1. บทที่ 2
จํานวนและตัวเลข (8 ชั่วโมง)
2.1 ระบบตัวเลขโรมัน (2 ชั่วโมง)
2.2 ระบบตัวเลขฐานตาง ๆ (4 ชั่วโมง)
2.3 การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข (2 ชั่วโมง)
เนื้อหาสาระของบทนี้ไดกลาวถึงประวัติคราว ๆ ของการใชจํานวน การบันทึกจํานวนของ
มนุษยในสมัยเริ่มแรก และใหความรูเกี่ยวกับระบบการเขียนตัวเลขแทนจํานวนในระบบฐานตาง ๆ ซึ่ง
เปนระบบที่ใชหลักและคาประจําหลัก สิ่งที่นาสนใจก็คือเราสามารถใชเลขโดดที่แตกตางกันไมกี่
จํานวนมาเขียนแทนจํานวนที่ตองการไดอยางไมจํากัดจํานวน เชนระบบตัวเลขฐานสิบ ใชเลขโดดสิบตัว
คือ 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 และ 9 เขียนตัวเลขแทนจํานวนนับใด ๆ ก็ไดตามความตองการ
การเปลี่ยนฐานของระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ใชวิธีคํานวณผานระบบตัวเลขฐานสิบ เพราะเปนวิธี
การที่ไมยุงยากเหมือนวิธีอื่นและเหมาะสมกับการเรียนรูในระดับนี้
ผลการเรียนรูที่คาดหวังรายป
1. อานและเขียนตัวเลขโรมันได
2. บอกคาของเลขโดดในตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได
3. เขียนตัวเลขที่กําหนดใหเปนตัวเลขฐานตาง ๆ ได

2. 46
แนวทางในการจัดการเรียนรู
ในการเริ่มบทเรียนนี้ครูควรสนทนาและใหความรูเกี่ยวกับตัวเลขที่ใชแทนจํานวนในสมัยโบราณ
พอสังเขป ไมมีจุดประสงคที่จะประเมินผล
2.1 ระบบตัวเลขโรมัน (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค
นักเรียนสามารถอานและเขียนตัวเลขโรมันได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม –
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. การเขียนตัวเลขโรมันเมื่อใชหลักการลด นักเรียนมักสับสน ครูควรย้ําและชี้ใหเห็นตัวเลข
ที่ใชกับหลักการลดซึ่งใชเฉพาะคูตามที่กําหนดในหนังสือเรียนหนา 61 เทานั้นและครูควรเพิ่มโจทยให
นักเรียนฝกมากพอ
2. วิธีเขียนตัวเลขโรมันแทนจํานวนในระบบตัวเลขฐานสิบ ครูควรย้ําใหนักเรียนเขียนจํานวน
ที่กําหนดใหในรูปกระจายตามหลัก ดังลักษณะคลายกับที่แสดงใหดูในตัวอยางที่ 1 หนา 61 ของ
หนังสือเรียนกอน แลวจึงเขียนตัวเลขโรมันแทนจํานวนนั้นทีละหลักโดยเขียนเรียงตอกัน
3. ในหัวขอนี้ไมเนนการเขียนตัวเลขโรมันที่มีคามาก ๆ และใชสัญลักษณ “ – ” บนสัญลักษณ
พื้นฐาน เชน V , X หรือ M ในบทเรียนเสนอไวเพื่อใหเห็นวา ในยุคนั้นมีตัวเลขที่ใชแทนจํานวนที่
มีคามากเหมือนกันแตก็มีขอจํากัด ทําใหระบบตัวเลขโรมันไมแพรหลาย ครูไมจําเปนตองใหนักเรียนฝก
เขียนตัวเลขที่ใชสัญลักษณนี้และไมควรนํามาประเมินผลดวย
4. ครูอาจใหนักเรียนชวยกันนึกดูวาเคยเห็นตัวเลขโรมันปรากฏอยูที่ใดอีกบาง
5. สําหรับปญหาชวนคิด “กรุงโรมของชาวโรมัน” มีไวเพื่อใหนักเรียนเห็นการใชตัวเลข
โรมันแทนจํานวนที่มีคามากซึ่งตองใชสัญลักษณ V , X หรือ M
2.2 ระบบตัวเลขฐานตาง ๆ (4 ชั่วโมง)
จุดประสงค นักเรียนสามารถ
1. บอกเลขโดดที่ใชในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได
2. บอกคาของเลขโดดในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ที่กําหนดใหได
3. เขียนและอานตัวเลขในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ได

