Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Trong Hình Học Không Gian.doc

Tải tài liệu tại sividoc.com
Viết đề tài giá sinh viên – ZALO:0973.287.149-TEAMLUANVAN.COM
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ
TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN - 2017

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------

-------------
VŨ XUÂN SANG
PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN QUỸ
TÍCH TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60 46 01 13
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI
THÁI NGUYÊN - 2017

1
Möc löc
Líi c£m ìn i
Mð ƒu 1
1 Ki‚n thøc chu'n bà 3
1.1 B i to¡n quÿ t‰ch . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Kh¡i ni»m . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Quÿ t‰ch cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2 V†c tì v tåa º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.1 V†c tì trong khæng gian . . . . . . . . . . . 6
1.2.2 Tåa º trong khæng gian . . . . . . . . . . . 7
1.3 Sì l÷æc v• c¡c ph†p bi‚n h…nh . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1 Ph†p díi h…nh . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.2 Ph†p và tü v ph†p çng d⁄ng . . . . . . . . 11
1.3.3 Mºt sŁ v‰ dö mð ƒu . . . . . . . . . . . . 12
2 C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n quÿ t‰ch trong khæng
gian 16
2.1 Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch cì b£n . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng trong khæng gian . . . 19
2.2.1 Quÿ t‰ch phflng trong khæng gian . . . . . . 19
2.2.2 Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n ÷íng thflng 23

2
2.2.3 Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n m°t phflng . 27
2.3 Ph÷ìng ph¡p v†c tì v tåa º . . . . . . . . . . . . 31
2.3.1 T…m quÿ t‰ch nhí v†c tì . . . . . . . . . . . 31
2.3.2 T…m quÿ t‰ch nhí tåa º . . . . . . . . . . . 33
2.4 Ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.4.1 Ùng döng c¡c ph†p díi h…nh . . . . . . . . . 38
2.4.2 Ùng döng ph†p và tü v ph†p çng d⁄ng . . . 41
2.5 Mºt sŁ b i to¡n quÿ t‰ch n¥ng cao . . . . . . . . . . 44
2.5.1 K‚t hæp c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i . . . . . . . . 44
2.5.2 Mºt sŁ c¡ch gi£i °c bi»t . . . . . . . . . . . 49
T i li»u tham kh£o 59

3
Danh möc h…nh
1.1 B i to¡n mð ƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Quÿ t‰ch c¡c i”m M, N, G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Quÿ t‰ch cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.2 Quÿ t‰ch I, H, E, F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Quÿ t‰ch trung i”m I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.4 Quÿ t‰ch I,K,H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5 B i to¡n A: Quÿ t‰ch H, E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.6 B i to¡n A: quÿ t‰ch E, N, H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.7 B i to¡n B: Quÿ t‰ch h…nh chi‚u H cıa A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.8 B i to¡n B: Quÿ t‰ch h…nh chi‚u N cıa A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.9 Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.10 M°t phflng trung trüc v m°t cƒu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.11 Ph÷ìng ph¡p tåa º . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.12 Łi xøng t¥m S
D
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.13 Łi xøng tröc SBC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
2.14 Quÿ t‰ch M0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.15 Quÿ t‰ch trång t¥m Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.16 Quÿ t‰ch A0
; B0
; C0
; G: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.17 Hai ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.18 Quÿ t‰ch S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.19 Quÿ t‰ch A; B; C; D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.20 M nh…n m°t cƒu d÷îi gâc vuæng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.21 Quÿ t‰ch trång t¥m tam gi¡c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.22 Quÿ t‰ch H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

i
Líi c£m ìn
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn BGH tr÷íng ⁄i håc Khoa håc - ⁄i Håc
Th¡i Nguy¶n, c¡c thƒy cæ thuºc phÆng o t⁄o sau ⁄i håc, c¡c c¡n bº
thuºc Trung t¥m Nhi¶n cøu Gi¡o döc- o t⁄o H£i PhÆng,... ¢ t⁄o i•u
ki»n tŁt nh§t ” ho n th nh khâa håc. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn quþ
thƒy cæ gi£ng d⁄y lîp Cao håc K9B (2015 - 2017) nh tr÷íng ¢ t“n
t…nh truy•n ⁄t nhœng ki‚n thøc quþ b¡u công nh÷ t⁄o i•u ki»n cho tæi
ho n th nh khâa håc.
” ho n th nh ÷æc lu“n v«n mºt c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nh“n
÷æc sü h÷îng d¤n v gióp ï nhi»t t…nh cıa PGS.TS. Nguy„n Vi»t H£i,
Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ⁄i håc H£i PhÆng. Tæi xin ch¥n th nh b y
tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c ‚n thƒy v xin gßi líi tri ¥n nh§t cıa tæi Łi vîi
nhœng i•u thƒy ¢ d nh cho tæi.
Tæi xin gßi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia …nh, b⁄n b–, nhœng
ng÷íi ¢ luæn ºng vi¶n, hØ træ v t⁄o måi i•u ki»n cho tæi trong suŁt
qu¡ tr…nh håc t“p v thüc hi»n lu“n v«n.
Xin tr¥n trång c£m ìn!
H£i PhÆng, th¡ng ... n«m 2017
T¡c gi£
Vô Xu¥n Sang

1
Mð ƒu
Trong h…nh håc phŒ thæng ta ¢ bi‚t c¡c b i to¡n quÿ t‰ch
÷æc gåi l b i to¡n t…m t“p hæp i”m. Khi câ ki‚n thøc v• tåa º v c¡c
ph†p bi‚n h…nh th… lo⁄i to¡n n y ÷æc g°p th÷íng xuy¶n hìn. Lu“n v«n
n y muŁn nghi¶n cøu mºt c¡ch h» thŁng c¡c b i to¡n t…m quÿ t‰ch
i”m trong khæng gian ( ÷ìng nhi¶n câ li¶n quan ‚n c¡c quÿ t‰ch trong
m°t phflng). Ngo i c¡ch ph¡t bi”u b i to¡n quÿ t‰ch, nºi dung chı y‚u
cıa lu“n v«n l n¶u c¡c ph÷ìng ph¡p hay dòng khi gi£i c¡c b i to¡n quÿ
t‰ch trong khæng gian. â l c¡c ph÷ìng ph¡p cì b£n v câ hi»u qu£ n‚u
bi‚t sß döng óng chØ.
Möc ‰ch cıa • t i l :
- Nghi¶n cøu b i to¡n quÿ t‰ch trong h…nh håc khæng gian v c¡c
ph÷ìng ph¡p gi£i.
- Tr…nh b y cì sð khoa håc v c¡c kÿ thu“t ¡p döng c¡c ph÷ìng ph¡p:
Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch cì b£n, ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng trong
khæng gian, ph÷ìng ph¡p v†c tì-tåa º, ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh v mºt
sŁ v§n • li¶n quan.
- C¡c ki‚n thøc v• h…nh håc khæng gian công nh÷ c¡c kÿ thu“t gi£i
to¡n h…nh håc khæng gian ÷æc h» thŁng v n¥ng cao qua c¡c b i
to¡n quÿ t‰ch hay v khâ trong c¡c ký thi håc sinh giäi.
- Ng÷íi nghi¶n cøu câ th¶m ki‚n thøc v n«ng lüc bçi d÷ïng håc sinh
giäi v• c¡c v§n • khâ cıa H…nh håc.
2. Nºi dung cıa • t i, nhœng v§n • cƒn gi£i quy‚t
Tr…nh b y h» thŁng c¡ch gi£i b i to¡n quÿ t‰ch trong khæng gian.
Phƒn lþ thuy‚t tr…nh b y tâm t›t nhœng cì sð khoa håc cıa c¡c ph÷ìng
ph¡p. Phƒn trång t¥m ð ch÷ìng 2 n¶u c¡c kÿ thu“t chi ti‚t khi ¡p döng

2
c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i. çng thíi ÷a ra c¡c v‰ dö i”n h…nh ” chøng tä
c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i l thüc sü hi»u qu£.
Ch÷ìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà
Nh›c l⁄i v• b i to¡n quÿ t‰ch, v†c tì v tåa º trong khæng gian
v nhœng v§n • cì b£n cıa ph†p bi‚n h…nh trong khæng gian. Nºi
dung c¡c phƒn n y ÷æc chån låc ı ” ¡p döng trong ch÷ìng hai, bao
gçm c¡c möc sau:
1.1. B i to¡n quÿ t‰ch trong m°t phflng v trong khæng gian
1.2. C¡c quÿ t‰ch cì b£n
1.3. V†c tì, c¡c ph†p to¡n tr¶n c¡c v†c tì
1.4. Tåa º trong khæng gian
1.5. Sì l÷æc v• c¡c ph†p bi‚n h…nh
Ch÷ìng 2. C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n quÿ t‰ch trong khæng gian
Lƒn l÷æt tr…nh b y c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n quÿ t‰ch
trong khæng gian, mð ƒu l ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch cì b£n. MØi
ph÷ìng ph¡p •u câ ph¥n t‰ch v b…nh lu“n v• c¡ch sß döng, c¡c v‰
dö v c¡c b i to¡n m¤u ÷æc chån låc. L÷u þ c¡ch gi£i c¡c b i to¡n quÿ
t‰ch ð møc º khâ. ch÷ìng hai chia th nh c¡c möc sau:
2.1. Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch cì b£n
2.2. Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng trong khæng gian
2.3. Ph÷ìng ph¡p v†c tì, tåa º
2.4. Ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh
2.5. Mºt sŁ b i to¡n quÿ t‰ch n¥ng cao.
T¡c gi£.

3
Ch÷ìng 1
Ki‚n thøc chu'n bà
1.1 B i to¡n quÿ t‰ch
B i to¡n quÿ t‰ch l b i to¡n khâ khæng nhœng Łi vîi ng÷íi håc m
ngay c£ Łi vîi ng÷íi d⁄y bði b£n th¥n nâ l b i to¡n v• chuy”n ºng, b i
to¡n v• h m trong h…nh håc. V• b£n ch§t ¥y l b i to¡n v• t“p hæp:
"T…m t“p hæp (hay düng t“p hæp) khi cho bi‚t t‰nh ch§t °c tr÷ng
cıa c¡c phƒn tß cıa nâ". V• thu“t ngœ chóng tæi chån thu“t ngœ "quÿ
t‰ch" ” th” hi»n rª b i to¡n ang nghi¶n cøu l b i to¡n h…nh håc m
khæng dòng thu“t ngœ chung chung l "t“p hæp". Hìn nœa, ð ¥y ch¿
x†t ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n quÿ t‰ch i”m, c¡c quÿ t‰ch kh¡c s‡
÷æc nghi¶n cøu ð mºt • t i kh¡c.
1.1.1 Kh¡i ni»m
B i to¡n quÿ t‰ch( i”m): T…m t§t c£ nhœng i”m (tr¶n m°t phflng hay
trong khæng gian) câ chung t‰nh ch§t n o â v ch¿ nhœng i”m §y.
Nghi»m cıa b i to¡n l mºt h…nh (t“p hæp i”m) gçm v ch¿ gçm c¡c
i”m câ t‰nh ch§t . N‚u ta gåi H( ) l t“p hæp t§t c£ c¡c i”m M câ t‰nh
ch§t , cÆn l mºt h…nh n o â. Ta nâi h…nh l nghi»m cıa b i to¡n tøc l
ta ph£i chøng minh flng thøc t“p hæp
H( ) = () H( ) v H( )
M»nh • "n‚u M 2 H( ) th… M 2 " ÷æc gåi l m»nh • thu“n; cÆn m»nh •
"n‚u M 2 th… M 2 H( )" ÷æc gåi l m»nh • £o. Hai m»nh • n y ÷æc gåi
l c°p thu“n- £o.

4
p döng quy t›c læ gic, ngo i c°p "thu“n- £o" â ta cÆn câ th” gi£i
b i to¡n quÿ t‰ch vîi c¡c c°p m»nh • t÷ìng ÷ìng sau: -
C°p "thu“n-ph£n":
N‚u M 2 H( ) th… M 2 v n‚u M 2= H( ) th… M 2= ; -C°p
"ph£n £o- £o":
N‚u M 2= th… M 2= H( ) v M 2 th… M 2 H( ); -C°p
"ph£n £o-ph£n":
N‚u M 2= th… M 2= H( ) v n‚u M 2= H( ) th… M 2= .
Chó þ.
i. Trong b i to¡n quÿ t‰ch vi»c ph¡t hi»n ra h…nh 0
âng vai trÆ
quan trång nh§t cıa b i to¡n. C¡ch ph¡t hi»n ra 0
v¤n ph£i l t…m
c¡ch dü o¡n ho°c tł c¡ch l m phƒn thu“n vîi kinh nghi»m h…nh
håc sfin câ s‡ b“t ra h…nh 0
.
ii. Quan i”m cıa chóng tæi khi tr…nh b y líi gi£i b i to¡n quÿ t‰ch
cƒn v ch¿ cƒn câ hai phƒn: phƒn thu“n v phƒn £o. Phƒn thu“n
£m b£o t‰nh khæng thi‚u v phƒn £o £m b£o t‰nh khæng thła
cıa quÿ t‰ch. Ch‰nh v… th‚ "giîi h⁄n (n‚u câ)" ch¿ l mºt chi ti‚t
nhä trong phƒn £o ” lo⁄i i phƒn thła, quan i”m â kh¡c vîi nhi•u t¡c
gi£ coi "giîi h⁄n quÿ t‰ch l cƒn thi‚t v l mºt möc nh§t thi‚t ph£i
tr…nh b y trong líi gi£i" (xem chflng h⁄n [4]).
iii. Kÿ thu“t l“p m»nh • £o. B£n ch§t cıa chøng minh m»nh • £o
l chøng minh "tł M 2 H( ) k†o theo M 2 " theo óng ngh¾a chøng
minh bao h m thøc H( ) : Tr¶n thüc t‚ t‰nh ch§t l hºi cıa c¡c
t‰nh ch§t, chflng h⁄n 1; 2; 3, trong phƒn £o ta ph£i l§y b§t ký M
2 v thäa m¢n 1; 2 rçi chøng minh M thäa m¢n 3. Ch‰nh v… th‚
sau khi l§y M 2 ta ph£i ti‚n h nh b i to¡n düng h…nh. — ¥y cƒn ‚n
kÿ thu“t t¡ch th nh c¡c t‰nh ch§t 1; 2; 3. Tł â công th§y câ nhi•u
c¡ch l“p m»nh • £o, n‚u kh†o l†o ta câ th” nh“n ÷æc ph†p chøng
minh phƒn £o ìn gi£n hìn.
” b›t ƒu vîi b i to¡n quÿ t‰ch ta ph£i li»t k¶ c¡c quÿ t‰ch cì b£n
(Xem chi ti‚t [2]).

5
1.1.2 Quÿ t‰ch cì b£n
C¡c quÿ t‰ch sau (th÷íng ¢ chøng minh trong c¡c s¡ch gi¡o khoa)
÷æc gåi l c¡c quÿ t‰ch cì b£n. Sau n y c¡c quÿ t‰ch ph£i t…m s‡
÷æc
quy v• c¡c quÿ t‰ch cì b£n.
a. Trong m°t phflng:
Quÿ t‰ch 1: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u 2 i”m A, B cho tr÷îc l
÷íng trung trüc cıa o⁄n thflng AB.
Quÿ t‰ch 2: Quÿ t‰ch nhœng i”m m kho£ng c¡ch tł â ‚n mºt ÷íng
thflng a cho tr÷îc b‹ng h khæng Œi l hai ÷íng thflng a0
; a00
song
song vîi a, c¡ch a mºt kho£ng b‹ng h.
Quÿ t‰ch 3: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u 2 c⁄nh cıa mºt gâc l ÷íng
ph¥n gi¡c cıa gâc â.
Quÿ t‰ch 4: Quÿ t‰ch nhœng i”m m hi»u b…nh ph÷ìng kho£ng
c¡ch tł â ‚n hai i”m A, B b‹ng k2
l mºt ÷íng thflng vuæng gâc vîi AB
t⁄i i”m H thäa m¢n: IH =
k2
, vîi I l trung i”m cıa AB.
2AB
Quÿ t‰ch 5: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u mºt i”m O cho tr÷îc mºt
kho£ng b‹ng R cho tr÷îc l ÷íng trÆn t¥m O, b¡n k‰nh R.
Quÿ t‰ch 6: Quÿ t‰ch nhœng i”m nh…n o⁄n thflng AB d÷îi mºt gâc
l cung chøa gâc düng tr¶n o⁄n thflng â (hai cung Łi xøng nhau
qua AB). Khi = 900
quÿ t‰ch l ÷íng trÆn ÷íng k‰nh AB.
Quÿ t‰ch 7: Quÿ t‰ch nhœng i”m m tŒng b…nh ph÷ìng kho£ng
l ÷íng trÆn t¥m I, b¡n k‰nh vîi I
1
p
l trung i”m AB, = 2k2
AB2
2
Quÿ t‰ch 8: Quÿ t‰ch nhœng i”m m t sŁ kho£ng c¡ch tł â ‚n hai i”m
A, B b‹ng m l mºt ÷íng trÆn ÷íng k‰nh CD sao cho C; D chia i•u
hÆa AB ( ÷íng trÆn Apololiut). b. Trong khæng gian:
Quÿ t‰ch 9: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u 2 i”m A,B l m°t phflng
trung trüc cıa o⁄n thflng AB.
Quÿ t‰ch 10: Quÿ t‰ch nhœng i”m m kho£ng c¡ch tł â ‚n mºt m°t
phflng P cho tr÷îc b‹ng h khæng Œi l hai m°t phflng P0
; P00
song
song vîi P v c¡ch P mºt kho£ng b‹ng h.

Quÿ t‰ch 11: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u 2 nßa m°t phflng cıa
nhà di»n l m°t phflng ph¥n gi¡c trong cıa nhà di»n â.

