3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑅𝑒𝑐𝑜𝑛𝑜𝑐𝑒𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑝𝑎𝑟, 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟,
𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑦 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛
𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
𝐴𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 𝑙𝑎𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Función inversa
En este tema se definen funciones especiales
y la función inversa. Sus aplicaciones se
encuentra en matemática superior e
ingeniería.
Al enviar un mensaje de voz, una persona
emite una señal analógica el cual capta el
celular A, aplica un codificador (𝑓) y lo
transforma en una señal digital, esta señal
viaja hasta su destino llegando como señal
digital al celular B, éste le aplica un
decodificador (𝑓∗
) y lo transforma en una
señal analógica, para que el receptor pueda
escuchar el mensaje.
𝐸𝑚𝑖𝑠𝑜𝑟
𝑆𝑒ñ𝑎𝑙
𝑎𝑛𝑎𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑆𝑒ñ𝑎𝑙
𝑎𝑛𝑎𝑙ó𝑔𝑖𝑐𝑎
𝑆𝑒ñ𝑎𝑙
𝑑𝑖𝑔𝑖𝑡𝑎𝑙
𝐴 𝐵
𝑐𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
(𝑓)
𝑑𝑒𝑐𝑜𝑑𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜𝑟
(𝑓∗
)
𝑅𝑒𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜𝑟
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Funciones especiales
C U R S O D E Á L G E B R A
Función par
Diremos que f es par, solo si:
𝑓(−𝑥) = 𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Ejemplos
Son funciones pares, en todo su dominio, las
siguientes funciones
𝑎) 𝑓 𝑥 = 7 ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑏) 𝑔 𝑥 = 𝑥2 ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑐) ℎ 𝑥 = 𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
Observación
Las gráficas de las funciones pares, son
simétricas respecto al eje Y
𝑋
𝑌
𝑥
−𝑥
(𝑥; 𝑓 𝑥 )
(−𝑥; 𝑓 −𝑥 )
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Función impar
Diremos que f es impar, solo si:
𝑓 −𝑥 = −𝑓(𝑥) ; ∀𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓 ∧ −𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Ejemplos
Son funciones impares, en todo su dominio, las
siguientes funciones
𝑎) 𝑓 𝑥 = 5𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑏) 𝑔 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑐) ℎ 𝑥 = 𝑠𝑔𝑛(𝑥) ; 𝑥 ∈ ℝ
𝑑) 𝑓 𝑥 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 ; 𝑥 ∈ ℝ
Observación
Las gráficas de las funciones impares, son
simétricas respecto al origen de coordenadas
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑋
𝑌
𝑥
−𝑥
𝑓(𝑥)
𝑓(−𝑥)
(𝑥; 𝑓 𝑥 )
(−𝑥; 𝑓 −𝑥 )
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas
1) La suma de dos funciones pares es par.
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
; 𝑔 𝑥 = 𝑥4
son funciones pares
→ (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥2
+ 𝑥4
Es una función par
2) La suma de dos funciones impares es impar.
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones impares
→ (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥3
+ 𝑥
Es una función impar
3) El producto de dos funciones pares es par.
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
; 𝑔 𝑥 = 𝑥4
son funciones pares
→ (𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥2
. 𝑥4
Es una función par
= 𝑥6
4) El producto de dos funciones impares es par.
