1. Page 1

2. ‫أألساس‬ ً‫ه‬ ً‫الت‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مادة‬ ً‫ف‬ ‫طلبتنا‬ ‫اغلب‬ ‫ضعف‬ ً‫ف‬ ‫الحل‬ ‫من‬ ‫جزءا‬ ‫قدما‬ ‫نكون‬ ‫أن‬ ‫أتمنى‬
‫والفٌزٌاء‬ ‫الكٌمٌاء‬ ‫مثل‬ ‫العلمٌة‬ ‫المواد‬ ‫اغلب‬ ً‫ف‬. .‫األساسٌات‬ ‫على‬ ‫بالتركٌز‬ ً‫إخوان‬ ‫أنصحكم‬
‫المسائل‬ ‫اغلب‬ ‫إمام‬ ً‫جانب‬ ‫وبشكل‬ ‫أٌضا‬ ‫فصل‬ ‫كل‬ ‫ومقدمة‬ ‫الملزمة‬ ‫مقدمة‬ ً‫ف‬ ‫الموجودة‬. .‫وان‬
‫التدرٌس‬ ‫الطرق‬ ‫هذه‬ ‫ومن‬ ‫األفضل‬ ‫وتقدٌم‬ ‫خدمتكم‬ ‫هدفنا‬ ‫متزاٌد‬ ‫وبشكل‬ ‫الٌوم‬ ‫تنوعت‬ ‫والوسائل‬ ‫الطرق‬
‫الٌمتلكون‬ ‫الذٌن‬ ‫الطلبة‬ ‫وٌخدم‬ ‫المبسط‬ ً‫االلكترون‬ ‫القلم‬ ‫بطرٌقة‬ ‫والعرض‬ ‫فٌدٌو‬ ‫بشكل‬ ‫المقطع‬ ً‫االلكترون‬
‫نحو‬ ‫بالطموح‬ ‫مستمر‬ ‫وتغٌٌر‬ ‫تنوع‬ ً‫ف‬ ‫طرقنا‬ ‫هللا‬ ‫وبعون‬ ‫الرٌاضٌة‬ ‫المهارات‬ ً‫ف‬ ‫وضعف‬ ‫أساسٌات‬
‫التربوٌة‬ ‫العملٌة‬ ‫نجاح‬ ً‫ف‬ ‫األهم‬ ‫العنصر‬ ‫ألنه‬ ‫الطالب‬ ‫لدى‬ ‫واألبسط‬ ‫األفضل‬. . .‫الطرق‬ ‫هذه‬ ‫كل‬ ‫لكن‬
‫مادة‬ ‫الن‬ ً‫العلم‬ ‫مستواه‬ ‫تغٌٌر‬ ً‫ف‬ ‫أرادة‬ ‫للطالب‬ ‫تكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬ ‫انتهت‬ ‫الرٌاضٌات‬ ‫مع‬ ‫المشكلة‬ ‫ان‬ ً‫التعن‬
‫العمل‬ ‫خارطة‬ ‫بوضع‬ ‫نوفرها‬ ‫وإرادة‬ ً‫عال‬ ‫وفكري‬ ً‫ذهن‬ ‫جهد‬ ‫إلى‬ ‫تحتاج‬ ‫كالرٌاضٌات‬ ‫مهمة‬"‫الحلم‬
ً‫الدراس‬"
‫فأنصحكم‬ ‫ومستقبلكم‬ ‫حٌاتكم‬ ‫خارطة‬ ‫تعتبر‬ ً‫الت‬ ‫مرحلتكم‬ ً‫وف‬ ً‫الدراس‬ ‫عملكم‬ ً‫ف‬ ‫هللا‬ ‫وفقكم‬
‫الحلم‬ ‫تحقٌق‬ ‫باستطاعتكم‬ ‫انتم‬ ‫أنفسكم‬ ‫سوى‬ ‫ٌحجمكم‬ ‫شخص‬ ‫ٌوجد‬ ‫وال‬ ‫األعلى‬ ‫نحو‬ ‫تتنافسوا‬ ‫ان‬
‫ومنظما‬ ‫جدٌا‬ ‫المرحلة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫عملكم‬ ‫ٌكون‬ ‫وان‬ ‫مستحقة‬ ‫عمل‬ ‫بخارطة‬ ‫مرسوما‬ ‫عملكم‬ ‫ماكان‬ ‫أذا‬
Page 2
‫فصل‬ ‫كل‬ ‫مقدمة‬ ً‫ف‬ ‫واهتم‬ ‫المقرر‬ ‫المنهج‬ ‫دراسة‬ ً‫ف‬ ‫الشروع‬ ‫قبل‬ ‫أوال‬ ‫األساسٌات‬ ‫بهذه‬ ‫الطالب‬ ‫عزٌزي‬ ‫اهتم‬
‫باللون‬ ‫ظللها‬ ‫والشهرٌة‬ ‫الٌومٌة‬ ‫االمتحانات‬ ً‫ف‬ ‫تواجهونها‬ ً‫الت‬ ‫االخطاء‬ ‫والمسائل‬ ‫التمارٌن‬ ‫حل‬ ‫الى‬ ‫توجه‬ ‫بعدها‬
‫بها‬ ‫تحلم‬ ً‫الت‬ ‫الدرجة‬ ‫تحقق‬ ‫ان‬ ‫تستطٌع‬ ‫هكذا‬ ‫علٌك‬ ‫التتكرر‬ ‫حتى‬ ‫األحمر‬. . .‫الرٌاضٌات‬ ‫لمراجعة‬ ً‫النموذج‬ ‫الوقت‬
‫بالتركٌز‬ ‫مصحوبة‬ ‫كانت‬ ‫اذا‬ ‫كافٌة‬ ‫اللٌل‬ ‫من‬ ‫ساعة‬. . .‫الشاملة‬ ‫األسئلة‬ ‫على‬ ‫اوال‬ ‫تقتصر‬ ‫االمتحان‬ ‫ٌوم‬ ً‫ف‬ ‫المراجعة‬
‫معه‬ ‫التعامل‬ ‫كٌفة‬ ‫تحدد‬ ‫من‬ ‫انت‬ ‫الوقت‬ ‫وبقٌة‬ ‫والخاصة‬
‫لكم‬ ‫النصٌحة‬ ‫نقدم‬ ‫نحن‬. . .‫األفضل‬ ‫ٌحدد‬ ‫من‬ ‫انتم‬ ‫لكنكم‬
‫تذكٌر‬