3. 47
4. เปลี่ยนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบเปนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดใหได
5. เปลี่ยนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ เปนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก – 2.2 ค
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ครูควรทบทวนความรูเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานสิบ ไดแก เลขโดด คาประจําหลัก และ
คาของเลขโดด โดยใชอุปกรณแสดงคาประจําหลักและตัวนับ หรือสาธิตการมัดกิ่งไมตามที่นักเรียนเคย
เรียนมาแลวในระดับประถมศึกษา และเมื่อทํากิจกรรมในหนังสือเรียนจบแลว ครูอาจใหนักเรียนทํา
กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก เพื่อใหนักเรียนเห็นการประยุกตใชตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบ
2. การจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ระบบตัวเลขฐานหา ครูควรสาธิตการนับสิ่งของทีละหา
เชน หาชิ้น หามัด หากอง ฯลฯ ซึ่งใชหลักเกณฑเดียวกันกับระบบตัวเลขฐานสิบ
3. ครูอาจแนะนําวาตัวหนังสือแสดงฐานหาที่กํากับไว เชน 213หา นั้นในหนังสือเลมอื่นอาจ
เขียนเปน 2135 การจะเขียนแสดงฐานแบบใดแลวแตครูและนักเรียนจะตกลงกัน
4. การเปลี่ยนตัวเลขในระบบฐานสิบเปนตัวเลขในระบบฐานหาที่นําเสนอในรูปตาราง ใชวิธี
จัดจํานวนลงในชองตามคาประจําหลัก นักเรียนจะหาคําตอบไดงายโดยเขียนคาประจําหลักกํากับไว
เปนตัวเลขในระบบฐานสิบ เชน 54
ในหลักที่หา เขียน (625) กํากับไว เพราะจํานวนในระบบตัวเลข
ฐานสิบจะชวยใหจัดเลขโดดในระบบฐานหาลงในตารางไดเร็วขึ้น
ครูอาจยกตัวอยางการเขียน 748 เปนตัวเลขในระบบฐานหาในหนังสือเรียนหนา 68 และ
อธิบายเพิ่มเติมใหเห็นเปนรูปธรรม โดยใหนักเรียนคิดวาถานําดินสอ 748 แทงมามัดเปนมัด มัดละ 5
แทง และทุกครั้งที่ครบ 5 มัด ใหมัดเปนมัดที่ใหญขึ้นเรื่อย ๆ ในที่นี้จะไดดินสอมัดที่ใหญที่สุดมี 625
แทง รองลงมามีมัดละ 25 แทง มัดละ 5 แทงและเศษอีก 3 แทง
หาจํานวนมัดของดินสอแตละมัดที่มีจํานวนเทา ๆ กันแลวเขียนจํานวนมัดที่ไดในตารางที่
แสดงหลักและคาประจําหลัก ดังนี้
จํานวนดินสอมี 748 แทง
จํานวนดินสอมัดละ 625 แทงมี 1 มัด เขียน 1 ในชองหลักที่หา
[เหลือดินสอ 748 – 625 = 123 แทง]
จํานวนดินสอมัดละ 125 แทงมี 0 มัด เขียน 0 ในชองหลักที่สี่
[เหลือดินสอ 123 แทง]

4. 48
จํานวนดินสอมัดละ 25 แทงมี 4 มัด เขียน 4 ในชองหลักที่สาม
[เหลือดินสอ 123 – (4 × 25) = 23 แทง]
จํานวนดินสอมัดละ 5 แทงมี 4 มัด เขียน 4 ในชองหลักที่สอง
[เหลือดินสอ 23 – (4 × 5) = 3 แทง]
เหลือดินสอที่เปนเศษอีก 3 แทง เขียน 3 ในชองหลักที่หนึ่ง ดังตาราง
หลักที่ หก หา สี่ สาม สอง หนึ่ง
คาประจําหลัก 55
(3125)
54
(625)
53
(125)
52
(25)
51
(5)
1
1
เลขโดด 1 0 4 4 3
จะได 748 = (1 × 625) + ( 0 × 125) + (4 × 25) + (4 × 5) + (3 × 1)
ดังนั้น 748 = 10443หา
เมื่อพิจารณาคําตอบจากรูปการหารที่มีแนวคิดสอดคลองกับการมัดดินสอซึ่งมัดเปนมัดละ 5 แทง
25 แทง 125 แทง และ 625 แทง เชนเดียวกับในตารางดังนี้
แนวคิด
ใหสังเกตวาคําตอบที่หาจากวิธีหารตองเขียนเลขโดดจากผลลัพธสุดทายและเศษของแตละขั้น
ยอนขึ้นไป โดยที่ผลลัพธจํานวนสุดทายคือ 1 มีเศษเปน 0 และมีตัวหารมากที่สุดคือ 5 × 5 × 5 × 5
หรือ 54
ซึ่งเปนคาประจําหลักที่มากที่สุด
การหาคําตอบโดยใชการหารเปนวิธีที่สะดวกและรวดเร็ว แตนักเรียนจะตองจําหลักการเขียน
เรียงเลขโดดเปนคําตอบใหถูกตอง
เศษ 3 [ดินสอมัดละ 5 แทง จํานวน 149 มัด กับเศษ 3 แทง]
เศษ 4 [ดินสอมัดละ 25 แทง หรือ 5 × 5 จํานวน 29 มัด กับเศษอีก
4 มัด มัดละ 5 แทง ]
เศษ 4 [ดินสอมัดละ 125 แทง หรือ 5 × 5× 5 จํานวน 5 มัด กับเศษ
อีก 4 มัด มัดละ 25 แทง]
เศษ 0 [ดินสอมัดละ 625 แทง หรือ 5 × 5 × 5 × 5 จํานวน 1 มัด
เศษ 0]
5 748
5 149
5 29
5 5
1
ดังนั้น 748 = 10443หา

