3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒍𝒂𝒔 𝒑𝒓𝒐𝒑𝒊𝒆𝒅𝒂𝒅𝒆𝒔
𝒅𝒆 𝒔𝒖𝒎𝒂𝒕𝒐𝒕𝒓𝒊𝒂𝒔.
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒔𝒖𝒎𝒂 𝒅𝒆
𝒍𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆 𝒈𝒆𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂.
𝑨𝒏𝒂𝒍𝒊𝒛𝒂𝒓 𝒍𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂
𝒚 𝒅𝒊𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒄𝒊𝒂 𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒔𝒆𝒓𝒊𝒆.
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
La paradoja de Aquiles y la tortuga
Aquiles, el atleta más veloz, capaz de correr los 100 m. en
10 segundos, no podrá alcanzar a una lenta tortuga, diez
veces menos rápida que él. Ambos disputan una carrera,
concediendo Aquiles una ventaja de 100 m a la tortuga.
Cuando Aquiles ha cubierto esos 100 m, la tortuga se ha
desplazado 10 m. Al cubrir Aquiles esos 10 m, la tortuga
se ha desplazado 1 m. Mientras cubre ese metro que le
separa de la tortuga, ésta ha recorrido 0'1 m. Y así
indefinidamente.
Zenón de Elea, discípulo de Parménides, es recordado
sobre todo por sus paradojas que tratan de demostrar que
el movimiento no existe, y especialmente por la paradoja
de Aquiles y la tortuga, que afirma que sería imposible
que Aquiles alcanzara a la tortuga en una carrera, siempre
que le haya dado cierta ventaja de partida.
¿creen que esto sería posible?
“Una tortuga le ganó la carrera al mejor atleta de
la Grecia antigua”
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
SUMATORIA
C U R S O D E Á L G E B R A
Se denota con el símbolo (sigma) y permite
representar la suma de números (sumandos).
Sea los números 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛 entonces:
𝑖=1
𝑛
𝑎𝑖 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛
Ejemplo
𝑖=1
5
𝑖
𝑘=3
7
𝑘2
𝑛=2
6
1
𝑛
PROPIEDADES
1.
𝑘=𝑛
𝑚
𝑐. 𝑎𝑘 = 𝑐
𝑘=𝑛
𝑚
𝑎𝑘
2.
𝑘=𝑛
𝑚
𝑎𝑘 ± 𝑏𝑘 =
𝑘=𝑛
𝑚
𝑎𝑘
Ejemplo
𝑘=1
10
5. 𝑘 = 5
𝑘=1
10
𝑘
𝑛=1
7
𝑛2 −
1
2𝑛
=
𝑛=1
7
𝑛2 −
𝑛=1
7
1
2𝑛
=
𝑛=1
7
𝑛2 −
1
2
𝑛=1
7
1
𝑛
= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
= 32 + 42 + 52 + 62 + 72 = 135
=
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
=
29
20
±
𝑘=𝑛
𝑚
𝑏𝑘
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Hay un grupo de sumatorias conocidas como
Sumas Notables
𝑘=1
𝑛
𝑐 = 𝑐. 𝑛
1.
𝑘=1
𝑛
𝑘 =
𝑛 𝑛 + 1
2
2.
𝑘=1
𝑛
2𝑘 = 𝑛(𝑛 + 1)
3.
= 𝑐 + 𝑐 + 𝑐 + ⋯ + 𝑐
= 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛
= 2 + 4 + 6 + ⋯ + 2𝑛
𝑘=1
𝑛
2𝑘 − 1 = 𝑛2
4. = 1 + 3 + 5 + ⋯ + (2𝑛 − 1)
𝑘=1
𝑛
𝑘2
=
𝑛(𝑛 + 1)(2𝑛 + 1)
6
5. = 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 𝑛2
Ejemplo
𝑘=1
20
𝑘2
= 12
+ 22
+ 32
+ ⋯ + 202
=
20(20 + 1)(2(20) + 1)
6
= 2870
𝑘=1
10
(5𝑘 + 3) = 5
𝑘=1
10
𝑘 +
𝑘=1
10
3
= 5 1 + 2 + 3 + ⋯ + 10 +3 + 3 + 3 + ⋯ + 3
= 5
10(10 + 1)
2
+ 3(10)
