Đặc trưng euler Và một số ứng dụng.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------

---------------
TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG
ĐẶC TRƢNG EULER
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2018

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
----------------

---------------
TRẦN THỊ ÁNH DƢƠNG
ĐẶC TRƢNG EULER
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp
Mã số: 8460113
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Tạ Duy Phƣợng
THÁI NGUYÊN - 2018

1
Möc löc
Líi nâi ƒu 3
1 Mºt sŁ ki‚n thøc sì l÷æc v•
lþ thuy‚t ç thà 5
1.1. ành ngh¾a ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.1. ành ngh¾a 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.1.2. ành ngh¾a 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.1.3. ành ngh¾a 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1.4. ành ngh¾a 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2. Chu tr…nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3. Mºt sŁ d⁄ng ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. ç thà phflng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. ç thà Łi ng¤u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.3. ç thà li¶n thæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.4. ìn ç thà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.5. ç thà ƒy ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.6. ç thà ph¥n æi ƒy ı . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. C¥y ...............................12
2 Mºt sŁ c¡ch chøng minh
cæng thøc °c tr÷ng Euler 14
2.1. Chøng minh düa tr¶n lþ thuy‚t ç thà . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Chøng minh sß döng ph÷ìng ph¡p i»n t‰ch . . . . . . . . . 19
2.2.1. i»n t‰ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. i»n t‰ch Łi ng¤u . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2
2.3. Chøng minh düa tr¶n ph÷ìng ph¡p sß döng gâc . . . . . . . 21
2.3.1. TŒng cıa gâc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.3.2. Gâc h…nh cƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.4. Chøng minh cıa Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Mºt sŁ chøng minh kh¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.5.1. Ph÷ìng ph¡p lo⁄i bä tam gi¡c . . . . . . . . . . . 30
2.5.2. Chu tr…nh Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Mºt sŁ øng döng
v b i to¡n li¶n quan 35
3.1. KhŁi a di»n Platon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.2. Tr¡i bâng ¡ v b i to¡n phı m°t cƒu . . . . . . . . . . . . 38
3.3. °c tr÷ng Euler v mºt sŁ øng döng trong lþ thuy‚t ç thà . 39
3.4. ành l‰ Pick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.5. ành l‰ Sylvester-Gallai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.6. ành l‰ v• c¡c ÷íng thflng ìn s›c . . . . . . . . . . . . . . 49
K‚t lu“n 56

3
Líi nâi ƒu
X†t c¡c khŁi a di»n •u sau
T¶n ¿nh V C⁄nh E M°t F V E + F
Tø di»n 4 6 4 2
H…nh l“p ph÷ìng 8 12 6 2
B¡t di»n 6 12 8 2
Th“p nhà di»n 20 30 12 2
Nhà th“p di»n 12 30 20 2
H…nh 1
Ta nh“n th§y V E + F = 2 vîi t§t c£ n«m khŁi a di»n tr¶n. SŁ 2 khæng
Œi ÷æc gåi l °c tr÷ng Euler.
°c tr÷ng Euler, hay cæng thøc V E + F = 2 l mºt trong 17 ph÷ìng
tr…nh l m thay Œi th‚ giîi (xem [1]). Do t‰nh b£n ch§t v quan trång cıa
cæng thøc n y, °c tr÷ng Euler câ ‚n v i chöc c¡ch chøng minh (xem [5])
v câ nhi•u øng döng (xem th‰ dö, [6]).
°c tr÷ng Euler (cÆn ÷æc gåi l b§t bi‚n Euler, cæng thøc Euler, ho°c
°c tr÷ng Euler-Poincar† ) l mºt b§t bi‚n tæpæ, l sŁ khæng Œi °c tr÷ng
cho h…nh d⁄ng ho°c c§u tróc cıa mºt khæng gian tæpæ khæng phö
thuºc v o c¡ch nâ bà bi‚n d⁄ng. °c tr÷ng Euler th÷íng ÷æc kþ hi»u l X .
°c tr÷ng Euler X (S) cıa mºt a gi¡c phflng S ÷æc chia th nh c¡c tam
gi¡c b‹ng sŁ ¿nh trł i sŁ c⁄nh cºng vîi sŁ m°t cıa tam gi¡c trong a

4
gi¡c â:
X(S)=V E+F:
B§t ký a di»n lçi công câ °c tr÷ng
X =V E+F =2;
trong â V , E v F t÷ìng øng l sŁ ¿nh (gâc), sŁ c⁄nh v sŁ m°t cıa khŁi a
di»n.
Leonhard Euler, t¶n cıa æng ÷æc °t cho kh¡i ni»m n y, ¢ câ c¡c cæng
tr…nh nghi¶n cøu ƒu ti¶n v• °c tr÷ng n y.
Ta công câ th” mð rºng °c tr÷ng Euler (tøc cæng thøc X = 2) cho h…nh
cƒu v ¡p döng cho c¡c khŁi a di»n cƒu.
Lu“n v«n ÷æc chia l m ba ch÷ìng.
Ch÷ìng 1. Mºt sŁ ki‚n thøc sì l÷æc v• lþ thuy‚t ç thà.
Ch÷ìng 2. Mºt sŁ c¡ch chøng minh cæng thøc °c tr÷ng Euler.
Ch÷ìng 3. Mºt sŁ øng döng v b i to¡n li¶n quan.
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh v s¥u s›c ‚n PGS. TS. T⁄ Duy
Ph÷æng, ng÷íi thƒy ¢ ành h÷îng chån • t i v t“n t…nh h÷îng d¤n ” tæi
câ th” ho n th nh lu“n v«n n y.
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ch¥n th nh tîi c¡c Thƒy cæ gi¡o thuºc khoa
To¡n - Tin, PhÆng o t⁄o tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢
gióp ï tæi trong suŁt qu¡ tr…nh håc t“p t⁄i tr÷íng.
Tæi công xin b y tä líi c£m ìn s¥u s›c ‚n tr÷íng trung håc phŒ thæng
L¶ Ch¥n ¢ quan t¥m v t⁄o i•u ki»n gióp ï tæi trong qu¡ tr…nh håc t“p v
cæng t¡c.
CuŁi còng tæi xin gßi líi c£m ìn ‚n gia …nh, b⁄n b– çng nghi»p ¢ cŒ vô,
ºng vi¶n v t⁄o i•u ki»n ” tæi ho n th nh lu“n v«n n y.
Th¡i Nguy¶n, th¡ng 5 n«m 2018
T¡c gi£
Trƒn Thà nh D÷ìng

5
Ch÷ìng 1
Mºt sŁ ki‚n thøc sì l÷æc v•
lþ thuy‚t ç thà
Ch÷ìng n y tr…nh b y sì l÷æc c¡c kh¡i ni»m cì b£n cıa lþ thuy‚t ç thà ”
bŒ træ cho mºt sŁ c¡ch chøng minh cæng thøc °c tr÷ng Euler düa tr¶n
lþ thuy‚t ç thà trong ch÷ìng sau. Nºi dung ch‰nh cıa ch÷ìng ÷æc tham
kh£o tł t i li»u [2,3,9].
1.1. ành ngh¾a ç thà
1.1.1. ành ngh¾a 1
ç thà (graph) G = (V; E) l mºt bº gçm c¡c ¿nh V v c¡c c⁄nh E, trong
â V 6= ; v mØi c⁄nh nŁi vîi hai ¿nh (khæng nh§t thi‚t ph¥n bi»t).
N‚u c⁄nh e t÷ìng øng vîi hai ¿nh u; v th… ta nâi u v v l hai ¿nh k•
nhau. Kþ hi»u e = (u; v) hay e = (v; u). C⁄nh (u; u) t÷ìng øng vîi hai ¿nh
tròng nhau gåi l mºt vÆng hay khuy¶n(loop) t⁄i u. Hai c⁄nh ph¥n bi»t
còng t÷ìng øng vîi mºt c°p ¿nh ÷æc gåi l hai c⁄nh song song hay c⁄nh
bºi.
C°p ¿nh khæng s›p thø tü ÷æc gåi l c⁄nh væ h÷îng (c⁄nh). C°p ¿nh
s›p thø tü ÷æc gåi l c⁄nh câ h÷îng (cung).

6
H…nh 1.1
1.1.2. ành ngh¾a 2
ç thà G ÷æc gåi l ç thà væ h÷îng n‚u t§t c£ c¡c c⁄nh cıa G •u l c⁄nh
væ h÷îng.
H…nh 1.2
B“c cıa mºt ¿nh trong ç thà væ h÷îng l sŁ c¡c c⁄nh li¶n thuºc vîi nâ,
ri¶ng khuy¶n t⁄i mºt ¿nh ÷æc t‰nh hai lƒn cho b“c cıa nâ. K‰ hi»u l :
deg(v).
- ¿nh b“c 0 ÷æc gåi l ¿nh cæ l“p.
- ¿nh câ b“c b‹ng 1 ÷æc gåi l ¿nh treo.
V‰ dö. Cho ç thà sau:
H…nh 1.3
Ta câ: deg(a) = 4; deg(b) = 5; deg(c) = 4; deg(d) = 0; deg(e) = 1;

7
deg(f) = 4; deg(g) = 4.
1.1.3. ành ngh¾a 3
ç thà G ÷æc gåi l ç thà câ h÷îng n‚u t§t c£ c¡c c⁄nh cıa G •u l c⁄nh
câ h÷îng.
H…nh 1.4
1.1.4. ành ngh¾a 4
ç thà G1 ÷æc gåi l ç thà con cıa ç thà G n‚u t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa
G1 t÷ìng øng l t“p con cıa t“p ¿nh v t“p c⁄nh cıa G.
1.2. Chu tr…nh
÷íng i (path) câ º d i n tł v0 ‚n vn vîi n l mºt sŁ nguy¶n d÷ìng, trong
mºt ç thà væ h÷îng l mºt d¢y c¡c c⁄nh li¶n ti‚p v0v1; v1v2; :::; vn 1vn. ¿nh
v0 ÷æc gåi l ¿nh ƒu, ¿nh vn ÷æc gåi l ¿nh cuŁi.
÷íng i câ ¿nh ƒu tròng vîi ¿nh cuŁi gåi l chu tr…nh.
÷íng i (Chu tr…nh) khæng qua c⁄nh n o lƒn thø hai gåi l ÷íng i ìn
(Chu tr…nh ìn).
Chu tr…nh ìn chøa t§t c£ c¡c c⁄nh cıa ç thà ÷æc gåi l chu tr…nh
Euler.
ç thà væ h÷îng ÷æc gåi l ç thà Euler n‚u nâ câ chu tr…nh Euler.

8
V‰ dö. Trong H…nh 1.5, ç thà G1 câ chu tr…nh Euler: a; e; c; d; e;
b; a. C£ hai ç thà G2 v G3 khæng câ chu tr…nh Euler.
H…nh 1.5
1.3. Mºt sŁ d⁄ng ç thà
1.3.1. ç thà phflng
ç thà G l ç thà phflng n‚u câ th” v‡ nâ tr¶n m°t phflng sao cho c¡c
c⁄nh cıa nâ khæng c›t nhau ngo i ð ¿nh.
H…nh 1.6
1.3.2. ç thà Łi ng¤u
ç thà Łi ng¤u cıa mºt ç thà phflng G l mºt ç thà G0
trong â câ mºt
¿nh t÷ìng øng cho mØi mi•n m°t phflng cıa ç thà G v câ mØi c⁄nh t÷ìng
øng vîi mØi c⁄nh cıa G k‚t nŁi hai mi•n k• nhau cıa G.

9
H…nh 1.7: ç thà Łi ng¤u
X¡c ành ç thà Łi ng¤u tł mºt ç thà phflng
B÷îc 1: X¡c ành c¡c mi•n cıa ç thà phflng.
Ta câ ç thà phflng G, x¡c ành c¡c mi•n nh÷ sau:
Mi•n trong 1: Mi•n bà giîi h⁄n bði tam gi¡c CDE.
Mi•n trong 2: Mi•n bà giîi h⁄n bði tam gi¡c BCE.
Mi•n trong 3: Mi•n bà giîi h⁄n bði tam gi¡c ABE.
Mi•n ngo i: Mi•n khæng bà giîi h⁄n bði h…nh ngô gi¡c ABCDE.
H…nh 1.8: NŁi mi•n trong tam gi¡c CDE vîi mi•n m 3 c⁄nh DE, CD v CE ti‚p xóc
B÷îc 2: X¡c ành mi•n ti‚p xóc vîi mØi mi•n vła x¡c ành ð b÷îc 1.
X†t tam gi¡c CDE (mi•n trong 1) ta th§y:
C⁄nh DE, CD ti‚p xóc vîi mi•n ngo i.
C⁄nh CE ti‚p xóc vîi tam gi¡c BCE (mi•n trong 2).
Ta thüc hi»n v‡ c¡c ÷íng cong nŁi tł tam gi¡c CDE sang mi•n ngo i v
tam gi¡c BCE.

