3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Gráfica de funciones II
Continuamos conociendo otras gráficas
notables, en esta ocasión se analiza la gráfica
de la función polinomial, valor absoluto, raíz
cuadrada, racional y potencial.
Si un cuerpo de masa 𝑚 se encuentra a una
altura 𝑥 sobre la superficie de la Tierra, la
aceleración producida por la fuerza
gravitatoria, que actúa sobre él es:
𝑔 𝑥 = 𝐺.
𝑀𝑇
(𝑅𝑇 + 𝑥)2
𝑅𝑇
𝑚
𝑅𝑇
𝑥
𝑥
𝑎
9,81
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
1. Función potencial
𝑓 𝑥 = 𝑥𝑛
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
; 𝑛 ≥ 2; 𝑛 ∈ ℤ
Caso I: 𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
1
0
−1
1
𝒚 = 𝒙𝟒
𝒚 = 𝒙𝟐
Caso II: 𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑦 = 𝑥3
𝒚 = 𝒙𝟓
1
1
0
−1
−1
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
2. Función polinomial Forma: 𝑃 𝑥 = 𝑎 (𝑥 − 𝑥1)(𝑥 − 𝑥2)… (𝑥 − 𝑥𝑛)
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 < 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑝𝑎𝑟
𝑋
𝑌
𝑎 > 0
𝑥1
𝑥2
𝑥3
𝑥𝑛
𝑛: 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejemplo 1
C U R S O D E Á L G E B R A
Grafique 𝑓 𝑥 = 5 𝑥 + 2 𝑥 − 1
Sus raíces son: −2; 1
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
Grafique 𝑓 𝑥 = 4 𝑥 + 1 𝑥 𝑥 − 2
Sus raíces son: −1; 0; 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
Además: 𝒂 = 5 > 0
𝑎 > 0
Además: 𝒂 = 4 > 0
𝑎 > 0
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Forma de la gráfica de un polinomio cerca de una raíz de
cierta multiplicidad
Si 𝛼 es una raíz de
multiplicidad impar
𝛼 𝑋
𝛼 𝑋
Si 𝛼 es una raíz de
multiplicidad par
𝛼 𝑋
𝛼 𝑋
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟑:
Grafique 𝑓 𝑥 = 3 𝑥 − 1 2
Sus raíces son: 1 (multiplicidad 2)
𝑋
𝑌
1
𝑎 = 3 > 0
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟒:
Grafique 𝑓 𝑥 = 7 𝑥 − 1 2
(𝑥 + 1)
Sus raíces son: 1 (multiplicidad 2)
−1 (raíz simple)
𝑋
𝑌
1
−1
Ejemplo 5: Grafique 𝑓𝑥 = −2 𝑥 + 2 3
𝑥 − 1 𝑥 − 3 2
Igualando a cero para encontrar sus raíces, se obtiene
Resolución:
• −2 es una raíz de multiplicidad 3
• 1 es una raíz simple ( “multiplicidad 1”)
• 3 es una raíz de multiplicidad 2
𝑌
𝑋
−2 1 3
𝑎 = −2 < 0
𝑎 = 7 > 0
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝐍𝐨𝐭𝐚:
C U R S O D E Á L G E B R A
3. Función valor absoluto
𝑓 𝑥 = 𝑥
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
𝑥 𝑦
−2 2
−1 1
0 0
1 1
2 2
1 2
−2 −1 3
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
3
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
Observación:
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
𝜽
𝜽
Si 𝑎 = ±1 → 𝜽 = 90°
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥
𝑋
𝑌
es
La gráfica se abre hacia abajo
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 − 1 + 3
• Intersecciones con el eje 𝑌
Resolución:
Coordenadas del vértice: 1; 3
1 2
−1 3
0 𝑋
𝑌
1
2
3
: 𝒙 = 𝟎
= −2 𝟎 − 1 + 3
= 𝑦
𝑓 0
Como 𝑎 = −2, la gráfica se abre hacia abajo.
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
−2 𝑥 − 1 + 3
𝟎 =
→ 𝑥 − 1 =
3
2
→ 𝑥 =
5
2
∨ 𝑥 = −
1
2
→ 𝑦 = 1
𝑉 1; 3
𝟓
𝟐
−
𝟏
𝟐
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
4. Función raíz cuadrada
𝑓 𝑥 = 𝑥
𝑥 𝑦
0 0
1 1
2 2
1 2 3
0 𝑋
𝑌
1
2
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
4
2
3 3
4 2
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
Observación:
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − 𝑥
𝑋
𝑌
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑥 − ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
(Derecha y arriba) (Derecha y abajo)
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = − 𝑥 + 2 + 1
Resolución:
Coordenadas del vértice: −2; 1
Como 𝑎 = −1, la gráfica se abre hacia la
derecha y abajo.
