Efklidio_montelo_ths_ypervolikis_gewmetrias

1. 1
ΕΤΚΛΕΙΔΕΙΟ ΜΟΝΣΕΛΟ ΣΗ΢ ΤΠΕΡΒΟΛΙΚΗ΢ ΓΕΩΜΕΣΡΙΑ΢
Από το βιβλίο μου «η ςχετικότητα τησ γεωμετρίασ και ο χώροσ»
http://www.mpantes.gr
Γιώπγορ Μπανηέρ μαθημαηικόρ
Ειζαγυγικά
Η ππεξβνιηθή γεσκεηξία ηνπ Λνκπαηζέθζθπ είλαη πνιύπινθε θαη αθαηαλόεηε
όπσο έλαο ζνπξεαιηζηηθόο πίλαθαο, απνθάιπςε έλαλ πεξίεξγν θόζκν πνπ εθ
θαηαζθεπήο είλαη θαληαζηηθόο. Ο ίδηνο νλόκαζε ηε γεσκεηξία ηνπ θαληαζηηθή. Όκσο
ήηαλ ζπιινγηζηηθά έγθπξνο, ηα ζεσξήκαηα πξνέθππηαλ από ηα αξιώμαηα κέζα από
ηνλ παξαγσγηθό ζπιινγηζκό. Η νέα παπαλληλία παξακόξθσζε ηελ Δπθιείδεηα
επζεία θαη ην Δπθιείδεην επίπεδν, όπνπ νη γεσδαηζηαθέο ηνπ, νη επζείεο
Λνκπαηζέθζθπ, ήηαλ πάιη απξνζπέιαζηεο από ηε δηαίζζεζε θαη αθεξεκέλεο.
Απέδεημε όηη ν ινγηθόο ζπκπεξαζκόο ήηαλ εθηθηόο θαη ρσξίο ηε δηαίζζεζε. Μηα
γυνία (παπαλληλίαρ) πξνζδηόξηδε ην ππεξβνιηθό κήθνο έηζη ώζηε θαηαξγήζεθε ε
έννοια ηηρ ομοιόηηηαρ ζην ππεξβνιηθό επίπεδν, ηα ηξίγσλα κε ίζεο γσλίεο είραλ θαη
ίζεο πιεπξέο, ην εκβαδόλ ηξηγώλνπ εμαξηηόληαλ από ηηο γσλίεο ηνπ θαη ήηαλ
πεπεξαζκέλν.
«Τη είλαη ε εσζεία ζηελ σπερβοιηθή γεωκεηρία; Η έληηκε απάληεζε είλαη
όηη δελ γλωρίδοσκε. Είλαη κόλο κηα αθαίρεζε. Η σπερβοιηθή εσζεία είλαη έλας
απροζδηόρηζηος όρος ποσ περηγράθεη κηα αθερεκέλε έλλοηα ε οποία κοηάδεη κε
ηελ έλλοηα ηες Εσθιείδεηας εσζείας εθηός από ηης ηδηόηεηες ηες παραιιειίας. Τόηε
πως ζα ηελ θαληαζηούκε; Γηα λα ηελ οπηηθοποηήζοσκε, δειαδή λα ηε «δούκε»
πρέπεη λα θαηαζθεσάζοσκε έλα Εσθιείδεηο κοληέιο ηες, λα βρούκε δειαδή

2. 2
Εσθιείδεηα αληηθείκελα ηα οποία αληηπροζωπεύοσλ σπερβοιηθά
αληηθείκελα…Marvin Greenberg»
Γηαηί ινηπόλ θάλνπκε Δπθιείδεηα κνληέια; Γηα λα θαηαλνήζνπκε ηελ
θακππιόηεηα ηνπ ρώξνπ κέζα από ηελ επηπεδόηεηα θαη λα ληθήζνπκε ηελ αδπλακία
ηεο εκπεηξίαο καο γηα ηελ ηέηαξηε δηάζηαζε. ΢ήκεξα γλσξίδνπκε όηη ν ζθεπηόκελνο
λνπο πεξηέγξαςε ηνλ θακππισκέλν ρώξν, είλαη ππαξθηόο αιιά κε παξαηεξήζηκνο,
επαιεζεύεηαη από ηα ζπκπεξάζκαηά ηνπ όπσο αλάγνληαη ζηνλ επίπεδν Δπθιείδεην
ρώξν θαη απηό είλαη ην λόεκα ηεο ζρεηηθόηεηαο ηεο γεσκεηξίαο. Πεξηγξάθνπκε ηελ
θακππιόηεηα ηνπ ρώξνπ κε Δπθιείδεηνπο όξνπο, κε Δπθιείδεηεο παξακνξθώζεηο,
κέζα από Δπθιείδεηα κνληέια. Έηζη ζα κπνξέζνπκε λα θαληαζηνύκε, αθόκα λα
εθαξκόζνπκε ηνπο κε Δπθιείδεηνπο ρώξνπο (γεληθή ζεσξία ζρεηηθόηεηαο) αλ θαη ν
Γεξκαλόο θηιόζνθνο Καλη (1870, δειαδή πξηλ ην Λνκπαηζέθζθπ) ηζρπξίδνληαλ όηη
απηό είλαη αδύλαην1
.
