Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
NGUYỄN THỊ THANH MAI
LƯỚI TỌA ĐỘ
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
NGUYỄN THỊ THANH MAI
LƯỚI TỌA ĐỘ
VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. Nguyễn Việt Hải
THÁI NGUYÊN - 2017

i
Danh möc h…nh
1.1 L÷îi tåa º nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 L÷îi tåa º tr¶n m°t phflng . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 l÷îi tåa º nguy¶n vîi hbh cì sð . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 H…nh v‡ a. H…nh v‡ b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Ngô gi¡c v löc gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6 H…nh vuæng v h…nh b¡t gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.7 a gi¡c •u-c⁄nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.8 a gi¡c •u-gâc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.9 Tam gi¡c •u hƒu nºi ti‚p l÷îi . . . . . . . . . . . . . . 17
1.10 a gi¡c ìn v a gi¡c khæng ìn . . . . . . . . . . . . 19
1.11 Mºt sŁ b i to¡n li¶n quan . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.1 Cºng v nh¥n c¡c i”m nguy¶n . . . . . . . . . . . . . . 34
.
2.2
.
36
a.C¡c i”m nguy¶n.(2 + 3i); b. C¡c i”m nguy¶n li¶n k‚t
2.3 F(R) v N(R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.4 r(4)=4;r(25)=12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.5 n=8, n=6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 n=12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.1 H…nh chœ nh“t 20 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

ii
Möc löc
Líi c£m ìn ii
Mð ƒu 1
1 L÷îi tåa º v a gi¡c 3
1.1 L÷îi tåa º nguy¶n tr¶n m°t phflng v c¡c t‰nh ch§t . . 3
1.1.1 L÷îi tåa º tr¶n m°t phflng . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 L÷îi tåa º nguy¶n v a gi¡c •u . . . . . . . . 7
1.1.3 a gi¡c nßa •u nºi ti‚p l÷îi nguy¶n . . . . . . . 12
1.2 a gi¡c hƒu nºi ti‚p l÷îi nguy¶n . . . . . . . . . . . . . 16
1.3 Cæng thøc Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.3.1 Tam gi¡c ìn nguy¶n thıy . . . . . . . . . . . . 19
1.3.2 Cæng thøc Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.3.3 Mºt sŁ b i to¡n ¡p döng cæng thøc Picard . . . . 22
1.4 Mºt sŁ øng döng cıa l÷îi tåa º nguy¶n . . . . . . . . . 25
1.4.1 Gi¡ trà væ t cıa h m l÷æng gi¡c . . . . . . . . . 25
1.4.2 C¡c b i to¡n tr¶n æ vuæng . . . . . . . . . . . . 27
2 L÷îi tåa º nguy¶n v ÷íng trÆn 33
2.1 i”m nguy¶n nguy¶n tŁ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.1.1 Sü chia h‚t cıa c¡c i”m nguy¶n . . . . . . . . . 35
2.1.2 ành lþ cì b£n cıa c¡c i”m nguy¶n . . . . . . . 36
2.2 ÷íng trÆn tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n . . . . . . . . . . . 38
2.2.1 SŁ c¡c bi”u di„n cıa mºt sŁ tü nhi¶n th nh tŒng
hai b…nh ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

i
2.2.2 ÷íng trÆn Sinhsel . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.3 Mºt sŁ øng döng v o sŁ håc . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.1 Bº ba Pythagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.3.2 C¡c d⁄ng cıa i”m nguy¶n nguy¶n tŁ . . . . . . 47
3 C¡c b i to¡n kh¡c 49
3.1 i”m nguy¶n tr¶n ÷íng cong phflng . . . . . . . . . . . 49
3.2 Mºt sŁ to¡n thi håc sinh giäi v thi Olympic . . . . . . 51
T i li»u tham kh£o 59

ii
Líi c£m ìn
” ho n th nh ÷æc lu“n v«n mºt c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nh“n
÷æc sü h÷îng d¤n v gióp ï nhi»t t…nh cıa PGS.TS. Nguy„n Vi»t H£i,
Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ⁄i håc H£i PhÆng. Tæi xin ch¥n th nh b y
tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n thƒy v xin gßi líi tri ¥n nh§t cıa tæi Łi vîi
nhœng i•u thƒy ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn ban l¢nh ⁄o phÆng o t⁄o sau ⁄i håc, quþ
thƒy cæ gi£ng d⁄y lîp Cao håc K9B2 (2015 - 2017) Tr÷íng ⁄i håc
Khoa håc - ⁄i håc Th¡i Nguy¶n ¢ t“n t…nh truy•n ⁄t nhœng ki‚n thøc
quþ b¡u công nh÷ t⁄o i•u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc.
Tæi xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia …nh, b⁄n b–, nhœng
ng÷íi ¢ luæn ºng vi¶n, hØ træ v t⁄o måi i•u ki»n cho tæi trong suŁt
qu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n lu“n v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i PhÆng, th¡ng 9 n«m 2017
Ng÷íi vi‚t Lu“n v«n
Nguy„n Thà Thanh Mai

1
Mð ƒu
1. Möc ‰ch cıa • t i lu“n v«n
- Nghi¶n cøu c¡c b i to¡n tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n: a gi¡c •u tr¶n l÷îi,
÷íng trÆn tr¶n l÷îi, c¡c b i to¡n sŁ håc, h…nh håc tŒ hæp, l÷æng
gi¡c... tr¶n l÷îi v c¡c v§n • li¶n quan.
- Tr…nh b y cì sð khoa håc v v“n döng c¡c ki‚n thøc cıa sŁ håc, ⁄i
sŁ, h…nh håc,...c¡c nguy¶n t›c nh÷ nguy¶n t›c Dirichlet, nguy¶n t›c
cüc h⁄n, nguy¶n t›c b§t bi‚n v o vi»c gi£i c¡c b i to¡n vîi l÷îi nguy¶n.
- C¡c ph÷ìng ph¡p t÷ duy °c tr÷ng v mºt sŁ k‚t qu£ mîi ÷æc tr…nh
b y mºt c¡ch h» thŁng v n¥ng cao qua c¡c b i to¡n hay v khâ trong c¡c
ký thi Olympic QuŁc gia v QuŁc t‚.
- Ng÷íi nghi¶n cøu câ th¶m ki‚n thøc v n«ng lüc bçi d÷ïng håc sinh
giäi v• c¡c v§n • khâ, hay g°p cıa To¡n håc.
2. Nºi dung cıa • t i, nhœng v§n • cƒn gi£i quy‚t
Tr…nh b y h» thŁng mºt sŁ b i to¡n tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n düa
tr¶n c¡c b i b¡o [3], [5] v [2]. Ph¡t bi”u v chøng minh c¡c k‚t qu£ li¶n
quan ‚n sŁ håc v h…nh håc. • t i gçm 3 ch÷ìng:
Ch÷ìng 1. L÷îi tåa º v a gi¡c
B i to¡n °t ra l : Düng ÷æc v khæng düng ÷æc a gi¡c •u n o tr¶n
l÷îi tåa º nguy¶n m c¡c ¿nh tròng vîi nót l÷îi? L÷îi tåa º nguy¶n tr¶n
m°t phflng v c¡c t‰nh ch§t, a gi¡c hƒu nºi ti‚p l÷îi nguy¶n, Cæng thøc
Picard v c¡c øng döng cıa l÷îi nguy¶n v o c¡c b i

2
to¡n h…nh håc, sŁ håc, tŒ hæp, l÷æng gi¡c,... l nhœng v§n • ÷æc nghi¶n
cøu trong ch÷ìng n y. Ch÷ìng 1 câ c¡c möc sau:
1.1. L÷îi tåa º nguy¶n tr¶n m°t phflng v c¡c t‰nh ch§t
1.2. a gi¡c hƒu nºi ti‚p l÷îi nguy¶n
1.3. Cæng thøc Picard
1.4. Mºt sŁ øng döng cıa l÷îi tåa º nguy¶n
Ch÷ìng 2. L÷îi tåa º nguy¶n v ÷íng trÆn
L÷îi tåa º nguy¶n ch‰nh l v nh Gauss n¶n nºi dung ch÷ìng n y
khai th¡c nhœng v§n • v• sŁ håc c¡c sŁ nguy¶n: i”m nguy¶n nguy¶n
tŁ, ÷íng trÆn tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n, mºt sŁ øng döng v o sŁ håc v
b i to¡n li¶n quan ‚n bº ba Pythagoras,... Ch÷ìng 2 bao gçm c¡c möc
sau:
2.1. i”m nguy¶n nguy¶n tŁ
2.2. ÷íng trÆn tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n
2.3. Mºt sŁ øng döng v o sŁ håc
Ch÷ìng 3. C¡c b i to¡n kh¡c
Li¶n quan ‚n l÷îi tåa º nguy¶n cÆn câ c¡c b i to¡n v• i”m nguy¶n
tr¶n ÷íng cong phflng, C¡c b i to¡n thi håc sinh giäi v thi Olympic.
3.1. i”m nguy¶n tr¶n ÷íng cong phflng
3.1. C¡c b i to¡n thi håc sinh giäi v thi Olympic
T¡c gi£

3
Ch÷ìng 1
L÷îi tåa º v a gi¡c
1.1 L÷îi tåa º nguy¶n tr¶n m°t phflng v c¡c t‰nh ch§t
1.1.1 L÷îi tåa º tr¶n m°t phflng
Tr¶n m°t phflng ta x†t mºt l÷îi t⁄o bði hai hå c¡c ÷íng thflng song
song chia m°t phflng th nh c¡c h…nh b…nh h nh b‹ng nhau.
H…nh 1.1: L÷îi tåa º nguy¶n
T“p hæp t§t c£ c¡c ¿nh c¡c h…nh b…nh h nh gåi l l÷îi tåa º, b£n
th¥n c¡c ¿nh gåi l c¡c nót cıa l÷îi. Måi h…nh b…nh h nh t⁄o bði 2 hå
÷íng thflng song song gåi l h…nh b…nh h nh cì sð cıa ph¥n ho⁄ch
hay h…nh b…nh h nh sinh ra l÷îi.
Chó þ r‹ng mºt l÷îi câ th” nh“n ÷æc tł c¡c hå ÷íng thflng kh¡c nhau:
Tr¶n H…nh 1.1 bi”u di„n mºt l÷îi tåa º nguy¶n, tøc l t“p hæp

4
c¡c i”m câ tåa º Descartes l c¡c sŁ nguy¶n. L÷îi tåa º nguy¶n ch‰nh
l l÷îi t⁄o bði t§t c£ c¡c ÷íng thflng song song vîi hai tröc tåa º, câ th” coi
l tí gi§y k· æ vuæng væ h⁄n (h…nh b…nh h nh cì sð l h…nh vuæng
c⁄nh 1). L÷îi tåa º nguy¶n câ th” nh“n ÷æc tł c¡c " ÷íng xi¶n" (khi â
h…nh b…nh h nh cì sð l h…nh b…nh h nh ABCD tr¶n H…nh 1.2).
H…nh 1.2: L÷îi tåa º tr¶n m°t phflng
Nh÷ v“y, kh¡i ni»m h…nh b…nh h nh cì sð khæng ch¿ g›n vîi b£n
th¥n l÷îi m cÆn g›n vîi c¡c hå ÷íng thflng sinh ra l÷îi. Ta câ c¡c t‰nh
ch§t ìn gi£n cıa l÷îi nh÷ sau:
H…nh 1.3: l÷îi tåa º nguy¶n vîi hbh cì sð
i. Måi ph†p tành ti‚n song song bi‚n i”m nót n y th nh mºt i”m nót
kh¡c s‡ b£o to n l÷îi (bi‚n l÷îi th nh ch‰nh nâ).
ii. (BŒ • v• ¿nh thø t÷ cıa h…nh b…nh h nh) N‚u 3 ¿nh cıa h…nh

5
b…nh h nh l c¡c i”m nót cıa l÷îi th… ¿nh thø t÷ công l i”m nót cıa
l÷îi.
iii. N‚u qua 2 i”m Q, R cıa l÷îi k· mºt ÷íng thflng th… ÷íng thflng n y
s‡ i qua væ h⁄n c¡c i”m nót cıa l÷îi. Khi â t§t c£ c¡c kho£ng c¡ch
giœa c¡c nót gƒn nhau •u b‹ng nhau.
iv. N‚u mºt h…nh b…nh h nh vîi ¿nh l c¡c i”m nót khæng chøa trong
nâ mºt i”m nót n o cıa l÷îi th… nâ l h…nh b…nh h nh sinh ra l÷îi.
v. (BŒ • v• thæ s«n v thä) Gi£ sß tia ‘ i qua i”m nót A cıa l÷îi n o â.
Khi â t…m ÷æc mºt nót sao cho kho£ng c¡ch tł â ‚n ‘ nhä hìn sŁ
nhä tòy þ cho tr÷îc.
Chøng minh. C¡c t‰nh ch§t i:; ii:; iii:; iv: •u hi”n nhi¶n, ta i chøng
minh bŒ • v: v• thæ s«n v thä: Kþ hi»u giao i”m cıa tia ‘ v ÷íng
thflng nghi¶ng cıa l÷îi l A0 = A; A1; A2; :::; An; :::. Nh§c t§t c£ c¡c
h…nh b…nh h nh m câ c¡c i”m n y n‹m tr¶n ÷íng thflng chøa c⁄nh v•
h…nh b…nh h nh ABCD, khi â mØi i”m An chuy”n th nh i”m An tr¶n
c⁄nh AB.
Vîi måi > 0 cho tr÷îc t…m ÷æc c¡c i”m Am v Am+k nh÷ th‚ sao cho
kho£ng c¡ch giœa chóng nhä hìn . B¥y gií h¢y chøng minh kho£ng
c¡ch tł i”m Ak ‚n mºt trong c¡c nót cıa l÷îi nhä hìn ( °c bi»t n‚u A0
m
tròng vîi A0
m+k th… Ak s‡ l nót cıa l÷îi).
K‚t qu£ sau l hi”n nhi¶n: Gi£ sß a; b l hai sŁ thüc b§t ký. Chøng minh
r‹ng t“p hæp t§t c£ c¡c i”m vîi tåa º (ka; lb) vîi k; l 2 Z l mºt l÷îi.
M»nh • 1.1. Vîi måi sŁ væ t > 0 v måi sŁ d÷ìng •u t…m ÷æc c¡c sŁ tü
nhi¶n m; n sao cho jm nj < :
Chøng minh. L§y h» tåa º Descartes tr¶n m°t phflng v k· ÷íng thflng
y = x. V… l sŁ væ t n¶n tr¶n ÷íng thflng n y câ duy nh§t mºt i”m mang
tåa º nguy¶n l i”m gŁc tåa º. ÷íng thflng y = x c›t ÷íng x = m t⁄i c¡c i”m
(m; m ). Theo t‰nh ch§t v, t…m ÷æc nót (m; n) cıa l÷îi nguy¶n sao
cho kho£ng c¡ch (theo chi•u thflng øng) tł â ‚n i”m (m; m ) nhä hìn . â l
i•u cƒn chøng minh.

6
D„ th§y r‹ng trong t§t c£ c¡c kh£ n«ng th… kho£ng c¡c æi mºt
giœa c¡c nót cıa l÷îi b§t ký s‡ l sŁ nhä nh§t. T‰nh ch§t n y còng vîi
t‰nh ch§t ii: cıa l÷îi câ th” thay cho ành ngh¾a v• l÷îi.
M»nh • 1.2. Gi£ sß t“p hæp M tr¶n m°t phflng câ c¡c t‰nh ch§t sau:
(1) Kho£ng c¡ch cıa hai i”m b§t ký khæng nhä hìn sŁ d÷ìng d n o â;
(2) N‚u 3 i”m A,B,C cıa M l c¡c ¿nh cıa h…nh b…nh h nh ABCD th…
¿nh thø t÷ D cıa h…nh b…nh h nh n y công thuºc t“p hæp M.
Khi â M l mºt l÷îi.
Chøng minh.
H…nh 1.4: H…nh v‡ a. H…nh v‡ b
L§y i”m B tòy þ thuºc M. Gi£ sß A l i”m trong M, gƒn B nh§t
(H…nh v‡ a), i”m n y tçn t⁄i v… t§t c£ c¡c kho£ng c¡ch æi mºt giœa
c¡c i”m cıa M •u lîn hìn d).
Qua A v B k· mºt ÷íng thflng. Trong c¡c i”m cıa M khæng n‹m tr¶n
÷íng thflng n y chån ÷æc i”m gƒn B nh§t, gåi i”m â l C. Ta düng
h…nh b…nh h nh ABCD. Theo i•u ki»n (2) i”m D công thuºc t“p hæp
M. Ta düng l÷îi sinh bði h…nh b…nh h nh ABCD, ta i chøng minh t“p
hæp M tròng vîi l÷îi vła düng.