𝑋
𝑌
−2
1
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= − 𝟎 + 2 + 1
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
− 𝑥 + 2 + 1
𝟎 =
→ 𝑥 + 2 = 1
→ 𝑥 = −1
→ 𝑦 = 1 − 2
1 − 2
−1
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Observación
𝑓 𝑥 = −𝑥
𝑥 𝑦
0 0
−1 1
−2 2
−1
−2
−3 0 𝑋
𝑌
1
2
Tabulando
Su gráfica es:
vértice
−4
2
−3 3
−4 2
Analizando la regla de correspondencia:
NOTA:
La gráfica de 𝑓 𝑥 = − −𝑥 𝑋
𝑌
En general: 𝑓 𝑥 = 𝑎 −𝑥 + ℎ + 𝑘 ; 𝑎 ≠ 0
Coordenadas del vértice: ℎ; 𝑘
Si 𝑎 > 0 Si 𝑎 < 0
𝑋
𝑌
𝑋
𝑌
𝑉 ℎ; 𝑘
𝑉 ℎ; 𝑘
ℎ
ℎ
𝑘
𝑘
(Izquierda y arriba) (Izquierda y abajo)
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 = −𝑥 + 1 − 2
Resolución:
Coordenadas del vértice: 1; −2
Como 𝑎 = 1, la gráfica se abre hacia la
izquierda y arriba.
𝑋
𝑌
1
−2
−1
−3
• Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
= 𝟎 + 1 − 2
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
−𝑥 + 1 − 2
𝟎 =
→ −𝑥 + 1 = 2
→ 𝑥 = −3
→ 𝑦 = −1
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
5. Función inverso multiplicativo
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
Tabulando
Su gráfica es:
Es aquella función cuya regla de correspondencia es
; 𝑥 ≠ 0
𝑥 𝑦
𝑋
𝑌
1 1 1
1
2 1/2
2
3 1/3
3
1/2 2
2
1/3 3
3
𝐍𝐎𝐓𝐀:
• La gráfica es una hipérbola equilátera.
• Los eje X e Y,son rectas asíntotas.
Se deducen las siguientes gráficas:
𝑓 𝑥 = −
1
𝑥
𝑋
𝑌
𝑔 𝑥 =
1
𝑥2
𝑋
𝑌
ℎ 𝑥 = −
1
𝑥2
𝑋
𝑌
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
6. Función racional
𝑓 𝑥 =
𝑎𝑥 + 𝑏
𝑐𝑥 + 𝑑
Son aquellas funciones cuya regla
de correspondencia es:
Donde: 𝑐 ≠ 0 ; 𝑎𝑑 ≠ 𝑏𝑐
Su gráfica tiene 2 asíntotas.
• Asíntota vertical (AV):
𝑥 = −
𝑑
𝑐
• Asíntota horizontal (AH):
𝑦 =
𝑎
𝑐
Tiene 2 posibles gráficas
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −
𝑑
𝑐
−
𝒅
𝒄
AH: 𝑦 =
𝑎
𝑐
𝒂
𝒄
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −
𝑑
𝑐
−
𝒅
𝒄
AH: 𝑦 =
𝑎
𝑐
𝒂
𝒄
S𝑖: 𝑎𝑑 < 𝑏𝑐 S𝑖: 𝑎𝑑 > 𝑏𝑐
18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝐄𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨:
Grafique 𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 4
𝑥 + 1
Resolución:
Su gráfica tiene 2 asíntotas.
• Asíntota vertical (AV):
𝑥 = −1
• Asíntota horizontal (AH):
𝑦 = 2
𝑋
𝑌
AV: 𝑥 = −1
−𝟏
AH: 𝑦 = 2
𝟐
Como: 𝑎𝑑 > 𝑏𝑐; su gráfica es: • Intersecciones con el eje 𝑌 : 𝒙 = 𝟎
=
2(𝟎) − 4
(𝟎) + 1
= 𝑦
𝑓 0
• Intersecciones con el eje 𝑋 : 𝒚 = 𝟎
2𝑥 − 4
𝑥 + 1
𝟎 =
→ 2𝑥 − 4 = 0
→ 𝑥 = 2
→ 𝑦 = −4
−4
2
(Denominador igual a cero)
(División de coeficientes de x)
19. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