10
T÷ìng tü ta x†t vîi tam gi¡c BCE v tam gi¡c ABE.
H…nh 1.9: NŁi mi•n trong tam gi¡c BCE vîi mi•n m 3 c⁄nh BC, BE v CE ti‚p xóc
B÷îc 3: Gåi H l ç thà mîi vła t…m ÷æc, ta câ H l ç thà Łi ng¤u cıa G.
H…nh 1.10: NŁi mi•n trong tam gi¡c ABE vîi mi•n m 3 c⁄nh AB, AE v BE ti‚p xóc
1.3.3. ç thà li¶n thæng
Mºt ç thà li¶n thæng n‚u luæn tçn t⁄i ÷íng i giœa måi c°p ¿nh ph¥n
bi»t cıa ç thà.
V‰ dö. Trong H…nh 1.11 ç thà G l li¶n thæng v ç thà H l khæng
li¶n thæng.

11
H…nh 1.11
1.3.4. ìn ç thà
ç thà khæng câ khuy¶n v c⁄nh bºi ÷æc gåi l ìn ç thà.
Ng÷æc l⁄i, ÷æc gåi l a ç thà.
1.3.5. ç thà ƒy ı
L ìn ç thà bao gçm n ¿nh m måi ¿nh •u câ b“c n 1 (mØi ¿nh
•u nŁi vîi n 1 ¿nh cÆn l⁄i).
Kþ hi»u: Kn.
V‰ dö.
H…nh 1.12
1.3.6. ç thà ph¥n æi ƒy ı
L ìn ç thà trong â:
- C¡c ¿nh cıa ç thà chia l m hai t“p con.
- MØi c⁄nh nŁi mºt ¿nh tł t“p n y ‚n mºt ¿nh ð t“p kia.

12
K‰ hi»u: Km;n
V‰ dö.
H…nh 1.13
1.4. C¥y
C¥y l mºt ç thà m trong â hai ¿nh b§t k… •u ÷æc nŁi vîi nhau b‹ng
óng mºt ÷íng i.
C¥y l ç thà væ h÷îng, li¶n thæng v khæng câ chu tr…nh ìn.
H…nh 1.14: C¥y
C¥y bao tròm (spanning tree) cÆn ÷æc gåi l c¥y khung cıa ç thà G l
c¥y con cıa ç thà G , chøa t§t c£ c¡c ¿nh cıa G.
Hay nâi c¡ch kh¡c, c¥y bao tròm cıa mºt ç thà G l mºt ç thà con cıa G,
chøa t§t c£ c¡c ¿nh cıa G, li¶n thæng v khæng câ chu tr…nh.
C¥y khung cıa ç thà li¶n thæng G l mºt ç thà con li¶n thæng nhä nh§t
cıa G.

13
H…nh 1.15: C¥y khung

14
Ch÷ìng 2
Mºt sŁ c¡ch chøng minh
cæng thøc °c tr÷ng Euler
Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ c¡ch chøng minh cæng thøc °c tr÷ng
Euler.
2.1. Chøng minh düa tr¶n lþ thuy‚t ç thà
Bi”u di„n phflng cıa mºt ç thà chia m°t phflng th nh c¡c mi•n, k” c£
mi•n væ h⁄n. V‰ dö bi”u di„n phflng cıa ç thà tr¶n h…nh 2.1 chia m°t
phflng th nh 6 mi•n. Chóng ÷æc g¡n nh¢n nh÷ h…nh v‡.
H…nh 2.1
Euler ¢ chøng minh r‹ng t§t c£ c¡c bi”u di„n phflng cıa mºt ç thà •u
chia m°t phflng th nh còng mºt sŁ mi•n nh÷ nhau. ˘ng ¢ t…m ra mŁi
quan h» giœa sŁ mi•n, sŁ ¿nh v sŁ c⁄nh cıa mºt ç thà phflng. Khi â
cæng thøc °c tr÷ng Euler Łi vîi ç thà phflng ÷æc ph¡t bi”u nh÷ sau
ành l‰. N‚u G l mºt ç thà phflng li¶n thæng câ V ¿nh, E c⁄nh v F

15
mi•n th…
V E+F =2:
Sau ¥y l mºt sŁ c¡ch chøng minh cæng thøc °c tr÷ng Euler düa tr¶n cì
sð lþ thuy‚t ç thà.
Chøng minh 2.1.1 (xem [2]). Gåi G l mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng vîi E
c⁄nh v V ¿nh. Gåi R l sŁ mi•n trong bi”u di„n phflng cıa G. Cƒn chøng
minh R = E V + 2.
Tr÷îc ti¶n ta x¡c ành bi”u di„n phflng cıa G. Ta s‡ chøng minh b‹ng
c¡ch x¥y düng mºt d¢y c¡c ç thà con G1; G2; :::; Ge = G, mØi b÷îc gh†p
th¶m mºt c⁄nh v o ç thà ð b÷îc tr÷îc. i•u n y l m ÷æc khi sß döng ph÷ìng
ph¡p quy n⁄p to¡n håc nh÷ sau.
L§y tòy þ mºt c⁄nh cıa G ” nh“n ÷æc G1. ” nh“n ÷æc Gn tł Gn 1 ta
th¶m tòy þ mºt c⁄nh li¶n thuºc vîi mºt ¿nh cıa Gn 1 v th¶m mºt ¿nh kh¡c
li¶n thuºc vîi c⁄nh mîi â, n‚u nâ ch÷a câ trong Gn 1. i•u
n y l m ÷æc v… G li¶n thæng. G s‡ nh“n ÷æc sau khi e c⁄nh ÷æc gh†p
th¶m v o c¡c ç thà t⁄o ra tr÷îc. Gåi Rn; En v Vn t÷ìng øng l sŁ mi•n, sŁ
c⁄nh v sŁ ¿nh cıa bi”u di„n phflng cıa Gn do bi”u di„n phflng cıa G
sinh ra.
Ta s‡ chøng minh b‹ng quy n⁄p. Vîi n = 1, h» thøc R1 = E1 V1 + 2 l
óng vîi G1 v… E1 = 1; V1 = 2 v R1 = 1.
H…nh 2.2
Gi£ sß Rn = En Vn + 2. Gåi fan+1; bn+1g l c⁄nh gºp v o Gn ” ÷æc
Gn+1. Câ hai kh£ n«ng x£y ra.
Tr÷íng hæp 1. C£ hai ¿nh an+1; bn+1 ¢ thuºc Gn.
Khi â chóng ph£i ð tr¶n bi¶n cıa mi•n chung R n‚u khæng th…
khæng th” gºp c⁄nh fan+1; bn+1g v o Gn m khæng câ c¡c c⁄nh c›t nhau
(Gn+1 l phflng). C⁄nh mîi n y s‡ chia mi•n R th nh hai mi•n con.

16
H…nh 2.3
Do â Rn+1 = Rn + 1; En+1 = En + 1 v Vn+1 = Vn.
V… v“y ta câ cæng thøc Rn+1 = En+1Vn+1 + 2.
Tr÷íng hæp 2. Mºt trong hai ¿nh an+1; bn+1 ch÷a thuºc Gn.
H…nh 2.4
Gi£ sß an+1 thuºc Gn cÆn bn+1 khæng thuºc Gn. Th¶m c⁄nh n y
khæng sinh ra mºt mi•n mîi n o, v… bn+1 ph£i ð trong mi•n câ an+1 ð
tr¶n bi¶n cıa nâ. Do â, Rn+1 = Rn. Nh÷ng En+1 = En + 1 v Vn+1 = Vn +
1. V… v“y Rn+1 = En+1 Vn+1 + 2.
V“y vîi måi n ta •u câ Rn = En Vn + 2. V… ç thà gŁc l Ge nh“n ÷æc
sau khi th¶m e c⁄nh, ành l‰ ÷æc chøng minh.
Cæng thøc Euler ÷æc minh håa trong v‰ dö sau:
V‰ dö 2.1.1 Gi£ sß ìn ç thà phflng li¶n thæng câ 20 ¿nh, mØi ¿nh •u
câ b“c b‹ng 3. Bi”u di„n phflng cıa ç thà n y chia m°t phflng th nh bao
nhi¶u mi•n?
Gi£i. ç thà phflng n y câ 20 ¿nh, mØi ¿nh •u câ b“c b‹ng 3, do

17
v“y V = 20. V… tŒng sŁ b“c cıa c¡c ¿nh, 3V = 3:20 = 60, b‹ng hai lƒn
sŁ c⁄nh, tøc l 2E, ta câ E = 60 : 2 = 30. Do v“y theo cæng thøc Euler,
sŁ c¡c mi•n l
R=E V +2=30 20+2=12:
Chøng minh 2.1.2 (xem [8]). ç thà trong H…nh 2.5 câ n«m ¿nh, b£y
c⁄nh, bŁn mi•n v 5 7 + 4 = 2.
H…nh 2.5
N‚u khæng t‰nh vòng khæng giîi h⁄n l mi•n th… cæng thøc Euler
trð th nh V E + F = 1:
X†t mºt c¥y (mºt ç thà phflng li¶n thæng v khæng câ chu tr…nh).
V… c¥y khæng câ chu tr…nh, mi•n duy nh§t l mi•n khæng bà giîi h⁄n,
n¶n cæng thøc Euler V E + 1 = 2 hay V = E + 1: Do â, sŁ ¿nh cıa c¥y
lîn hìn sŁ c⁄nh 1 ìn và.
Ta dòng c¡ch lo⁄i bä c¡c c⁄nh ra khäi ç thà ” chøng minh ành l‰.
X†t mºt ç thà phflng li¶n thæng. Chån mºt c⁄nh b§t k…. C⁄nh câ th”
li¶n thuºc hai ¿nh ho°c l mºt khuy¶n.
H…nh 2.6

18
Gi£ sß c⁄nh li¶n thuºc hai ¿nh. Ta thu nhä c⁄nh cho ‚n khi nâ bi‚n m§t
ho n to n v trð th nh mºt ¿nh. i•u n y câ th” thüc hi»n trong ç thà phflng
(xem lo⁄i bä c⁄nh a; c; d trong H…nh 2.6). Nh÷ v“y s‡ l m cho sŁ c⁄nh v
sŁ ¿nh gi£m i 1 ìn và. SŁ mi•n khæng Œi. Do â, gi¡ trà cıa bi”u thøc V
E + F khæng thay Œi.
Gi£ sß c⁄nh l mºt khuy¶n. Ta lo⁄i bä c¡c c⁄nh b; e. Do â, sŁ c⁄nh v sŁ
mi•n gi£m i 1 ìn và. SŁ ¿nh khæng thay Œi. V… v“y, gi¡ trà cıa bi”u
thøc V E + F khæng thay Œi.
Ti‚p töc qu¡ tr…nh lo⁄i bä c⁄nh cho ‚n khi cÆn l⁄i mºt ¿nh duy nh§t,
khæng câ c⁄nh v câ mºt mi•n (mi•n ngo i). Do â V E + F = 2:
Bði v… V E + F khæng Œi trong suŁt qu¡ tr…nh n¶n V E + F = 2
óng vîi ç thà ban ƒu.
Chøng minh 2.1.3 (xem [5]). Gåi G l mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng vîi E
c⁄nh, V ¿nh v F mi•n.
Gi£ sß T E l t“p hæp c¡c c⁄nh cıa c¥y bao tròm trong G, tøc l mºt ç
thà con nhä nh§t li¶n thæng vîi t§t c£ c¡c ¿nh cıa G. ç thà n y khæng
chøa chu tr…nh bði v… nâ l nhä nh§t. Ta x¡c ành ç thà Łi ng¤u G0
cıa
G nh÷ sau:
- °t mºt ¿nh v o mØi mi•n cıa G.
- Th¶m mºt c⁄nh cho mØi c⁄nh trong G t¡ch hai mi•n li•n k• v nŁi 2
¿nh cıa G0
b‹ng cung e0
c›t c⁄nh chung e cıa hai mi•n â. Sau â ta v‡
mºt sŁ c⁄nh li¶n thæng trong ç thà Łi ng¤u.
X†t t“p hæp T 0
E0
cıa c¡c c⁄nh trong ç thà Łi ng¤u t÷ìng øng vîi c¡c
c⁄nh trong EnT . C¡c c⁄nh trong T 0
li¶n thæng t§t c£ c¡c mi•n. Nh÷ v“y T
0
l mºt c¥y bao tròm cıa G0
.
Łi vîi måi c¥y, sŁ ¿nh hìn sŁ c⁄nh 1 ìn và n¶n ta câ:
jV (T )j j E (T )j = 1 v V T 0 E T 0 = 1;

19
H…nh 2.7
Do â
jV (T )j [jE (T )j + jE (T 0
)j] + jV (T 0
)j = 2; (2.1)
V… T l c¥y bao tròm cıa G n¶n
jV (T )j = jV (G)j ; (2.2)
V… T 0
l c¥y bao tròm cıa ç thà Łi ng¤u G0
n¶n
V T 0
= jF (G)j ; (2.3)
M°t kh¡c
jE (T )j + jE (T 0
)j = jE (G)j ; (2.4)
Thay (2.2), (2.3) v (2.4) v o (2.1) ta ÷æc
V E+F =2:
2.2. Chøng minh sß döng ph÷ìng ph¡p i»n t‰ch
Ngo i ra ta cÆn câ th” sß döng ph÷ìng ph¡p i»n t‰ch ” chøng minh
cæng thøc °c tr÷ng Euler. K‚t qu£ ÷æc tham kh£o tł t i li»u [5].

