Dokumen tersebut membahas tentang peubah acak, termasuk definisi peubah acak, jenis peubah acak (diskrit dan kontinu), fungsi peluang dan distribusi, serta beberapa contoh soal.

1. 1
MA 2082 Biostatistika
Yuli Sri Afrianti

2. Pemetaan (Fungsi)
 Suatu pemetaan / fungsi
 Kategori fungsi:
2
•
•
•
•
•
•
•
•
•
A B
•
•
•
A B
1. Fungsi titik
2. Fungsi himpunan

3. Peubah Acak
 Peubah acak, yaitu pemetaan X : S  R
3
x
Ruang Sampel, S Himpunan Bil.Riil, R
X

4. Mengapa Peubah Acak Perlu?
 Merepresentasikan masalah ke dalam titik real.
 Dapat dipetakan.
 Lebih mudah dalam penulisan
4

5. Contoh
 Percobaan pelemparan sebuah dadu
5
S = { , , ... , }
X = { 1 , 2 , … , 6 }

6. Jenis Peubah Acak
 Peubah Acak Diskrit
6
 
: ( ) i
s X s x E S
  
himpunan terhitung , berhingga
atau tak berhingga, dan
 
1 2
, ,...
x x
 Peubah Acak Kontinu
peubah acak yang fungsi distribusinya (F(x))
merupakan fungsi kontinu untuk semua x є R

7. 7
Contoh Tipe
Peubah Acak X
Diskrit
Banyak kejadian hujan
dalam satu minggu
Lama waktu hujan
setiap kali turun Kontinu
X = 0, jika tidak terjadi hujan dalam 1 minggu
= 1, jika terjadi hujan 1 kali dalam 1 minggu
= 2, , jika terjadi hujan 2 kali dalam 1 minggu
… dst
X = [0, 15], jika hujan turun sampai 15 menit
X = (15, 30], jika hujan turun antara 15 sampai 30 menit
X = (45, 60], jika hujan turun antara 45 sampai 60 menit
X = (30, 45], jika hujan turun antara 30 sampai 45 menit
X = (60, ], jika hujan turun lebih dari 1 jam

8. Fungsi peluang P(X = x) dan
f(x)
 Diskrit  P(X = x),
Sering juga disebut sebagai fungsi massa
peluang (f.m.p).
8
 Kontinu  f(x),
Sering juga disebut sebagai
fungsi kepadatan peluang (f.k.p).
Pada kasus kontinu, fungsi peluang tidak bisa ditulis
sebagai P(X = x) karena peluang di satu titik adalah
sama dengan nol, meskipun nilai fungsinya belum
tentu nol.

9. 9
X : S R
Diskrit Kontinu
  1
x
P X x
 

   
 
t x
F x P X x
f t

 
 
1. P(X=x)  0
2.
3. P(a< X b) =
P(Xb) - P(Xa)
4.
1. f(x)  0, xR
2.
3. P(a<Xb) =
4.
  1
f x dx




 
b
a
f x dx

     
x
F x P X x f t dt

   
Pada prinsipnya kedua tipe di atas bermakna sama, hanya berbeda
dalam hal penulisan dan cara menghitungnya.

10. f(x)
x
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
1 2 3 4
Contoh Grafik Fungsi Peluang
10
P(X=x)
x
Luas di bawah grafik = 1
Diskrit Kontinu
Jumlah peluang untuk semua titik = 1
 
0.1 , 1
0.3 , 2
0.4 , 3
0.2 , 4
0 , lainnya


 


  

 



x
x
P X x x
x
x
, 0 1
( ) 2 , 1 2
0 , lainnya
x x
f x x x
x
 


   




11. Fungsi Distribusi
 Fungsi distribusi kumulatif, F dari peubah
acak X
 Sifat-sifat
1. F fungsi yang monoton tidak turun,
2.
3.
4. F kontinu dari kanan.
lim ( ) 1
x
F x


lim ( ) 0
x
F x


11
lim ( ) ( )
x a
F x F a




12. Contoh 1
Dipelajari keadaan perasaan (mood) dari sepasang
mahasiswa laki-laki dan perempuan. Jika perasaan
tersebut diamati berdasarkan paras masing-masing
mahasiswa dan dimisalkan hanya ada dua kategori,
sebut ’baik’ dan ’tidak’.
12
…
Maka pasangan mahasiswa tersebut akan
memberikan ruang sampel S sebagai
berikut:
S = {, , , },
Dimana  = baik,  = tidak.
Selanjutnya jika dimisalkan T : banyaknya
mahasiswa yang moodnya baik, tentukan:
a. Fungsi massa peluang dari peubah acak T
b. Fungsi distribusi dari peubah acak T dan juga
gambarkan