5. 49
5 . การสอนเรื่องระบบตัวเลขฐานสอง ครูอาจดําเนินกิจกรรมเหมือนกับการสอนระบบตัวเลข
ฐานหา และใชกิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ข เพื่อเสริมความเขาใจและไดเห็นการนําระบบตัวเลขฐานสอง
ไปประยุกต เชน สรางเกมทายใจ ซึ่งครูอาจศึกษารายละเอียดของเกมนี้ไดจาก www.ipst.ac.th
6. เพื่อตรวจสอบความเขาใจของนักเรียนเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานตาง ๆ ครูอาจใชคําถามให
นักเรียนสรุปหลักการเขียนตัวเลขแทนจํานวนในระบบตัวเลขฐานอื่น ๆ
7. ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ค เพื่อฝกทักษะการเขียนตัวเลขในระบบตัวเลข
ฐานแปดและฐานสิบสอง ครูควรสังเกตการหาคําตอบของนักเรียนวาใชการคํานวณหรือใชแบบรูป หรือ
ใชความคิดรวบยอดในลักษณะการมัดรวมสิ่งของตามระบบตัวเลขฐานนั้น ๆ
2.3 การเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลข (2 ชั่วโมง)
จุดประสงค
นักเรียนสามารถเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดใหเปนตัวเลขในระบบฐานอื่นได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม –
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน
1. ในหัวขอนี้เสนอใหสอนการเปลี่ยนฐานในระบบตัวเลขฐานที่กําหนดจากฐานหนึ่งไปยังอีก
ฐานหนึ่งโดยคํานวณผานระบบตัวเลขฐานสิบ เพื่อไมใหมีความยุงยากมากเกินไปสําหรับนักเรียน
2. แบบฝกหัด 2.3 ขอ 7 – ขอ 10 ตองการใหหาคําตอบโดยใชความรูสึกเชิงจํานวน ไม
ตองการใหคํานวณจริง ๆ ครูควรถามถึงเหตุผลของคําตอบที่ไดในขอที่ไมตองคํานวณจริง ๆ ดวย

6. 50
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบปญหา
คําตอบแบบฝกหัด 2.1
1.
1) XI 2) XXVIII
3) CXXVI 4) CXL
5) CCCXIX 6) CDL
7) DCCXLIX 8) MCMLXXXIII
9) MMDXXVI 10) MMMDCCCXCI
2.
1) 124 2) 965
3) 211 4) 1,040
5) 2,441 6) 1,993
7) 262 8) 444
9) 545 10) 3,974
3.
1) XV XVI XVII XVIII XIX XX
2) XL XLI XLII XLIII XLIV XLV
XLVI XLVII XLVIII XLIX L
3) CCCXCV CCCXCVI CCCXCVII CCCXCVIII CCCXCIX CD
4) MCCXXXIX MCCXL MCCXLI MCCXLII MCCXLIII MCCXLIV
คําตอบปญหาชวนคิด “กรุงโรมของชาวโรมัน”
1. ค.ศ. ปจจุบัน บวกดวย 752
2. ค.ศ. ปจจุบัน ลบดวย 75
3. 45,000 คน
4. 1,518 ไร
แนวคิด 1 เอเคอรประมาณ 4,046.85 ตารางเมตร
1,600 ตารางเมตร เทากับ 1 ไร
จะได 1 เอเคอรประมาณ 2.53 ไร
ดังนั้น 600 เอเคอรประมาณ 1,518 ไร