20
2.2.1. i»n t‰ch
°t khŁi a di»n trong khæng gian sao cho khæng câ c⁄nh n‹m ngang.
Bði v“y, ch¿ câ duy nh§t mºt ¿nh cao nh§t U v mºt ¿nh th§p nh§t L.
°t mºt i»n t‰ch d÷ìng t⁄i mØi ¿nh, mºt i»n ¥m t⁄i ch‰nh giœa mØi
c⁄nh v mºt i»n t‰ch d÷ìng ð giœa mØi m°t.
H…nh 2.8
Ta cƒn ch¿ ra r‹ng, måi i»n t‰ch •u bà khß, trł hai i»n t‰ch t⁄i U v L.
Bä måi i»n t‰ch ð ¿nh v c⁄nh v o m°t k‚ b¶n, sau â nhâm h‚t i»n t‰ch
trong mØi m°t l⁄i vîi nhau. H÷îng di chuy”n ÷æc x¡c ành theo quy lu“t:
mØi i»n t‰ch di chuy”n theo ph÷ìng ngang, ng÷æc chi•u kim çng hç.
Nh÷ v“y, mØi m°t nh“n mºt tŒng i»n t‰ch tł kho£ng khæng gian dåc
theo giîi h⁄n cıa nâ. V… i»n t‰ch ƒu ti¶n v cuŁi còng l ð c⁄nh, s‡ câ d÷
mºt i»n t‰ch ¥m. Cho n¶n tŒng i»n t‰ch trong mØi m°t •u b‹ng 0. V
t§t c£ ch¿ cÆn l⁄i + 2 cho ¿nh U v L.
2.2.2. i»n t‰ch Łi ng¤u
Xoay khŁi a di»n sao cho khæng câ c⁄nh n o n‹m dåc.
T÷ìng tü c¡ch chøng minh tr¶n, °t mºt i»n t‰ch d÷ìng ð mØi ¿nh v
giœa c¡c m°t; i»n t‰ch ¥m ð ch‰nh giœa c¡c c⁄nh.
Ta cƒn ch¿ ra r‹ng, t§t c£ måi i»n t‰ch •u bà khß, trł hai i»n t‰ch
d÷ìng. Di chuy”n i»n t‰ch tr¶n mØi c⁄nh ‚n i”m t“n còng b¶n ph£i cıa

21
H…nh 2.9
nâ; di chuy”n i»n t‰ch tr¶n mØi m°t (ngo⁄i trł m°t ngo i còng) ‚n ¿nh
gƒn nh§t b¶n ph£i cıa nâ. Måi ¿nh (ngo⁄i trł ¿nh ngo i còng b¶n tr¡i) lƒn
l÷æt nh“n i»n t‰ch cıa c¡c c⁄nh v m°t; tri»t ti¶u vîi i»n t‰ch ban ƒu cıa
nâ. Ch¿ cÆn l⁄i duy nh§t 2 i»n t‰ch d÷ìng ð m°t ngo i còng v ¿nh ngo
i còng b¶n tr¡i l ch÷a tri»t ti¶u.
2.3. Chøng minh düa tr¶n ph÷ìng ph¡p sß döng gâc
K‚t qu£ ÷æc tham kh£o tł t i li»u [5,8]
2.3.1. TŒng cıa gâc
Ph÷ìng ph¡p n y düa tr¶n cì sð mºt ç thà phflng ÷æc t⁄o bði mºt a
di»n ÷æc tr£i tr¶n m°t phflng, n¶n c¡c c⁄nh cıa nâ •u l nhœng o⁄n thflng.
Ta câ tŒng c¡c gâc cıa mØi m°t k - di»n cıa ç thà (t‰nh c£ m°t ngo
i) l (k 2) . M mØi c⁄nh l c⁄nh chung cıa hai m°t n¶n tŒng c¡c gâc cıa ç
thà l
(2E 2F) : (2.5)
M°t kh¡c, mØi ¿nh ÷æc bao quanh bði c¡c tam gi¡c v câ tŒng c¡c
gâc b‹ng 2 . C¡c ¿nh tr¶n m°t ngo i câ tŒng gâc b‹ng 2 ( (V )), trong â
bi”u thà gâc ngo i cıa a gi¡c.

22
TŒng c¡c gâc ngo i cıa mØi a gi¡c l 2 n¶n tŒng c¡c gâc cıa ç thà l
2V 4: (2.6)
Tł (2.5) v (2.6) ta câ:
(2E 2F) =2 V 4
)E F=V 2
)V E+F =2:
2.3.2. Gâc h…nh cƒu
Ph÷ìng ph¡p n y sß döng tŒng c¡c gâc trong tam gi¡c cƒu tr¶n m°t
cƒu. Ch…a khâa ” chøng minh cıa Legendre l mºt cæng thøc tł h…nh
håc h…nh cƒu cho di»n t‰ch tam gi¡c tr¶n b• m°t cıa h…nh cƒu theo
gâc b¶n trong. Tr¶n h…nh cƒu, h…nh tam gi¡c v c¡c h…nh a gi¡c
khæng ÷æc t⁄o th nh tł c¡c o⁄n thflng m tł vÆng cung cıa ÷íng trÆn lîn.
Mºt ÷íng trÆn lîn l b§t k… ÷íng trÆn n o tr¶n h…nh cƒu câ b¡n k‰nh
b‹ng b¡n k‰nh h…nh cƒu.
Chóng ta x¡c ành mºt tam gi¡c tr¶n h…nh cƒu ÷æc t⁄o th nh bði ba
÷íng trÆn lîn (H…nh 2.10), ÷æc gåi l tam gi¡c tr›c àa (geodesic
triangle).
H…nh 2.10: geodesic triangle
Nhi•u ành l‰ Łi vîi tam gi¡c phflng công óng Łi vîi tam gi¡c tr›c àa,
chflng h⁄n: tŒng hai c⁄nh cıa tam gi¡c luæn lîn hìn c⁄nh cÆn l⁄i. Nh÷ng
câ mºt t‰nh ch§t khæng óng. â l , trong h…nh håc phflng tŒng c¡c
gâc trong tam gi¡c b‹ng 1800
nh÷ng tr¶n m°t cƒu, tŒng c¡c gâc trong

23
tam gi¡c tr›c àa luæn lîn hìn 180
0
:
V o th‚ k¿ 17, Thomas Harriot (1560-1621) v Albert Girard (1595-
1632) ¢ chøng minh ành l‰ sau.
ành l‰ Harriot Girard Łi vîi tam gi¡c. Tam gi¡c tr›c àa tr¶n m°t cƒu ìn
và vîi ba gâc trong a; b; c câ di»n t‰ch
S = a + b + c :
Bði v… tŒng c¡c gâc trong tam gi¡c phflng l n¶n câ th” vi‚t l⁄i cæng
thøc tr¶n nh÷ sau: S = (a + b + c) tŒng c¡c gâc trong tam gi¡c phflng.
Chøng minh. X†t h…nh cƒu ìn và câ b¡n k‰nh R = 1. Khi â di»n
t‰ch cıa nâ l Smc = 4 .
H…nh 2.11: lune
Ta sß döng mºt v“t ÷æc gåi l lune (l÷ïi li•m). Lune l mi•n ÷æc giîi h⁄n bði
hai ÷íng trÆn lîn. Hai ÷íng trÆn lîn luæn c›t nhau t⁄i hai i”m Łi xøng
tr¶n m°t cƒu.
H…nh 2.12
N‚u l÷ïi li•m câ mºt gâc a th… gâc Łi di»n công b‹ng a: Ta câ
S
lune =
a
:
Smc 2

24
Khi â di»n t‰ch l÷ïi li•m l
a a
S
lune
=
2
S
mc
=
2
4 = 2a:
X†t mºt tam gi¡c tr›c àa ABC tr¶n m°t cƒu ìn và, câ c¡c gâc a; b; c:
Tam gi¡c n‹m ð mºt nßa b¡n cƒu. Mð rºng c¡c c⁄nh cıa tam gi¡c ABC c›t
bi¶n cıa b¡n cƒu. Gåi D; E; F; G; H; I l c¡c giao i”m.
H…nh 2.13: tam gi¡c tr¶n b¡n cƒu
Theo t‰nh ch§tŁi xøng,
S
ADE
+ S
AGH
= S
lune
= 2a:
T÷ìng tü,
SBF G + SBDI = 2b; SCHI + SCEF = 2c:
Suy ra
(SADE + SAGH ) + (SBF G + SBDI ) + (SCHI + SCEF ) = 2a + 2b + 2c:
Do â
1
2 Smc + 2SABC = 2a + 2b + 2c
) 2 + 2SABC = 2a + 2b + 2c
) SABC = a + b + c :
ành l‰ Harriot Girard Łi vîi a gi¡c. Di»n t‰ch cıa a gi¡c tr›c àa
(geodesic polygon) n c⁄nh tr¶n m°t cƒu ìn và câ c¡c gâc trong a1; a2;
:::; an l
S = a1 + a2 + ::: + an n + 2 :

25
Chøng minh. TŒng c¡c gâc trong cıa a gi¡c phflng n c⁄nh l (n 2) :
Do â, t÷ìng tü Łi vîi tam gi¡c, di»n t‰ch cıa a gi¡c tr›c àa l hi»u cıa
tŒng c¡c gâc trong cıa nâ vîi tŒng c¡c gâc trong cıa a gi¡c phflng câ
còng sŁ c⁄nh.
Ta chia a gi¡c tr›c àa th nh c¡c tam gi¡c tr›c àa b‹ng c¡ch th¶m c¡c
÷íng ch†o, ta ÷æc (n 2) tam gi¡c. TŒng di»n t‰ch c¡c tam gi¡c b‹ng
di»n t‰ch a gi¡c v tŒng c¡c gâc cıa c¡c tam gi¡c b‹ng tŒng c¡c gâc cıa
a gi¡c.
H…nh 2.14: Mºt a gi¡c tr¶n m°t cƒu ÷æc ph¥n chia th nh c¡c tam gi¡c
p döng ành l‰ Harriot - Girard Łi vîi (n 2) tam gi¡c ta ÷æc S =
a1 + a2 + ::: + an (n 2) = a1 + a2 + ::: + an n + 2 :
H…nh 2.15
H…nh dunga gi¡c nh÷ H…nh 2.15. °t th÷îc o gâc t⁄i mØi gâc, th¶m

26
tr¶n mØi c⁄nh v th¶m 2 giœa mØi m°t. Di»n t‰ch a gi¡c b‹ng tŒng
c¡c sŁ tr¶n h…nh.
Vîi mºt a di»n lçi câ V ¿nh, E c⁄nh v F m°t. Gåi x l i”m b§t k… b¶n
trong. Nh÷ H…nh 2.16, x¥y düng mºt h…nh cƒu t¥m x bao quanh a
di»n. Ta câ th” chån h…nh cƒu câ b¡n k‰nh b‹ng 1.
H…nh 2.16: Ph†p chi‚u mºt h…nh a di»n l¶n mºt m°t cƒu
Sß döng c¡c tia ph¡t ra tł x; ta chi‚u a di»n tr¶n m°t cƒu. T÷ðng t÷æng
r‹ng a di»n l mºt mæ h…nh khung d¥y v x l mºt bâng –n. H…nh chi‚u l
bâng cıa khung d¥y tr¶n b• m°t cıa m°t cƒu. Khi â c¡c m°t cıa a di»n trð
th nh c¡c a gi¡c tr›c àa.
Ta t‰nh di»n t‰ch m°t cƒu b‹ng hai c¡ch. Tr÷îc h‚t, ta sß döng
cæng thøc t‰nh di»n t‰ch nŒi ti‚ng ” t…m ra di»n t‰ch m°t cƒu ìn và
l S = 4 : Sau â t‰nh tŒng di»n t‰ch c¡c m°t a gi¡c tr¶n m°t cƒu.
H…nh 2.17
Theo ành l‰ Harriot Girard, di»n t‰ch cıa mØi m°t n bi¶n b‹ng

