü çng d⁄ng cıa
c¡c tam gi¡c vuæng t÷ìng øng.
) Ac2 = Bc3.
) Ac2 + Bc3 + Bc2 = 2Ac2 + Bc2 = 2Ac2 + Ac1 = 180o
.
) Tø gi¡c câ 2 c⁄nh l c⁄nh cıa h…nh chœ nh“t cÆn 2 c⁄nh cÆn l⁄i
n‹m tr¶n hai ÷íng ch†o AC v BD nºi ti‚p.
) AC?BD:
Di»n t‰ch cıa tø gi¡c ABCD b‹ng
AC:BD
. V… AC b v BD a n¶n 2
di»n t‰ch cıa tø gi¡c ABCD khæng nhä hìn
ab
2. Nßa di»n t‰ch
h…nh chœ nh“t b‹ng
ab
2.
Tł â ta câ i•u ph£i chøng minh.
B i to¡n 3.26 (Balan 1978-1979)
Trong mºt m°t phflng cho n i”m (n > 4), trong â khæng câ ba i”m n o
thflng h ng. Chøng minh r‹ng câ ‰t nh§t Cn
2
3 tø gi¡c lçi m nhœng
¿nh cıa chóng l c¡c i”m ¢ cho.
Líi gi£i:

63
Gåi M l bao lçi cıa n i”m ¢ cho. Gåi A; B; C l ba ¿nh cıa a gi¡c lçi n y.
Gåi D; E l hai i”m trong c¡c i”m n y kh¡c A; B; C. Khi â ÷íng
thflng DE khæng i qua ba c⁄nh cıa 4ABC gi£ sß l BC (1)
Gi£ sß ÷íng thflng BC c›t o⁄n DE t⁄i I. Khi â I n‹m trong M, do
D; E n‹m trong M.
Do BC l ¿nh cıa M n¶n I n‹m trong o⁄n BC væ lþ.
Do â, ÷íng thflng BC khæng c›t o⁄n DE (2)
Tł (1) v (2) suy ra mºt trong hai tø gi¡c BDEC; BEDC l lçi.
Nh÷ v“y, mØi c°p hai i”m ¢ cho kh¡c A; B; C còng vîi hai trong ba i”m
A; B; C t⁄o ‰t nh§t mºt tø gi¡c lçi. Nhœng c°p hai i”m kh¡c nhau s‡
t⁄o tø gi¡c kh¡c nhau.
Khi â, sŁ c¡c tø gi¡c lçi m c¡c ¿nh thuºc nhœng i”m ¢ cho khæng
nhä hìn sŁ l÷æng c¡c c°p æi kh¡c A; B; C, sŁ l÷æng â l Cn
2
3.
B i to¡n 3.27 Chøng minh r‹ng tçn t⁄i mºt h‹ng sŁ c < p 2 thäa m¢n
t‰nh ch§t sau: Tł bŁn i”m b§t k… n‹m trong h…nh vuæng câ c⁄nh
b‹ng 1, câ th” chån ÷æc hai i”m m kho£ng c¡ch cıa chóng khæng lîn
hìn c.
Líi gi£i: Ta s‡ chøng minh c = 1.
Cho A1; A2; A3; A4 l bŁn i”m n‹m trong h…nh vuæng Q¢ cho.
Tr÷íng hæp 1. N‚u câ ba trong bŁn i”m A1; A2; A3; A4 thflng h ng.

64
Gi£ sß A1; A2; A3 thflng h ng, ð â A2 n‹m giœa A1; A3.
p
N‚u A1A2 > 1; A2A3 > 1 th… A1A3 = A1A2 + A2A3 > 2 > 2. i•u n y
p
khæng th” ÷æc v… ÷íng k‰nh cıa Q b‹ng 2. Suy ra ‰t nh§t mºt
trong
c¡c o⁄n A1A2; A2A3 khæng lîn hìn 1.
Tr÷íng hæp 2. Bao lçi cıa bŁn i”m l tø gi¡c A1A2A3A4.
V… A1A2A3A4 Q, n¶n A1A2 + A2A3 + A3A4 + A4A1 4.
Tł â suy ra ‰t nh§t mºt trong nhœng o⁄n A1A2; A2A3; A3A4; A4A1
khæng lîn hìn 1.
Tr÷íng hæp 3. Bao lçi cıa bŁn i”m l tam gi¡c. Gi£ sß 4A1A2A3.
Gi£ sß A1A4; A2A4; A3A4 lîn hìn 1.
o
Ta câ, A1A4A2 + A2A4A3 + A3A4A1 = 360
Suy ra câ ‰t nh§t mºt trong chóng l tò. Gi£ sß l

