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OBJETIVOS
𝑃 𝑥
𝑓(𝑥)
𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎 → 𝑓 𝑥 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
✓ Utilizar los criterios de factorización.
Para resolver grandes problemas, es necesario
dividirlos en pequeñas partes y luego resolverlos
por separado.
✓Reconocer los factores de un polinomio.
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FACTORIZACIÓN
Factorizar un polinomio es transformarlo en una
multiplicación indicada de factores primos.
Se trabajará en ℤ, por tanto solo se trabajará con
polinomios de coeficientes enteros.
NOTA
𝑥2
− 9
Ejemplos
𝑥2
−
1
4
𝑥2
− 3
Factor algebraico
Un polinomio 𝑓 𝑥 de grado no nulo, es considerado
factor de otro polinomio 𝑃 𝑥 , si la división:
𝑃 𝑥
𝑓 𝑥
𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑎𝑐𝑡𝑎
Es decir
𝑃 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑞 𝑥
factores
Ejemplo
De 𝑃 𝑥 = 2 𝑥 + 2 2𝑥 − 3 5𝑥 + 7 , tenemos que
entre sus factores están 𝑥 + 2
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
= 𝑥 +
1
2
𝑥 −
1
2
= 𝑥 + 3 𝑥 − 3
; 2𝑥 − 3 ; 5𝑥 + 7
o una combinación entre estos factores.
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Ejemplo
Halle el valor de n, para que 𝑥 − 2 𝑠𝑒𝑎 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒
𝑃 𝑥 = 2𝑥3 − 3𝑥 + 𝑛
Resolución
Como 𝑥 − 2 es factor de 𝑃 𝑥 = 2𝑥3
− 3𝑥 + 𝑛.
Entonces
𝑃 𝑥
𝑥 − 2
es exacta 𝑅 𝑥 = 0
Utilizando el teorema del resto
𝑅 𝑥 = 𝑃 2
0 = 2 2 3
− 3 2 + 𝑛
𝑛 = - 10
Polinomio irreductible
Un polinomio es irreductible, si no puede ser expresado
como la multiplicación de dos o más factores.
Ejemplo
𝑎) 𝐷𝑎𝑑𝑜 𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25, ¿ es irreductible?
𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25
factores
𝑃 𝑥 = 𝑥2
− 25 no es irreductible
NOTA
Todo polinomio de primer grado es irreductible
= 𝑥2 − 52 = 𝑥 + 5 𝑥 − 5
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Factor primo
Decimos que 𝑓 𝑥 es un factor primo del polinomio 𝑃 𝑥 ,
si verifica:
𝐼) 𝑓 𝑥 es un factor algebraico del polinomio 𝑃 𝑥
𝐼𝐼) 𝑓 𝑥 es un polinomio irreductible
Ejemplo
Si 𝑃 𝑥 = 3𝑥 − 2 5
5𝑥 − 1 2
7𝑥 + 9 , tenemos que
sus factores primos son:
3𝑥 − 2
Ejemplo
𝑃 𝑥; 𝑦; 𝑧 = 7𝑥2𝑦𝑧3 𝑥𝑦 + 1 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
Dado el polinomio
¿Cuántos factores primos tiene y cuáles son?
Resolución
Sus factores primos son
𝑥; 𝑦; 𝑧; 𝑥𝑦 + 1 ; 𝑥 + 𝑦 + 𝑧
En total tiene 5 factores primos
NOTA
𝑥2
El factor no es primo, puesto que 𝑥2 = 𝑥. 𝑥
; 5𝑥 − 1 ; 7𝑥 + 9
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Factor común/ agrupación
I) Busca un término común.
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑦
Resolución
Ejemplo
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 𝑦 + 2 𝑦
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑦 𝑥 + 2
II) Término común con menor exponente.
Ejemplo
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4
𝑦5
+ 3𝑥3
𝑦6
Resolución
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥4
𝑦5
+ 3 𝑥3
𝑦6
Menor
exponente
Menor
exponente
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3𝑦5
III) Se agrupa para buscar factor común.
