Ukuran letak data dan penyebrangan data (desi febriana)
1. STATISTIK EKONOMI & BISNIS I
“Ukuran Letak Data dan Penyebaran Data”
Disusun Oleh :
Desi Febriana
(1615310025)
UNIVERSITAS PEMBANGUNAN PANCA BUDI
FAKULTAS EKONOMI DAN BISNIS
KELAS MANAJEMEN REGULER PAGI ll A
2. A. Ukuran Letak Data
Ukuran letak data adalah suatu nilai tunggal yang mengukur letak
nilai-nilai pada suatu data, atau biasanya juga disebut dengan ukuran yang
didasarkan pada letak dari ukuran tersebut dalam suatu distribusi. Dalam
ukuran letak data kita mengenal adanya kuartil,desil dan persentil.
1. Kuartil (Q)
Kuartil adalah ukuran letak yang membagi suatu distribusi menjadi 4
bagian yang sama. Kuartil berbagi menjadi tiga bagian, yaitu kuartil
pertama/bawah, kuartil kedua/bawah, dan kuartil ketiga/atas.
1) Kuartil data tunggal
a. Kuartil pertama/bawah
𝑄1=
1( 𝑛+1)
4
b. Kuartil kedua/tengan
𝑄2=
2( 𝑛+1)
4
c. Kuartil ketiga/atas
𝑄3=
3(𝑛+1)
4
Contoh:
Data nilai Matematika dari siswa kelas A adalah 5, 8, 7. Urutan data menjadi : 5, 7,
8.
Jawab:
Q1=
1(3+1)
4
= 𝟏 Q2=
2(3+1)
4
= 𝟐 Q3=
3(3+1)
4
= 𝟑
3. 2) Kuartil Data Kelompok
Secara umum rumua untuk kuartil data berkkelompok adalah:
𝐐𝐢 = 𝐋𝐨 + 𝐢{
𝐢𝐧
𝟒
−𝐅
𝐟
}
Keterangan:
Lo = Tepi bawah atas kelas kuartil
n = Banyaknya data
F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil
f = Frekuensi kelas kuartil
i = Interval / panjang kelas
Contoh :
Data nilai tugas kelas A:
Tentukan letak dari Q1, Q2 dan Q3.
Nilai Frekuensi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
10
15
20
20
15
Jumlah 80
Jawab :
Q1 = n/4 = 80/4 = 20 berada di kelas 2 40 – 49 Lo = 39,5
Q2 = 2n/4 = 160/4 = 40 berada di kelas 3 50 – 59 Lo = 49,5
Q3 = 3n/4 = 240/4 =240 berada di kelas 4 60 – 69 Lo = 59,5
4. Masing-masing kelas mempunyai interval : 10
a. Q1 =… ?
n/4 = 10, sehingga : F = 10 dan f = 15
Q1 = Lo + i{
n
4
−F
f
} = 39,5+ 10 {
20−10
15
}
= 39, 5 + 10 {
10
15
}
= 39,5 + 6,6 = 46,1
b. Q2 =… ?
2n/4 = 40, sehingga : F = 25 dan f = 20
Q2 = Lo + i{
2n
4
−F
f
} = 49,5 + 10 {
40−25
20
}
= 49, 5 + 10 {
10
15
}
= 49,5 + 7,5 = 57
c. Q3 =… ?
3n/4 = 60, sehingga : F = 45 dan f = 20
Q3 = Lo + i{
3n
4
−F
f
} = 59,5 + 10 {
60−45
20
}
= 59, 5 + 10 {
15
20
}
= 59,5 + 7,5 = 67
2. Desil (D)
Desil membagi data menjadi sepuluh bagian yang sama besar. Desil
dibagi menjadi 2 bagian yaitu :
1) Desil data tunggal
Rumus Desil secara umum :
𝐃𝐢 =
𝐢 (𝐧 + 𝟏)
𝟏𝟎
5. Ket:
Di = Desil ke i
i = 1,2,3,…,9
n = banyaknya data
2) Desil data kelompok
Secara umum rumus untuk desil berkelompok adalah :
𝐃𝐢 = 𝐋𝐨 + 𝐢{
𝐢𝐧
𝟏𝟎
− 𝐅
𝐟
}
keterangan :
Lo = Tepi bawah kelas desil
n = Banyaknya data
F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas desil
f = Frekuensi kelas desil
i = Interval / panjang kelas
Contoh:
Diketahui data pada tabel berikut ini :
Nilai Frekuensi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
5
20
20
20
15
Jumlah 80
Tentukan desil ke – 1 dan desil ke – 7
6. Jawab :
D1 = n/10 = 80/10 = 8 berada di kelas 2 40 – 49 Lo = 39,5
D7 = 7n/10 = 560/10 = 56 berada di kelas 4 60 – 69 Lo = 59,5
Masing-masing kelas mempunyai interval : 10
a. D1 =… ?
n/10 = 8, sehingga : F = 5 dan f = 20
D1 = Lo + i{
n
10
−F
f
} = 39,5 + 10 {
8−5
15
}
= 39, 5 + 10 {
3
20
}
= 39,5 + 1,5 = 41
b. D7 =… ?