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones impares
→ (𝑓. 𝑔) 𝑥 = 𝑓 𝑥 . 𝑔 𝑥 = 𝑥3
. 𝑥
Es una función par
= 𝑥4
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Funciones monótonas
Función creciente
Una función f es creciente en 𝑎; 𝑏
si para todo 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏
𝑥1 < 𝑥2 se cumple 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
Ejemplo
La función 𝑓 𝑥 = 𝑥 es creciente; ∀𝑥 ≥ 0
𝑋
𝑌
𝑥1 𝑥2
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2)
Observación
En una función f creciente y continua,
se cumple:
𝑋
𝑌
𝑎
𝑓(𝑎)
𝑏
𝑓(𝑏)
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎; 𝑏 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓(𝑎); 𝑓(𝑏)
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Función decreciente
Una función f es decreciente en 𝑎; 𝑏
si para todo 𝑥1; 𝑥2 ∈ 𝑎; 𝑏
𝑥1 < 𝑥2 se cumple 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
Ejemplo
La función 𝑓 𝑥 = −𝑥 es decreciente; ∀𝑥 ≤ 0
𝑋
𝑌
𝑥1 𝑥2
𝑓(𝑥1)
𝑓(𝑥2)
𝑥1 < 𝑥2 → 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2)
Observación
En una función f decreciente y continua,
se cumple:
𝑋
𝑌
𝑎
𝑓(𝑏)
𝑏
𝑓(𝑎)
𝐷𝑜𝑚𝑓 = 𝑎; 𝑏 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝑓(𝑏); 𝑓(𝑎)
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas
1) La suma de dos funciones crecientes es creciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 son funciones crecientes
→ (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 = 𝑥 + 𝑥
Es una función creciente en 𝑥 ≥ 0
2) La suma de dos funciones decrecientes es
decreciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
; 𝑥 > 0 ; 𝑔 𝑥 = −𝑥 son funciones decrecientes
→ (𝑓 + 𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝑔 𝑥 =
1
𝑥
− 𝑥
Es una función decreciente en 𝑥 > 0
3) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones crecientes entonces 𝑓𝑜𝑔
es creciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑔 𝑥 = 𝑥 − 1 son funciones crecientes
→ (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 2 = 𝑥 − 1 + 2
donde 𝑥 ≥ 1 es una función creciente
4) Si 𝑓 y 𝑔 son funciones decrecientes entonces 𝑓𝑜𝑔
es creciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
; 𝑥 > 0 ; 𝑔 𝑥 = −𝑥 son funciones decrecientes
→ (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) =
1
𝑔 𝑥
=
1
−𝑥
= −
1
𝑥
donde 𝑥 < 0 es una función creciente
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
5) Si 𝑓 es creciente y 𝑔 es decreciente entonces 𝑓𝑜𝑔
es decreciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 2 crece ; 𝑔 𝑥 =
1
𝑥
decrece
→ (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑔(𝑥) + 2 =
1
𝑥
+ 2
donde 𝑥 > 0 , es una función decreciente
6) Si 𝑓 es decreciente y 𝑔 es creciente entonces 𝑓𝑜𝑔
es decreciente
Tenemos:
𝑓 𝑥 = −𝑥 + 2 decrece ; 𝑔 𝑥 = 𝑥3
crece
→ (𝑓𝑜𝑔) 𝑥 = 𝑓(𝑔(𝑥)) = −𝑔(𝑥) + 2 = −𝑥3
+ 2
es una función decreciente
Puedes recordar los
resultados de la composición
de funciones crecientes y
decrecientes, trabajando con
la ley de signos de la
multiplicación.
𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 → + 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 → −
𝑓 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
+
𝑓 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
−
𝑔 𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
+
𝑔 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
−
+
𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
−
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
−
𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
+
𝑐𝑟𝑒𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
; 𝑥 > 0
𝑓𝑜𝑔
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Función inyectiva
Llamado también función univalente o uno a uno.
Una función f es inyectiva si a dos elementos
diferentes en el dominio, le corresponden dos
elementos diferentes en el rango, es decir:
𝑆𝑖 𝑎 ≠ 𝑏 → 𝑓 𝑎 ≠ 𝑓(𝑏) ; ∀ 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Ejemplo
𝐴 𝐵
𝑓
1 3
2 5
3 7
4 9
𝑓 es inyectiva
𝐶 𝐷
𝑔
1 3
2 5
3 7
4 9
𝑔 no es inyectiva
En forma equivalente:
Una función es inyectiva, si todo elemento de su rango le
corresponde un solo elemento del dominio.
𝑆𝑖 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏) → 𝑎 = 𝑏 ; 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Ejemplo
Pruebe que 𝑓 𝑥 =
2
𝑥 − 1
; 𝑥 ≠ 1 es inyectiva
Resolución
Sean 𝑎; 𝑏 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Si 𝑓 𝑎 = 𝑓(𝑏) →
2
𝑎 − 1
=
2
𝑏 − 1
→ 𝑎 − 1 = 𝑏 − 1 → 𝑎 = 𝑏
∴ 𝑓 es inyectiva
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
¡ 𝐈𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞!
En forma gráfica, se dice que una función
f es inyectiva si toda recta horizontal
(paralela al eje X), corta a la gráfica de la
función a lo más en un punto.
Ejemplo
𝑋
𝑌 𝑓
f es inyectiva
𝑋
𝑌 𝑔
g no es inyectiva
Función sobreyectiva
Llamada también función sobre o suryectiva.
La función 𝑓: 𝐴 → 𝐵 es sobreyectiva cuando
el conjunto de llegada 𝐵 es el rango, es decir
𝑓 es sobreyectiva ↔ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝐵
Ejemplo
Sea la función 𝑓: 1; 4 → 5; 11
𝑥 → 2𝑥 + 3
¿es sobreyectiva?