27
tŒng c¡c gâc trong trł i n 2 : G¡n t§t c£ c¡c gâc, c⁄nh v m°t tr¶n m°t cƒu,
°t c¡c th÷îc o ð mØi gâc, th¶m tr¶n c£ hai bi¶n cıa mØi c⁄nh v th¶m 2 ð
giœa mØi m°t, t⁄o ra mºt m°t cƒu nh÷ H…nh 2.17.
M°c dò, tŒng c¡c gâc t⁄i mØi ¿nh cıa a di»n nhä hìn 2 nh÷ng khi
chi‚u tr¶n m°t cƒu th… tŒng c¡c gâc b‹ng 2 : V… câ V ¿nh n¶n ta câ
tŒng c¡c gâc b‹ng 2 V: MØi c⁄nh th¶m 2 m câ E c⁄nh n¶n tŒng ta câ
2 E: MØi m°t th¶m 2 m câ F m°t n¶n tŒng ta câ 2 F:
V“y ta câ
4 =2 V 2 E+2 F )2=V E+F:
2.4. Chøng minh cıa Euler
Euler ¢ • xu§t chøng minh cæng thøc X = 2 b‹ng c¡ch lo⁄i bä c¡c ¿nh
cıa khŁi a di»n lçi, mØi lƒn lo⁄i bä mºt ¿nh cho ‚n khi ch¿ cÆn l⁄i mºt
h…nh châp tam gi¡c gçm bŁn ¿nh (xem [8]).
Ta b›t ƒu vîi mºt khŁi a di»n lçi câ V ¿nh, E c⁄nh v F m°t. ƒu ti¶n ta
lo⁄i bä mºt ¿nh tł khŁi a di»n sao cho khŁi a di»n cÆn l⁄i câ ‰t hìn mºt
¿nh. Cƒn x¡c ành sŁ m°t v sŁ c⁄nh. Gåi O l ¿nh s‡ ÷æc lo⁄i bä v gi£ sß
câ n m°t (do â câ n c⁄nh) câ chung ¿nh O. Ta th§y ¿nh O câ th” ÷æc
lo⁄i bä b‹ng c¡ch c›t i n 2 khŁi châp câ ¿nh O. V‰ dö, khŁi a di»n ð
H…nh 2.18 câ ¿nh O l giao cıa 5 m°t. Do â nâ ÷æc lo⁄i bä b‹ng c¡ch c›t
i 3 khŁi châp.
H…nh 2.18: Lo⁄i bä ¿nh O b‹ng c¡ch c›t i c¡c khŁi châp.
Ta ph£i x†t ba tr÷íng hæp °c bi»t.

28
Tr÷íng hæp 1. Gi£ sß n m°t câ chung ¿nh O •u l h…nh tam gi¡c.
B‹ng c¡ch c›t bä O, ta çng thíi lo⁄i bä n m°t n y, h» qu£ l t⁄o ra n 2 m°t
tam gi¡c mîi. Gi£ sß c¡c m°t n y khæng çng phflng, ta câ sŁ m°t cıa
khŁi a di»n mîi l
F n + (n 2) = F 2:
(vîi F l sŁ m°t ban ƒu)
Trong qu¡ tr…nh ta công lo⁄i bä n c⁄nh giao nhau t⁄i O, nh÷ng ta th¶m
n 3 c⁄nh n‹m giœa n 2 m°t tam gi¡c mîi. Do â sŁ c⁄nh cıa khŁi a di»n
mîi l
E n + (n 3) = E 3:
(vîi E l sŁ c⁄nh ban ƒu)
V‰ dö trong H…nh 2.18, ban ƒu khŁi a di»n câ 11 m°t v 20 c⁄nh. Sau
khi lo⁄i bä ¿nh O ta ÷æc khŁi a di»n mîi câ 9 m°t v 17 c⁄nh.
Tr÷íng hæp 2. Gi£ sß mºt trong sŁ c¡c m°t giao nhau t⁄i O khæng
ph£i l h…nh tam gi¡c (v‰ dö m°t tæ en trong H…nh 2.19). Khi khŁi
châp tam gi¡c chia m°t â bà lo⁄i bä th… m°t â khæng ho n to n bà bi‚n
m§t. Hìn nœa mºt c⁄nh mîi s‡ ÷æc th¶m v o khi m°t â bà c›t l m hai. Do
â sŁ c⁄nh v sŁ m°t cıa khŁi a di»n mîi •u lîn hìn 1 so vîi ban ƒu.
H…nh 2.19
V‰ dö trong H…nh 2.19, khŁi a di»n ban ƒu câ 12 m°t v 23 c⁄nh. Sau
khi lo⁄i bä ¿nh O ta ÷æc khŁi a di»n mîi câ 12 2 + 1 = 11 m°t v 23 3 + 1
= 21 c⁄nh.
TŒng qu¡t, n‚u khŁi a di»n ban ƒu câ s m°t khæng l h…nh tam gi¡c câ

29
chung ¿nh O th… sau khi lo⁄i bä ¿nh O, sŁ m°t v sŁ c⁄nh s‡ nhi•u hìn s
ìn và so vîi ban ƒu. V… v“y sŁ m°t mîi l
F 2 + s:
V sŁ c⁄nh mîi l
E 3 + s:
Tr÷íng hæp 3. Gi£ sß hai m°t tam gi¡c mîi n‹m c⁄nh nhau v çng
phflng (v‰ dö m°t ÷æc tæ en trong H…nh 2.20). Chóng s‡ khæng t⁄o
ra hai m°t ph¥n bi»t trong khŁi a di»n mîi, m t⁄o ra mºt m°t h…nh tø
gi¡c. V… v“y s‡ câ ‰t hìn 1 m°t so vîi ban ƒu. V do khæng câ c⁄nh giao
giœa hai m°t n¶n công s‡ câ ‰t hìn 1 c⁄nh so vîi ban ƒu.
H…nh 2.20
V‰ dö trong H…nh 2.20, khŁi a di»n câ 11 m°t
v ¿nh O, khŁi a di»n cÆn l⁄i 11 2 1 = 8 m°t v
20 c⁄nh. Sau khi lo⁄i bä
20 3 1 = 16 c⁄nh.
V“y n‚u thüc hi»n t lƒn th… s‡ câ ‰t hìn t m°t
v cÆn l⁄i câ sŁ m°t l
t c⁄nh. V“y khŁi a di»n
F 2 + s t:
V sŁ c⁄nh l
E 3 + s t:
C¡c cæng thøc n y ⁄i di»n cho sŁ m°t v sŁ c⁄nh cıa khŁi a di»n sau khi
mºt ¿nh ÷æc lo⁄i bä. N‚u ta l§y sŁ c⁄nh mîi trł i sŁ m°t mîi ta ÷æc
(E 3 + s t) (F 2 + s t) = 1:

30
Câ th” nâi, hi»u cıa c⁄nh v m°t gi£m i 1 ìn và sau khi lo⁄i bä 1 ¿nh. Do
â n‚u lo⁄i bä n ¿nh th… hi»u cıa c⁄nh v m°t l
E F n:
Ta câ th” k‚t lu“n ÷æc chøng minh cıa Euler. Ban ƒu ta câ mºt khŁi a
di»n lçi vîi V ¿nh, E c⁄nh v F m°t. Gi£ sß ta lƒn l÷æt lo⁄i bä tłng ¿nh mºt,
th… sau n lƒn s‡ cÆn l⁄i 4 ¿nh. Khi â V n = 4 hay n = V 4. KhŁi a di»n
cÆn l⁄i câ 4 ¿nh ÷æc gåi l khŁi châp tam gi¡c, câ hi»u cıa
c⁄nh v m°t l 6 4 = 2 m theo l“p lu“n ð tr¶n l E F n. Do â ta
câ cæng thøc
E F n = 2: (2.7)
V
n = V 4: (2.8)
Thay (2.8) v o (2.7) v chuy”n v‚ ta ÷æc
V E+F =2:
2.5. Mºt sŁ chøng minh kh¡c
2.5.1. Ph÷ìng ph¡p lo⁄i bä tam gi¡c
Cauchy ¢ ÷a ra þ t÷ðng th¶m v o ho°c bît i mºt sŁ ¿nh cıa h…nh a
di»n sao cho gi¡ trà bi”u thøc V E + F khæng Œi. CuŁi còng ta ÷æc mºt
tam gi¡c ìn câ V E + F = 2 (xem [8]).
H…nh 2.21: Chi‚u h…nh a di»n l¶n m°t ¡y.

31
Cho mºt h…nh a di»n lçi câ V ¿nh, E c⁄nh v F m°t. ƒu ti¶n ta s‡ bi‚n
Œi h…nh a di»n th nh mºt ç thà phflng (H…nh 2.21). Ta lo⁄i bä mºt m°t
cıa h…nh a di»n, rçi di chuy”n v o m°t n y t§t c£ c¡c ¿nh kh¡c m khæng
l m thay Œi sŁ l÷æng cıa chóng, ta s‡ câ mºt h…nh phflng cıa a gi¡c
chøa trong mºt ÷íng vi•n.
X†t ç thà phflng lçi t⁄o ra tł c¡c c⁄nh cıa a di»n. Chia ç thà th nh c¡c
h…nh tam gi¡c b‹ng c¡ch th¶m ÷íng ch†o v o t§t c£ c¡c mi•n khæng
ph£i l h…nh tam gi¡c ( ç thà thø nh§t trong H…nh 2.22). MØi lƒn mºt
÷íng ch†o ÷æc th¶m v o th… sŁ c⁄nh v sŁ mi•n •u t«ng th¶m 1 ìn và.
SŁ ¿nh v¤n giœ nguy¶n. Nh÷ v“y, bi”u thøc V E + F khæng Œi so vîi ç
thà ban ƒu.
H…nh 2.22: Thø tü tam gi¡c lo⁄i bä tł ç thà tam gi¡c.
Sau khi ç thà ¢ ÷æc tam gi¡c hâa, ta ph¥n r¢ nâ b‹ng c¡ch lo⁄i bä c¡c
h…nh tam gi¡c tł b¶n ngo i, cho ‚n khi ch¿ cÆn l⁄i mºt tam gi¡c duy
nh§t.
Mºt h…nh tam gi¡c ð b¶n ngo i ç thà câ th” câ mºt ho°c hai c⁄nh b¶n
ngo i. Trong tr÷íng hæp mºt, tam gi¡c ÷æc lo⁄i bä b‹ng c¡ch bä i mºt
c⁄nh v mºt mi•n ( ç thà thø hai trong H…nh 2.22). Trong tr÷íng hæp hai,
tam gi¡c ÷æc lo⁄i bä b‹ng c¡ch bä i hai c⁄nh, mºt ¿nh v mºt mi•n ( ç thà
thø ba trong H…nh 2.22). Trong c£ hai tr÷íng hæp th… bi”u thøc
V E + F khæng Œi.
CuŁi còng, ta ÷æc mºt ç thà t⁄o bði mºt tam gi¡c ìn, câ 3 ¿nh, 3 c⁄nh
v 2 mi•n. Khi â V E + F = 3 3 + 2 = 2:
V“y V E + F = 2 luæn óng Łi vîi ç thà ban ƒu.