6
Quÿ t‰ch 12: Quÿ t‰ch nhœng i”m m hi»u b…nh ph÷ìng kho£ng
l mºt m°t phflng vuæng gâc vîi AB
t⁄i i”m H thäa m¢n: IH =
k2
, vîi I l trung i”m cıa AB.
2AB
Quÿ t‰ch 13: Quÿ t‰ch nhœng i”m c¡ch •u mºt i”m O cho tr÷îc mºt
kho£ng c¡ch R l m°t cƒu t¥m O, b¡n k‰nh R.
Quÿ t‰ch 14: Quÿ t‰ch nhœng i”m nh…n o⁄n thflng AB d÷îi mºt gâc
vuæng l m°t cƒu ÷íng k‰nh AB.
Quÿ t‰ch 15: Quÿ t‰ch nhœng i”m m tŒng b…nh ph÷ìng kho£ng
l mºt m°t cƒu t¥m I, b¡n k‰nh vîi
1
I l trung i”m AB, = p 2k2
AB2
.
2
Quÿ t‰ch 16: Quÿ t‰ch nhœng i”m m t sŁ kho£ng c¡ch tł â ‚n hai
i”m A, B b‹ng m l mºt m°t cƒu ÷íng k‰nh CD sao cho C; D chia i•u
hÆa AB (M°t cƒu Apololiut).
1.2 V†c tì v tåa º
1.2.1 V†c tì trong khæng gian
C¡c ph†p to¡n:
! ! !
Ph†p cºng: ~a + ~ b = MA + AB = MB.
! !
!
Ph¥n t‰ch v†c tì theo quy t›c 3 i”m AB=AM+MB:
Ph¥n t‰ch v†c tì theo quy t›c n i”m
! ! 1
!
1
M
2 ! n 1
M
n
!
n
B:
AB=AM + M +:::+M + M
TŒng hæp v†c tì theo quy t›c trung i”m
!
MA ! !
+ MB = 2MI; I l trung i”m cıa AB:
TŒng hæp v†c tì theo quy t›c h…nh hºp
!MA ! ! !
÷íng ch†o h…nh hºp:
+ MB + MC = 2MN; MN l
~ ~ ~
Ph†p nh¥n v†c tì vîi mºt sŁ thüc: b = k~a () b k ~a, jbj = jkjj~aj;
~ ~
b; ~a còng chi•u n‚u k > 0, b; ~a ng÷æc chi•u n‚u k < 0.
Khæng gian v†c tì Euclid: Mºt khæng gian v†c tì E tr¶n tr÷íng sŁ
thüc R ÷æc gåi l mºt khæng gian v†c tì Euclid thüc n‚u câ mºt d⁄ng

7
~
!
song tuy‚n t‰nh Łi xøng (~a; b) : E E R thäa m¢n i•u ki»n:
6 ~
(~a; ~a) > 0 vîi måi v†c tì ~a = 0:
D⁄ng song tuy‚n t‰nh Łi xøng n y ÷æc gåi l t‰ch væ h÷îng cıa E.
~
2 E l
~
Nâi c¡ch kh¡c, t‰ch væ h÷îng cıa hai v†c tì ~a; b sŁ thüc (~a; b),
~
kþ hi»u ìn gi£n l ~a:b, thäa m¢n 4 i•u ki»n:
~ ~ ~ ~ ~ ~
(1) ~a:b = b:~a; (2) (~a + b):~c = a:~c + b:~c; (3) k:(~a:b) = (k:~a):b vîi måi
2
, a:~ = 0
~
k 2 R ; (4) a:~ = ~a () ~a = 0.
Bi”u di„n sü ki»n h…nh håc theo ngæn ngœ v†c tì
!
M N !OM=! !! ! !
, ON , OM ON= 0 ,MN= 0:
!
IA ! ! ! !
, ~, 1 8
I-trung i”m AB +IB=0
2
(MA + MB); M:
MI =
G-trång t¥m ABC ,
!
! ! ~
GA+GB+GC=0
!
MG =! ! ! 8
, 3
1
(MA + MB + MC); M:
G-trång t¥m tø di»n ABCD ,
!
! ! ! ~
GA+GB+GC+GD=0
!
MG =! ! ! ! 8
, 4
1
(MA + MB + MC + MD); M:
Ba i”m A,B,C thflng h ng
,! ! ! !
AB = AC ho°c BC = CA ho°c
! ! , 9 2 R !j ! !
CA= AB p; q ; p + q = 1 MC = p:MA + q:MB:
!0
i”m
D 2 (ABC) ,
!
! ! ! !0
2 R +
DA = DB + DC ho°c BA = BC+ BD
, 9
; p q
+
r
= 1j8 O ! ! ! !
p; q; r ; OD = p:OA + q:OB + r:OC:
1.2.2 Tåa º trong khæng gian
a. Tåa º cıa i”m v v†c tì:
M(x; y; z)
() 1 2 3
!
OM = x:~e + y:~e + z:~e .
~a = (a1; a2; a3) () ~a = a1e~1 + a2e~2 + a3e~3;
~
; b2
~
b = (b1 ; b3) () b = b1e~1 + b2e~2 + b3e~3:
N‚u A(x1 ; y
1
; ; ; y
2
; z2) th… AB = (x 2
x ; y 2
y ; z z1
).
z1) B(x2 ! 1 1 2
~
b1 ; a2 b2; a3 b3).
~a b = (a1
~
b1; a2 b2; a3 b3):
~a b = ( a1
b. Kÿ thu“t chån gŁc tåa º. ” gi£i b i to¡n h…nh håc b‹ng ph÷ìng ph¡p
tåa º th… kÿ thu“t chån gŁc tåa º l kÿ thu“t quan trång nh§t, nâ quy‚t
ành c¡c t‰nh to¡n v• sau. Nhi•u tr÷íng hæp b i gi£i kh¡ d„

8
d ng n‚u ta chån h» toa º phò hæp, c¡c t‰nh to¡n, c¡c bi”u di„n ìn gi£n
nh÷ng ta công s‡ g°p b‚ t›c trong t‰nh to¡n v khæng x¡c ành ÷æc
ph÷ìng tr…nh quÿ t‰ch n‚u ta chån h» tåa º khæng phò hæp. Sau ¥y l
mºt sŁ c¡ch chån h» tåa º khi ¢ câ sfin c¡c h…nh khæng gian:
H…nh l“p ph÷ìng: Chån h» tåa º sao cho A(0,0,0), B(a,0,0),
C(a,a,0), D(0,a,0), A0
(0; 0; a); B0
(a; 0; a); C0
(a; a; a); D0
(0; a; a). T÷ìng
tü cho h…nh hºp chœ nh“t. Tam di»n vuæng l mºt nßa h…nh hºp chœ
nh“t n¶n c¡c c⁄nh cıa tam di»n công ÷æc chån l m c¡c tröc tåa º.
H…nh hºp øng câ ¡y l h…nh thoi: GŁc tåa º l§y tròng vîi giao i”m
O cıa hai ÷íng ch†o h…nh thoi ABCD. Tröc Oz i qua hai t¥m cıa ¡y.
L«ng trö øng câ ¡y l tam gi¡c c¥n công ÷æc °t h» tåa º t÷ìng tü.
H…nh châp •u. Gi£ sß h…nh châp S. ABC, AB=a, SH=h.
C¡ch 1. Chån gŁc O l trung i”m cıa BC, A2 Ox, B2 Oy.
C¡ch 2. Chån gŁc O l trüc t¥m H, OxkBC, A2 Oy, S2 Oz.
H…nh châp S.ABCD câ SA?(ABCD), SA=h. N‚u ¡y l h…nh chœ
nh“t ta chån A=O, B2Ox, D2Oy,S2Oz. N‚u ¡y l h…nh thoi ta chån O l
t¥m cıa ¡y, B2Ox, C2Oy, OzkSA.
H…nh châp S.ABCD câ (SAB)?(ABC), ÷íng cao SAB l ÷íng cao
cıa châp. N‚u ABC vuæng t⁄i A ta chån h» tåa º m A=O,
B2Oy, C2 Ox, Ozk SH ( ÷íng cao châp). N‚u vuæng t⁄i B ta chån
B=O, vuæng t⁄i C chån C=O. N‚u tam gi¡c ASB c¥n t⁄i S, ABC c¥n t⁄i
C ta chån H=O, C2 Ox, B2 Oy, S2 Oz.
c. T‰ch væ h÷îng v º d i.
~ ~ ~
~a:b = j~ajjbj cos(~a; b) = a1b1 + a2b2 + a3b3.
~ ~ ~
, a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0:
~a ? b , ~a:b = 0
j~aj j+j (a2p b3) 2.
~bp= 1 (a1 b1) 2 b2) 2 + (a 3
2
~a = a
2 2 2 ~ 2 2
+ a2 + a3; b = b1 + b2 + b3.
j j ) p
~ a1b1 + a2b2 + a3b3
cos(~a; b = :
(
p
a1
2
+ a2
2
+ a3
2
)(
p
b1
2
+ b2
2
+ b3
2
)
d. T‰ch câ h÷îng cıa hai v†c tì.
[~a;
~
b] = a2 a3 ; a3 a1 ; a1
!
a2
.
b2

9
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~a; b ? mp(~a; b);~a k b , [~a; b] = 0;~a; b; ~c çng phflng , (~a; b; ~c) = 0.
j
[~a;
~
b]
j
= v a2 a3 2 + a3 a1 2 + a1 a2 2 :
b2 b3 b3 b1 b1 b2
u
u
t
e. Ph÷ìng tr…nh m°t phflng.
Ph÷ìng tr…nh tham sŁ cıa m°t phflng:
8
> x = x0 + a1u + b1v
<
y
~
> = y0 + a2u + b2v , c°p v†c tì ch¿ ph÷ìng ~a; b; 8u; v 2 R:
z = z0 + a3u + b3v
:
Ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t cıa m°t phflng:
Ax + By + Cz + D = 0 vîi A2
+ B2
+ C2
6= 0:
Ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t cıa m°t phflng i qua mºt i”m, câ c°p v†c
~
tì ch¿ ph÷ìng ~a; b:
b3
b
1 (y y0) + b1
b
2 (z z0) = 0:
b2 b3 (x x0) +
a2 a3 a3 a1 a1 a2
Ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t cıa m°t phflng i qua ba i”m M1; M2; M3:
x2 x1
1 y2 y1
1 z2 z1
1 = 0
x x y y z z
x3 x1 y3 y1 z3 z1
Ph÷ìng tr…nh chòm m°t phflng:
Cho m°t phflng 1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vîi ~n1 = (A1; B1; C1)
v 2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 vîi ~n2 = (A2; B2; C2) c›t nhau theo
÷íng thflng d. Ta câ ph÷ìng tr…nh chòm m°t phflng x¡c ành bði
1; 2:
p(A1x+ B1y + C1z + D1) +q(A2x+ B2y + C2z + D2) = 0 vîi p2
+q2
> 0.
Và tr‰ t÷ìng Łi cıa hai m°t phflng.
Cho m°t phflng 1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0 vîi ~n1 = (A1; B1; C1)
v 2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 vîi ~n2 = (A2; B2;
C2) +N‚u ~n1; ~n2 khæng çng ph÷ìng th… 1 c›t 2.
+N‚u ~n1; ~n2 çng ph÷ìng 1; 2 khæng câ i”m chung 1 k 2.
+N‚u ~n1; ~n2 çng ph÷ìng v 1; 2 câ i”m chung th… 1 2. f.
Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng trong khæng gian.

Ph÷ìng tr…nh tham sŁ: ÷íng thflng i qua M0(x0; y0; z0) v câ v†c tì
ch¿ ph÷ìng ~a = (a1; a2; a3):

10
8
> x = x0 + a1t
<
y = y0 + a2t
>
: z = z0 + a3t
Ph÷ìng tr…nh ch‰nh t›c:
x x0
=
y y0
=
z z0
a
1
a
2
a
3
Ph÷ìng tr…nh tŒng qu¡t
: A1x + B1y + C1z + D1 = 0; A1
2
+ B1
2
+ C1
2
6= 0;
( A2x + B2y + C2z + D2 = 0;A2
2
+B2
2
+C2
2
= 0:
6
T§t c£ c¡c b i to¡n d⁄ng l“p ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng, ph÷ìng tr…nh
m°t phflng, ph÷ìng tr…nh m°t cƒu,... •u ÷æc coi l b i to¡n t…m quÿ
t‰ch (t“p hæp nhœng i”m thäa m¢n ph÷ìng tr…nh ho°c h» ph÷ìng
tr…nh). Trong ch÷ìng 2 ta ch¿ x†t c¡c b i to¡n quÿ t‰ch trong h…nh
håc khæng gian thuƒn tóy ÷æc gi£i b‹ng ph÷ìng ph¡p tåa º.
1.3 Sì l÷æc v• c¡c ph†p bi‚n h…nh
1.3.1 Ph†p díi h…nh
ành ngh¾a 1.1. Mºt ph†p bi‚n h…nh f trong khæng gian ÷æc gåi l
ph†p díi h…nh n‚u nâ b£o to n kho£ng c¡ch giœa hai i”m b§t ký.
Sau ¥y ta x†t mºt sŁ ph†p díi h…nh °c bi»t.
-Ph†p tành ti‚n: Ph†p tành ti‚n theo v†c tì ~v l ph†p bi‚n h…nh bi‚n
!
mØi i”m M th nh i”m M0
sao cho MM0
= ~v. Ta kþ hi¶u T!v (M) = M0
,
!
ngh¾a l MM0
= ~v.
- Ph†p Łi xøng tröc: Cho ÷íng thflng d. Ph†p Łi xøng qua ÷íng
thflng d l ph†p bi‚n h…nh bi‚n mØi i”m thuºc d th nh ch‰nh nâ v bi‚n
mØi i”m khæng thuºc d th nh th nh i”m M0
sao cho d l trung trüc cıa
o⁄n thflng MM0
. Kþ hi»u ph†p Łi xøng qua ÷íng thflng d l Sd, d ÷æc
gåi l tröc Łi xøng.
-Ph†p Łi xøng t¥m: Cho i”m O. Ph†p Łi xøng qua t¥m O l ph†p
bi‚n h…nh bi‚n mØi i”m M th nh i”m M0
sao cho O l trung i”m cıa o⁄n
MM0
.

11
!
-Ph†p quay xung quanh mºt tröc. Cho tröc X v mºt sŁ , ph†p
!
quay xung quanh tröc X vîi gâc quay l ph†p bi‚n h…nh Q!X cho øng
mØi i”m M vîi i”m M0
trong khæng gian sao cho M0
n‹m trong m°t
phflng ành h÷îng
?
M v trong m°t phflng ành h÷îng ,
!
X qua
M0 = Q O !
O, = X .
Ph†p quay quanh mºt tröc l mºt ph†p díi h…nh thu“n. D„ th§y
Sd = Q~.
d
-Ph†p Łi xøng qua m°t phflng. Cho m°t phflng P, ph†p Łi xøng
qua P, kþ hi»u l SP l ph†p bi‚n h…nh bi‚n M th nh M0
trong khæng
gian sao cho: n‚u M
2
P th… M0 2
m°t phflng
M, n‚u M = P th… P l
trung trüc cıa MM0
. ¥y l mºt ph†p díi h…nh nghàch. !
-Ph†p bi‚n h…nh xo›n Łc. Ph†p bi‚n h…nh xo›n Łc kþ hi»u l X( X ; ; ~v)
l t‰ch giao ho¡n ÷æc cıa mºt ph†p quay QO
v mºt ph†p tành ti‚n
T~v vîi ph÷ìng tành ti‚n song song vîi tröc quay:
X( X ; ; ~v) = QO O
:
! T
~v
= T
~v
Q
Ta chøng minh ÷æc: T‰ch hai ph†p bi‚n h…nh xo›n Łc l mºt ph†p
bi‚n h…nh xo›n Łc; Måi ph†p díi h…nh trong khæng gian •u l mºt
ph†p bi‚n h…nh xo›n Łc.
1.3.2 Ph†p và tü v ph†p çng d⁄ng
ành ngh¾a 1.2. Cho sŁ k 6= 0 v i”m O cŁ ành. Ph†p bi‚n h…nh
trong khæng gian bi‚n M th nh M0
! k ÷æc gåi l
sao cho OM
0
=
!
OM
ph†p và tü, O l t¥m v k l t sŁ và tü . Ta kþ hi»u ph†p và tü l HO
.
k
Ph†p và tü câ c¡c t‰nh ch§t sau: (xem trong [2])
0 0
0 k 0
= Hk (N) M0
N0
=!
a. N‚u M = HO
(M); N O th…
!
kMN v do â, MN =
jkjMN. Ph†p và tü l tr÷íng hæp °c bi»t cıa ph†p çng d⁄ng.
b. Ph†p và tü bi‚n 3 i”m thflng h ng th nh 3 i”m thflng h ng, bi‚n 4
i”m çng phflng th nh 4 i”m çng phflng. Tł â suy ra ph†p và tü bi‚n
÷íng thflng th nh ÷íng thflng song song, m°t phflng th nh m°t
phflng song song.
c. nh cıa ÷íng trÆn C(!; R) qua Hk
O
l ÷íng trÆn C0
(!0
; R0
) vîi
O 0
= ! 0
R: nh cıa m°t cƒu S(!; R) qua HO
l m°t
! ! kO!; R = k
0 0 0 j j ! 0 j j k
O
!
0 =
R:
cƒu S (! ; R ) vîi
!
kO!; R = k