3. ‫الثانٌة‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫المعادلة‬ ‫حل‬"‫واحد‬ ‫لمتغٌر‬"
‫الوسط‬ ‫الحد‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫ان‬ ‫بإمكاننا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬"‫القرٌب‬ ‫ضرب‬×‫القرٌب‬+
‫البعٌد‬×‫البعٌد‬"6 x2
+ x − 2 = 0
3𝑥 + 2 2x − 1 = 0 𝑒𝑖𝑡ℎ𝑒𝑟 𝑥 =
−2
3
or x =
1
2
‫المعادالت‬ ‫وخصوصا‬ ‫الثانٌة‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫المعادالت‬ ‫حل‬ ‫والشاملة‬ ‫العامة‬ ‫الطرٌقة‬
‫بالتجربة‬ ‫حلها‬ ‫الٌمكن‬ ً‫الت‬. ..
‫الحل‬ ‫خطوات‬. . .‫المعادلة‬ ‫ونرتب‬ ‫نصفر‬"‫المنقول‬ ‫الحد‬ ‫أشارة‬ ‫مراعاة‬ ‫مع‬"
+‫المعادلة‬ ‫ثوابت‬ ‫نعٌن‬+‫القانون‬ ‫نذكر‬+‫القانون‬ ‫بداخل‬ ‫نعوض‬
‫الحل‬ ‫احتماالت‬
‫صفر‬‫الجذر‬ ‫تحت‬=0...‫متساوٌان‬ ‫جذران‬ ‫للمعادلة‬
‫سالب‬ ‫عدد‬ً‫ف‬ ‫حل‬ ‫للمعادلة‬ ‫الٌوجد‬R. . .‫ان‬ ‫بإمكاننا‬ ‫التخٌلٌة‬ ‫اإلعداد‬ ‫مجموعة‬ ً‫ف‬ ‫لكن‬.
.‫كل‬ ‫ان‬ ‫نفرض‬i2
= −1−3 = 3 i2 = 3 i
ً‫التخٌل‬ ‫جزءه‬ ‫أو‬ ‫بجزأٌه‬ ‫مركب‬ ‫عدد‬‫فقط‬. . .‫الفرض‬ ‫طرٌقة‬ ‫إلى‬ ‫نذهب‬"ً‫العلم‬ ‫السادس‬"
−3 − 4𝑖 = x + yi‫الطرفٌن‬ ‫نربع‬+‫مع‬ ً‫الحقٌق‬ ‫مساواة‬ ‫من‬ ‫معادلتٌن‬ ‫نكون‬
ً‫التخٌل‬ ‫مع‬ ً‫والتخٌل‬ ً‫الحقٌق‬+‫المركب‬ ‫الجذر‬ ‫قٌمة‬ ‫إلٌجاد‬ ‫المعادتٌن‬ ‫ونحل‬ ‫نرتب‬
‫معلومة‬1
‫التجربة‬
‫الدستور‬
Page 3

4. ‫أخرى‬ ‫طرق‬ ‫هنالك‬. . .‫أهمها‬ ‫نذكر‬ ‫لكننا‬
‫واحد‬ ‫متغٌر‬ ً‫ف‬ ‫االولى‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫معادلة‬ ‫حل‬
‫الحل‬ ‫خطوات‬. . . .‫األخر‬ ‫الطرف‬ ً‫ف‬ ‫والثابت‬ ‫طرف‬ ً‫ف‬ ‫المتغٌر‬ ‫نجعل‬"‫الحد‬ ‫إشارة‬ ‫مراعاة‬ ‫مع‬
‫المنقول‬+ . . .‫المتغٌر‬=‫البعٌد‬/‫القرٌب‬
4x − 7 = 2x + 13
4x − 2x = 13 + 7 2x = 20
x =
20
2
= 10
‫والتعوٌض‬ ‫الترتٌب‬ ‫طرٌقة‬"‫االفضل‬"
‫بالتعوٌض‬ ‫معادلتٌن‬ ‫حل‬"‫لمتغٌرٌن‬"𝑥2
+ y = 2 . . .
𝑥 − 3𝑦 = −2 . . .
‫معادلة‬ ‫نرتب‬ ‫ان‬ ‫لنا‬ ‫األفضل‬ ‫من‬1‫معادلة‬ ‫نرتب‬ ‫الطرٌق‬ ‫وبنفس‬2. .‫األٌسر‬ ‫الطرف‬ ‫نجعل‬
‫الرٌاضٌة‬ ‫المهارات‬ ‫نجري‬ ‫كذلك‬ ‫ٌكن‬ ‫لم‬ ‫ان‬ ‫الدرجة‬ ‫وبنفس‬ ‫المتغٌر‬ ‫نفس‬ ‫ٌحوي‬ ‫للمعادلتٌن‬"‫بتربٌع‬
‫؟‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫او‬ ‫تكعٌبهما‬ ‫او‬ ‫الطرفٌن‬"
𝐱 𝟐
= 𝟐 − 𝐲 . . .
‫المعادلتٌن‬ ‫نساوي‬𝟐 − 𝐲 = −𝟐 + 𝟑𝐲 𝟐
𝟐 − 𝐲 = 𝟒 − 12𝑦 + 9 𝐲 𝟐
‫معلومة‬2
‫معلومة‬3
1
2
1
2
Page 4

5. 9 𝐲 𝟐
− 11𝑦 + 2 = 0 y − 1 9y − 2 = 0
𝑦 = 1 𝑜𝑟 𝑦 =
2
9
𝐱 = −2 + 3 = 1 𝑦 =
2
9
‫االسس‬ ‫خواص‬
‫األسس‬ ‫تجمع‬ ‫الضرب‬ ‫عند‬. . .‫األساسات‬ ‫تشابهت‬ ‫أذا‬
32
× 34
= 36
= 729
‫األسس‬ ‫وتشابهت‬ ‫األساسات‬ ‫اختلفت‬ ‫أذا‬. . .‫األس‬ ‫لنفس‬ ‫ونرفعها‬ ‫األساسات‬ ‫نضرب‬
32
× 22
= 3 × 2 2
= 6 2
= 36
‫للجذور‬ ‫بالنسبة‬ ‫الحال‬ ‫وكذلك‬"‫الخواص‬ ‫نفس‬ ‫تمتلك‬"
3
3
× 9
3
= 27
3
= 3
‫المركب‬ ‫األس‬ ‫بداخل‬ ‫التعوٌض‬ ً‫ف‬ ‫عالٌة‬ ‫مهارات‬
‫مركب‬ ‫اس‬ ً‫ف‬ ‫التعوٌض‬ ‫عند‬"‫ومقام‬ ‫بسط‬‫واس‬ ‫ا‬‫وجذر‬". . .‫لسهولة‬ ‫االس‬ ‫ثم‬ ‫الجذر‬ ‫ناخذ‬
‫الحل‬. . .‫سالبا‬ ‫األس‬ ‫كان‬ ‫اذا‬. .‫البسط‬ ً‫ف‬ ‫ٌضرب‬ ‫فالناتج‬ ‫موجبا‬ ‫أو‬ ‫المقام‬ ً‫ف‬ ‫ٌضرب‬ ‫فالناتج‬
𝟑
𝟒
× 𝟏𝟔 −
𝟑
𝟒 =
𝟑
𝟒
×
𝟏
𝟖
=
𝟑
𝟑𝟐
‫السالب‬ ‫االس‬
𝟑
𝟒
× 𝟏𝟔
𝟑
𝟒 =
𝟑
𝟒
× 𝟖 =
𝟐𝟒
𝟒
= 𝟔 ‫الموجب‬ ‫االس‬
‫معلومة‬4
‫معلومة‬5
If y=1 If y=
2
9
Page 5