Ο υπερβολικόσ χώροσ ςτο επίπεδο (δίςκοσ Πουανκαρέ)
Αληηθαζηζηνύκε ηνπο πξσηαξρηθνύο όξνπο ηνπ ρώξνπ Λνκπαηζέθζθπ κε
Δπθιείδεηνπο έλλνηεο θαη έρνπκε ηε λέα εξκελεία ηνπ ππεξβνιηθνύ ρώξνπ ζε
Δπθιείδεηεο έλλνηεο. ΢θνπόο καο είλαη λα απνδείμνπκε όηη ε γεσκεηξία ηνπ
Λνκπαηζέθζθπ είλαη ζπλεπήο.
Οξίδνληαη
 ν ςπεπβολικόρ σώπορ ησλ δύν δηαζηάζεσλ, είλαη ην
εζσηεξηθό ελόο Δπθιείδεηνπ θύθινπ γ ζην Καξηεζηαλό
επίπεδν κε αθηίλα 1.(ζεκειηώδεο)
 ηα ςπεπβολικά ζημεία ηα π-ζεκεία, είλαη ηα εζσηεξηθά ζεκεία
απηνύ ηνπ ζεκειηώδνπο θύθινπ. Σα ζεκεία ηεο πεξηθέξεηαο
ζεσξνύληαη σο ζεκεία ζην άπεηξν θαη δελ αλήθνπλ ζηελ εξκελεία.
1
Ωο ην 180
αηώλα νη θηιόζνθνη ζεσξνύζαλ πεδίν εξεπλώλ ηνπο ην ζύλνιν ησλ
αλζξώπηλσλ γλώζεσλ, ζπκπεξηιακβαλνκέλεο θαη ηεο θπζηθήο επηζηήκεο. Σνλ 190
θαη
ηνλ 200
αηώλα όκσο ε θπζηθή έγηλε ηόζν πνιύπινθε θαη καζεκαηηθή γηα ηνπο
θηινζόθνπο, νη νπνίνη πεξηόξηζαλ ην πεδίν ησλ εξεπλώλ ηνπο ηόζν πνιύ πνπ ν
Wittgenstein, ν πην δηάζεκνο θηιόζνθνο ηνπ αηώλα καο έιεγε όηη ‘ν κόλνο ζθνπόο ηεο
θηινζνθίαο είλαη ε αλάιπζε ηεο γιώζζαο’ Stephen Hawking Το σπονικό ηος σπόνος.

3. 3
 νη ςπεπβολικέρ εςθείερ νη π-επζείεο, είλαη Δπθιείδεηνη θύθινη,
είλαη νη επζείεο πνπ δηέξρνληαη από ην θέληξν ηνπ θύθινπ θαζώο
θαη ηα ηκήκαηα ησλ θύθισλ ηνπ
επηπέδνπ νη νπνίνη είλαη νξζνγώληνη
ζηνλ γ, νη ΚΛ, XY, θιπ. Οξίδνπκε
ζαλ γυνία α δύν π-γξακκώλ ηελ
Δπθιείδεηα γσλία ησλ θύθισλ πνπ
νξίδνπλ ηηο γξακκέο απηέο.(ζρ.
κνληέιν ηνπ Πνπαλθαξέ). Δδώ όια ηα
ζρήκαηα είλαη Δπθιείδεηα αιιά
«εξκελεύνληαη» σο ππεξβνιηθά. Η
εξκελεία απηή ζα παξάμεη έλαλ ηζνκνξθηζκό κεηαμύ ηνπ
ππεξβνιηθνύ θαη ηνπ Δπθιείδεηνπ κνληέινπ.
 Οξίδνπκε ηο ςπεπβολικό μήκορ γηα ην ΑΒ ηελ πνζόηεηα
( ) ( ) ( ) ( )
κε ΑΛ, ΒΚ, ΑΚ, ΒΛ νη Δπθιείδεηεο απνζηάζεηο ησλ ζεκείσλ.
Ο ηύπνο απηόο παξάγεηαη από ηε Ρεκάλεηα κεηξηθή γηα ηελ
ππεξβνιηθή γεσκεηξία πνπ ζα δνύκε ζην επόκελν θεθάιαην.
Θα δείμνπκε όηη ε πνζόηεηα απηή δίλεη ζεηηθό απνηέιεζκα.