Ejemplo
𝑥4𝑦5
𝑥3𝑦5
= 𝑥
3𝑥3𝑦6
𝑥3𝑦5
= 3𝑦
Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥𝑦 + 2𝑥 + 3𝑦 + 6
Resolución
Agrupando tenemos
𝑃 𝑥; 𝑦
𝑃 𝑥; 𝑦
𝑥 + 3𝑦
+3 𝑦 + 2
= 𝑥 𝑦 + 2
= 𝑦 + 2 𝑥 + 3
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Por identidades
𝑎2 ± 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎 ± 𝑏 2
𝑎2
− 𝑏2
= 𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2
+ 4𝑥 + 4 − 𝑦2
Resolución
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥2 + 4𝑥 + 4 − 𝑦2
𝑥 + 2 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 2
−𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥 + 2 + 𝑦 𝑥 + 2 − 𝑦
𝑎3 + 𝑏3 = 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2
𝑎3
− 𝑏3
= 𝑎 − 𝑏 𝑎2
+ 𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥6
− 𝑦6
Resolución
Ejemplo Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 6𝑥2
+ 25
Resolución
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 25 + 6𝑥2
Se busca un TCP
+10𝑥2 −10𝑥2
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 5 2 −4𝑥2
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 2
− (2𝑥)2
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 + 2𝑥 𝑥2
+ 5 − 2𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 2𝑥 + 5 𝑥2
− 2𝑥 + 5
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3 2
− 𝑦3 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝑥3
+ 𝑦3
𝑥3
− 𝑦3
Suma de cubos Diferencia de cubos
𝑃 𝑥; 𝑦 =
𝑥 + 𝑦 𝑥2
− 𝑥𝑦 + 𝑦2
𝑥 − 𝑦 𝑥2
+ 𝑥𝑦 + 𝑦2
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Aspa simple
𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎:
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚 + 𝐵𝑥𝑚𝑦𝑛 + 𝐶𝑦2𝑛
Procedimiento
I) Descomponer los extremos convenientemente
𝑃 𝑥; 𝑦 = 𝐴𝑥2𝑚
+ 𝐵𝑥𝑚
𝑦𝑛
+ 𝐶𝑦2𝑛
𝑎1𝑥𝑚
𝑎2𝑥𝑚
𝑐1𝑦𝑛
𝑐2𝑦𝑛
II) Se comprueba que el término central es igual a
la suma de los productos parciales en forma de
aspa
III) Luego
𝑎2𝑐1𝑥𝑚𝑦𝑛
𝑎1𝑐2𝑥𝑚
𝑦𝑛
+
𝐵 = 𝑎2𝑐1 + 𝑎1𝑐2
𝑃 𝑥; 𝑦 =
Factor
Factor
𝑎1𝑥𝑚
+ 𝑐1𝑦𝑛
𝑎2𝑥𝑚
+ 𝑐2𝑦𝑛
Ejemplo 1
𝑃 𝑥 = 3𝑥2
+ 10𝑥 + 8
3𝑥
𝑥
+4
+2
+4𝑥
+6𝑥
+
Factor
Factor
+10𝑥
𝑃 𝑥 = 3𝑥 + 4 𝑥 + 2
Ejemplo 2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 15𝑥4
− 11𝑥2
𝑦2
+ 2𝑦4
5𝑥2
3𝑥2
−2𝑦2
−𝑦2
−6𝑥2
𝑦2
−5𝑥2
𝑦2
+
Factor
Factor
−11𝑥2𝑦2
𝑃 𝑥; 𝑦 = 5𝑥2 − 2𝑦2
3𝑥2
− 𝑦2
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Aspa doble especial
𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑎 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑢𝑎𝑟𝑡𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜, 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑡𝑜𝑠 𝑦 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒.
Procedimiento
I) Se descomponen los extremos.
𝑃 𝑥 = 𝐴𝑥4
+ 𝐵𝑥3
+ 𝐶𝑥2
+ 𝐷𝑥 + 𝐸
𝑎1𝑥2
𝑎2𝑥2
𝑒1
𝑒2
𝑎2𝑒1𝑥2
𝑎1𝑒2𝑥2
(+)
𝐹𝑥2
(−)
𝑘1𝑥
𝑘2𝑥
𝐾𝑥2
II) Se realiza el aspa simple con los extremos y se obtiene 𝐹𝑥2
.
IV) Se descompone 𝐾𝑥2, de tal manera que cumple las dos aspas simples en ambos lados.
V) Los factores se toma en forma horizontal.
𝑃 𝑥 =
Factor
Factor
III) Se realiza la diferencia 𝐶𝑥2
− 𝐹𝑥2
= 𝐾𝑥2
.
𝑎1𝑥2
+ 𝑘1𝑥 + 𝑒1 𝑎2𝑥2
+ 𝑘2𝑥 + 𝑒2
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejemplo 1
𝑃 𝑥 = 𝑥4
+ 7𝑥3
+ 14𝑥2
+ 7𝑥 + 1
𝑥2
𝑥2
+1
+1
+𝑥2
+𝑥2
(+)
+2𝑥2
(−)
+3𝑥
+4𝑥
+12𝑥2
Factor
Factor
Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥2 + 3𝑥 + 1 𝑥2
+ 4𝑥 + 1
Ejemplo 2
𝑃 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥3 + 2𝑥2 + 5𝑥 − 15
𝑥2
𝑥2
+5
-3
+5𝑥2
−3𝑥2
(+)
+2𝑥2
(−)
+0𝑥
+𝑥
+0𝑥2
Factor
Factor
Factorice
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 0𝑥 + 5 𝑥2
+ 𝑥 − 3
𝑃 𝑥 = 𝑥2
+ 5 𝑥2
+ 𝑥 − 3
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Criterio de divisores binómicos
Se utiliza para factorizar los polinomios en una variable y de grado superior a dos, siempre y cuando admita por lo
menos un factor lineal.
