3. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑹𝒆𝒄𝒐𝒏𝒐𝒄𝒆𝒓 𝒍𝒂 𝒊𝒅𝒆𝒂
𝒅𝒆 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆
𝑪𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒍í𝒎𝒊𝒕𝒆
𝒅𝒆 𝒖𝒏𝒂 𝒇𝒖𝒏𝒄𝒊ó𝒏
𝑨𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒓 𝒆𝒍 𝒎𝒂𝒓𝒄𝒐
𝒕𝒆𝒐𝒓𝒊𝒄𝒐 𝒆𝒏 𝒍𝒂 𝒓𝒆𝒔𝒐𝒍𝒖𝒄𝒊ó𝒏
𝒅𝒆 𝒑𝒓𝒐𝒃𝒍𝒆𝒎𝒂𝒔.
4. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
SARS-CoV-2 y las matemáticas
Modelo SIR :Es un modelo matemático que nos
permite predecir el comportamiento de una
enfermedad infecciosa a partir de ciertas
condiciones iniciales.
El modelo SIR clasifica a una población en tres
grupos distintos S(Susceptible), I(infectados) y
R(recuperados).
La principal propiedad del modelo SIR, aplicado a
SARS-CoV-2 o a cualquier otro patógeno, es que la
propagación de la enfermedad termina con el paso
del tiempo (es decir, la enfermedad es no
endémica), dicho de otra forma:
𝐼∞ = lim
𝑡→∞
𝐼 𝑡 = 0
𝑆(𝑡) 𝐼(𝑡) 𝑅(𝑡)
5. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝑥
𝑓(𝑥)
Noción del límite
C U R S O D E Á L G E B R A
Sea la función: 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 4
Ahora en ves de decir que 𝑥 se
aproxima al cero, podemos decir
también que 𝑥 tiende al cero y en ves de
decir 𝑓 se aproxima al 4, podemos decir
que 𝑓 tiende al 4 .
Observación
Tratemos de acercarnos al cero por la derecha
0,5 1
0,001
−1
…
4,1
0,1
0
0,01
4,01 4,001 …
Notamos que mientras 𝑥 se aproxima al cero por la
derecha la función se aproxima al número 4.
𝑥
𝑓(𝑥)
Tratemos de acercarnos al cero por la izquierda
−0,001 …
3,9
−0,1 −0,01
3,99 3,999 …
Notamos que mientras 𝑥 se aproxima al cero por la
izquierda la función se aproxima al número 4.
Veamos el siguiente ejemplo:
𝑓 𝑥 =
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ 1
𝑓 𝑥 =
(𝑥 + 1)(𝑥 − 1)
𝑥 − 1
, 𝑥 ≠ 1
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 1
Analicemos la siguiente función
−0,5
6. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ahora graficamos la función:
Matemáticamente se expresa:
Pero también se observa que si 𝑥 se
aproxima al 1 por la derecha la función se
aproxima al 2, dicho de otra manera, si 𝑥
tiende al 1 por la derecha (1 < 𝑥), la
función tiende al 2.
𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, 𝑥 ≠ 1
1 2
−2 −1 3 4
−3 0
−1
𝑋
𝑌
1
2
3
Observamos que si 𝑥 se aproxima al 1
por la izquierda la función se aproxima
al 2, dicho de otra manera, si 𝑥 tiende al
1 por la izquierda (𝑥 < 1), la función
tiende al 2.
𝐿 = lim
(1<𝑥)
𝑓(𝑥) = 2
𝐿 = lim
(𝑥<1)
𝑓(𝑥) = 2
Matemáticamente se expresa:
7. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Límite laterales
𝑋
𝑌
𝑥0
𝐿
𝑏
𝑓(𝑏)
lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) = 𝐿
Limite por la izquierda
Se da cuando la variable 𝑥 se aproxima o tiende a 𝑥0 por la
izquierda ( es decir 𝑥 < 𝑥0) y se denota:
Limite por la derecha
Se da cuando la variable 𝑥 se aproxima o tiende a 𝑥0 por la
derecha ( es decir 𝑥0 < 𝑥) y se denota:
lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥) = 𝐿
𝑋
𝑌
𝑥0
𝐿
𝑏
𝑓(𝑏)
8. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Ejercicios
↔
Según la grafica determine los siguientes
limites
C U R S O D E Á L G E B R A
𝑋
𝑌
3
4
2
−1
−4
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→−4+
𝑓(𝑥) =
1
lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) =
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥) =
0
Teorema (unicidad del límite)
El límite de una función existe y es único cuando 𝑥 tiende a
𝑥0 si y solo si existen los limites laterelas y además son
iguales
𝑓
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿 lim
𝑥→𝑥0
+
𝑓(𝑥) = lim
𝑥→𝑥0
−
𝑓(𝑥)
Ejemplo
De la ejercicio anterior
lim
𝑥→0+
𝑓(𝑥)= lim
𝑥→0−
𝑓(𝑥) = 1 → lim
𝑥→0
𝑓(𝑥) = 1
como.
