2. APLICACIONES DE LA INTEGRAL
DEFINIDA
El cálculo integral, es el proceso de integración o anti derivación, es
muy común en la ingeniería y en la matemática en general y se
utiliza principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.
El cálculo diferencial e integral ha sido el invento mas útil e
inherente para el avance de la ciencia y la tecnología de todos los
tiempos, como por ejemplo: en la Estadística, Física, Química,
Matemáticas, Computación, Economía, etc.
3. ÁREAS DE REGIONES PLANAS
Una de las aplicaciones más importantes de la
integral definida es el cálculo de áreas. En uno de
ellos se trata de determinar el área de un recinto
definido por dos rectas y una curva, mientras que
en el segundo caso se trata de calcular el área
inscrita en la intersección de dos curvas.
4. 𝟏𝒆𝒓 𝑪𝒂𝒔𝒐
Consideremos una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) continua en un intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏] y además 𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 . El área de la region
𝑅 limitada por la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥), el eje 𝑥 y las rectas verticales
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏, está dado por la expresión:
0
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑎 𝑏
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑥
R
5. OBSERVACIÓN
Si la región 𝑅 es limitada por
la curva 𝑥 = 𝑔(𝑦) y las
rectas 𝑦 = 𝑐 y 𝑦 = 𝑑 ,
entonces el área de la región
𝑅 es expresado por: 𝐴 𝑅 =
𝑐
𝑑
𝑔 𝑦 𝑑𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝑐
0
𝑑
𝑦
R
6. 𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
OBSERVACIÓN
En el cálculo del área de una
región 𝑅 limitada por la curva
𝑦 = 𝑓 𝑥 , el eje X y las rectas
𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 la función
𝑓(𝑥) ≥ 0, ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 pero en
el caso en que 𝑓 𝑥 ≤ 0 y la
región 𝑅 está debajo del eje X, el
área es calculado por:
𝑦
𝑥
𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥)
0
𝑎
R
7. 𝟐𝒅𝒐
𝑪𝒂𝒔𝒐
Consideremos dos funciones 𝑓 y 𝑔 continuas en un intervalo
cerrado [𝑎, 𝑏] tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑔(𝑥), ∀ 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 , el área de la region
𝑅 limitada por la curvas 𝑦 = 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑔(𝑥) y las rectas 𝑥 = 𝑎 y
𝑥 = 𝑏, está dado por la expresión:
𝐴 𝑅 =
𝑎
𝑏
(𝑓 𝑥 − 𝑔(𝑥))𝑑𝑥
𝑥
0
𝑎 𝑏
𝑦 = 𝑔(𝑥)
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
R
8. OBSERVACIÓN
Si la región 𝑅 es limitada por las
curvas 𝑥 = 𝑔(𝑦), 𝑥 = ℎ(𝑦) tal
que g(𝑦) ≥ ℎ(𝑦), ∀ 𝑦 ∈ 𝑐, 𝑑 y
las rectas 𝑦 = 𝑐 y 𝑦 = 𝑑,
entonces, el área de la región
𝑅 está dada por la expresión:
𝐴 𝑅 =
𝑐
𝑑
(𝑔 𝑦 − ℎ(𝑦))𝑑𝑦
𝑑
𝑥
𝑥 = 𝑔(𝑦)
𝑥 = ℎ(𝑦)
𝑐
0
𝑦
R
9. 𝑦 = 𝑥 + 4
𝑦 = 𝑥2
− 2
𝑦
𝑥
3
−2
−4
4
−2
Ejemplo 01:
Calcular el valor del área de la región
limitada por 𝑦 = 𝑥 + 4 ; 𝑦 = 𝑥2 − 2.
Paso 1: Graficamos en un mismo
plano 𝑦 = 𝑥 + 4 ; 𝑦 = 𝑥2 − 2
Paso 2: Identificamos la región
plana, sombreándola y hallando
las intercepciones de las curvas.
Paso 3: Definimos el elemento
diferencial.
𝑥 + 4 = 𝑥2 − 2
𝑥2 − 𝑥 + 6 = 0
(𝑥 − 3)(𝑥 + 2) = 0
𝑥 = 3 𝑣 𝑥 = −2
11. Ejemplo 02:
Calcular el área de la figura limitada por la
parábola y = 4x + x2, y el eje de abscisas.