= 275 + 30 = 305
𝑛 sumandos
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Otras sumas importantes
1. Suma de los términos de una sucesión geométrica.
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2
+ ⋯ + 𝑎𝑟𝑛
= 𝑎
𝑟𝑛+1
− 1
𝑟 − 1
𝑛 + 1 términos
Ejemplo
1 + 3 + 32
+ ⋯ + 320
× 𝑟 × 𝑟
=
321 − 1
2
5 + 5
1
2
+ 5
1
2
2
+ ⋯ + 5
1
2
33
2. Propiedad telescópica.
𝑘=1
𝑛
𝑓 𝑘 + 1 − 𝑓(𝑘) = 𝑓 𝑛 + 1
2 + 2(3) + 2(3)2
+ ⋯ + 2(3)20
= 321
− 1
Ejemplo
𝑘=1
100
1
𝑘 + 1
−
1
𝑘
=
1
101
−
1
1
𝑘=1
20
𝑘2 − (𝑘 + 1)2
= 12 − (20 + 1)2
= 1 − 212
= −440
= −
100
101
=
320+1 − 1
3 − 1
= 5
1
2
34
− 1
1
2
− 1
= 2
320+1 − 1
3 − 1
−𝑓(1)
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Sumas parciales de una sucesión
Dada la sucesión de infinitos números reales
𝑎𝑛 = 𝑎1; 𝑎2; 𝑎3; … ; 𝑎𝑛; … . La sucesión de
sumas parciales se define como
𝑆1 = 𝑎1
𝑆2 = 𝑎1 + 𝑎2
𝑆3 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3
⋮
𝑆𝑛 = 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 =
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
⋮
A partir de ellos se forma la sucesión de sumas
parciales
𝑆𝑛 = 𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; … ; 𝑆𝑛; …
𝑆𝑛 = 𝑎1; 𝑎1 + 𝑎2; 𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3; … ; 𝑆𝑛; …
Enésima
suma parcial
Ejemplo
Sea la sucesión 𝑎𝑛 = 1;
1
2
;
1
3
;
1
4
; …
𝑆1 = 1
𝑆2 = 1 +
1
2
𝑆3 = 1 +
1
2
+
1
3
⋮
𝑆𝑛 = 1 +
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
=
𝑘=1
𝑛
1
𝑛
Luego se forma la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 = 1; 1 +
1
2
; 1 +
1
2
+
1
3
; … ; 𝑆𝑛; …
⋮
=
𝑘=1
𝑛
1
𝑛
𝑆1; 𝑆2; 𝑆3; …
Las sumas parciales de la sucesión son:
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Convergencia de una serie
converge si la sucesión de suma parciales
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
1. Analice la siguiente serie
Una serie se forma por la suma de los infinitos
términos de la sucesión 𝑎𝑛 y se denota por
𝑎1 + 𝑎2 + 𝑎3 + ⋯ + 𝑎𝑛 + ⋯ =
𝑛=1
∞
𝑎𝑛
= 13
+ 23
+ 33
+ 43
+ ⋯
𝑛=1
∞
𝑛3
=
1
2
1
+
1
2
2
+
1
2
2
+
1
2
4
+ ⋯
𝑛=1
∞
1
2
𝑛
= 1! + 2! + 3! + 4! + ⋯
𝑛=1
∞
𝑛!
Se dirá que la serie
𝑘=1
∞
𝑎𝑘
𝑆𝑛 converge, es decir:
= lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛
𝑆 =
𝑘=1
∞
𝑎𝑘 = lim
𝑛→+∞
𝑘=1
𝑛
𝑎𝑘
Ejemplos
𝑘=1
∞
1
𝑘(𝑘 + 1)
Para saber si la serie converge, calculamos el límite a la sucesión de
sumas parciales
𝑆𝑛 =
𝐾=1
𝑛
1
𝑘(𝑘 + 1)
= 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ ⋯ +
1
𝑛
−
1
𝑛 + 1
=
𝐾=1
𝑛
1
𝑘
−
1
𝑘 + 1
𝑆𝑛 = 1 −
1
𝑛 + 1
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛 = lim
𝑛→+∞
1 −
1
𝑛 + 1
= 1
∴ La serie converge a 1
Ejemplo
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
2. Analice la siguiente serie
𝑛=1
∞
1
2𝑛
Para saber si la serie converge, calculamos el límite
a la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 =
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+ ⋯ +
1
2𝑛
=
1
2
1
2
𝒏+1
− 1
1
2
− 1
𝑆𝑛
= lim
𝑛→+∞
1
2
1
2
𝑛+1
− 1
1
2
− 1
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛 =
1
2
𝟎 − 1
1
2
− 1
= 1
∴ La serie converge a 1
3. Analice la siguiente serie
𝑛=1
∞
log 𝑛 + 1 − log(𝑛)
Para saber si la serie converge, calculamos el límite
a la sucesión de sumas parciales
𝑆𝑛 = log 2 − log(1)
+ log 3 − log(2)
+ log 4 − log(3)
.
.
.
+ log 𝑛 + 1 − log(𝑛)
+
𝑆𝑛 = log 𝑛 + 1 − log(1)
lim
𝑛→+∞
𝑠𝑛 = lim
𝑛→+∞
log 𝑛 + 1 − log(1) = +∞
∴ La serie diverge
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Series especiales
Serie armónica:
La serie armónica es de la forma:
𝑛=1
∞
1
𝑛
= 1 +
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯
La serie armónica es divergente.
