3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
OBJETIVOS
• Reconocer los polinomios especiales
• Utilizar el cambio de variable.
• Reconocer la raíz de un polinomio y
sus propiedades.
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C U R S O D E Á L G E B R A
POLINOMIOS
¿Qué pasa al darles valores a un polinomio? Analizamos los siguientes polinomios, encontramos:
𝑥 F 𝑥 = 𝑥3 𝐺 𝑥 = 𝑥2
−2
−1
0
1
2
−8
−1
0
1
8
4
1
0
1
4
Cambia x, NO
cambia P(x)
H 𝑥 = 𝑥 M 𝑥 = −5 𝑁 𝑥 = 2
−2
−1
0
1
2
−5
−5
−5
−5
−5
2
2
2
2
2
Cambia x,
cambia P(x)
Estos polinomios
son especiales
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Polinomio constante
❖ Es aquel polinomio cuyo valor numérico no cambia.
Se considera que tiene grado cero.
Forma: 𝑃 𝑥 = 𝑘; 𝑘 ≠ 0
Ejemplos:
a) R 𝑥 = 5; ∀𝑥 b) S 𝑥 = 0𝑥 +
3
5
; ∀𝑥
Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 2 𝑥 + 2𝑎 − 1
= 0
𝑎 − 2 = 0 𝑎 = 2
𝐴𝑠í 𝑃 𝑥 = 0 𝑥 + 3 𝑃 𝑥 = 3
NOTA:
Ejercicio:
Ejercicio:
Si T 𝑥 es un polinomio constante, halle 𝑇 2020 , si:
𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + 𝑇 4 + 𝑇 5 =40
Resolución:
Como T 𝑥 es un polinomio constante 𝑇 𝑥 = 𝑘
𝑇 1 + 𝑇 2 + 𝑇 3 + 𝑇 4 + 𝑇 5 =40
𝑘 𝑘 𝑘 𝑘 𝑘
+ + + + = 40
5𝑘 = 40 𝑘 =8
𝑇 2020 = 𝑘 =8
es un polinomio constante
∴
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Polinomio nulo
❖ Su valor numérico siempre es cero.
Se considera que no tiene grado cero.
Forma: 𝑃 𝑥 = 0; ∀𝑥
Ejemplos:
a) Q 𝑥 = 0𝑥 + 0; ∀𝑥 b) 𝑅 𝑥 = 0𝑥2 + 0𝑥 + 0; ∀𝑥
NOTA:
Si 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 4 𝑥 + 2𝑏 + 3
= 0
𝑎 − 4 = 0
𝑎 = 4
= 0
2𝑏 + 3 = 0
∧
𝑏 = −
3
2
∧
Ejercicio:
Teorema:
𝑆𝑖 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑛 𝑠𝑒 𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎
𝑚á𝑠 𝑑𝑒 𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑛𝑢𝑙𝑜
Ejercicio:
Si el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎 − 5 𝑥2
+ 𝑏 + 1 𝑥 + 𝑐 − 2
se anula para más de 2 valores. Calcule a+b+c
Resolución:
𝑇𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 2 𝑦 𝑠𝑒
𝑎𝑛𝑢𝑙𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑚á𝑠 𝑑𝑒 2 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑜𝑟 𝑡𝑒𝑜𝑟𝑒𝑚𝑎
𝑃 𝑥 = 𝑎 − 5 𝑥2
+ 𝑏 + 1 𝑥 + 𝑐 − 2
= 0 = 0 = 0
𝑎 = 5 b = -1 c = 2
∴ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 6
∧ ∧
es un polinomio nulo
es nulo
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Polinomios idénticos
Dos polinomios 𝑃 𝑥 ; 𝑄 𝑥 son idénticos si tienen el
mismo valor numérico para cualquier valor de su variable.
Dos polinomios 𝑃 𝑥 ; 𝑄 𝑥 son idénticos si tienen el
mismo grado y los mismos términos.