7. 51
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ก
1.
1) 5 2) 50
3) 5 4) 5
5) 50 6) 5,000
2.
1) 21 = (2 × 101
) + (1× 1)
2) 336 = (3 × 102
) + (3 × 101
) + (6 × 1)
3) 4073 = (4 × 103
) + (7 × 101
) + (3 × 1)
4) 10180 = (1 × 104
) + (1 × 102
) + (8 × 101
) + (0 × 1)
3.
1) 403
2) 2,070
3) 7,403
4) 50,609
5) 75,700
6) 5,028,070
7) 205,008
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ข
1.
1) 15 2) 75
3) 75 4) 375
2.
1) 6 2) 98
3) 230 4) 450
3.
1) 401หา = (4 × 52
) + (0 × 51
) + (1 × 1)
2) 4432หา = (4 × 53
) + (4 × 52
) + (3 × 51
) + (2 × 1)
3) 20433หา = (2 × 54
) + (4 × 52
) + (3 × 51
) + (3 × 1)
4) 31020หา = (3 × 54
) + (1 × 53
) + (2 × 51
) + (0 × 1)

8. 52
4.
1) 111 2) 399
3) 852 4) 2,540
5.
1) 1044หา 2) 10021หา
3) 11422หา 4) 13413หา
5) 44210หา 6) 114142หา
คําตอบปญหา “รูหรือไม”
1. 5 จํานวน
แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4
2. 20 จํานวน
แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4
เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สองมีได 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 4
จึงสามารถนําเลขโดดมาสรางจํานวนได 4 × 5 = 20 จํานวน
3. 100 จํานวน
แนวคิด เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่หนึ่งมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4
เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สองมีได 5 ตัวคือ 0, 1, 2, 3 และ 4
เลขโดดที่สามารถอยูในหลักที่สามมีได 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 4
จึงสามารถนําเลขโดดมาสรางจํานวนได 4 × 5 × 5 = 100 จํานวน
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ค
1.
1) 4 2) 8
3) 4 4) 32
2.
1) 3 2) 4
3) 8 4) 24

9. 53
3.
1) 1101สอง = (1 × 23
) + (1 × 22
) + (0 × 21
) + (1 × 1)
2) 10110สอง = (1 × 24
) + (0 × 23
) + (1 × 22
) + (1 × 21
) + (0 × 1)
3) 101001สอง = (1 × 25
) + (1 × 23
) + (1 × 1)
4) 110000สอง = (1 × 25
) + (1 × 24
) + (0 × 23
) + (0 × 22
) + (0 × 21
) + (0 × 1)
4.
1) 11 2) 17
3) 24 4) 46
5.
1) 10011สอง 2) 100100สอง
3) 1000110สอง 4) 10010110สอง
5) 11010110สอง 6) 100101100สอง
6. ใชเปนรหัสในเครื่องคอมพิวเตอรและเครื่องมือเครื่องใชในระบบดิจิตอล
คําตอบปญหา “คิด”
นพถึงโรงเรียนเวลา 8.05 นาฬิกา
แนวคิด นพตื่นนอนเวลา 7 นาฬิกา
ใชเวลาอาบน้ําและแตงตัว 30 นาที
ใชเวลารับประทานอาหาร 20 นาที
ใชเวลาเดินทางไปถึงโรงเรียน 15 นาที
ใชเวลารวม 65 นาที
นพถึงโรงเรียนเวลา 8.05 นาฬิกา
คําตอบแบบฝกหัด 2.2 ง
1.
1) A = 10 , B = 11 × 123
2) A = 10 × 124
, B = 11 × 122
3) A = 10 × 124
, B = 11 × 123
4) A = 10 × 123
, B = 11 × 124
2. 205,776
3.
1) B3Aสิบสอง = (B × 122
) + (3 × 121
) + (A × 1)
2) AA97สิบสอง = (A × 123
) + (A × 122
) + (9 × 121
) + (7 × 1)