12
d. T‰ch hai ph†p và tü
k h
(
T~v n‚u hk = 1
HO
HI
= Hkh
O
n‚u hk 6= 1
ành ngh¾a 1.3. nh x⁄ f bi‚n M th nh M0
÷æc gåi l ph†p çng d⁄ng n‚u
t sŁ giœa kho£ng c¡ch cıa hai i”m £nh M0
; N0
vîi kho£ng c¡ch cıa hai
i”m t⁄o £nh M; N l mºt h‹ng sŁ k. SŁ k ÷æc gåi l t sŁ çng d⁄ng cıa f.
C¡c ph†p díi h…nh ho°c và tü •u l c¡c ph†p çng d⁄ng. T‰ch cıa
ph†p díi h…nh (thu“n, nghàch) vîi mºt ph†p và tü l ph†p çng d⁄ng
(thu“n, nghàch).
1.3.3 Mºt sŁ v‰ dö mð ƒu
Ta x†t mºt sŁ v‰ dö t…m quÿ t‰ch ìn gi£n ” minh håa c¡ch l“p
c°p m»nh • thu“n- £o, c¡ch ¡p döng c¡c ki‚n thøc tr¶n tr…nh b y líi gi£i
theo nhi•u c¡ch. Nhœng v‰ dö n y công câ th” coi l c¡c b i to¡n quÿ
t‰ch cì b£n ÷æc sß döng nh÷ c¡c quÿ t‰ch cì b£n.
V‰ dö 1.1. Cho hai ÷íng thflng ch†o nhau a; b nh“n AB l m ÷íng
vuæng gâc chung, A 2 a; B 2 b. C¡c i”m E; F lƒn l÷æt di ºng tr¶n a;
b. T…m quÿ t‰ch trung i”m M cıa o⁄n thflng EF.
Líi gi£i 1 (quÿ t‰ch cì b£n).
H…nh 1.1: B i to¡n mð ƒu

13
Phƒn thu“n. Gåi O l trung i”m AB, qua O k· a0
k a; b0
k b. Gåi E0
; F0
lƒn l÷æt l h…nh chi‚u cıa E, F l¶n m°t phflng (R) x¡c ành bði hai ÷íng
thflng a0
; b0
. D„ th§y tø gi¡c EE0
FF0
l h…nh b…nh h nh, M l giao hai
÷íng ch†o n¶n M l trung i”m cıa E0
F0
. Suy ra M2 (R). â l m°t phflng
trung trüc cıa AB (quÿ t‰ch 7).
Phƒn £o. L§y b§t ký M tr¶n (R) ta cƒn düng hai i”m E 2 a; F 2 b ” o⁄n
EF nh“n M l m trung i”m.
K· qua M mºt ÷íng thflng song song vîi b0
c›t a0
t⁄i I (do a; b ch†o
nhau n¶n câ giao i”m I). Tr¶n a0
l§y i”m E0
6= O sao cho OI = IE0
.
÷íng E0
M c›t b0
t⁄i F0
. Theo c¡ch düng, OE0
F0
nh“n MI l m ÷íng
trung b…nh n¶n M l trung i”m cıa E0
F0
. Düng c¡c h…nh b…nh h nh
AOE0
E; BOF0
F, d„ chøng minh ÷æc E2 a, F2 b, EE0
k FF0
v EE0
=
FF0
. Do â tø gi¡c EE0
FF0
l h…nh b…nh h nh, M l trung i”m cıa E0
F0
n¶n M công l trung i”m cıa EF.
K‚t lu“n. Quÿ t‰ch c¡c i”m M l m°t phflng trung trüc cıa o⁄n AB.
~ c¡c v†c tì ch¿ ph÷ìng cıa a v b. Gi£
Líi gi£i 2 (v†c tì). L§y ~a; b l
! ! ~ ~
sß AE = e~a; BF = fb vîi ~a khæng song song b. Gåi O l trung i”m cıa
AB ! ! ! ! ! ! ! ! ~
, ta câ OE + OF = OA + AE + OB + BF = AE + BF = e~a + fb vîi
måi e; f 2 R: EF ()
!
! ! ()
!
!
2
I l trung i”m cıa OE+OF=2OI OI = 1
(e: a +
!
f:b )
~ 2 R
. Ta k‚t lu“n quÿ t‰ch c¡c i”m I l m°t phflng
vîi måi e; f
qua O, nh“n ~a; b l m c°p ch¿ ph÷ìng. Vîi gi£ thi‚t AB l ÷íng vuæng
gâc chung cıa a; b th… m°t phflng â ch‰nh l m°t phflng trung trüc cıa
o⁄n thflng AB.
Líi gi£i 3 (tåa º). Chån h» tåa º Oxyz vîi O l trung i”m AB, Ox k a; Oy
k b (h» tåa º affine). °t AB = a = const, Ta t‰nh ÷æc tåa º c¡c i”m E; F;
I. Tł â vi‚t ÷æc ph÷ìng tr…nh m°t phflng quÿ t‰ch i”m I.
V‰ dö 1.2. Cho tø di»n ABCD. T…m quÿ t‰ch nhœng i”m M sao cho
MA2
+ MB2
= MC2
+ MD2
:

14
Líi gi£i. Gåi I; J lƒn l÷æt l trung i”m cıa AB; CD. Khi â,
MA2
+ MB2
= 2MI2
+
AB2
2 2 :
MC2
+ MD2
= 2MJ2
+CD
2
Ta dòng sì ç 2 2 2 2 2+ MD 2 ()
MA +MB = MC
"thu“n- £o song song":
2
2 =
CD AB
() quÿ t‰ch cıa M l
MI MJ m°t phflng vuæng gâc
4
vîi IJ t⁄i H, H x¡c ành bði (theo quÿ t‰ch cì b£n 12):
CD2
AB2
CD2
AB2
4
OH = () IJ:OH = (O l trung i”m IJ):
8
2IJ
V‰ dö 1.3. Cho i”m E cŁ ành n‹m trong m°t cƒu S t¥m O, b¡n k‰nh
R. Mºt ÷íng thflng d luæn qua E c›t S t⁄i hai i”m A; B. T…m quÿ t‰ch
trung i”m M cıa AB, trung i”m N cıa o⁄n EA, trång t¥m G cıa tam gi¡c
OEA.
Líi gi£i.
a. V… M l trung i”m d¥y AB cıa m°t cƒu S n¶n OM ? AB. i”m M
nh…n OE d÷îi mºt gâc vuæng n¶n M thuºc m°t cƒu S1 ÷íng k‰nh
OE (quÿ t‰ch 14).
£o l⁄i, vîi måi M0
2 S1 ÷íng thflng EM0
c›t S1 t⁄i hai i”m A0
; B0
.
Ta câ OM0
? A0
B0
n¶n M0
ph£i l trung i”m cıa A0
B0
.
Quÿ t‰ch cıa M l m°t cƒu S1, ÷íng k‰nh OE.
b. Gåi I l trung i”m cıa OE. Tam gi¡c OEA nh“n IN l ÷íng trung
1 R R
b…nh n¶n IN = OA = . V“y N thuºc m°t cƒu S2, t¥m I b¡n k‰nh .
2 2 2
R
£o l⁄i, hi”n nhi¶n. Quÿ t‰ch cıa N l m°t cƒu S2 t¥m I b¡n k‰nh .
2
c. G l trång t¥m tam gi¡c OEA n¶n G thuºc trung tuy‚n IA v IG =1 .
IA
1
3
Nh÷ v“y, ta câ flng thøc: N = HI
(A); k = . Suy ra quÿ t‰ch cıa N l
k 3
1
£nh và tü cıa m°t cƒu S qua ph†p và tü t¥m I, t sŁ k = 3.
Nh“n x†t 1.1. V… ph†p và tü l song ¡nh n¶n khi câ flng thøc và tü ta
coi nh÷ bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng, khæng cƒn chøng minh m»nh • £o.

15
H…nh 1.2: Quÿ t‰ch c¡c i”m M, N, G
Ch÷ìng mºt tâm t›t c¡c ki‚n thøc cì b£n ÷æc sß döng khi gi£i b i
to¡n quÿ t‰ch. øng tr÷îc b i to¡n quÿ t‰ch vi»c thi‚t l“p c¡c m»nh •
thu“n- £o (ho°c c¡c c°p t÷ìng ÷ìng) l r§t quan trång. Tuy nhi¶n công
câ nhi•u b i to¡n quÿ t‰ch trong khæng gian li¶n quan ‚n h» thøc,
flng thøc v†c tì ta l⁄i dòng bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng ho°c l“p c¡c flng thøc °c
tr÷ng cıa ph†p bi‚n h…nh. C¡c kÿ thu“t chi ti‚t hìn s‡ ÷æc tr…nh b y
trong ch÷ìng hai.

16
Ch÷ìng 2
C¡c ph÷ìng ph¡p gi£i to¡n quÿ
t‰ch trong khæng gian
2.1 Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch cì b£n
B i to¡n quÿ t‰ch s‡ gi£i ÷æc n‚u ta ÷a quÿ t‰ch cƒn t…m v• c¡c
quÿ t‰ch cì b£n. Khi â ta câ ngay h…nh nâi trong phƒn ƒu. Chı y‚u l
trong phƒn thu“n ta t…m ÷æc mŁi quan h» giœa i”m cƒn t…m quÿ
t‰ch vîi c¡c quÿ t‰ch cì b£n.
V‰ dö 2.1. Cho M,N lƒn l÷æt chuy”n ºng tr¶n hai ÷íng thflng a
v b ch†o nhau. T…m quÿ t‰ch nhœng i”m I tr¶n o⁄n MN sao cho
IM
IN = k > 0.
Líi gi£i.
Phƒn thu“n. Gåi AB l ÷íng vuæng gâc chung cıa a v b, C l i”m
CA CA IM
tr¶n o⁄n AB sao cho CB = k. Khi â C cŁ ành. V… CB = IN (= k)
n¶n theo ành lþ Ta l†t £o ta câ 3 ÷íng thflng a; b; CI còng song song
vîi mºt m°t phflng cŁ ành. Suy ra CI n‹m trong m°t phflng i qua C,
song song vîi hai ÷íng thflng (ch†o nhau) a; b. Nh÷ v“y ta ¢ ch¿ ra
m°t phflng x¡c ành chøa I.
Phƒn £o.
L§y b§t ký I 2 ta ph£i düng hai i”m M 2 a, N 2 b sao cho MN chøa
IM
I thäa m¢n IN = k.
V… I 2 k a n¶n I 2= a, ta x¡c ành ÷æc m°t phflng (I; a). T÷ìng

17
H…nh 2.1: Quÿ t‰ch cì b£n
tü nh÷ th‚, x¡c ành ÷æc m°t phflng (I; b). Hai m°t phflng câ I chung
v khæng tròng nhau n¶n c›t nhau theo mºt giao tuy‚n d. Hai ÷íng
thflng d v a còng n‹m trong m°t phflng (I; a), khæng tròng nhau n¶n
chóng song song ho°c c›t nhau.
N‚u d k a th… v… d l giao cıa v (I; b) n¶n d k b, d¤n tîi b k a, M¥u
thu¤n. V“y d c›t a v t÷ìng tü d c›t c£ b.
Ta gåi M = d a; N = d b, düng m°t phflng P chøa a song song
vîi , m°t phflng Q chøa b song song vîi th… ba m°t phflng n y c›t
AB t⁄i A,C,B v c›t MN t⁄i M; I; N (theo thø tü â).Theo ành lþ Ta
IM CA
l†t ta câ: IN = CB = k. Måi i”m cıa •u thäa m¢n • b i.
K‚t lu“n: Quÿ t‰ch c¡c i”m I l m°t phflng i qua C, song song vîi a v
b.
Nh“n x†t 2.1. Khi k = 1, tøc i”m I l trung i”m cıa MN, quÿ t‰ch cıa i”m
I l m°t phflng trung trüc cıa o⁄n thflng AB.
V‰ dö 2.2. H…nh châp S:ABCD câ ¡y l h…nh thang vuæng t⁄i A v B.
Gi£ sß AB=BC=a, AD=2a. C⁄nh SA vuæng gâc vîi ¡y v câ º d i p
a 2. i”m M di ºng tr¶n o⁄n AB, l m°t phflng qua M, song song vîi
(SBC) c›t CD; SD; SA lƒn l÷æt t⁄i N; P; Q.

18
a. T…m quÿ t‰ch i”m I = MQ NP.
b. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u H cıa A l¶n m°t phflng .
c. T…m quÿ t‰ch trung i”m E cıa MN v trung i”m F cıa IE.
Líi gi£i.
H…nh 2.2: Quÿ t‰ch I, H, E, F
a. Quÿ t‰ch I.
Phƒn thu“n. Gåi O l giao cıa AB v CD. V… I 2 MQ n¶n I2 (SAB); I2
NP n¶n I2 (SCD). Nh÷ th‚ I thuºc giao tuy‚n cıa hai m°t phflng cŁ ành
(SAB) v (SCD). D„ th§y giao tuy‚n â ch‰nh l ÷íng thflng SO.

19
Phƒn £o. L§y I tr¶n SO, qua M ta ph£i düng m°t phflng c›t AB t⁄i i”m
M. ” câ giao i”m M th… khæng th” ð ngo i o⁄n SI1 vîi I1 = SO At, At
qua A, song song vîi SB. Khi câ M d„ th§y I l giao cıa MQ v NP, thäa
m¢n i•u ki»n b i to¡n. Chó þ r‹ng I câ th” ð và tr‰ S nh÷ng khæng
ð và tr‰ cıa I1 ÷æc v… lóc â khæng câ tø gi¡c MNPQ. V“y quÿ t‰ch
cıa I l o⁄n thflng SI1, bä i”m I1.
b. Quÿ t‰ch H.
Trong m°t phflng (SAB) tł A h⁄ AG?SB, AG c›t MQ ð H0
. Ta câ AH0
?
MQ, m°t kh¡c QP ? (SAB) n¶n QP ? AH0
. Tł â, AH0
? hay H0
H. Ta
thu ÷æc H thuºc ÷íng cao AG cıa tam gi¡c SAB.
Phƒn £o. L§y måi H tr¶n o⁄n AG. Qua H düng MNk SB, M 2 AB; N 2
CD. Tł â düng m°t phflng . D„ th§y AH ? .
Quÿ t‰ch c¡c i”m H l o⁄n ÷íng cao AG cıa tam gi¡c SAB.
c. Quÿ t‰ch E.
Gåi E1; E2 lƒn l÷æt l trung i”m cıa BC v AD. Theo k‚t qu£ ¢ bi‚t trong
h…nh håc phflng, quÿ t‰ch cıa E l o⁄n thflng E1E2.
Quÿ t‰ch F. ÷íng thflng E1E2 i qua O. Tø gi¡c SE1E2I1 l h…nh
thang hai ¡y l SE1; I1E2. Suy ra EI l ÷íng trung b…nh cıa h…nh
thang n y, tł â quÿ t‰ch trung i”m F cıa EI l o⁄n F1F2 vîi F1 l trung i”m
SE1, F2 l trung i”m I1E2. Quÿ t‰ch cıa F l o⁄n thflng F1F2.
2.2 Ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng trong khæng gian
2.2.1 Quÿ t‰ch phflng trong khæng gian
Nhœng b i to¡n quÿ t‰ch tuy trong gi£ thi‚t câ mang c¡c y‚u tŁ
khæng gian nh÷ng i”m cƒn t…m quÿ t‰ch ÷æc x¡c ành l luæn ð
trong mºt m°t phflng cŁ ành. Ta gåi â l c¡c quÿ t‰ch phflng trong
khæng gian. ” gi£i c¡c b i to¡n nh÷ v“y ta ph£i thi‚t l“p c¡c b÷îc
B÷îc 1. X¡c ành m°t phflng chøa i”m cƒn t…m quÿ t‰ch.
B÷îc 2. Tr¶n m°t phflng gi£i b i to¡n quÿ t‰ch phflng.
V‰ dö 2.3. Cho hai ÷íng thflng a v b ch†o nhau, vuæng gâc vîi nhau
v c¡ch nhau mºt kho£ng b‹ng h. C¡c i”m M v N thø tü chuy”n ºng
tr¶n a v b sao cho º d i MN luæn b‹ng k khæng Œi. T…m quÿ t‰ch
trung i”m I cıa MN.

20
Líi gi£i.
H…nh 2.3: Quÿ t‰ch trung i”m I
Phƒn thu“n. Gåi AB l ÷íng vuæng gâc chung cıa a v b. Theo gi£ thi‚t
AB=h, ta gåi O l trung i”m cıa AB. Gåi l m°t phflng trung trüc cıa AB,
theo b i to¡n tr¶n, trung i”m I cıa MN thuºc m°t phflng . Ta ¢ quy v•
quÿ t‰ch phflng tr¶n .
Gåi a0
; b0
l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa a; b tr¶n . Ta câ a0
k a; b0
k b.
Do a
?
b n¶n a0
?
b0
t⁄i O. Kþ hi»u M0
AB
; N0
l h…nh chi‚u t÷ìng øng cıa
M,N tr¶n , ta câ: M0
2 a0
; N0
2 b0
v MM0
= NN0
= : V“y I công
2
l trung i”m cıa M0
N0
. Do â,
1 1
OI = M0
I0
= IM0
=
p
IM2 MM02
=
p
k2 h2
(2.1)
2 2
1
p
(2.1) chøng tä I n‹m tr¶n ÷íng trÆn (c) t¥m O, b¡n k‰nh R = k2
h2
2
cıa m°t phflng .
Phƒn £o. L§y tòy þ i”m I2 (c), theo phƒn £o cıa b i to¡n mð ƒu ta
düng ÷æc h…nh b…nh h nh MM’N’N nh“n I l m t¥m (M 2 a; M0
2 a0
;
N 2 b; N0
2 b0
). V“y ch¿ cƒn chøng minh MN=k. Ta câ: MN = 2IM =
2
p
M0I2 + M0M2 = 2
p
IO2 + M0M2 = 2
s
2p k2
h2
2 + 2
2 =k:
1 h
V“y quÿ t‰ch cıa I l ÷íng trÆn (c), t¥m O, b¡n k‰nh R, n‹m trong .