A1A4A2. Khi â:

2 2 2 2 2
> 2
A
1
A
2
= A
1
A
4
+ A
2
A
4 2A1A4:A2A4 cos A1A4A2
> A
1
A
4
+ A
2
A
4

65
p p
) A1A2 > 2, i•u n y khæng th” ÷æc v… ÷íng k‰nh cıa Q b‹ng 2.
Suy ra ‰t nh§t mºt trong c¡c o⁄n A1A4; A2A4; A3A4 khæng lîn hìn 1.

66
K‚t lu“n
Sau thíi gian nghi¶n cøu lu“n v«n th⁄c s¾ vîi nºi dung "Mºt sŁ k‚t
qu£ v• h…nh lçi, ÷íng k‰nh cıa h…nh v v“n döng" chóng tæi ¢ thu
÷æc c¡c k‚t qu£ sau:
1. Tr¶n ÷íng thflng n‚u giao cıa hai o⁄n b§t ký kh¡c rØng th… giao cıa
t§t c£ c¡c o⁄n kh¡c rØng. Trong m°t phflng n‚u giao cıa ba h…nh lçi
b§t ký kh¡c rØng th… giao cıa hå c¡c h…nh lçi kh¡c rØng.
2. Chøng minh ÷æc trong m°t phflng mºt h…nh b§t ký luæn ÷æc
chia th nh ba h…nh câ ÷íng k‰nh nhä hìn v trong khæng gian
h…nh cƒu chia ÷æc th nh bŁn h…nh câ ÷íng k‰nh nhä hìn.
3. p döng c¡c ki‚n thøc v• giao kh¡c rØng cıa c¡c h…nh lçi, ÷íng
k‰nh cıa h…nh v c¡c k‚t qu£ v• chia h…nh v o c¡c b i to¡n cö
th”, b i thi håc sinh giäi c¡c n÷îc v mºt sŁ b i to¡n h…nh håc tŒ
hæp IMO.

67
T i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Vô Hœu B…nh (2005), Mºt sŁ b i to¡n v• h…nh håc tŒ hæp,
NXB Gi¡o döc.
[2] Nguy„n Hœu i”n (2005), Mºt sŁ chuy¶n • h…nh håc tŒ hæp,
NXB Gi¡o döc.
[3] Vô …nh HÆa (2001), Mºt sŁ ki‚n thøc cì sð v• h…nh håc tŒ
hæp, NXB Gi¡o döc.
Ti‚ng Anh
[4] P. R. Scott (1978), "Two inequalities for convex sets in the
plane", Bull. Austral. Math. Soc, 19, pp: 131 133.
[5] J. H. van Lint, R. M. Wilson (2001), A course in Combinatorics,
Cambridge.
[6] I. E. Leonard, J. E. Lewis (2016), Geometry of Convex sets, Wiley.
[7] J. Pach, P. K. Agarwal (1995), Combinatorinal Geometry, Wiley.
[8] P. Erdos (1986), "On some metric and combinatorial geometric
problems", Discrete Mathematics, 60, pp: 147 153.
[9] Gil Kalai (2015), "Some old and new problems in combinatorial
geometry I: Around Borsuk’s problem", Conell University
Library: arXiv:1505.04952, submitted on 19 May 2015, pp: 1 29.
[10] P. Erdos, G. Purdy, E. G. Straus (1982), "On a problem in combi-
natorial geometry", Discrete Mathematics, 40(1), pp: 45 52.

Một Số Kết Quả Về Hình Lồi, Đường Kính Của Hình Và Vận Dụng.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Một Số Kết Quả Về Hình Lồi, Đường Kính Của Hình Và Vận Dụng.doc

Similar to Một Số Kết Quả Về Hình Lồi, Đường Kính Của Hình Và Vận Dụng.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Một Số Kết Quả Về Hình Lồi, Đường Kính Của Hình Và Vận Dụng.doc