Raíz de un polinomio
Si P 𝑥 es un polinomio de grado mayor que cero,
decimos que 𝛼 es raíz del polinomio P 𝑥 , sí y solo
sí P 𝛼 = 0
𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥 − 2
Ejemplo
𝑃 0 = (0)3
−3 0 − 2 = −2 →
𝑃 1 = (1)3−3 1 − 2 = −4 →
𝑃 2 = (2)3
−3 2 − 2 = 0 →
Posibles raíces racionales (P.R.R)
Para conocer las posibles raíces racionales de un polinomio
P 𝑥 de coeficientes enteros.
P 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ 𝑎2𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
Se utilizará el siguiente criterio
P. R. R = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑛
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎0
(𝑎0. 𝑎𝑛 ≠ 0)
Ejemplo
𝑃 𝑥 = 3𝑥4
+ 2𝑥2
+ 4𝑥 − 9 → P. R. R = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 9
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 3
P. R. R = ±
1; 3; 9
1; 3
;
= ± 1; 3; 9;
1
3
0 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
1 𝑛𝑜 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
2 𝑠𝑖 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
NOTA
Las posibles raíces racionales (P.R.R), nos muestran los
valores racionales que posiblemente puedan ser raíces
del polinomio con coeficientes enteros.
𝑃 𝑥 = 2𝑥2 − 3𝑥 − 2 tenemos:
𝑃. 𝑅. 𝑅
Si
𝑃. 𝑅. 𝑅 = 1; −1; 2; −2;
1
2
; −
1
2
evaluando
𝑃 1 = −3 𝑃 −1 = 3 𝑃 2 = 0
𝑃 −2 = 12 𝑃
1
2
= −3 𝑃 −
1
2
= 0
No son raíces Son raíces
De los 6 posibles valores, solo 2 son raíces
Teorema del factor
𝛼 es una raíz del polinomio P 𝑥 si y solo si
𝑥 − 𝛼 𝑒𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
Ejemplo
𝑃 𝑥 = 𝑥3 + 5𝑥 + 6
Si tenemos:
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1
como 𝑃 −1 = −1 3
+ 5 −1 + 6 = 0
-1 es raíz de 𝑃 𝑥
𝑥 − −1 =
𝑃 𝑥 =
NOTA 𝑞(𝑥) se calcula por división (regla de Ruffini)
Criterio de divisores binómicos
= ±
1; 2; 3; 6
1
= ± 1; 2; 3; 6
𝑥 + 1 es un factor de 𝑃 𝑥
𝑥 + 1 𝑞(𝑥)
= ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 2
= ±
1; 2
1; 2
= ± 1; 2;
1
2
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Criterio de divisores binómicos
Procedimiento
Dado el polinomio
P 𝑥 = 𝑎0𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ 𝑎2𝑥𝑛−2
+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝑥 + 𝑎𝑛
con coeficientes enteros, donde 𝑎0. 𝑎𝑛 ≠ 0
I) Se halla sus P.R.R que nos permite encontrar una raíz
del polinomio; por teorema del factor, se podrá conocer
un factor.
II) Se hace una división por Ruffini entre el polinomio y el
factor encontrado, siendo el cociente el otro factor
buscado.
Ejemplo
Factorice 𝑃 𝑥 = 𝑥3 − 7𝑥 + 6
Resolución
I) Tenemos
𝑃. 𝑅. 𝑅 = ±
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 6
𝐷𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 1
Como
𝑃 1 = (1)3−7 1 + 6 = 0 1 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃(𝑥)
𝑥 − 1 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥
= ±
1; 2; 3; 6
1
= ± 1; 2; 3; 6
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
II) Encontramos el otro factor por la regla de Ruffini
𝑃 𝑥 ÷ 𝑥 − 1
Criterio de divisores binómicos
Tenemos:
𝑃 𝑥
𝑥 − 1
=
𝑥3
− 7𝑥 + 6
𝑥 − 1
=
𝑥3
+ 0𝑥2
− 7𝑥 + 6
𝑥 − 1
Por la regla de Ruffini, tenemos:
𝑥 − 1 = 0
𝑥 = 1
1 0 −7 6
1
1
1
1
−6
−6
0
𝑞 𝑥
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑞 𝑥
Recordemos que
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 6
Se puede factorizar
por aspa simple
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥2
+ 𝑥 − 6
𝑥
𝑥
+3
−2
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 1 𝑥 + 3 𝑥 − 2
17. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
