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ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Paso 2 Profundizar y contextualizar el conocimiento
Marleny Parra Romero
Mónica Hermelinda Gallego
Nidia Mayerly Carvajal Rocha
Samuel David Rojas Baquero
Grupo: 29
Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD)
Marzo 2021
PRODUCTOS NOTABLES
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones
algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin
verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica
y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.
Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo,
la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos
binomios conjugados, y recíprocamente.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
¿Cuales son los más comunes?
Los productos notables más comunes son la suma por diferencia y el cuadrado de
un binomio.
Ejemplo:
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Cuadrado de un binomio
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
El producto de una suma por su diferencia es de
la forma (a+b)(a-b) donde a+b es la suma de 2
términos y a-b es la diferencia de esos términos.
El producto (a+b)(a-b) se resuelve aplicando la
propiedad distributiva de la multiplicación
respecto a la sumaCuadrado de un binomio
El cuadrado de la suma de un binomio es
igual al cuadrado del primer término, más el
doble del primero por el segundo más
el cuadrado del segundo
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
3.División sintética para la división de
polinomios
La división sintética es un método para efectuar de manera
sencilla la división de polinomios, siempre y cuando el divisor
sea lineal de grado 1 y sea de la forma:
Figura 1
Expresión de duda
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Pasos para realizarla
1. Se determina para que valor de x el divisor es 0
2. Se hace la división sintética usando como factor.
3. El resultado que de el cociente baja un grado respecto al
polinomio original y se divide entre a.
4. El último término es el residuo.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ejemplo, división sintética de la forma
x-1 es cero en x = 1
El cociente se divide entre lo que multiplica a x en el divisor.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ejemplo, división sintética de la forma
2) 𝑃 𝑥 ÷ 𝑎𝑥 ± 𝑏
Entonces tomamos el divisor y lo igualamos a cero para despejar
el valor de x
𝐷 = 2𝑥 − 3
2𝑥 − 3 = 0
2𝑥 = 3
𝑥 =
3
2
Una vez despejada x del divisor tenemos que:
6𝒙3 − 13𝒙2 + 8𝒙 − 3 ÷ 2𝒙 − 3
6𝑥3
− 13𝑥2
+ 8𝑥 − 3 ÷ 2𝑥 − 3
Ahora procedemos a colocar nuestro cociente y lo dividimos por el
coeficiente del divisor, que en este caso es 2 para hallar el real y
último cociente.
𝑄 𝑥 =
6𝑥2
2
−
9𝑥
2
+
2
2
= 3𝑥2 − 3𝑥 + 1
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
EXPRESIONES RACIONALES
Un polinomio es una expresión que consiste de una suma de términos
que contienen potencias enteras de x, como 3x^2-6x-1
Una expresión racional es simplemente un cociente de dos polinomios.
En otras palabras, es una fracción cuyo numerador y denominador son
polinomios.
Estos son ejemplos de expresión racionales:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
EXPRESIONES RACIONALES Y VALORES NO DEFINIDOS
• Considera la expresión racional
2𝑥+3
𝑥−2
.
• Podemos determinar el valor de esta expresión para valores particulares de x. Por
ejemplo, evaluemos la expresión para 𝑥 = 1
2 1 + 3
1 − 2
=
5
−1
= −5
Así, vemos que el valor de la expresión para 𝑥 = 1 es −5
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2 2 + 3
2 − 2
=
7
0
= 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜
El valor de entrada 2 hace que el denominador sea 0, como la división entre 0 no esta
definida, 𝑥 = 2 no es un valor de entrada para esta expresión
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
DOMINIO DE LAS FUNCIONES
El dominio de cualquier expresión es el conjunto
de todos los valores posibles de entrada.
En el caso de expresiones racionales, podemos
utilizar cualquier valor de entrada excepto los que
hacen que el denominador sea igual a 0 (pues la
división entre 0 no está definida).