7
Tł i•u ki»n (2) suy ra r‹ng t§t c£ c¡c nót cıa l÷îi n y •u thuºc M. Bði
v“y ch¿ cƒn ki”m tra r‹ng ð bi¶n công nh÷ ð trong h…nh b…nh h nh
ABCD khæng câ i”m n o cıa M kh¡c vîi ¿nh cıa nâ. i•u n y gƒn nh÷
hi”n nhi¶n: N‚u i”m S n‹m ð trong h…nh b…nh h nh (H…nh v‡
[[[[
b.)th… ‰t nh§t mºt trong c¡c gâc ASB; BSC; CSD; ASD l gâc tò
ho°c gâc vuæng v bði v“y kho£ng c¡ch tł S tîi mºt trong c¡c ¿nh cıa
nâ nhä hìn c⁄nh n o â cıa nâ(n‚u S n‹m tr¶n bi¶n th… công v“y).
Chflng h⁄n gi£ sß â l kho£ng c¡ch SC. Ta düng h…nh b…nh h nh
BCSS0
; (S0
2 M). Khi â BS0
nhä hìn BC ho°c BA nh÷ng i•u â m¥u
thu¤n vîi c¡ch chån ho°c cıa i”m C ho°c cıa i”m A.
C¡c tr÷íng hæp cÆn l⁄i t÷ìng tü.
B i to¡n 1.1. Gi£ sß l sŁ væ t tòy þ. Chøng minh r‹ng: vîi måi >
0 v måi sŁ thüc luæn t…m ÷æc c¡c sŁ m; n sao cho: jm +n j < .
B i to¡n 1.2. Chøng minh r‹ng kþ hi»u th“p ph¥n cıa sŁ 2n
câ th” b›t
ƒu b‹ng chœ sŁ b§t ký cıa tŒ hæp c¡c chœ sŁ cho tr÷îc.
1.1.2 L÷îi tåa º nguy¶n v a gi¡c •u
L§y mºt tí gi§y k· æ vuæng. Hi”n nhi¶n h…nh vuæng vîi c¡c ¿nh l
c¡c nót cıa l÷îi luæn düng ÷æc v b‹ng væ sŁ c¡ch. C¡ch l m nh÷ th‚
câ thüc hi»n ÷æc Łi vîi tam gi¡c •u hay löc gi¡c •u hay khæng? Trong
phƒn n y ta s‡ t…m c¥u tr£ líi th‰ch ¡ng.
Gi£ sß ta câ mºt l÷îi nguy¶n hay cÆn gåi l l÷îi Z2
. Tr¶n l÷îi nguy¶n
n y h¢y x†t b i to¡n v• sü tçn t⁄i a gi¡c •u nºi ti‚p ÷æc trong l÷îi.
ành ngh¾a 1.1. Ta nâi a gi¡c nºi ti‚p ÷æc trong l÷îi n‚u tçn t⁄i mºt a
gi¡c çng d⁄ng vîi nâ m c¡c ¿nh l nót cıa l÷îi.
B i to¡n nºi ti‚p mºt tam gi¡c •u tr¶n l÷îi nguy¶n l b i to¡n ìn
gi£n nh§t trong c¡c b i to¡n nºi ti‚p mºt a gi¡c •u tr¶n l÷îi nguy¶n. V“y
m k‚t qu£ "khæng düng ÷æc tam gi¡c •u nºi ti‚p tr¶n l÷îi Z2
" ÷æc ÷a
ra v o n«m 1878 do nh to¡n håc E. Lukacy cæng bŁ. — ¥y chóng tæi
÷a ra 5 c¡ch chøng minh k‚t qu£ n y: c¡ch thø nh§t (cıa Lukacy) sß
döng lþ thuy‚t chia h‚t c¡c sŁ nguy¶n; c¡ch thø hai düa tr¶n

tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
8
2
t‰nh væ t cıa sŁ tan n , c¡ch thø ba dòng l÷æng gi¡c, c¡ch thø t÷
dòng ph÷ìng ph¡p di»n t‰ch, c¡ch thø n«m dòng ph÷ìng ph¡p cüc
h⁄n. B i to¡n n y công ¢ l mºt trong nhœng b i to¡n hay trong ký thi
håc sinh giäi quŁc gia v quŁc t‚ trong nhœng n«m gƒn ¥y.
M»nh • 1.3. Tam gi¡c •u ABC khæng th” nºi ti‚p ÷æc trong l÷îi
nguy¶n.
Chøng minh.
C¡ch 1. (Ph÷ìng ph¡p chia h‚t, cüc h⁄n) Gi£ sß düng ÷æc tam gi¡c
•u tr¶n l÷îi Z2
v ta chån 1 tam gi¡c c⁄nh nhä nh§t, mºt ¿nh l gŁc tåa º,
hai ¿nh kia câ tåa º (a; b); (c; d). Khi â bŁn sŁ nguy¶n a; b; c; d
khæng câ ÷îc chung kh¡c 1 (tøc chóng nguy¶n tŁ còng nhau). Trong
tr÷íng hæp ng÷æc l⁄i s‡ d¤n tîi tam gi¡c vîi tåa º c¡c ¿nh l

(0; 0); a ;b ; c ;d vîi k l ÷îc chung cıa bŁn sŁ a; b; c; d. Ta vi‚t
k k k k
flng thøc c¡c c⁄nh tam gi¡c vuæng ð d⁄ng tåa º:
a2
+ b2
= c2
+ d2
= (a c)2
+ (b d)2
:
Suy ra: a2
+b2
= c2
+d2
= 2(ac+bd). Do â, a2
+b2
+c2
+d2
= 4(ac+bd).
Ngh¾a l tŒng b…nh ph÷ìng bŁn sŁ nguy¶n chia h‚t cho 4.
M°t kh¡c b…nh ph÷ìng cıa sŁ nguy¶n khi chia cho 4 ch¿ cho d÷ l
0 ho°c 1. Bði v“y, ho°c t§t c£ 4 sŁ a; b; c; d l chfin ho°c t§t c£ •u l·.
Kh£ n«ng thø nh§t khæng x£y ra v… c¡c sŁ n y theo c¡ch chån ð
tr¶n l nguy¶n tŁ còng nhau. Kh£ n«ng thø hai công khæng x£y ra
v… lóc â khæng th” câ a2
+ b2
= (a c)2
+ (b d)2
. M¥u thu¤n n y suy
ra i•u ph£i chøng minh.
C¡ch 2. (Ph÷ìng ph¡p l÷æng gi¡c) Chó þ r‹ng n‚u 2 tia gŁc O k·
qua c¡c nót (a; b) v (c; d) cıa l÷îi th… tang cıa gâc giœa hai tia n y
l sŁ hœu t ho°c khæng x¡c ành v…
d b
tantan =ad bc
tan = tan( ) = = c a :
1 + tan : tan db ac + bd
1 + ca

9
÷æc tam gi¡c •u tr¶n l÷îi Z2
th… hai tia vîi gŁc l p
mºt trong c¡c ¿nh tam gi¡c s‡ t⁄o th nh gâc 60 m tan 60 = 3 l sŁ væ t
, tr¡i vîi v‚ ph£i l sŁ hœu t .
C¡ch 3. (Ph÷ìng ph¡p di»n t‰ch) Ta t‰nh di»n t‰ch tam gi¡c ABC theo
AB2
p
AB:AC 3
2 c¡ch: Mºt m°t, S ABC = sin A = sin 60 = AB2
:
2 2 4
Nh÷ng AB2
= sŁ nguy¶n (AB2
= AC2
+ CB2
), ngh¾a l S ABC l sŁ væ
t . M°t kh¡c, ngo⁄i ti‚p xung quanh tam gi¡c ABC l h…nh chœ nh“t
CB’C’A’ ta nh“n ÷æc: S ABC = SCB0CA0
S
AB0
C
S
AC0
B
S
A0
BC0
l sŁ hœu t v… t§t c£ c¡c di»n t‰ch ð v‚ ph£i •u l c¡c sŁ hœu t . Ta
nh“n ÷æc S ABC vła l sŁ hœu t vła l sŁ væ t . Væ lþ.
C¡ch 4. (Ph÷ìng ph¡p tåa º) Gi£ sß A(a1; a2), B(b1; b2), C(c1; c2) l
1 1 1 l mºt sŁ nguy¶n.
c¡c i”m nguy¶n. Khi â di»n t‰ch 2S = a1 b1
c1
a2 b2 c2
2p
AB 3
M°t kh¡c do ABC l tam gi¡c •u n¶n 2S = l sŁ væ t . M¥u
2
thu¤n â chøng minh b i to¡n.
Tł ¥y ta s‡ vi‚t k gi¡c thay cho a gi¡c k c⁄nh, c¡c c¡ch nâi sau ¥y
÷æc sß döng th÷íng xuy¶n: 5-gi¡c hay ngô gi¡c; 8-gi¡c hay b¡t gi¡c;
10-gi¡c hay th“p gi¡c; 12-gi¡c hay th“p nhà gi¡c,. . .
M»nh • 1.4. a gi¡c •u duy nh§t nºi ti‚p ÷æc trong l÷îi nguy¶n l h…nh
vuæng.
Chøng minh. D„ th§y tçn t⁄i h…nh vuæng nºi ti‚p l÷îi, chflng h⁄n â l
h…nh vuæng cì sð, câ tåa º c¡c ¿nh (0; 0); (0; 1); (1; 0); (1; 1).
Ti‚p theo ta chøng minh b‹ng ph£n chøng r‹ng ngo i h…nh vuæng
khæng cÆn a gi¡c •u n o kh¡c nºi ti‚p ÷æc trong l÷îi nguy¶n. Gi£ sß
D l a gi¡c nºi ti‚p ÷æc cıa l÷îi nguy¶n (tøc c¡c ¿nh •u l nót). X£y ra c¡c
kh£ n«ng sau:
a. D l tam gi¡c •u ABC.
b. D l ngô gi¡c •u ABCDE:

10
c. D l löc gi¡c •u ABCDEF:
d. D l n-gi¡c •u vîi n 7:
Ta x†t tłng kh£ n«ng:
a. Xem M»nh • 1.3
b. Gi£ sß ngô gi¡c •u ABCDE câ c⁄nh b‹ng a. Gåi A0
= AC BE
th… A0
l nót cıa l÷îi. Th“t v“y, v… AA0
DE l h…nh b…nh h nh n¶n
AA0
=! 0
công l
! ED. Tł ¥y do E, D, A l c¡c i”m nguy¶n n¶n A
i”m nguy¶n. Kþ hi»u B0
; C0
; D0
; E0
t÷ìng tü nh÷ A0
th… B0
; C0
;
D0
; E0
công l c¡c i”m nguy¶n. V“y ngô gi¡c A0
B0
C0
D0
E0
l ngô gi¡c
nºi ti‚p ÷æc. Ta câ A’B’=C’D’=D’E’=E’A’. M°t kh¡c, ABE0
= BA0
C suy
000
000
000
000
000
ra A E D = B A E . T÷ìng tü, ta câ: A E D = B A E = C B A =
D

CB
0
= C

DE . Tł â suy ra A
0
B
0
C
0
D
0
E
0
l ngô gi¡c •u (nºi ti‚p
0 0 0 0 0
÷æc tr¶n l÷îi) câ c⁄nh b < a, (H…nh 1.5).
H…nh 1.5: Ngô gi¡c v löc gi¡c
Ti‚p töc qu¡ tr…nh tr¶n ta s‡ thu ÷æc væ sŁ i”m nguy¶n b¶n trong
ngô gi¡c ABCDE. i•u n y væ lþ v… trong mºt mi•n giîi h⁄n ch¿ tçn t⁄i
mºt sŁ hœu h⁄n i”m nguy¶n. V“y khæng tçn t⁄i ngô gi¡c •u nºi ti‚p ÷æc
l÷îi nguy¶n.
c. N‚u D l löc gi¡c •u A1B1C1D1E1F1. Trong löc gi¡c •u tçn t⁄i tam
gi¡c •u câ ¿nh nguy¶n. Væ lþ
d. N‚u D l n-gi¡c •u vîi n 7: Gi£ sß A1A2 : : : An l a gi¡c •u

11
nguy¶n ( a gi¡c •u câ ¿nh l c¡c i”m nguy¶n hay c¡c nót l÷îi) câ
c⁄nh nhä nh§t l a. Gåi O l
!
OB1
!
1 2
!
2
=
gŁc tåa º. °t = A A ;OB
!
A2A3
!
OBn
! n
A
1 1
B
2
:::B
n
l a gi¡c •u theo c¡ch
;:::; = A . Ta suy ra: B
düng v l a gi¡c nguy¶n. Khi â B1B2 = B2B3 = : : : = BnB1 = b.
b
Trong tam gi¡c OB1B2, gåi B1OB2 = th… sin 2 = 2a . M°t kh¡c,
=
2
n ; n 7 n¶n < 60 =) sin 2 <
1
2 =) 2
b
a <
1
2 =) b < a.
M¥u thu¤n vîi gi£ thi‚t A1A2 : : : An l a gi¡c nguy¶n câ c⁄nh nhä nh§t.
M»nh • ÷æc chøng minh ho n to n.
Nh“n x†t 1.1.1. C¡ch chøng minh nh÷ tr¶n ÷æc gåi l ¡p döng nguy¶n
t›c cüc h⁄n. GiŁng nh÷ nguy¶n t›c Dirichle, c£ hai •u l ph÷ìng ph¡p
chøng minh ph£n chøng. Nºi dung cıa ph÷ìng ph¡p n y l ¡p döng
nguy¶n t›c sau: "Trong mºt t“p hæp hœu h⁄n (kh¡c rØng) c¡c sŁ thüc
tçn t⁄i sŁ nhä nh§t v tçn t⁄i sŁ lîn nh§t". Nhí nguy¶n lþ cüc h⁄n n y ta
câ th” x†t c¡c phƒn tß m mºt ⁄i l÷æng n o â câ gi¡ trà nhä nh§t ho°c
gi¡ trà lîn nh§t. Chflng h⁄n:
X†t o⁄n thflng câ º d i lîn nh§t (nhä nh§t) trong mºt sŁ hœu h⁄n
c¡c o⁄n thflng.
X†t gâc câ sŁ o lîn nh§t (nhä nh§t) trong mºt sŁ hœu h⁄n c¡c gâc.
X†t a gi¡c câ di»n t‰ch ho°c chu vi lîn nh§t (nhä nh§t) trong mºt
sŁ hœu h⁄n c¡c a gi¡c.
X†t kho£ng c¡ch lîn nh§t (nhä nh§t) trong mºt sŁ hœu h⁄n c¡c
kho£ng c¡ch.
Nh÷ v“y sŁ c¡c a gi¡c •u nºi ti‚p ÷æc tr¶n l÷îi nguy¶n r§t hi‚m hoi. Câ
hai c¡ch mð rºng t‰nh nºi ti‚p tr¶n l÷îi nguy¶n cıa a gi¡c nh÷ th‚: Mºt l
ta x†t c¡c a gi¡c nßa •u ( •u c⁄nh ho°c •u gâc), hai l ta giœ nguy¶n c¡c
a gi¡c •u nh÷ng t…m c¡ch "nºi ti‚p x§p x¿", hay cÆn gåi l "hƒu nºi
ti‚p". Phƒn ti‚p theo s‡ i theo hai h÷îng nh÷ v“y.

12
1.1.3 a gi¡c nßa •u nºi ti‚p l÷îi nguy¶n
Kh¡i ni»m a gi¡c nßa •u ÷æc chia l m hai lo⁄i: •u theo c⁄nh v •u
theo gâc (xem [4]).
ành ngh¾a 1.2. Mºt a gi¡c gåi l nßa •u n‚u nâ câ c¡c gâc b‹ng nhau
ho°c c¡c c⁄nh b‹ng nhau. a gi¡c câ c¡c gâc b‹ng nhau, c¡c c⁄nh câ th”
khæng b‹ng nhau, ÷æc gåi l a gi¡c nßa •u-gâc, kþ hi»u t“p hæp â l
G; a gi¡c câ c¡c c⁄nh b‹ng nhau, c¡c gâc câ th” khæng b‹ng nhau,
÷æc gåi l a gi¡c nßa •u-c⁄nh, kþ hi»u t“p hæp â l C.
D„ th§y giao GC l t“p hæp c¡c a gi¡c •u. Chó þ r‹ng trong ành
ngh¾a tr¶n ta khæng nâi g… ‚n a gi¡c lçi hay khæng. C¡c a gi¡c nßa
•u-gâc nºi ti‚p tr¶n l÷îi l h…nh vuæng v h…nh b¡t gi¡c.
H…nh 1.6: H…nh vuæng v h…nh b¡t gi¡c
a gi¡c giîi h⁄n bði ÷íng g§p khóc kh†p k‰n vîi º d i c¡c c⁄nh b‹ng 1
v gâc giœa hai o⁄n b‹ng 1v l tr÷íng hæp °c bi»t cıa a gi¡c nßa •u c⁄nh.
Ta x†t mºt sŁ d⁄ng.
a. Tam gi¡c •u.
B i to¡n nºi ti‚p mºt tam gi¡c •u tr¶n l÷îi nguy¶n l b i to¡n ìn
gi£n nh§t trong c¡c b i to¡n nºi ti‚p a gi¡c •u. V“y m k‚t qu£ l khæng
düng ÷æc tam gi¡c •u nºi ti‚p tr¶n l÷îi Z2
, ÷æc cæng bŁ ngay tł n«m
1878 bði nh to¡n håc E. Lukacy.
b. a gi¡c •u-c⁄nh.
M»nh • 1.5. ( ành lþ Boll 1, [4])

13
i. Tr¶n l÷îi nguy¶n Z2
khæng th” düng ÷æc a gi¡c •u-c⁄nh vîi sŁ c⁄nh
l sŁ l·.
ii. Tr¶n l÷îi nguy¶n Z2
câ th” düng ÷æc a gi¡c •u-c⁄nh vîi sŁ c⁄nh l sŁ
chfin.
Chøng minh. i. Ph£n chøng. Gi£ sß câ düng ÷æc a gi¡c •u-c⁄nh vîi sŁ
c⁄nh l·. Ta s‡ coi a gi¡c n y câ º d i c⁄nh lîn nh§t. Gi£ sß
! ~ ~
vk = xki + ykj; (k = 1; 2; : : : ; n) l c¡c v†c tì câ h÷îng dåc theo c¡c
~
câ º d i cıa chóng kh¡c
c⁄nh a gi¡c. TŒng c¡c v†c tì n y b‹ng 0 v
nhau. Ngh¾a l
x1 + x2 + + xn = 0
y1 + y2 + + yn = 0
x2
1 + y1
2
= x2
2 + y2
2
= = x2
n + yn
2
= a2
:
trong â, a l º d i c⁄nh a gi¡c ¢ cho. B…nh ph÷ìng hai v‚ 2 flng thøc ƒu,
cºng l⁄i ta thu ÷æc
n:a2
=
X
2 (xixj + yiyj):
i6=j
Tł ¥y, v… a2
l sŁ tü nhi¶n v n l· n¶n a2
l sŁ chfin.
.
N‚u a
2 .
4 th… khi â t§t c£ c¡c xi; yi l c¡c sŁ chfin v… tŒng æi mºt
.
c¡c b…nh ph÷ìng chia h‚t cho 4. i•u â l khæng th” v… trong c¡c v†c
1
tì 2v~i, tåa º nguy¶n, câ th” t⁄o th nh a gi¡c •u-c⁄nh gçm n c⁄nh.
a gi¡c n y câ º d i c⁄nh b‹ng mºt nßa º d i c⁄nh a gi¡c ¢ chån.
i•u n y væ lþ theo nguy¶n t›c cüc h⁄n.
B¥y gií gi£ sß a2 ..
. 2 v a2
khæng chia h‚t cho 4. Lóc n y c¡c xi; yi l
c¡c sŁ l· v… chóng thäa m¢n ph÷ìng tr…nh xi
2
+ yi
2
= a
2
. Nh÷ v“y tŒng
P
.
2 .
(xixj + yiyj) l sŁ chfin v bði v“y a . 4. Væ lþ.
i6=l
ii. H…nh 1.7 ch¿ ra h…nh vuæng gh†p vîi löc gi¡c, ta nh“n ÷æc
mºt th“p gi¡c (sŁ c⁄nh l 10) câ c¡c c⁄nh b‹ng nhau, khæng lçi. Tuy
nhi¶n câ th” chøng minh ÷æc r‹ng tr¶n l÷îi nguy¶n düng ÷æc mºt a
gi¡c •u-c⁄nh lçi vîi sŁ c⁄nh l sŁ chfin.