Δπίζεο ζα πξέπεη λα θαζηζηά ην κήθνο ηεο επζείαο άπεηξν όπσο
ζπκβαίλεη ζηελ επζεία Λνκπαηζέθζθπ.
Να πιεξνί επίζεο ηε ζρέζε (απόζηαζε ΑΒ)=(απόζηαζε ΑC)+(απόζηαζε
CB) γηα ηπρόλ ελδηάκεζν ζεκείν C.
Καη βέβαηα λα είλαη ακεηάβιεην γηα θάζε ππεξβνιηθή κεηαηόπηζε (ηξίην
αμίσκα)
Σν ινγαξηζκηδόκελν πειίθν είλαη σο γλσζηό ν δηπιόο ιόγνο ησλ
ζεκείσλ Α,Β,Κ,Λ πνπ όηαλ Α΄Β είλαη κεγαιύηεξνο ηεο κνλάδαο θαη επνκέλσο
ν ινγάξηζκνο είλαη ζεηηθόο. Γειαδή ε πξώηε επηηαγή πιεξείηαη.
Δπίζεο όηαλ ΑΚ θαη ΒΛ ηόηε ν δηπιόο ιόγνο ηείλεη ζην άπεηξν ην
ίδην θαη ινγάξηζκόο ηνπ. Άξα ην κήθνο ηεο ππεξβνιηθήο επζείαο είλαη άπεηξν

4. 4
Γηα ην δηπιό ιόγν ηζρύεη όηη (ΑCΚΛ)(ΒCΚΛ)=(ΑΒΚΛ) θαη ινγαξηζκίδνληαο
ηα δύν κέιε έρνπκε
(π-κήθνο) ΑC+(π-κήθνο CΒ)=(π-κήθνο ΑΒ).
Έηζη νξίζακε κηα εξκελεία ηνπ ππεξβνιηθνύ ρώξνπ ησλ δύν δηαζηάζεσλ
πνπ ζα ηελ νλνκάδνπκε επίπεδη τεςδοζθαίπα (επίπεδν ζάγκα)
Δύο ηκήκαηα είλαη ίζα όηαλ έτοσλ ηο ίδηο κήθος θαη δύο γωλίες
όηαλ έτοσλ ίζα κέηρα. Όια ηα ζτήκαηα ηοσ σπερβοιηθού τώροσ
περηγράθοληαη ζηο κοληέιο π.τ ο ορίθσθιος
Ένα παράξενο αποτέλεςμα του επίπεδου ςάγματοσ
Σώξα απηό πνπ έρνπκε πεηύρεη είλαη έλα παξάδνμν!
Έρνπκε δείμεη όηη ην ππεξβνιηθό κήθνο ηεο ππεξβνιηθήο
επζείαο είλαη άπεηξν. Αλ ην δνύκε από πην θνληά ζην
Δπθιείδεην κνληέιν ηόηε γηα ην ππεξβνιηθό κήθνο ηνπ ΟΑ
έρνπκε
ΟΛ.ΑΚ/ΟΚ.ΑΛ=(1+ρ/1-ρ)>1 όπνπ ρ ην Δπθιείδεην κήθνο ηόηε ηο
ςπεπβολικό μήκορ είναι
( ) ………..(4.3)
(ηνμεθhρ=ηόμν ππεξβνιηθήο εθαπηνκέλεο ρ. )

5. 5
Γειαδή (όηαλ ρ→1 ην π(ΟΑ) → ∞) θαίλεηαη ζε πξώηε εληύπσζε όηη ε
ξάβδνο κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ παξακνξθώλεηαη Δπθιείδεηα θαζώο κεηαθηλείηαη
ζηνλ ππεξβνιηθό ρώξν. Ο ηύπνο ζπλδέεηαη κε
ην δηαθνξηθό ηύπν (7.1) ηνπ Ρήκαλ, ηνπ
γξακκηθνύ ζηνηρείνπ.
Όκσο ν Δπθιείδεηνο ρώξνο είλαη πηα
κηα πεπνίζεζε αιιά θαη ε ππεξβνιηθή
γεσκεηξία είλαη καζεκαηηθά ζπλεπήο! Καη ηα
καζεκαηηθά δελ είλαη γηα λα «ζώδοσλ ηα
θαηλόκελα» Απηό πνπ ζπκβαίλεη ζην
Δπθιείδεην επίπεδν κπνξνύκε λα ην
εξκελεύζνπκε αλ θαληαζηούκε ή όηη ηα ζώκαηα
κέηξεζεο ησλ απνζηάζεσλ ζπζηέιινληαη όζο πιεζηάδοσλ προς ηα όρηα ηοσ θόζκοσ
«δείτλοληας» κεγαιύηερο κήθος ή όηη ο σπερβοιηθός τώρος δελ κεηρηέηαη κε ηελ
Εσθιείδεηα κεηρηθή.