Observación
lim
𝑥→2−
𝑓(𝑥) ≠ lim
𝑥→2+
𝑓(𝑥)
Entonces diremos que el limite de 𝑓
cuando 𝑥 tiende a 2 no existe .
3 4
1 1
−1
= 𝐿
9. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Límite de una función
Dada la función 𝑓: 𝐴 → ℝ; 𝐿 ∈ ℝ y 𝑥0 ∈ ℝ
Se dice que 𝐿 es el límite de la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende
al 𝑥0 y se denotado por
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿
Ejemplos
Si 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1
Calculo del límites
Para el calculo del límite se presentan los siguientes
casos:
lim
𝑥→5
(2𝑥 − 1) = 𝐿1
Si lim
𝑥→2
(
𝑥
𝑥 − 1
) = 𝐿2
𝑔 𝑥 =
𝑥
𝑥 − 1
Límites determinados Límites indeterminados
Formas indeterminadas:
Es cuando al evaluar la
función en el valor al cual
tiende "𝑥" este límite existe
o es un número real
Es cuando al evaluar la
función en el valor al cual
tiende "x" el límite no
existe, es decir da una
indeterminación
0
0
;
∞
∞
; 1∞
Ejemplos
1) lim
𝑥→5
(2𝑥 − 1)
lim
𝑥→2
(
𝑥
𝑥 − 1
)
lim
𝑥→−1
(
𝑥
3 − 𝑥 + 1
) =
−1
3 − (−1) + 1
=
1
3
Ejemplos
2)
3)
lim
𝑥→1
𝑥2
− 1
𝑥 − 1
lim
𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥 − 4
NOTA
Se puede evitar la
indeterminación mediante
procesos algebraicos como
la factorización y la
racionalización.
= 2 5 − 1 = 9
=
2
2 − 1
= 2
=
12 − 1
1 − 1
=
0
0
=
4 − 2
4 − 4
=
0
0
10. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio 1
Determine el valor de 𝑚 si el lim
𝑥→3
log𝑚 𝑥 + 𝑒𝑥−3
𝑥 − 1
= 1
Resolución
lim
𝑥→3
log𝑚 𝑥 + 𝑒𝑥−3
𝑥 − 1
=
log𝑚 3 + 𝑒3−3
3 − 1
= 1
=
log𝑚 3 + 1
2
=
log𝑚 3 + 1
2
log𝑚 3 = 1
∴ 𝑚 = 3
Ejercicio 2
Determine el siguiente limite lim
𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥 − 4
Resolución
lim
𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥 − 4
= lim
𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥 − 4
𝑥 + 2
𝑥 + 2
= lim
𝑥→4
𝑥 − 4
𝑥 − 4 𝑥 + 2
= lim
𝑥→4
1
𝑥 + 2
=
1
4 + 2
=
1
4
∴ lim
𝑥→4
𝑥 − 2
𝑥 − 4
Como el limite es
indeterminado de la
forma 0
0
Evitaremos la
indeterminación
racionalizando la
función
11. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Teoremas
1)
2)
3)
Sean 𝑓, 𝑔 dos funciones y 𝐿, 𝑀 ∈ ℝ tales que
=
lim
𝑥→−1
(𝑥 + 10)
lim
𝑥→−1
(𝑥4)
4)
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥) = 𝐿; lim
𝑥→𝑥0
𝑔(𝑥) = 𝑀
lim
𝑥→𝑥0
(𝑓 ± 𝑔) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 ± lim
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 = 𝐿 ± 𝑀
1) lim
𝑥→2
𝑥2
+ 𝑥4
𝑥
lim
𝑥→𝑥0
(𝑓. 𝑔) = lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥 . lim
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥 = 𝐿. 𝑀
lim
𝑥→𝑥0
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
=
lim
𝑥→𝑥0
𝑓 𝑥
lim
𝑥→𝑥0
𝑔 𝑥
=
𝐿
𝑀
; 𝑀 ≠ 0
lim
𝑥→𝑥0
𝑘 = 𝑘; 𝑘 ∈ ℝ
Ejemplos
= lim
𝑥→2
𝑥2
+ lim
𝑥→2
𝑥4
2
= lim
𝑥→2
𝑥2
+ 𝑥4
lim
𝑥→2
(𝑥)
= 22 + 24 2 = 40
2) lim
𝑥→−1
𝑥 + 10
𝑥4
= 9
=
lim
𝑥→−1
𝑥 + lim
𝑥→−1
10
(−1)4
=
−1 + 10
(−1)4
∴ lim
𝑥→2
𝑥2 + 𝑥4 𝑥 = 40
∴ lim
𝑥→−1
𝑥 + 10
𝑥4
= 9
12. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Limites al infinito
Analicemos las siguientes gráfica
Notamos:
Observación
Notamos
𝑋
𝑌
𝑓
𝑓 𝑥 =
1
𝑥
0
lim
𝑥→0+
𝑓 𝑥
lim
𝑥→0−
𝑓 𝑥
Veamos otro ejemplo, sea la función
0
lim
𝑥→0+
1
𝑥
lim
𝑥→0−
1
𝑥
lim
𝑥→+∞
1
𝑥
lim
𝑥→−∞
1
𝑥
lim
𝑥→±∞
𝑘
𝑥
= 0 ; 𝑘 ∈ ℝ lim
𝑥→±∞
𝑘
𝑥𝑛
= 0 ; 𝑘 ∈ ℝ; 𝑛 ∈ ℤ+
= +∞
= +∞
= +∞
= −∞
= 0
= 0
13. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Ejercicio:
Resolución
Dividiremos entre 𝑥2
al numerador y
denominador.