14
H…nh 1.7: a gi¡c •u-c⁄nh
c. a gi¡c •u gâc.
” nh“n ÷æc k‚t qu£ v• a gi¡c •u-gâc ta câ nh“n x†t sau: C¡c sŁ tan
2
n vîi n 2 N l sŁ væ t trł c¡c sŁ øng vîi n = 1; 2; 4; 8.
” câ k‚t qu£ â ta ¡p döng cæng thøc
tann
= Cn
1
tanCn
3
tan3
+ Cn
5
tan5
+ + ( 1)
n 1
tann
2
n 1
1 Cn
2
tan2
+ Cn
4
tan4
+ ( 1) tann
2
(1.1)
trong â, Ck
l h» sŁ trong khai tri”n nhà thøc Newton:
n
Ph†p chøng minh cæng thøc (1.1) nh“n ÷æc nhí quy n⁄p to¡n håc.
Ta s‡ coi n 5 v n = 8 v… c¡c tr÷íng hæp n = 1; 2; 3; 4 l hi”n nhi¶n.
Gi£ sß = 2 . Khi â tan n = 0 v theo (1.1) sŁ x = tan 2 l
n n
nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh vîi h» sŁ nguy¶n
n Cn
3
x2
+ Cn
5
x4
+ ( 1)
n 1
xn 1
= 0 (1.2)
2
Trong ph÷ìng tr…nh n y h» sŁ cao nh§t l 1, do â, nghi»m hœu t cıa
nâ ph£i l sŁ nguy¶n. Bði v“y n‚u x l nghi»m hœu t th… x ph£i l sŁ
nguy¶n. X†t 2 tr÷íng hæp:
Tr÷íng hæp 1. N‚u n = mp vîi p l sŁ nguy¶n tŁ l·. Câ hai kh£ n«ng:
2
N‚u m = 1 tøc n = p th… tł (1.2) rót ra x2
jp v do â, x = tan n = 1.

15
Gi£ sß tan 2 l sŁ hœu t th… nh÷ ¢ th§y trong cæng thøc (1.1), sŁ
2 m
n
2
tan = tan công l sŁ hœu t . Væ lþ.
n n
2 p
k
4. V… tan
Tr÷íng hæp 2. B¥y gií, gi£ sß n = 2 ; k = 2 1
6
l sŁ væ t n¶n theo cæng thøc (1.1), t§t c£ c¡c sŁ d⁄ng tan
2
; k 4
2k
công l sŁ væ t . Khflng ành ÷æc chøng minh.
Chó þ r‹ng, hai tr÷íng hæp n y l t§t c£ c¡c kh£ n«ng câ th” x£y ra.
M»nh • 1.6. ( ành lþ Boll 2, [4]) Trong t§t c£ c¡c a gi¡c •u-gâc ch¿
düng ÷æc h…nh chœ nh“t v h…nh b¡t gi¡c nºi ti‚p tr¶n l÷îi nguy¶n
Chøng minh. Ta s‡ coi n 4 v… tr÷íng hæp tam gi¡c ¢ ÷æc chøng
minh. H…nh vuæng v b¡t gi¡c ¢ düng ÷æc nh÷ tr¶n h…nh v‡. B¥y gií
gi£ sß a gi¡c •u-gâc vîi n > 4 ¿nh l düng ÷æc tr¶n l÷îi nguy¶n Z2
. Khi
â, c¡c v†c tì bi”u di„n c¡c c⁄nh cıa nâ câ tåa º nguy¶n v gâc
2
giœa 2 v†c tì cıa hai c⁄nh k• nhau b§t ký •u b‹ng n . Ta s‡ coi O l
gŁc tåa º. Khi â, gâc giœa [OP) v [OQ) b‹ng
2
v tan 2
nh÷ ¢
n n
th§y ph£i l sŁ hœu t khi n > 4. Nh÷ng i•u n y x£y ra ch¿ khi n = 8,
xem h…nh v‡ 1.8.
H…nh 1.8: a gi¡c •u-gâc

16
C¡c b i to¡n sau ¥y bŒ sung th¶m cho kh¡i ni»m a gi¡c •u, nßa •u
tr¶n l÷îi nguy¶n.
B i to¡n 1.3. Tr¶n gi§y æ vuæng v‡ mºt ÷íng g§p khóc kh†p k‰n câ
c¡c ¿nh l c¡c nót. Chøng minh r‹ng sŁ c¡c o⁄n g§p khóc l chfin.
B i to¡n 1.4. Chøng minh r‹ng tr¶n l÷îi Z2
câ th” düng ÷æc a gi¡c lçi
•u c⁄nh vîi sŁ c⁄nh l sŁ chfin tòy þ.
B i to¡n 1.5. Chøng minh r‹ng a gi¡c •u duy nh§t tr¶n m°t phflng m
t§t c£ c¡c ¿nh câ tåa º hœu t l h…nh vuæng.
B i to¡n 1.6. Chøng minh flng thøc (1.1) nhí ¡p döng cæng thøc
Moivre (Moa-vì-rì):
cos n + i: sin n = (cos + i: sin )n
:
B i to¡n 1.7. a. Chøng minh r‹ng n‚u p v q l c¡c sŁ tü nhi¶n nguy¶n
tŁ còng nhau, cos(p =q) l sŁ hœu t th… sŁ cos( =q) công l sŁ hœu t .
b.Chøng minh r‹ng n‚u sŁ cos(p =q) vîi p,q nguy¶n tŁ còng nhau v
q > 3 l sŁ hœu t khi v ch¿ khi sŁ cos( =q) l sŁ hœu t .
c. Gi£ sß p,q nguy¶n tŁ còng nhau, q 3. Chøng minh r‹ng c¡c sŁ
sin(p =q) l sŁ væ t vîi q 6= 6
Ph÷ìng ph¡p gi£i: Sß döng k‚t qu£: 2 cos n câ th” vi‚t ÷æc d÷îi d⁄ng
fn(2 cos ), trong â, fn(x) l a thøc vîi h» sŁ nguy¶n v h» sŁ cao nh§t b‹ng
1.
1.2 a gi¡c hƒu nºi ti‚p l÷îi nguy¶n
Ta x†t b i to¡n thø hai: a gi¡c hƒu nºi ti‚p tr¶n l÷îi nguy¶n.
ành ngh¾a 1.3. a gi¡c gåi l nºi ti‚p trong l÷îi M n‚u tçn t⁄i mºt a gi¡c
çng d⁄ng vîi nâ (vîi h» sŁ çng d⁄ng l sŁ tü nhi¶n) sao cho kho£ng c¡ch
tł mØi ¿nh ‚n nót nhä hìn .
Chó þ r‹ng, khi = 0 ta nh“n ÷æc ành ngh¾a a gi¡c nºi ti‚p l÷îi ð
tr¶n, cÆn khi qu¡ lîn (lîn hìn kho£ng c¡ch giœ hai nót) th… ành
ngh¾a khæng x¡c ành.

17
Hìn nœa, ta s‡ gåi a gi¡c hƒu kh›p nºi ti‚p l÷îi M n‚u nâ nºi ti‚p trong
l÷îi vîi måi > 0. Rª r ng, a gi¡c s‡ hƒu kh›p nºi ti‚p n‚u nâ nºi ti‚p ÷æc
trong l÷îi. i•u ng÷æc l⁄i khæng óng:
M»nh• 1.7. Tam gi¡c •u hƒu kh›p nºi ti‚p trong l÷îi nguy¶n.
H…nh 1.9: Tam gi¡c •u hƒu nºi ti‚p l÷îi
Chøng minh. X†t tam gi¡c •u c⁄nh 2 nh÷ trong H…nh 1.9. Vîi ph†p và tü
t¥m O, t sŁ và tü k tü nhi¶n (kh¡c 0), A1B1C1 bi‚n th nh AkBkCk,
trong â, Ak; Bk l c¡c nót cıa l÷îi cÆn Ck câ t⁄o º (0; k
p
3) (tung
p ). V… Ak; Bk l
º yk cıa Ck b‹ng yk = ky 1 = k:OC1 = k 3 c¡c nót
vîi måi k n¶n b i to¡n quy v• t…m k ” kho£ng c¡ch tł Ck ‚n nót gƒn
nh§t nhä hìn .
L§y sŁ tü nhi¶n N sao cho N > 1 v chia kho£ng [0,1) th nh N nßa
kho£ng câ º d i nhä hìn :
N ;:::; ; 1 :
0; N ; N ; N
1 1 2 N 1
B¥y gií chó þ r‹ng tr¶n o⁄n [0; 1] câ c¡c i”m fk
p
3g, trong â, fxg
p
kþ hi»u phƒn ph¥n cıa x; k = 1; 2; : : : ; N + 1. MØi i”m fk 3g rìi v o
mºt trong c¡c nßa kho£ng. V… câ N nßa kho£ng m N + 1 i”m n¶n
câ hai i”m n o â rìi v o còng mºt nßa kho£ng. Gi£ sß â l i”m
p p p
fm 3g; fn 3g vîi m > n l c¡c sŁ tü nhi¶n. V… (m n) 3 kh¡c sŁ

18
1
nguy¶n nhä hìn N v do â nhä hìn . B‹ng c¡ch °t k b‹ng m n ta nh“n
÷æc i•u cƒn t…m.
M»nh • ÷æc chøng minh. Tuy nhi¶n x£y ra mºt sü ki»n tŒng qu¡t:
M»nh • 1.8. ( ành lþ cì b£n) Måi a gi¡c •u câ th” hƒu kh›p nºi ti‚p trong
mºt l÷îi b§t ký.
Chøng minh. Gi£ sß cho l÷îi M, sŁ > 0 v a gi¡c . Ta chøng minh r‹ng
qua mºt ph†p và tü n o â vîi t sŁ và tü l sŁ tü nhi¶n N, a gi¡c
bi‚n th nh a gi¡c 0
sao cho måi ¿nh cıa a gi¡c 0
•u c¡ch i”m nót mºt
kho£ng nhä hìn .
X†t ¿nh A cıa a gi¡c. Gi£ sß qua ph†p và tü t¥m O, h» sŁ và tü k
i”m A bi‚n th nh i”m v OA = x ~a+y ~ ~
Ak A
b, trong â, ~a; b l c¡c v†c
! A
!
~ ~
tì sinh ra l÷îi. Khi â, OAk = k(xA~a + yAb) = (kxA)~a + (kyA)b. i•u ki»n
Ak c¡ch i”m nót cıa l÷îi kho£ng c¡ch nhä hìn s‡ ÷æc thüc hi»n n‚u
mØi tåa º (kxA) v (kyA) s‡ kh¡c sŁ nguy¶n nhä hìn c , vîi h» sŁ
c khæng phö thuºc v o k, câ th” l§y chflng h⁄n c = 1 .
~
! ~ 2 max(j~aj; jbj)
j j j Aj jj 2
Th“t v“y, gi£ sß OF = m~a + nb. Khi â, n‚u m ~a kx ~a <
~ ~ !
OA ~
j j j
kx Aj jj
< 2 k
F j k
F j j
OF kj j
m~a nb
v m b b th… A A
= = +
=
!
!
~
k(xA~a yAb)j < . ~ ~
Nh÷ng c¡c b§t flng thøc jmj~aj kxAj~ajj < 2 v jnjbj kyAjbjj <2
t÷ìng ÷ìng vîi c¡c b§t flng thøc jm kxAj < v jn kyAj < .
2 ~a ~
j j 2 b
Bði v“y n‚u kxA v kyA kh¡c sŁ nguy¶n nhä hìn
j j
th…
~
AkF < vîi i”m nót F n o â v
2 max(j~aj; jbj)
ta câ i•u Æi häi. Ta cÆn ph£i
khflng ành t§t c£ c¡c ¿nh cıa a gi¡c 0
•u ð trong l¥n c“n cıa
i”m nót cıa l÷îi M.
Khflng ành â câ n‚u t§t c£ c¡c sŁ N xA; N yA; N xB; N yB : : : kh¡c c¡c
sŁ nguy¶n nhä hìn sŁ N(xA; yA; xB; yB; : : :)- h» sŁ trong ph¥n t‰ch c¡c
! ! ! !
b ;. SŁ N ÷æc x¡c ành nhí ành
v†c tì OA; OB; : : : theo c¡c v†c tì a ;
lþ Kroneker: "Gi£ sß 1; 2; : : : ; n l c¡c sŁ thüc. Khi â vîi måi sŁ

19
d÷ìng t…m ÷æc sŁ tü nhi¶n m sao cho mØi sŁ m i, i = 1; 2; : : : n kh¡c
sŁ nguy¶n kho£ng , tøc l : fm ig 2 [0; ] [ [1 ; 1]" (Xem [6]).
B i to¡n 1.8. Tr¶n gi§y æ vuæng v‡ mºt ÷íng g§p khóc câ ¿nh l c¡c
nót sao cho c¡c o⁄n thflng •u b‹ng nhau. Chøng minh r‹ng sŁ c¡c o⁄n
thflng l sŁ chfin.
B i to¡n 1.9. Chøng minh r‹ng tr¶n l÷îi Z2
câ th” °t a gi¡c lçi •u c⁄nh
vîi sŁ c⁄nh chfin b§t ký.
1.3 Cæng thøc Picard
1.3.1 Tam gi¡c ìn nguy¶n thıy
Ng÷íi ta ph¥n lo⁄i a gi¡c th nh a gi¡c ìn v a gi¡c khæng ìn ( a gi¡c
phøc) nh÷ sau:
a gi¡c ìn (Simple polygon): a gi¡c m c¡c c⁄nh ch¿ câ th” c›t
nhau t⁄i c¡c ƒu mót ( ¿nh a gi¡c), khæng câ hai c⁄nh khæng k•
nhau c›t nhau. a gi¡c ìn câ th” l a gi¡c lçi ho°c a gi¡c lªm.
a gi¡c khæng ìn hay a gi¡c phøc hay(Complex polygon) l a gi¡c
câ hai c⁄nh khæng k• nhau c›t nhau, i”m c›t nhau â khæng ph£i l
¿nh cıa a gi¡c.
Chó þ r‹ng a gi¡c ìn câ th” l a gi¡c lªm ho°c a gi¡c lçi. a gi¡c phøc l a
gi¡c lªm. H…nh v‡ sau ¥y ch¿ ra a gi¡c ìn v khæng ìn:
H…nh 1.10: a gi¡c ìn v a gi¡c khæng ìn

20
1.3.2 Cæng thøc Picard
Mºt øng döng trüc ti‚p cıa l÷îi nguy¶n l t‰nh di»n t‰ch h…nh phflng
b‹ng c¡ch phı nâ bði l÷îi æ vuæng. Cæng thøc sau ¥y mang t¶n nh
to¡n håc ng÷íi Ph¡p Picard, ÷æc t…m ra v o n«m 1899.
M»nh • 1.9. (Cæng thøc Picard) Cho a gi¡c ìn D câ c¡c ¿nh l c¡c i”m
nguy¶n. SŁ i”m nguy¶n tr¶n c¡c c⁄nh l m, sŁ i”m nguy¶n b¶n trong a
gi¡c l n. Khi â di»n t‰ch cıa D b‹ng
SD = n +
m
1: (1.3)
2
Chøng minh. — ¥y tr…nh b y hai c¡ch chøng minh cæng thøc
Picard: C¡ch chøng minh truy•n thŁng v c¡ch chøng minh trüc
ti‚p(tham kh£o trong [3]). B i to¡n d¤n ra sau ¥y.
C¡ch 1. Cì sð cıa vi»c chøng minh cæng thøc Picard l x¡c ành di»n
t‰ch cıa h…nh tam gi¡c ìn nguy¶n thıy (câ c¡c ¿nh nguy¶n v khæng
chøa b¶n trong nâ ho°c tr¶n bi¶n mºt i”m nguy¶n n o). C¡c b÷îc
chøng minh qua c¡c k‚t qu£ sau:
B i to¡n 1.10. Trong mºt a gi¡c ìn vîi sŁ ¿nh lîn hìn ho°c b‹ng 4 luæn
tçn t⁄i ÷íng ch†o n‹m ð mi•n trong cıa nâ.
B i to¡n 1.11. Câ th” chia n-gi¡c ìn nguy¶n thıy th nh n gi¡c
sao cho c¡c tam gi¡c n y khæng câ i”m trong chung v cıa
tam gi¡c n‹m trong n-gi¡c â.
2 tam
c¡c c⁄nh
B i to¡n 1.12. Cho mºt a gi¡c ìn D m måi ¿nh l c¡c i”m nguy¶n. Khi â
câ th” nŁi c¡c i”m nguy¶n n‹m trong D v tr¶n c⁄nh cıa D ” ÷æc c¡c tam
gi¡c ìn.
B i to¡n 1.13. SŁ c¡c tam gi¡c ìn trong mºt tam gi¡c ph¥n cıa a gi¡c ìn
D l b‹ng nhau vîi måi ki”u tam gi¡c ph¥n. N‚u b¶n trong D câ k i”m
nguy¶n v tr¶n c⁄nh cıa D (k” c£ ¿nh) câ m i”m nguy¶n
th… sŁ c¡c tam gi¡c ìn l s = 2k + m 2
Tł c¡c k‚t qu£ tr¶n ta thu ÷æc m»nh • cì b£n sau:

21
M»nh • 1.10. Cho ABC l tam gi¡c ìn nguy¶n thıy b§t ký tr¶n
l÷îi nguy¶n mØi æ vuæng câ di»n t‰ch 1 ìn và. Khi â SABC =
1
. ”
2
chøng minh SABC =
1
ta s‡ chøng minh hai b§t flng:SABC
1
v
2 2
1
S
ABC .
2
Phı tam gi¡c ABC bði h…nh chœ nh“t MNPQ. Khi â, SABC = SMNPQ-
l m
tŒng di»n t‰ch c¡c tam gi¡c phö vîi ABC = k = vîi k; l; m 2 Z.
2 2
m 1
V“y S
ABC
=
2 2
:
X†t c¡c tam gi¡c ph¥n Łi vîi tam gi¡c phö vîi tam gi¡c ABC trong
h…nh chœ nh“t MNPQ. Khi â ta câ tam gi¡c ph¥n cho h…nh chœ nh“t
MNPQ vîi sŁ tam gi¡c t⁄o th nh l s 2(m 1)(n 1)+2(m+n) 2 = 2m:n,
trong â m; n l hai c⁄nh h…nh chœ nh“t. V… di»n t‰ch h…nh chœ nh“t
MNPQ b‹ng m:n n¶n tł flng thøc â suy ra måi tam gi¡c ph¥n
1
•u ph£i câ di»n t‰ch 2. Ta câ i•u ph£i chøng minh.
CuŁi còng, theo B i to¡n 1.13 ta câ th” chia D th nh 2k + m 2 tam
gi¡c ìn bði c¡c o⁄n thflng nŁi c¡c i”m nguy¶n n‹m trong ho°c tr¶n bi¶n
cıa nâ. Theo M»nh • 1.10 mØi mºt tam gi¡c ph¥n câ di»n t‰ch
1
b‹ng . V“y di»n t‰ch cıa a gi¡c D l
2
(2k + m 2): 1 = k + m 1:
2 2
Cæng thøc ÷æc chøng minh
C¡ch 2. (Tham kh£o trong [2])
Chøng minh. Vîi mØi a gi¡c D, vîi quy ÷îc m; k nh÷ gi£ thi‚t ta kþ
hi»u h m f(D) = k + m 1. Gi£ sß a gi¡c M ÷æc c›t th nh hai a
2
gi¡c M1; M2 vîi c¡c ¿nh l c¡c nót l÷îi. Ta s‡ chøng minh r‹ng cæng
thøc Picard n‚u óng Łi vîi 2 trong 3 a gi¡c M; M1; M2 th… công s‡
óng Łi vîi a gi¡c cÆn l⁄i. ” câ i•u â ta i chøng minh flng thøc
f(M) = f(M1) + f(M2) (1.4)