En otras palabras, el dominio de una expresión
racional incluye a todos los números reales,
excepto aquellos que hacen que el denominador
sea cero
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
• Ejemplo: encontrar el dominio de
𝒙 + 𝟏
(𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒)
Encontremos los ceros del denominador para restringir esos valores:
𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟒 = 𝟎
𝑥 − 3 = 0 o 𝑥 + 4 = 0 propiedad del producto por cero
𝑥 = 3 o 𝑥 = −4 despejar x
Entonces escribimos que el dominio es todos los números reales, excepto 3 y -4
O simple mente 𝑥 ≠ 3, −4
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
F A C T O R I Z A C I Ó N
En primera medida debemos conocer que es
un factor.
Factor: Es cada uno de los números o letras
que se multiplican para formar un producto.
Luego de conocer este termino, ¿Qué es
factorizar? Es un proceso que permite
descomponer en factores una expresión
matemática.
El resultado de una factorización siempre
será una multiplicación.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
T I P O S D E F A C T O R I S A C I O N
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Ejemplo: factorización por diferencia de cuadrados.
Lo primero que debemos hacer es mirar que haya una resta y
que a los dos términos se le pueda sacar raíz cuadrada,
después de haberle sacado la raíz cuadrada procedemos a
abrir 2 paréntesis ubicando ambos términos uno con el signo
+ y el otro con el signo - , de esta manera;
Ejemplo No 1.
𝑚2
− 1
𝑚 − 1 𝑚 + 1 FACTORIZADO
Ejemplo No 2.
16𝑥2
− 25𝑦2
4𝑥 − 5𝑦 (4𝑥 + 5𝑦) FACTORIZADO
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Expresiones algebraicas
Conformadas por números, letras y operaciones fundamentales del
algebra.
Términos: Signo (+,-), coeficiente (numero), base y exponente.
Para el ejercicio de ejemplo tenemos que esta expresión algebraica
binomio el cual se conforma por números, letras, signo de agrupación,
fraccionario y multiplicación, por lo tanto tenemos que:
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Siendo así, para este caso en particular debemos tener cuenta de suprimir los signos de
agrupación (paréntesis) y reduciendo signos semejantes, como se plasma a continuación:
1. Organizar términos semejantes.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
2. Luego, simplificamos deduciendo mitad y tercera
de los valores numéricos (coeficientes), en este caso
lo realizamos en forma de equis donde a 51 y 27 le
deduciremos 3ra. A los valores de 60 y 48 le
deduciremos mitad.
Para las bases (letras) cancelamos arriba y abajo,
luego multiplicamos términos semejantes de arriba
y lo mismo para la parte inferior.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Para culminar el ejercicio explicado, deberemos organizar la información
resultante al aplicar los operaciones correspondientes. tenemos que:
De esta forma obtenemos la solución al ejercicio planteado.
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
Referencias bibliográficas
• Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria:
conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas
59 - 82. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
• 123RF. (2 febrero de 2021). Ilustración de dibujos animados de una bombilla de
ideas conseguidas [figura].
https://es.123rf.com/photo_44829708_ilustraci%C3%B3n-de-dibujos-animados-de-
una-bombilla-de-ideas-conseguidas.html
• Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria:
conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano.
Páginas 59 - 82. https://elibro-
net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
• Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Bogotá D.C.
Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y
recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11601
• 123RF. (2 febrero de 2021). imagen de render 3D. Signo de
interrogación con figuras geométricas de colores
[figura]https://es.123rf.com/photo_56857938_la-imagen-de-
render-3d-signo-de-interrogaci%C3%B3n-con-figuras-
geom%C3%A9tricas-de-colores-fondo-blanco-aislado-.html
ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y
GEOMETRÍA ANALITICA
GRACIAS POR SU
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Trabajo colaborativo algebra grupo 29

  • 1. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Paso 2 Profundizar y contextualizar el conocimiento Marleny Parra Romero Mónica Hermelinda Gallego Nidia Mayerly Carvajal Rocha Samuel David Rojas Baquero Grupo: 29 Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Marzo 2021
  • 2. PRODUCTOS NOTABLES Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 3. ¿Cuales son los más comunes? Los productos notables más comunes son la suma por diferencia y el cuadrado de un binomio. Ejemplo: Suma por diferencia Cuadrado de un binomio ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA El producto de una suma por su diferencia es de la forma (a+b)(a-b) donde a+b es la suma de 2 términos y a-b es la diferencia de esos términos. El producto (a+b)(a-b) se resuelve aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la sumaCuadrado de un binomio El cuadrado de la suma de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo
  • 4. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA 3.División sintética para la división de polinomios La división sintética es un método para efectuar de manera sencilla la división de polinomios, siempre y cuando el divisor sea lineal de grado 1 y sea de la forma: Figura 1 Expresión de duda
  • 5. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Pasos para realizarla 1. Se determina para que valor de x el divisor es 0 2. Se hace la división sintética usando como factor. 3. El resultado que de el cociente baja un grado respecto al polinomio original y se divide entre a. 4. El último término es el residuo.
  • 6. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Ejemplo, división sintética de la forma x-1 es cero en x = 1 El cociente se divide entre lo que multiplica a x en el divisor.
  • 7. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Ejemplo, división sintética de la forma 2) 𝑃 𝑥 ÷ 𝑎𝑥 ± 𝑏 Entonces tomamos el divisor y lo igualamos a cero para despejar el valor de x 𝐷 = 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3 = 0 2𝑥 = 3 𝑥 = 3 2 Una vez despejada x del divisor tenemos que: 6𝒙3 − 13𝒙2 + 8𝒙 − 3 ÷ 2𝒙 − 3
  • 8. 6𝑥3 − 13𝑥2 + 8𝑥 − 3 ÷ 2𝑥 − 3 Ahora procedemos a colocar nuestro cociente y lo dividimos por el coeficiente del divisor, que en este caso es 2 para hallar el real y último cociente. 𝑄 𝑥 = 6𝑥2 2 − 9𝑥 2 + 2 2 = 3𝑥2 − 3𝑥 + 1 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 9. EXPRESIONES RACIONALES Un polinomio es una expresión que consiste de una suma de términos que contienen potencias enteras de x, como 3x^2-6x-1 Una expresión racional es simplemente un cociente de dos polinomios. En otras palabras, es una fracción cuyo numerador y denominador son polinomios. Estos son ejemplos de expresión racionales: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 10. EXPRESIONES RACIONALES Y VALORES NO DEFINIDOS • Considera la expresión racional 2𝑥+3 𝑥−2 . • Podemos determinar el valor de esta expresión para valores particulares de x. Por ejemplo, evaluemos la expresión para 𝑥 = 1 2 1 + 3 1 − 2 = 5 −1 = −5 Así, vemos que el valor de la expresión para 𝑥 = 1 es −5 • Ahora encontremos el valor de la expresión para 𝑥 = 2 2 2 + 3 2 − 2 = 7 0 = 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑜 El valor de entrada 2 hace que el denominador sea 0, como la división entre 0 no esta definida, 𝑥 = 2 no es un valor de entrada para esta expresión ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 11. DOMINIO DE LAS FUNCIONES El dominio de cualquier expresión es el conjunto de todos los valores posibles de entrada. En el caso de expresiones racionales, podemos utilizar cualquier valor de entrada excepto los que hacen