Paso 1: Graficamos en un mismo
plano y = 4x + x2
Paso 2: Identificamos la región
plana, sombreándola y hallando
las intercepciones entre la curva y
eje de las abscisas.
Paso 3: Definimos el elemento
diferencial.
𝑦
𝑥
2
4
4
0
𝑦 = 4𝑥 − 𝑥2 ⇒ 𝑦 − 4 = − 𝑥 − 2 2,
es un parábola de vértice en el
punto V(2,4).
𝑦 = 0 ⇒ − 𝑥 − 2 2
+ 4 = 0
𝑥 = 0 𝑣 𝑥 = 4
12. Paso 4: La integral definida para el área sería:
Paso 5: Evaluando la integral definida, tenemos:
𝐴 =
0
4
(4𝑥 − 𝑥2)𝑑𝑥
𝐴 =
0
4
(4𝑥 − 𝑥2
)𝑑𝑥
= 4
x2
2
−
x3
3
4
0
= 4
42
2
−
43
3
− 0
=
64
2
−
64
3
⇒ 𝐀 =
𝟔𝟒
𝟔
𝒖𝟐
13. Ejemplo 03:
Calcular el área de la figura limitada por las parábolas 𝑦2
+ 8𝑥 = 16,
y 𝑦2 − 24𝑥 = 48.
Paso 1: Graficamos en un mismo
plano 𝑦2 + 8𝑥 = 16, y 𝑦2 − 24𝑥 = 48.
Paso 2: Identificamos la región
plana, sombreándola y hallando las
intercepciones entre las parábolas.
Paso 3: Definimos el elemento
diferencial.
16. VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
𝑎 𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥
A
Si se tiene una función 𝑓
definida y continua en el
intervalo 𝑎, 𝑏 .
Entonces podemos generar
un sólido de revolución al
rotar la región plana debajo
de la curva alrededor de
un eje de revolución.
17. 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
𝑥𝑖
𝐴 𝑥𝑖
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→∞
𝑖=1
𝑛
𝐴 𝑥𝑖 ∆𝑥𝑖
𝑽 =
𝒂
𝒃
𝑨 𝒙 𝒅𝒙
El volumen será igual a la
sumatoria de las “n” áreas
generados por cortes
transversales.
𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
18. Ejemplo 01:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la
región sombreada alrededor del eje x, sabiendo que 𝑓(𝑥) = 𝑟.
𝑦
𝑥
𝑦 = 𝑟
𝑟
ℎ
La región sombreada está acotada
por las rectas 𝑥 = 0 y 𝑥 = ℎ.
20. MÉTODO DEL DISCO
El método del disco consiste en sumar volúmenes
de pequeños cilindros, a través de un proceso
similar al empleado para aproximarnos al área
debajo de la gráfica de la función y así llegar al
volumen que presenta un sólido de revolución.
21. Para sólidos de revolución generados al rotar una región,
alrededor del eje x
𝑎 𝑏
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑦
𝑥
A
𝑥
𝑦
𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑎 𝑏
Siendo 𝑓 𝑥 continua ∀𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
22. Al girar el rectángulo de base 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 y altura 𝑓 𝑥𝑖 , generamos
un cilindro de radio 𝑓(𝑥𝑖) y altura 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑟 = 𝑓(𝑥𝑖)
𝑉𝐷 = 𝜋 × 𝑟2
× ℎ
𝑦
𝑥
ℎ = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 = ∆ 𝑥
𝑉𝐷 = 𝜋 × (𝑓(𝑥𝑖))2
× ∆ 𝑥
𝑥𝑖
𝑥𝑖−1
26. OBSERVACIÓN
Si la región debajo de la
curva se hace rotar sobre una
recta 𝑦 = 𝐶 (paralela al eje x)
entonces el nuevo radio de los
discos será 𝑟 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝐶
𝑎 𝑏
A
𝑦
𝑥
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
𝑽𝑺 = 𝝅
𝒂
𝒃
(𝒇 𝒙 − 𝑪)𝟐𝒅𝒙
𝑟 = 𝑓 𝑥𝑖 − 𝐶
𝐶
27. Ejemplo 03:
Hallar el volumen del sólido de revolución
generado al rotar la región sombreada alrededor
de la recta 𝑦 = 1, sabiendo que 𝑓(𝑥) = 5 − 𝑥2.