10. 54
3) 9A0B8สิบสอง = (9 × 124
) + (A × 123
) + (0 × 122
) + (B × 121
) + (8 × 1)
4) 5A3B20สิบสอง = (5 × 125
) + (A × 124
) + (3 × 123
) + (B × 122
) + (2 × 121
) + (0 × 1)
4.
1) 743 2) 13,632
3) 209,081 4) 228,226
5.
1) 699สิบสอง 2) 10B5สิบสอง
3) 3A2Bสิบสอง 4) BA00สิบสอง
6. การนับสินคาหรือสิ่งของที่มีหนวยเปนโหลและกุรุส
ตัวอยาง กระดุม 12 เม็ดเทากับ 1 โหล
กระดุม 12 โหลเทากับ 1 กุรุส
คําตอบแบบฝกหัด 2.3
1.
1) 102หา 2) 211440หา
3) 22242หา 4) 23330หา
2.
1) 41สิบสอง 2) 190Bสิบสอง
3) 9686สิบสอง 4) 3926Aสิบสอง
3. สามตัว ไดแก 0, 1 และ 2
4. แปดตัว ไดแก 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 และ 7
5.
1) 1122สาม = (1 × 33
) + (1 × 32
) + (2 × 31
) + (2 × 1)
2) 2100สาม = (2 × 33
) + (1 × 32
) + (0 × 31
) + (0 × 1)
3) 7504แปด = (7 × 83
) + (5 × 82
) + (0 × 81
) + (4 × 1)
4) 16520แปด = (1 × 84
) + (6 × 83
) + (5 × 82
) + (2 × 81
) + (0 × 1)
6. 42207แปด
7.
1) = 2) <
3) > 4) <
8. นายมั่นอายุมากกวานายบุญ 16 ป

11. 55
9. 247810เกา , 247810สิบเอ็ด , 247810สิบสอง
10. 4 ที่อยูใน 2438สิบสอง มีคามากที่สุด
คําตอบปญหา “จํานวนอะไรเอย”
จํานวนที่ตองการคือ 639
แนวคิด อาจใชการวิเคราะหดังนี้
เนื่องจากเลขโดดในหลักรอยเปน 2 เทาของเลขโดดในหลักสิบและมีคา
มากกวา 500
ดังนั้น เลขโดดในหลักรอยตองเปนจํานวนคู คือ 6 หรือ 8 และเลขโดดใน
หลักสิบเปน 3 หรือ 4
เนื่องจากเลขโดดในหลักหนวยเปนสามเทาของเลขโดดในหลักสิบ ถาเลขโดดในหลักสิบเปน
4 แลว 3 × 4 = 12 ซึ่งไมเปนเลขโดด
ดังนั้น เลขโดดในหลักสิบตองเปน 3 และเลขโดดในหลักหนวยตองเปน 3 × 3 = 9
นั่นคือ 639 เปนจํานวนที่ตองการ

12. 56
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ

13. 57
กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ก
ถอดรหัส
กิจกรรมนี้ตองการใหเห็นการนําความรูคณิตศาสตรไปประยุกตเปนเกมและเชื่อมโยงกับ
ภาษาอังกฤษ
สื่ออุปกรณ ใบกิจกรรม “ถอดรหัส”
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูนําสนทนาในเรื่องการสื่อสาร สื่อความหมายของมนุษยที่ใชภาษาแตกตางกันและการสื่อสาร
โดยใชสื่ออื่น ๆ เชน รหัสมือ รหัสธง เครื่องหมายจราจร ฯลฯ รหัสตาง ๆ ที่ตกลงใชอาจใชเฉพาะกลุม
หรือใชในระดับสากลที่ผูรับและผูสงจะเขาใจกัน
2. ครูแจกใบกิจกรรม “ถอดรหัส” ใหนักเรียนศึกษาและปฏิบัติกิจกรรม ใหครูสังเกตดูวา
นักเรียนสามารถถอดรหัสตัวเลขในกิจกรรมขอ 1 ไดหรือไม ถาไมไดใหครูชี้แนะ
3. ครูสุมตัวแทนนักเรียนออกมาอธิบายถึงการสรางรหัส A1 และรหัส A3
4. ใหนักเรียนนําเสนอคําตอบของกิจกรรมขอ 3
5. ในการทํากิจกรรมขอ 4 ของนักเรียน ครูอาจใหนักเรียนจับคูกันระหวางนักเรียนที่นั่ง
ขางหนากับขางหลัง และคอยสังเกตวาการสงขอความที่แทนดวยรหัสตัวเลขของนักเรียนนั้นมีการ
กําหนด คําไข ไวที่ใดที่หนึ่งในกระดาษที่สงรหัส เพื่อใหเพื่อนทราบวารหัสตัวเลขนั้นสรางจากรหัสใด
เชน A7 หรือ 7 หรือไม เพื่อใหเห็นความจําเปนของการนําเสนอขอมูลอยางครบถวน ครูอาจใชคําถาม
ชี้นําวาถาไมกําหนด คําไข ไปให เพื่อนจะถอดรหัสไดหรือไม
6. ครูอาจสุมตัวแทนนักเรียนออกมานําเสนอขอความที่ตัวเองสงไปใหเพื่อนและขอความที่ได
รับจากเพื่อน