6. ً‫العلم‬ ‫الخامس‬ ً‫ف‬ ‫المهارات‬ ‫هذه‬ ‫نحتاج‬+ً‫العلم‬ ‫السادس‬"‫التكامل‬ ‫المشتقة‬" . . . +
‫ٌتوز‬ ‫وال‬ ‫والقسمة‬ ‫الضرب‬ ً‫عملٌت‬ ‫على‬ ‫ٌتوزع‬ ‫األس‬‫ع‬‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ً‫عملٌت‬ ‫على‬
3 × 4 2
= 32
× 42
‫وكذلك‬
9
3
2
=
92
32
‫الٌتوزع‬ ‫األس‬3 ± 4 2
≠ 32
± 42
‫المشتقة‬ ‫موضوع‬ ً‫وف‬ ‫المختلفة‬ ‫بأنواعها‬ ‫والجذور‬ ‫اآلسٌة‬ ‫المعادالت‬ ً‫ف‬ ‫المعلومتٌن‬ ‫هاتٌن‬ ‫نحتاج‬
‫أخرى‬ ‫ومواضٌع‬ ‫الهندسٌة‬ ‫والمتتابعات‬. . .‫الحل‬ ‫لسرعة‬ ‫بها‬ ‫تام‬ ‫اطالع‬ ‫على‬ ‫نكون‬ ‫ان‬ ‫ٌجب‬
‫العددٌن‬ ‫سلم‬2, 3
𝟏𝟎𝟐𝟒 = 𝟐 𝟏𝟎
‫بالتنازل‬ ‫وٌبدا‬
𝟕𝟐𝟗 = 𝟑 𝟔
‫بالتنازل‬ ‫وٌبدا‬
‫معلومة‬6
‫معلومة‬7
2 256
2 128
2 64
2 32
2 16
2 8
2 4
2 2
1
.
2 1024.
2 512.
.
3 729
3 243
3 81
3 27
3 9
3 3
1
.
.
Page 6
.
2 1024.
2 512.
2 256.
2 128.
2 64.
2 32.
2 16.
2 8.
2 4.
2 2.
1 .
.
.
.
.
.
3 729.
3 243.
3 81.
3 27.
3 9.
3 3.
1 .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

7. ‫؟‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫أو‬ ً‫التكعٌب‬ ‫او‬ ً‫ألتربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫إلٌجاد‬. . .‫إعداده‬ ‫الى‬ ‫العدد‬ ‫نحلل‬
‫العدد‬ ‫من‬ ‫ابتدءا‬ ‫األولٌة‬2‫ٌقبل‬ ‫لم‬ ‫ان‬3"‫العدد‬ ‫على‬ ‫ٌقبل‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ‫مركبات‬ ‫مجموع‬3‫ان‬ ً‫ٌعن‬
‫اٌضا‬ ‫ٌقبل‬ ‫العدد‬. .‫ٌقبل‬ ‫لم‬ ‫ان‬11 , 7 , 5‫فصاعدا‬
‫واحد‬ ‫احتمال‬ ‫منه‬ ‫ٌخرج‬ ‫مرتٌن‬ ‫مكرر‬ ‫عدد‬ ‫كل‬ ً‫ألتربٌع‬ ‫الجذر‬ ً‫ف‬
ً‫التكعٌب‬. . .‫واحد‬ ‫احتمال‬ ‫ٌخرج‬ ‫مرات‬ ‫ثالث‬ ‫مكرر‬ ‫عدد‬ ‫كل‬
‫عدد‬ ‫على‬ ‫كذلك‬ ‫البقٌة‬"‫عام‬ ‫بشكل‬ ‫الجذر‬ ‫دلٌل‬"
‫مباشرا‬ ‫جذرا‬ ‫التمتلك‬ ‫اإلعداد‬ ‫بعض‬"‫الجذور‬ ‫أشباه‬. . "ً‫اول‬ ‫واالخر‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫أحداهما‬
‫العدد‬ ‫نحلل‬. . .‫ٌبقى‬ ً‫واألول‬ ‫ٌخرج‬ ‫الجذر‬ ‫خاصٌة‬ ‫ٌحقق‬ ‫من‬
𝟖 = 𝟒 × 𝟐 = 𝟐 𝟐 ‫وكذلك‬ 𝟐𝟕 = 𝟗 × 𝟑 = 𝟑 𝟑
‫التقرٌبٌة‬ ‫الجذور‬. . .‫مباشرا‬ ‫جذرا‬ ‫التمتلك‬ ً‫الت‬ ‫او‬ ‫غالبا‬ ‫األولٌة‬ ‫لإلعداد‬ ‫تكون‬. .‫نجدها‬
‫تقرٌبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫او‬ ‫الحاسبة‬ ‫باستخدام‬"‫عام‬ ‫بشكل‬ ‫والفٌزٌاء‬ ‫والكٌمٌاء‬ ‫الرٌاضٌات‬ ً‫ف‬ ‫اهمٌة‬ ‫لها‬"
‫احتماالت‬ ‫اول‬ ‫ٌاخذ‬ ‫للصغٌر‬ ‫قرٌب‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ً‫تربٌع‬ ‫جذر‬ ‫ٌمتلكان‬ ‫عددٌن‬ ‫بٌن‬ ‫محصور‬ ‫ٌكون‬
‫عشرٌة‬. . .‫عشرٌة‬ ‫احتماالت‬ ‫اربع‬ ‫اخر‬ ‫ٌأخذ‬ ‫للكبٌر‬ ‫قرٌبا‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬𝟏𝟕 ‫مثال‬
𝟏𝟔 < 𝟏𝟕 < 𝟐𝟓‫العدد‬ ‫الحض‬17‫للعدد‬ ‫قرٌب‬16
4 < 17 < 5
‫له‬ ‫احتماالت‬ ‫اول‬ ‫ٌاخذ‬4.1 , 4.2 , 4.3 , 4.4‫واألقرب‬4.1‫جدا‬ ‫قرٌب‬ ‫النه‬
‫معلومة‬8
Page 7

8. ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫وزواٌا‬ ‫والمنتسبة‬ ‫الخاصة‬ ‫الزواٌا‬
‫المتكامل‬ ‫الجدول‬ ‫او‬ ‫مباشرة‬ ‫القٌم‬ ‫بشكلٌن‬ ‫موضحة‬ ‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫قٌم‬
‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ً‫ف‬. . .‫تكون‬ ً‫بالتال‬ ‫القٌم‬𝒄𝒐𝒔, 𝐬𝐢𝐧‫ال‬ ‫دالة‬ ‫اما‬tan‫علٌها‬ ‫نحصل‬
𝐭𝐚𝐧 𝐱 =
𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝐜𝐨𝐬𝐱
‫وكذلك‬ 𝐜𝐨𝐭 𝐱
𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐬𝐢𝐧𝐱
‫وكذلك‬ 𝐬𝐞𝐜 𝐱 =
𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝐱
‫وكذلك‬ 𝐜𝐬𝐜𝐱 =
𝟏
𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝟎 , 𝟐𝛑 𝟏, 𝟎
𝛑
𝟐
= 𝟗𝟎° 𝟎, 𝟏 𝛑 = 𝟏𝟖𝟎° −𝟏, 𝟎
𝟑𝛑
𝟐
= 𝟐𝟕𝟎° 𝟎, −𝟏
𝛑
𝟒
= 𝟒𝟓°
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟑𝛑
𝟒
= 𝟏𝟑𝟓° −
𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟓𝛑
𝟒
= 𝟐𝟐𝟓° −
𝟏
𝟐
,
−𝟏
𝟐
𝟕𝛑
𝟒
= 𝟑𝟏𝟓°
𝟏
𝟐
,
−𝟏
𝟐
𝛑
𝟔
= 𝟑𝟎°
𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟓𝛑
𝟔
= 𝟏𝟓𝟎°
− 𝟑
𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟕𝛑
𝟔
= 𝟐𝟏𝟎°
− 𝟑
𝟐
, −
𝟏
𝟐
𝟏𝟏𝛑
𝟔
= 𝟑𝟑𝟎°
𝟑
𝟐
, −
𝟏
𝟐
‫معلومة‬9
‫دائرة‬ ‫زواٌا‬‫الوحدة‬
‫الوحدة‬
‫الزاوٌة‬ ‫إشكال‬
𝛑
𝟒
= 𝟒𝟓°
‫الزاوٌة‬ ‫إشكال‬
𝛑
𝟔
= 𝟑𝟎°
‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ‫لزواٌا‬ ‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫قٌم‬ ‫لمعرفة‬"‫ربع‬ ‫كل‬ ‫وبداٌة‬ ‫نهاٌة‬"‫المسقط‬ ‫على‬ ‫نعتمد‬
‫قٌم‬ ‫وتكون‬ ‫الوحدة‬ ‫دائرة‬ ً‫ف‬ ‫والصادي‬ ً‫السٌن‬cos + sin‫اما‬0 , 1 , -1
‫الخاصة‬ ‫والزواٌا‬𝟑𝟎° + 𝟒𝟓° + 𝟔𝟎°‫الزواٌا‬ ‫لبقٌة‬ ‫القٌم‬ ‫لمعرفة‬ ‫واجب‬ ‫حفظها‬
‫المنتسبة‬ ‫والزواٌا‬. .‫والرابع‬ ‫والثالث‬ ً‫الثان‬ ‫الربع‬ ً‫ف‬ ‫تقع‬ ‫زواٌا‬. . .‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫قٌمهما‬
‫ادناه‬ ‫المخطط‬ ً‫ف‬ ‫موضح‬ ‫هو‬ ‫كما‬ ‫الربع‬ ‫ذلك‬ ‫اشارة‬ ‫الى‬ ‫باالضافة‬ ‫ربع‬ ‫لكل‬ ‫الخاصٌة‬
‫الخاصة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫االول‬ً‫الثان‬ ‫الربع‬𝛑 − 𝛉‫الثالث‬𝛑 + 𝛉‫الرابع‬𝟐𝛑 − 𝛉
‫توضٌح‬
Page 8

9. 𝛑
𝟑
= 𝟔𝟎°
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟐
𝟐𝛑
𝟑
= 𝟏𝟐𝟎° −
𝟏
𝟐
,
𝟑
𝟐
𝟒𝛑
𝟑
= 𝟐𝟒𝟎° −
𝟏
𝟐
,
− 𝟑
𝟐
𝟓𝛑
𝟑
= 𝟑𝟎𝟎°
𝟏
𝟐
, −
𝟑
𝟐
‫الزاوٌة‬ ‫اشكال‬
π
3
= 60°
‫معلومة‬9
Page 9

10. ‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫حول‬ ‫هامة‬ ‫معلومات‬
r
‫معلومة‬9
Page 10

11. ‫ال‬ ً‫لدالت‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬ ‫قوانٌن‬sin + cos
‫او‬ ‫اخرى‬ ‫زواٌا‬ ‫بداللة‬ ‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫قٌم‬ ‫واٌجاد‬ ‫التكامل‬ ً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬ ً‫قانون‬ ‫نحتاج‬
‫الدائرٌة‬ ‫الدوال‬ ‫متطابقات‬ ‫صحة‬ ‫الثبات‬
= 𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝟐𝐱 − 𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝟐𝐱 𝐝𝐱
= 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝐱 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱
𝟐
𝟏
𝟐
𝐝𝐱
= 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝐱 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐𝐱 .
𝐝𝐱 = ±
−𝒄𝒐𝒔 𝟐𝒙
𝟐
−
𝒔𝒊𝒏𝟐𝒙
𝟐
+ 𝒄
‫ا‬‫الزاوٌة‬ ‫السؤال‬ ‫هذا‬ ً‫ف‬ ‫الختالف‬. . .‫لدالة‬ ‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬ ‫قانون‬ ‫نعتمد‬ ‫دائما‬sin‫بعد‬ ً‫التربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫من‬ ‫للتخلص‬
‫الذهبٌة‬ ‫المتطابقة‬ ‫على‬ ‫باالعتماد‬ ‫الكامل‬ ‫المربع‬ ‫اكمال‬𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟐𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝟐𝐱 = 𝟏
‫معلومة‬10
sin‫الزاوٌة‬ ‫ضعف‬ = 2 sin ‫ا‬‫لزاوٌة‬ ‫نصف‬ cos‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬
.sin 2x = 2 sin x cos x or sin 8x = 2 sin 4x cos 4x
.cos 2
‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬ − sin 2
‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬
cos ‫الزاوٌة‬ ‫ضعف‬ = 2cos2
‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬ − 1
1 − sin2
‫الزاوٌة‬ ‫نصف‬
.𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝟐𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟐𝐱
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 = 𝟐𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝟐𝐱 − 𝟏
𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝟐𝐱
‫مثال‬1
𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱 𝐝𝐱.
Page 11

12. =
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 𝟐− 𝐬𝐢𝐧 𝟒 𝐱 𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱
𝐝𝐱 =
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱+ 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱
𝐝𝐱
= 𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 + 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱 𝐝𝐱 =
𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱
𝟒
−
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱
𝟒
+ 𝐜
‫الذهبٌة‬ ‫المتطابقة‬
‫كثٌرة‬ ‫تطبٌقات‬ ‫لها‬"‫دالة‬ ‫اٌجاد‬sin‫او‬cos‫أحداهما‬ ‫علم‬ ‫اذا‬
‫زاوٌة‬ ‫الي‬ ‫الدائرٌة‬ ‫القٌم‬ ‫صحة‬ ‫اثبات‬
‫المقام‬ ‫من‬ ‫والتخلص‬ ‫للتبسٌط‬. . .‫األس‬ ‫تحلٌل‬ ‫او‬"‫التكامل‬ ‫لغرض‬"
= 𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱 𝐝𝐱 = 𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱 𝐝𝐱
= 𝐬𝐢𝐧𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 − 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐝𝐱
= −𝐜𝐨𝐬𝐱 +
𝐜𝐨𝐬 𝟑 𝐱
𝟑
+ 𝐜
‫مثال‬2
𝐜𝐨𝐬 𝟖𝐱
𝐜𝐨𝐬 𝟒𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟒𝐱
𝐝𝐱.
𝟏 − 𝐬𝐢𝐧 𝟏𝟐𝐱 𝐝𝐱.
‫واجب‬
𝐜𝐨𝐬 𝟏𝟎𝐱
𝐜𝐨𝐬 𝟓𝐱 − 𝐬𝐢𝐧 𝟓𝐱
𝐝𝐱.
‫واجب‬
‫معلومة‬11.𝐬𝐢𝐧 𝟐
𝐱 + 𝐜𝐨𝐬 𝟐
𝐱 = 𝟏
‫مثال‬1
.𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝐱 𝐝𝐱
Page 12