Determine el siguiente limite
lim
𝑥→+∞
𝑥2
− 3
2𝑥2 + 𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑥2
− 3
2𝑥2 + 𝑥
= lim
𝑥→+∞
𝑥2 − 3
𝑥2
2𝑥2 + 𝑥
𝑥2
= lim
𝑥→+∞
1 −
3
𝑥2
2 +
1
𝑥
=
1
2
Teoremas
lim
𝑥→+∞
𝑎𝑥𝑛
+ 𝑎1𝑥𝑛−1
+ ⋯ + 𝑎𝑛
𝑏𝑥𝑚 + 𝑏1𝑥𝑚−1 + ⋯ + 𝑏𝑛
=
𝑎
𝑏
; 𝑠𝑖 𝑛 = 𝑚
0; 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑚
𝑎
𝑏
∞; 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚
Ejemplo:
lim
𝑥→+∞
2 𝑥3 + 2𝑥 − 3
3 𝑥3 + 𝑥
Determine los siguientes limites:
=
2
3
lim
𝑥→+∞
𝑥2
+ 2𝑥 − 3
3𝑥5 + 𝑥
= 0
lim
𝑥→+∞
𝑥6
+ 2𝑥 − 3
3𝑥2 + 𝑥
= ∞
lim
𝑥→+∞
𝑥2
+2𝑥 − 3
3 𝑥2 + 𝑥
=
1
3
lim
𝑥→+∞
2𝑥 − 3
𝑥2 + 𝑥
= 0
0
0
1
Como el limite es
indeterminado
de la forma ∞
∞
Trasformaremos la
función para evitar
la indeterminación
14. C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E Á L G E B R A
Limites notables
1)
2) lim
𝑥→±∞
1 +
𝑘
𝑥
𝑥
= 𝑒𝑥
;
lim
𝑛→+∞
𝑟𝑛 = 0; 𝑟 < 1
3)
lim
𝑥→0
1 + 𝑘𝑥
1
𝑥 = 𝑒𝑥
4)
lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥 = 0 lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑥 = 1
5)
lim
𝑥→±∞
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 0 ; lim
𝑥→0
𝑠𝑒𝑛𝑥
𝑥
= 1
Ejercicios:
Determine los siguientes limites
lim
𝑥→+∞
1
2
𝑥
lim
𝑛→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑛
𝑛
= 0
= lim
𝑛→0
3𝑠𝑒𝑛 3𝑛
3𝑛
= 3 lim
3𝑛→0
𝑠𝑒𝑛 3𝑛
3𝑛
1
= 3
lim
𝑥→+∞
1 +
10
𝑥
𝑥
= 𝑒10
lim
𝑥→+∞
𝑥 − 5
𝑥
𝑥
= 𝑒−5
= lim
𝑥→+∞
1 +
−5
𝑥
𝑥
lim
𝑥→+∞
𝑥
𝑥 + 1
𝑥+1
= 𝑒
lim
𝑥→+∞
𝑥+1
𝑥
𝑥+1
−1
= 𝑒
lim
𝑥→+∞
𝑥+1
−1
𝑥+1 = 𝑒
lim
𝑥→+∞
−1
= 𝑒−1
−5
10
lim
𝑥→+∞
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑒
lim
𝑥→+∞
𝑔 𝑥 𝑓 𝑥 −1
15. w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e