14. 58
ใบกิจกรรม
ถอดรหัส
ใหนักเรียนทํากิจกรรมตอไปนี้
1. ใหนักเรียนศึกษารหัส A1 และรหัส A3 ขางลางนี้และลองคาดเดาดูวาจะตองถอดขอความ
จากตัวเลขเปนตัวอักษรไดอยางไร จึงจะไดขอความของรหัส A1 และรหัส A3 เปนขอความเดียวกัน
รหัส A1
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
รหัสที่สง 25 15 21 1 18 5 22 5 18 25 11 9 14 4
ถอดรหัสลับนี้ไดขอความ ……………………………………………………………………………
รหัส A3
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2
รหัสที่สง 1 17 23 3 20 7 24 7 20 1 13 11 16 6
ถอดรหัสลับนี้ไดขอความ ……………………………………………………………………………
2. รหัส A1 และรหัส A3 มีสวนตางกันอยางไรบาง จงอธิบาย
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
3. ใหนักเรียนสรางรหัส A5 และเขียนรหัสตัวเลขเพื่อแทนขอความ
“I CAN NOT MEET YOU. I HAVE GOT A SORE THROAT.”

15. 59
4. ใหนักเรียนสงรหัสตัวเลขแทนขอความที่ตองการใหเพื่อนในชั้นเรียน 1 คน พรอมรอรับ
คําตอบดวย ใหจดบันทึกขอความที่สงและที่ไดรับในชองวางขางลางนี้
ขอความที่สง ……………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
ขอความที่ไดรับ …………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………….

16. 60
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ “ถอดรหัส”
1. YOU ARE VERY KIND
2. รหัส A1 จะกําหนดตัวเลข 1 แทน A และจับคูตัวอักษรกับตัวเลขเปนคู ๆ ตามลําดับจนถึง 26
ซึ่งจับคูกับ Z
รหัส A3 จะกําหนดตัวเลข 3 แทน A และจับคูตัวอักษรกับตัวเลขเปนคู ๆ ตามลําดับจนถึง 26
ซึ่งจับคูกับ X แลวกลับมาใช 1 จับคูกับ y และ 2 จับคูกับ z
3.
รหัส A5
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 1 2 3 4
เมื่อสงเปนรหัสจะไดขอความดังนี้
13 7 5 18 18 19 24 17 9 9 24 3 19 25
13 12 5 26 9 11 19 24 5 23 19 22 9 24 12 22 19 5 24

17. 61
กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ข
ทายวันเกิด
กิจกรรมนี้ตองการใหนักเรียนไดเห็นตัวอยางการนําความรูเกี่ยวกับระบบตัวเลขฐานสองมาใช
สรางเกม ไดพัฒนาความรูสึกเชิงจํานวนและความคิดริเริ่มสรางสรรค
สื่ออุปกรณ บัตรสําหรับทายวันเกิด 3 บัตร
แนวการจัดกิจกรรม
1. ครูสรางบัตรทายวันเกิดโดยกําหนดหมายเลข 1 ถึง 7 แทนวันในหนึ่งสัปดาห โดยให
หมายเลข
1 แทนวันอาทิตย 2 แทนวันจันทร
3 แทนวันอังคาร 4 แทนวันพุธ
5 แทนวันพฤหัสบดี 6 แทนวันศุกร
7 แทนวันเสาร
เพื่อเปนขอมูลในการทายวันเกิดใหครูเขียนคาประจําหลักของเลขฐานสองหลังบัตรทั้งสาม
ไวกอนดังนี้
บัตรที่ 1 เขียน 1 แทนคาประจําหลักที่หนึ่ง
บัตรที่ 2 เขียน 2 แทนคาประจําหลักที่สอง
บัตรที่ 3 เขียน 4 แทนคาประจําหลักที่สาม
2. ครูบอกขอตกลงและเงื่อนไขในการทายวันเกิดแลวชูบัตรทั้งสามใหนักเรียนสังเกตวาแตละ
บัตรจะมีหมายเลขกําหนดไวตางกัน ดังนี้
1 3
5 7
2 3
6 7
4 5
6 7
บัตรที่ 1 บัตรที่ 2 บัตรที่ 3