21
V‰ dö 2.4. H…nh châp tø gi¡c S.ABCD, ¡y l h…nh chœ nh“t. C⁄nh
SA vuæng gâc vîi ¡y; Gåi M,N l trung i”m cıa SB, SC. Mºt i”m Q
chuy”n ºng tr¶n c⁄nh SA. M°t phflng (MNQ) c›t SD t⁄i P.
a. T…m quÿ t‰ch i”m I = MP NQ.
b. T…m quÿ t‰ch i”m K = MQ NP.
c. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc H cıa S tr¶n m°t phflng (MNQ).
Líi gi£i.
H…nh 2.4: Quÿ t‰ch I,K,H
D„ chøng minh ÷æc tø gi¡c MNPQ l h…nh thang vuæng. °c bi»t
khi Q tròng vîi trung i”m Q1 cıa SA th… tø gi¡c l h…nh chœ nh“t. a.
Quÿ t‰ch I = MP NQ.
Phƒn thu“n. V… I 2 MP n¶n I n‹m tr¶n m°t phflng (SBD) cŁ ành.
L⁄i câ I 2 NQ n¶n I n‹m tr¶n m°t phflng (SAC) cŁ ành. V“y I n‹m tr¶n
giao tuy‚n cıa hai m°t phflng n y. Gåi O1 l t¥m cıa ¡y, d„ th§y giao cıa
hai m°t phflng l SO1.

22
Phƒn £o. X†t tam gi¡c SAC. Khi Q! S th… I ! S, khi Q ! A th… I ! I1,
giao cıa AN v SO1. D„ th§y I1 l trång t¥m SAC. Nhœng i”m n‹m ngo i
o⁄n thflng SI1 khæng thäa m¢n • b i. L§y b§t ký I 2 SI1, D„ th§y NI c›t
SA ð Q v MI c›t SD ð P, I = MP NQ:
V“y quÿ t‰ch cıa I l o⁄n SI1.
b. Quÿ t‰ch K = MQ NP.
Phƒn thu“n. Do MQ n‹m trong m°t phflng (SAB), NP n‹m trong m°t
phflng (SCD) n¶n giao i”m K cıa chóng n‹m tr¶n giao tuy‚n cıa hai
m°t phflng n y. V… ABkCD n¶n giao tuy‚n l ÷íng thflng qua z’Sz,
song song vîi AB.
Phƒn £o. Trong m°t phflng (SAB) vîi mØi và tr‰ cıa Q trong o⁄n SA,
i”m K l giao cıa MQ v z’Sz. Do â khi Q chuy”n ºng trong o⁄n SQ1 (vîi
MQ1 k Sz, Q1 2 SA) th… K ch⁄y tr¶n tia Sz. Khi Q chuy”n ºng tr¶n o⁄n
AQ1 th… K ch⁄y tr¶n tia S1z0
, trong â, S1 = AM z0
Sz. Måi i”m K tr¶n
kho£ng (SS1) •u bà lo⁄i v… khi â KM khæng c›t o⁄n SA. L§y K thuºc Sz
ho°c S1z0
. NŁi MK nâ c›t SA ð Q, sau â l m nh÷ phƒn thu“n khi t…m
quÿ t‰ch cıa I.
V“y quÿ t‰ch cƒn t…m l hai tia Sx v S1x0
(k” c£ gŁc S; S1).
c. Quÿ t‰ch H, h…nh chi‚u cıa S tr¶n (MNQ):
Phƒn thu“n. Trong m°t phflng (SAB) düng SH? MQ (H thuºc
MQ).Theo chøng minh tr¶n, MN ? (SAB) n¶n MN ? SH. Do SH ? MQ
v SH ? MN n¶n SH ? (MNQ). V“y H ch‰nh l h…nh chi‚u cıa S tr¶n m°t
phflng (MNQ). Do â H luæn n‹m trong m°t phflng (SAB). Trong m°t
[ 0
phflng n y gâc SHM = 90 n¶n H thuºc ÷íng trÆn (c) ÷íng k‰nh SM.
Phƒn £o. V… Q ch¿ ch⁄y tr¶n SA n¶n H l giao i”m cıa MQ vîi ÷íng
trÆn (c) ch¿ ch⁄y tr¶n cung SH1 (thuºc ÷íng trÆn (c)), trong â H1 l
giao thø hai cıa AM vîi (c). Måi i”m ð ngo i cung SH1 •u bà lo⁄i. L§y
b§t ký H tr¶n cung SH1. ÷íng thflng MH c›t SA ð Q. Düng thi‚t di»n
MNPQ. D„ th§y H l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa S l¶n m°t phflng
(MNQ).
Quÿ t‰ch c¡c i”m H l cung SH1 (c) n‹m trong m°t phflng (SAB).
Nh“n x†t 2.2. C¥u b. khæng khâ ph¡t hi»n ra quÿ t‰ch tuy nhi¶n n‚u
khæng l÷u þ s‡ bà sai lƒm l l§y c£ phƒn thła cıa quÿ t‰ch.
Sau ¥y ta x†t hai b i to¡n hay g°p li¶n quan ‚n h…nh chi‚u (vuæng
gâc) cıa mºt i”m m nºi dung công l ¡p döng ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch

23
phflng. Ta gåi l b i to¡n A: "Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n ÷íng
thflng" v b i to¡n B: "Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n m°t phflng".
2.2.2 Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n ÷íng thflng
B i to¡n A. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc M cıa i”m cŁ
ành A tr¶n ÷íng thflng d di ºng trong m°t phflng P cŁ ành v luæn i
qua i”m O cŁ ành.
Ta thüc hi¶n gi£i b i to¡n n y theo c¡c b÷îc sau:
B1. Düng AH ? P (H 2 P) theo ành lþ ba ÷íng vuæng gâc ta câ:
HM ? d:
0
B2. Trong m°t phflng P câ HMO = 90 n¶n H thuºc ÷íng trÆn ÷íng
k‰nh OH trong m°t phflng P.
V‰ dö 2.5. Cho h…nh vuæng ABCD t¥m O. S 2 Ax ? (ABCD).
a. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc H cıa O l¶n ÷íng thflng SB.
b. T…m quÿ t‰ch ch¥n ÷íng cao v‡ tł ¿nh D trong tam gi¡c SDC.
Líi gi£i.
H…nh 2.5: B i to¡n A: Quÿ t‰ch H, E
a. Phƒn thu“n. Gåi H l h…nh chi‚u cıa O l¶n SB v I l trung i”m cıa AB.
Ta câ: OI ? AB; OI ? SA =) OI ? (SAB) =) OI ? SB;
SB ? OI; SB ? OH =) SB ? IH =) IHBd = 900
. Trong m°t phflng cŁ

24
ành (SAB),
gâc k‰nh IB.
IHBd = 900
n¶n H di ºng tr¶n ÷íng trÆn (c) ÷íng
Phƒn £o. D„ th§y H l giao i”m thø hai cıa SB v c. Khi S! A th… H! I,
Khi S ch⁄y ra væ t“n tr¶n tia Ax th… H ch⁄y v• B. Khi S di ºng tr¶n tia
Ax th… H ch¿ ch⁄y tr¶n nßa ÷íng trÆn (c) n‹m trong nßa m°t phflng
(SAB) chøa tia Ax, câ bí l AB v H khæng tròng vîi B. Gåi H l i”m b§t
ký tr¶n nßa ÷íng trÆn (c) nâi tr¶n. Düng S l giao cıa BH vîi tia Ax, ta
chøng minh H l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa O l¶n SB. Th“t v“y, ta câ:
SB ? HI; SB ? OI =) SB ? (OHI) =) SB ? OH:
Quÿ t‰ch c¡c i”m H l nßa ÷íng trÆn (c) n‹m trong m°t phflng
(SAB) chøa tia Ax, bí l AB khæng t‰nh i”m B.
b. Phƒn thu“n. Gåi E l ch¥n ÷íng cao v‡ tł D trong tam gi¡c SDC.
Ta câ DO ? AC; DO ? SA =) DO ? (SAC) =) DO ? SC; SC ?
DO; SC ? DE =) SC ? (DOE) =) SC ? OE:
[ 0
Trong m°t phflng (SAC), OEC = 90 , suy ra E thuºc ÷íng trÆn (c0
)
÷íng k‰nh OC.
Phƒn £o. E l giao i”m thø hai cıa SC v (c0
). Khi S ! A th… E ! O. Khi
S ch⁄y ra væ t“n tr¶n tia Ax th… E ch⁄y v• ph‰a C. Khi S di ºng tr¶n tia
Ax th… E ch¿ di ºng tr¶n nßa ÷íng trÆn (c0
) n‹m trong nßa m°t phflng
SAC, chøa tia Ax v E khæng tròng C. Ti‚p theo l m nh÷ phƒn a.
Quÿ t‰ch c¡c i”m E l nßa ÷íng trÆn (c0
) n‹m trong nßa m°t
phflng SAC, chøa tia Ax, lo⁄i bä i”m C.
V‰ dö 2.6. Cho tam gi¡c •u ABC, S di ºng tr¶n tia Ax ? (ABC).
a. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n SB.
b. Gåi N l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n m°t phflng (SBC).
Chøng minh r‹ng ÷íng thflng SN i qua trung i”m cıa BC. T…m
quÿ t‰ch i”m N.
c. Gåi K l trung i”m SC. Chøng minh r‹ng BK n‹m trong mºt m°t
phflng cŁ ành. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa A l¶n BK.
Líi gi£i.
a. Phƒn thu“n. Gåi d l ÷íng thflng chøa Ax, E l h…nh chi‚u vuæng
[ 0
gâc cıa A l¶n SB. Trong m°t phflng (B, d), AEB = 90 suy ra E thuºc

25
H…nh 2.6: B i to¡n A: quÿ t‰ch E, N, H
÷íng trÆn c1 ÷íng k‰nh AB.
Phƒn £o. Ta câ E l giao i”m thø hai giœa SB v (c1), suy ra khi S A
th… E A, khi S ch⁄y ra væ t“n tr¶n tia Ax th… E ch⁄y v• B. Khi S di ºng
tr¶n tia Ax th… E di ºng tr¶n nßa ÷íng trÆn (c1) n‹m trong nßa m°t
phflng (B, d) chøa tia Ax, câ bí l AB v E khæng tròng B. L§y E l i”m
thuºc nßa ÷íng trÆn (c1) nâi tr¶n, kh¡c B. Gåi S l giao cıa EB vîi tia Ax.
V… AE ? SB n¶n E l h…nh chi‚u cıa A l¶n SB.
Quÿ t‰ch c¡c i”m E l nßa ÷íng trÆn (c1) nâi tr¶n.
b. N l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n (SBC) suy ra AN?(SBC). Ta
câ BC ? SA; BC ? AN =) BC ? (SAN) =) BC ? SN:
Gåi I=SN BC, ta câ AI (SAN) =) AI ? BC. M°t kh¡c ABC l tam gi¡c
•u n¶n I l trung i”m cıa BC.
Phƒn thu“n. Trong m°t phflng (I, d), ANId = 900
suy ra I thuºc ÷íng
trÆn (c2) ÷íng k‰nh AI.
Phƒn £o l m ho n to n t÷ìng tü c¥u a. Ta ÷æc quÿ t‰ch c¡c i”m N l
nßa ÷íng trÆn (c2).

26
c. Gåi F l trung i”m cıa AC. V… K l trung i”m SC n¶n FK k d =) K
2 d1 cŁ ành i qua F, song song vîi d. Suy ra BK n‹m trong m°t phflng
cŁ ành (B, d1). Gåi H l h…nh chi‚u cıa A l¶n BK. Ta i t…m quÿ t‰ch
cıa H.
Phƒn thu“n. Ta câ: AC ? BF; AC ? d1 (do d1 k Ax n¶n d1 ? (ABC).
Suy ra AC ? (B; d1), k†o theo AC ? BK:
[
BK ? AC; BK ? AH =) BK ? (AHC) =) BK ? HF =) BHF =
0 [ 0
n¶n H thuºc ÷íng trÆn (c3)
90 : Trong m°t phflng (B, d1), BHF = 90
÷íng k‰nh BF.
Phƒn £o l m t÷ìng tü c¥u a. Ta ÷æc quÿ t‰ch c¡c i”m H l nßa ÷íng
trÆn (c3) ÷íng k‰nh BF, trong nßa m°t phflng (B, d1) câ bí l BF,
chøa tia Fy song song, còng chi•u vîi Ax, bä i”m B.
V‰ dö 2.7. Cho tam gi¡c •u ABC n‹m trong m°t phflng (P ). Gåi Bx;
Cy l hai tia còng chi•u v còng vuæng gâc vîi (P). Cho hai i”m M 2 Bx;
N 2 Cy. T…m quÿ t‰ch ch¥n H cıa ÷íng cao AH trong tam gi¡c AMN
khi M; N di ºng thäa m¢n mºt trong c¡c i•u ki»n sau:
(a) BM =
1
2CN; (b) BM + CN = 2m = const; (c) BM = CN.
Líi gi£i.
a. Bx, Cy còng vuæng gâc vîi (P) n¶n chóng x¡c ành mºt m°t phflng
cŁ ành, ta gåi â l m°t phflng (Q).
Phƒn thu“n. Gåi J l giao cıa MN v BC. V… BM k CN v BM=2CN
n¶n C l trung i”m cıa BJ, suy ra J l i”m cŁ ành. Gåi I l trung i”m cıa
BC th… ta câ:
AI ? BC; AI ? Bx =) AI ? (Q) =) AI ? MN
MN ? AI; MN ? AH =) MN ? (AIH) =) MN ? IH
Nh÷ v“y trong m°t phflng (Q), IHJd = 900
suy ra H thuºc ÷íng trÆn
÷íng k‰nh IJ.
Giîi h⁄n. Khi M B th… H I, khi M ra væ t“n tr¶n tia Bx th… H ‚n I.
Khi M di ºng tr¶n tia Bx th… H di ºng tr¶n nßa ÷íng trÆn (c1) n‹m
trong nßa m°t phflng chøa 2 tia Bx, Cy câ bí l BC. Phƒn £o. L§y H l
i”m tòy þ tr¶n nßa ÷íng trÆn (c1) nâi tr¶n, H6= J. Düng M,N lƒn l÷æt
l giao cıa Bx, Cy vîi HJ. Ta ph£i chøng minh BM=2CN v AH?MN.

27
V… C l trung i”m BJ, Cyk Bx n¶n BM=2CN. Ngo i ra, MN ?
IH; MN ? AI =) MN ? (AIH) =) AH ? MN:
K‚t lu“n. Quÿ t‰ch c¡c i”m H l nßa ÷íng trÆn (c1) ÷íng k‰nh IJ,
n‹m trong nßa m°t phflng chøa 2 tia Bx, Cy câ bí l BC.
b. Phƒn thu“n. Gåi K l trung i”m cıa MN th… IK l ÷íng trung b…nh
BM+CN
trong h…nh thang BCNM n¶n IK k Bx v IK = = m. Suy ra
k 2
suy ra H thuºc ÷íng trÆn (c2), ÷íng k‰nh IK.
Cy, gâc
IHKd = 90
K cŁ ành. Trong m°t phflng t⁄o bði hai tia Bx
0
,
H l giao thø hai cıa MN vîi (c2) n¶n suy ra: Khi M B th… N N0 tr¶n
Cy sao cho CN0 = 2m, H H0 vîi H0 l giao i”m thø hai cıa BN0 vîi (c2).
Khi N C th… M M0 tr¶n Bx sao cho BM0 = 2m, H H0
0 vîi H0
0 l giao
i”m thø hai cıa CM0 vîi (c2). Bði v“y khi M,N di ºng tr¶n Bx, Cy th… H ð
tr¶n cung H0KH0
0 cıa (c2).
L§y i”m H b§t ký tr¶n cung nâi tr¶n . Düng M,N lƒn l÷æt l giao i”m
cıa KH vîi hai tia Bx, Cy. Khi â tø gi¡c BCNM l h…nh thang, do â
BM + CN = 2IK = 2m v do MN ? IH; MN ? AI n¶n MN ? AH.
V“y quÿ t‰ch c¡c i”m H trong tr÷íng hæp n y l cung H0KH0
0 cıa
(c2) n‹m trong m°t phflng t⁄o bði hai tia Bx, Cy.
c. Phƒn thu“n. Khi BM=CN tø gi¡c BCNM l h…nh chœ nh“t, suy ra H
l trung i”m cıa MN n¶n H thuºc tia It song song, còng chi•u vîi hai tia
Bx, Cy.
Phƒn £o. Khi M B th… H I; khi M ra væ t“n tr¶n tia Bx th… H ra
væ t“n tr¶n tia It. Måi i”m H tr¶n tia It, düng qua H ÷íng thflng song
song vîi BC, c«ts Bx, Cy ð M,N. D„ th§y BM=CN v tł
MN ? HI; MN ? AI suy ra MN ? AH.
Quÿ t‰ch i”m H l tia It song song, còng chi•u vîi hai tia Bx, Cy.
2.2.3 Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m l¶n m°t phflng
B i to¡n B: T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc H cıa i”m cŁ
ành A l¶n m°t phflng (P) di ºng luæn chøa mºt ÷íng thflng d cŁ ành.
Ta thüc hi¶n gi£i b i to¡n n y theo c¡c b÷îc sau:
Phƒn thu“n.
B1. T…m m°t phflng Q qua A v vuæng gâc vîi d.

28
B2. T…m giao tuy‚n d cıa (P) v (Q).
B3. Düng H l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n c th… H công l h…nh
chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n m°t phflng (P).