22
C¡ch l“p lu“n ð ¥y kh¡ °c bi»t nh÷ sau (xem [2])
+ Gåi o⁄n thflng c›t a gi¡c M th nh 2 a gi¡c M1; M2 l L. C¡c nót n‹m
ngo i L cæng l⁄i b‹ng f(M) v f(M1) + f(M2); c¡c nót khæng ph£i ƒu mót
cıa L cºng vîi 1 th nh f(M) v cºng vîi 0,5 th nh f(M1)
v f(M2). MØi mºt trong hai i”m nót m l ƒu mót cıa L cºng th¶m 0,5 v o
mØi sŁ f(M); f(M1); f(M2) v do â phƒn th¶m cıa c¡c nót t⁄i 2 ƒu mót L v
sŁ f(M) ‰t hìn 1 so vîi phƒn th¶m cıa c¡c nót t⁄i 2
ƒu mót L v o f(M1) + f(M2). V… chóng ta ph£i gi£m i 1 tł mØi lƒn
th¶m v o f(M) v gi£m i 2 tł mØi lƒn th¶m v o f(M1) + f(M2) n¶n suy ra
f(M) = f(M1) + f(M2).
+ B¥y gií ta i chøng minh cæng thøc Picard Łi vîi tam gi¡c tòy þ.
N‚u M l h…nh chœ nh“t vîi c¡c c⁄nh p; q th… f(M) = (p 1)(q 1)+
2(p + q)
1 = pq = Shcn, tøc l cæng thøc Picard óng Łi vîi h…nh
2
chœ nh“t. C›t h…nh chœ nh“t M th nh hai h…nh tam gi¡c (vuæng)
M1; M2 b‹ng ÷íng ch†o cıa nâ v sß döng k‚t qu£ f(M) = f(M1) + f(M2)
v f(M1) = f(M2) ta suy ra cæng thøc Picard óng Łi vîi tam gi¡c vuæng
câ hai c⁄nh gâc vuæng thuºc ÷íng thflng l÷îi.
+ B¥y gií tł tam gi¡c b§t ký, phı nâ b‹ng mºt h…nh chœ nh“t ta suy
ra i•u ph£i chøng minh.
+ CuŁi còng chó þ r‹ng måi a gi¡c •u câ th” c›t th nh c¡c tam
gi¡c bði c¡c ÷íng ch†o. Ta câ i•u ph£i chøng minh.
1.3.3 Mºt sŁ b i to¡n ¡p döng cæng thøc Picard
B i to¡n 1.14. Trong tam gi¡c ABC câ óng mºt i”m nguy¶n. Chøng
minh r‹ng i”m â l trång t¥m tam gi¡c.
Trong tam gi¡c ABC câ óng mºt i”m nguy¶n D. Khi â tam gi¡c ABC
÷æc ph¥n chia th nh 3 tam gi¡c ABD, ACD, BCD m mØi tam gi¡c
khæng chøa i”m nguy¶n n o ngo i ¿nh. Theo m»nh • tr¶n SABC =
1
SACD = SBCD = 2. Suy ra kho£ng c¡ch tł B v C ‚n AD b‹ng nhau,
v D thuºc ÷íng trung tuy‚n k· tł A. T÷ìng tü, D n‹m tr¶n trung tuy‚n k·
tł B. Ta k‚t lu“n D l trång t¥m tam gi¡c ABC.

23
B i to¡n 1.15. a. H¢y t‰nh di»n t‰ch nhä nh§t cıa ngô gi¡c lçi
nguy¶n câ th” ⁄t ÷æc.
b. N‚u ngô gi¡c tr¶n khæng lçi th… di»n t‰ch nhä nh§t b‹ng bao nhi¶u?
Theo V‰ dö 1.4.3 mºt a gi¡c lçi nguy¶n câ ‰t nh§t mºt i”m nguy¶n l
i”m trong, ngh¾a k 1; m 5. V“y di»n t‰ch ngô gi¡c b‹ng k+
m
1
2
1+ 5 1 =5 . M°t kh¡c luæn tçn t⁄i a gi¡c lçi nguy¶n câ di»n t‰ch b‹ng
2 2
5
2, chflng h⁄n c¡c ¿nh ngô gi¡c l O(0,0);A(0,1); B(1,2); C(2,1);D(1,0).
Ngô gi¡c n y câ 5 i”m nguy¶n tr¶n bi¶n v mºt i”m nguy¶n I(1,1) l
5
i”m trong. V“y theo cæng thøc Picard: SOABCD = .
2
3
Gåi l ngô gi¡c ìn khæng lçi th… sŁ i”m trong l k 0. S .
2
3 3
Ngô gi¡c ìn ABCDI câ di»n t‰ch b‹ng . V“y di»n t‰ch b‹ng .
2 2
H…nh 1.11: Mºt sŁ b i to¡n li¶n quan
B i to¡n 1.16. Câ th” °t ÷æc hay khæng mºt tam gi¡c vîi c⁄nh nguy¶n
( º d i c¡c c⁄nh l sŁ nguy¶n) sao cho c¡c ¿nh l c¡c nót l÷îi nh÷ng
khæng câ c⁄nh n o thuºc ÷íng thflng l÷îi?
Chøng minh. C¥u tr£ líi l câ. D„ ki”m tra ÷æc tam gi¡c vîi c¡c ¿nh câ
tåa º (0,0), (12,16), (-12,9) thäa m¢n y¶u cƒu • b i

24
B i to¡n 1.17. Câ hay khæng mºt ÷íng g§p khóc kh†p k‰n gçm mºt
sŁ l· c¡c o⁄n thflng nguy¶n b‹ng nhau m c¡c ¿nh l c¡c nót cıa l÷îi?
Chøng minh. C¥u tr£ líi l khæng. Gi£ sß tçn t⁄i ÷íng g§p khóc A1A2 :
: : An nh÷ y¶u cƒu, gçm c¡c o⁄n thflng câ º d i c. X†t v†c
tì . Gåi a
i
v b
i
l º d i ( ⁄i sŁ) h…nh chi‚u cıa v†c tì
! AiAi+1
! AiAi+1
t÷ìng øng tr¶n c¡c tröc tåa º Oy, Ox. Ta câ flng thøc c2
= a2
i + b2
i vîi
mØi i = 1 : : : n:: D÷ cıa ph†p chia c2
cho 4 l 0,1,2. N‚u c2
chia h‚t
cho 4 th… tł flng thøc tr¶n ta suy ra ai v bi công chia h‚t cho 4 ( x†t
c¡c d÷ khi chia cho 4 cıa ai v bi). Do â, ph†p và tü t¥m A1, t sŁ và tü
0,5 bi‚n ÷íng g§p khóc A1A2 : : : An th nh ÷íng g§p khóc B1B2 : : : Bn
ng›n hìn m c¡c ¿nh v¤n l nót cıa l÷îi. Ti‚p töc l m nh÷ v“y, d¤n tîi mºt
÷íng g§p khóc m c2
cıa nâ khæng chia h‚t cho 4. Chó þ r‹ng vîi måi
÷íng g§p khóc nh÷ th‚ th…
a1 + a2 + : : : + an = b1 + b2 + : : : + bn = 0
Tr÷íng hæp 1. N‚u d÷ khi chia c2
cho 4 l 1 th… mºt trong c¡c sŁ ai,bi
l l· v sŁ kia l chfin n¶n tŒng a1 + a2 + : : : + an 6= 0
Tr÷íng hæp 2. N‚u d÷ khi chia c2
cho 4 l 2 th… c£ hai sŁ ai,bi •u l· n¶n
tŒng a1 + a2 + : : : + an + b1 + b2 + : : : + bn l sŁ l·, kh¡c 0. Væ lþ.
B i to¡n 1.18. X†t tam gi¡c nguy¶n sao cho tr¶n c⁄nh cıa nâ khæng
chøa c¡c i”m nguy¶n n o kh¡c c¡c ¿nh. Chøng minh r‹ng n‚u mºt tam
gi¡c nh÷ v“y chøa trong nâ óng mºt i”m nguy¶n th… i”m n y ch‰nh l
trång t¥m cıa tam gi¡c.
B i to¡n 1.19. Gi£ sß mºt n-gi¡c nguy¶n lçi sao cho b¶n trong v c⁄nh
cıa nâ khæng chøa mºt i”m nguy¶n n o kh¡c c¡c ¿nh, chøng tä n 4.
B i to¡n 1.20. Chøng minh r‹ng vîi b§t k… hai i”m nguy¶n A,B sao
cho giœa o⁄n nŁi chóng khæng chøa i”m nguy¶n n o kh¡c, t…m ÷æc
i”m C sao cho tam gi¡c ABC l nguy¶n thıy. Kho£ng c¡ch tł C ‚n AB
b‹ng bao nhi¶u n‚u bi‚t º d i AB = d?
B i to¡n 1.21. X†t n i”m nguy¶n(n 3) sao cho b§t k… ba i”m n o
giœa chóng •u l“p th nh ÷æc tam gi¡c m c¡c trung tuy‚n cıa nâ
khæng c›t mºt i”m nguy¶n n o kh¡c. T…m sŁ n lîn nh§t câ th” ÷æc.

25
B i to¡n 1.22. Chøng minh r‹ng mØi h…nh vuæng câ c⁄nh b‹ng n
n‹m trong m°t phflng chøa khæng nhi•u hìn (n + 1)2
i”m nguy¶n.
1.4 Mºt sŁ øng döng cıa l÷îi tåa º nguy¶n
Vîi nhœng hi”u bi‚t v• l÷îi, ta câ th” câ mºt sŁ øng döng câ ‰ch sau.
1.4.1 Gi¡ trà væ t cıa h m l÷æng gi¡c
Ta thß °t c¥u häi: c¡c sŁ sau l sŁ hœu t hay sŁ væ t :
sin 1 ; cos ; tan 7 ?
19 55
p
Mºt c¡ch tŒng qu¡t: Vîi mØi gâc = (p; q 2 Z), c¡c sŁ cos ; sin ;
q
tan l sŁ hœu t hay sŁ væ t ? Rª r ng sin hœu t vîi = k ; =
k
2
(3k 1); cos hœu t vîi = (6k 1); tan hœu t vîi
; =
3 2 6
+ k (k 2 Z).
= k ; = 4
p
Ta s‡ th§y vîi c¡c gâc cÆn l⁄i = q gi¡ trà cıa c£ 3 h m sŁ •u l
sŁ væ t . ” chøng minh i•u â ta nh›c l⁄i hai k‚t qu£ ¢ bi‚t trong l÷æng
gi¡c.
K‚t qu£ 1.Vîi måi sŁ n 2 N h m sŁ cos nx l mºt a thøc h» sŁ nguy¶n,
b“c n Łi vîi cos x, tøc l cos nx = Pn(cos x), trong â, Pn(y) l a thøc h»
sŁ nguy¶n b“c n.
K‚t qu£ 2. H m sŁ sin nx l t‰ch cıa h m sin x vîi mºt a thøc b“c
n 1 cıa cos x; h» sŁ nguy¶n, tøc l : sin nx = sin x:Qn 1(cos x); trong
â, Qn 1(y) l a thøc h» sŁ nguy¶n b“c n 1.
M»nh • 1.11. Ta câ c¡c h» qu£ sau:
a. N‚u cos x l sŁ hœu t th… cos nx công l
v sin nx thæng ÷îc (khi sin x =6 0).
sŁ hœu t , cÆn c¡c sŁ sin x
b. N‚u (p; q) = 1 v cos q l sŁ hœu t th… cos q công l sŁ
hœu t .

26
Chøng minh.
a. Hi”n nhi¶n.
b. Nh“n x†t r‹ng n‚u p; q > 1; (p; q) = 1 th… tçn t⁄i sŁ tü nhi¶n k sao
cho kp khi chia cho q ÷æc d÷ l 1, tøc l : kp = rq + 1. Bði v“y n‚u
cospl sŁ hœu t th… sŁ sau công l sŁ hœu t :
q
cos k q = cos = ( 1)r
cos q
q
p rq + 1
p
Tł flng thøc â công suy ra : N‚u cos l sŁ hœu t th… cos công
q q
l sŁ hœu t .
p
Nh÷ v“y, sŁ cos vîi p; q > 1; (p; q) = 1 hœu t khi v ch¿ khi cos
q q
hœu t .
B¥y gií ta chøng minh øng döng
M»nh • 1.12. SŁ cos l sŁ væ t vîi måi sŁ tü nhi¶n q > 3.
q
p m1
2 N). Tr¶n m°t
Chøng minh. Gi£ sß cos = l sŁ hœu t (m1; n1
q n
1
phflng l§y h» tåa º Descarte vuæng gâc v tł gŁc tåa º O ta k· c¡c
tia t⁄o vîi h÷îng d÷ìng cıa tröc Ox c¡c gâc ; 2 ;:::; (2q 1) . Gåi
q
q q
A0; A1; A2; : : : ; A2q 1
l
giao cıa c¡c tia n y vîi ÷íng trÆn ìn và. a
gi¡c A0A1A2 : : : A2q 1
l
a gi¡c •u, i”m Ak câ tåa º cos
k
; sin
k
.
q q
V… sŁ cos l sŁ hœu t n¶n ho nh º cıa i”m Ak l sŁ hœu t :
q
k mk
cos = pk(cos ) =
q q n
k
rk
Tung º công b‹ng t‰ch c¡c sŁ hœu t Qk(cos ) = vîi sŁ sin ; k =
q s
k q
1; 2; : : : ; 2q 1; tåa º i”m A0 = (1; 0).

27

Nh÷ v“y, Ak = mk ; rk: sin . Kþ hi»u m¤u sŁ chung cıa hai ph¥n
n q
s k
k
sŁ mk ; rk l D th… Ak = Mk ;Nk : sin , trong â Mk; Nk l c¡c sŁ
n D D q
s
k
k
nguy¶n, k = 1; 2; : : : ; 2q 1. D; D: sin q (i; j l c¡c sŁ
B¥y gií x†t t§t c £ c¡ c i” m câ t åa º
i j
nguy¶n), c¡c i”m n y t⁄o th nh mºt l÷îi, hìn nœa c¡c ¿nh cıa 2q gi¡c
•u A0A1A2 : : : A2q 1 l c¡c nót cıa l÷îi. Nh÷ng i•u â khæng th” ÷æc
(xem phƒn tr÷îc) v… 2q 8. Bði v“y i•u gi£ sß "vîi q > 3 sŁ cos l
q
sŁ hœu t " l sai, v“y t§t c£ c¡c sŁ cos p(q > 3; (p; q) = 1) l væ t .
q
B i to¡n 1.23. Cho q 3; (p; q) = 1, chøng minh r‹ng:
p
a/ c¡c sŁ sin vîi q 6= 6 l c¡c sŁ væ t ,
q
p
vîi q 6= 4 l
b/ c¡c sŁ tan c¡c sŁ væ t .
q
TŒng hæp l⁄i câ th” ph¡t bi”u th nh
p p p
6= 0;
1
; 1 công nh÷
M»nh • 1.13. C¡c sŁ arcsin ; arccos vîi
q q q 2
p p
c¡c sŁ arctan vîi 6= 0; 1; ((p; q) = 1) •u l væ ÷îc vîi sŁ .
q q
B i to¡n 1.24. (IMO-2016,#3) Gi£ sß P = A1A2 : : : Ak l a gi¡c lçi trong
m°t phflng vîi c¡c ¿nh A1; A2; : : : ; Ak câ tåa º nguy¶n v n‹m tr¶n mºt
÷íng trÆn. Gåi S l di»n t‰ch cıa a gi¡c P. Mºt sŁ tü nhi¶n l· n thäa
m¢n b…nh ph÷ìng º d i c¡c c⁄nh cıa P •u chia h‚t cho n. Chøng minh
r‹ng 2S l sŁ nguy¶n chia h‚t cho n.
1.4.2 C¡c b i to¡n tr¶n æ vuæng
B£ng æ vuæng l mºt h…nh chœ nh“t ÷æc chia th nh m:n æ vuæng
b‹ng nhau, ta gåi l b£ng æ vuæng k‰ch th÷îc m n. Gi§y æ vuæng l
v‰ dö v• b£ng æ vuæng. B£ng æ vuæng l mºt phƒn cıa l÷îi nguy¶n
v… th‚ ta câ th” x†t c¡c b i to¡n tr¶n æ vuæng vîi nhœng hi”u bi‚t v• l÷îi
tåa º nguy¶n. Tuy nhi¶n do °c i”m cıa c¡c b i to¡n n y l chóng

28
câ t‰nh hœu h⁄n n¶n ta cÆn ¡p döng ÷æc c¡c ph÷ìng ph¡p nh÷
ph÷ìng ph¡p tæ m u, ph÷ìng ph¡p Dirichle, ph÷ìng ph¡p cüc h⁄n,...
Nguy¶n lþ Dirichle Thüc ch§t l ph÷ìng ph¡p ph£n chøng: N‚u em
nhŁt m thä v o n chi‚c lçng vîi m > n th… ‰t nh§t công câ mºt lçng
nhŁt khæng ‰t hìn 2 thä.
V‰ dö 1.4.1. Trong mºt b£ng æ vuæng 8 8 ng÷íi ta vi‚t v o mØi æ
vuæng mºt sŁ tü nhi¶n tł 1 ‚n 64. Chøng minh r‹ng luæn tçn t⁄i 2 æ
vuæng câ chung c⁄nh m hi»u c¡c sŁ ð hai æ â khæng nhä hìn 5.
V‰ dö 1.4.2. Tr¶n m°t phflng l§y 5 i”m nguy¶n ph¥n bi»t. Chøng
minh r‹ng tçn t⁄i trong chóng hai i”m nguy¶n sao cho o⁄n thflng nŁi
hai i”m n y i qua mºt i”m nguy¶n n o â.
Chøng minh. °t X1 = 2k + 1; X2 = 2k vîi k 2 Z. Måi i”m M(X1; X2) thuºc
mºt trong 4 t“p hæp: d1 = (X1; X1); d2 = (X1; X2); d3 = (X2; X1); d4 =
(X2; X2). BŁn t“p hæp n y ríi nhau vîi mØi k 2 Z. Theo nguy¶n t›c Dirichle
khi câ 5 i”m nguy¶n th… câ ‰t nh§t 2 i”m thuºc còng mºt trong bŁn t“p
hæp d1; d2; d3; d4. Gi£ sß hai i”m A1(x1; y1), A2(x2; y2) thuºc còng
trong 4 t“p hæp tr¶n. Khi â trung i”m I cıa A1A2 câ tåa