13. =
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝟏 –𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐝𝐱 =
𝟏 − 𝐜𝐨𝐬 𝟐 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝟏 –𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐝𝐱
=
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝒙 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝟏 –𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐝𝐱 = 𝟏 + 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐬𝐢𝐧 𝐱 𝐝𝐱
= 𝒔𝒊𝒏𝒙 + 𝐬𝐢𝐧𝐱 𝐜𝐨𝐬 𝐱 𝐝𝐱
= −𝐜𝐨𝐬 𝐱 +
𝐬𝐢𝐧 𝟐 𝐱
𝟐
+ 𝐜
‫المقامات‬ ‫توحٌد‬
‫النسبٌة‬ ‫االعداد‬ ‫او‬ ‫الحدود‬ ‫بٌن‬ ‫المقامات‬ ‫لتوحٌد‬
‫اإلعداد‬. . .‫المقامات‬ ‫جمٌع‬ ‫على‬ ‫القسمة‬ ‫ٌقبل‬ ‫عدد‬ ‫اقرب‬ ‫نأخذ‬. . . .‫بالبسط‬ ‫ناتجه‬ ‫ونضرب‬ ‫مقام‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫نقسمه‬
‫البسط‬ ‫لحدود‬ ‫الطرح‬ ‫او‬ ‫الجمع‬ ‫عملٌة‬ ‫نجري‬ ‫ثم‬"‫النسبٌة‬ ‫االعداد‬ ‫وطرح‬ ‫جمع‬ ‫عند‬ ‫القاعدة‬ ‫هذه‬ ‫نحتاج‬
𝟐
𝟑
+
𝟑
𝟒
−
𝟕
𝟔
−
𝟓
𝟏𝟐
=
2×4 + 3 ×3 − 7×2 −5×1
12
=
8 + 9 − 14 −5
12
= =
17 −14 −5
12
=
−2
12
=
−1
6
‫ودٌا‬ ‫الحد‬ ً‫ف‬ ‫اما‬‫ت‬. . .‫االصغر‬ ‫المشترك‬ ‫المضاعف‬ ‫ٌكون‬ ‫ثم‬ ‫التحلٌل‬ ‫عملٌة‬ ‫نجري‬"‫العوامل‬ ‫ضرب‬ ‫حاصل‬ ‫هو‬
‫التحلٌل‬ ‫بعد‬ ‫االولٌة‬. . .‫البسط‬ ً‫ف‬ ‫ونضربه‬ ‫مقام‬ ‫كل‬ ‫على‬ ‫ونقسمه‬
‫مثال‬2
.
𝐬𝐢𝐧 𝟑
𝐱
𝟏 –𝐜𝐨𝐬 𝐱
𝐝𝐱
.
𝒄𝒐𝒔 𝟑 𝐱
𝟏 –𝐬𝐢𝐧 𝐱
𝐝𝐱
‫واجب‬
‫معلومة‬12
Page 13

14. ‫الضرب‬ ‫عملٌة‬ ‫اما‬. . ."‫البسط‬×‫والمقام‬ ‫البسط‬×‫المقام‬"
‫القسمة‬. . .‫من‬ ‫المقام‬ ‫قلب‬ ‫مع‬ ‫ضرب‬ ‫الى‬ ‫تتحول‬"‫بسط‬/‫مقام‬ ‫الى‬ ‫مقام‬/‫بسط‬"
‫العدد‬ ‫بداللة‬ ‫المقام‬ ً‫تعن‬ ‫الفارزة‬ ‫قبل‬ ‫المراتب‬10‫نعتمد‬ ‫او‬ ‫المقام‬ ‫الى‬ ‫صفرا‬ ‫تضٌف‬ ‫إضافٌة‬ ‫مرتبة‬ ‫وكل‬
‫األسس‬ ‫خواص‬ ‫على‬
‫اسٌة‬ ‫بصٌغة‬ ‫تحوٌله‬‫نسبٌة‬ ‫بصورة‬ ‫تحوٌله‬‫العدد‬
0. 0000 32 =
32
1000000
= 32 × 10−6
‫العدد‬ ً‫تعن‬ ‫الٌمٌن‬ ‫على‬ ‫االصفار‬ ‫اما‬10‫موجب‬ ‫اس‬ ‫الى‬ ‫ومرفوع‬
3000 000 = 3 × 10 6
12000 = 12 × 10 3
‫الرٌاضٌة‬ ‫العملٌات‬ ً‫ف‬ ‫االعداد‬ ‫مع‬ ‫نتعامل‬ ‫كٌف‬
‫اعاله‬ ‫وضحنا‬ ‫كما‬ ‫االسٌة‬ ‫الصٌغة‬ ‫الى‬ ‫وتحوٌله‬ ‫واالصفار‬ ‫الفوارز‬ ‫من‬ ‫العدد‬ ‫نجرد‬ ‫والضرب‬ ‫القسمة‬ ً‫ف‬
‫االس‬ ‫او‬ ‫المراتب‬ ‫مساوات‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫والطرح‬ ‫الجمع‬ ً‫عملٌت‬ ‫اما‬"‫أي‬‫بالصٌغة‬ ‫نتعامل‬ ‫كنا‬ ‫ان‬ ‫المقامات‬ ‫توحٌد‬
‫الكسرٌة‬"
44 0000
0.0004
=
44 × 10 4
4 × 10−4
=
44
4
× 10 4
× 10 4
= 11 × 10 8
0. 0022 + 0.000014 = 0. 002200 + 0.000014 = 0.002214
‫معلومة‬13
‫العشرٌة‬ ‫اإلعداد‬
Page 14

15. ‫فٌثاغورس‬ ‫نظرٌة‬. ..‫المثلث‬ ً‫ف‬ ‫المفقود‬ ‫الضلع‬ ‫الٌجاد‬. .‫المثلث‬ ‫ان‬ ‫الثبات‬ ‫او‬
‫معٌنة‬ ‫نقطة‬ ً‫ف‬ ‫الزاوٌة‬ ‫قائم‬. . .‫التعوٌض‬ ‫دالة‬ ‫تكوٌن‬ ً‫ف‬ ‫المشتقة‬ ً‫ف‬ ‫االنشائٌة‬ ‫المسائل‬ ‫أو‬
‫أو‬ ‫بالزمن‬ ‫المرتبطة‬ ‫المعدالت‬ ‫أو‬. . . .
‫المثلثات‬ ‫تشابه‬. . . .‫داخل‬ ‫مستقٌم‬ ‫قطعة‬ ‫او‬ ‫مجهول‬ ‫ضلع‬ ‫الٌجاد‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫نستخدم‬
‫بنوعٌها‬ ‫االنشائٌة‬ ‫المسائل‬ ‫أو‬ ‫المثلث‬"‫المشتقة‬. . . "‫اخرى‬ ‫واستخدامات‬ ‫تطبٌقات‬ ‫او‬. .. .
‫االخر‬ ‫الكبٌر‬
‫االخر‬ ‫الصغٌر‬
=
‫الكبٌر‬ ‫الضلع‬
‫الصغٌر‬ ‫الضلع‬
𝟏𝟐
𝐱
=
𝟖
𝟐
𝟖𝐱 = 𝟐𝟒 𝐱 =
𝟐𝟒
𝟖
= 𝟑
‫معلومة‬14
.𝐳 𝟐
= 𝐱 𝟐
+ 𝐲 𝟐
.‫الوتر‬
𝟐
= ‫المقابل‬
𝟐
+ ‫المجاور‬
𝟐
‫معلومة‬15
12
x
8
2
Page 15