Resolución
Tenemos 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 3 ; 𝑥 ∈ 1; 4 hallemos su rango
→ 1 ≤ 𝑥 ≤ 4 → 2 ≤ 2𝑥 ≤ 8 → 5 ≤ 2𝑥 + 3 ≤ 11
→ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 5; 11
Como el rango es igual al conjunto de llegada
f si es sobreyectiva
∴
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
¡ 𝐈𝐦𝐩𝐨𝐫𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞!
Si en una función no se
indica el conjunto de
llegada, entonces se
asume que el rango es el
conjunto de llegada por
lo tanto la función es
sobreyectiva.
Ejemplo
Dada la función 𝑓 𝑥 = 4𝑥2
− 3𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ ℝ
Como no se indica el conjunto de llegada
→ 𝑓 es sobreyectiva
Función biyectiva
Una función f es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez
Ejemplo
𝑥
Si 𝑓: 2; 4 → 7; 𝑚
→ 2𝑥 + 𝑛 es una función biyectiva.
Calcule 𝑚. 𝑛
Resolución
Tenemos: 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 𝑛 ; 𝑥 ∈ 2; 4 ; es biyectiva, su gráfica es
𝑋
𝑌
2
7
4
𝑚
𝑓 2 = 2(2) + 𝑛 = 7 → 𝑛 = 3
𝑓 4 = 2(4) + 𝑛 = 𝑚
ቄ
3
→ 𝑚 = 11
∴ 𝑚. 𝑛 = 33
15. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Función inversa
Sea 𝑓 = 𝑥; 𝑦 / 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑦 = 𝑓 𝑥 una función
Se define la función inversa 𝑓∗
(o también 𝑓−1
) como:
𝑓∗
= (𝑦; 𝑥) /𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓, 𝑦 = 𝑓 𝑥
Propiedades:
1) 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
= 𝑅𝑎𝑛𝑓 ∧ 𝑅𝑎𝑛𝑓∗
= 𝐷𝑜𝑚𝑓
2) 𝑓 𝑥 = 𝑦 → 𝑥 = 𝑓∗
𝑦
3) (𝑓∗
𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
4) (𝑓𝑜𝑓∗
)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
5) (𝑓∗
)∗
= 𝑓
6) La gráfica de 𝑓∗
es simétrica a la gráfica de 𝑓 respecto
a la recta 𝑦 = 𝑥
𝑋
𝑌
𝑓
𝑓∗
(𝑥; 𝑦)
(𝑦; 𝑥)
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠
inyectiva.
16. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Ejemplo
Si 𝑓 = (1; 4); (2; −3) ; (−1; 0) ; (−2; 5) ; (4; 1)
𝑓∗
= (4; 1); (−3; 2) ; (0; −1) ; (5; −2); (1; 4)
Entonces
a) 𝐷𝑜𝑚𝑓 = 1 ; 2; −1 ; −2 ; 4 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓= 4 ; −3 ; 0 ; 5 ; 1
b) 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
= 4 ; −3 ; 0 ; 5 ; 1 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓∗
= 1 ; 2; −1 ; −2 ; 4
𝐷𝑜𝑚𝑓∗
= 𝑅𝑎𝑛𝑓 ; 𝑅𝑎𝑛𝑓∗
= 𝐷𝑜𝑚𝑓
Luego: 𝑓(1) = 4 → 1 = 𝑓∗
(4)
𝑓(−3) = 2 → −3 = 𝑓∗
(2)
𝑓(0) = −1 → 0 = 𝑓∗
(−1)
𝑓(5) = −2 → 5 = 𝑓∗
(−2)
𝑓(1) = 4 → 1 = 𝑓∗
(4)
𝑓(𝑎) = 𝑏 → 𝑎 = 𝑓∗
(𝑏)
Además
𝑓∗
𝑜𝑓 = (1; 1); (2; 2); (−1; −1); (−2; −2) ; (4; 4)
𝑓𝑜𝑓∗
= (4; 4); (−3; −3); (0; 0) ; (5; 5) ; (1; 1)
(𝑓∗
𝑜𝑓)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
(𝑓𝑜𝑓∗
)(𝑥) = 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
Tenemos:
𝑓∗
= (4; 1); (−3; 2) ; (0; −1) ; (5; −2); (1; 4)
𝑓∗ ∗
= (1; 4); (2; −3) ; (−1; 0) ; (−2; 5) ; (4; 1)
𝑓∗ ∗
= 𝑓
Observación: 𝑓 = 1; 2 ; 3; 4 ; 5; 4 ; 6; 7
es una función no inyectiva, su inversa
𝑓∗
= 2; 1 4; 3 4; 5 7; 6 no es función
Por ello es importante garantizar que la función es
inyectiva para realizar el cálculo de la inversa.
17. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Cálculo de la función inversa (𝒇∗
)
Dado la función 𝑦 = 𝑓 𝑥 ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓
Para calcular la función inversa, se tiene:
2) Cálculo del 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
Para ello, se calcula el rango de f, porque
𝑅𝑎𝑛𝑓 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗
(𝑥)
Para ello:
• Se despeja 𝑥 en función de 𝑦
• Se intercambia 𝑥 con 𝑦
Luego, la función inversa queda definida:
𝑦 = 𝑓∗
(𝑥) ; 𝑥 ∈ 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟏:
Encuentre la función inversa de: 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1 ; 𝑥 ∈ 1; 5
1) Demostrar que 𝑓 es inyectiva
Resolución
Graficamos la función, tenemos:
𝑋
𝑌
1
𝑓(1)
5
𝑓(5)
𝑓
1) Como la gráfica es una recta, la
función es inyectiva.
2) Tenemos:
𝑓 1 = 3(1) + 1 = 4
𝑓 5 = 3(5) + 1 = 16
→ 𝑅𝑎𝑛𝑓 = 4; 16 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
4 =
16 =
3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗
(𝑥)
𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1
𝑦 = → 𝑥 =
𝑦 − 1
3
• Se despeja 𝑥:
• Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝑦 =
𝑥 − 1
3
= 𝑓∗
(𝑥)
→ 𝑓∗
(𝑥) =
𝑥 − 1
3
; 𝑥 ∈ 4; 16
18. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟐:
Encuentre la función inversa de:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 ; 𝑥 ∈ −6; 0
Resolución
Graficando la función, tenemos:
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥 = (𝑥 − 1)2
− 1 = 𝑥(𝑥 − 2)
𝑋
𝑌
0 2
−6
𝑓 −6
𝑓
1) Por su gráfica, es una
función inyectiva
2) Tenemos:
𝑓 −6 = (−6)2
−2(−6) = 50
𝑓 0 = (0)2
−2(0) = 0
→ 𝑅𝑎𝑛 𝑓 = 0; 50 = 𝐷𝑜𝑚𝑓∗
3) Cálculo del 𝑦 = 𝑓∗
(𝑥)
• Se despeja 𝑥: 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 2𝑥
𝑦 = = (𝑥 − 1)2
+ 1
→ (𝑥 − 1)2
+ 1 = 𝑦 ; 𝑥 ∈ −6; 0
→ (𝑥 − 1)2
= 𝑦 − 1 ; −6 ≤ 𝑥 ≤ 0
→ 𝑥 − 1 = 𝑦 − 1 ∨ 𝑥 − 1 = − 𝑦 − 1
→ 𝑥 = 1 + 𝑦 − 1 ∨ 𝑥 = 1 − 𝑦 − 1
No cumple −6 ≤ 𝑥 ≤ 0
• Se intercambia 𝑥 con 𝑦: 𝑦 = 1 − 𝑥 − 1 = 𝑓∗
(𝑥)
∴ 𝑓∗
(𝑥) = 1 − 𝑥 − 1 ; 𝑥 ∈ 0; 50
19. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 𝟑:
Encuentre la gráfica de la función inversa de:
𝑓 𝑥 = 𝑥3
+ 1
Resolución
En forma gráfica tenemos:
𝑋
𝑌
𝑓(𝑥) = 𝑥3
+ 1
1
𝑦 = 𝑥
1
𝒚 = 𝒇∗
(𝒙)
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas
Sean 𝑓, 𝑔 funciones biyectivas, se cumple:
1) 𝑘𝑓(𝑥) ∗
=
1
𝑘
. 𝑓∗
(𝑥) ; 𝑘 ∈ ℝ − 0
E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3
→ 𝑓∗
𝑥 = 3
𝑥
Luego: = 5𝑓(𝑥) ∗
=
1
5
. 𝑓∗
(𝑥) =
1
5
. 3
𝑥
5𝑥3 ∗
2) (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗ = (𝑔∗
𝑜𝑓∗
)(𝑥)
E𝐣𝐞𝐦𝐩𝐥𝐨 Si 𝑓 𝑥 = 𝑥3
→ 𝑓∗
𝑥 = 3
𝑥
además 𝑔 𝑥 = 2𝑥 − 1 → 𝑔∗
𝑥 =
𝑥 + 1
2
Luego:
Halle (𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗
= (𝑔∗
𝑜𝑓∗
)(𝑥) = 𝑔∗
(𝑓∗
(𝑥))
=
𝑓∗
(𝑥) + 1
2
=
3
𝑥 + 1
2
(𝑓𝑜𝑔)(𝑥) ∗
20. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
