Unidad 1 sobre expresiones, factorización y radicación

1. Unidad 1: Expresiones algebraicas,
factorización y radicación.
Estudiantes:
Jesús Aranguren
CI: 31.026.129
Evianyer Saavedra
CI: 30.615.719
Sección: HS0101
Desde la antigüedad, hasta la actualidad, la matemática ha sido de
suma importancia para la evolución del mundo que tenemos hoy y sus
grandiosos avances, siendo una de las bases más importantes de la
educación, aparte de la física y la química.

2. Grandes científicos pasados que dedicaron toda su vida a estudio
de esta área, la han evolucionado gracias a su investigación, ecuaciones,
leyes, entre otros, dejando así sus frutos a las futuras generaciones. Una
de las ramas más importantes de la matemática, es el álgebra.
Anteriormente cuando ya es aprendido lo básico de la matemática,
se dirige a la siguiente fase, que serían sumas, restas, división y
multiplicación pero con símbolos. Pueden representarse con las letras del
abecedario latino (a, b, x, y, z) o griego, (𝛼, 𝛽, 𝛾, 𝜅) a esto se le llaman
ecuaciones algebraicas.
Principalmente las ecuaciones algebraicas son las combinaciones a
través de operaciones matemáticas de los signos, números, y letras que
permiten la expresión del leguaje matemático. Estas surgen de la obligación
de traducir valores desconocidos a números que están representados por
letras.
Dicho problemas algebraico está compuesto por monomios y
polinomios. Los monomios son aquellas expresiones matemáticas donde
solo existen como únicos operadores a la potenciación, multiplicación entre
variables, en cuanto a los polinomios son la suma de varios monomios y
cada uno de ellos dentro del polinomio se les llama término. Dentro de
algunas expresiones se encuentran aquellos términos semejantes que
tienen un factor de multiplicación en común tal que el factor no común es
un coeficiente de tales términos.
𝟑𝒙𝒚, 𝟒𝒙𝒚,𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒆𝒔: 𝒙𝒚
𝟒𝒙𝟒
𝒛𝟔
,𝟕𝟒
𝒙𝟒
𝒛𝟔
𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒆𝒔:𝒙𝒛
𝟐𝟑𝒙𝒚𝟐𝒛𝟑
𝒘𝟒
,𝑲𝒙𝒚𝟐 𝒛𝟑
𝒘𝟒
𝒔𝒊 𝑲 𝒆𝒔 𝒖𝒏𝒂 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒐 𝒆𝒔:𝒙𝒚𝟐 𝒛𝟑
𝒘𝟒
Para sumar expresiones algebraicas, hay que tener en cuenta dos
cosas, la suma de dos términos semejantes se pueden reducir a un solo
termino, si tales términos son diferentes ante una suma, simplemente el
resultado se deja expresada tal cual es sin cambiar los signos de los
términos.
Sea la expresión: 𝒂 + (𝒃 − 𝒄 + 𝒅) = 𝒂 + 𝒃 − 𝒄 + 𝒅 Si en este caso
eliminamos el valor de 𝒂, los signos de cada terminos quedan inalterables
al retirar los paréntesis, esto es: +(𝒃 − 𝒄 + 𝒅) = +𝒃 − 𝒄 + 𝒅.
Si se desea sumar los términos 𝟐𝒂 𝒚 − 𝟓𝒃 se representaría de esta
manera: (𝟐𝒂)+ (−𝟓𝒃) = 𝟐𝒂 − 𝟓𝒃, esto es la suma, y significa que no
afecta el signo −5𝑏 naturalmente la suma entre 2𝑎 𝑦 5𝑏 es: 𝟐𝒂 + 𝟓𝒃.
En cuanto a la resta, de la misma manera con la suma algebraica se
tiene en cuenta dos términos semejantes, el resultado se deja tal cual es.