NOTA:
Si P 𝑥 = 𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐; 𝑎𝑑𝑒𝑚á𝑠 𝑄 𝑥 = 𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝
Si P 𝑥 = 𝑄 𝑥 ; ∀𝑥 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜𝑠 𝑖𝑑é𝑛𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 ,
𝑎𝑥2
+ 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑚𝑥2
+ 𝑛𝑥 + 𝑝;
=
=
=
L𝑢𝑒𝑔𝑜
𝑎 = 𝑚 𝑏 = 𝑛 𝑐 = 𝑝
∧ ∧
Ejercicio:
Sean P 𝑥 = 𝑎𝑥4
+ 𝑏𝑥3
+ 𝑐𝑥2
+ 𝑑𝑥 +e, además
𝑄 𝑥 = 2𝑥 − 1 4
+ 𝑥 + 1 3
+ 3. Si P 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥
son polinomios idénticos. Calcule 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒
Resolución:
Como P 𝑥 = 𝑄 𝑥 ; ∀𝑥 P 1 = 𝑄 1
P 1 = 𝑎 1 4
+ 𝑏 1 3
+ 𝑐 1 2
+ 𝑑 1 +e
𝑄 1 = 2 1 − 1 4 + 1 + 1 3 + 3
P 1 = 𝑄 1 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 12
P 1 = 𝑎 1 4
+ 𝑏 1 3
+ 𝑐 1 2
+ 𝑑 1 +e
= 1 + 8 + 3 = 12
𝑄 1 = 2 1 − 1 4
+ 1 + 1 3
+ 3
∀𝑥
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
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Cambio de variable
Debido a que la variable en una notación matemática es
“muda”, se puede cambiar una variable por cualquier otra
Ejemplos:
a) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 𝑡
P 𝑥 = 3𝑥 + 2
P 𝑡 = 3𝑡 + 2
𝑥 <> 𝑡
b) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> 5𝑥 + 7
P 𝑥 = 3𝑥 + 2
P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2
𝑥 <> 5𝑥 +7
c) Sea P 𝑥 = 3𝑥 + 2 𝑐𝑎𝑚𝑏𝑖𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 <> P 𝑥
P 𝑥 = 3𝑥 + 2
P P 𝑥 = 3 𝑃 𝑥 + 2
𝑥 <> 𝑃 𝑥
P P 𝑥 = 3 3𝑥 + 2 + 2
P P 𝑥 = 9𝑥 + 6 + 2
P P 𝑥 = 9𝑥 + 8
P 𝑡 = 3𝑡 + 2
P 5x + 7 = 3 5𝑥 + 7 + 2
P P 𝑥 = 3 𝑃 𝑥 + 2
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Raíz de un polinomio
Definición
𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 1.
𝐷𝑒𝑐𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 ↔ 𝑃 𝛼 = 0.
Ejemplos:
Si P 𝑥 = 𝑥3 − 8𝑥 − 3;
𝑆𝑖 𝑥 = 1
𝑆𝑖 𝑥 = 2
𝑆𝑖 𝑥 = 3
P 1 = 1 3 − 8(1) − 3
P 𝑥 = 2 3
− 8 2 − 3
P 𝑥 = 3 3 − 8 3 − 3
= −10
= −11
= 0
∴ 3 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑃 𝑥
Raíz múltiple
𝑆𝑒𝑎 𝑒𝑙 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑃 𝑥 , 𝑐𝑢𝑦𝑜 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠 𝑎𝑙 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 2.
𝑆𝑒 𝑑𝑖𝑐𝑒 𝛼 𝑒𝑠 𝑟𝑎í𝑧 𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑘 𝑑𝑒 𝑃 𝑥 , 𝑠𝑖:
𝑃 𝑥 = 𝑥 − 𝛼 𝑘
. 𝑄 𝑥 ; donde 𝑄 𝛼 ≠ 0
Ejemplos: En:
P 𝑥 = 𝑥 + 4 3
. 𝑥 − 8 2
. 2𝑥 − 1
P 𝑥 = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 𝑥 + 4 . 𝑥 − 8 𝑥 − 8 . 2𝑥 − 1
= 0 = 0 = 0 = 0 = 0 = 0
Raíces: −4 −4 −4 8 8 1/2
Raíz triple Raíz doble Raíz simple
(Multiplicidad 3) (Multiplicidad 2)
P 𝑥 = 𝑥 + 4 3
. 𝑥 − 8 2
. 2𝑥 − 1
𝑛𝑜𝑡𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒:
10. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