[
B4. Gåi E = d (Q) Trong m°t phflng (Q), t‰nh gâc AHE. Quÿ t‰ch l
cung chøa gâc trong (Q).
Phƒn £o. L§y b§t ký H tr¶n cung chøa gâc, düng h…nh thäa m¢n
mºt sŁ i•u ki»n sau â chøng minh H thäa m¢n b i to¡n.
V‰ dö 2.8. Cho h…nh vuæng ABCD t¥m O. S 2 Ax ? (ABCD).
a. Khi S di ºng tr¶n tia Ax, t…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa i”m O
l¶n m°t phflng (SBC).
b. Khi S cŁ ành, M l i”m di ºng tr¶n o⁄n AC, t…m quÿ t‰ch h…nh
chi‚u cıa A l¶n m°t phflng SMB.
Líi gi£i. a. Phƒn thu“n.
H…nh 2.7: B i to¡n B: Quÿ t‰ch h…nh chi‚u H cıa A
M°t phflng (SBC) di ºng nh÷ng luæn chøa ÷íng thflng BC cŁ ành.
Düng m°t phflng i qua O, vuæng gâc vîi BC. Gåi I v K lƒn l÷æt l

29
trung i”m cıa BC v SC. Lóc â I cŁ ành cÆn K di ºng tr¶n tia Ot song
song v còng chi•u vîi tia Ax. Gåi (Q) l m°t phflng x¡c ành bði I
v ÷íng thflng chøa Ot. Ta câ Ot k Ax; Ax ? (ABCD) =) Ot ? BC; BC
? OI; BC ? Ot =) BC ? (Q). V“y (Q) l m°t phflng qua O v vuæng gâc vîi
BC. Trong (Q) düng OH ? KI; K 2 KI. Ta câ OH ? BC(OH (Q)); OH ?
KI =) OH ? (SBC). Trong m°t phflng (Q), OHId = 900
, suy ra H thuºc
÷íng trÆn (c) ÷íng k‰nh OI.
Giîi h⁄n. Khi K O th… H O, khi K ra væ t“n th… H ch⁄y v• I. Khi K di
ºng tr¶n tia Ot th… H di ºng tr¶n nßa ÷íng trÆn (c) lo⁄i bä i”m I, n‹m
trong nßa m°t phflng (Q) chøa tia Ot, câ bí l OI.
Phƒn £o. Gåi H l i”m tòy þ tr¶n nßa ÷íng trÆn (c), n‹m trong nßa
m°t phflng (Q) chøa tia Ot, câ bí l OI, H 6= I. Ta chøng minh tçn t⁄i i”m
S tr¶n tia Ax sao cho H l h…nh chi‚u cıa O l¶n m°t phflng (SBC).
Gåi K l giao cıa IH vîi tia Ot v düng S=CK Ot. Ta câ
OH ? KI; OH ? BC =) OH ? (SBC) =) H l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa
O l¶n m°t phflng (SBC).
V“y quÿ t‰ch c¡c i”m H l nßa ÷íng trÆn (c) lo⁄i bä i”m I, n‹m trong
nßa m°t phflng (Q) chøa tia Ot, câ bí l OI. b. Phƒn thu“n.
Düng AE ? SB; E 2 SB. Ta câ
H…nh 2.8: B i to¡n B: Quÿ t‰ch h…nh chi‚u N cıa A

30
AD ? SA; AD ? AB =) AD ? (SAB) =) AD ? SB.
AD ? SB; AE ? SB =) (ADE) ? SB. Gåi N l h…nh chi‚u cıa A l¶n
(SMB) th… AN ? (SMB) =) AN ? SB =) AN 2 (ADE).
[ 0
n¶n N
Trong m°t phflng (ADE) cŁ ành, AN ? SB =) ANE = 90
thuºc ÷íng trÆn (c0
) ÷íng k‰nh AE.
Giîi h⁄n. D„ th§y N l giao i”m thø hai cıa (c0
) v EF (F = BMAD). Ta
suy ra: khi M ti‚n ‚n A th… F A; N A, khi M ‚n C th… F ra væ t“n tr¶n
tia AD, N ch⁄y ‚n E, khi M ti‚n ‚n C th… N E. V“y khi M di ºng tr¶n o⁄n
AC th… N di ºng tr¶n nßa ÷íng trÆn (c0
), ÷íng k‰nh AE, n‹m trong
nßa m°t phflng (ADE) chøa tia AD, câ bí l AE. Phƒn £o. Gåi N l i”m
b§t ký tr¶n nßa ÷íng trÆn (c0
) nâi tr¶n. Ta cƒn chøng minh tçn t⁄i i”m
M tr¶n o⁄n AC sao cho AN ? (SMB).
Th“t v“y, khi N E th… M l C. Khi N 6= E th… EN c›t AD ð F, BF c›t
o⁄n AC t⁄i M. Ta câ AN ? NE (do N 2 (c0
)), AN ? SB(do AN (ADE)),
suy ra AN ? (SMB).
V“y quÿ t‰ch c¡c i”m N l nßa ÷íng trÆn (c0
), ÷íng k‰nh AE,
trong nßa m°t phflng (ADE) chøa tia AD, câ bí l AE.
V‰ dö 2.9. Tr¶n m°t phflng (P) cho ÷íng trÆn t¥m O. A l i”m cŁ ành
tr¶n v BC l mºt d¥y cung di ºng cıa luæn vuæng gâc vîi OA. Tr¶n
÷íng thflng d ? (P) l§y mºt i”m S cŁ ành, kh¡c A. T…m quÿ t‰ch h…nh
chi‚u cıa A l¶n m°t phflng (SBC).
Líi gi£i.
Phƒn thu“n Gåi D l i”m Łi xøng cıa A qua O v I l giao cıa AD vîi BC,
H l h…nh chi‚u cıa A l¶n SI. Ta câ: BC ? AD; BC ? SA =) BC ?
(SAD) =) BC ? AH v AH ? BC; AH ? SI =) AH ? (SBC) =) H l h…nh
chi‚u cıa A l¶n (SBC).
[ 0
Trong m°t phflng cŁ ành (SAD), ASH = 90 suy ra H thuºc ÷íng
trÆn (c) ÷íng k‰nh SA.
Giîi h⁄n. BC di ºng nh÷ng luæn vuæng gâc vîi AD, I di ºng tr¶n o⁄n
AD, H l giao i”m thø hai cıa SI v (c). Tł â suy ra:
I A th… H A; khi I D th… H H0, H0 l giao i”m thø hai cıa SD v (c);
khi I di ºng tr¶n o⁄n AD th… H di ºng tr¶n cung nhä AH0 cıa ÷íng trÆn
(c).
Phƒn £o. L§y H l i”m tòy þ tr¶n cung AH0, ta ph£i chøng minh tçn t⁄i
mºt d¥y cung BC cıa vuæng gâc vîi OA sao cho H l h…nh chi‚u

31
H…nh 2.9: Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa A
cıa A l¶n (SBC). Th“t v“y, gåi I = SH OA. Düng d¥y cung BC cıa
, BC qua I v vuæng gâc vîi OA. Ta câ: BC ? AD; BC ? SA =) BC ?
(SAD) =) BC ? AH. L⁄i câ AH ? BC; AH ? SI =) AH ? (SBC) =) H l
h…nh chi‚u cıa A l¶n (SBC).
Quÿ t‰ch c¡c i”m H l cung nhä AH0 cıa ÷íng trÆn (c), trong m°t
phflng (SAD).
2.3 Ph÷ìng ph¡p v†c tì v tåa º
2.3.1 T…m quÿ t‰ch nhí v†c tì
C¡c i•u ki»n cıa i”m cho bði flng thøc h…nh håc th÷íng ÷æc thu
gån nhí bi‚n Œi v†c tì. C¡c bi‚n Œi n y l bi‚n Œi t÷ìng ÷ìng n¶n ta ¢
thüc hi»n l÷æc ç thu“n- £o song song.
V‰ dö 2.10. Cho tø di»n ABCD. T…m quÿ t‰ch nhœng i”m M thäa
! !!!!!!
a. 3jMA + MB + MC + MDj = 4jMB + MC + MDj
! ! ! ! ! !
j
3MA
j j
MB
j
.
b. 2MB+MC+MD = MA
Líi gi£i.

32
H…nh 2.10: M°t phflng trung trüc v m°t cƒu
a. Gåi G l trång t¥m tø di»n ABCD v G1 l trång t¥m BCD. Khi
! ! ! ! ! 1 ! 1 ! 1
~
~
â, GA + GB + GC + GD = 0; G B + G C + G D = 0. Tł â v‚ tr¡i
= !!!! j ! ! ! ! ! j
j j
4GM =
3MA+MB+MC+MD = 3GA+GB+GC+GD
3 j ! j ! ! ! j ! 1 ! 1
!G
4GM = 12G M, v‚ ph£i =4 MB + MC + MD = 4 G B + G C +
D ! 1 j ! j 1
1
3G
j 1
M =12G M = 12G M.
flng thøc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi GM = G1M. Tł quÿ t‰ch cì b£n
9 ta k‚t lu“n ÷æc quÿ t‰ch c¡c i”m M l m°t phflng trung trüc cıa
o⁄n thflng GG1.
2+1+1 = 3 6= 0)
b. Theo c¡ch x¡c ành t¥m t cü cıa h» i”m (v… 3
! ! ! !
~
ta th§y tçn t⁄i i”m I sao cho 3IA 2IB + IC + ID = 0. flng thøc â
câ th” vi‚t ÷æc d÷îi d⁄ng
! ! ! ! !
! ! ! ! !
~
3IA 2AB+AC+
2(IA + AB) + (IA + AC) + (IA + AD) = 0 hay 3IA
! ~ ! ! !
AD = 0. Gåi N l trung i”m CD th… AC + AD = 2AN, flng thøc tr¶n
! ! ! ! !
() 3
trð th nh 3IA = 2(AB AN) IA =
2
NB. V“y I ÷æc x¡c ành v
! ! ! ! !
duy nh§t. Ti‚p theo, d„ th§y 3MA
!
2MB + MC + MD = 3MI. V… v“y
!
flng thøc ¢ cho t÷ìng ÷ìng vîi 3MI = AB. Theo quÿ t‰ch cì b£n 13
ta câ quÿ t‰ch c¡c i”m M l m°t cƒu t¥m I, b¡n k‰nh1AB.
3
V‰ dö 2.11. Cho tø di»n ABCD.
2 !MA! ! !
j
min
a. T…m M (P) cho tr÷îc sao cho +MB+MC+MD .

33
b. Khi ABCD l tø di»n •u c⁄nhpa, t…m quÿ t‰ch c¡c i”m M sao cho
!MA! ! ! j
j
= a 6
+MB+MC+MD
Líi gi£i. !
a. Gåi E, F, O lƒn l÷æt l trung i”m cıa AC, BD, EF. Ta câ OA +
!!! !! !! !! !!
OB+OC+OD = (OE+EA)+(OF+FB)+(OE+EC)+(OF+FD) =
= ! ! ! ! ! ! ~
2(OE + OF) + (EA + EC) + (FB + FD) = 0.
!!!!! !! !! !! !
!
MA+MB+MC+MD = MO+OA+MO+OBMO+OC+MO+OD =
! ! ! ! ! jmin
4:MO:
j
MA+MB+MC+MD
jmin () j
, tøc l khi vch¿
V“y MO
khi M l h…nh chi‚u cıa O tr¶n m°t phflng (P) ¢ cho. p
= a
p
a
p
b. j +MB+MC+MD () : hay a 6:
!
MA ! ! ! 6 4MO= 6MO=
Tł ¥y, quÿpt‰ch c¡c i”m M l m°t cƒu t¥m O (trung i”m EF), b¡n
a 6
k‰nh R = 4 .
! 1 !
Ta x†t th¶m t‰nh ch§t cıa m°t cƒu vła t…m ÷æc: X†t AO = (AE +
2
! ! ! !
1
! ! !
AF) = (AC+AB+AD). Tø di»n ABCD •u n¶n ba v†c tì AC; AB; AD
4
tłng æi t⁄o vîi nhau gâc 600
. Suy ra
! ! ! !
! ! ! j
(AC + AB + AD)2
= AC2
+ AB2
+ AD2 j jj j jj j
+
+ AC AB +ABAD
! ! j ! ! ! j 4 6
j jj 4
j
AD AC = 6a2
. V“y, AO =
1
AC+AB+AD =
a p
= MO. i•u
n y ngh¾a l b¡n k‰nh m°t cƒu quÿ t‰ch b‹ng b¡n k‰nh m°t cƒu
ngo⁄i ti‚p tø di»n •u. Hìn nœa O c¡ch •u bŁn ¿nh A,B,C,D n¶n m°t cƒu
quÿ t‰ch ch‰nh l m°t cƒu ngo⁄i ti‚p tø di»n.
2.3.2 T…m quÿ t‰ch nhí tåa º
T§t c£ c¡c b i to¡n d⁄ng l“p ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng, m°t phflng,
m°t cƒu,... •u ÷æc coi l b i to¡n t…m quÿ t‰ch (t“p hæp nhœng i”m
thäa m¢n ph÷ìng tr…nh ho°c h» ph÷ìng tr…nh). Trong phƒn ti‚p theo
ta ch¿ x†t c¡c b i to¡n h…nh håc khæng gian thu n tóy gi£i b‹ng
ph÷ìng ph¡p tåa º. ” gi£i c¡c b i to¡n n y b‹ng ph÷ìng ph¡p tåa º ta cƒn
thüc hi»n theo c¡c b÷îc sau
B1: Chån h» tröc tåa º Oxyz th‰ch hæp: X¡c ành ba ÷íng thflng
çng quy v æi mºt c›t nhau tr¶n cì sð câ sfin tr¶n h…nh v‡ (tam di»n

34
vuæng, h…nh hºp, h…nh l“p ph÷ìng, h…nh châp tø gi¡c, tø
di»n,...) hay düa tr¶n m°t phflng vuæng gâc câ v‡ th¶m ÷íng phö.
B2: Tåa º hâa c¡c i”m cıa h…nh håc khæng gian: T‰nh tåa º cıa c¡c
i”m li¶n quan trüc ti‚p ‚n gi£ thi‚t, k‚t lu“n cıa b i to¡n. C¡c t‰nh to¡n
tåa º düa tr¶n t‰nh song song, vuæng gâc ¢ cho trong gi£ thi‚t.
B3: Chuy”n gi£ thi‚t sang tåa º, bi”u thøc cıa h…nh håc gi£i t‰ch: L“p
ph÷ìng tr…nh ÷íng, m°t li¶n quan. Gi£i h» ph÷ìng tr…nh ” t…m tåa
º ho°c ph÷ìng tr…nh cƒn cho k‚t lu“n.
B4: Nh“n d⁄ng ph÷ìng tr…nh quÿ t‰ch: ÷íng thflng, m°t phflng, m°t
cƒu. Chó þ mi•n x¡c ành v mi•n gi¡ trà cıa ph÷ìng tr…nh ” câ k‚t
lu“n ch‰nh x¡c v• quÿ t‰ch cƒn t…m.
Trong c¡c b÷îc tr¶n, b÷îc B1 quan trång nh§t. Chån h» tåa º kh†o l†o
s‡ gi£m i c¡c t‰nh to¡n phøc t⁄p, nhanh châng ÷a ra ÷æc k‚t lu“n
cuŁi còng. Trong mºt b i to¡n câ th” câ nhi•u c¡ch lüa chån h» tröc tåa
º. Ta s‡ b n ‚n ph÷ìng ph¡p n y thæng qua c¡c v‰ dö sau ¥y.
V‰ dö 2.12. Cho h…nh châp S:ABC câ ¡y ABC l tam gi¡c c¥n AB =
[ 0
. ¿nh S di ºng tr¶n ÷íng thflng AZ ? (ABC).
AC = a, BAC = 120
Gåi M; N l trung i”m c¡c c⁄nh SB; SC.
a. T‰nh kho£ng c¡ch cıa hai ÷íng thflng AN v CM.
b. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u H cıa A l¶n m°t phflng SBC.
Líi gi£i. Câ nhi•u c¡ch chån h» tåa º. — ¥y ta chån gŁc tåa
i”m O, trung i”m c⁄nh BC, c¡c tröc tåa º nh÷ h…nh v‡. Khi p
[ 1 [ 0 a 3
â, BAO = BAC = 60 n¶n AO = . Ta câ tåa º c¡c i”m:
2 p p 2
A(0; a; 0); B( a 3 ; 0; 0); C( a 3 ; 0; 0); S(0; a; d).
2
2 2 2
p p p p
a. V… M( a 3 ; a; a 2 ); N( a 3 ; a; a 2 ) n¶n
4
4 4 4 4 8
a
p
; a ; a
p
p a ;a
p
);AC = ( ap ; a
AN=( 3 2);CM = ( 3a 3 ; 2 3 ; :
! 4 4 8 ! 4 4 8 ! 2 2 0)
! !^ a2
p
a2
p
a2
p
=)
! !
^ ! a3
p
2 6 3 6
16 8 8 32
AN CM = ; ; AN CM:AC = :

35
H…nh 2.11: Ph÷ìng ph¡p tåa º
Do â kho£ng c¡ch giœa hai ÷íng thflng AN v CM l
d(AN; CM) =
! !^
! = ap
57:
AN CM:AC
! !
^
AN CM 38
b. X¡c ành tåa º giao i”m H:
Ph÷ìng tr…nh m°t phflng (SBC): 2dy + az = 0
Ph÷ìng tr…nh ÷íng thflng AH: x = 0; y =
a + 2dt; z = at
2
a ad ad
Tåa º giao i”m H: xH = 0; yH = + 2d ; zH = a: .
2 a2
+ 4d2
a2
+ 4d2
8 Sau khi khß d ta ÷æc tåa º c¡c i”m H thäa m¢n ph÷ìng tr…nh
y2 + z2 + 2ay = 0 hay 8 y + 4 + z2 = 4
<
1
<
a 2 a 2
x = 0 x = 0:
: Quÿ t‰ch cıa H l ÷íng : I(0 4; 0), b¡n k‰nh r = 4 n‹m
trÆn t¥m ; a a
trong m°t phflng yOz vîi cao º d÷ìng.
p
V‰ dö 2.13. ([8]) Cho tø di»n •u ABCD c⁄nh a = 6. T…m quÿ t‰ch
nhœng i”m M sao cho tŒng b…nh ph÷ìng c¡c kho£ng c¡ch tł i”m â ‚n
c¡c m°t cıa tø di»n b‹ng 2.
Líi gi£i

36
Düng h…nh l“p ph÷ìng AB0
CD0
:C0
DA0
B ngo⁄i ti‚p tø di»n •u ABCD.
Chån ¿nh D0
Łi xøng vîi D qua t¥m O cıa h…nh l“p ph÷ìng l m gŁc
tåa º. C¡c tia [D0
A); [D0
B); [D0
C) l c¡c tia còng chi•u vîi chi•u d÷ìng p
cıa tröc ho nh, tröc tung, tröc cao. V… c⁄nh tø di»n a = 6 n¶n c⁄nh
a p
h…nh l“p ph÷ìng b = p = 3. Chó þ r‹ng O l t¥m h…nh vuæng công
2
l t¥m cıa tø di»n. Ta câ tåa º c¡c i”m: A(
p
; 0; 0); B(0;
p
3 3; 0);
p p p p p p p
3 3 3
C(0; 0; 3); D( 3; 3; 3); O( ; ; ):
2 2 2
C¡c m°t cıa tø di»n câ ph÷ìng tr…nh lƒn l÷æt l :
p
mp(ABC) : x + y + z 3 = 0
p
mp(DBC) : x + y + z 3 = 0
p
mp(DCA) : x y + z 3 = 0
p
mp(DAB) : x + y z 3 = 0:
p
Gåi M(x0; y0; z0) v d4 = d(M; (ABC)), ta câ d4
2
= (x0 + y0 + z0 3)2
=
1
p
12
+12
+12
:(x0 + y0 + z0 3)2
. T÷ìng tü,
3
p
1
d1 = d(M; DBC); d1
2
= :( x0 + y0 + z0 3)2
;
3
p
d2 = d(M; DCA); d2
2
=
1
:(x0 y0 + z0 3)2
;
3
p
d3 = d(M; DAB); d3
2
=
1
:(x0 + y0 z0 3)2
;
3
Cºng v‚ vîi v‚ 4 ph÷ìng tr…nh tr¶n th… ÷æc
4
Xi
4 p
di
2
= [x0
2
+ y0
2
+ z0
2
+ 3 4 3(x0 + y0 + z0)] =
3
=1
4 p 2 p 2 p 2 1
"
x0
3
+ y0
3
+ z0
3
+ 3
#
3 2 2 2 4
i”m M0(x0; y0; z0) thäa m¢n i•u ki»n b i to¡n khi v ch¿ khi
4 4 p 2 p 2 p 2
di
2
= 2 = " x0
3
+ y0
3
+ z0
3 #
+ 1
3 2 2 2
i=1
X p
4
OM2
+1=2()OM2
=
3 3
() ()OM= 2 p
.
3 4 3
Quÿ t‰ch c¡c i”m M l m°t cƒu t¥m O, b¡n k‰nh .