32
2.5.2. Chu tr…nh Euler
Khæng ch¿ câ còng t¶n m chu tr…nh Euler v °c tr÷ng Euler cÆn câ
mºt mŁi quan h» ch°t ch‡. Ph÷ìng ph¡p chøng minh sau ¥y düa tr¶n
mŁi quan h» giœa sŁ lƒn l°p cıa chu tr…nh v sŁ mi•n trong ç thà phflng
Euler (xem [5]).
Tr÷îc h‚t ta ph£i sß döng k‚t qu£ ành l‰ sau:
ành l‰. Mºt ç thà phflng G câ chu tr…nh Euler khi v ch¿ khi b“c cıa
måi ¿nh trong G •u l sŁ chfin.
” chøng minh ành l‰ tr÷îc h‚t ta chøng minh BŒ•:
BŒ •. N‚u b“c cıa mØi ¿nh cıa ç thà G khæng nhä hìn 2 th… G chøa
chu tr…nh.
Chøng minh BŒ •.
N‚u G câ c⁄nh bºi th… khflng ành cıa BŒ • l hi”n nhi¶n. V… v“y gi£
sß G l ìn ç thà. Gåi v l mºt ¿nh n o â cıa G. Ta s‡ x¥y düng theo qui n⁄p
÷íng i
v ! v1 ! v2 ! :::
trong â v1 l ¿nh k• vîi v, cÆn vîi i 1 chån vi+1 6= vv 1 (câ th” chån vi+1
nh÷ v“y l v… deg (vi) 2). Do t“p ¿nh cıa G l hœu h⁄n, n¶n sau mºt sŁ
hœu h⁄n b÷îc ta ph£i quay l⁄i mºt ¿nh ¢ xu§t hi»n tr÷îc â. Gåi ¿nh ƒu
ti¶n nh÷ th‚ l vk. Khi â, o⁄n cıa ÷íng i x¥y düng n‹m giœa hai ¿nh vk l 1
chu tr…nh cƒn t…m.
Chøng minh ành l‰.
i•u ki»n cƒn. Gi£ sß G l ç thà Euler tøc l tçn t⁄i chu tr…nh Euler H
trong G. Khi â cø mØi lƒn chu tr…nh H i qua mºt ¿nh n o â cıa G th…
nâ t«ng th¶m 2 ìn và cho b“c cıa ¿nh â. M°t kh¡c mØi c⁄nh cıa ç thà
xu§t hi»n trong H óng mºt lƒn, suy ra mØi ¿nh cıa ç thà •u câ b“c chfin.
i•u ki»n ı. Quy n⁄p theo sŁ ¿nh v sŁ c⁄nh cıa G. Do G li¶n thæng v
deg(v) l sŁ chfin n¶n b“c cıa mØi ¿nh khæng nhä hìn 2. Theo

33
BŒ •, G ph£i chøa chu tr…nh C. N‚u C i qua t§t c£ c¡c c⁄nh cıa G th…
nâ l chu tr…nh Euler.
Gi£ sß C khæng i qua t§t c£ c¡c c⁄nh cıa G. Khi â lo⁄i bä khäi G t§t c£
c¡c c⁄nh thuºc C ta thu ÷æc mºt ç thà mîi H v¤n câ b“c l chfin. Theo gi£
thi‚t qui n⁄p, trong mØi th nh phƒn li¶n thæng cıa H •u t…m ÷æc chu
tr…nh Euler. Do G l li¶n thæng n¶n trong mØi th nh phƒn cıa
H câ ‰t nh§t mºt ¿nh chung vîi chu tr…nh C.
V… v“y, ta câ th” x¥y düng chu tr…nh Euler trong G nh÷ sau: b›t ƒu
tł mºt ¿nh n o â cıa chu tr…nh C, i theo c¡c c⁄nh cıa C chłng n o ch÷a
g°p ph£i ¿nh khæng cæ l“p cıa H. N‚u g°p ph£i ¿nh nh÷ v“y ta s‡ i theo
chu tr…nh Euler cıa th nh phƒn li¶n thæng cıa H chøa ¿nh â. Sau â l⁄i
ti‚p töc i theo c⁄nh cıa C cho ‚n khi g°p ph£i ¿nh khæng cæ l“p cıa H
th… l⁄i theo chu tr…nh Euler cıa th nh phƒn li¶n thæng t÷ìng øng trong
H v.v. . . (xem H…nh 2.23). Qu¡ tr…nh s‡ k‚t thóc khi ta trð v• ¿nh xu§t
ph¡t, tøc l thu ÷æc chu tr…nh i qua mØi c⁄nh cıa ç thà óng mºt lƒn.
H…nh 2.23
ành l‰ ÷æc chøng minh.
Sau ¥y ta sß döng chu tr…nh Euler ” chøng minh cæng thøc °c
tr÷ng Euler.
Cho mºt ç thà Euler câ V ¿nh, E c⁄nh v F mi•n. Gåi R l sŁ lƒn chu
tr…nh i qua mºt ¿nh. V‰ dö, sŁ lƒn l°p l 1 Łi vîi ç thà câ chu tr…nh ìn
(tøc l ch¿ câ ¿nh xu§t ph¡t bà l°p). N‚u ta v‡ c¡c c⁄nh cıa ç thà theo thø
tü chu tr…nh Euler th… ç thà s‡ b›t ƒu vîi mºt mi•n v vîi mØi

34
¿nh l°p l⁄i s‡ cho ta th¶m mºt mi•n nœa. Khi â
F =R+1: (2.9)
M°t kh¡c, ç thà câ E + 1 ¿nh s‡ ÷æc i qua trong chu tr…nh tł lóc b›t
ƒu cho ‚n lóc k‚t thóc (trong â V ¿nh khæng bà l°p). Do â
R = E V +1: (2.10)
Thay (2.10) v o (2.9) ta ÷æc cæng thøc °c tr÷ng Euler
V óng Łi vîi ç thà Euler.
E+F =2
B¥y gií, ta x†t mºt ç thà phflng G tòy þ, v‡ hai ÷íng thflng song song
sao ch†p cıa mØi c⁄nh, t¡ch ra bði mºt mi•n câ hai bi¶n. Khi â ç thà G
trð th nh ç thà Euler. Sü thay Œi n y khæng £nh h÷ðng ‚n cæng thøc
V E + F cho ç thà ban ƒu, bði v… nâ th¶m mºt ⁄i l÷æng nh÷ nhau
cho t§t c£ sŁ c⁄nh v sŁ m°t. Do v“y °c tr÷ng Euler công óng Łi vîi
ç thà G ban ƒu.

35
Ch÷ìng 3
Mºt sŁ øng döng
v b i to¡n li¶n quan
Ch÷ìng n y tr…nh b y mºt sŁ øng döng i”n h…nh cıa cæng thøc °c
tr÷ng Euler.
3.1. KhŁi a di»n Platon
Trong to¡n håc, c¡c khŁi a di»n Platon l c¡c a di»n lçi •u. Ch¿ câ óng
5 a di»n Platon â l tø di»n •u (tetrahedron), h…nh l“p ph÷ìng
(hexahedron), b¡t di»n •u (octahedron), th“p nhà di»n •u (dodecahe-
dron) v nhà th“p di»n •u (icosahedron).
H…nh 3.1: KhŁi a di»n Platon
C¡c a di»n •u Platon ÷æc bi‚t ‚n tł r§t sîm trong thíi k… cŒ ⁄i. Nhœng
a di»n •u Platon ƒu ti¶n ÷æc t⁄o ra tł c¡ch ¥y hìn 4000 n«m
v chóng ÷æc ch⁄m kh›c tr¶n nhœng khŁi ¡. Xu§t hi»n tł r§t sîm nh÷ng
cho tîi thíi i”m c¡ch ¥y hìn 2500 n«m th… c¡c quy lu“t to¡n håc xung
quanh v§n • c¡c khŁi a di»n •u Platon mîi lƒn ƒu ti¶n ÷æc • c“p

36
tîi v ÷æc nghi¶n cøu s¥u rºng. V cho tîi khi nh tri‚t håc, nh thi¶n v«n
håc v công l nh h…nh håc nŒi ti‚ng Hy L⁄p - Platon (kho£ng 427 347
TCN) ch¿ ra r‹ng ch¿ câ 5 khŁi a di»n •u th… chóng ÷æc gåi l c¡c khŁi
Platon. C¡c khŁi Platon gçm 5 a di»n •u tetrahedron, hexahedron,
octahedron, dodecahedron v icosahedron (H…nh 3.1).
D÷îi ¥y tr…nh b y øng döng °c tr÷ng Euler trong chøng minh sü tçn
t⁄i duy nh§t 5 a di»n •u Platon.
ành ngh¾a.
- KhŁi a di»n (H) ÷æc gåi l khŁi a di»n lçi n‚u o⁄n thflng nŁi hai i”m
b§t k… cıa (H) luæn thuºc (H).
- Mºt khŁi a di»n lçi •u l khŁi a di»n lçi câ t‰nh ch§t sau: a.
MØi m°t cıa nâ l mºt a gi¡c •u p c⁄nh.
b. MØi ¿nh cıa nâ l ¿nh chung cıa óng q m°t.
KhŁi a di»n •u nh÷ v“y ÷æc gåi l khŁi a di»n •u lo⁄i (p; q).
Chøng minh ch¿ tçn t⁄i duy nh§t 5 a di»n •u Platon.
Ta câ °c tr÷ng Euler
V E+F =2: (3.1)
ƒu ti¶n ta câ mŁi li¶n h»: pF = 2E = qV:
Th“t v“y, ta câ p l sŁ c⁄nh cıa mØi m°t a di»n, F sŁ m°t cıa khŁi a
di»n, suy ra pF l tŒng sŁ c⁄nh cıa t§t c£ c¡c m°t cıa khŁi a di»n. M mºt
c⁄nh cıa a di»n k• vîi hai m°t cıa khŁi a di»n. Suy ra pF = 2E:
M°t kh¡c, q l sŁ m°t g°p nhau ð mºt ¿nh, V l tŒng sŁ ¿nh cıa khŁi a
di»n. Suy ra qV l tŒng sŁ ¿nh cıa t§t c£ c¡c m°t cıa khŁi a di»n.
L⁄i câ, q l sŁ c⁄nh g°p nhau ð mºt ¿nh. M mØi c⁄nh li¶n k‚t vîi hai
¿nh cıa a di»n. Suy ra qV = 2E.
V“y ta câ
pF = 2E = qV : (3.2)

37
Th‚ (3.2) v o (3.1) ta ÷æc:
2E
E +
2E
= 2:
q p
1 1 1 1
) + = :
q p 2 E
1 1 1 1
) + = + : (3.3)
q p 2 E
Bði v… mØi a di»n câ ‰t nh§t 3 c⁄nh, khŁi a di»n câ ‰t nh§t 3 m°t
g°p nhau ð mºt ¿nh n¶n ta câ p 3; q 3. M°t kh¡c n‚u p, q còng lîn hìn 3
th… s‡ d¤n ‚n p 4; q 4. Do â
p
1
+
1
q
1
4 +
1
4 =
1
2:
)
1
2 + E
1 1
2:
1
0:
) E (3.4)
Tł (3.4) suy ra i•u væ lþ. Do â p, q khæng th” çng thíi lîn hìn 3 ÷æc.
Suy ra p = 3 v q 3 ho°c p 3; v q = 3.
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, gi£ sß p = 3. Th‚ v o (3.3) ta ÷æc
1
q +
1
3 =
1
2 + E
1
:
)
1
q =
1
6 + E
1
>
1
6:
) 3 q < 6:
Do q l sŁ nguy¶n n¶n q ch¿ câ th” l 3, 4, 5. Tł â suy ra E = 6, 12, 30.
Mºt c¡ch t÷ìng tü cho tr÷íng hæp q = 3. Ta công câ p = 3, 4, 5.
V“y ta nh“n ÷æc n«m c°p sŁ (3,3), (3,4), (3,5), (4,3), (5,3). Tł n«m
c°p sŁ gi¡ trà cıa (p; q) n y cho ta n«m a gi¡c •u cƒn chøng minh.