13. Ilustrasi Contoh
13




2
0
1
¼
½
T
P (T = t)
Ruang Sampel

14. Jawab
a. Misal peubah acak T = banyaknya mahasiswa
yang moodnya sedang baik, maka:
T = {0, 1, 2}
dan fungsi masa peluang P(T=t) adalah:
14
1/ 2, 1
( ) 1/ 4, 0,2
0, yang lain
t
P T t t
t



  




15. b. Untuk menentukan F(t) perlu dihitung F(t) untuk semua nilai
riil.
15
Ambil 0< t <1, maka F(t) = P(T< t)
= P(T < 0) + P(T = 0) + P(0 < T < t)
= 0 + ¼ + 0
= ¼
Ambil t = 0, maka F(0) = P(T ≤ 0)
= P(T < 0) + P(T = 0)
= P(T = 0), peluang di T<0 bernilai 0
= ¼
Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0

16. Ambil t = 2, maka F(2) = P(T≤ 2)
= P(T ≤ 1) + P(1<T<2) + P(T = 2)
= ¾ + 0 + ¼
= 1
16
Ambil t = 1, maka F(1) = P(T ≤ 1)
= P(T ≤ 0) + P(0<T<1) + P(T=1)
= ¼ + 0 + ½
= ¾

17. Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka
fungsi distribusi F(t) dapat dinyatakan sebagai
berikut :
Selanjutnya F(t) dapat digambarkan sebagai grafik
di bawah ini:
17
0, 0
1/ 4, 0 1
( )
3/ 4, 1 2
1, 2
t
t
F t
t
t


  

 
 

 

0 4
½
¼
¾
1
F(t)
1
t
3
2

18. Contoh 2
Misalkan kesalahan dalam pengukuran tingkat curah hujan antara
- ½ mm dan ½ mm. Dianggap bahwa alat ukur tidak akan
melakukan kesalahan tidak akan kekurangan maupun kelebihan
dari ukuran sebenarnya lebih dari ½ mm. Jika Y adalah peubah
acak yang menyatakan kekurangan maupun kelebihan
pengukuran tersebut, tentukan :
a. Peluang alat ukur melakukan kesalahan antara kekurangan
0,25 mm dan kelebihan 0,2 mm,
b. peluang kelebihan pengukuran adalah lebih dari 0,2 mm,
dan
c. Fungsi distribusi F(y) beserta gambar.
18

19. Jawab :
Diketahui Y menyatakan kesalahan pengukuran (mm).
 
1 1
2 4
1/2 1/5
1/2
1
2
1 1 1 1
4 5 5 4
0 1 0 1
7 1
0 0
10 4
28 10 18
40 40
P Y P Y P Y
dy dy dy dy
 

 
 
     
       
     
     
 
 
   
 
 
 
   
 
 

 
   
19
1 1
1,
( ) 2 2
0, yang lain
y
f y
y

  

 


a.

20.    
1
1
5
2
1
2
0,2 1 0,2
1
1
5
1 0 1
7 3
1 0
10 10
P Y P Y
P Y
dy dy


 
   
 
  
 
 
 
 
  
 
 
 
   
 
 
 
 
1
2
1
2
( )
0 1
1
2
y
y
F y f y dy
dy dy
y


 

 
 

 
20
b.
c.
F(y)
-½ ½
y
1
Fungsi distribusi :
 
1
0,
2
1 1 1
,
2 2 2
1
1,
2
y
F y y y
y

 



    







21. TUGAS 3
21
•Suatu peubah acak X memiliki distribusi peluang sebagai berikut.
Tentukan,
(a) Nilai p.
(b) Fungsi distribusi kumulatif peubah acak X.

22. Referensi
22
 Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and
Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.
 Navidi, William, Statistics for Engineers and Scientists 2nded.,
New York: McGraw-Hill, 2008.
 Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan
Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:
Penerbit ITB, 1995.
 Walpole, Ronald E., et.al, Statistitic for Scientist and Engineering,
8th Ed., 2007.
 Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course
in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc.,
2000.
 Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.