𝑥
𝑦
5
𝑦 = 5 − 𝑥2, 𝑦 = 1
1 = 5 − 𝑥2
4 = 𝑥2
𝑥 = ±2
2
−2
𝑥
𝑦
5
2
−2
𝑦 = 5 − 𝑥2
𝑦 = 5 − 𝑥2
𝑦 = 1
𝑦 = 1
29. Para sólidos de revolución generados al rotar una región,
alrededor del eje y
𝑥
𝑦
𝑏
𝑎
𝑥
𝑦
𝑏
𝑎
𝑥 = 𝑔(𝑦)
Siendo 𝑔 𝑦 continua ∀ 𝑦 ∈ 𝑎, 𝑏
𝑥 = 𝑔(𝑦)
A
𝑦𝑖−1
𝑦𝑖
30. 𝑉𝐷 = 𝜋 × 𝑟2
× ℎ
𝑦𝑖
𝑦𝑖−1
ℎ = 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 = ∆ 𝑦
𝑟 = 𝑔(𝑦𝑖)
𝑉𝐷 = 𝜋 × 𝑔(𝑦𝑖)2 × ∆ 𝑦
Al girar el rectángulo de base 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1 y altura g 𝑦𝑖 , generamos
un cilindro de radio g(𝑦𝑖) y altura 𝑦𝑖 − 𝑦𝑖−1
𝑦
𝑥
34. OBSERVACIÓN
Si la región debajo de la
curva se hace rotar sobre una
recta 𝑥 = 𝐶 (paralela al eje y)
entonces el nuevo radio de los
discos será 𝑟 = 𝑔 𝑦𝑖 − 𝐶
𝑽𝑺 = 𝝅
𝒂
𝒃
(𝒈 𝒙 − 𝑪)𝟐𝒅𝒙
𝑥
𝑦
𝑏
𝑎
𝑥 = 𝑔(𝑦)
A
𝑦𝑖−1
𝑦𝑖
𝑦
𝑟 = 𝑔 𝑥𝑖 − 𝐶
35. Ejemplo 05:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la
región sombreada alrededor de la recta 𝑥 = 3 , sabiendo que
𝑓(𝑥) = 5 𝑥 − 3.
𝑥
𝑦
y = 5 𝑥 − 3
𝑦
5
= 𝑥 − 3
𝑦2
25
= 𝑥 − 3
𝑦2
25
+ 3 = 𝑥
𝑥
𝑦
𝑦2
25
+ 3 = 𝑥
𝑦2
25
+ 3 = 𝑥
5
𝑥 = 3
5
𝑥 = 3
37. MÉTODO DEL ANILLO O ARANDELA
Para sólidos de revolución generados al rotar una
región, alrededor del eje x
Si el sólido de revolución es generado por la rotación, de
la región encerrada por dos curvas continuas 𝑦 = 𝑓 𝑥 y
𝑦 = 𝑔 𝑥 , alrededor del eje x, desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏,
para todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 :
𝒇 𝒙 ≥ 𝒈 𝒙 ≥ 𝟎 ó 𝒇 𝒙 ≤ 𝒈 𝒙 ≤ 𝟎
39. Entonces la región plana transversal es un
anillo circular, cuya área A(𝑥) es una
diferencia de áreas de discos concéntricos.