38
3.2. Tr¡i bâng ¡ v b i to¡n phı m°t cƒu
Tr¡i bâng th÷íng ÷æc phı bði c¡c mi‚ng da en tr›ng, khæng bi‚t câ
bao nhi¶u ng÷íi ¢ tÆ mÆ m cƒm l¶n ‚m xem câ bao nhi¶u mi‚ng da en,
bao nhi¶u mi‚ng da tr›ng. Cö th”, mØi m£nh ngô gi¡c en g›n vîi 5 m£nh
löc gi¡c tr›ng kh¡c. MØi m£nh löc gi¡c g›n vîi 3 m£nh löc gi¡c v 3 m£nh
ngô gi¡c kh¡c. V thüc t‚, ta câ th” chøng minh r‹ng ch¿ câ óng mºt c¡ch
phı k‰n b• m°t qu£ bâng theo ki”u nh÷ v“y, â l phı bði 12 mi‚ng da en
h…nh ngô gi¡c •u v 20 mi‚ng da tr›ng h…nh löc gi¡c •u.
H…nh 3.2
” ìn gi£n, ta câ th” coi qu£ bâng l mºt khŁi a di»n. Mºt a di»n lçi r§t
giŁng vîi tr¡i bâng v nâ s‡ bi‚n th nh tr¡i bâng khi ta thüc hi»n mºt ph†p
chi‚u a di»n lçi tr¶n l¶n mºt m°t cƒu câ t¥m l t¥m cıa a di»n ang x†t. Mºt
c¡ch t÷ðng t÷æng, ta l m cong c¡c m°t cıa a di»n tł c¡c a gi¡c phflng th
nh c¡c a gi¡c cƒu.
a di»n lçi ÷æc giîi h⁄n bði c¡c m°t l c¡c a gi¡c phflng, c¡c a gi¡c
n y ÷æc giîi h⁄n bði c¡c o⁄n thflng, cÆn c¡c o⁄n thflng ÷æc giîi h⁄n bði 2
ƒu mót, chóng l c¡c ¿nh cıa a di»n lçi.
Gåi n l sŁ m°t ngô gi¡c. V… mØi h…nh ngô gi¡c k• vîi 5 h…nh löc gi¡c
kh¡c n¶n câ 5n m°t löc gi¡c. Con sŁ n y thüc t‚ ph£i chia cho 3, v… mØi
m°t löc gi¡c l⁄i còng lóc k• vîi 3 m°t ngô gi¡c. Khi â sŁ h…nh löc gi¡c l
5
3
n
.
MØi ¿nh ÷æc t‰nh 3 lƒn (øng vîi 3 m°t), mØi c⁄nh ÷æc t‰nh 2 lƒn
(øng vîi 2 m°t) n¶n ta câ

39
SŁ ¿nh:
5n
5n + 6:
V = 3 = 5n;
3
SŁ c⁄nh:
5n
5n + 6: 15n
3
E = = ;
2 2
SŁ m°t:
F = n +
5
3
n
=
8
3
n
:
Thay v o V E + F = 2 ta ÷æc:
n
6 = 2 ) n = 12:
Nh÷ v“y cƒn phı k‰n b• m°t qu£ bâng b‹ng óng 12 m£nh ngô gi¡c v
20 m£nh löc gi¡c.
3.3. °c tr÷ng Euler v mºt sŁ øng döng trong lþ thuy‚t
ç thà
°c tr÷ng Euler câ th” dòng ” l“p mºt sŁ b§t flng thøc Łi vîi c¡c ç thà
phflng v ph¡t tri”n c¡c ành l‰ v• lþ thuy‚t ç thà.
H» qu£ 3.3.1 (xem [2]). N‚u G l mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng câ E
c⁄nh, V ¿nh, vîi V 3. Khi â E 3V 6.
Chøng minh h» qu£ 3.3.1 düa tr¶n kh¡i ni»m b“c cıa mi•n. â l sŁ c⁄nh
tr¶n bi¶n cıa mi•n â. Khi mºt c⁄nh xu§t hi»n hai lƒn tr¶n bi¶n (tøc l nâ
÷æc v‡ hai lƒn khi v‡ bi¶n) nâ s‡ gâp 2 ìn và v o b“c cıa mi•n.
BŒ •. TŒng sŁ b“c cıa c¡c mi•n b‹ng óng hai lƒn sŁ c⁄nh cıa ç thà.
Chøng minh BŒ •. Trong ç thà, mØi c⁄nh l c⁄nh chung cıa hai

40
H…nh 3.3
mi•n. Do â, tŒng sŁ b“c cıa mi•n b‹ng hai lƒn sŁ c⁄nh cıa ç thà.
Chøng minh H» qu£ 3.3.1. Mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng khi v‡ tr¶n
mºt m°t phflng s‡ chia m°t phflng th nh r mi•n. B“c cıa mØi mi•n ‰t
nh§t b‹ng 3 (v… ta ch¿ x†t ç thà ìn n¶n khæng câ c⁄nh bºi ” t⁄o ra mi•n
b“c 2 v khæng câ khuy¶n ” t⁄o ra mi•n b“c 1). °c bi»t, b“c cıa mi•n væ
h⁄n ‰t nh§t b‹ng 3 v… câ ‰t nh§t ba ¿nh trong ç thà.
Theo BŒ • ta câ
X
2E = deg(R):
R
V… mØi mi•n câ b“c lîn hìn ho°c b‹ng 3 n¶n
X
deg(R) 3r:
R
Suy ra
2E
r:
3
Theo °c tr÷ng Euler ta câ r = E V + 2. Do â
E V+2
2E
3
)E 3V 6:
V‰ dö. Chøng minh r‹ng ç thà ƒy ı gçm 5 ¿nh K5 khæng l ç thà
phflng.
Chøng minh. ç thà K5 câ n«m ¿nh v m÷íi c⁄nh. V… b§t flng thøc E 3V
6 khæng thäa m¢n Łi vîi ç thà n y, do E = 10; 3V 6 = 9.

41
H…nh 3.4: ç thà K5
V“y ç thà K5 l khæng phflng.
H» qu£ 3.3.2 (xem [2]). N‚u mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng câ E c⁄nh, V
¿nh, vîi V 3 v khæng câ chu tr…nh º d i 3 th… E 2V 4.
Chøng minh. Mºt ìn ç thà phflng li¶n thæng khi v‡ tr¶n mºt m°t phflng
s‡ chia m°t phflng th nh r mi•n.
Theo BŒ • ta câ
X
2E = deg(R):
R
V… ç thà khæng câ khuy¶n ho°c c⁄nh bºi v khæng câ chu tr…nh ìn º
d i 3 v b“c cıa mi•n væ h⁄n ‰t nh§t l 4, n¶n mØi mi•n câ b“c ‰t nh§t l
4. Do â
X
deg(R) 4r:
R
Suy ra
E
2 r:
Theo cæng thøc Euler ta câ r = E V + 2. Do â
E V+2
E
2
)E 2V 4
V‰ dö. Chøng minh ç thà K3;3 l khæng phflng.
Chøng minh. Do ç thà K3;3 khæng câ chu tr…nh º d i 3 (v… nâ l ç thà

42
H…nh 3.5: ç thà K3;3
ƒy ı hai ph‰a) n¶n ta câ th” ¡p döng H» qu£ 2. ç thà K3;3 câ s¡u ¿nh
v ch‰n c⁄nh. V… E = 9 v 2V 4 = 8, khæng thäa m¢n H» qu£
2. V“y ç thà K3;3 l khæng phflng.
ành l‰ 3.3.3 (xem [6]). N‚u G l mºt ìn ç thà phflng câ V 3 ¿nh th… G
câ nhi•u nh§t 3V 6 c⁄nh.
Chøng minh. Gi£ sß G câ E c⁄nh v F mi•n.
Ta câ th” ‚m sŁ mi•n bði sŁ c⁄nh bao quanh mi•n, trong â fk l sŁ mi•n
câ k c⁄nh. Ta câ
F = f1 + f2 + f3 + f4 + :::
V… G l ìn ç thà n¶n mØi mi•n s‡ câ ‰t nh§t 3 c⁄nh. Do â
F = f3 + f4 + f5 + ::: (3.5)
M mØi c⁄nh l c⁄nh chung cıa 2 mi•n n¶n
2E = 3f3 + 4f4 + 5f5 + ::: (3.6)
Tł (3.5) v (3.6) ta ÷æc:
2E 3F = f4 + 2f5 + 3f6 + ::: 0: (3.7)
Sß döng °c tr÷ng Euler V E + F = 2 v (3:7) ta câ:
3V 6=3(2+E F) 6=3E 3F E:
V“y G câ nhi•u nh§t 3V 6 c⁄nh.
ành l‰ 3.3.4 Måi ìn ç thà phflng câ ‰t nh§t mºt ¿nh câ b“c nhä hìn

43
ho°c b‹ng 5.
Chøng minh.
C¡ch 1. Theo chøng minh ành l‰ 3.3.3 ta câ
2E 3F = f4 + 2f5 + 3f6 + ::: 0: (3.8)
Gi£ sß, mØi ¿nh câ b“c nhä nh§t l 6. Ta câ th” ‚m sŁ ¿nh bði sŁ b“c
cıa ¿nh, trong â vi l sŁ ¿nh câ b“c i.
V = v6 + v7 + v8 + v9 + :::
2E = 6v6 + 7v7 + 8v8 + 9v9 + :::
Do â:
2E 6V = v7 + 2v8 + 3v9 + ::: 0: (3.9)
Tł (3.8) v (3.9) suy ra:
2E 6V +2(2E 3F) = 6E 6V +6F 0:
V… v“y V E + F 0 (m¥u thu¤n vîi cæng thøc Euler).
Do â ç thà ph£i câ câ ‰t nh§t mºt¿nh câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 5.
C¡ch 2 (xem [8]). Gi£ sß G l ìn ç thà n¶n ç thà khæng câ khuy¶n v c⁄nh
bºi. Do â, ta câ th” th¶m c¡c c⁄nh ” mØi mi•n ÷æc giîi h⁄n bði ba c⁄nh.
Gi£ sß ç thà câ V ¿nh, E c⁄nh v F mi•n.
MØi c⁄nh l bi¶n cıa hai mi•n, mØi mi•n ÷æc giîi h⁄n bði ba c⁄nh n¶n
3F = 2E:
M
V E+F =2:
Suy ra
6E 6F =6V 12:
)2E=6V 12:

44
Bði v… mØi c⁄nh li¶n thuºc hai ¿nh n¶n tŒng t§t c£ c¡c b“c cıa ¿nh
b‹ng hai lƒn sŁ c⁄nh
Do â, b“c trung b…nh cıa ¿nh l
2E 6V 12 12
d = = = 6 < 6
V V V
Cho n¶n ç thà ph£i câ ‰t nh§t mºt ¿nh câ b“c nhä hìn ho°c b‹ng 5.
3.4. ành l‰ Pick
ành l‰ Pick (xem [4]). Di»n t‰ch cıa a gi¡c ìn P (khæng nh§t thi‚t
lçi) tr¶n m°t phflng vîi c¡c ¿nh nguy¶n ÷æc cho bði cæng thøc
1
SP=I+ B 1
2
trong â I l sŁ i”m nguy¶n n‹m trong P v B l sŁ i”m nguy¶n n‹m
tr¶n bi¶n cıa a gi¡c P .
ành l‰ n y câ th” chøng minh nhí sß döng °c tr÷ng Euler.
Tr÷îc h‚t ta cƒn sß döng k‚t qu£ BŒ • sau:
BŒ •. Måi tam gi¡c cì b£n •u câ di»n t‰ch b‹ng 1
:
2
ành ngh¾a. Tam gi¡c cì b£n l mºt tam gi¡c câ c¡c ¿nh l c¡c i”m
nguy¶n, çng thíi tr¶n bi¶n v phƒn trong cıa nâ khæng cÆn i”m nguy¶n
n o kh¡c.
Chøng minh BŒ •.
X†t mºt tam gi¡c cì b£n b§t k…. L§y mºt h…nh chœ nh“t câ c¡c c⁄nh
còng ph÷ìng vîi c¡c tröc tåa º sao cho nâ chøa c⁄nh tam gi¡c v mØi c⁄nh
chøa ‰t nh§t mºt ¿nh cıa tam gi¡c. V… h…nh chœ nh“t câ 4 c⁄nh v
tam gi¡c câ 3 ¿nh n¶n câ ‰t nh§t mºt ¿nh cıa tam gi¡c l ¿nh cıa h…nh
chœ nh“t, m tam gi¡c l cì b£n n¶n ch¿ x£y ra t…nh huŁng ð h…nh H3
trong H…nh 3.6 (bä qua c¡c tr÷íng hæp tƒm th÷íng), t…nh huŁng m
mºt c⁄nh cıa tam gi¡c l ÷íng ch†o cıa h…nh chœ nh“t (tr÷íng hæp h…nh
H1 câ i”m nguy¶n L, h…nh H2 câ i”m nguy¶n K).