2

37
V‰ dö 2.14. ([8]) Ba ÷íng thflng æi mºt vuæng gâc, chung i”m O.
C¡c i”m A; B; C t÷ìng øng n‹m tr¶n c¡c ÷íng thflng sao cho OA = OB
= OC. Gi£ sß d l ÷íng thflng tòy þ i qua O, A1; B1; C1 l c¡c i”m Łi xøng
vîi A; B; C qua d. Qua A1; B1; C1 düng ba m°t phflng t÷ìng øng vuæng
gâc vîi c¡c ÷íng thflng OA; OB; OC. T…m quÿ t‰ch giao i”m cıa ba
m°t phflng n y.
Líi gi£i
L§y c¡c ÷íng thflng l m c¡c tröc tåa º, i”m O l gŁc tåa º (chån h÷îng
c¡c tröc sao cho (OA, OB,OC) l tam di»n thu“n). Gi£ sß d t⁄o vîi c¡c
tröc c¡c gâc ; ; . Khi â c¡c v†c tì chi‚u cıa c¡c
! ! !
v†c tì OA1; OB1; OC1 tr¶n c¡c tröc tåa º OA; OB; OC s‡ câ º d i l
a cos 2 ; a cos 2 ; a cos 2 ; a = OA=OB=OC. Do â, i”m M l giao cıa
c¡c m°t phflng i qua A1; B1; C1 t÷ìng øng vuæng gâc vîi OA; OB; OC
s‡ câ tåa º (a cos 2 ; a cos 2 ; a cos 2 ).
T“p hæp c¡c i”m câ tåa º (cos2
; cos2
; cos2
) l tam gi¡c vîi ¿nh l 3
i”m ngån c¡c v†c tì ìn và cıa c¡c tröc tåa º. Do â quÿ t‰ch c¡c i”m M
cƒn t…m l tam gi¡c m c¡c ¿nh câ tåa º
( a; a; a); ( a; a; a); (a; a; a):
V• nguy¶n t›c t§t c£ c¡c b i to¡n quÿ t‰ch •u gi£i ÷æc b‹ng ph÷ìng
ph¡p tåa º. Tuy nhi¶n n‚u khæng chån ÷æc h» tåa º th‰ch hæp ” ìn
gi£n hâa c¡c tåa º th… vi»c t‰nh to¡n r§t cçng k•nh, khâ i ‚n k‚t qu£
cuŁi còng. Ta công chó þ r‹ng, c¡c bi‚n Œi •u l t÷ìng ÷ìng n¶n ta ¢ ti‚n
h nh l÷æc ç "thu“n- £o song song".
2.4 Ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh
Sß döng c¡c ph†p bi‚n h…nh ” gi£i b i to¡n quÿ t‰ch l ph÷ìng ph¡p
r§t hi»u qu£ nh÷ ¢ bi‚t trong h…nh håc phflng. Khi sß döng th nh
th⁄o, ph÷ìng ph¡p n y cÆn cho ta s¡ng t⁄o ra mºt lo⁄t c¡c quÿ t‰ch tł
mºt quÿ t‰ch ¢ bi‚t. Kÿ thu“t gi£i b i to¡n quÿ t‰ch b‹ng bi‚n h…nh
th÷íng gçm c¡c b÷îc:
B1. Ph¡t hi»n phƒn tß g¥y n¶n quÿ t‰ch, chflng h⁄n I, cÆn i”m cƒn
t…m quÿ t‰ch l M. Chøng minh quan h» bi‚n h…nh giœa I v M
b‹ng flng thøc: f(I) = M, trong â f l mºt ph†p bi‚n h…nh ¢ bi‚t.

38
B2. Tł quÿ t‰ch cıa I (th÷íng l câ sfin ho°c l quÿ t‰ch cì b£n ho°c d„
t…m) suy ra quÿ t‰ch cıa M (khæng cƒn £o v… måi ph†p bi‚n
h…nh f •u tçn t⁄i f 1
).
2.4.1 Ùng döng c¡c ph†p díi h…nh
V‰ dö 2.15. Cho h…nh châp S.ABCD câ ¡y ABCD l h…nh vuæng,
SA ? (ABCD). Gåi M l i”m di ºng tr¶n c⁄nh BC, H l h…nh chi‚u vuæng
gâc cıa S l¶n DM v K l i”m Łi xøng cıa H qua D. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m
K.
Líi gi£i.
H…nh 2.12: Łi xøng t¥m SD
Giœa K v H câ quan h» bi‚n h…nh,â l K = SD
(H).
Ta i t…m quÿ t‰ch cıa H. NŁi AH, v… SH ? DM n¶n theo ành lþ
3 ÷íng vuæng gâc ta câ: AH ? DM. Trong m°t phflng (ABCD),

39
[ 0
AHD = 90 , suy ra H thuºc ÷íng trÆn (c) ÷íng k‰nh AD. M°t kh¡c, khi
M! B th… H! E l giao i”m thø hai cıa (c) v BD. Khi M! C th… H! D. Måi
i”m H tr¶n cung nhä DE cıa ÷íng trÆn (c) chøa trong gâc BDC •u thäa
m¢n • b i. Nh÷ v“y ta t…m ÷æc quÿ t‰ch cıa H l cung nhä DE. H
ch‰nh l i”m g¥y n¶n quÿ t‰ch cıa K. Ta suy ra quÿ t‰ch i”m K l cung
trÆn, £nh cıa cung nhä DE nâi tr¶n qua ph†p Łi xøng t¥m D.
V‰ dö 2.16. Trong m°t phflng P cho tam gi¡c ABC vuæng ð A. Gåi d
l ÷íng thflng i qua A, vuæng gâc vîi m°t phflng P. i”m S di ºng tr¶n
d v H l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa A l¶n m°t phflng (SBC).
a. Chøng minh H l trüc t¥m SBC. T…m quÿ t‰ch cıa i”m H.
b. Gåi K l giao i”m cıa SH vîi ÷íng trÆn ngo⁄i ti‚p tam gi¡c SBC.
T…m quÿ t‰ch cıa i”m K.
Líi gi£i.
a. Ta câ BC ? SA; BC ? AH n¶n BC ? (SAB). Tł â, BC ? SH: V…
AB ? AC; AB ? SA suy ra AB ? (SAC), tł â, AB ? SC. L⁄i câ SC ? AH
n¶n SC ? (ABH): Suy ra SC ? BH.
Tł l“p lu“n tr¶n thu ÷æc H l giao hai ÷íng cao n¶n l trüc t¥m tam
gi¡c SBC.
Gåi E l giao cıa SH vîi BC ta câ BC ? (SAH) suy ra BC ? AE tøc E
l h…nh chi‚u cıa A l¶n BC n¶n E cŁ ành v AH ? SE t⁄i H.Khi S di ºng
tr¶n d i”m H luæn ð trong m°t phflng (SAE) cŁ ành. Qu¾ t‰ch cıa H
l ÷íng trÆn (c) ÷íng k‰nh AE chøa trong m°t phflng (SAE), bä i”m E
(do H khæng th” tròng vîi E).
b. Theo t‰nh ch§t cıa trüc t¥m, d„ th§y K v H Łi xøng nhau qua
BC, K = SBC(H), bði v“y quÿ t‰ch cıa K l £nh cıa (c) qua ph†p Łi
xøng tröc BC (công bä i i”m E0
= SBC(E)).
V‰ dö 2.17. Cho m°t phflng P v tø di»n ABCD. Vîi mØi i”m M 2 P
! ! ! ! !
ta x¡c ành i”m N theo cæng thøc MA + MB + MC + MD = 2MN: T…m
quÿ t‰ch i”m N khi M di ºng tr¶n m°t phflng P.
! ! ! ! ! ! ! ! !
OA+OB+OC+OD = ~0; suy ra MA+MB+MC+MD = 4MO: Tł ¥y,

40
H…nh 2.13: Łi xøng tröc SBC
! ! ! ! ! ! !
i•u ki»n MA+MB+MC+MD = 2MN , MN = 2MO , N = SO
(M): Tł flng
thøc n y ta k‚t lu“n ÷æc quÿ t‰ch cıa i”m N l m°t phflng P0
, £nh Łi
xøng cıa m°t phflng P qua t¥m Łi xøng O.
V‰ dö 2.18. Cho m°t phflng P v hai ÷íng thflng d; d0
ch†o nhau, c›t
P lƒn l÷æt t⁄i O, O’. Gåi Q l m°t phflng x¡c ành bði d v ÷íng thflng d1 k
d0
, d1 i qua O. Mºt ÷íng thflng di ºng song song vîi P ho°c n‹m trong P,
c›t d t⁄i A, c›t d0
t⁄i A0
v gåi M l i”m tr¶n sao cho:
!
0
!
6
MA = kMA (k l sŁ thüc cho tr÷îc v k = 1). ÷íng thflng d2 song song vîi
OO0
v‡ tł M, c›t m°t phflng Q t⁄i M0
. Khi A ch⁄y tr¶n d, t…m quÿ t‰ch
c¡c i”m M0
; M.
Líi gi£i.
a. Quÿ t‰ch i”m M0
.
k OO0
Düng ÷íng thflng qua A0
song song vîi OO0
, c›t d1 t⁄i K. V… MM0
n¶n MM0
k
A0
K: L⁄i câ M AA0
do â MM0
n‹m trong m°t phflng
(AA0
K) v M0
2 AK: M°t kh¡c, MA0
=
!
MA M0
K = M0
A
.
2
! k n¶n ta câ:
!
!k
M°t phflng (AA0
K) k P (v… nâ chøa hai ÷íng thflng c›t nhau A0
K;
A0
A song song vîi P). Do â, m°t phflng Q c›t hai m°t phflng tr¶n theo
hai giao tuy‚n song song AK k Ox.
Trong gâc (d; d1), ÷íng thflng AK k Ox (cŁ ành)v i”m M0
chia

41
H…nh 2.14: Quÿ t‰ch M0
o⁄n thflng AK theo t sŁ khæng Œi m n o â. V“y quÿ t‰ch c¡c i”m
M0
l ÷íng thflng (D) v‡ tł O v qua M0
0
(mºt và tr‰ °c bi»t cıa M0
).
b. Quÿ t‰ch cıa M
MA0
=!
MA M0
K = M0
A = !
MA+AA0
=!
MA M0
A+!
Ta câ! k !; !k ) !
0
k !; AK =
M0
A = !
MA M0
A + AA0
! !
!
k ) ! ! AK = k(MA !
M A). Tł â:
! !
! ! ! ! ! 1
MM0
+ KA0
= kMM0
= (1 k)MM0
=A0
K= M0
M= KA0
=
1! ! ! ) ) 1 k
OO0
(do KA0
= OO0
).
1 k
£nh cıa M0
qua ph†p tành ti‚n: M = Tv~(M0
) vîi ~v
V“y M l =
1!
OO0
. Suy ra quÿ t‰ch cıa i”m M0
l £nh cıa ÷íng thflng (D)
1 k 1 !
qua ph†p tành ti‚n vîi v†c tì tành ti‚n ~v = OO0
.
1 k
2.4.2 Ùng döng ph†p và tü v ph†p çng d⁄ng
V‰ dö 2.19. Mºt m°t phflng c›t c¡c c⁄nh cıa gâc tam di»n Oxyz theo
tam gi¡c ABC. T…m quÿ t‰ch trång t¥m tam gi¡c ABC khi
a. C¡c ¿nh A; B cŁ ành tr¶n Ox, Oy.
b. ¿nh A cŁ ành tr¶n Ox.
Líi gi£i. a. Gi£ sß D l trung i”m cıa AB, gåi Q l trång t¥m ABC. Khi â
HD
1(C) = Q. V… quÿ t‰ch cıa C l tia Oz n¶n quÿ t‰ch cıa Q l
3

42
£nh cıa tia â qua ph†p và tü HD
1. N‚u gåi Q1 l trång t¥m AOB th…
3
quÿ t‰ch cıa Q l tia qua Q1 song song vîi c⁄nh Oz.
b. Gåi E l trung i”m cıa BC, d„ th§y HA
2(E) = Q. V… quÿ t‰ch cıa
3
E m°t zOy cıa gâc tam di»n n¶n quÿ t‰ch cıa Q l £nh cıa m°t â qua
ph†p và tü HA
2.
3
H…nh 2.15: Quÿ t‰ch trång t¥m Q
V‰ dö 2.20. Cho m°t phflng P v ba i”m A,B,C khæng n‹m trong m°t
phflng song song vîi P v ð còng mºt b¶n Łi vîi P. Ba ÷íng thflng song
song v‡ tł A; B; C c›t P lƒn l÷æt ð A0
; B0
; C0
. Gi£ sß ba ÷íng thflng
•u di ºng sao cho AA0
+ BB0
+ CC0
= k ( º d i khæng Œi).
a. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m A0
; B0
; C0
:
b. T…m quÿ t‰ch trång t¥m G cıa A0
B0
C0
:
Líi gi£i.
a. Quÿ t‰ch c¡ci”m A
0
; B
0
; C
0
:
Gåi A1; B1; C1 thø tü l h…nh chi‚u cuæng gâc cıa A,B,C l¶n m°t phflng
P. Khi â, AA1 k BB1 k CC1 v theo gi£ thi‚t, AA0
k BB0
k CC0
n¶n c£ ba
m°t phflng (AA1A0
); (BB1B0
); (CC1C0
) song song. Do â chóng c›t m°t
phflng P theo ba giao tuy‚n A1A0
; B1B0
; C1C0
song song. Tł â suy

43
ra ba tam gi¡c vuæng çng d⁄ng: AA1A0
; BB1B0
; CC1C0
. Tł â,
AA0
=
BB0
=
CC0
=
AA0
+ BB0
+ CC0
AA1 BB1 CC1 AA1 + BB1 + CC1
V… A,B,C cŁ ành, m°t phflng P cŁ ành n¶n AA1; BB1; CC1 câ º d i
khæng Œi. °t AA1 + BB1 + CC1 = h > k, tł AA0
+ BB0
+ CC0
= k
n¶n suy ra: AA0
= h AA1; BB0
= h BB1; CC0
= hCC1.
k k k
Tł AA1A0 câ A 1A0 = AA0 2 AA12= AA1r h2 1. T÷ìng tü,
p
k2
r
k2
r
k2
B1B0
= BB1 1; C1C0
= CC1 1. V“y quÿ t‰ch c¡c i”m
h2 h2
A0
; B0
; C0
lƒn l÷æt l c¡c ÷íng trÆn sau n‹m trong m°t phflng P:
A1; AA1
r !
; B1; BB1
r !
; C1; CC1 r !
h2 1 h2 1 h2 1
k2
k2
k2
H…nh 2.16: Quÿ t‰ch A0
; B0
; C0
; G:
b. Quÿ t‰ch trång t¥m G0
cıa A0
B0
C0
:
Gåi M; M0
l trung i”m cıa BC v B0
C0
Trong m°t phflng x¡c ành bði
hai ÷íng thflng AA0
? MM0
, hai ÷íng thflng AM; A0
M0
c›t nhau
ð I. Khi â I công l giao cıa AM v P n¶n I cŁ ành. Gåi G
l trång t¥m ABC th…
GM G0
M0
1 IG0
! !
= = =) GG0
? AA0
=) =‘=)IG0
= ‘:IA0
GA G0
A0
2 IA0