16. ‫القاعدة‬ ‫نوع‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬"‫اسطوانة‬, , ,‫دائرة‬ ‫القاعدة‬"‫مستطٌالت‬ ‫متوازي‬ ‫او‬
‫مستطٌل‬ ‫قاعدة‬ ‫احتماالن‬ ‫له‬"‫المستطٌل‬ ‫محٌط‬ ‫على‬ ‫نعتمد‬"‫المربع‬ ‫محٌط‬ ‫مربعة‬ ‫او‬. .‫العالقات‬ ‫هذه‬ ‫كل‬
‫المشتقة‬ ‫مقدمة‬ ً‫ف‬ ‫مفصل‬ ‫بشكل‬ ‫موضحة‬
‫معلومة‬16
.‫الحجوم‬ ‫قوانٌن‬
.𝑽 =
𝟒
𝟑
𝒓 𝟑
𝛑‫الكرة‬ ‫حجم‬.𝑽 = 𝒓 𝟐
𝒉 𝛑‫االسطوانة‬ ‫حجم‬
.𝑽 =
𝟏
𝟑
𝒓 𝟐
𝒉 𝛑‫المخروط‬ ‫حجم‬
.𝐕 = 𝐱 𝐲 𝐳‫المستطٌالت‬ ‫متوازي‬
.𝑽 = 𝒙 𝟑
‫المكعب‬ ‫حجم‬.𝑽 =
𝟏
𝟑
b h‫الهرم‬ ‫حجم‬
.‫الكلٌة‬ 𝑨 = ‫الجانبٌة‬ 𝑨 + ‫القاعدتٌن‬ 𝐴
‫الجانبٌة‬ ‫المساحة‬=‫محٌط‬×‫القاعدة‬
‫االرتفاع‬
Page 16

17. ‫المستقٌم‬ ‫معادلة‬. . . .‫القٌاسٌة‬ ‫الصٌغة‬
‫نقطة‬ ‫ذكرت‬ ‫اذا‬p(x,y)+‫معٌن‬ ‫عدد‬ ‫المٌل‬ ‫علم‬m =
‫نعوض‬+‫الوسطٌن‬ ‫ضرب‬=‫الطرفٌن‬+‫اعاله‬ ً‫القٌاس‬ ‫بالشكل‬ ‫المعادلة‬ ‫ونرتب‬ ‫نصفر‬
"‫المنقول‬ ‫الحد‬ ‫اشارة‬ ‫مراعات‬ ‫مع‬"
‫نقطتان‬ ‫ذكرت‬ ‫اذا‬
‫قٌمة‬ ‫ذكرت‬ ‫اذا‬x‫او‬y. . . .‫الدال‬ ً‫ف‬ ‫المعلوم‬ ‫نعوض‬‫ة‬‫المجهول‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
+‫نعوض‬x‫المٌل‬ ‫على‬ ‫نحصل‬ ‫المشتقة‬ ً‫ف‬+‫القانون‬ ً‫ف‬ ‫علٌه‬ ‫ماحصلنا‬ ‫نعوض‬
‫المطلوبة‬ ‫المستقٌم‬ ‫معادلة‬ ‫على‬ ‫نحصل‬
‫الزاوٌة‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬. . . .𝒎 = 𝐭𝐚𝐧 𝜽‫السابق‬ ‫المخطط‬ ‫على‬ ‫تعتمد‬ ‫والزاوٌة‬
‫المستقٌم‬ ‫معادلة‬ ‫علمت‬ ‫اذا‬" . . .‫ومرتبة‬ ‫مصفرة‬ ‫تكون‬ ‫ان‬ ‫شرط‬. . "‫المٌل‬ ‫فأن‬
𝐦 =
𝐱 ‫−معامل‬
𝐲 ‫معامل‬
‫خاللهما‬ ‫من‬ ‫المٌل‬ ‫الٌجاد‬ ‫عالقتان‬
‫معلومة‬17
.𝐚𝐱 + 𝐛𝐲 + 𝐜 = 𝟎
.𝐦 =
𝐲 − 𝐲𝟏
𝐱 − 𝐱𝟏
.
𝐲𝟐 − 𝐲𝟏
𝐱𝟐 − 𝐱𝟏
=
𝐲 − 𝐲𝟏
𝐱 − 𝐱𝟏
‫االٌسر‬ ‫الطرف‬"‫المٌل‬"
.𝐦 =
𝐲 − 𝐲𝟏
𝐱 − 𝐱𝟏
Page 17