7n/10 = 56, sehingga : F = 45 dan f = 20
D7 = Lo + i{
7n
10
−F
f
} = 59,5 + 10 {
56−45
20
}
= 59, 5 + 10 {
11
20
}
= 59,5 + 5,5 = 65
3. Persentil (P)
Jika data dibagi menjadi 100 bagian yang sama, maka ukuran itu
disebut persentil. Persentil dibagi menjadi 2 jenis yaitu :
1) Persentil data tunggal
Rumus Persentil secara umum :
𝐏i=
𝐢( 𝐧+𝟏)
𝟏𝟎𝟎
7. Ket:
Pi= Persentil ke – i
i = 1,2,3,..,99
n = banyaknya data
2) Persentil Data kelompok
Secara umum rumus untuk persentil berkelompok adalah :
𝐏𝐢 = 𝐋𝐨 + 𝐢{
𝐢𝐧
𝟏𝟎𝟎
− 𝐅
𝐟
}
Ket :
Lo = Tepi bawah kelas persentil
n = Banyaknya data
F = Frekuensi kumulatif sebelum kelas persentil
f = Interval / panjang kelas
i = interval/ panjang kelas
Contoh:
Diketahui data pada table di bawah ini:
Nilai Frekuensi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
10
15
20
20
15
Jumlah 80
Tentukan nilai dari persentil ke-50 dan persentil ke-100
8. Jawab:
P50 = n/100 = 2.000/100 = 20 berada di kelas 2 40 – 49 Lo = 39,5
P100 = 100n/100 = 4.000/100 = 40 berada di kelas 3 50 – 59 Lo = 49,5
Masing-masing mempunyai interval : 10
a. P50=… ?
50n/4 = 20, sehingga : F = 10 dan f = 15
P50 = Lo + i{
50n
100
−F
f
} = 39,5 + 10 {
20−10
15
}
= 39, 5 + 10 {
10
15
}
= 39,5 + 6,6 = 46,1
b. P100 =… ?
100n/4 = 40, sehingga : F = 25 dan f = 20
P100 = Lo + i{
100n
100
−F
f
} = 49,5 + 10 {
40−25
20
}
= 49, 5 + 10 {
15
20
}
= 49,5 + 7,5 = 57
B. Ukuran Penyebaran Data
Ukuran penyebaran data adalah ukuran yang menunjukkan seberapa
jauh data itu menyebar dari rata-ratanya.
Ukuran penyebaran data itu diambil dari berbagai macam ukuran
statistik yang dapat digunakan untuk mengetahui luas penyebaran data
atau variasi data atau homogenitas data atau stabilitas data.
9. 1. Simpangan Rata-rata : SR
Simpangan rata-rata / Deviasi rata-rata adalah rata-rata
penyimpangan data-data dari rata-rata. Didalam menghitung simpangan
rata-rata harus kita cari rata-rata dari harga mutlak selisih antara tiap-tiap
data dengan rata-ratanya.harga mutlak adalah nilai dengan tidak
memandang positif atau negatif, semuanya dianggap positif.
a) Simpangan Rata-rata Untuk Data Tidak Berkelompok
Rumus :
𝐒𝐑 =
∑|𝐱𝐢−𝐱|̅
𝐧
Ket:
SR = Simpangan rata-rata
Xi = data ke-i
x̅ = rata-rata hitung
n = jumlah data
b) Simpangan Rata-rata untuk Data Berkelompok
Simpangan Rata-tara (SR) untuk data berkelompok adalah rata-rata
hitung dari nilai absolut simpangan yang dirumuskan:
𝐒𝐑 =
∑𝐟𝐢|𝐱𝐢 − 𝐱|̅
∑𝐟𝐢
Ket :
SR = Simpangan rata-rata
Fi = frekuensi data ke-i
Xi = data ke-i
x̅ = jumlah data
10. 2. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Standar deviasi adalah sebuah ukuran penyebaran yang
menunjukkan standar penyimpangan atau deviasi data terhadap
penyimpangan rata-ratanya. Simpangan baku digunakan untuk mengukur
penyimpangan atau deviasi masing-masing nilai individu dari suatu
himpunan data terhadap rata-rata hitungnya.
a) Simpangan Baku untuk Data Tidak Berkelompok
Rumus :
𝑺 = √
∑(𝐱𝐢−𝐱̅) 𝟐
𝐧
populer
𝑺 = √
∑(𝐱𝐢−𝐱̅) 𝟐
𝐧−𝟏
sampel
b) Simpangan Baku untuk Data Berkelompok
Rumus :
𝑺 = √
∑𝐟𝐢(𝐱𝐢−𝐱̅) 𝟐
∑𝐟𝐢
Ket:
S = Simpangan baku
Fi = frekuensi data ke-i
Xi = data ke-i
x̅ = rata-rata hitung
∑fi = jumlah data
11. Contoh:
Nilai ujian matematika kelas A:
Interval Frekuensi
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
5
5
8
10
10
9
3
Jumlah 50
Hitunglah simpangan rata-rata dan simpangan baku dari table diatas:
Jawab :
Kelas Interval Nilai Tenga
(xi))
Fi FiXi |𝐱𝐢 − 𝐱|̅ 𝐅𝐢|𝐱𝐢− 𝐱|̅
30-39
40-49
50-59
60-69
70-79
80-89
90-99
34,5
44,5
54,5
64,5
74,5
84,5
94,5
5
5
8
10
10
9
3
172,5
222,5
436
645
745
760,5
283,5
30,8
20,8
10,8
0,8
9,2
19,2
29,2
154
104
86,4
8
92
172,8
87,6
Jumlah 50 3.265 704,8
x̅ =
∑fixi
∑fi
=
3.265
50
= 65,3
SR =
∑fi|xi−x|̅
∑fi
=
704,8
50
= 14,096
Jadi, simpangan rata-rata adalah 14,096