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑦
𝑟
𝑅
De donde 𝐴𝑐: área del anillo circular
𝐴𝑐 = 𝜋𝑅2 − 𝜋𝑟2 = π(𝑅2 − 𝑟2)
Del gráfico:
𝑔 𝑥 = 𝑟 ∧ 𝑓 𝑥 = 𝑅
Entonces:
𝐴 𝑥 = 𝜋{ 𝑓 𝑥 2 − [𝑔(𝑥)]2}
40. 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑦
De donde 𝑉
𝑐: volumen del anillo circular
𝑉
𝑐 = 𝐴𝐶. ℎ = 𝜋 𝑅2 − 𝑟2 ℎ
Del gráfico:
𝑑𝑥 = ℎ
Entonces:
𝑑𝑉 = 𝜋 𝑓 𝑥 2
− 𝑔 𝑥 2
𝑑𝑥
De este modo el volumen V del sólido generado está dado por la fórmula
𝑉 =
𝑎
𝑏
𝜋 𝑓 𝑥 2
− 𝑔 𝑥 2
𝑑𝑥
𝑉 = 𝜋
𝑎
𝑏
𝑓 𝑥 2
− 𝑔 𝑥 2
𝑑𝑥
ℎ
41. Ejemplo 01:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la
región comprendida entre las curvas: y = x2
, y = x + 2, alrededor
del eje x.
g(x) = x2, f x = x + 2
Puntos de intersección:
−1,1 y 2,4
De donde:
a = −1 ∧ b = 2
44. Para sólidos de revolución rotados alrededor de un eje paralelo al
eje x.
Dada una región plana R
encerrada entre dos curvas
continuas 𝑦 = 𝑓 𝑥 y 𝑦 = 𝑔 𝑥 ,
desde 𝑥 = 𝑎 hasta 𝑥 = 𝑏, para
todo 𝑥 ∈ 𝑎, 𝑏 :
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝐶
𝒇 𝒙 ≥ 𝒈 𝒙 ≥ 𝑪 ó 𝒇 𝒙 ≤ 𝒈 𝒙 ≤ 𝑪
45. Y que se hace rotar alrededor
de la recta 𝑦 = 𝐶, entonces.
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝒙
𝒚
𝑦 = 𝐶
46. Entonces la región plana transversal
es un anillo circular cuya área:
𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝐶
𝑟
𝑅
𝑥
𝑪
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
𝐴𝑐 = π(𝑅2 − 𝑟2)
Del gráfico:
𝑟 = 𝑔 𝑥 − 𝐶 ∧ 𝑅 = 𝑓 𝑥 − 𝐶
Entonces:
𝑨 𝒙 = 𝝅{ 𝒇 𝒙 − 𝑪 𝟐 − [𝒈 𝒙 − 𝑪]𝟐}
47. 𝑦 = 𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑔 𝑥
𝑎 𝑥 𝑏 𝑥
𝑦
𝑦 = 𝐶
𝑉
𝑐 = π 𝑅2 − 𝑟2 ℎ
Del gráfico:
ℎ = 𝑑𝑥
Entonces:
𝒅𝑽 = 𝝅 𝒇 𝒙 − 𝑪 𝟐 − 𝒈 𝒙 − 𝑪 𝟐 𝒅𝒙
De este modo el volumen V del sólido
generado está dado por la fórmula
𝑑𝑥
ℎ
𝑽 =
𝒂
𝒃
𝝅 𝒇 𝒙 − 𝑪 𝟐 − 𝒈 𝒙 − 𝑪 𝟐 𝒅𝒙
𝑽 = 𝝅
𝒂
𝒃
𝒇 𝒙 − 𝑪 𝟐 − 𝒈 𝒙 − 𝑪 𝟐 𝒅𝒙
48. Ejemplo 02:
Hallar el volumen del sólido de revolución generado al rotar la
región comprendida entre las curvas: 𝑦 = 𝑥2
, 𝑦 = 𝑥 + 2, alrededor
del eje 𝑦 = −2.
g(𝑥) = 𝑥2, f x = 𝑥 + 2 y 𝐶 = −2
Puntos de intersección:
−1,1 𝑦 2,4
De donde:
𝑎 = −1 ∧ 𝑏 = 2
57. MÉTODO DE LA CORTEZA CILÍNDRICA
En el caso del método de la corteza cilíndrica, el elemento de área
se dibuja “paralelo al eje de rotación y el elemento de que genera
es un solido contenido entre dos cilindros con el mismo centro y
eje de rotación, pero distinto radio, tal como se muestra en la
figura.
𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
58. 𝑦
𝑥
𝑥
𝑦
Si la corteza cilíndrica tiene un radio interior “r”, un radio
exterior “R” y altura “h” su volumen esta dado por:
𝑉 = 𝜋 ⋅ 𝑅2 ⋅ ℎ − 𝜋 ⋅ 𝑟2ℎ
59. Sea nuevamente R región del plano limitada por la
curva 𝑦 = 𝑓(𝑥) entre 𝑥 = 𝑎 y 𝑥 = 𝑏 . Suponiendo la función
𝑓 es continua y no negativa en [𝑎, 𝑏], además que 𝑎 > 0 .
Sabemos que al girar esta región
sobre el eje 𝑦 se forma un solido
de revolución. Para encontrar el
volumen de este solido cuando
los elementos de área se toman
paralelos al eje 𝑦, procedemos
como sigue:
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑓(𝑥)
R
60. Sea 𝑃 una partición de [𝑎, 𝑏] dada por:
𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏
Supongamos que 𝑚𝑖 , es el punto
medio del subintervalo [𝑥𝑖−1,𝑥𝑖] , es
decir, 𝑚𝑖 =
1
2
(𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖) , Consideremos
el rectángulo construido sobre la base
[𝑥𝑖−1,𝑥𝑖] , con altura 𝑓 𝑚𝑖 y ancho
𝛥𝑥𝑖 = 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥 = 𝑏
𝑥 = 𝑎
𝑓 𝑚𝑖
𝑥𝑖−1 𝑥𝑖
𝑚𝑖
𝑥
61. Al rotar este rectángulo sobre el eje Y
obtenemos una corteza cilíndrica con radio
mayor 𝑥𝑖 ,radio menor 𝑥𝑖−1 y altura h= 𝑓 𝑚𝑖
cuyo volumen estará dado entonces por:
𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 ⋅ 𝑥𝑖
2
⋅ 𝑓 𝑚𝑖 − 𝜋 ⋅ 𝑥𝑖−1
2
⋅ 𝑓 𝑚1
𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 𝑥𝑖
2
− 𝑥𝑖−1
2
⋅ 𝑓 𝑚𝑖
𝛥𝑉𝑖 = 𝜋 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖−1 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥
𝑥 = 𝑎 𝑥 = 𝑏
𝑓 𝑚𝑖
𝑓(𝑥)
𝑥𝑖−1 𝑚𝑖 𝑥𝑖
62. Como 𝛥𝑥𝑖
= 𝑥𝑖 − 𝑥𝑖−1 y 2𝑚𝑖 = 𝑥𝑖 + 𝑥𝑖+1
tenemos que: 𝛥𝑉𝑖 = 2𝜋 ⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖
Haciendo girar alrededor del eje 𝑦, los n
elementos de área rectangulares, se obtienen
n cortezas cilíndricas. La suma de sus
volúmenes esta dada por la suma de
Riemann:
𝑖=1
𝑛
𝛥𝑣𝑖 =
𝑖=1
𝑛
2𝜋 ⋅ 𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚𝑖 ⋅ 𝛥𝑥𝑖
𝑥
𝑦
63. Así , el volumen del solido de revolución viene dado por:
𝑉 = 𝑙𝑖𝑚
𝑛→𝛼
𝑖=1
𝑛
2𝜋𝑚𝑖 ⋅ 𝑓 𝑚 ⋅ 𝛥𝑥𝑖
𝑽 = 𝟐𝝅
𝒂
𝒃
𝒙 ⋅ 𝒇 𝒙 ⅆ𝒙
64. Ejemplo 01:
Calcular el volumen del solido de revolución obtenido al girar en
torno al eje 𝑦, la región limitada por la gráfica de 𝑦 = 𝑥2, el eje 𝑥 y la
recta 𝑥 = 2, usando el método de la corteza cilíndrica.
𝑎 𝑏
𝑦
𝑥
𝑥 = 2
𝑽 = 𝟐𝝅
𝒂
𝒃
𝒙 ⋅ 𝒇 𝒙 𝒅𝒙
𝑉 = 2𝜋
0
2
𝑥 ⋅ 𝑥2
𝑑𝑥
𝑉 = 2𝜋
1
4
𝑥4
0
2
= 𝟖𝝅 𝒖𝟑