º I
x1 + x2
;
y1 + y2
. V… A1; A2 thuºc v o 1 t“p hæp trong 4 t“p hæp
2 2
tr¶n n¶n d„ ki”m tra ÷æc tåa º cıa I l c¡c sŁ nguy¶n. V“y trong 5 i”m
luæn tçn t⁄i hai i”m sao cho o⁄n thflng nŁi chóng i qua mºt i”m
nguy¶n n o â ( â ch‰nh l trung i”m cıa o⁄n thflng nŁi hai i”m).
V‰ dö 1.4.3. Chøng minh r‹ng trong ngô gi¡c lçi nguy¶n luæn tçn t⁄i
câ ‰t nh§t mºt i”m nguy¶n l i”m trong.
Chøng minh. Theo v‰ dö tr¶n trong 5 i”m A, B, C, D, E tçn t⁄i trung
i”m cıa o⁄n thflng nŁi 2 i”m l i”m nguy¶n. Câ hai kh£ n«ng cıa o⁄n
thflng:
Kh£ n«ng 1: o⁄n thflng n y l ÷íng ch†o ngô gi¡c, hi”n nhi¶n b i to¡n
÷æc gi£i.
Kh£ n«ng 2: o⁄n thflng n y l c⁄nh cıa ngô gi¡c, gi£ sß â l c⁄nh DE v E1 l
trung i”m cıa DE. Khi â ngô gi¡c ABCDE1 câ 5 i”m

29
nguy¶n v công l ngô gi¡c lçi. GiŁng nh÷ ngô gi¡c ABCDE, câ 2 tr÷íng
hæp: N‚u rìi v o kh£ n«ng 1 nh÷ tr¶n th… ta dłng l⁄i, n‚u rìi v o kh£
n«ng thø hai ta l°p l⁄i qu¡ tr…nh. Qu¡ tr…nh n y hœu h⁄n bði v“y sau
mØi b÷îc ta l⁄i t…m ÷æc mºt i”m nguy¶n n‹m tr¶n c⁄nh ngô gi¡c. Nh÷
v“y t…m ÷æc væ sŁ i”m nguy¶n n‹m tr¶n c⁄nh cıa ngô gi¡c. i•u væ lþ
n y chøng minh b i to¡n.
Nh“n x†t 1.4.1. Câ th” x†t a gi¡c lçi b§t ký mi„n sao câ 5 ¿nh câ tåa º
nguy¶n.
p p
V‰ dö 1.4.4. a. Tr¶n m°t phflng tåa º l§y i”m A( 2; 3). Chøng minh
r‹ng kho£ng c¡ch tł A ‚n c¡c i”m nguy¶n l æi mºt ph¥n bi»t. b.
Chøng minh r‹ng vîi måi sŁ nguy¶n d÷ìng n tçn t⁄i mºt h…nh trÆn
câ óng n i”m nguy¶n.
Chøng minh. a. L§y hai i”m B(x; y); C(u; v) vîi x; y; u; v 2 Z. Ta câ:
AB2
= (x
p
2)2
+ (y
p
3)2
; AC2
= (u
p
2)2
+ (v
p
3)2
. Ta s‡ chøng
minh n‚u câ hai i”m nguy¶n còng c¡ch •u i”m A th… hai i”m
§y tròng nhau.
p p p p
N‚u AB = AC =) (x 2)2
+(y 3)2
= (u 2)2
+(y 3)2
=)
x
2
+ y
2
u
2
v
2 p
u) + 2
p
sŁ nguy¶n
2 2(x 3(y v). V… v‚ tr¡i l
n¶n v‚ ph£i công l sŁ nguy¶n. V“y x = u; y = v. Suy ra B C.
p p
b. Do A( 2; 3) c¡ch c¡c i”m nguy¶n vîi kho£ng c¡ch æi mºt
kh¡c nhau n¶n ta s›p ÷æc c¡c i”m nguy¶n theo thø tü c¡c kho£ng
c¡ch t«ng dƒn: d1 < d2 < : : : < dn < : : :. L§y b¡n kinh R thäa m¢n dn
< R < dn+1. Khi â h…nh trÆn t¥m A, b¡n k‰nh R chøa óng n i”m
nguy¶n. (Ta câ th” chån A l i”m nguy¶n b§t ký).
B i to¡n 1.25. Cho h…nh vuæng c⁄nh d i 15 cm. Ng÷íi ta chia h…nh
vuæng â th nh 255 h…nh vuæng nhä k‰ch th÷îc 1 cm v ¡nh d§u
t¥m cıa mØi h…nh vuæng nhä b‹ng mºt d§u ch§m. Häi r‹ng trong
m°t phflng chøa h…nh vuæng ¢ cho vîi 27 ÷íng thflng li»u câ th” chia
h…nh vuæng â th nh c¡c phƒn sao cho mØi phƒn câ khæng qu¡ 1
d§u ch§m ÷æc khæng?

30
B i to¡n 1.26. Trong h…nh vuæng c⁄nh 1m ng÷íi ta v‡ c¡c ÷íng trÆn
b§t ký m tŒng c¡c b¡n k‰nh cıa chóng b‹ng 0,6 m. Chøng minh r‹ng
câ th” t…m ÷æc ÷íng thflng song song vîi c⁄nh cıa h…nh vuæng m tr¶n
÷íng thflng â câ nhœng i”m chung cıa ‰t nh§t 2 ÷íng trÆn ¢ cho.
V‰ dö 1.4.5. (BŒ • Minkovski) GŁc tåa º l t¥m Łi xøng cıa mºt
h…nh lçi H câ di»n t‰ch lîn hìn 4 ( ìn và æ vuæng). Chøng minh
r‹ng h…nh H chøa mºt i”m nguy¶n kh¡c gŁc tåa º.
Chøng minh. X†t t§t c£ nhœng h…nh lçi nh“n ÷æc tł H qua ph†p
tành ti‚n theo c¡c v†c tì m c£ hai tåa º •u chfin. Ta s‡ chøng minh khi
â tçn t⁄i ‰t nh§t 2 trong sŁ c¡c h…nh thu ÷æc câ giao kh¡c rØng.
Câ th” giîi h⁄n h…nh H bði mºt h…nh trÆn t¥m t⁄i gŁc tåa º, b¡n
k‰nh R 2 Z. Trong sŁ c¡c h…nh ang x†t, l§y c¡c h…nh vîi t¥m Łi xøng
câ tåa º khæng ¥m, nhä hìn ho°c b‹ng 2n. Khi â ta câ (n + 1)2
h…nh v
t§t c£ c¡c h…nh n y •u n‹m trong h…nh vuæng câ c⁄nh 2:(n + R).
N‚u c¡c h…nh n y khæng giao nhau vîi måi n th… (n + 1)2
SH 4(n +
R)2
.Nh÷ng v… SH > 4 n¶n câ th” chån n sao cho
n + R
<
r SH
. Ngh¾a
n + 1 4
l tçn t⁄i n sao cho câ ‰t nh§t hai h…nh câ giao kh¡c rØng.
Gi£ sß H1 câ t¥m Łi xøng O1; H2 câ t¥m Łi xøng O2 câ i”m chung
A. Ta s‡ khflng ành ÷æc trung i”m M cıa O1O2 thuºc c£ hai h…nh.
O B O B. V… h…nh câ t¥m Łi xøng
Th“t v“y l§y i”m B sao cho
!
1 =
!
2
n¶n B 2 H1. Do A; B 2 H1 n¶n trung i”m cıa AB công thuºc H1 (v…
t‰nh ch§t lçi) v trung i”m cıa AB công l trung i”m cıa O1O2. V“y
!
M 2 H1 v M khæng tròng vîi O1. Dòng ph†p tành ti‚n theo v†c tì O1O
bi‚n M th nh M0
, ta ÷æc M0
l i”m cƒn t…m.
V‰ dö 1.4.6. Tr¶n tí gi§y câ v‚t müc di»n t‰ch nhä hìn 1 ( ìn và di»n
t‰ch). Chøng minh r‹ng câ th” thi‚t k‚ mºt m⁄ng æ vuæng phı l¶n tí
gi§y sao cho khæng câ ¿nh n o cıa m⁄ng l÷îi rìi v o v‚t müc.
Chøng minh. Tr÷îc h‚t dòng mºt tí gi§y tr›ng rçi phı tí gi§y b‹ng mºt
m⁄ng l÷îi æ vuæng câ c⁄nh song song vîi c⁄nh tí gi§y. C›t c¡c æ
vuæng ìn và ra khäi tí gi§y v °t chóng chçng l¶n nhau. Gi£ sß müc
câ th” th§m tł æ vuæng n y sang æ vuæng kh¡c. Theo gi£ thi‚t, di»n

31
t‰ch v‚t müc nhä hìn 1 n¶n câ 1 i”m cıa h…nh vuæng khæng bà
th§m müc. Ti‚p theo ta tr£i c¡c æ vuæng n y v• và tr‰ ban ƒu th…
nhœng i”m n y s‡ t⁄o n¶n mºt h» thŁng ¿nh m⁄ng l÷îi æ vuæng ìn và.
Hi”n nhi¶n khæng câ i”m n o trong chóng n‹m trong v‚t müc.
B i to¡n 1.27. Cho h…nh phflng F câ di»n t‰ch lîn hìn 1. Chøng minh
!
AB câ tåa º nguy¶n.r‹ngtçnt⁄ihaii”mA,BthuºcFsaocho
Ph÷ìng ph¡p gi£i: p döng nguy¶n t›c Dirichle.
B i to¡n 1.28. Trong mºt a gi¡c lçi câ chøa khæng ‰t hìn m2
+1 i”m
nguy¶n. Chøng minh r‹ng trong a gi¡c tçn t⁄i m+1 i”m nguy¶n thflng h
ng.
B i to¡n 1.29. (VMO-2010,#5) Cho b£ng 3 3 v n l sŁ tü nhi¶n cho
tr÷îc. T…m sŁ c¡c c¡ch tæ m u khæng nh÷ nhau khi tæ mØi æ bði 1
trong n m u (hai c¡ch tæ m u gåi l nh÷ nhau n‚u c¡ch n y nh“n ÷æc tł
c¡ch kia b‹ng c¡ch quay quanh t¥m).
Ph÷ìng ph¡p gi£i: Thß vîi n = 1, 2 ” t…m ra h÷îng gi£i. Ta s‡ t…m
c¡ch ‚m sŁ c¡c lîp t÷ìng ÷ìng trong t§t c£ n9
c¡ch tæ m u. K‚t qu£:
n3
+ n5 n3
+ n9 n5
=n9
+ n5
+ 2n3
:
2 4 4
B i to¡n 1.30. Cho ngô gi¡c lçi ABCDE c¡c ¿nh câ tåa º nguy¶n.
Chøng minh r‹ng
a. Tçn t⁄i ‰t nh§t mºt i”m nguy¶n n‹m trong ho°c tr¶n c⁄nh ngô gi¡c
kh¡c c¡c ¿nh.
b. Tçn t⁄i ‰t nh§t mºt i”m nguy¶n n‹m trong ngô gi¡c kh¡c c¡c ¿nh.
c. Tçn t⁄i ‰t nh§t mºt i”m nguy¶n n‹m trong ho°c tr¶n c⁄nh ngô gi¡c
lçi A1B1C1D1E1 t⁄o th nh tł c¡c ÷íng ch†o cıa ngô gi¡c lçi ¢ cho.
Ph÷ìng ph¡p gi£i: Dòng nguy¶n t›c Dirichle v nguy¶n t›c cüc h⁄n. Nºi
dung cıa Ch÷ìng 1 kh¡ phong phó • c“p ‚n l÷îi nguy¶n vîi a gi¡c •u,
hai b i to¡n v• a gi¡c nßa •u v a gi¡c hƒu nºi ti‚p l÷îi nguy¶n còng
cæng thøc Picard. C¡c k‚t qu£ ð ¥y ÷æc ¡p döng v o b i

32
to¡n tr¶n æ vuæng, t‰nh di»n t‰ch a gi¡c tr¶n l÷îi, t‰nh gi¡ trà væ t cıa
h m l÷æng gi¡c,. . . Ch÷ìng ti‚p theo nâi v• quan h» giœa l÷îi
nguy¶n v ÷íng trÆn.

33
Ch÷ìng 2
L÷îi tåa º nguy¶n v ÷íng trÆn
Sau khi x†t c¡c a gi¡c tr¶n l÷îi thu ÷æc mºt sŁ k‚t qu£ tŁt, trong
ch÷ìng n y ta công °t ÷íng trÆn tr¶n l÷îi v x†t sŁ c¡c i”m nguy¶n trong
v tr¶n ÷íng trÆn. Thüc ch§t b i to¡n li¶n quan ‚n sŁ håc, câ th” gi£i
quy‚t ÷æc c¡c v§n • nh÷ bº ba Pythagoras, sŁ c¡c bi”u di„n mºt sŁ tü
nhi¶n th nh tŒng hai b…nh ph÷ìng... Düa tr¶n t i li»u tham kh£o [2] v
[5].
2.1 i”m nguy¶n nguy¶n tŁ
¢ câ nhi•u t i li»u giîi thi»u v• " i”m nguy¶n-l÷îi tåa º nguy¶n".
— ¥y chóng tæi nh›c l⁄i v bŒ sung th¶m v• c¡c i”m n y tr¶n cì sð k‚t
hæp giœa sŁ håc, ⁄i sŁ v h…nh håc, ÷a ra øng döng cıa c¡c kh¡i
ni»m v o mºt sŁ v§n • cıa sŁ håc v h…nh håc. C¡c i”m nguy¶n ìn
gi£n l c¡c c°p sŁ nguy¶n m ta kþ hi»u l t“p hæp
Z2
= f(a; b)ja; b 2 Zg:
Câ hai ph†p to¡n cºng v nh¥n tr¶n Z2
x¡c ành nh÷ sau
(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d); (a; b):(c; d) = (ac bd; ad + bc): (2.1)
” d„ quan s¡t câ th” bi”u di„n t“p hæp Z2
nh÷ l mºt "l÷îi nguy¶n tr¶n
m°t phflng", tøc l t“p hæp t§t c£ c¡c i”m tr¶n m°t phflng tåa º vîi ho nh
º v tung º •u l c¡c sŁ nguy¶n ho°c t“p hæp c¡c v†ctì vîi gŁc O, c¡c i”m
ngån l c¡c i”m n y. Khi â tŒng cıa hai i”m

34
nguy¶n bi”u di„n nh÷ tŒng v†ctì thæng th÷íng theo quy t›c h…nh b…nh
h nh cÆn ph†p nh¥n l ph†p to¡n n o â m ta bi”u di„n nh÷ tr¶n h…nh
v‡ 1.
H…nh 2.1: Cºng v nh¥n c¡c i”m nguy¶n
C¡ch thø ba bi”u di„n i”m nguy¶n z = (a; b) l d⁄ng tŒng a + bi,
trong â i kþ hi»u v†ctì ìn và cıa tröc Oy, tøc l c°p (0,1) = i. C°p (a; 0) l
c¡c i”m nguy¶n n‹m tr¶n tröc Ox, c°p (0; b) tøc l c¡c i”m nguy¶n cıa
tröc Oy câ d⁄ng bi. Chó þ r‹ng i2
= (0; 1):(0; 1) =
( 1; 0) = 1. Nh÷ v“y, trong G æi khi xu§t hi»n c«n b“c hai cıa sŁ
pp
¥m: 1 = i; 9 = 3i; .... MØi i”m nguy¶n z = a + bi 2 G
câ th” l“p i”m nguy¶n li¶n hæp vîi nâ: z = a bi 2 G v chu'n l : N(z) = a2
+ b2
2 Z
2
. Sß döng c¡c sŁ li¶n hæp, chu'n v cæng thøc ph†p nh¥n d„
nh“n ÷æc quy t›c ” chia i”m nguy¶n z = a + bi cho i”m nguy¶n w = c +
di. Cö th”,
z zw zw (a + bi)(c di) ac + bd bc ad
= = = = + i: (2.2)
w N(w) c
2
+ d
2
c
2 2
c
2 2
w:w + d + d
Công nh÷ c¡c sŁ nguy¶n: 1; 2 = 1 + 1; 3 = 1 + 1 + 1; :::; c¡c i”m nguy¶n
câ th” bi”u di„n qua sŁ 1 v i. Chflng h⁄n, 5 3i = 1+1+1+1+
1 + ( i) + ( i) + ( i). Nh÷ th‚, vîi c¡c i”m nguy¶n câ th” câ ành lþ
cì b£n giŁng nh÷ ành lþ cì b£n cıa sŁ håc ” ÷a vi»c nghi¶n cøu c¡c

35
i”m nguy¶n v• vi»c nghi¶n cøu c¡c " i”m nguy¶n nguy¶n tŁ"
2.1.1 Sü chia h‚t cıa c¡c i”m nguy¶n
N‚u vîi hai i”m nguy¶n a; b 2 Z2
t…m ÷æc c 2 Z2
sao cho a = b:c
th… ta nâi a chia h‚t cho b, kþ hi»u l a
..
.b hay b chia h‚t a, kþ hi»u l b|a.
V‰ dö 2
..
.1 + i v… 2 = (1 + i)(1 i). Tr¶n H…nh 2.2 ch¿ ra c¡c i”m
nguy¶n chia h‚t cho 2 + 3i.
Ta câ c¡c k‚t qu£ hi”n nhi¶n sau: Quan h» chia h‚t trong Z2
câ c¡c
t‰nh ch§t chia h‚t thæng th÷íng:
N‚u a
..
.b th… ac
..
.bc;
N‚u ac
..
.bc; c 6= 0 th… a
..
.b;
N‚u a
..
.b; b
..
.c th… a
..
.c.
. .
Trong lþ thuy‚t c¡c sŁ nguy¶n ta câ tł a; b 2
. .
Z, a.b; b.a k†o theo
a
. = b.. Trong c¡c i”m nguy¶n Z
2
i•u â khæng óng, chflng h⁄n:
. .
a. a, a. ia. Tuy nhi¶n ta câ
. .
. .
ib: (2.3)
a.b; b. a =) a = b ho°c a =
Chøng minh. Th“t v“y, gi£ sß a = c khi â c v c 1
= b theo gi£
a
b
thi‚t, l c¡c i”m nguy¶n. Hi”n nhi¶n 1 = N(1) = N(c:c 1
). Tł â, N(c) = N(c
1
) = 1 (v… N(c) v N(c 1
) l c¡c sŁ nguy¶n d÷ìng thæng th÷íng). Nh÷ng
ch¿ tçn t⁄i 4 i”m nguy¶n vîi chu'n b‹ng 1, â l c¡c sŁ 1, -1, i, i m trong
phƒn ti‚p theo ta s‡ gåi l c¡c ìn và.
Hai i”m nguy¶n ÷æc gåi l li¶n k‚t n‚u th÷ìng cıa chóng l mºt trong
c¡c ìn và 1; 1; i; i. i”m nguy¶n p ÷æc gåi l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ n‚u p
khæng câ ÷îc kh¡c khæng n o kh¡c trł c¡c li¶n k‚t vîi chóng v c¡c ìn
và. Chflng h⁄n, c¡c sŁ 3 v 2 + 3i l c¡c i”m nguy¶n nguy¶n tŁ cÆn 5
khæng ph£i l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ v… 5 = (2+i)(2 i).
” chøng minh 3 v 2 + 3i l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ cƒn ph£i sß döng
h» thøc N(a)N(b) = N(ab) v ch⁄y lƒn l÷æt qua c¡c i”m nguy¶n m câ
chu'n l ÷îc cıa chu'n cıa sŁ tr÷îc nâ.