44
Suy ra G0
= HI
‘(A0
). V… quÿ t‰ch cıa i”m A0
l ÷íng trÆn (c1) t¥m
A1,
b¡n k‰nh AA1 r
k2
1 n‹m trong m°t phflng P n¶n quÿ t‰ch c¡c i”m
h2
G0
l ÷íng trÆn £nh cıa (c) qua ph†p và tü t¥m I, t sŁ và tü ‘.
2.5 Mºt sŁ b i to¡n quÿ t‰ch n¥ng cao
Trong [4],[7],[8], c¡c t¡c gi£ giîi thi»u c¡c b i to¡n h…nh håc ð møc º
cao vîi möc ‰ch tr…nh b y c¡c líi gi£i °c bi»t, phŁi hæp c¡c ki‚n thøc,
ph÷ìng ph¡p kh¡c nhau. Phƒn n y chóng tæi công muŁn chån låc mºt
sŁ b i to¡n quÿ t‰ch ð møc º khâ hìn, câ sü phŁi hæp c¡c ph÷ìng
ph¡p gi£i ¢ ÷æc tr…nh b y tr÷îc â.
2.5.1 K‚t hæp c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i
V‰ dö 2.21. Cho m°t phflng (P) v hai i”m A; B 2= (P). Qua A v B
düng t§t c£ c¡c m°t cƒu ti‚p xóc vîi m°t phflng (P). T…m quÿ t‰ch
c¡c ti‚p i”m.
Líi gi£i. X†t hai tr÷íng hæp:
a. Tr÷íng hæp AB khæng song song vîi (P). Gåi D l giao cıa ÷íng
thflng AB vîi (P).
Phƒn thu“n. Gi£ sß M l ti‚p i”m cıa mºt trong c¡c m°t cƒu ang x†t v
m°t phflng (P). Düng m°t phflng qua AB v DM, m°t phflng n y c›t m°t
cƒu theo mºt ÷íng trÆn ti‚p xóc ÷íng thflng DM t⁄i
i”m M. Theo t‰nh ch§t cıa ti‚p tuy‚n: DB:DA = DM2
. Do â o⁄n p
DA:DB = const khæng phö thuºc và tr‰ m°t cƒu, ngh¾a l p
M thuºc ÷íng trÆn t¥m D, b¡n k‰nh r = DA:DB n‹m trong m°t phflng
(P).
Phƒn £o. L§y b§t ký M 2 . Qua A, B, M düng ÷íng trÆn, kþ hi»u t¥m
cıa nâ l O1. V… DA:DB = DM2
n¶n DM ti‚p xóc vîi ÷íng trÆn n y v do
â O1M ? DM. B¥y gií, t⁄i M düng ÷íng thflng vuæng gâc vîi P v t⁄i O1
düng ÷íng thflng vuæng gâc vîi m°t phflng chøa
. Hai ÷íng thflng n y n‹m trong m°t phflng vuæng gâc vîi DM t⁄i M v
khæng song song nhau (n‚u tr¡i l⁄i th… O1 còng vîi A, B thuºc
P). Bði v“y c¡c ÷íng thflng n y c›t nhau t⁄i i”m O n o â. D„ th§y OA =
OB = OM v… c¡c h…nh chi‚u cıa chóng l O1A; O1B; O1M b‹ng

45
nhau. Bði v“y n‚u düng m°t cƒu t¥m O, b¡n k‰nh OM th… nâ ti‚p xóc
vîi P v i qua A, B.
K‚t lu“n: quÿ t‰ch c¡c i”m M l ÷íng trÆn .
b. Khi AB song song vîi m°t phflng P, gåi A0
B0
l h…nh chi‚u cıa
AB l¶n P th… quÿ t‰ch c¡c i”m M l ÷íng trung trüc cıa A0
B0
.
V‰ dö 2.22. Cho hai nßa m°t phflng ; vuæng gâc theo giao tuy‚n . p
Tr¶n l§y AB = a 2. Trong v‡ tia Ax ? v l§y AM = m; M 2
v‡ tia By ? v l§y BN =
a2
; N 2 By. Khi M; N t÷ìng m
øng di ºng tr¶n 2 tia Ax, By h¢y t…m
a. Quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa A l¶n m°t phflng (BMN) v quÿ t‰ch
h…nh chi‚u cıa B l¶n m°t phflng (AMN).
b. Quÿ t‰ch t¥m m°t cƒu ngo⁄i ti‚p tø di»n ABMN.
Líi gi£i.
H…nh 2.17: Hai ph÷ìng ph¡p
a. Phƒn thu“n. Tł gi£ thi‚t suy ra AM ? =) AM ? AN; BN ? BM =)
c¡c m°t cıa tø di»n ABMN l c¡c tam gi¡c vuæng. K· AA0
? BM, do BN ?
n¶n BN ? AA0
. Tł â AA0
? (BMN). NH÷ v“y h…nh
chi‚u cıa A l¶n (BMN) l A0 2 0
. Ta câ AA
B = 900
n¶n A0
thuºc nßa
÷íng trÆn (c1) ÷íng k‰nh AB = a
p
2, trong nßa m°t phflng .

46
Phƒn £o. L§y b§t ký A0
2 (c1), gåi giao cıa BA0
vîi tia Ax l M.
Vîi måi N 2 By d„ chøng minh ÷æc AA0
? (BMN).
V“y quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa A l¶n (BMN) l nßa ÷íng trÆn (c1)
. T÷ìng tü ta câ quÿ t‰ch h…nh chi‚u cıa B l¶n (AMN)l nßa p
÷íng trÆn (c2), ÷íng k‰nh AB = a 2, trong nßa m°t phflng .
b. Quÿ t‰ch t¥m cƒu ngo⁄i ti‚p ABMN.
Phƒn thu“n. D„ th§y MN l ÷íng k‰nh m°t cƒu ngo⁄i ti‚p tø di»n
ABMN, suy ra t¥m O, trung i”m cıa AB thuºc m°t phflng trung trüc
cıa AB. Gåi giao tuy‚n cıa vîi l IX, vîi l IY, c›t BM t⁄i O1, c›t AN t⁄i O2
(vîi I l trung i”m cıa AB). X†t h» tåa º IXY. Gi£ sß I(0; 0); O(X; Y); O1(0;
Y); O2(X; 0) ta câ:
AM m BN a2
a2
a2
OO2 = = ; OO1 = = =) OO1 = =)Y= :
2 2 2 2m 4IO2
4X
V“y tåa º i”m O thäa m¢n ph÷ìng tr…nh mºt hypebol Y = a2
. Do
4X
â O thuºc ÷íng hypebol trong m°t phflng .
Phƒn £o. D„ th§y ta ch¿ cƒn x†t nh¡n hypebol øng vîi X > 0; Y > 0.
a2
L§y b§t ký O tr¶n nh¡nh hypepol Y = ; X > 0; Y > 0. Tł O düng
a2 4X
a2
a2
O1; O2 v M; N. Ta câ Y = =) OO1 = =) OO1 = =
4X 4IO2 2m
BN m AM
; OO2 = = . Tł â suy ra O c¡ch •u 4 ¿nh tø di»n.
2 2 2
Quÿ t‰ch t¥m m°t cƒu ngo⁄i ti‚p tø di»n ABMN l nh¡nh hypebol
vuæng n‹m trong m°t phflng câ ph÷ìng tr…nh Y = a2
;X>0;Y>0
4X
vîi c¡ch chån h» tåa º nh÷ tr¶n.
V‰ dö 2.23. Cho h…nh châp tam gi¡c S:ABC, c¡c gâc Bb; Cb ð ¡y l
c¡c gâc nhån. L§y i”m L 2 AH ( ÷íng cao cıa ABC), gåi M = BL AC;
N = CL AB. Gi£ sß m°t phflng i qua L, song song vîi (SBC) c›t m«t
(SML) theo ÷íng thflng song song vîi SB. Gåi A0
; M0
; N0
t÷ìng øng l
giao cıa vîi SA; SM; SN.
a. Chøng minh r‹ng tø gi¡c A0
M0
LN0
l h…nh b…nh h nh. Kþ hi»u
h…nh b…nh h nh â l P:
b. Gåi K l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa S tr¶n BC. °t SK = k; HA =
a; HB = b; HC = c; HL = ‘; ’ l gâc nhà di»n t⁄o bði hai nßa m°t

47
phflng (BCA) v BCS. Gåi P0
l £nh và tü cıa P qua ph†p và tü
AH
t¥m A, t sŁ và tü AL . T‰nh di»n t‰ch SP0 , SP v th” t‰ch
h…nh châp S:A0
M0
LN0
theo a; b; c; k; ’.
c. T…m quÿ t‰ch cıa S ” SP = s2
= const,
d. T…m quÿ t‰ch cıa S ” th” t‰ch h…nh châp VS:A0 M0 LN0 = m
3
= const,
e. T…m quÿ t‰ch cıa S ” P l h…nh chœ nh“t, l h…nh thoi, l h…nh
vuæng.
Líi gi£i.
H…nh 2.18: Quÿ t‰ch S
a. Ta th§y LM0
k SB; A0
N0
k SB n¶n LM0
k N0
A0
. T÷ìng tü, A0
M0
k
N0
L n¶n A0
M0
LN0
l h…nh b…nh h nh.
AH
b. Ph†p và tü HA
r vîi r = AL , L 7!H n¶n nâ s‡ bi‚n m°t phflng th nh
m°t phflng (SBC), bi‚n h…nh b…nh h nh P th nh h…nh b…nh h nh
P0
câ ÷íng ch†o l SH, câ c¡c c⁄nh song song vîi SB; SC. Ta gåi c¡c
¿nh cıa P0
l S; N1; H; M1. Ta câ:

48
S
SBC
= SK:BC = k:(b + c) . M°t kh¡c, BHN1 çng d⁄ng SBC;
2 2
CHM1 çng d⁄ng SBC ta suy ra:
S
BHN BH 2 b2 S
BHM CH 2 c2
1
= = ;
1
= = =)
S
SBC BC (b + c)2 S
SBC CB (b + c)2
b2
+ c2
kbc AL
= S
CHM1
+S
BHN1
= S
SBC
=
SP0 = : V… =
(b + c)2
(b + c)2
) ) AH
‘ a
n¶n SP = SP0
‘ a
2 . Ta suy ra: SP =
kbc
:
‘ a
2 :
a a (b c)2
a
Th” t‰ch châp S:A0
M0
LN0
: Ta câ AH ? BC. H⁄ AI ? (SBC) th…
AI = a: sin . Gi£ sß AI

= I0
th… I0
l £nh cıa I qua ph†p và tü HA
,
AL a ‘ a ‘
r
r = = , v… th‚ AI0
= AI: = (a ‘): sin ’. Kho£ng c¡ch
AH a a
tł S ‚n P b‹ng hi»u kho£ng c¡ch tł A ‚n (SBC) v kho£ng c¡ch tł
A ‚n . Nh÷ v“y, ÷íng cao châp b‹ng ‘: sin ’.
2
1 kbc a ‘
VS:A0M0LN0 = SP:‘ sin = : :‘ sin ’.
3 3(b + c)2
a
c. Quÿ t‰ch S khi di»n t‰ch SP = s2
(khæng Œi): C¡c º d i a; b; c; ‘
khæng Œi n¶n SP khæng Œi khi v ch¿ khi k khæng Œi, c¡c i”m S câ
t‰nh ch§t c¡ch •u ÷íng thflng BC, trł i”m ð tr¶n (ABC). V“y quÿ t‰ch
c¡c i”m S l m°t trö câ tröc l ÷íng thflng BC, ¡y câ b¡n k‰nh
s2
a2
(b c)2
= bc(‘ a)2 , trł c¡c i”m tr¶n m°t (ABC).
Quÿ t‰ch S khi VS:A0 M0 LN0 = m3
(khæng Œi): VS:A0 M0 LN0 = m3
(khæng
Œi) () k sin ’ =
3m3
(b + c)2
a2
(khæng Œi). Nh÷ng k sin ’ ch‰nh l
‘bc(‘ a)2
kho£ng c¡ch tł S ‚n m°t phflng (ABC). Do â quÿ t‰ch c¡c i”m S
trong tr÷íng hæp n y l hai m°t phflng song song vîi m°t phflng (ABC),
3m3
(b + c)2
a2
c¡ch m°t phflng n y mºt kho£ng= ‘bc(‘ a)2 .
d. Quÿ t‰ch S khi P l h…nh chœ nh“t: V… P0
çng d⁄ng vîi P n¶n P l h…nh chœ nh“t th…
P0
công l h…nh chœ nh“t. Lóc n y ta câ
[ 0
.
BSC = 90
Do â S n‹m tr¶n m°t cƒu ÷íng k‰nh BC. Bä i phƒn giao cıa m°t cƒu
vîi m°t phflng (ABC) ta câ quÿ t‰ch cıa S l m°t cƒu bä i mºt ÷íng
trÆn.

49
Khi P l
[
h…nh thoi, tr÷íng hæp n y SH l ph¥n gi¡c cıa gâc BSC.
N‚u gåi H0
l i”m li¶n hæp i•u hÆa vîi H Łi vîi B, C (H v H0
l
[
ch¥n c¡c ph¥n gi¡c trong v ngo i gâc BSC) th… S ph£i thuºc m°t cƒu
÷íng k‰nh HH0
. Quÿ t‰ch S l m°t cƒu ÷íng k‰nh HH0
, trł phƒn
giao vîi m°t phflng (ABC).
” P l h…nh vuæng, d„ th§y quÿ t‰ch S ph£i l giao hai quÿ t‰ch
tr¶n, tøc l ÷íng trÆn giao cıa m°t cƒu ÷íng k‰nh BC v m°t cƒu ÷íng
k‰nh HH0
, trł c¡c i”m l giao vîi m°t phflng (ABC).
2.5.2 Mºt sŁ c¡ch gi£i °c bi»t
B i to¡n quÿ t‰ch hay g°p trong c¡c cuºc thi olympic vîi c¡c c¡ch
gi£i kh¡c nhau v ð møc º khâ, ÷æc gi£i b‹ng c¡c c¡ch gi£i °c bi»t.
Chóng tæi lüa chån c¡c b i to¡n n y trong [3], [8] vîi mºt sŁ thay Œi
trong c¡ch gi£i ho°c l m rª hìn c¡ch gi£i cıa c¡c t¡c gi£. Ch›c ch›n c¡c b
i to¡n n y s‡ minh håa s¥u s›c hìn cho c¡c ph÷ìng ph¡p ¢ tr…nh b y ð
tr¶n.
V‰ dö 2.24. Cho m°t cƒu t¥m O, ABCD l tø di»n ngo⁄i ti‚p m°t cƒu,
thäa m¢n c¡c b§t flng thøc OA OB OC OD. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m
A; B; C; D.
Líi gi£i.
Tr÷îc h‚t nh“n x†t r‹ng n‚u gåi r l b¡n k‰nh m°t cƒu nºi ti‚p trong tø
di»n ABCD th…: (i) T§t c£ c¡c c⁄nh tø di»n •u lîn hìn 2r; (ii) B¡n k‰nh
cıa ÷íng trÆn nºi ti‚p trong m°t b§t ký cıa tø di»n •u lîn hìn ho°c b‹ng
r.
Nh“n x†t (i) l hi”n nhi¶n. ” chøng minh nh“n x†t (ii) ta düng qua
t¥m m°t cƒu nºi ti‚p mºt m°t phflng song song vîi chflng h⁄n m°t phflng
ABC. Ta nh“n ÷æc thi‚t di»n l A1B1C1 çng d⁄ng vîi ABC vîi h» sŁ çng
d⁄ng nhä hìn 1 v chøa ÷íng trÆn b¡n k‰nh r ð b¶n trong nâ.
Ti‚p theo, ta x†t c¡c i•u ki»n cıa A; B; C; D:
a. i•u ki»n x¡c ành i”m A l b§t flng thøc OA 3r. D§u " = " s‡ øng vîi
tø di»n •u, cÆn Łi vîi nhœng i”m A thäa m¢n OA > 3r th… b¡n k‰nh
m°t cƒu lîn nh§t chøa tø di»n ABCD s‡ nhä hìn 3r. i•u n y m¥u thu¤n
vîi k‚t qu£ R 3r (R l b¡n k‰nh cƒu ngo⁄i ti‚p cƒu).