3. En esta los términos dentro de los paréntesis afectan en cada uno, esto es,
cambia los signos operacionales luego de eliminar los paréntesis.
𝒂 − (𝒃 − 𝒄 + 𝒅) = 𝒂 − 𝒃 + 𝒄 − 𝒅
Ejercicios de sumas y resta de expresiones
algebraicas:

4. Por otra parte las multiplicaciones también son base fundamental de
las expresiones algebraicas, dentro de ellas consiste en realizar una
operación entre los términos llamados multiplicando y multiplicador para
encontrar un tercer término llamado producto.
Para realizar acabo este procedimiento de multiplicación entre
polinomios se debe realizar las tres principales leyes de la potenciación que
son:
Multiplicación de potencias de bases iguales:
𝒂𝒏
. 𝒂𝒎
= 𝒂𝒏+𝒎
Potencia de un producto:
(𝒂𝒃) 𝒏
= 𝒂𝒏
. 𝒃𝒏
Potencia de potencia:
(𝒂𝒏) 𝒎
= 𝒂𝒏𝒎
De igual manera se utiliza la ley de los signos y otras leyes como lo
es la conmutativa, asociativa y la distributiva.
Ejercicios de multiplicación de expresiones
algebraicas.

5. Finalmente, la división algebraica es una operación entre dos
expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra
expresión llamado cocientes por medio de un algoritmo. Al trabajar con
polinomios siempre se debe tener en cuenta el mayor exponente de algún
termino del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de
cualquier termino divisor.
𝒙 𝟓
𝒙 𝟐
= 𝒙𝟓−𝟐
= 𝒙𝟑
También como diversos problemas algebraicos, se aplica la ley de
la teoría de exponentes para división, la ley divisiones de bases iguales.
𝒂 𝒎
𝒂 𝒏
= 𝒂𝒎−𝒏
Que en este caso, se exige que el exponente 𝒎 del dividendo sea
mayor el igual al exponente 𝒏 del divisor.
En ellas existen dos clases de divisiones, la división exacta, que se
define cuando un residuo R es cero se define:
𝑫 = 𝒅𝒒 + 𝟎 →
𝑫
𝒅
= 𝒒

6. Y la división inexacta que se define cuando el residuo R es diferente
de cero, de la identidad del dividendo entre el divisor 𝒅 se obtiene:
𝑫
𝒅
=
𝒅𝒒 + 𝑹
𝒅
→
𝑫
𝒅
= 𝒒 +
𝑹
𝒅
Que significa que la división es inexacta ya que existe un término
adicional
𝑹
𝒅
.
Ejercicios de división de expresiones
algebraicas.
Cabe resaltar que los productos notables se encuentran también
dentro de las expresiones algebraicas, estas son simplemente

7. multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que por sus
características destacan de las demás multiplicaciones. Las
características que hacen que un producto sea notable, es que se
cumplen ciertas reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante
una simple inspección, sin la necesidad de verificar o realizar la
multiplicación paso a paso.
En ellas se relacionan con fórmulas de factorización, por lo que su
aprendizaje facilita y sistematiza la solución de diversas
multiplicaciones, permitiendo simplificar expresiones algebraicas
complejas; en otros aspectos son de gran ayuda al encontrar
medidas, o en el cálculo de área, superficies e identidades en el
área de ingeniería y reducir procedimientos matemáticos gracias a
las diferentes reglas al obviar varios pasos a la resolución de
problema matemáticos.
Existen varios tipos de productos notables o identidades
notables, cada uno con su característica particular, sus diferentes
formas de resolver y con distintas reglas que cumplir, algunos de
ellos son:
 Binomio al cuadrado.
Formula de una suma de un binomio al cuadrado.
(𝒙 + 𝒂) 𝟐
= 𝒙𝟐
+ 𝟐𝒙𝒂 + 𝒂𝟐
Formula de una resta de un binomio al cuadrado.
(𝒙 − 𝒂) 𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝟐𝒙𝒂 + 𝒂𝟐
 Binomio al cubo.
Formula de una suma de un binomio al cubo.
(𝒙 + 𝒂) 𝟑
= 𝒙𝟑
+ 𝟑𝒙𝟐
𝒂 + 𝟑𝒙𝟐
𝒂 + 𝟑𝒙𝒂𝟐
+ 𝒂𝟑
Formula de una resta de un binomio al cubo.
(𝒙 − 𝒂) = 𝒙𝟑
− 𝟑𝒙𝟐
𝒂+ 𝟑𝒙𝒂𝟑
− 𝒂𝟑
 Binomios conjugados.