36
.
.
H…nh 2.2: a.C¡c i”m nguy¶n.(2 + 3i); b. C¡c i”m nguy¶n li¶n k‚t
2.1.2 ành lþ cì b£n cıa c¡c i”m nguy¶n
Nh›c l⁄i ành lþ cì b£n cıa sŁ håc c¡c sŁ nguy¶n:
ành lþ 2.1. MØi sŁ nguy¶n a 6= 0 •u bi”u di„n ÷æc d÷îi d⁄ng t‰ch
a = :pe
11
pe
22
: : : pe
nn
trong â, n > 0, l mºt trong c¡c ìn và, pi l c¡c sŁ nguy¶n tŁ ph¥n bi»t
(tøc l khæng li¶n k‚t) cÆn e1; e2; : : : en l c¡c sŁ nguy¶n d÷ìng. Ph†p
ph¥n t‰ch nh÷ tr¶n l duy nh§t sai kh¡c thø tü c¡c nh¥n tß.
T÷ìng tü ta câ k‚t qu£ Łi vîi c¡c i”m nguy¶n nguy¶n tŁ:
ành lþ 2.2. MØi i”m nguy¶n g 6= 0 •u bi”u di„n ÷æc d÷îi d⁄ng
g = :g1
e1
g2
e2
: : : gn
en
trong â, l mºt trong c¡c ìn và, g1; g2; : : : ; gn l c¡c i”m nguy¶n
nguy¶n tŁ ph¥n bi»t (tøc l khæng li¶n k‚t) cÆn e1; e2; : : : ; en l c¡c
sŁ
mô d÷ìng. Ph†p ph¥n t‰ch nh÷ tr¶n l duy nh§t theo ngh¾a: måi ph¥n
e0 e0 e0
t‰ch kh¡c cıa g th nh c¡c nh¥n tß nguy¶n tŁ câ d⁄ng = 0:h11 h22 : : : hnn
vîi bº c¡c sŁ nguy¶n tŁ h1; h2; : : : ; hn kh¡c vîi bº c¡c sŁ nguy¶n tŁ g1;
g2; : : : ; gn b‹ng c¡ch thay Œi c¡c phƒn tß v thay Œi phƒn tß th nh
phƒn tß li¶n k‚t, cÆn bº c¡c sŁ mô ch¿ kh¡c v• thø tü.

37
Chøng minh. ” chøng minh sü tçn t⁄i cıa ph¥n t‰ch tr¶n ta ti‚n h nh
quy n⁄p theo sŁ N(g) cıa i”m nguy¶n g:
+Ph†p ph¥n t‰ch óng vîi c¡c ìn và vîi chu'n l 1: â l c¡c ìn và 1, i. Gi£
sß N(g) = n v ph†p ph¥n t‰ch óng vîi måi i”m nguy¶n câ chu'n nhä hìn
n. N‚u g l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ th… ành lþ ÷æc chøng minh, tr¡i l⁄i th…
g = b:c vîi N(b) > 1; N(c) > 1. V… N(g) = N(b):N(c) ta nh“n ÷æc N(b) <
n; N(c) < n. Theo gi£ thi‚t quy n⁄p, b v c ph¥n t‰ch ÷æc th nh c¡c nh¥n
tß nguy¶n tŁ, ngh¾a l i”m nguy¶n g ÷æc ph¥n t‰ch nh÷ tr¶n.
+ T‰nh duy nh§t ÷æc chøng minh phøc t⁄p hìn v chia l m ba b÷îc
B÷îc 1. X†t bŒ • sau (BŒ • v• ph†p chia câ d÷): Vîi mØi c°p i”m
nguy¶n a 6= 0 v b •u tçn t⁄i i”m nguy¶n c (th÷ìng khæng ı cıa b
cho a) sao cho N(b ca) < N(a).
Th“t v“y, gi£ sß
b = x + iy l th÷ìng cıa b cho a (nh“n ÷æc tł cæng
a
thøc ph†p chia). i”m x + iy khæng nh§t thi‚t l i”m nguy¶n (x ho°c y câ
th” khæng nguy¶n) nh÷ng nâ câ th” l mºt trong c¡c i”m (x; y) tr¶n m°t
phflng Oxy. Ta x†t i”m cƒn t…m c ð l¥n c“n i”m nguy¶n (x; y). Khi â
(x; y) n‹m trong h…nh vuæng ìn và t¥m c, v“y kho£ng c¡ch giœa
c v
b = x + iy nhä hìn 1, v i•u â óng c£ Łi vîi chu'n cıa hi»u
a
cıa chóng(b…nh ph÷ìng kho£ng c¡ch n y), tøc l : N( b) c) < 1. Bði
v“y,
a
a(a c) = N(a)N a c < N(a)
N(b ca) = N
b b
B÷îc 2. ” thu“n ti»n ta °t a = a0; b = a1 v vi‚t d¢y c¡c ph†p chia câ d÷
sau:
a0 = q1a1 + a2 trong â; N(a2) < N(a1)
a
1 = q2a1 + a3 trong â; N(a3) < N(a2)
a
n 2
= q
n 1
a
n 1
+ a
n
;
trong â; N(an) < N(an 1)
a
n
= q
n 1
a
n 1

38
Qu¡ tr…nh n y k†o d i khi d÷ cıa chu'n kh¡c 0. V… c¡c chu'n n y l c¡c
sŁ nguy¶n, ìn i»u gi£m n¶n qua mºt sŁ hœu h⁄n b÷îc ta nh“n ÷æc d÷
b‹ng 0. Ta kþ hi»u an l d÷ cuŁi còng kh¡c 0. N‚u tł d¢y tr¶n, i
ng÷æc tł d÷îi l¶n tr¶n ta ÷æc:
anjan 1; anjan 2; : : : ; anja0:
v d„ chøng minh ÷æc
N‚u xnja0; xja1 th… xja2; xja3; : : : ; xjan:
Công theo d¢y tr¶n ta th§y c¡c i”m a2; : : : ; a2 bi”u di„n ÷æc d÷îi d⁄ng
aj = xja0 + yja1, °c bi»t:
an = xna0 + yna1: (2.6)
(Nh÷ v“y i”m an l "÷îc chung lîn nh§t" cıa a0 v a1 theo ngh¾a måi
i”m nguy¶n chia h‚t cho a0; a1 ho°c li¶n k‚t vîi an ho°c câ chu'n nhä
hìn N(an)).
Thu“t to¡n t…m ÷îc chung lîn nh§t công ÷æc gåi l thu“t to¡n Euclid. Tł
â d„ d ng chøng minh ÷æc m»nh • "N‚u p l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ
th… ab chia h‚t cho p k†o theo a chia h‚t cho p ho°c b chia h‚t cho
p". B÷îc 3. Ta quay l⁄i k‚t thóc ph†p chøng minh ành lþ. N‚u x£y ra
flng thøc p1 : : : pn = q1 : : : qn trong â pi; qi l c¡c i”m nguy¶n nguy¶n
tŁ, sß döng bŒ • câ th” lƒn l÷æt rót gån c¡c nh¥n tß b¶n tr¡i v b¶n
ph£i, suy ra m = n v c¡c nh¥n tß nguy¶n tŁ tròng nhau.
Nh“n x†t 2.1.1. Chó þ r‹ng vi»c tr…nh b y ph†p chøng minh tr¶n
kh¡c vîi ph†p chøng minh ành lþ cì b£n ð chØ ta ph£i dòng so s¡nh
chu'n trong thu“t to¡n Euclid
2.2 ÷íng trÆn tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n
B i to¡n °t ra l : H¢y ‚m sŁ i”m nguy¶n N(R) n‹m trong ÷íng
trÆn
K(R) = f(x; y)jx2
+ y2
Rg:
(2.5)
(2.4)

39
trong â,R 0 công l sŁ nguy¶n. SŁ N(R) b‹ng di»n t‰ch cıa h…nh F
(R) t⁄o th nh tł c¡c h…nh vuæng ìn và cıa l÷îi m ð gâc tr¡i d÷îi n‹m trong
K(R).
H…nh 2.3: F(R) v N(R)
V… kho£ng c¡ch lîn nh§t giœa hai i”m cıa h…nh vuæng ìn và
khæng p
v÷æt qu¡ 2 n¶n t§t c£ c¡c h…nh vuæng giao vîi ÷íng trÆn x2
+y2
=
R2
s›p x‚p trong h…nh v nh kh«n
f(x; y)j(R p 2)2
< x2
+ y2
< (R +
p
2)2
g:
(H…nh v‡ bi”u di„n vîi R = 4)Di»n t‰ch cıa h…nh v nh kh«n b‹ng
(R +
p
p 2)2 = 4
p
R:
2)2
(R 2
v bði v“y, jSF (R) R2
j < 4
p
2R, trong â, SF (R) kþ hi»u di»n t‰ch
N(R)
p
N(R) R
cıa h…nh F. Nh÷ v“y, 2
4 2
. Ngh¾a l , vîi måi R ı lîn ta
R
câ flng thøc gƒn óng . Ch‰nh x¡c hìn câ th” ph¡t bi”u th nh
R2
k‚t qu£ sau:
M»nh • 2.1. (K.Gauss) Vîi c¡c kþ hi»u nh÷ tr¶n ta câ:
lim N(R) = (2.7)
R2
!
R !1

40
Nh to¡n håc thi¶n t i K. Gauss ¢ x§p x¿ cæng thøc 2.7 b‹ng c¡ch l“p
b£ng t÷ìng øng vîi c¡c gi¡ trà gƒn óng cıa sŁ
R 10 20 30 100 200 300
N(R) 317 1257 2831 31517 125629 282697
3,17 3,1425 3,134 3,1417 3,140725 3,14107
Ph†p chøng minh flng thøc (2.7) g›n li•n vîi mºt trong c¡c t‰nh ch§t
cì b£n cıa l÷îi Z2
: Di»n t‰ch måi h…nh b…nh h nh sinh ra l÷îi Z2
, •u
b‹ng 1. H…nh b…nh h nh nh÷ v“y công ÷æc gåi l h…nh b…nh h nh
cì sð cıa l÷îi Z2
. Nh›c l⁄i r‹ng l h…nh b…nh h nh cì sð cıa l÷îi Z2
n‚u
nâ chia m°t phflng th nh c¡c h…nh b…nh h nh b‹ng nhau, t“p hæp
c¡c ¿nh cıa c¡c h…nh b…nh h nh tròng vîi t“p hæp c¡c nót cıa l÷îi Z2
Gi¡ trà tuy»t Łi cıa hi»u giœa di»n t‰ch h…nh trÆn K(R) v di¶n
t‰ch h…nh F t⁄o tł t“p hæp t§t c£ c¡c h…nh b…nh h nh øng vîi c¡c
nót trong K(R), nhä hìn di»n t‰ch h…nh v nh kh«n
f(x; y)j(R a)2
x2
+ y2
(R + a)2
g:
trong â, a pl ÷íng ch†o lîn nh§t cıa h…nh b…nh h nh (tr¶n h…nh v‡, R = 4;
a = 13). N‚u S = th… SF = N(R) v do â,
j :N(R) R2
j < (R + a)2
(R a)2
= 4a R
N(R)
Ngh¾a l < 4a
. Cho R ti‚n ra væ t“n, theo chøng minh tr¶n
R2
R:
ta nh“n ÷æc: N(R)
= lim = ; tøc l = 1
R2
n!1
Ta cÆn nh“n ÷æc mºt h» qu£ cıa (2.7): ⁄i l÷æng N(R) bi”u di„n sŁ
t§t c£ c¡c c°p sŁ nguy¶n s›p thø tü (x; y) 2 Z2
thäa m¢n x2
+ y2
R2
.
Vîi mØi nót (x; y) 2 Z2
sŁ x2
+y2
l sŁ nguy¶n, bði v“y n‚u kþ hi»u r(k)
l sŁ c¡c c¡ch bi”u di„n ph¥n bi»t cıa sŁ tü nhi¶n k th nh tŒng cıa hai
b…nh ph÷ìng c¡c sŁ nguy¶n (c¡c bi”u di„n k = a2
+ b2
= ( a)2
+ b2
=
a2
+ ( b)2
= ( a)2
+ ( b)2
coi l æi mºt ph¥n bi»t) th…
N(R) = r(0) + r(1) + : : : + r(n); vîi n = R2
:

41
M»nh • 2.2. (K.Gauss) Ta câ flng thøc sau
lim r(0) + r(1) + : : : + r(n) =
!
n
n!1
Chó þ r‹ng b£n th¥n h m r(n) khæng ch‰nh quy. Chflng h⁄n r(0) = 1;
r(1) = 4; r(2) = 4; r(3) = 0; r(4) = 4; r(5) = 8; r(6) = 0; r(7) = 0; r(8) = 4;
: : : ; r(21) = 0; r(22) = 0; r(23) = 0; r(24) = 0; r(25) = 12.
2.2.1 SŁ c¡c bi”u di„n cıa mºt sŁ tü nhi¶n th nh tŒng hai b…nh
ph÷ìng
” t…m sŁ c¡c ph¥n t‰ch n = a2
+ b2
vîi n 2 N tòy þ ta câ k‚t qu£ sau
M»nh • 2.3. Vîi måi n 2 N, sŁ c¡c i”m nguy¶n trong ÷íng trÆn p
b¡n k‰nh n b‹ng sŁ c¡c c¡ch ph¥n t‰ch sŁ nguy¶n n th nh tŒng hai
b…nh ph÷ìng, óng b‹ng sŁ r(n) x¡c ành nh÷ sau:
N‚u n khæng chia h‚t cho 2 th… r(n) = 4[d1(n) d3(n)], vîi d1(n); d3(n)
l c¡c ÷îc cıa n thø tü câ d⁄ng 4n + 1; 4n + 3;
N‚u n = 2 ps
11
ps
22
: : : ps
kk
:q1
t1
: : : te
ll
l ph¥n t‰ch ch‰nh t›c cıa n
th nh c¡c nh¥n tß nguy¶n tŁ vîi pi câ d⁄ng 4k + 1; qj câ d⁄ng 4k + 3 th…
r(n) =
(
4(s + 1) : : : (s + 1) khi t ; : : : ; t •u chfin
0 1 k trong1
tr÷íngl
hæp ng÷æc l⁄i.
Tr¶n h…nh v‡ 2.4:
H…nh 2.4: r(4)=4;r(25)=12

42
Vîi n = 4, ta câ 4 c¡ch ph¥n t‰ch
22
=02
+22
=22
+02
=02
+( 2)2
= ( 2)2
+ 02
:
Vîi n = 25 ta câ 12 c¡ch ph¥n t‰ch 52
= ( 5)2
+02
= ( 4)2
+ ( 3)2
=
( 3)2
+( 4)2
=(0)2
+( 5)2
=32
+( 4)2
=42
+( 3)2
=02
+52
=
42
+32
= 32
+42
=02
+52
=( 3)2
+42
=( 4)2
+(3)2
.
Tł ành lþ 2.3 ta rót ra: Ph÷ìng tr…nh x2
+ y2
= 5k
; (k 0) câ 4(k + 1)
k
nghi»m nguy¶n, nâi c¡ch kh¡c, ÷íng trÆn vîi b¡n k‰nh 52 , t¥m ð gŁc
tåa º s‡ i qua óng 4(k + 1) nót cıa l÷îi Z2
.
2.2.2 ÷íng trÆn Sinhsel
Tr…nh b y phƒn n y düa theo [2]. ƒu ti¶n ta câ nh“n x†t:Vîi måi
p 1
sŁ tü nhi¶n n tçn t⁄i h…nh trÆn vîi t¥m t⁄i i”m ( 2; ) chøa trong nâ
3
óng n i”m nguy¶n cıa l÷îi.
” chøng minh nh“n x†t n y ta h¢y chøng tä: n‚u (x1; y1); (x2; y2) l
hai nót ph¥n bi»t cıa l÷îi th… kho£ng c¡ch tł chóng ‚n i”m (
p
;1 )
2
p 2 1 2 p 2
3
khæng b‹ng nhau. Th“t v“y, n‚u (x1 2) + (y1 ) = (x2 2) +
1 2 p
3
2 2 2 2 2 1
(y2 ) th… x1 x2 + y1 y2 y 2 2(x1 + x2) = 0. Tł â rót ra:
3
3
2 2
x1 = x2 v y2
2
y1
2
y1 y2 = 0. flng thøc thø hai t÷ìng ÷ìng
3 3
y1
1 2
= y2
1 2
() 3y1 1 = (3y2 1):
3 3
Tøc l ho°c y1 = y2 ho°c 3(y1 + y2) = 2, nh÷ng flng thøc sau khæng
x£y ra. Nh÷ v“y, x1 = x2; y1 = y2. Ta l§y d¢y c¡c b¡n k‰nh R1 < R2 <
: : : < Rn < : : :, n‚u Rn < R < Rn+1 th… ÷íng trÆn t¥m p 2; 3 , b¡n
1
k‰nh R chøa trong nâóng n i”m nguy¶n.
C¥u häi cƒn quan t¥m v khâ hìn l : vîi sŁ n cho tr÷îc düng ÷æc
hay khæng ÷íng trÆn i qua n i”m nót l÷îi?.
D„ t…m ÷æc ÷íng trÆn i qua 1,2,3 v 4 i”m. Công d„ ÷a ra c¡c v‰
dö vîi n = 8; n = 12 (H…nh v‡ 2.5, 2.6). t tƒm th÷íng hìn l tr÷íng