18. ‫المستقٌمان‬ ‫توازى‬ ‫اذا‬. . . .‫المٌالن‬ ‫تساوى‬𝒎𝟏 = 𝒎𝟐
‫المستقٌمان‬ ‫تعامد‬ ‫اذا‬. . . .ً‫الثان‬ ‫المٌل‬ ‫فان‬- =ً‫الم‬ ‫مقلوب‬‫ل‬‫األول‬𝒎𝟐 = −
𝟏
𝒎𝟏
ً‫المستق‬ ‫وازى‬ ‫اذا‬‫م‬‫السٌنات‬ ‫محور‬. . . .m=0
‫الرٌاضٌة‬ ‫المسألة‬ ‫مع‬ ‫تتعامل‬ ‫كٌف‬
‫القانون‬. . .‫المسألة‬ ‫محور‬ ‫هو‬ ‫القانون‬. . .‫استخدامه‬ ‫ووقت‬ ‫باستخدامه‬ ‫معرفة‬ ‫على‬ ‫نكون‬ ‫ان‬ ‫ٌجب‬
‫التعوٌض‬. . .‫حاالت‬ ‫له‬ ‫القانون‬ ً‫ف‬ ‫الثوابت‬ ‫تعوض‬. . .‫المهارات‬ ‫بإجراء‬ ‫نجده‬ ‫واحد‬ ‫المجهول‬ ‫كان‬ ‫اذا‬
‫المختلفة‬ ‫الرٌاضٌة‬. . .‫بالمعادالت‬ ‫المسألة‬ ‫وتحل‬ ‫معادلة‬ ‫او‬ ‫عالقة‬ ‫الى‬ ‫نحتاج‬ ‫مجهوالن‬ ‫كان‬ ‫اذا‬ ‫اما‬‫واثبات‬ ‫ا‬
‫األخر‬ ‫بداللة‬ ‫أحداهما‬
‫الرٌاضٌة‬ ‫المهارات‬. . .‫مع‬ ‫نتعامل‬ ‫ان‬ ‫الممكن‬ ‫من‬ ‫النه‬ ‫جمٌعا‬ ‫السابقة‬ ‫باألساسٌات‬ ‫معرفة‬ ‫الى‬ ‫تحتاج‬
‫واحدة‬ ‫خطوة‬ ً‫ف‬ ‫حالة‬ ‫من‬ ‫اكثر‬
‫الحل‬ ‫من‬ ‫التاكد‬. . . .‫االهم‬ ‫الخطوة‬ ‫وهو‬ ‫نوعان‬
ً‫االن‬ ‫التأكد‬. . . .‫؟‬ ‫؟‬ ‫؟‬ ‫او‬ ‫الطرح‬ ‫او‬ ‫الجمع‬ ‫عملٌة‬ ‫اثناء‬ ‫خطوة‬ ‫كل‬ ‫من‬ ‫نتاكد‬ ‫ان‬ ‫هو‬
‫القسمة‬ ‫طرٌق‬ ‫عن‬ ‫التاكد‬ ‫الضرب‬ ‫الحالة‬ ‫وكذلك‬ ‫وبالعكس‬ ‫بالطرح‬ ‫التاكد‬ ‫جمع‬ ‫اجرٌنا‬ ‫لو‬ ‫مثال‬
‫مثال‬2+7 = 9. . .‫طرحنا‬ ‫لو‬9‫من‬7‫العدد‬ ‫على‬ ‫نحصل‬2
𝟏𝟒𝟒
𝟑𝟔
= 𝟗. . .‫ضربنا‬ ‫لو‬𝟑𝟔 × 𝟗 = 𝟏𝟒𝟒
‫المعادالت‬ ً‫ف‬ ‫اما‬. . .‫علٌها‬ ‫حصلنا‬ ً‫الت‬ ‫المتغٌرات‬ ‫نعوض‬. . . .‫االٌسر‬ ‫الطرف‬=‫االٌمن‬ ‫الطرف‬
‫معلومة‬18
Page 18
‫أنجح‬ ‫أن‬ ‫فإما‬ ,‫الهدف‬ ‫بلوغ‬ ‫على‬ ‫مصمم‬ ‫أنا‬...‫إما‬ ‫و‬...‫أنجح‬ ‫أن‬

19. ‫الكامل‬ ‫المربع‬
‫كثٌرة‬ ‫واستخدامات‬ ‫تطبٌقات‬ ‫له‬. . .‫والقطوع‬ ‫والتكامل‬ ‫المشتقة‬ ً‫ف‬ ‫واالهم‬ ‫والغاٌة‬ ‫الدائرة‬ ‫موضوع‬ ً‫ف‬
‫و‬ ‫المفقود‬ ‫الحد‬ ‫اٌجاد‬ ً‫ف‬ ‫المخروطٌة‬. . .
ً‫تربٌع‬ ‫اس‬ ‫الى‬ ‫مرفوعٌن‬ ‫مقدارٌن‬ ‫او‬ ‫حدٌن‬ ‫طرح‬ ‫او‬ ‫جمع‬ ‫عن‬ ‫عبارة‬ ‫هو‬. .‫ولتبسٌطه‬
‫حدود‬ ‫ثالثة‬ ‫الى‬ ‫المقدار‬ ‫نجزء‬"ً‫التال‬ ‫بالقانون‬ ‫موضحة‬"
‫معلومة‬19
( 𝒙 − 𝟐 ) 𝟐
𝐱 𝟐
− 𝟐 𝟐 𝐱 + 𝟐
( 𝒙 + 𝟕 ) 𝟐
𝐱 + 𝟐 𝟕 𝐱 + 𝟕
( 𝒙 ∓ 𝒚 ) 𝟐
𝒙 𝟐
∓ 𝟐 𝒙 𝒚 + 𝒚 𝟐
‫مربع‬
‫االول‬
2×‫االول‬×ً‫الثان‬
‫موجبة‬
‫دائما‬
‫مربع‬
ً‫الثان‬
‫نفس‬
‫االشارة‬
( 𝒙 − 𝟓 ) 𝟐 𝐱 𝟐
− 𝟏𝟎 𝐱 + 𝟐𝟓
Page 19

20. ً‫ألتربٌع‬ ‫الجذر‬ ‫مربع‬. . .‫الجذر‬ ‫ماتحت‬𝟕
𝟐
= 𝟕 , 𝟐
𝟐
= 𝟐
‫المفقود‬ ‫الحد‬ ‫اٌجاد‬ ‫كٌفٌة‬𝐛𝐱 = 𝟐 ‫االول‬ × ‫الثالث‬‫نجد‬ ‫القانون‬ ‫بهذا‬‫أي‬‫حد‬
‫اآلخران‬ ‫علم‬ ‫اذا‬
‫كامل‬ ‫مربع‬ ‫وتكوٌن‬ ‫المجهول‬ ‫الحد‬ ‫اٌجاد‬ ‫خاصة‬ ‫المخروطٌة‬ ‫القطوع‬ ً‫وف‬ ‫المرحلة‬ ‫هذه‬ ً‫ف‬ ‫مانحتاجه‬
‫البسٌطة‬ ‫العالقة‬ ‫هذه‬ ‫نستخدم‬
‫"المطلق‬ ‫الحد‬ =
‫الوسط‬ ‫الحد‬
𝟐
𝟐
‫االول‬ ‫الحد‬
. . .‫أي‬‫على‬ ‫الوسط‬ ‫الحد‬ ‫نقسم‬2‫ونقسمه‬ ‫ونربعه‬
‫االول‬ ‫الحد‬ ‫على‬"‫المجهول‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫على‬ ‫نحصل‬. . .‫القطوع‬ ً‫ف‬ ‫للطرفٌن‬ ‫ونضٌفه‬
𝟏𝟔 𝐱 𝟐
+ 𝟏𝟔𝟎 𝐱 + ? − 𝟗 𝐲 𝟐
− 𝟏𝟖 𝐲 + ? = 𝟏𝟖𝟓
𝟏𝟔 𝒙 𝟐
+ 𝟏𝟔𝟎 𝒙 + 𝟒𝟎𝟎 – ( 𝟗 𝒚 𝟐
− 𝟏𝟖 𝒚 + 𝟗) = 𝟏𝟖𝟓 + 400 − 9
‫"المطلق‬ ‫الحد‬ =
𝟏𝟔𝟎 𝐱
𝟐
𝟐
𝟏𝟔 𝐱 𝟐
=
𝟖𝟎 𝐱 𝟐
𝟏𝟔 𝐱 𝟐
=
𝟖𝟎 ×𝟖𝟎 𝐱 𝟐
𝟏𝟔 𝐱 𝟐
= 𝟐𝟎 × 𝟐𝟎 = 𝟒𝟎𝟎
‫ا‬‫لم‬‫طلق‬ " ‫الح‬‫د‬ =
𝟏𝟖 𝒚
𝟐
𝟐
𝟗 𝐲 𝟐
=
𝟗 𝐲 𝟐
𝟗 𝐲 𝟐
=
𝟖𝟏 𝒚 𝟐
𝟗 𝐲 𝟐
= 𝟗
‫المعادلة‬ ‫توازن‬ ‫على‬ ‫للمحافظة‬ ‫للطرفٌٌن‬ ‫نضٌفه‬ ‫الثالث‬ ‫الحد‬ ‫عرفنا‬ ‫ان‬ ‫بعد‬
( 𝟒 𝒙 + 𝟐𝟎 ) 𝟐
− ( 𝟑 𝒚 − 𝟑) 𝟐
= 𝟓𝟕𝟔
𝟏𝟔 ( 𝒙 + 𝟓 ) 𝟐
− 𝟗 ( 𝒚 − 𝟏) 𝟐
= 𝟓𝟕𝟔 ÷ 𝟓76
( 𝒙 +𝟓 ) 𝟐
𝟓𝟕𝟔
𝟏𝟔
−
( 𝒚− 𝟏) 𝟐
𝟓𝟕𝟔
𝟗
= 𝟏
( 𝒙 +𝟓 ) 𝟐
𝟑𝟔
−
( 𝒚− 𝟏) 𝟐
𝟔𝟒
= 𝟏
𝟏𝟔 𝐱 𝟐
+ 𝟏𝟔𝟎 𝐱 − 𝟗 𝐲 𝟐
+ 𝟏𝟖 𝐲 = 𝟏𝟖𝟓
Page 20