8. (𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒂) = 𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒂) = 𝒙𝟐
− 𝒂𝟐
 Binomios con un término en común.
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐
+ (𝒂 + 𝒃)𝒙 + 𝒂𝒃
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 − 𝒃) = 𝒙𝟐
+ (−𝒂 − 𝒃)𝒙 + {(𝒂 − 𝒃)}
= 𝒙𝟐
+ (𝒂 − 𝒃)𝒙 𝒂𝒃
(𝒙 + 𝒂)(𝒙 − 𝒃) = 𝒙𝟐
+ (𝒂 − 𝒃)𝒙 + {(𝒂)(−𝒃)}
= 𝒙𝟐
+ (𝒂 − 𝒃)𝒙 − 𝒂𝒃
(𝒙 − 𝒂)(𝒙 + 𝒃) = 𝒙𝟐
+ (−𝒂 + 𝒃)𝒙 + {(−𝒂)(𝒃)}
= 𝒙𝟐
+ (−𝒂 + 𝒃)𝒙 − 𝒂𝒃
 Trinomio al cuadrado.
(𝒂 + 𝒃 + +𝒄) 𝟐
= 𝒂𝟐
+𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐(𝒂)(𝒃)+ 𝟐(𝒂)(𝒄)+ 𝟐(𝒃)(𝒄)
(𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐
= 𝒂𝟐
+ (−𝒃) 𝟐
+ 𝒄𝟐
+ 𝟐(𝒂)(−𝒃) + 𝟐(𝒂)(𝒄)
+𝟐(−𝒃)(𝒄)
(𝒂 + 𝒃 − 𝒄) 𝟐
= 𝒂𝟐
+ 𝒃𝟐
+ (−𝒄) 𝟐
+ 𝟐(𝒂(𝒃)+ 𝟐(𝒂)(−𝒄)
+𝟐(𝒃)(−𝒄)
(𝒂 − 𝒃 − 𝒄) 𝟐
= 𝒂𝟐
+ (𝒃) 𝟐
+ (−𝒄) 𝟐
+ 𝟐(𝒂)(−𝒃)+ 𝟐(𝒂)
(−𝒄) + 𝟐(−𝒃)(−𝒄)
(−𝒂 + 𝒃 + 𝒄) 𝟐
= (𝒂) 𝟐
+ (𝒃) 𝟐
+ (𝒄) 𝟐
+ 𝟐(−𝒂)(𝒃)+
+(−𝒂)(𝒄)+ 𝟐(𝒃)(𝒄)

9. Mayormente los productos notables van de la mano con la factorización
para llevar a cabo una solución rápida, dicha factorización es descomponer
una expresión algebraica cuyo producto es igual a la expresión opuesta. Es
considerada la operación inversa a la multiplicación la cual es encargada
de hallar el producto de dos o más factores, mientras que esta busca los
factores de un producto dado.
Ejemplo:
Trinomio de cuadrado perfecto.
Es una expresión algebraica de la forma 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
, para determinar
si un trinomio es cuadrado perfecto se debe:
- Identificar si el primer y tercero termino son cuadrados perfectos,
obteniendo la raíz cuadrada de cada uno de los términos
- El segundo término debe ser doble producto de la raíz cuadrada de
los términos anteriores
Si se tiene un trinomio 𝑥2
+ 20𝑥 + 100 se identifican los términos
probables a ser cuadrados perfectos y se les saca la raíz cuadrada
𝑥2
= 𝑥
100 = 10
Se verifica si el segundo término corresponde al doble producto de
las raíces de los términos anteriores. 20x
Por lo tanto 𝑥2
+ 20𝑥 + 100 es un trinomio cuadrado perfecto
Ejercicios de productos notables de
expresiones algebraicas y factorización
por productos notables.