43
hæp n = 6 (H…nh v‡ 2.5). Tuy nhi¶n vîi n = 5; 7; 17; : : : th… vi»c
düng ÷íng trÆn khæng h• ìn gi£n.
M»nh • 2.4. (A. Singsel) Vîi måi sæ tü nhi¶n n •u tçn t⁄i ÷íng trÆn i
qua óng n nót l÷îi
Chøng minh. K‚t qu£ thø hai trong (2.3) cho ph†p k‚t lu“n r‹ng: vîi
måi n •u düng ÷æc ÷íng trÆn m tr¶n â câ óng 4n nót l÷îi. ”
l m i•u â ch¿ cƒn l§y t¥m ÷íng trÆn l gŁc tåa º cÆn b¡n k‰nh chån
l R = 5(k 1)=2
(Xem chó þ sau ành lþ 2.3).
H…nh 2.5: n=8, n=6
H…nh 2.6: n=12

44
H…nh v‡ 2.5 vîi 6 i”m n‹m tr¶n ÷íng trÆn gæi þ cho ta suy ngh¾ x†t
÷íng trÆn t¥m l i”m
1
; 0 . N‚u l§y b¡n k‰nh l sŁ R =
5(k 1)=2
2 2
th… ph÷ìng tr…nh ÷íng trÆn câ d⁄ng
1 2 5k 1
x + y2
= (2.8)
2 4
hay
(2x 1)2
+ (2y)2
= 5k
1 (2.9)
Công nh÷ chó þ ð tr¶n, ph÷ìng tr…nh
a2
+ b2
= 5k 1
câ 4 nghi»m. Rª r ng trong ph÷ìng tr…nh (2.10) mºt trong c¡c sŁ a; b ph£i
chfin, sŁ kia l·. Trong ph÷ìng tr…nh (2.9), t‰nh ch§t cıa mØi sŁ h⁄ng
l cŁ ành v… v“y mØi nghi»m trong hai nghi»m (a; b); (b; a) cıa (2.10)
nh“n ÷æc óng mºt nghi»m cıa (2.9). Nh÷ v“y ph÷ìng tr…nh (2.9) câ óng
2k nghi»m ( b‹ng mºt nßa sŁ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.10)).
Nh÷ v“y ta câ th” düng ÷æc ÷íng trÆn i qua n = 2k i”m. Chflng
h⁄n vîi 10 i”m tr¶n l÷îi, ch¿ vi»c düng ÷íng trÆn (2.9) øng vîi k = 5.
T§t nhi¶n khæng th” l§y i”m
1 ; 0 l m t¥m ÷íng trÆn khi sŁ n
2
l·, n = 2k + 1. Tr÷íng hæp n y ta s‡ düng ÷íng trÆn t¥m
1
; 0 , b¡n
3
k‰nh R =5k
: (x 1 )2
+ y2
= 52k
hay
3 3 9
(3x 1)2
+ (3y)2
= 52k
: (2.11)
Nh÷ng k‚t lu“n cıa m»nh • (2.3), ph÷ìng tr…nh
a2
+ b2
= 52k
(2.12)
câ 4(2k+1) nghi»m. B‹ng c¡ch x†t d÷ cıa ph†p chia cho 3 (b…nh
ph÷ìng cıa sŁ nguy¶n khi chia cho 3, câ d÷ l 0 v 1), ta rót ra mºt trong
c¡c sŁ a; b chia h‚t cho 3, sŁ cÆn l⁄i khæng chia h‚t cho 3. Gi£ sß a
0(mod3); b 1(mod3). Khi â, trong 4 c°p (a; b); (a; b); (b; a); ( b; a)
(2.10)

45
ch¿ câ óng mºt c°p l nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.11). Do â sŁ
nghi»m cıa nâ ‰t hìn 4 lƒn sŁ nghi»m cıa ph÷ìng tr…nh (2.12), tøc l
(2.11) câ 2k + 1 nghi»m. Chflng h⁄n vîi k = 2 tøc n = 5, sau khi düng
÷íng trÆn (3x 1)2
+ (3y)2
= 54
, ta ÷æc 5 i”m nguy¶n tr¶n nâ:
(7,5),(7,-5),(-2,8),(-8,0),(-2,-8).
C¡c ph÷ìng tr…nh (2.8), (2.11) ÷æc gåi l c¡c ÷íng trÆn Singsel.
Chó þ r‹ng vîi sŁ n cho tr÷îc c¡c ph÷ìng tr…nh n y ch÷a ch›c ¢ cho
÷íng trÆn nhä nh§t i qua n i”m cıa l÷îi. Chflng h⁄n vîi n = 4 câ
p 2
th” l§y b¡n k‰nh ÷íng trÆn l , vîi n = 9, ÷íng trÆn Sinhsel câ
2
b¡n k‰nh 625 nh÷ng ÷íng trÆn vîi t¥m ( 1; 0), b¡n k‰nh 65 công i
3
3 3
qua 9 nót cıa l÷îi.
C¡c b i to¡n kh¡c:
B i to¡n 2.1. Chøng minh r‹ng vîi mØi sŁ tü nhi¶n n tçn t⁄i qu£ cƒu
p p 1
) chøa trong nâ óng n
i”m cıa l÷îi Z3
.t¥m(2;3;
3
B i to¡n 2.2. Gi£ sß ÷íng trÆn (x x0)2
+ y2
= R
2
l ÷íng trÆn
Singsel i qua óng n i”m nguy¶n cıa Z2. Chøng minh r‹ng tr¶n m°t p
0
B i to¡n 2.3. Chøng minh r‹ng vîi måi sŁ tü nhi¶n n •u tçn t⁄i ÷íng
trÆn i qua óng n i”m cıa m°t phflng thuºc l÷îi tam gi¡c •u; l÷îi löc gi¡c
•u.
B i to¡n 2.4. Chøng minh r‹ng n‚u ‰t nh§t mºt tåa º cıa t¥m ÷íng
trÆn l sŁ væ t th… tr¶n ch‰nh ÷íng trÆn t…m ÷æc khæng qu¡ hai
i”m câ tåa º hœu t .
B i to¡n 2.5. Chøng minh r‹ng
a. Tçn t⁄i ÷íng trÆn câ t¥m t⁄i nót l÷îi nguy¶n m tr¶n nâ khæng câ
i”m hœu t n o.
b. Tçn t⁄i ÷íng trÆn m tr¶n nâ chøa óng mºt i”m hœu t .
c. Tçn t⁄i ÷íng trÆn m tr¶n nâ chøa óng hai i”m hœu t .

46
d. N‚u ÷íng trÆn t¥m ð gŁc tåa º (0,0) i qua ‰t nh§t mºt i”m hœu t
th… tr¶n ÷íng trÆn â s‡ chøa væ sŁ c¡c i”m hœu t cıa m°t
phflng.
B i to¡n 2.6. Tr¶n gi§y k· æ, k‰ch th÷îc mØi æ l 1 1 v‡ ÷íng trÆn
b¡n k‰nh R, t¥m l i”m nót. Chøng minh r‹ng n‚u tr¶n ÷íng trÆn câ
p
1988 i”m nót cıa l÷îi th… ho°c R ho°c R 2 l sŁ nguy¶n.
B i to¡n 2.7. Chøng minh r‹ng vîi måi n chfin, tçn t⁄i ÷íng trÆn t¥m
(
1
3; 0) i qua óng n nót cıa l÷îi Z2
.
2.3 Mºt sŁ øng döng v o sŁ håc
2.3.1 Bº ba Pythagoras
Bº ba sŁ tü nhi¶n (a; b; c) mØi sŁ l º d i c⁄nh tam gi¡c vuæng, tøc
l thäa m¢n i•u ki»n cıa ành lþ Pythagore a2
+ b2
= c2
. Ta s‡ sß
döng ành lþ cì b£n v• i”m nguy¶n ” t…m t§t c£ c¡c bº ba â.
Ta câ c2
= (a + bi)(a bi). Ph¥n t‰ch c v a + bi th nh c¡c nh¥n tß
nguy¶n tŁ:
c = pe1
pe2
: : : pe
n ; a + bi = ql1
ql2
: : : ql
m sk1
sk2
: : : skl
; qi = qi; si 6=
si 1 2 n 1 2 m 1 2 l
= ( q1
l1 q2
l2 : : : qm
l
m ):(sk
11 (sk
22 (sk
ll ):( :q1
l
1 q2
l
2 : : : qm
l
m ):(q1
l
1 s2
k
2 : : : sl
k
l ) =
= :q1
2l1
q2
2l2
: : : qm
2l
m :sk
11
sk
22
: : : sk
ll
:s1
k
1 s2
k
2 : : : sl
k
l . Tł ¥y
ki = 2ri. Bði v“y, c = d(u+iv)(u iv) vîi d = q1
2l1
q2
2l2
: : : qm
2l
m ; (u+iv) =
sr
11
r2
k2
: : : sr
ll
. Khi â, c2
= d2
(u + iv)2
(u + iv)2
= [d(u + iv)]2
:[d(u +
iv)]2
. ‚n ¥y sß döng sü ph¥n t‰ch duy nh§t th nh c¡c nh¥n tß nguy¶n
tŁ( ành lþ cì b£n) ta ÷æc:
a + bi = d(u + iv)2
= d(u2
v2
) + (2duv)i
Tł â suy ra:
M»nh • 2.5. MØi bº ba Pythagore bi”u di„n ÷æc d⁄ng
a = d(u2
v2
); b = 2duv; c = d(u2
+ v2
); u; v 2 N:

47
2.3.2 C¡c d⁄ng cıa i”m nguy¶n nguy¶n tŁ
Mºt øng döng thø hai quan trång l ta câ th” mæ t£ t§t c£ c¡c i”m
nguy¶n nguy¶n tŁ.
M»nh • 2.6. C¡c i”m nguy¶n nguy¶n tŁ câ mºt trong ba d⁄ng sau:
(A) 1+i v c¡c i”m li¶n k‚t vîi nâ,
(B) C¡c sŁ nguy¶n tŁ thæng th÷íng d⁄ng p=4k+3 v c¡c li¶n k‚t,
(C) Nh¥n tß a+bi cıa sŁ nguy¶n tŁ p thæng th÷íng d⁄ng 4k + 1; k 2 N
Chøng minh. X†t i”m nguy¶n nguy¶n tŁ q.
BŒ •: i”m nguy¶n nguy¶n tŁ q l ÷îc cıa óng mºt sŁ nguy¶n tŁ p. Th“t
v“y, ta luæn câ qjN(q) n¶n q chia h‚t mºt nh¥n tß nguy¶n tŁ n o
â cıa N(q). M°t kh¡c q khæng th” chia h‚t 2 sŁ nguy¶n tŁ ph¥n bi»t l
v r v… ta luæn t…m ÷æc c¡c sŁ nguy¶n m v n sao cho ml + rn = 1.
BŒ • ÷æc chøng minh.
Nh÷ v“y, i”m nguy¶n tŁ q cho tr÷îc luæn luæn chia h‚t mºt sŁ
nguy¶n tŁ p(thæng th÷íng). Tøc l q = a + bijp hay q:t = p, vîi t 2 Z2
.
Ta suy ra:N(q)N(t) = N(p) = p2
. Bði v“y câ hai kh£ n«ng
"
N(q) = a2 + b2 = p;
t l
t = q = a bi (b)
N(t) = 1; tøc l ìn và v q li¶n k‚t vîip (a)
B¥y gií ta x†t 3 tr÷íng hæp Łi vîi sŁ nguy¶n tŁ p:
N‚u p = 2 = 12
+ 12
= (1 + i)(1 i) = i(1 i2
). Khi â, c¡c i”m
nguy¶n
1 + i = (1; 1); 1 i = (1; 1); 1 + i = ( 1; 1); 1 i = ( 1; 1) l
c¡c i”m li¶n k‚t vîi nhau. Ta câ d⁄ng (A).
N‚u p = 4k + 3, flng thøc trong (b) khæng x£y ra v… b…nh ph÷ìng
cıa mºt sŁ nguy¶n b§t ký khi chia cho 4 câ d÷ l 0 ho°c 1. Bði v“y sŁ
nguy¶n tŁ d⁄ng 4k + 3 l i”m nguy¶n tŁ. Ta câ d⁄ng (B).
N‚u p = 4k + 1. Sß döng bŒ • Eluler: "N‚u p = 4k + 1; k 2 Z l sŁ
nguy¶n tŁ th… tçn t⁄i x 2 N sao cho pjx2
+ 1, tøc pj(x + i):(x i)" th…
trong tr÷íng hæp cıa ta p khæng th” l i”m nguy¶n nguy¶n tŁ. Ta suy

48
ra p ph£i chia h‚t cho mºt i”m nguy¶n n o â g = (a + bi). Tł ¥y
. .
. .
(c + di) khæng li¶n
theo ành lþ cì b£n p.(a bi). N‚u câ p.(c + di) m
.
.
k‚t vîi a + bi th… p.(c di). Suy ra:
. 2 2 2 2
.
di) = (a )(c ). Tr¡i vîi gi£ thi‚t
p.(a + bi)(a bi)(c + bi)(c + b + d
p l sŁ nguy¶n tŁ. Ngh¾a l
p = (a + bi):(a bi) = a2
+ b2
= N(g): (2.13)
M»nh • ÷æc chøng minh ho n to n.
Nºi dung ch÷ìng 2 l " ‚m" sŁ i”m nguy¶n tr¶n ÷íng trÆn v trong
÷íng trÆn. Phƒn øng döng v o sŁ håc cho ta mºt sŁ k‚t qu£ nh÷ bº
ba Pythagoras, c¡c d⁄ng cıa i”m nguy¶n nguy¶n tŁ,: : : cho th§y sü
g›n k‚t, h i hÆa giœa sŁ håc v h…nh håc.

49
Ch÷ìng 3
C¡c b i to¡n kh¡c
3.1 i”m nguy¶n tr¶n ÷íng cong phflng
Phı mºt l÷îi tåa º nguy¶n l¶n m°t phflng ta x†t mºt ÷íng cong tr¶n
l÷îi v °t b i to¡n t…m c¡c i”m nguy¶n m ÷íng cong i qua. C¡c i”m n y
câ th” rØng, hœu h⁄n ho°c væ h⁄n. Thüc ch§t b i to¡n l gi£i ph÷ìng
tr…nh nghi»m nguy¶n, tuy nhi¶n x†t tr¶n l÷îi b i to¡n s‡ câ trüc quan
h…nh håc hìn. Ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n n y sß döng c¡c ki‚n thøc
v• sŁ håc c¡c sŁ nguy¶n. Sau ¥y l c¡c v‰ dö.
V‰ dö 3.1.1. Chøng minh r‹ng câ væ sŁ c¡c i”m nguy¶n n‹m tr¶n
Hypecbol (H): x2
2y2
= 1.
p p
Líi gi£i.Ta câ x2
2y2
= 1 () (x + y 2)(x y 2) = 1. Ta câ ngay
i”m (x1; y1) = (3; 2) l i”m n‹m tr¶n Hypecbol.
Vîi n 1, ta °t xn+1 = 3xn + 4yn; yn+1 = 2xn + 3yn. B‹ng c¡ch
quy n⁄p chøng minh ÷æc vîi måi n
(x1 + y1
p n p n p
2) = (3 + 2 2) = xn + yn 2;
p p p :
(x1 y1 2)n
= (3 2 2)n
= xn yn 2
p p p n p n
, t÷ìng ÷ìng
Suy ra (xn + yn 2)(xn yn 2) = (3 + 2 2) (3 2 2)
vîi xn
2
2yn
2
= (9 8)2
= 1. Nh÷ v“y ngo i i”m (3,2) ta t…m ÷æc væ
sŁ i”m nguy¶n Xn(xn; yn) n‹m tr¶n Hypecbol x2
2y2
= 1.
V‰ dö 3.1.2. (IMO-2006,#4) T…m t§t c£ c¡c c°p sŁ nguy¶n (x,y) sao
cho 1 + 2x
+ 22x+1
= y2
.