18. 62
3. ครูสาธิตการทายวันเกิดนักเรียน 1 คน โดยทํากิจกรรมตามลําดับดังนี้
1) ครูชูบัตรที่ 1 ถึงบัตรที่ 3 ทีละหนึ่งใบ ใหนักเรียนบอกวามีหมายเลขที่แทนวันเกิด
ของนักเรียนอยูในบัตรใดบาง
2) ครูทายวันเกิดของนักเรียน โดยพิจารณาจากผลบวกของจํานวนที่อยูหลังบัตร
ตัวอยาง สมมติวานักเรียนเกิดวันพฤหัสบดี ซึ่งตรงกับหมายเลข 5
ขั้นที่ 1 ครูชูบัตรที่ 1 ใหนักเรียนดู
นักเรียนตอบวา “มี”
ขั้นที่ 2 ครูชูบัตรที่ 2 ใหนักเรียนดู
นักเรียนตอบวา “ไมมี”
ขั้นที่ 3 ครูชูบัตรที่ 3 ใหนักเรียนดู
นักเรียนตอบวา “มี”
ครูทายวันเกิดของนักเรียนไดโดยหาผลบวกของคาประจําหลักที่แอบจดบันทึกไวขางหลังบัตร
เฉพาะบัตรที่นักเรียนตอบวา “มี”
จากตัวอยางจะไดเทากับ 1 + 4 = 5 (จากบัตรที่ 1 และบัตรที่ 3)
ครูทายไดวานักเรียนคนนั้นเกิดวันพฤหัสบดี
4. ครูควรทายวันเกิดนักเรียนคนอื่นๆ อีก 3 – 4 คน เพื่อดูวามีนักเรียนคนใดสังเกตและคน
พบวิธีการหาคําตอบไดบาง ถาไมมีใหครูเฉลย
5. ครูอาจใหนักเรียนลองทายวันเกิดของเพื่อนๆ ดูบางหรือครูใชคําถามเพื่อตรวจสอบความเขาใจ
ดังนี้
1) ถานักเรียนทายวันเกิดเพื่อนและเพื่อนตอบวาวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 1 และบัตรที่ 2
นักเรียนคนนั้นเกิดวันอะไร
2) ถาเพื่อนตอบวามีวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 3 ใบเดียว เพื่อนคนนี้เกิดวันอะไร
6. ครูแบงกลุมนักเรียนเปนกลุมละ 3 – 4 คน ใหชวยกันศึกษาวิธีการสรางบัตรทายวันเกิด
ของครูและนําเสนอหนาชั้นเรียนแลวใหชวยกันสรุปใหไดคําตอบดังตอไปนี้
ตัวเลขฐานสิบ 1 2 3 4 5 6 7
ตัวเลขฐานสอง 01 10 11 100 101 110 111

19. 63
บัตรที่ 1 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 1 ไดแก 01, 11, 101
และ 111 จึงเขียน 1, 3, 5 และ 7 ลงในบัตร
บัตรที่ 2 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 2 ไดแก 10, 11, 110
และ 111 จึงเขียน 2, 3, 6 และ 7 ลงในบัตร
บัตรที่ 3 เขียนตัวเลขฐานสิบที่ตรงกับตัวเลขฐานสองซึ่งมี 1 อยูในหลักที่ 3 ไดแก 100, 101, 110
และ 111 จึงเขียน 4, 5, 6 และ 7 ลงในบัตร
7. ครูยกตัวอยางเพื่ออธิบายใหนักเรียนทราบวา จากวิธีทําบัตรดังกลาวและคําตอบที่บอกวา
จํานวนที่ตองการทายนั้นอยูในบัตรใดบาง จะทําใหเราสามารถหาตัวเลขฐานสองที่แทนจํานวนที่ตองการ
ทายนั้นได และเมื่อเปลี่ยนตัวเลขฐานสองนั้นเปนตัวเลขฐานสิบก็จะไดคําตอบที่ตองการ ดังตัวอยาง
ถานักเรียนบอกวาวันเกิดของเขาอยูในบัตรที่ 1 และบัตรที่ 3 แสดงวาตัวเลขฐานสองที่จะ
เปนคําตอบที่ตองการนั้นมีตัวเลข 1 อยูในหลักที่ 1 และหลักที่ 3 สวนหลักที่สองเปน 0 ในที่นี้จะได
ตัวเลขฐานสองเปน 101 และเมื่อเปลี่ยนเปนตัวเลขฐานสิบจะได
101 = 1(22
) + (0 × 21
) + (1×1)
= 4 + 0 + 1
= 5
ดังนั้นวันเกิดของนักเรียนคนนี้จึงเปนวันพฤหัสบดี
8. ครูอาจใหนักเรียนชวยกันสรางบัตรทายจํานวน 1 ถึง 15 หรือสรางบัตรทายวันที่เกิด หรือ
สรางบัตรทายดาราที่นักเรียนชื่นชอบเปนงานกลุมนอกเวลา และใหนําเสนอผลงานบนปายนิเทศ
อาจแนะนําใหไปใชทายเลนกับเพื่อนๆ หรือนองๆ