Αλάινγα ζηνλ ηξηζδηάζηαην ρώξν ζα κπνξνύζακε λα έρνπκε έλα ζύκπαλ
πνπ εθηείλεηαη ζην άπεηξν πξνο θάζε θαηεύζπλζε, ην νπνίν ζηελ πξαγκαηηθόηεηα
είλαη ην εζσηεξηθό κηαο κπάιαο ηνπ ηέληο.
Σν ζπκπέξαζκα θαηαιήγεη ζε δύν απνθάζεηο:
α) Ή ζα ζεσξήζνπκε ην ρώξν καο Δπθιείδεην θαη όηαλ εκθαλίδνληαη
κε-Δπθιείδεηα θαηλόκελα ζα νθείινληαη ζηελ παξακόξθσζε ησλ ζσκάησλ
(κε Δπθιείδεηα ξάβδνο) από θάπνηεο άγλσζηεο δπλάκεηο ζηνλ Δπθιείδεην
θόζκν καο (πεδηαθό κνληέιν)
Ή β) ζα πξέπεη λα απνδερηνύκε όηη θακηά παξακόξθσζε δελ
ζπκβαίλεη αιιά ε πραγκαηηθή απόζηαζε κεηαμύ ησλ ζεκείσλ 0 θαη ½ έλα
είλαη ε ίδηα κε ηελ απόζηαζε κεηαμύ ½ θαη 3/4, δειαδή ε κε Δπθιείδεηα
κεηξηθή νξίδεη έλα κε-Δπθιείδεην ρώξν, θαη όια όζα πηζηεύνπκε γη απηόλ ζα
πξέπεη λα ηα αιιάμνπκε (κνληέιν θακππισκέλνπ ρώξνπ).
Σν πξόβιεκα ζα ην αλαπηύμνπκε ζην έβδνκν θεθάιαην.

6. 6
Ο ιςομορφιςμόσ των μοντέλων Λομπατςέφςκυ και Πουανκαρέ
Ο ρώξνο ησλ νξζνγώλησλ θύθισλ πνπ νξίζακε πιεξεί ηα αμηώκαηα ηνπ
Λνκπαηζέθζθπ.
΢ην άξζξν ζα εμεηάζνπκε κόλν ην 50
αξίυμα ηηρ παπαλληλίαρ.
Η Δπθιείδεηα γεσκεηξία δίλεη κνλαδηθό θύθιν από ηα Μ θαη Ρ πνπ ηέκλεη
νξζνγώληα ηνλ θύθιν γ. Έζησ ινηπόλ π-
ζεκείν Μ ηνπ π-επηπέδνπ θαη ε m, κηα π-
επζεία. Ολνκάδνπκε π-παξάιιειε πξνο
ηελ m, απ΄ ην M, ηελ π-επζεία απ’ ην M
πνπ ζπλαληάεη ηελ m ζηα ζεκεία P, Q
ηνπ ζεκειηώδνπο θύθινπ. Πξνθαλώο
ππάξρνπλ δύν π-παξάιιειεο, ε q πξνο ηα
δεμηά, θαη ε p πξνο ηα αξηζηεξά ε p
(παξαιιειία ζην δίζθν…) Δπζείεο όπσο ε s
είλαη ηέκλνπζεο ηεο m θαη απηέο όπσο ε n νη κε ηέκλνπζεο (ππεξπαξάιιειεο). Αλ
ε s είλαη θάζεηε ζηε m ηόηε ε Μ1 είλαη ίζε κε ηε Μ2, είλαη ε γσλία
παξαιιειίαο.
.... Ο ηζνκνξθηζκόο απηόο ζεκαίλεη όηη ε ππεξβνιηθή γεσκεηξία είλαη έλα
ζςνεπέρ ζύζηημα, αθνύ ην ζύζηεκα ησλ θύθισλ είλαη ζπλεπέο σο Δπθιείδεην, θαη
αθνύ είλαη ζπλεπέο ηα αμηώκαηά ηνπ δελ είλαη αληηθαηηθά. Άξα είλαη αδύλαην λα
απνδείμνπκε ην αμίσκα ηεο παξαιιειίαο ηνπ Δπθιείδε, αθνύ ε απόδεημή ηνπ ζα
ζπλεπάγνληαλ ηελ άξλεζε ηνπ αμηώκαηνο παξαιιειίαο ηνπ Λνκπαηζέθζθπ (θαη
Βνylai).
Τώρα ο αγώνας των γεωμετρών είκοσι αιώνων, έχει τελειώσει.
Γηώξγνο Μπαληέο καζεκαηηθόο
΢έξξεο 31/8/17