21. ‫للتبسٌط‬ ‫قابل‬ ‫و‬ ‫مباشر‬ ً‫تكعٌب‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫كالهما‬ ‫مقدارٌن‬ ‫او‬ ‫حدٌن‬ ‫بٌن‬ ‫اوفرق‬ ‫جمع‬ ‫عملٌة‬ ‫هو‬
‫التحلٌل‬ ‫عند‬. . . .‫صغٌر‬ ‫أحداهما‬ ‫قوسان‬"‫حدٌن‬ ‫من‬ ‫مكون‬"‫كبٌر‬ ً‫الثان‬"‫حدود‬ ‫ثالث‬ ‫من‬"
‫أدناه‬ ‫موضح‬ ‫كما‬
‫المقام‬ ‫من‬ ‫للتخلص‬ ‫التكامل‬ ‫اهمها‬ ‫كثٌرة‬ ‫تطبٌقات‬ ‫له‬
‫معلومة‬20
‫مكعبٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الجمع‬ ‫او‬ ‫الفرق‬ ‫قانون‬
𝒙 𝟑
± 𝒚 𝟑 𝒙 ± 𝒚 𝒙 𝟐
∓ 𝒙 𝒚 + 𝒚 𝟐
‫الجذر‬
ً‫التكعٌب‬
‫لالول‬ ‫الجذر‬
ً‫التكعٌب‬
ً‫للثان‬
‫نفس‬
‫االشارة‬
‫مربع‬
‫االول‬
‫مربع‬
ً‫الثان‬
‫موجبة‬
‫دائما‬
‫االول‬×ً‫الثان‬‫عكس‬
‫االشارة‬
𝒙 𝟑
− 𝟐𝟕 x − 3 𝐱 𝟐
+ 𝟑𝐱 + 𝟗
ً‫ماٌات‬ ‫حلل‬
𝒙 𝟑
+ 𝟔𝟒
𝐱 + 𝟒 𝐱 𝟐
− 𝟒𝐱 + 𝟏𝟔
𝒙 𝟑
+ 𝟏𝟔 𝐱 + 𝟐 𝟐
𝟑
𝐱 𝟐
− 𝟐 𝟐
𝟑
𝐱 + 𝟒 𝟒
𝟑
‫مكعبٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الجمع‬ ‫او‬ ‫الفرق‬ ‫قانون‬
Page 21

22. ‫مباشر‬ ‫غٌر‬ ‫او‬ ‫مباشر‬ ً‫تربٌع‬ ‫جذر‬ ‫له‬ ‫كالهما‬ ‫مقدارٌٌن‬ ‫او‬ ‫حدٌن‬ ‫بٌن‬ ‫فرق‬ ‫عملٌة‬ ‫هو‬"‫للتبسٌط‬ ‫قابل‬"
‫التحلٌل‬ ‫عند‬. . .‫سالب‬ ‫واألخر‬ ‫موجب‬ ‫أحداهما‬ ‫قوسان‬. . .‫مباشر‬ ً‫تربٌع‬ ‫جذر‬ ‫لها‬ ‫اإلعداد‬ ‫بعض‬
‫مثل‬ ‫الجذور‬ ‫اشباه‬ ‫االخر‬ ‫والبعض‬𝟖 = 𝟒 × 𝟐 = 𝟐 𝟐‫او‬𝟐𝟕 = 𝟗 × 𝟑 = 𝟑 𝟑
‫التحلٌل‬ ‫عند‬ ‫لكن‬ ً‫تقرٌب‬ ‫جذر‬ ‫وله‬ ‫االولٌة‬ ‫االعداد‬ ‫من‬ ‫ٌكون‬ ‫او‬=‫العدد‬ ‫جذر‬×‫العدد‬ ‫جذر‬
𝟑 = 𝟑 × 𝟑‫او‬𝟐 = 𝟐 × 𝟐
‫واحد‬ ‫لمتغٌر‬ ‫الثانٌة‬ ‫الدرجة‬ ‫من‬ ‫المعادالت‬ ‫او‬ ‫الحدودٌات‬ ً‫ف‬ ‫نحتاجه‬ ‫بالتجربة‬ ‫التحلٌل‬"‫الوسط‬ ‫الحد‬ ‫على‬ ‫الحصول‬ ‫باالمكان‬ ‫كان‬ ‫اذا‬"
‫مربعٌٌن‬ ‫بٌن‬ ‫الفرق‬ ‫قانون‬
𝒙 𝟐
− 𝒚 𝟐
𝐱 + 𝐲 × 𝐱 − 𝐲
𝒙 𝟐
− 𝟗 𝐱 + 𝟑 × 𝐱 − 𝟑
𝒙 𝟐
− 𝟖 𝐱 + 𝟐 𝟐 × 𝐱 − 𝟐 𝟐
‫بالتجربة‬ ‫التحلٌل‬
𝒙 𝟐
− 𝟏𝟏 𝒙 + 𝟑𝟎 = 𝟎 𝐱 − 𝟔 . 𝐱 − 𝟓 = 𝟎
𝒙 − 𝟕 𝒙 + 𝟏𝟐 = 𝟎 𝐱 − 𝟒 . 𝐱 − 𝟑 = 𝟎
𝒙 𝟑
− 𝟒𝒙 𝟐𝒙 + 𝟖 =
𝟎
𝐱 𝐱 − 𝟐 𝟐 . 𝐱 𝐱 − 𝟐 𝟐 = 𝟎
Page 22

23. 𝟔 𝒙 𝟔
− 𝟏𝟓 𝒙 𝟑
+ 𝟔 = 𝟎 𝟑 𝐱 𝟑
− 𝟔 . 𝟐 𝐱 𝟑
− 𝟏 = 𝟎
Page 23