20. 64
กิจกรรมเสนอแนะ 2.2 ค
จํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดและฐานสิบสอง
กิจกรรมนี้ตองการเสริมความเขาใจเกี่ยวกับการเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานตาง ๆ
1. จงเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดเรียงตามลําดับจาก 0แปด ถึง 310แปด
2. จงเขียนจํานวนในระบบตัวเลขฐานสิบสอง เรียงตามลําดับจาก 0สิบสอง ถึง 148สิบสอง
3. การหาคําตอบในขอ 1 และขอ 2 ขางตน นักเรียนมีวิธีหาจํานวนเหลานั้นอยางไรจึงจะสะดวกและ
รวดเร็ว
คําตอบกิจกรรม “จํานวนในระบบตัวเลขฐานแปดและฐานสิบสอง”
1. เขียนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานแปดแทนจํานวน 08 ถึง 3108 เรียงลําดับไดดังนี้
(เขียนตัวเลขแถวละแปดจํานวน)
08 18 28 38 48 58 68 78
108 118 128 138 148 158 168 178
208 218 228 238 248 258 268 278
308 318 328 338 348 358 368 378
408 418 428 438 448 458 468 478
508 518 528 538 548 558 568 578
608 618 628 638 648 658 668 678
708 718 728 738 748 758 768 778
1008 1018 1028 1038 1048 1058 1068 1078
1108 1118 1128 1138 1148 1158 1168 1178

21. 65
1208 1218 1228 1238 1248 1258 1268 1278
1308 1318 1328 1338 1348 1358 136 1378
1408 1418 1428 1438 1448 1458 1468 1478
1508 1518 1528 1538 1548 1558 1568 1578
1608 1618 1628 1638 1648 1658 1668 1678
1708 1718 1728 1738 1748 1758 1768 1778
2008 2018 2028 2038 2048 2058 2068 2078
2108 2118 2128 2138 2148 2158 2168 2178
2208 2218 2228 2238 2248 2258 2268 2278
2308 2318 2328 2338 2348 2358 2368 2378
2408 2418 2428 2438 2448 2458 2468 2478
2508 2518 2528 2538 2548 2558 2568 2578
2608 2618 2628 2638 2648 2658 2668 2678
2708 2718 2728 2738 2748 2758 2768 2778
3008 3018 3028 3038 3048 3058 3068 3078
3108
2. เขียนตัวเลขในระบบตัวเลขฐานสิบสองแทนจํานวน 012 ถึง 14812 เรียงลําดับไดดังนี้
(เขียนตัวเลขแถวละสิบสองจํานวน)
012 112 212 312 412 512 612 712 812 912 A12 B12
1012 1112 1212 1312 1412 1512 1612 1712 1812 1912 1A12 1B12
2012 2112 2212 2312 2412 2512 2612 2712 2812 2912 2A12 2B12
3012 3112 3212 3312 3412 3512 3612 3712 3812 3912 3A12 3B12
4012 4112 4212 4312 4412 4512 4612 4712 4812 4912 4A12 4B12

22. 66
5012 5112 5212 5312 5412 5512 5612 5712 5812 5912 5A12 5B12
6012 6112 6212 6312 6412 6512 6612 6712 6812 6912 6A12 6B12
7112 7112 7212 7312 7412 7512 7612 7712 7812 7912 7A12 7B12
8012 8112 8212 8312 8412 8512 8612 8712 8812 8912 8A12 8B12
9012 9112 9212 9312 9412 9512 9612 9712 9812 9912 9A12 9B12
A012 A112 A212 A312 A412 A512 A612 A712 A812 A912 AA12 AB12
B012 B112 B212 B312 B412 B512 B612 B712 B812 B912 BA12 BB12
10012 10112 10212 10312 10412 10512 10612 10712 10812 10912 10A12 10B12
11012 11112 11212 11312 11412 11512 11612 11712 11812 11912 11A12 11B12
12012 12112 12212 12312 12412 12512 12612 12712 12812 12912 12A12 12B12
13012 13112 13212 13312 13412 13512 13612 13712 13812 13912 13A12 13B12
14012 14112 14212 14312 14412 14512 14612 14712 14812
3. นักเรียนอาจมีวิธีเขียน เชน
1) เขียนจํานวนเหลานั้นโดยอาศัยความคิดรวบยอดในลักษณะเลียนแบบการมัดรวมสิ่งของใน
ระบบตัวเลขฐานหาตามหนังสือเรียน
2) เขียนจํานวนนั้นโดยอาศัยแบบรูป ดังตัวอยางคําตอบขางตนที่เขียนตัวเลขแถวละแปด
จํานวนและสิบสองจํานวนตามลําดับ