Serie geométrica:
La serie geométrica es de la forma:
𝑛=0
∞
𝑎𝑟𝑛
= 𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯
Propiedades:
I. Si 0 < 𝑟 < 1, entonces la serie geométrica converge a
𝑎
1 − 𝑟
Es decir:
𝑎 + 𝑎𝑟 + 𝑎𝑟2 + 𝑎𝑟3 + ⋯ =
𝑎
1 − 𝑟
II. Si 𝑟 ≥ 1,
Ejemplos
𝑛=1
∞
3
2𝑛 =
𝟑
𝟐
+
3
4
+
3
8
+
3
16
+ ⋯
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 =
𝟏
𝟐
=
𝟑
𝟐
1 −
𝟏
𝟐
= 3
𝑛=1
∞
5𝑛
= 𝟓 + 52 + 53 + 54 + ⋯
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = 𝟓
∴
𝑛=1
∞
5𝑛
la serie es divergente.
C U R S O D E Á L G E B R A
entonces la serie geométrica diverge
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Aplicaciones:
1. Calcule el valor aproximado de:
𝑆 =
1
2
−
1
2
3 +
1
2
5 −
1
2
7 + ⋯
Solución:
Del dato:
𝑆 =
𝟏
𝟐
−
1
2
3 +
1
2
5 −
1
2
7 + ⋯
𝑆𝑒𝑟𝑖𝑒 𝑔𝑒𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝒓 = −
𝟏
𝟐
𝟐 = −
𝟏
𝟐
𝑆 =
𝟏
𝟐
1 − −
𝟏
𝟐
𝑆 =
2
3
2. Calcule
𝑆 =
7
12
+
25
144
+
91
1728
+
337
20736
+ ⋯
UNI 2012-1
Solución:
𝑆 =
7
12
+
25
144
+
91
1728
+
337
20736
+ ⋯
𝑆 =
3 + 4
3.4
+
9 + 16
9.16
+
27 + 64
27.64
+
81 + 256
81.256
+ ⋯
𝑆 =
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟒
+
𝟏
𝟗
+
𝟏
𝟏𝟔
+
𝟏
𝟐𝟕
+
𝟏
𝟔𝟒
+
𝟏
𝟖𝟏
+
𝟏
𝟐𝟓𝟔
+ ⋯
𝑆 =
𝟏
𝟑
+
𝟏
𝟗
+
𝟏
𝟐𝟕
+
𝟏
𝟖𝟏
+ ⋯ +
1
4
+
1
16
+
1
64
+
1
256
+ ⋯
𝑆 =
1
3
1 −
1
3
+
1
4
1 −
1
4
𝑆 =
1
2
+
1
3
=
5
6
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Serie -p:
La serie-p tiene la forma:
𝑛=1
∞
1
𝑛𝑝
=
1
1𝑝
+
1
2𝑝
+
1
3𝑝
+
1
4𝑝
…
Si 𝑝 > 1,
Si 𝑝 ≤ 1,
Ejemplos
𝑛=1
∞
1
𝑛2 =
1
12
+
1
22
+
1
32
+
1
42
+ ⋯
𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 = 𝟐
∴
𝑛=1
∞
1
𝑛2 es convergente
𝑛=1
∞
1
𝑛
1
2
=
𝑛=1
∞
1
𝑛
=
1
1
+
1
2
+
1
3
+
1
4
+ ⋯
𝑺𝒆𝒓𝒊𝒆 − 𝒑 𝒑 =
𝟏
𝟐
∴
𝑛=1
∞
1
𝑛
1
2
es divergente
la serie-p es convergente.
la serie-p es divergente.
Series notables
𝑛=0
∞
1
𝑛!
=
1
0!
+
1
1!
+
1
2!
+
1
3!
+ ⋯ = 𝑒
𝑛=0
∞
𝑥𝑛
𝑛!
= 𝑒𝑥
𝑛=1
∞
1
𝑛2 =
𝜋2
6
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
PROPIEDADES
1.
𝑛=1
∞
𝑐. 𝑎𝑛 = 𝑐
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ; 𝑐 ∈ ℝ
2.
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ± 𝑏𝑛 =
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 ±
𝑛=1
∞
𝑏𝑛
Si:
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 y
𝑛=1
∞
𝑏𝑛 son series convergente
Ejemplos
𝑛=1
∞
3
2𝑛
= 3
𝑛=1
∞
1
2𝑛
𝑛=1
∞
5
2𝑛
+
1
3𝑛
=
𝑛=1
∞
5
2𝑛
+
𝑛=1
∞
1
3𝑛
TEOREMA
Si:
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es convergente, entonces lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = 0
1.
Si: lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 ≠ 0 entonces; la serie
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 es divergente.
Ejemplos
Analice la convergencia o divergencia de la serie
𝑛=1
∞
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
Es divergente puesto que: 𝑎𝑛 =
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
lim
𝑛→∞
𝑎𝑛 = lim
𝑛→∞
3𝑛 + 1
2𝑛 − 1
≠ 0
CRITERIO DE CONVERGENCIA
Sea
𝑛=1
∞
𝑎𝑛 una serie
15. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