que el denominador sea igual a 0 (pues la división entre 0 no está definida). En otras palabras, el dominio de una expresión racional incluye a todos los números reales, excepto aquellos que hacen que el denominador sea cero ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 12. • Ejemplo: encontrar el dominio de 𝒙 + 𝟏 (𝒙 − 𝟑)(𝒙 + 𝟒) Encontremos los ceros del denominador para restringir esos valores: 𝒙 − 𝟑 𝒙 + 𝟒 = 𝟎 𝑥 − 3 = 0 o 𝑥 + 4 = 0 propiedad del producto por cero 𝑥 = 3 o 𝑥 = −4 despejar x Entonces escribimos que el dominio es todos los números reales, excepto 3 y -4 O simple mente 𝑥 ≠ 3, −4 ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 13. F A C T O R I Z A C I Ó N En primera medida debemos conocer que es un factor. Factor: Es cada uno de los números o letras que se multiplican para formar un producto. Luego de conocer este termino, ¿Qué es factorizar? Es un proceso que permite descomponer en factores una expresión matemática. El resultado de una factorización siempre será una multiplicación. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 14. T I P O S D E F A C T O R I S A C I O N ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 15. Ejemplo: factorización por diferencia de cuadrados. Lo primero que debemos hacer es mirar que haya una resta y que a los dos términos se le pueda sacar raíz cuadrada, después de haberle sacado la raíz cuadrada procedemos a abrir 2 paréntesis ubicando ambos términos uno con el signo + y el otro con el signo - , de esta manera; Ejemplo No 1. 𝑚2 − 1 𝑚 − 1 𝑚 + 1 FACTORIZADO Ejemplo No 2. 16𝑥2 − 25𝑦2 4𝑥 − 5𝑦 (4𝑥 + 5𝑦) FACTORIZADO ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 16. Expresiones algebraicas Conformadas por números, letras y operaciones fundamentales del algebra. Términos: Signo (+,-), coeficiente (numero), base y exponente. Para el ejercicio de ejemplo tenemos que esta expresión algebraica binomio el cual se conforma por números, letras, signo de agrupación, fraccionario y multiplicación, por lo tanto tenemos que: ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 17. Siendo así, para este caso en particular debemos tener cuenta de suprimir los signos de agrupación (paréntesis) y reduciendo signos semejantes, como se plasma a continuación: 1. Organizar términos semejantes. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 18. 2. Luego, simplificamos deduciendo mitad y tercera de los valores numéricos (coeficientes), en este caso lo realizamos en forma de equis donde a 51 y 27 le deduciremos 3ra. A los valores de 60 y 48 le deduciremos mitad. Para las bases (letras) cancelamos arriba y abajo, luego multiplicamos términos semejantes de arriba y lo mismo para la parte inferior. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 19. Para culminar el ejercicio explicado, deberemos organizar la información resultante al aplicar los operaciones correspondientes. tenemos que: De esta forma obtenemos la solución al ejercicio planteado. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 20. ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA Referencias bibliográficas • Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66 • 123RF. (2 febrero de 2021). Ilustración de dibujos animados de una bombilla de ideas conseguidas [figura]. https://es.123rf.com/photo_44829708_ilustraci%C3%B3n-de-dibujos-animados-de- una-bombilla-de-ideas-conseguidas.html • Ramírez, V. A. P., & Cárdenas, A. J. C. (2001). Matemática universitaria: conceptos y aplicaciones generales. Vol. 1. San José, CR: Editorial Cyrano. Páginas 59 - 82. https://elibro- net.bibliotecavirtual.unad.edu.co/es/ereader/unad/85383?page=66
  • 21. • Moreno Y. (2014). OVI Algebra Simbólica. Bogotá D.C. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Obtenido y recuperado de http://hdl.handle.net/10596/11601 • 123RF. (2 febrero de 2021). imagen de render 3D. Signo de interrogación con figuras geométricas de colores [figura]https://es.123rf.com/photo_56857938_la-imagen-de- render-3d-signo-de-interrogaci%C3%B3n-con-figuras- geom%C3%A9tricas-de-colores-fondo-blanco-aislado-.html ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA
  • 22. GRACIAS POR SU ATENCIÓN ALGEBRA, TRIGONOMETRÍA Y GEOMETRÍA ANALITICA