50
Chøng minh. B i to¡n câ th” ph¡t tri”n nh÷ sau: T…m t§t c£ c¡c i”m
nguy¶n x; y) n‹m tr¶n ÷íng cong 1 + 2x
+ 22x+1
= y2
.
N‚u (x; y) l nghi»m th… hi”n nhi¶n x 0 v (x; y) công l nghi»m.
Vîi x = 0 ta câ hai nghi»m (0; 2) v (0; 2).
Gi£ sß (x; y) l nghi»m vîi x > 0. Khæng m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t
ta coi y > 0. Vi‚t l⁄i ph÷ìng tr…nh nh÷ sau: 2x
(1 + 2x+1
= (y 1)(y + 1
chøng tä y 1 v y + 1 l chfin, ch‰nh x¡c l mºt trong chóng chia h‚t cho
4. Do â x 3 v mºt trong c¡c nh¥n tß n y chia h‚t cho 2x 1
nh÷ng
khæng chia h‚t cho 2x
. V“y
y = 2x 1
m + ; m l·; = 1: (3.1)
Thay v o ph÷ìng tr…nh ¢ cho thu ÷æc:
2x
(1 + 2x+1
) = (2x 1
m + )2
1 = 22x 2
+ 2x
m (3.2)
Vîi = 1 k†o theo m2
8 0, tøc m = 1, khæng thäa m¢n (3.4).
Vîi = 1, ph÷ìng tr…nh (3.4) cho ta
1 + m = 2x 2
(m2
8) 2(m2
8):
K†o theo 2m2
m 17 0. Tł â, m 3. M°t kh¡c theo (3.4), m 6= 1. V… m
l· n¶n m = 3, cho ta x = 4. Tł (3.3) ta câ y = 23. Ki”m tra l⁄i ta câ c¡c
gi¡ trà n y thäa m¢n ph÷ìng tr…nh. Nhî r‹ng y = 23 công thäa m¢n.
Nh÷ v“y, ta câ c¡c i”m nguy¶n (0; 2); (0; 2); (4; 23); (4; 23) tr¶n ÷íng
cong ¢ cho.
V‰ dö 3.1.3. (IMO-1997,#5) T…m t§t c£ c¡c c°p sŁ nguy¶n (a,b) vîi
a; b 1 thäa m¢n ph÷ìng tr…nh ab2
= ba
.
Chøng minh. B i to¡n câ ph¡t tri”n nh÷ sau: T…m t§t c£ c¡c i”m
nguy¶n (x; y) vîi x; y 1 n‹m tr¶n ÷íng cong xy2
= yx
Tr÷îc h‚t chó þ r‹ng: n‚u ta câ am
= bn
th… luæn tçn t⁄i c n o â sao
cho a = ce
; b = cf
vîi m = f d; n = ed v d l ÷îc chung lîn nh§t cıa m v n
(Chøng minh b‹ng c¡ch ph¥n t‰ch a; b ra thła sŁ nguy¶n tŁ).
Trong tr÷íng hæp b i to¡n, gi£ sß d l ÷îc chung lîn nh§t cıa a v b2
v
ta °t a = de; b2
= df. Khi â theo chó þ tr¶n, a = ce
; b = cf
vîi

51
c n o â. Do â, f ce
= ec2f
. Khæng th” x£y ra e = 2f v… khi â, gi£n ÷îc
hai v‚ cho e = f. Væ lþ.
Gi£ sß 2f > e th… f = ec2f e
. Suy ra e = 1 v f = c2f 1
. N‚u c = 1
th… f = 1 v ta câ nghi»m a = b = 1. N‚u c 2 th… c2f 1
2f
> f, væ
nghi»m.
CuŁi còng, gi£ sß 2f < e th… e = f:ce 2f
. Tł â, f = 1 v e = ce 2
:ce 2
2e 2
e vîi e 5 n¶n ta ph£i câ e = 3 ho°c e = 4(e > 2f = 2). Gi¡ trà e = 3
cho nghi»m a = 27; b = 3 cÆn gi¡ trà e = 4 cho nghi»m a = 16; b = 2.
Ta thu ÷æc 3 i”m nguy¶n (1; 1); (16; 2); (27; 3).
3.2 Mºt sŁ to¡n thi håc sinh giäi v thi Olympic
Ta s‡ x†t øng döng cıa l÷îi tåa º v o mºt sŁ b i to¡n thi håc sinh giäi
v thi Olympic quŁc t‚, mð ƒu l b i to¡n thi Olympic To¡n quŁc t‚ n«m
2016. B i to¡n • c“p ‚n mºt a gi¡c nguy¶n, c¡c ¿nh n‹m tr¶n ÷íng trÆn
v câ t‰nh ch§t °c bi»t. ” gi£i nâ, ki‚n thøc dòng ‚n kh¡ quen thuºc: i”m
nguy¶n, chia h‚t c¡c sŁ nguy¶n, cæng thøc Picard,: : : vîi sü t÷ duy
r§t linh ho⁄t.
V‰ dö 3.2.1. (IMO.2016,#3) Cho P = A1A2 : : : Ak l mºt a gi¡c lçi
trong m°t phflng. C¡c ¿nh câ tåa º nguy¶n v n‹m tr¶n mºt ÷íng trÆn.
Mºt sŁ tü nhi¶n n l· thäa m¢n b…nh ph÷ìng º d i mØi c⁄nh cıa P •u
chia h‚t cho n. Gåi S l di»n t‰ch cıa P, chøng minh 2S l sŁ tü nhi¶n
chia h‚t cho n.
Chøng minh. Khæng m§t t‰nh ch§t tŒng qu¡t, gi£ sß a gi¡c P l a
gi¡c khæng câ ÷íng ch†o n o m b…nh ph÷ìng º d i chia h‚t cho n v…
n‚u tr¡i l⁄i ta s‡ chia a gi¡c th nh hai a gi¡c câ sŁ c⁄nh nhä hìn.
+ Ta x¡c ành vp(x) = maxk 2 Zjpk
jx vîi måi x 2 Q(pk
jx (= 9q 2
Z; x = qpk
, v‰ dö v3(81) = 4; v5( 1 ) = 3). Nh›c l⁄i r‹ng måi tam
125
gi¡c ABC vîi c⁄nh
p
a;
p
b;
p
, di»n t‰ch S = S(ABC) v b¡n k‰nh
c
÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p R, ta câ hai cæng thøc:
abc = 4(2S)2
R2
: (3.3)

52
4(2S)2
= 2ab + 2bc + 2ca a2
b2
c2
: (3.4)
Vîi måi a gi¡c nguy¶n P, ành lþ Picard cho ta
S(F ) = n + m 1
2
vîi n v m l sŁ c¡c i”m nguy¶n ð trong v tr¶n c⁄nh a gi¡c P. Do
â, 2S(P) = 2n + m 2 2 Z+
. Ta câ Ai l c¡c i”m nguy¶n n¶n AiAj
2
l sŁ nguy¶n. Ta ch¿ cƒn chøng minh b i to¡n Łi vîi tr÷íng hæp n l
lôy thła cıa mºt sŁ nguy¶n tŁ l· p. °t n = pm
v do â gi£ thi‚t l
pm
jAiAj
2
vîi måi i; j 2 1; 2; : : : ; n v cƒn chøng minh pm
j2S(P).
a. Tr÷íng hæp k = 3. Gi£ sß
p
p = A2A3;
p
= A3A1
= A1A2; b
a c
sao cho pm
ja; b; c. Theo cæng thøc (3.4),
4(2S )2
= 2ab + 2bc + 2ca a2
b2
c2
:
M
Måi sŁ h⁄ng b¶n ph£i chia h‚t cho p2m
, do â, p2m
j4(2SM)2
, k†o theo
pm
j2SM.
b. Tr÷íng hæp k 4. Ta quy n⁄p theo k: Gi£ sß b i to¡n ÷æc chøng
minh Łi vîi (k 1 gi¡c, ta i chøng minh nâ óng vîi måi k gi¡c.
p p p m
ja; b. Vîi SM l di»n
x = A3A1 vîi p
°t a = A1A2; b = A2A3;
t‰ch tam gi¡c A1A2A3, O l t¥m ÷íng trÆn i qua c¡c ¿nh a gi¡c P. N‚u
pm
jx th… M A1A2A3 v a gi¡c Q = A1A3A4 : : : Ak l tam gi¡c
v (k 1) gi¡c thäa m¢n gi£ thi‚t quy n⁄p, nh÷ ¢ ch¿ ra ð tr¶n pm
j2SM;
pm
j2SQ. Do â: pm
j2SM + 2SQ = 2S nh÷ y¶u cƒu.
B¥y gií, gi£ sß pm
khæng chia h‚t x. Khi â, c = vp(c) < m. Theo
cæng thøc (3.4) ta câ
4(S)2
= 2ab + 2ax + 2bx a2
b2
x2
Lôy thła cao nh§t cıa p khi chia cho x2
nhä hìn (nghi¶m ng°t) lôy thła
cao nh§t cıa p khi chia cho sŁ h⁄ng b§t ký trong 5 sŁ h⁄ng cıa v‚ ph£i
flng thøc tr¶n n¶n suy ra:
vp((2S)2
) = vp( x2
) = 2c:
B¥y gií cæng thøc (3.3) cho ta: abx = 4(2S)2
R2
, do â, R2
l sŁ hœu t
v câ th” l§y gi¡ trà øng vîi lôy thła cao nh§t cıa p chia cho R2
nh÷

53
thæng th÷íng. Theo t‰nh ch§t cıa vp(x) ta câ:
vp(a) + vp(b) + c = vp((2S)2
) + vp(R2
) = 2c + vp(R2
):
m i•u â k†o thoe vp(R2
) = vp(a) + vp(b) c 2m c > m. Do â, pm
jR2
(theo ành ngh¾a cıa vp(R2
)).
X†t M AiOAi+1 vîi i = 1; 2; : : : ; k. °t AiAi+1 =
p
y thäa m¢n pm
jy.
L⁄i theo cæng thøc (3.4) ta câ:
4(2SMAiOAi+1
)2
= 2R2
y + 2R2
R2
R4
R4
y2
= y(4R2
y)
V… pm
jy; pm
jR2
n¶n pm
j2SMAiOAi+1 vîi måi i. TŒng c¡c sŁ h⁄ng
2SMAiOAi+1 ( nh÷ c¡c di»n t‰ch tam gi¡c ành h÷îng) vîi i = 1; 2; : : : ;
k quy v• 2S. Suy ra pm
j2S.
B…nh lu“n
Ta câ th” x†t th¶m tr÷íng hæp P l tø gi¡c b‹ng c¡ch dòng ành lþ
Ptolemy coi nh÷ mºt b i to¡n nhä.
Theo nh÷ nhi•u ºi tuy”n Olympic to¡n QuŁc t‚ nh“n x†t: ¥y l mºt b i
to¡n khâ nh§t trong • thi n«m 2016, do Nga • nghà. Thüc ch§t l b
i to¡n sŁ håc nh÷ng ng÷íi gi£i cƒn hi”u bi‚t s¥u s›c v• c¡c cæng
thøc, ành lþ h…nh håc ¡p döng tr¶n l÷îi tåa º nguy¶n.
Sau ¥y l mºt v‰ dö nœa li¶n quan d‚n l÷îi æ vuæng:
V‰ dö 3.2.2. (IMO-1996,#1) Cho sŁ d÷ìng r v mºt b£ng h…nh chœ
nh“t ABCD vîi AB=20,BC=12. H…nh chœ nh“t ÷æc chia th nh 20 12
ævuæng. X†t ph†p dàch chuy”n sau: Dàch chuy”n tł æ vuæng n y sang
ævuæng kia ch¿ ÷æc thüc hi»n n‚u kho£ng c¡ch giœa hai t¥m æ vuæng p
b‹ng r. Nhi»m vö °t ra l t…m mºt d¢y c¡c ph†p dàch chuy”n i tł æ
vuæng câ A l ¿nh ‚n æ vuæng câ B l ¿nh.
a. Chøng minh r‹ng nhi»m vö l b§t kh£ thi n‚u r chia h‚t cho 2 ho°c
chia h‚t cho 3.
b. Chøng minh r‹ng nhi»m vö l kh£ thi n‚u r = 73.
c. Nhi»m vö câ thüc hi»n ÷æc khæng n‚u r = 97?

54
Chøng minh. (a) Gi£ sß dàch chuy”n a ìn và theo mºt h÷îng v b ìn và
theo h÷îng vuæng gâc, khi â a2
+ b2
= r. N‚u r chia h‚t cho 2 th… c£
a v b •u chfin ho°c •u l·. Nh÷ng i•u â ngh¾a l ta ch¿ câ th” câ c¡c æ
en ho°c æ tr›ng (gi£ sß c¡c æ ÷æc tæ m u nh÷ tr¶n b n cí vua). Hai
gâc h…nh chœ nh“t còng mºt m u n¶n nhi»m vö khæng thüc hi»n
÷æc.
X†t ph†p chia c¡c sŁ a; b; r cho 3: n‚u r chia h‚t cho 3 th… a v b c£
hai •u chia h‚t cho 3. i•u â ngh¾a l n‚u b›t ƒu tł æ câ tåa º (0,0) th…
ta ch¿ câ th” dàch chuy”n tîi æ câ tåa º d⁄ng (3m; 3n). i”m Æi häi câ
tåa º (19,0) khæng ð d⁄ng â n¶n nhi»m vö khæng thüc hi»n ÷æc.
(b) N‚u r = 73 th… ta câ a = 8; b = 3 (ho°c ng÷æc l⁄i). Câ 4 ki”u dàch
chuy”n:
A : (x; y) 7! (x + 8; y + 3)
B : (x; y) 7! (x + 3; y + 8)
C : (x; y) 7! (x + 8; y 3)
D : (x; y) 7! (x + 3; y 8)
Ta l§y (x 8; y 3) 7! (x; y) trong ph†p dàch chuy”n ki”u A,v.v: : : th…
khi câ a ph†p dàch chuy”n ki”u A, b ph†p dàch chuy”n ki”u B v v.v: : :
s‡ câ c¡c ph÷ìng tr…nh sau:
8(a + c) + 3(b + d) = 19; 3(ac) + 8(b d) = 0
Mºt nghi»m d„ th§y l a = 5; b = 1; c = 3; d = 2. B›t ƒu vîi nghi»m n y,
b‹ng mºt sŁ t‰nh to¡n ta t…m ÷æc c¡c b÷îc thüc hi»n nhi»m
vö (0; 0) 7! (8; 3) 7! (16; 6) 7! (8; 9) 7! (11; 1) 7! (19; 4) 7! (11; 7) 7!
(19; 10) 7! (16; 2) 7! (8; 5) 7! (16; 8) 7! (19; 0).
(c) N‚u r = 97 ta cƒn câ a = 9; b = 4. GiŁng nh÷ tr¶n, gi£ sß ta b›t ƒu
ð (0,0). B‹ng c¡ch lþ lu“n "chfin, l·" ta rót ra nhi»m vö l b§t kh£
thi.
V‰ dö 3.2.3. (IMO-1997,#1) Trong m°t phflng c¡c i”m vîi tåa º
nguy¶n l c¡c ¿nh cıa c¡c h…nh vuæng ìn và. C¡c h…nh vuæng ÷æc
tæ m u en, tr›ng ( nh÷ tr¶n b n cí vua). Vîi mØi c°p sŁ nguy¶n d÷ìng
(m,n) x†t mºt tam gi¡c vuæng m c¡c ¿nh câ tåa º nguy¶n, c¡c c⁄nh

55
b¶n chi•u d i m v n, n‹m dåc theo c⁄nh h…nh vuæng. Kþ hi»u S1 l tŒng
di»n t‰ch phƒn m u en cıa tam gi¡c v S2 l tŒng di»n t‰ch phƒn m u
tr›ng cıa tam gi¡c. °t f(m; n) = jS1
(a) T‰nh f(m,n) vîi måi m v n nguy¶n d÷ìng còng chfin ho°c còng l·.
(b) Chøng minh r‹ng f(m; n)
1
maxfm; ng vîi måi m v n.
2
H…nh 3.1: H…nh chœ nh“t 20 12
Chøng minh. (a) N‚u m v n •u chfin th… f(m; n) = 0. Th“t v“y, gåi M l
trung i”m cıa c⁄nh huy•n th… M l mºt i”m nót cıa l÷îi. N‚u ta quay tam
gi¡c mºt gâc 1800
th… tam gi¡c tròng vîi nßa kia cıa h…nh chœ nh“t
v ta th§y sŁ m u en tr›ng tr¶n c¡c æ l nh÷ nhau. Do â, S1 v S2 Łi vîi
tam gi¡c l mØi nßa gi¡ trà cıa chóng Łi vîi h…nh chœ nh“t. Nh÷ng sŁ
c¡c æ en, tr›ng tr¶n h…nh chœ nh“t th… b‹ng nhau n¶n
f(m; n) = jS1 S2j = 0.
N‚u m v n •u l· th… trung i”m c⁄nh huy•n l t¥m cıa mºt h…nh vuæng v
ta v¤n câ sŁ m u en, tr›ng cıa mØi nßa h…nh chœ nh“t b‹ng
nhau. Lóc n y S1 v S2 hìn 1 so vîi h…nh chœ nh“t, bði v“y f(m; n) =
1
.
2
(b) K‚t qu£ l“p tøc suy ra tł (a) n‚u m v n còng t‰nh chfin l·. L“p lu“n
trong (a) s‡ sai khi m v n câ d§u tr¡i nhau v… hai nßa cıa h…nh
S2j.

56
chœ nh“t câ m u ng÷æc nhau. Gi£ sß m l c⁄nh l·. Khi â n‚u ta k†o
d i c⁄nh º d i m bði 1 ( ìn và) th… s‡ t⁄o ra mºt tam gi¡c mîi chøa tam
gi¡c ban ƒu nh÷ng nâ câ c£ hai c⁄nh •u chfin v do â S1 = S2.
Tr÷íng hæp x§u nh§t l t§t c£ c¡c di»n t‰ch n y còng m u. Trong tr÷íng
hæp â ta câ f(m; n) =
n
2. Nh÷ng n max(m; n) n¶n ta câ i•u ph£i
chøng minh.
B i to¡n 3.1. (Thi væ àch Moscow, 1961) Cho mºt b£ng æ vuæng câ
k‰ch th÷îc 4 4. Chøng minh r‹ng câ th” °t 7 d§u v o c¡c æ cıa b£ng
sao cho n‚u xâa 2 h ng ho°c 2 cºt b§t ký cıa b£ng th… v¤n câ ‰t
nh§t 1 d§u ch÷a bà xâa. Chøng minh r‹ng n‚u sŁ d§u nhä hìn 7 th…
luæn câ th” xâa 2 h ng v 2 cºt ” måi d§u •u bà xâa.
B i to¡n 3.2. (Thi v o lîp chuy¶n To¡n-Tin H Nºi, Amsterdam, 1998)
Cho h…nh vuæng c⁄nh n(n l sŁ nguy¶n lîn hìn 1) ÷æc chia th nh
n n æ vuæng nhä. Trong mØi æ vuæng nhä n y ch¿ ghi mºt trong 3 sŁ
1,0,-1. H…nh vuæng nh÷ th‚ ÷æc gåi l "b£ng sŁ æ vuæng c⁄nh n".
a. H¢y l“p mºt b£ng sŁ vuæng c⁄nh 6 sao cho tŒng c¡c sŁ ghi trong
b£ng theo måi h ng, måi cºt •u kh¡c nhau.
b. Câ hay khæng mºt b£ng sŁ c⁄nh n n o â m tŒng c¡c sŁ ghi trong
b£ng theo måi h ng, måi cºt v theo hai ÷íng ch†o •u kh¡c nhau.
B i to¡n 3.3. (Thi v o lîp chuy¶n To¡n-Tin H Nºi, ⁄i håc tŒng hæp
th nh phŁ Hç Ch‰ Minh,1994) Cho b£ng k‰ch th÷îc 2n 2n æ
vuæng. Ng÷íi ta ¡nh d§u v o 3n æ b§t ký cıa b£ng. Chøng minh r‹ng
câ th” chån ra n h ng v n cºt cıa b£ng sao cho c¡c æ ÷æc ¡nh d§u •u
n‹m tr¶n n h ng ho°c n cºt n y.
B i to¡n 3.4. (IMO-1987,#5) Cho sŁ tü nhi¶n n 3. Chøng minh r‹ng
câ mºt t“p hæp gçm n i”m trong m°t phflng sao cho kho£ng c¡ch
giœa hai i”m b§t ký l mºt sŁ væ t v mØi bº 3 i”m x¡c ành mºt tam
gi¡c khæng suy bi‚n câ di»n t‰ch hœu t .
Ph÷ìng Ph¡p gi£i: Gåi xn l i”m câ tåa º (n; n2
) vîi n = 1; 2; 3; : : :. Ta i
chøng minh kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t ký l sŁ hœu t v tam gi¡c
x¡c ành bði 3 i”m b§t ký câ di»n t‰ch hœu t kh¡c khæng.

Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc

Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc

Similar to Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Lưới tọa độ Và một số bài toán liên quan Luận văn thạc sĩ toán học.doc