45
H…nh 3.6
Trong h…nh H3, tam gi¡c cì b£n ang x†t l OAB. Khi â sŁ i”m nguy¶n
n‹m trong tam gi¡c OAB l
nOAB = 0:
Khæng m§t t‰nh tŒng qu¡t, ta gi£ sß M = (0; m) , P = (p; 0), B (b1;
b2), ð ¥y m; p; b1; b2 l c¡c sŁ nguy¶n d÷ìng thäa m¢n p > b1 v m > b2.
SŁ i”m nguy¶n n‹m trong h…nh chœ nh“t OM AP l
nOM AP = (m 1)(p 1):
M khæng câ i”m nguy¶n n o trong sŁ c¡c i”m n y n‹m tr¶n OA, suy
ra sŁ i”m nguy¶n n‹m trong tam gi¡c OAP l
n
OAP
= (m 1) (p 1)
:
2
T‰nh to¡n t÷ìng tü, ta câ sŁ i”m nguy¶n n‹m trong tam gi¡c OBR l
n
OBR
=(b1 1) (b2 1)
:
2
SŁ i”m nguy¶n n‹m trong tam gi¡c BAS l
n
BAS
=(p b1 1) (m
b
2 1)
:
2

46
SŁ i”m nguy¶n n‹m trong h…nh chœ nh“t BSP
R l nBSP R = (b2 1) (p b1 1) :
SŁ i”m nguy¶n n‹m tr¶n o⁄n thflng BS (kh¡c B v
nBS = p b1 1:
S) l
Ł i”m nguy¶n n‹m tr¶n o⁄n thflng BR (kh¡c B v
nBR = b2 1:
R) l
M°t kh¡c,
n
OAP
= 1 + n
OAB
+ n
OBR
+ n
BAS
+ n
BSP R
+ n
BS
+ n
BR
:
Suy ra
(m 1)(p 1)
= 1 +(b1 1)(b2 1)
+(p b1 1)(m b2 1)
2 2 2
+ (b2 1) (p b1 1) + p b1 1 + b2 1
Do â mb1 b2p = 1, b‹ng c¡ch cºng trł di»n t‰ch ta câ SOAB = 1 .
2
Sau ¥y, ta sß döng cæng thøc Euler” chøng minh ành l‰ tr¶n.
ƒu ti¶n, ta chia a gi¡c P th nh c¡c tam gi¡c cì b£n. X†t ç thà G câ
¿nh l c¡c i”m nguy¶n n‹m b¶n trong hay tr¶n bi¶n cıa P , c¡c c⁄nh l c⁄nh
cıa c¡c tam gi¡c cì b£n trong ph†p chia ang x†t. D„ th§y G l ç
thà phflng, hœu h⁄n v li¶n thæng v gçm f 1 mi•n tam gi¡c cì b£n.
Gåi f l sŁ m°t, ei l sŁ c⁄nh trong (c⁄nh chung cıa hai tam gi¡c cì
b£n), eb l sŁ c⁄nh bi¶n (c⁄nh n‹m tr¶n c⁄nh cıa P ) cıa G.
V… di»n t‰ch cıa tam gi¡c cì b£n b‹ng 1 n¶n
2
1
(3.10)
SP = (f 1) :
2
Do mØi c⁄nh trong l c⁄nh chung cıa óng hai tam gi¡c cì b£n v mØi
c⁄nh bi¶n l c⁄nh cıa óng mºt tam gi¡c cì b£n n¶n
3 (f 1) = 2ei + eb: (3.11)

47
SŁ ¿nh cıa G b‹ng I + B, sŁ c⁄nh b‹ng ei + eb v
theo cæng thøc Euler ta câ
sŁ m°t b‹ng f n¶n
I + B (ei + eb) + f = 2: (3.12)
Ngo i ra, sŁ c⁄nh ngo i v i”m ngo i l nh÷ nhau: B = eb n¶n tł
(3.10), (3.11) v (3.12) ta câ:
SP=I+
1
B 1:
2
Suy ra ành l‰ ÷æc chøng minh.
3.5. ành l‰ Sylvester-Gallai
ành l‰ (xem [6]). Trong måi t“p n > 2 i”m tr¶n m°t phflng, m t§t c£
c¡c i”m khæng n‹m tr¶n mºt ÷íng thflng, luæn tçn t⁄i mºt ÷íng thflng
chøa óng hai i”m.
Chøng minh.
H…nh 3.7
N‚u ta nhóng m°t phflng R2
v o R3
gƒn m°t cƒu S2
(H…nh 3.7). Khi
â vîi mØi i”m tr¶n m°t phflng R2
s‡ câ mºt ÷íng thflng i qua i”m â v t¥m
h…nh cƒu n¶n câ sü t÷ìng øng 1 1 giœa mºt i”m tr¶n m°t phflng vîi c°p
i”m Łi xuy¶n t¥m tr¶n m°t cƒu. Mºt ÷íng thflng tr¶n m°t phflng t÷ìng øng
vîi mºt ÷íng trÆn lîn tr¶n m°t cƒu. Do â ta câ th” ph¡t bi”u l⁄i ành l‰ nh÷
sau.
Cho t“p hæp n > 2 c¡c c°p i”m Łi xuy¶n t¥m tr¶n m°t cƒu S2
sao

48
cho chóng khæng còng n‹m tr¶n mºt ÷íng trÆn lîn. Khi â câ mºt ÷íng
trÆn lîn chøa óng mºt c°p i”m Łi xuy¶n t¥m.
Gií ta ho¡n Œi, thay th‚ mØi c°p i”m Łi xuy¶n t¥m bði mºt ÷íng trÆn
lîn t÷ìng øng tr¶n m°t cƒu. Ngh¾a l , thay v… c°p i”m v 2 S2
ta
x†t ÷íng trÆn trüc giao cho bði Cv := x 2 S2
: hx; vi = 0 . (N‚u ta coi v l
cüc B›c cıa h…nh cƒu th… Cv l ÷íng x‰ch ⁄o).
H…nh 3.8
V… v“y ành l‰ Sylvester - Gallai y¶u cƒu ta chøng minh
Cho t“p hæp n > 2 c¡c ÷íng trÆn lîn tr¶n m°t cƒu S2
sao cho chóng
khæng còng i qua mºt i”m. Khi â luæn câ mºt i”m l giao cıa óng hai
÷íng trÆn lîn.
Sü s›p x‚p c¡c ÷íng trÆn lîn t⁄o ra mºt ìn ç thà phflng tr¶n S2
câ ¿nh l
giao cıa c¡c ÷íng trÆn lîn v chia chóng th nh c¡c c⁄nh. T§t c£ c¡c ¿nh •u
câ b“c chfin v nhä nh§t l b‹ng 4 (theo c¡ch düng). Theo k‚t qu£ cıa ành
l‰ 2 - Möc 3.3.3 th… luæn tçn t⁄i mºt ¿nh câ b“c b‹ng 4.
Do v“y, luæn câ mºt i”m l giao cıa óng hai ÷íng trÆn lîn.
3.6. ành l‰ v• c¡c ÷íng thflng ìn s›c
ành l‰ (xem [7]). Cho mºt t“p c¡c i”m "tr›ng" v " en" tr¶n m°t
phflng, m t§t c£ c¡c i”m khæng n‹m tr¶n mºt ÷íng thflng. Khi §y luæn
tçn t⁄i mºt ÷íng thflng " ìn s›c" (monochromatic line) chøa tŁi thi”u hai
i”m còng m u v khæng chøa i”m kh¡c m u.

49
H…nh 3.9
ành ngh¾a.
- M°t phflng x⁄ £nh thüc
X†t m°t phflng R2
v th¶m v o mØi lîp c¡c ÷íng thflng song song mºt
i”m mîi ÷æc gåi l mºt i”m ð væ cüc. Hai ÷íng thflng ÷æc gåi l song song
n‚u giao i”m cıa chóng l mºt i”m ð væ cüc. MØi i”m ð væ cüc n‹m tr¶n
mºt ÷íng thflng cıa mØi lîp song song. Hìn nœa, t§t c£ c¡c i”m ð væ cüc
n‹m tr¶n mºt ÷íng thflng, ÷æc gåi l ÷íng thflng ð væ cüc v khæng câ i”m
thuºc R2
n‹m tr¶n ÷íng thflng n y. M°t phflng x⁄ £nh thüc ÷æc k‰ hi»u l
RP 2
.
M°t phflng x⁄ £nh thüc câ c¡c t‰nh ch§t sau
i) Qua hai i”m ph¥n bi»t câ duy nh§t mºt ÷íng thflng.
ii) Hai ÷íng thflng ph¥n bi»t c›t nhau t⁄i mºt i”m duy nh§t.
- M°t cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u
M°t phflng x⁄ £nh Euclid ÷æc "nhóng" trong R3
l m°t phflng F =
(x1; x2; x3) 2 R3
jx3 = 1 còng vîi c¡c i”m ð væ cüc t⁄i måi h÷îng trong F
. Vîi mØi i”m trong F , ta câ th” v‡ mºt ÷íng thflng duy nh§t i qua i”m â v
i”m gŁc. Vîi mØi i”m ð væ cüc, ta câ th” v‡ mºt ÷íng
thflng i qua i”m gŁc n‹m tr¶n m°t phflng (x1; x2; x3) 2 R3
jx3 = 0 v câ
h÷îng x¡c ành bði i”m ð væ cüc â. Trong tr÷íng hæp n y ta câ sü t÷ìng
øng 1 1 giœa c¡c i”m trong F v c¡c ÷íng thflng trong R3
i qua i”m gŁc,
do â t÷ìng øng vîi c°p i”m Łi xuy¶n t¥m cıa m°t cƒu ìn và trong R3
v…
mØi ÷íng thflng i qua t¥m •u x¡c ành óng mºt c°p i”m Łi xuy¶n t¥m. Ta
câ th” sß döng h…nh cƒu ìn và trong R3
”

50
x¥y düng mæ h…nh " Łi ng¤u" cıa m°t phflng x⁄ £nh, ta gåi l m°t cƒu x⁄
£nh Łi ng¤u.
- B¡n cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u
X†t m°t phflng x⁄ £nh h…nh cƒu, vîi mØi c°p i”m Łi xuy¶n t¥m câ mºt
÷íng thflng duy nh§t i qua nhœng i”m â v i”m gŁc. Łi vîi mØi ÷íng thflng
nh÷ v“y câ mºt m°t phflng duy nh§t i qua i”m gŁc v vuæng gâc vîi ÷íng
thflng â. MØi m°t phflng t÷ìng øng vîi mºt ÷íng trÆn lîn tr¶n m°t cƒu ìn
và, x¡c ành bði giao cıa m°t phflng v m°t cƒu. Do â câ sü t÷ìng øng 1 1
giœa c¡c i”m tr¶n m°t phflng x⁄ £nh h…nh cƒu v c¡c ÷íng trÆn lîn tr¶n
m°t cƒu. Do möc ‰ch thüc ti„n, ch¿ cƒn x†t mºt nßa m°t cƒu x⁄ £nh Łi
ng¤u t⁄o ra mºt b¡n cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u.
T‰nh ch§t
- C¡c i”m tr¶n m°t phflng x⁄ £nh t÷ìng øng vîi nßa ÷íng trÆn lîn tr¶n
m°t cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u.
- Mºt ÷íng thflng nŁi hai hay nhi•u i”m tr¶n m°t phflng x⁄ £nh t÷ìng
øng vîi giao i”m cıa c¡c nßa ÷íng trÆn lîn tr¶n m°t cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u
vîi c¡c i”m â.
M»nh •. N‚u S l mºt sü s›p x‚p c¡c ÷íng thflng trong m°t phflng
x⁄ £nh vîi V ¿nh, E c⁄nh v F mi•n th… V E + F = 1.
Chøng minh M»nh •.
Tr÷íng hæp jSj = 2 ta câ V = 1, E = 2, F = 2. Do â V E+F =1.
Gi£ sß cæng thøc óng vîi tr÷íng hæp jSj = n. Gåi l l ÷íng thflng
khæng thuºc S v S0 = S l . V… v“y S0 = n + 1. Gåi V 0 ; E0 ; F 0 lƒn l÷æt
[ f g
l c¡c ¿nh , c⁄nh v mi•n cıa S0
. B‹ng c¡ch th¶m l v o S bŒ sung cho
¿nh, c⁄nh v mi•n ÷æc t⁄o ra. Łi vîi mØi c⁄nh t⁄o ra bði l trong E0
, mºt
mi•n cıa F ÷æc chia th nh hai. Łi vîi mØi ¿nh t⁄o ra bði l trong V 0
, mºt
c⁄nh cıa E công ÷æc chia th nh hai. Do â gi¡ trà cıa bi”u thøc

51
V E + F khæng Œi. V“y V E + F = 1.
Ta sß döng °c tr÷ng Euler cho a gi¡c (hay tŒng qu¡t hìn l cho ç thà)
tr¶n b¡n cƒu x⁄ £nh Łi ng¤u. Trong tr÷íng hæp n y cæng thøc °c tr÷ng
Euler l V E + F = 1 (theo M»nh •) vîi V l sŁ ¿nh, E l sŁ c⁄nh v F l sŁ
mi•n.
Gi£ sß khæng tçn t⁄i ¿nh ìn s›c. Gåi ri l sŁ c¡c a gi¡c i c⁄nh, c
l sŁ c¡c gâc t⁄o bði hai m u kh¡c nhau.
Do khæng câ a gi¡c 2 c⁄nh n¶n
X
(3.13)
F = ri:
i 3
Do mØi c⁄nh l c⁄nh chung cıa óng hai mi•n n¶n
X
(3.14)
2E = iri:
i 3
Do a gi¡c 3 c⁄nh câ th” câ nhi•u nh§t 2 gâc ìn s›c n¶n
X
c 2r3 + iri: (3.15)
i 4
Theo gi£ thi‚t mØi ¿nh •u l ¿nh ìn s›c v måi vÆng cung kh¡c m u
giao nhau •u t⁄o ra ‰t nh§t 4 gâc. Do â
c 4V: (3.16)
Tł (3.13), (3.14), (3.15) v °c tr÷ng Euler ta ÷æc
2 1 ri
V =1 F+E=1 i 3
ri +
2 i 3
ir
i
= 1
i 3
X
1
X X
i
X i X
)4V =4+ 4 1 ri = 4 + (2i 1) ri
2
i 3
i 3
= 4 + 2r3 + 4r4 + 6r5 + 8r6 + :::
> 0 + 2r3 + 4r4 + 6r5 + 8r6 + ::: c:
Do â c < 4V . M¥u thu¤n vîi i•u (3.16). Suy ra i•u cƒn chøng minh.