50
H…nh 2.19: Quÿ t‰ch A; B; C; D
p
b. i•u ki»n x¡c ành i”m B l OB > r 5. Th“t v“y, Łi vîi c¡c
i”m B m OB r
p
th… vîi DBC b¡n k‰nh ÷íng trÆn chøa nâ
5
s‡ khæng lîn hìn
p
= 2r; tøc l b¡n k‰nh ÷íng trÆn nºi ti‚p
5r2
r2
trong DBC s‡ khæng lîn hìn r, tr¡i vîi (ii). p
c. i•u ki»n x¡c ành i”m C l b§t flng thøc OC > r 2. â l v… p
n‚u OC r 2 th… CD 2r, tr¡i vîi (i).
d. i•u ki»n x¡c ành c¡c i”m D l OD > r. Ta chøng minh r‹ng OD câ
th” lîn tòy þ. Th“t v“y, l§y tø di»n ABCD câ t§t c£ c¡c m°t l tam gi¡c c¥n
b‹ng nhau vîi gâc ð ¿nh ı nhä. Khi â t¥m nŁi ti‚p v
R
t¥m ngo⁄i ti‚p tø di»n s‡ tròng nhau, cÆn t sŁ r câ th” lîn tòy þ.
V‰ dö 2.25. Cho tam gi¡c ABC. T…m quÿ t‰ch t§t c£ c¡c i”m M
trong khæng gian sao cho tł c¡c o⁄n thflng MA; MB; MC câ th” düng
÷æc mºt tam gi¡c vuæng.
Líi gi£i. N‚u MC l c⁄nh huy•n th… ta ph£i câ flng thøc MC2
= MA2
+
MB2
. X†t h» tåa º vuæng gâc Axyz, gŁc A, tröc tung Ay AB, tröc cao l
Az? (ABC). Tł â A(0,0,0), B(0,b,0), C(a,c,0), M(x,y,z) v
ta câ: MC2
= MA2 + MB2 () (x a)2 + (y c)2 + z2 = x2 + y2 +
z2 + x2 + (y b)2 + z2 () (x a)2 + (y + c b)2 + z2 = b2 2bc. Ta
suy ra quÿ t‰ch c¡c i”m M l rØng, mºt i”m ho°c m°t cƒu. Ta i t…m

51
c¡ch x¡c ành t¥m v b¡n k‰nh m°t cƒu.
Gi£ sß C1 l trung i”m cıa AB, C2 ð tr¶n phƒn k†o d i cıa CC1
sao cho C1C2 = CC1, tøc l ACBC2 l h…nh b…nh h nh. Kþ hi»u c⁄nh
ABC l a; b; c ta câ
AB2
c2
MA2
+ MB2
= 2MC1
2
+ = 2MC1
2
+ :
2 2
V… MA2
+ MB2
MC2
n¶n ta nh“n ÷æc MC2
2MC1
2
=c2
. Gi£ sß

2
MC2C1:
MC2C = ’, theo ành lþ cæ sin ¡p döng v o MC2C v
MC2
= MC2
2
+ 4mc
2
4MC2 cos ’;
MC1 2 = MC2
2
+ mc
2
2MC2 cos ’:
Nh¥n flng thøc sau vîi 2 rçi trł v o flng thøc ƒu nh“n ÷æc: MC2
2MC2
2
= MC2
2
2MC2
2
+ 2mc
c2
. K†o theo MC2
2
= 2mc
2 c2
= =
2
a2
+ b2
c2
.
3
c2
0; tøc gâc C
T“p hæp c¡c i”m M ch¿ kh¡c rØng n‚u a2
+ b2
cıa tam gi¡c khæng l gâc tò. Do â quÿ t‰ch c¡ci”m M trong tr÷íng
hæp tam gi¡c ABC l nhån gçm 3 m°t cƒu câ t¥m l C2; B2; A2 sao cho
!CC2 =! ! !
2! !! 2 ! !
CA + CB; BB = BC + BA; AA = AB + AC, b¡n k‰nh t÷ìng
øng b‹ng
p
,p p
a2
+ b2
c2
b2
+ c2
a2
, a2
+ c2
b2
.
Tr÷íng hæp ABC vuæng, quÿ t‰ch l 2 m°t cƒu v 1 i”m.
Tr÷íng hæp ABC tò, quÿ t‰ch l 2 m°t cƒu.
V‰ dö 2.26. T…m quÿ t‰ch nhœng i”m m tł â v‡ ÷æc 3 ti‚p tuy‚n æi
mºt vuæng gâc ‚n m°t cƒu cho tr÷îc
Líi gi£i.
Gåi m°t cƒu ¢ cho l C t¥m O, b¡n k‰nh R.
Phƒn thu“n. Gi£ sß tł M v‡ ÷æc 3 ti‚p tuy‚n æi mºt vuæng gâc tîi m°t
cƒu l MA, MB, MC. Ta câ MA=MB=MC n¶n ba tam gi¡c vuæng c¥n
b‹ng nhau AMC = CMB = BMA. Bði v“y ABC l tam gi¡c •u. Hi”n nhi¶n
o⁄n thflng OM ph£i c›t phƒn trong tam gi¡c ABC
t⁄i mºt i”m, ta kþ hi»u lpO1, â l t¥m cıa ABC . N‚u °t AM=a
th… AC=a
p
=a 6
2 v AO1 : Thay c¡c gi¡ trà â v o flng thøc
3 p p
a 6 R 6
OM:AO1 = OA:AM =) OM: 2 = R:a =) OM = 2 :

52
H…nh 2.20: M nh…n m°t cƒu d÷îi gâc vuæng
R
p
Suy ra M thuºc cƒu B t¥m O, b¡n k‰nh 6. Lóc n y MA = MB =
2
p p p
R2 R3 R6
MC =
2
, AB = BC = CA = R, O
1
A =
3
v OO
1
=
3
.
Phƒn £o. L§ypb§t ký M 2 B. NŁi OM, tr¶n o⁄n OM l§y O1 sao
R 6
cho OO1 = . Qua O1 düng m°t phflng (P) vuæng gâc vîi OM,
3
m°t phflng (P) c›t m°t cƒu C theo giao tuy‚n l ÷íng trÆn (c). Trong
(P), v‡ nºi ti‚p ÷íng trÆn (c) mºt tam gi¡c •u ABC nh“n O1 l m t¥m. Ta
cƒn chøng minh: MA, MB, MC l c¡c ti‚p tuy‚n cıa m°t cƒu C v æi mºt
vuæng gâc vîi nhau. Th“t v“y, h…nh châp M:ABC
l châp tam gi¡c •u n¶n MA = MB = MC vîi A; B; C 2 B. V… p p
OO1:OM =
R
2
6
:
R
3
6
= R2
= OA2
n¶n MA ? OA, suy ra MA l ti‚p
tuy‚n cıa m°t cƒu C. T÷ìng tü Łi vîi MB, MC. Ngo i ra ta công t‰nh
p
÷æc AB = BC = CA = R k‚t hæp vîi MA = MB = MC =
R 2
ta 2
câ c¡c tam gi¡c vuæng c¥n t⁄i M: AMB; BMC; CMA. Ta câ i•u ph£i
chøng minh.

53
R
p
Quÿ t‰ch c¡c i”m M l m°t cƒu B t¥m O, b¡n k‰nh
6
.
2
V‰ dö 2.27. ([8]) Cho gâc tam di»n ¿nh O v mºt i”m N. Mºt m°t cƒu
tòy þ i qua O v N, c›t c¡c c⁄nh Ox, Oy, Oz t÷ìng øng t⁄i A; B; C. T…m
quÿ t‰ch trång t¥m ABC.
Líi gi£i.
~
Kþ hi»u ~a; b; ~c l c¡c v†c tì ìn và ch¿ ph÷ìng cıa 3 c⁄nh gâc tam di»n.
H…nh 2.21: Quÿ t‰ch trång t¥m tam gi¡c
!
t¥m m°t cƒu thay Œi v
!
°t ON = ~e = const: Gåi I l ~u = OI.
! ! !
mºt ÷íng ch†o.
v†c tì OA; OB; OC ta düng h…nh hºp vîi OX l
2 R ! ! ~ !
~
sao cho OA = x~a; OB = yb; OC
Ta luæn câ c¡c sŁ x; y; z
!
v OX = x~a + yb + z~c hay X=(x; y; z).
Tł 3
= z~c
Tr÷îc h‚t ta t…m quÿ t‰ch cıa X(x,y,z). C¡c i”m O; N; A; B; C thuºc
m°t cƒu t¥m I ngh¾a l
!
OI
!
IN =!
NI = (~u ~e)2
= ~u2
. T÷ìng tü,
2 ~
~u)
2
= (z~c ~u)
2 2 )
(x~a ~u) = (yb = ~u : Tł â ta nh“n ÷æc
~e2
2e~u = 0
x 2a~u = 0
~
y 2b~u= 0
z 2c~u = 0
~ ~
Gi£ sß khai tri”n theo 3 v†c tì cì sð ~a; b; ~c ta câ ~e = ~a + b +
~c. Sau

54
khi nh¥n ba flng thøc cuŁi lƒn l÷æt vîi ; ;
~e2
2e~u = 0
x 2 ~a~u = 0
y
~
= 0
2 b~u
z 2 ~c~u = 0:
Trł flng thøc ƒu v o c¡c flng thøc ti‚p theo ta thu ÷æc:
2 ~
2e~u = 0:
~e x y z + 2( ~a + b + ~c)~u
Suy ra: ~e2
= x + y + z hay x + y + z ~e2
= 0. Ta th§y quÿ
t‰ch cıa X l m°t phflng Q câ ph÷ìng tr…nh vła t…m ÷æc.
!
OM =3
!
V… M l trång t¥m tam gi¡c n¶n 1
OX. Suy ra quÿ t‰ch cıa M
l m°t phflng Q0
£nh và tü cıa m°t phflng Q qua ph†p và tü HO
1.
3
V‰ dö 2.28. ([8]) Mºt ÷íng trÆn di ºng câ b¡n k‰nh R khæng Œi
luæn ti‚p xóc vîi c¡c m°t cıa mºt gâc tam di»n vuæng. T…m quÿ
t‰ch t¥m c¡c ÷íng trÆn.
Líi gi£i L“p h» tåa º vuæng gâc vîi c¡c tröc l c⁄nh gâc tam di»n v gŁc l
¿nh gâc tam di»n. Gi£ sß m°t phflng ÷íng trÆn t⁄o vîi mØi m°t phflng
tåa º XOY, YOZ v ZOX c¡c gâc ; ; . Khi â i”m I t¥m cıa ÷íng trÆn s‡
câ tåa º (R sin ; R sin ; R sin ). Tł gŁc O düng ÷íng thflng vuæng gâc
vîi m°t phflng ÷íng trÆn, ÷íng thflng n y s‡ t⁄o vîi c¡c tröc c¡c gâc ; ; .
Do â, cos2
+ cos2
+ cos2
= 1. Ngh¾a l
OI2
= R2
(sin2
+ sin2
+ sin2
) = 2R2
:
p
Nh÷ v“y, i”m I n‹m tr¶n m°t cƒu t¥m O, b¡n k‰nh R 2. M°t kh¡c,
‚n c¡c m°t phflng tåa º khæng v÷æt qu¡ R. Do â p
t“p hæp c¡c i”m I cƒn t…m l tam gi¡c cƒu thuºc m°t cƒu (O, R 2)
8 Y R
>
X R
Z R
>
>
<>
>
>
X2+Y2+Z22R2
:

55
C¡c b i to¡n kh¡c
B i to¡n 2.1. Cho tø di»n SABC; I l trung i”m cıa AB; SI ? (ABC). M l
mºt i”m di ºng tr¶n SC. T…m quÿ t‰ch h…nh chi‚u vuæng gâc cıa S
l¶n m°t phflng (ABM).
HD. Dòng ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng. Quÿ t‰ch h…nh chi‚u H l nßa
H…nh 2.22: Quÿ t‰ch H
÷íng trÆn (c), ÷íng k‰nh SI, n‹m trong nßa m°t phflng (Q) chøa tia
IE, câ bí l SI.
B i to¡n 2.2. Cho tø di»n ABCD câ AD ? (BCD). Gåi DE; BK l c¡c
÷íng cao cıa DBC cÆn BF l ÷íng cao cıa ABC.
a. Chøng minh r‹ng (ADE) ? (ABC); (BFK) ? (ABC); trüc t¥m H cıa
ABC l h…nh chi‚u vuæng gâc cıa trüc t¥m N cıa BCD l¶n m°t
phflng (ABC).
b. Gi£ sß m°t phflng (BCD) cŁ ành, i”m
(BCD). T…m quÿ t‰ch c¡c i”m H v F.
HD: Dòng ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng.
A ch⁄y tr¶n tia Dx ?

56
B i to¡n 2.3. Cho h…nh châp tø gi¡c •u S:ABCD câ c⁄nh ¡y a v
trung o⁄n 2a. Gåi O l t¥m h…nh cƒu nºi ti‚p h…nh châp.
a. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m M sao cho
!
MA ! ! ! !
p
a 15
j
+MB+MC+MD+MS = :
2
j
b. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m N sao cho
NA2
+ NB2
+ NC2
+ ND2
+ NS2
=
33a2
:
4
HD: Dòng ph÷ìng ph¡p v†c tì.
B i to¡n 2.4. Cho h…nh châp S:ABC. Tr¶n c¡c c⁄nh SA; SB; SC lƒn l÷æt
l§y c¡c i”m D; E; F tòy þ. Gåi I; K; J l trung i”m cıa AD; BC; EF. Gåi
G; G1 l trång t¥m cıa ABC; DEF cÆn N; T l trung i”m cıa
IK; JK.
a. Chøng minh r‹ng GG1; IT; JN çng quy ð O v câ flng thøc sau
! ! ! ! ! ! !
SA+SB+SC+SD+SE+SF=6SO:
b. T…m quÿ t‰ch c¡c i”m M sao cho
! ! ! ! ! !
jMA + 2MB + 2MC + MD + 2ME + 2MFj = k(const)
HD: Dòng ph÷ìng ph¡p v†c tì.
B i to¡n 2.5. Mºt con ki‚n øng ð mºt ¿nh h…nh l“p ph÷ìng c⁄nh 1cm.
Ki‚n bÆ tr¶n m°t h…nh l“p ph÷ìng vîi v“n tŁc 1cm=s. T…m quÿ t‰ch
nhœng i”m tr¶n m°t h…nh l“p ph÷ìng m nâ câ th” i qua sau 2s? HD:
Ki‚n øng ð ¿nh A cıa h…nh l“p ph÷ìng ABCDA1B1C1D1 X†t DCC1.
D„ chøng minh ÷æc r‹ng ÷íng ng›n nh§t nŁi A vîi i”m trong b§t ký cıa
DCC1 s‡ c›t c⁄nh DC.
B i to¡n 2.6. Cho mºt gâc tam di»n vuæng ¿nh O. X†t t§t c£ c¡c ÷íng
g§p khóc câ º d i a b›t ƒu tł i”m O sao cho måi m°t phflng song song
vîi mºt trong c¡c m°t b¶n cıa gâc tam di»n c›t ÷íng g§p khóc t⁄i
khæng qu¡ 1 i”m. T…m quÿ t‰ch ƒu mót kia ÷íng g§p khóc. HD:
Dòng ph÷ìng ph¡p v†c tì-tåa º.

57
Ch÷ìng hai l trång t¥m cıa lu“n v«n trong â t¡c gi£ chån låc c¡c v‰
dö i”n h…nh ” minh håa cho c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i: Ph÷ìng ph¡p quÿ
t‰ch cì b£n, ph÷ìng ph¡p quÿ t‰ch phflng, ph÷ìng ph¡p v†c tì-tåa º,
ph÷ìng ph¡p bi‚n h…nh. Ngo i ra t¡c gi£ công n¶u mºt sŁ b i to¡n
n¥ng cao m khi gi£i ph£i k‚t hæp c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i.

58
K‚t lu“n cıa lu“n v«n
Lu“n v«n thu ÷æc c¡c k‚t qu£ sau
1. Tr…nh b y l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m quan trång cıa h…nh håc li¶n
quan ‚n b i to¡n quÿ t‰ch. T¡c gi£ n¶u rª quan i”m c¡ nh¥n v•
c§u tróc læ gic cıa b i to¡n quÿ t‰ch.
2. Chån låc c¡c v‰ dö i”n h…nh (23 v‰ dö), tr…nh b y chi ti‚t líi
gi£i, c¡c l÷u þ ” minh håa 4 ph÷ìng ph¡p gi£i c¡c b i to¡n quÿ
t‰ch. ¥y l mºt chuy¶n • khâ câ ‰ch Łi vîi gi¡o vi¶n phŒ thæng.
3. Sau khi n›m ÷æc c¡c ph÷ìng ph¡p gi£i b i to¡n quÿ t‰ch, vi»c
tr…nh b y c¡c b i to¡n khâ, n¥ng cao (11 b i to¡n) ¢ minh håa
th¶m t‰nh hi»u qu£ cıa sü phŁi hæp c¡c ph÷ìng ph¡p.
Sau khi ho n th nh c¡c v§n • °t ra, chóng tæi nh“n th§y câ c¡c h÷îng
nghi¶n cøu ti‚p theo:
-Nghi¶n cøu øng döng cıa sŁ phøc trong vi»c gi£i c¡c b i to¡n quÿ
t‰ch.
-Ph†p nghàch £o l ph†p bi‚n h…nh °c bi»t câ th” v“n döng ” gi£i
c¡c b i to¡n quÿ trong m°t phflng công nh÷ trong khæng gian.
M°c dò ¢ r§t cŁ g›ng nh÷ng lu“n v«n khæng tr¡nh khäi nhœng h⁄n
ch‚, khi‚m khuy‚t. T¡c gi£ r§t mong sü gâp þ, bŒ sung cıa c¡c çng
nghi»p v c¡c thƒy cæ gi¡o nh‹m l m cho k‚t qu£ nghi¶n cøu ho n
ch¿nh v câ ‰ch hìn. Xin ch¥n th nh c£m ìn.

59
T i li»u tham kh£o
Ti‚ng Vi»t
[1] Phan øc Ch‰nh, Ph⁄m V«n i•u v
sŁ ph÷ìng ph¡p chån låc gi£i c¡c b
håc v Gi¡o döc chuy¶n nghi»p.
nhœng ng÷íi kh¡c (1988),
Mºt i to¡n sì c§p, t“p 3, NXB ⁄i
[2] o n Quýnh, V«n Nh÷ C÷ìng (2012), H…nh håc n¥ng cao 11,
NXB Gi¡o döc.
[3] Konnhiagin X.V.,Sarugin I.V. (2013), C¡c • thi væ àch To¡n cıa
c¡c n÷îc (19 n÷îc), B£n ti‚ng Vi»t, NXB H£i PhÆng.
[4] Nguy„n Anh Tr÷íng, Nguy„n T§n Si¶ng (2012), Chuy¶n • gi£i to¡n
H…nh håc khæng gian, NXB TŒng hæp th nh phŁ Hç Ch‰ Minh.
[5] Nguy„n «ng Ph§t (2005), C¡c ph†p bi‚n h…nh trong m°t phflng
v øng döng gi£i to¡n h…nh håc, NXB Gi¡o döc.
[6] Ø Thanh Sìn (2005), Ph†p bi‚n h…nh trong khæng gian, NXB
Gi¡o döc.
Ti‚ng Anh
[7] Ganpery G.A., Tolpugo A.K. (1986), Moscow Mathematic
Olympic, Nauka, Moscow.

60
[8] Sarugin I.F. (1984), Geometry Problems, Nauka, Moscow.

Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Trong Hình Học Không Gian.doc

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Trong Hình Học Không Gian.doc

Similar to Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Trong Hình Học Không Gian.doc (20)

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149

More from DV Viết Luận văn luanvanmaster.com ZALO 0973287149 (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Phương Pháp Giải Bài Toán Quỹ Tích Trong Hình Học Không Gian.doc