52
Phö löc
H…nh 3.10
Ti”u sß v• Leonhard Euler
Leonhard Euler, sinh ng y 15 th¡ng 4 n«m 1707 t⁄i Basel (Thöy S¾),
qua íi ng y 18 th¡ng 9 n«m 1783 t⁄i St. Petersburg (Nga), æng l nh to¡n
håc v nh v“t l‰ Thöy S¾. Ngay tł nhä Euler l mºt c“u b† câ t i n«ng °c
bi»t v• ngæn ngœ v mºt tr‰ nhî phi th÷íng. Song cuºc íi æng ¢ tr£i qua
nhi•u bi‚n ºng v b§t h⁄nh: hai m›t lƒn l÷æt häng, nh ch¡y thi¶u röi måi t i
s£n, ng÷íi væ th¥n y¶u qua íi...
Nh÷ng t§t c£ nhœng i•u â khæng h• £nh h÷ðng tîi søc s¡ng t⁄o, ‚n kh£
n«ng l m vi»c cıa æng. C ng v• gi , Euler c ng l m vi»c khæng bi‚t m»t
mäi. Ch¿ t‰nh ri¶ng trong 17 n«m cuŁi íi, Euler ¢ cæng bŁ tîi 416 cæng
tr…nh. T‰nh ra trung b…nh mØi n«m æng cæng bŁ tîi 25 cæng tr…nh,
nhi•u g§p 3 lƒn sŁ cæng tr…nh mØi n«m tr÷îc â æng ¢ cæng bŁ.

53
Sau khi æng qua íi, c¡c cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa æng ¢ ÷æc t“p
hæp trong bº s¡ch Leonhard Euler Opera Omnia , gçm 85 quy”n cï lîn
vîi gƒn 40.000 trang, trong â • c“p ‚n hƒu h‚t c¡c l¾nh vüc cıa to¡n håc v
nhi•u ng nh khoa håc kÿ thu“t kh¡c.
Łi vîi Euler, l m to¡n công tü nhi¶n v cƒn thi‚t cho íi sŁng nh÷ l
h‰t thð kh‰ tríi v“y. ˘ng ¢ bà ¡m £nh bði sü bi‚n Œi ký di»u cıa nhœng
ph†p t‰nh cho ‚n t“n khi æng qua íi. Leonhard Euler nghi¶n cøu hƒu
h‚t c¡c l¾nh vüc cıa To¡n håc thíi b§y gií nh÷: ⁄i sŁ, lþ thuy‚t sŁ, gi£i
t‰ch, h…nh håc. . . C¡c cæng tr…nh v• to¡n håc chi‚m tîi 580
=0 tŒng
c¡c cæng tr…nh nghi¶n cøu cıa æng.
Mºt trong nhœng th nh cæng ban ƒu cıa Euler ¢ l t…m ra líi gi£i cho
b i to¡n Basel, y¶u cƒu t…m gi¡ trà ch‰nh x¡c cıa tŒng c¡c b…nh ph÷ìng
nghàch £o cıa c¡c c¡c sŁ nguy¶n. Tr÷îc â, c¡c nh to¡n håc tŁn r§t nhi•u
cæng søc m khæng t…m ra ÷æc k‚t qu£ b i to¡n. ‚n n«m 1735, khi
Euler sß döng kÿ thu“t t‰nh x§p x¿ mîi t…m ra k‚t qu£ ch‰nh x¡c cıa
b i to¡n l 2
.
6
Euler công kh¡m ph¡ ra cæng thøc V E + F = 2 li¶n h» giœa sŁ ¿nh,
sŁ c⁄nh, sŁ m°t cıa mºt a di»n lçi v công ÷æc ¡p döng cho ç thà
phflng. H‹ng sŁ trong cæng thøc n y v• sau ÷æc gåi l °c tr÷ng Euler.
N«m 1736, Euler ti‚p töc gi£i ÷æc b i to¡n nŒi ti‚ng 7 chi‚c cƒu
Konigsberg. Khi â, th nh phŁ Konigsberg gçm hai hÆn £o nŁi vîi nhau
v vîi §t li•n bði 7 c¥y cƒu. B i to¡n °t ra l t…m mºt tuy‚n ÷íng i qua mØi
c¥y cƒu ch¿ óng 1 lƒn. B‹ng lþ thuy‚t ç thà, Euler ¢ chøng minh r‹ng i•u
â khæng th” thüc hi»n. Líi gi£i cıa æng cho b i to¡n n y
÷æc coi l ành lþ ƒu ti¶n cıa lþ thuy‚t ç thà v l ¡nh d§u sü ph¡t tri”n cıa
ng nh tæpæ håc.
Khæng dłng l⁄i ð th nh cæng â, Euler ti‚p töc nghi¶n cøu v cæng bŁ nhi•u
cæng tr…nh to¡n håc quan trång kh¡c nh÷: chuy”n ºng cì håc ÷æc gi£i
th‰ch bði ng nh gi£i t‰ch, ÷íng thflng Euler, ÷íng trÆn Euler trong tam gi¡c,
a di»n lçi, nh“p mæn v• t‰nh vi t‰ch, nguy¶n lþ vi ph¥n håc, nguy¶n lþ
t‰ch ph¥n håc, d¤n lu“n ph¥n t‰ch væ còng nhä, . . . Ngo i ra, Euler cÆn
ph¡t minh ra mºt chuØi c¡c ph÷ìng ph¡p t‰nh x§p x¿, ÷æc sß

54
döng nhi•u trong t‰nh to¡n.
˘ng công l ng÷íi ÷a ra nhi•u k‰ hi»u to¡n håc m ng y nay chóng ta
v¤n ang sß döng nh÷: sŁ "pi" ” bi”u di„n t¿ l» giœa chu vi ÷íng trÆn
P
v ÷íng k‰nh cıa nâ, sin, cos, tan, cot, x(sŁ gia), (tŒng), f(x) (h m
f cıa x), v.v...
Euler câ nhi•u âng gâp cho cì håc, v“t lþ. ˘ng °c bi»t nghi¶n cøu c¡c
ành lu“t chuy”n ºng cıa Issac Newton. Qu¡ tr…nh nghi¶n cøu n y ¢ gióp
æng gi£i th‰ch c¡c ành lu“t v“t lþ håc Newton d÷îi d⁄ng to¡n gi£i t‰ch,
çng thíi gióp æng ph¡t hi»n ra nhi•u lþ thuy‚t v“t lþ kh¡c. V‰ dö khi
Euler chøng minh ÷æc qui lu“t v“n ºng cıa c¡c ch§t läng m Issac
Newton ¢ ÷a ra, Leonhard Euler ¢ ph¡t tri”n ÷æc lþ thuy‚t v• sü c¥n
b‹ng thıy lüc.
T÷ìng tü nh÷ th‚, thæng qua vi»c ph¥n t‰ch sü v“n ºng cıa th” r›n v
¡p döng c¡c ành lu“t cıa Newton, Euler ¢ gi£i th‰ch ÷æc mºt c¡ch c°n
k‡ v• qu¡ tr…nh bi‚n d⁄ng cıa c¡c v“t th” r›n khi câ sü t¡c ºng cıa c¡c lüc
b¶n ngo i, tł â gâp phƒn h…nh th nh lþ thuy‚t n hçi. N«m 1936, c¡c
cæng tr…nh nghi¶n cøu n y cıa æng ¢ ÷æc t“p hæp trong chuy¶n
kh£o "Lüc håc".
Ngo i v“t lþ, Euler công nghi¶n cøu v• thi¶n v«n håc, lþ thuy‚t ÷íng ⁄n,
b£n ç, x¥y düng, lþ thuy‚t ¥m nh⁄c, thƒn håc v tri‚t håc,. . . Trong
nhœng n«m th¡ng mò lÆa, æng ¢ vi‚t mºt chuy¶n kh£o d i 775 trang v•
chuy”n ºng cıa m°t tr«ng. ˘ng công nghi¶n cøu v• quÿ ⁄o cıa sao Thi¶n
V÷ìng, nhí â c¡c nh thi¶n v«n håc t…m ra sao H£i V÷ìng sau n y.
Vîi nhœng âng gâp cho khoa håc, Euler ÷æc phong l m Vi»n s¾ cıa
8 vi»n h n l¥m tr¶n th‚ giîi, trong â câ Anh, Ph¡p, Nga, øc,. . . ˘ng công
÷æc coi l nh to¡n håc quan trång nh§t cıa th‚ k XVIII.

55
K‚t lu“n
Lu“n v«n °c tr÷ng Euler v mºt sŁ øng döng ¢ tr…nh b y mºt sŁ c¡ch
chøng minh °c tr÷ng Euler v mºt sŁ øng döng. C¡c k‚t qu£ ÷æc tr…nh b
y trong lu“n v«n bao gçm:
Tr…nh b y mºt sŁ ki‚n thøc sì l÷æc v• lþ thuy‚t ç thà dòng ” bŒ træ cho
mºt sŁ c¡ch chøng minh °c tr÷ng Euler.
Tr…nh b y mºt sŁ ph÷ìng ph¡p chøng minh °c tr÷ng Euler.
Tr…nh b y mºt sŁ øng döng v b i to¡n li¶n quan cıa °c tr÷ng Euler. Cö
th”, tł k‚t qu£ tŒng qu¡t cıa °c tr÷ng Euler ph¡t tri”n th¶m mºt sŁ øng
döng trong lþ thuy‚t ç thà v sß döng ” chøng minh mºt sŁ b i to¡n nh÷
khŁi a di»n Platon, tr¡i bâng ¡ v mºt sŁ ành l‰ nh÷: ành l‰ Pick, ành
l‰ Sylvester Gallai, ành l‰ ÷íng ìn s›c.
°c tr÷ng Euler cÆn mºt sŁ c¡ch chøng minh kh¡c, tuy nhi¶n do kh£
n«ng cÆn h⁄n ch‚ n¶n lu“n v«n ch÷a nghi¶n cøu ÷æc ƒy ı c¡c c¡ch
chøng minh.
Hy vång lu“n v«n gióp cho ng÷íi åc câ c¡i nh…n bao qu¡t v• °c tr÷ng
Euler v mºt sŁ øng döng cıa nâ trong to¡n sì c§p.

56
T i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Ian Stewart (2015), 17 ph÷ìng tr…nh thay Œi th‚ giîi, NXB Tr· (Dàch
tł: Ian Stewart (2013), 17 equations that changed the world).
[2] Kenneth H.Rosen (1998), To¡n håc ríi r⁄c øng döng trong tin håc,
NXB Khoa håc v Kÿ thu“t H Nºi.
[3] Nguy„n V«n Læi, Ngæ Thà Nh¢, Lþ thuy‚t ç thà,
sigmaths.com/tai-lieu/ly-thuyet-do-thi phan-1.html.
[4] Nguy„n Trung Tu¥n, (Th¡ng 3 - 2018), ành l‰
Pick, https://nttuan.org/2017/03/18/topic-872/.
Ti‚ng Anh
[5] David Eppstein, "Twenty Proofs of Euler’s Formula: V E + F = 2"
https://www.ics.uci.edu/ eppstein/junkyard/euler/.
[6] A. Martin, Z. Guter (2014), Proofs from the book, Springer-Verlag,
Berlin, New York.
[7] Jonathan Lorand (2012), "The Sylvester Gallai Theorem, the
Monochrome Line Theorem and Generalizations", Report for a
Semi-nar on the Sylvester Gallai Theorem.
[8] David S. Richeson (2012), Euler’s Gem: The Polyhedral Formula
and the Birth of Topology, Oxford.

[9] N. L. Biggs, E. K. Lloyd, R. J. Wilson (2009), Graph Theory 1736
1936, Oxford.

Đặc trưng euler Và một số ứng dụng.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Đặc trưng euler Và một số ứng dụng.doc

Similar to Đặc trưng euler Và một số ứng dụng.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Đặc trưng euler Và một số ứng dụng.doc