พื้นฐาน Calculus2

1. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 14
การหาคาสูงสุด ต่ําสุด สัมพัทธ
นิยาม ถา = ( ) และ ′
( 2) = 0 , ′
( 3) = 0
แลวเรียกคา , วา คาวิกฤต
และเรียก จุด , ( ) , , ( ) วา จุดวิกฤต
นิยาม ให = ( ) มี ′
( 2) = 0
แลวจุด ( , )เปนจุดวิกฤต
ถา ( ) < 0 แลวเรียกจุด ( , ) วา จุดสูงสุดสัมพัทธ
ถา ′′
( 3) > 0 แลวเรียกจุด 3, 3
วา จุดต่ําสุดสัมพัทธ
ถา ( 1) < ( 2) เรียกจุด 1, 1
วา จุดต่ําสุดสัมพัทธ
ถา ′′
( 1) < 0 แลวเรียกจุด 1, 1
วา จุดสูงสุดสัมพัทธ
21 จงหาคาวิกฤต จุดสูงสุดและจุดต่ําสุดของฟงกชั่น
= ( ) = 2 − 3 − 36 + 40
วิธีทํา จาก = 2 3
− 3 2
− 36 + 40
∴ = 6 − 6 − 36 และ = 12 − 6
ที่จุดวกกลับจะมี ′
( ) = 0 หรือ ′
= 0
∴ 6 − 6 − 36 = 0 ∴ − − 6 = 0
∴ ( − 3)( + 2) = 0 ∴ = −2 , 3
∴ คาวิกฤตคือ = −2 , 3 .
ถา = −2 ,
= 2(−2) − 3(−2) − 36(−2) + 40 = 84
ถา = 3 ,
= 2(3) − 3(3) − 36(3) + 40 = −41
∴ จุดวิกฤตคือ จุด (−2,84), (3, −41)
∴ ที่จุดวิกฤต (−2,84)
มี = 12(−2) − 6 = −30
∴ ที่จุดวิกฤต (−2,84) เปนจุดสูงสุดสัมพัทธ
เพราะมี < 0 .
∴ ที่จุดวิกฤต (3,−41) มี = 12(3) − 6 = 30
∴ ที่จุดวิกฤต (3,−41) เปนจุดต่ําสุดสัมพัทธ
เพราะมี > 0 .
21. จงหาคาวิกฤติ จุดสูงสุดและจุดต่ําสุดของฟงกชั่น
= ( ) = − 6 + 9 − 3
y'=0
y'=0
x4x3x2x1
ค่าวิกฤต ค่าวิกฤต
จุดวิกฤต
จุดวิกฤต
จุดตํ าสุดส ัมพ ั ทธ์
จุดสูงสุดส ั มพ ั ทธ์
จุดสูงสุดส ัมบูรณ์
จุดตํ าสุดส ัมบูรณ์

2. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 15
22 ถา = ( ) = + 3 − 9 + 7
จงหาคา ที่ทําใหเกิดฟงกชั่นลด
วิธีทํา จาก = 3
+ 3 2
− 9 + 7
∴ = ( + 3 − 9 + 7)
∴ = 3 + 6 − 9
( )จะเปนฟงกชั่นลดก็ตอเมื่อมี ( ) < 0 หรือ < 0
∴ < 0 แสดงวา 3 + 6 − 9 < 0
∴ + 2 − 3 < 0
∴ ( − 1)( + 3) < 0 ∴ −3 < < 1
( )จะเปนฟงกชั่นลดก็ตอเมื่อมี − 3 < < 1 .
23 ถา = ( ) = 2 − 9 − 60 + 1
จงหาคา ที่ทําใหเกิดฟงกชั่นเพิ่ม
วิธีทํา จาก = 2 3
− 9 2
− 60 + 1
∴ = (2 − 9 − 60 + 1)
∴ = 6 − 18 − 60
( )จะเปนฟงกชั่นเพิ่มก็ตอเมื่อมี ( ) > 0 หรือ > 0
∴ > 0 แสดงวา 6 − 18 − 60 > 0
∴ + 3 − 10 > 0
∴ ( + 5)( − 2) > 0 ∴ < −5 ⋁ > 2
( )จะเปนฟงกชั่นเพิ่มก็ตอเมื่อมี < −5 ⋁ > 2 .
22. ถา = ( ) = 2 + 5 − 4 + 2
จงหาคา ที่ทําใหเกิดฟงกชั่นลด
23. ถา = ( ) = 2 + 3 − 72 + 1
จงหาคา ที่ทําใหเกิดฟงกชั่นเพิ่ม

3. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 16
24 กําหนดให วัตถุเคลื่อนที่ตามแนวเสนตรงดวยสมการ
= − 9 + 24 + 10
โดย ระยะทางมีหนวยเปน เมตร และ เวลามีหนวยเปน นาที จงหา
(1) จุดเริ่มตนอยูหางจากจุดเริ่มวัดกี่เมตร
(2) ขณะนาทีที่เทาไรวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่
และวัตถุอยูหางจากจุดเริ่มตนเทาไร
(3) ขณะวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่มีความเรงเทาไร
(4) ขณะที่วัตถุมีความเรง 18 เมตรตอ(นาที)
วัตถุจะมีความเร็วเทาไร
(5) ขณะอยูหางนาทีที่ 7 วัตถุจากจุดเริ่มตนกี่เมตร
(6) ภายใน 7 นาทีแรกนี้วัตถุเคลื่อนที่ไดทางทั้งหมดกี่เมตร
วีธีทํา จาก = 3
− 9 2
+ 24 + 10
(1) ถา = 0 แลว = 10
แสดงวา จุดเริ่มตนอยูหางจากจุดเริ่มวัด 10 เมตร .
(2) ขณะที่วัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ จะมี = 0
จาก = 3
− 9 2
+ 24 + 10
∵ = 3 − 18 + 24
= 0 ∴ 3 − 18 + 24 = 0
− 6 + 8 = 0 ∴ ( − 4)( − 2) = 0
∴ = 2 , 4
วัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ขณะนาทีที่2 และนาทีที่ 4 .
= 2 จะมี
= 2 − 9(2) + 24(2) + 10 = 30 เมตร
จะอยูหางจากจุดเริ่มตน = 30 − 10 = 20 เมตร .
= 4 จะมี
= 4 − 9(4) + 24(4) + 10 = 26 เมตร
จะอยูหางจากจุดเริ่มตน = 26 − 10 = 6 เมตร .
(3) ขณะวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่มีความเรงดังนี้
∵ = 3 − 18 + 24
∴ = 6 − 18
= 2 จะมี
= 6(2) − 18 = −6 เมตร ตอ (นาที) .
= 4 จะมี
= 6(4) − 18 = 6 เมตร ตอ(นาที) .
(4) ขณะที่วัตถุมีความเรง 18 เมตร / (นาที)2
∵ = 6 − 18 ∴ 18 = 6 − 18 ∴ = 6
จาก = 3 − 18 + 24
ถา = 6 จะไดวา = 3(6)2
− 18(6) + 24
= 24 เมตร ตอ นาที .
(5) ขณะนาทีที่ 7 วัตถุอยูหางจากจุดเริ่มตนกี่เมตร
จาก = − 9 + 24 + 10
จุดเริ่มตน = 0, ∴ = 10
= 7 , = 7 − 9(7) + 24(7) + 10 = 80
ดังนั้นขณะนาทีที่ 7 วัตถุอยูหางจากจุดเริ่มตน
= 80 − 10 = 70 เมตร .
(6) ภายใน 7 นาทีแรกนี้วัตถุเคลื่อนที่ไดทางทั้งหมดกี่เมตร
จุดเริ่มตน = 0, = 10
จุดเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ครั้งแรกที่ นาทีที่ 2
= 2 , = 2 − 9(2) + 24(2) + 10 = 30
จุดเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ครั้งที่ 2 ที่นาทีที่ 4
= 4 , = 4 − 9(4) + 24(4) + 10 = 26
จุดสุดทาย = 7 ,
∴ = 7 − 9(7) + 24(7) + 10 = 80
ในเวลา 7 นาที วัตถุจะเคลื่อนไดทางทั้งหมดเทากับ
= (30 − 10) + (30 − 26) + (80 − 26) = 78 .
t=7,s=80
จุดวกกล ับคร ั งที 2
t=4,s=26,v=0
จุดวกกลับครั งที 1
t=2,s=30,v=0t=0,s=10
5426
426
2010
DC
C B
BA
จุดเริมต้น
จุดเริมวัด

4. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 17
24. ให วัตถุเคลื่อนที่ในแนวเสนตรงดวยสมการ
= 2 − 21 + 60 + 4
โดย ระยะทางมีหนวยเปน เมตร และ เวลามีหนวยเปน นาที จงหา
(1) จุดเริ่มตนอยูหางจากจุดเริ่มวัดกี่เมตร
(2) ขณะนาทีที่เทาไรวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่
และวัตถุอยูหางจากจุดเริ่มตนเทาไร
(3)ขณะวัตถุเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่มีความเรงเทาไร
(4)ขณะที่วัตถุมีความเรง 6 เมตรตอ(นาที) จะมีความเร็วเทาไร
(5) ขณะอยูหางนาทีที่ 6 วัตถุจากจุดเริ่มตนกี่เมตร
(6) ภายใน 6 นาทีแรกนี้วัตถุเคลื่อนที่ไดทางทั้งหมดกี่เมตร

5. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 18
25 กําหนดให วัตถุเคลื่อนที่ดวยสมการ
= 4 − 3 + 4 เมตร จงหา
(1) ความเร็วเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 3 ถึง นาทีที่5
(2) ความเร็วขณะนาทีที่ 10
(3) ความเรงเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 2 ถึงนาทีที่ 4
(4) ความเรงขณะนาทีที่ 3
(5) ภายในเวลา 2 นาที วัตถุจะเคลื่อนที่ไดทางเทาไร
วิธีทํา จาก = 4 3
− 3 + 4 เมตร
∵ = = ( 4 − 3 + 4 ) = 12 − 3
∵ = = ( 12 − 3 ) = 24
(1) ความเร็วเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 3 ถึง นาทีที่5
จาก = 4 − 3 + 4
เมื่อ = 3 จะมี = 4(3) − 3(3) + 4 = 103
เมื่อ = 5 จะมี = 4(5) − 3(5) + 4 = 489
∴
∆
∆
= = = 193 เมตร/นาที .
(2) ความเร็วขณะนาทีที่ 10 ∵ = 12 − 3
เมื่อ = 10 , 10 = 12(10)2
− 3 = 1197 เมตร/นาที .
(3) ความเรงเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 2 ถึงนาทีที่ 4
∵ = 12 − 3
เมื่อ = 2 จะมี = 12(2) − 3 = 45
เมื่อ = 4 จะมี = 12(4) − 3 = 189
∴
∆
∆
=
−
4 − 2
=
189 − 45
2
= 72 เมตร/(นาที) .
(4) ความเรงขณะนาทีที่ 3 จาก = 24
เมื่อ = 3 จะมี 3 = 24(3) = 72 เมตร/(นาที)2
.
(5) ภายในเวลา 2 นาที วัตถุจะเคลื่อนที่ไดทางเทาไร
จาก = 12 − 3 มีจุดวกกลับ ณ จุด = 0
ถา = 0 ∴ 12 − 3 = 0 ∴ = ±
1
2
จาก = 4 − 3 + 4
เมื่อ = 0 จะมี = 4(0) − 3(0) + 4 = 4
เมื่อ =
1
2
จะมี = 4(
1
2
) − 3(
1
2
) + 4 = 3
เมื่อ = 2 จะมี = 4(2) − 3(2) + 4 = 30
วัตถุจะเคลื่อนที่จาก = 0 ถึง =
1
2
ไดทาง |3 − 4| = 1
วัตถุจะเคลื่อนที่จาก =
1
2
ถึง = 2ไดทาง |30 − 3| = 27
วัตถุจะเคลื่อนที่จาก = 0 ถึง = 2
∴ ไดทาง = 1 + 27 = 28 เมตร .
25. ให วัตถุเคลื่อนที่ในแนวเสนตรงดวยสมการ
= − 12 + 45 + 5 จงหา
(1) ความเร็วเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 2 ถึง นาทีที่6
(2) ความเร็วขณะนาทีที่ 4
(3) ความเรงเฉลี่ยในชวงนาทีที่ 1 ถึงนาทีที่ 3
(4) ความเรงขณะนาทีที่ 4
(5) ภายในเวลา 6 นาที วัตถุจะเคลื่อนที่ไดทางเทาไร

6. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 19
26 พอคาน้ําตาลซื้อน้ําตาลมากิโลกรัมละ 10 บาท แลวขายไป
กิโลกรัมละ 16 บาท ใน 1 เดือนเขาจะขายได 500 กิโลกรัม
ถาเขาเพิ่มราคาขายอีกกิโลกรัมละ บาทเขาจะขายไดลดลง
เดือนละ 20 กิโลกรัม ในเวลา 1 เดือน
เขาควรตั้งราคาไวเทาไรจึงจะไดกําไรมากที่สุด ไดกําไรมากสุดกี่บาท
และจะไดกําไรมากกวาปกติเทาไร
วิธีทํา
ให เปนกําไร = (กําไร ใน 1 ก. ก. )(จํานวน ก. ก. ที่ขาย)
ปกติ จะไดกําไร = (16 − 10)(500) = 3000 บาท
ราคาใหม จะไดกําไร = (16 + − 10)(500 − 20 )
ดังนั้น = (6 + )(500 − 20 )
= 3000 + 380 − 20
∴ = 380 − 40 และ มีคามากสุดเมื่อ = 0
เมื่อ ′
= 0 ∴ 380 − 40 = 0 ∴ = 9.50
เขาควรตั้งราคาไวกิโลกรัมละ 16 + 9.50 = 25.50 บาท .
ไดกําไรมากสุด = (6 + 9.50)[500 − 20(9.5)]
∴ เขาจะไดกําไร มากสุด = 4805 บาท .
ไดกําไรมากกวาปกติ = 4805 − 3000 = 1805 บาท .
27 รานขายไอศกรีมแหงหนึ่ง ปกติมี 100 ที่นั่งมีกําไรสัปดาหละ
80 บาทตอที่นั่ง ถาจัดที่นั่งเกิน 100 ที่นั่งตองเสียคาใชจายเพิ่มขึ้น
ทําใหกําไรลดลง 40 สตางคคูณดวยจํานวนที่นั่งที่เกิน 100 ที่นั่ง
เจาของรานจะตองเพิ่มที่นั่งอีกกี่ที่นั่งจึงจะทํากําไรไดมากสุด
จะไดกําไรมากสุดเทาไรและ กําไรจะเพิ่มขึ้นจากปกติเทาไร
วิธีทํา ให เปนกําไร เปนจํานวนที่เพิ่มขึ้นจากเดิม 100 ที่นั่ง
∴ = (100 + )(80 − 0.4 ) = 8000 + 40 − 0.4
∴ = 40 − 0.8 กําไรมากสุดเมื่อ = 0
ถา = 0 ∴ 40 − 0.8 = 0 ได = 50 .
ปกติจะกําไร = (100)(80) = 8000 บาท ตอสัปดาห
จัดใหมจะกําไรมากสุดคือ
= (100 + 50)[80 − 0.4(50)]
จัดใหมจะกําไรมากสุดคือ = 9000 บาทตอสัปดาห .
กําไรเพิ่มขึ้น = 9000 − 8000
= 1000 บาทตอสัปดาห .
26. พอคาซื้อผลไมมากิโลกรัมละ 60 บาท แลวขายไปกิโลกรัมละ
90 บาท ใน 1 เดือนเขาจะขายได 800 กิโลกรัม
ถาเขาเพิ่มราคาขายอีกกิโลกรัมละ บาท จะขายของไดลดลง
เดือนละ 10 กิโลกรัม เขาควรตั้งราคาไวเทาไรจึงจะไดกําไรมากที่สุด
ไดกําไรมากสุดกี่บาทและจะไดกําไรมากกวาปกติเทาไร
27. บริษัทคาขาว ดาวเรือง ปกติจะขายขาวได 400 ตันตอเดือน
มีกําไร 5000 บาทตอตันแตถาขายเกิน 400 ตันตอเดือน
กําไรจะลดลง 10 คูณจํานวนตันที่เกิน 400 ตัน เพราะจะมี
คาใชจายที่เพิ่มขึ้นมาก เจาของบริษัทจะตองขายขาวกี่ตัน
ถึงจะมีกําไรมากสุดและกําไรเทาไร

7. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 20
28 บริษัทนําเที่ยว ทราบวาถาเก็บคาบริการคนละ 400 บาท
รถที่นั่ง 30 ที่จะเต็มพอดี แตถาเก็บเพิ่มชึ้นทุก 5 บาท
ที่นั่งจะวางเพิ่มขึ้น 1 ที่ ถาคาใชจายในการนําเที่ยว เทากับ
1500 บาท บวก 300 คูณจํานวนคน
จงหาวาเขาควรเก็บคาบริการคนละเทาไร จึงจะไดกําไรมากสุด
และจะไดกําไรมากที่สุดเทาไร
วิธีทํา สมมุติวาเขาเพิ่มเงินคาเดินทางคนละ 5 บาท
ที่นั่งจะขายได 30 − ที่นั่ง และ ให เปนกําไร
∴ = เงินที่ขายไดทั้งหมด − เงินทุนทั้งหมด
เงินที่ขายไดทั้งหมด = (จํานวนคน)(ราคาคาบริการใหมตอคน)
= (400 + 5 )(30 − )
เงินทุนทั้งหมด = 1500 + 300(จํานวนคนที่จะขายไดทั้งหมด)
= 1500 + 300(30 − )
∴ = (400 + 5 )(30 − ) − [1500 + 300(30 − )]
∴ = (12000 − 250 − 5 ) − [1500 + 9000 − 300 ]
∴ = (500 + 50 − 5 ) ∴ = 50 − 10
∴ มากสุดเมื่อ = 0 ∴ 50 − 10 = 0 ∴ = 5
เขาจะเก็บคาบริการคนละ 400 + 5(5) = 425 บาท .
กําไรมากสุด
= (425)(30 − 5) − [1500 + 300(30 − 5)]
กําไรมากสุด = (10625) − [9000]
= 1625 บาท .
28. บริษัทนําเที่ยวตางประเทศทราบวาถาเก็บคาบริการคนละ
2000 บาท จะขายตั๋วได 50 คน แตถาเก็บเพิ่มชึ้นทุก 400 บาท
ที่นั่งจะวางเพิ่มขึ้น 3 ที่ คาใชจายในการนําเที่ยว มีดังนี้
คาจางไกด 2 คนๆละ 2000 บาท
คารถโดยสาร 7500 บาท คาอาหารและที่พัก 800 บาทตอคน
คาเขาชมสถานที่ทองเที่ยว คนละ 100 บาทตอคน
จงหาวาเขาควรเก็บคาบริการคนละเทาไร จึงจะไดกําไรมากสุดเทาไร
(คาใชจายใหรวมถึงไกดดวย)

8. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 21
29 เราสามารถตัดมุมกระดาษสี่เหลี่ยมจตุรัสออกเปนรูปสี่เหลี่ยม
จตุรัสแลวพับเปนกลองที่ไมมีฝาปดที่มีปริมาตรมากที่สุดเทาไร
และกลองนี้มีความสูงเทาไร
วิธีทํา สมมุติให แผนกระดาษรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวดานละ หนวย
และตัดที่มุมกระดาษเปนสี่เหลี่ยมจตุรัสดานละ หนวย
ให เปนปริมาตรของกลอง
∴ = ( − 2 )( − 2 )
∴ = ( − 4 + 4 ) = − 4 + 4
∴ = − 8 + 12
มากสุดเมื่อ = 0
∴ 0 = − 8 + 12
∴ ( − 6 )( − 2 ) = 0 ∴ =
2
,
6
∴ =
6
เนื่องจาก =
2
ตัดแลวสรางกลองไมได
จาก = 2
− 4 2
+ 4 3
∴ = 2
6
− 4
6
2
+ 4
6
3
=
2
27
3
.
กลองนี้มีความสูง =
6
.
29.1 เราสามารถตัดมุมกระดาษสี่เหลี่ยมจตุรัส ซึ่งยาวดานละ 60 นิ้ว
ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสแลวพับเปนกลองที่ไมมีฝาปดที่มีปริมาตร
มากที่สุดเทาไร และกลองนี้มีความสูงเทาไร
29.2 เราสามารถตัดมุมกระดาษสี่เหลี่ยมจตุรัส ซึ่งยาวดานละ 18 นิ้ว
ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสแลวพับเปนกลองที่ไมมีฝาปดที่มีปริมาตร
มากที่สุดเทาไร และกลองนี้มีความสูงเทาไร
29.3 เราสามารถตัดมุมกระดาษสี่เหลี่ยมจตุรัส ซึ่งยาวดานละ 24 นิ้ว
ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสแลวพับเปนกลองที่ไมมีฝาปดที่มีปริมาตร
มากที่สุดเทาไร และกลองนี้มีความสูงเทาไร
29. 4 เราสามารถตัดมุมกระดาษสี่เหลี่ยมจตุรัส ซึ่งยาวดานละ 42 นิ้ว
ออกเปนรูปสี่เหลี่ยมจตุรัสแลวพับเปนกลองที่ไมมีฝาปดที่มีปริมาตร
มากที่สุดเทาไร และกลองนี้มีความสูงเทาไร
(a-2x)
(a-2x)
a
a
x
xx
x
x
x
x
x

9. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 22
30 ชาวนาตองการลอมรั้วเปนคอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผา 2 คอก
ติดกัน โดยดานหนึ่งเปนแมน้ํา ไมตองทํารั้ว ถาเขามีไมที่ใชทํารั้ว
ยาว 600 เมตร เขาจะสามารถกั้นรั้วไดพื้นที่มากสุดเทาไร
วิธีทํา สมมุติให กั้นรั้วกวาง เมตร ยาว เมตร
ให เปนพื้นที่ของคอกทั้งหมด = ตารางเมตร
ไมทั้งหมดยาวรวมกัน = 600 เมตร
∴ + 3 = 600 ∴ = 600 − 3
∴ = = (600 − 3 ) = 600 − 3
∴ = 600 − 6
มีคามากสุดเมื่อ = 0 ∴ 600 − 6 = 0
= 0 ∴ 600 − 6 = 0 ∴ = 100
จาก = 600 − 3 , = 100 ∴ = 300
∴ มากสุด = (100)(300) = 30000 ตารางเมตร .
30. ชายคนหนึ่งตองการลอมรั้วเปนคอกรูปสี่เหลี่ยมผืนผา คอก
ติดกัน โดยดานหนึ่งเปนแมน้ํา(ไมตองทํารั้ว) ถาเขามีไมที่ใชทํารั้วยาว
เมตร เขาจะสามารถกั้นรั้วไดพื้นที่มากสุดเทาไร
แม่นํ า
xx
y
x

10. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 23
31 จงหาสวนสูง รัศมี และปริมาตร ของฐานรูปทรงกระบอก
ที่มีปริมาตรมากที่สุด ที่บรรจุอยูในกรวยกลมที่มีรัศมีของฐานยาว
6 นิ้ว สูง 12 นิ้ว
วิธีทํา ให เปนปริมาตรของทรงกระบอก
ℎ เปนความสูงของทรงกระบอก
เปนรัศมีของทรงกระบอก
จาก = 2
ℎ
จากรูป ∆ ≅ ∆ ∴ =
∴
6
12
=
6 −
ℎ
∴ ℎ = 12 − 2
∵ = ℎ = (12 − 2 )
= (12 − 2 )
∴ = (24 − 6 )
มากที่สุดเมื่อ = 0
∴ 0 = (24 − 6 ) ∴ = 4
∴ ℎ = 12 − 2 = 12 − 2(4) = 4
∴ = (16)(4) = 64 .
31. จงหาสวนสูง รัศมี และปริมาตรของฐานรูปทรงกระบอกที่มีปริมาตร
มากที่สุดที่บรรจุอยูในกรวยกลมที่มีรัศมีของฐานยาว นิ้ว สูง ℎ นิ้ว
r
h
12
H
G
F
6
E
D
C
BA

11. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 24
32 สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสูง 10 นิ้ว ฐานยาว 30 นิ้วจงหาวา
สี่เหลี่ยมผืนผาที่มีพื้นที่มากสุดที่สามารถบรรจุอยูในสามเหลี่ยมได
โดยมีดานหนึ่งของสี่เหลี่ยมตั้งอยูบนฐานของสามเหลี่ยม มีพื้นที่เทาไร
วิธีทํา ใหสี่เหลี่ยมสูง นิ้ว ยาว นิ้ว
และให เปนพื้นที่ของสี่เหลี่ยม ∴ =
จากรูปสามเหลี่ยม 2 รูปคลายกันคือ ∆ ≅ ∆
∴ = ∴
10
=
30
30 −
∴ =
1
3
(30 − )
จาก = =
1
3
(30 − ) = 10 −
1
3
2
∴ = 10 −
มีคามากสุดเมื่อ = 0
จะได 10 −
2
3
= 0 ∴ = 15
เมื่อ = 15 แลวหาคา =
1
3
(30 − 15) = 5
∴ มากสุด = = 15(5) = 75 ตารางนิ้ว .
32. สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีสูง ℎ นิ้ว ฐานยาว นิ้ว จงหาวา
สี่เหลี่ยมผืนผาที่มีพื้นที่มากสุดที่สามารถบรรจุอยูในสามเหลี่ยมได
ดยมีดานหนึ่งของสี่เหลี่ยมตั้งอยูบนฐานของสามเหลี่ยม มีพื้นที่เทาไร
y
x 30
10
F
E
D
C
BA

12. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 25
33 จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสี่เหลี่ยมผืนผาที่แนบใน
สามเหลี่ยมที่ดานทั้งสามอยูบนแกน แกน และ
เสนตรง 3 + 4 = 24
วิธีทํา ให เปนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่แนบในสามเหลี่ยม
มีความยาวฐาน หนวย มีความสูง หนวย
∴ =
แต 4 + 3 = 24
∴ =
1
3
(24 − 4 )
∴ =
1
3
(24 − 4 )
∴ = 8 −
4
3
∴ = 8 −
8
3
ถา = 0 แลวหาคา = 3
∴ = 3 หาคาได =
1
3
(24 − 12) = 4
∴ มีคามากสุด = (3)(4) = 12 ตรน. .
33. จงหาพื้นที่ที่มากที่สุดของสี่เหลี่ยมผืนผาที่แนบในสามเหลี่ยม
ที่ดานทั้งสามอยูบนแกน แกน และเสนตรง + =
C
BA
D(x,y)
3y+4x=24
y
x

13. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 26
34 สี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีฐานอยูบนแกน และจุดยอด 2 จุด
อยูบนกราฟ = 4 2
− 3 จะมีพื้นที่มากสุดกี่ตารางหนวย
วิธีทํา ให เปนพื้นที่ของสี่เหลี่ยมที่ตองการ
มีความยาว 2 หนวย กวาง หนวย
ดังนั้น = 2
แต = 4 2
− 3
ดังนั้น = 2 (4 2
− 3)
∴ = 8 − 6
∴ = 24 − 6
พื้นที่จะมากสุดเมื่อ ′
= 0
∴ 24 − 6 = 0 ∴ = ±
1
2
ดังนั้น มากสุด = 6 − 8 3
= 6 − 8 = 2 .
34. สี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีฐานอยูบนแกน และจุดยอด 2 จุดอยูบน
กราฟ = 2
− จะมีพื้นที่มากสุดกี่ตารางหนวย
1
-1
-2
-3
-2 2
(x,-y)
-y
x
y=4x2-3

14. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 27
35 จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงรี
+ = 1
วิธีทํา ให เปนพื้นที่สี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม
∴ = 4 โดยที่ ( , ) เปนจุดบนวงรี
จาก
2
2
+
2
2 = 1 ∴ = ( 2
− 2
)
1
2
∴ = 4 ( − )
∴ =
4
( − ) + ( − )
=
4 1
2
( − ) (−2 ) + ( − )
∴ =
4
− ( − ) + ( − )
ถา ′
= 0
∴
4
− ( − ) + ( − ) = 0
∴ −
( − )
+ ( − ) = 0
∴ ( − ) =
( − )
( − ) = ∴ =
√2
∴ = 4
√2
−
2
=
4
√2 √2
= 2 .
35 .1.จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงรี
25
+
9
= 1
35 .2.จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงรี
25
+
9
= 1
35 .3.จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงรี
4
+
9
= 1
35.4.จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงรี
100
+
25
= 1
x2
a2
+
y2
b2
=1 (x,y)
y
x

15. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 28
36 จงพิสูจนวา พื้นที่สี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม
+ = มีพื้นที่มากสุดเทากับ 2
วิธีทํา ให = 4 โดยที่ ( , ) เปนบนวงกลม
∴ = 4 ( − )
∴ = 4 ( − )
∴ = 4 ( − ) + ( − )
∴ = 4
1
2
( − ) (−2 ) + ( − )
∴ = 4 −
( − )
+ ( − )
ถา ′
= 0 ∴ 4 −
2
( 2
− 2)
1
2
+ ( 2
− 2
)
1
2 = 0
∴ ( − ) =
( − )
( − ) = ∴ =
√2
∴ = 4 ( − )
= 4
√2
−
2
= 4
√2 2
มากสุด = 4
√2 √2
= 2 .
36.1. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงกลม
+ = 25
36.2. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงกลม
+ = 16
36.3. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงกลม
+ = 5
36.4. จงหาพื้นที่สี่เหลี่ยมที่มากสุดที่แนบในวงกลม
+ = 7
x2+y2=r2
(x,y)
y
x
r

16. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 29
37 จงหาปริมาตรของทรงกระบอกที่มีปริมาตรมากสุดที่
สามารถบรรจุลงในกรวยกลมได
วิธีทํา ให , เปนปริมาตรของทรงกระบอกและกรวยกลม
ให , ℎ เปนความสูงของทรงกระบอกและกรวยกลม
ให , เปนรัศมีของทรงกระบอกและกรวยกลม
จาก ∆ ≅ ∆
∴ = ∴
ℎ
=
−
∴ =
ℎ
( − )
จาก = 2
∴ = 2
ℎ
( − )
∴ = ℎ −
ℎ
∴ = 2 ℎ −
3 ℎ
∵ มากสุดเมื่อ = 0 ∴ 2 ℎ −
3 ℎ
= 0
∴
3 ℎ
= 2 ℎ ∴ =
2
3
จาก =
ℎ
( − )
∴ =
ℎ
−
2
3
=
ℎ
3
∴ ทรงกระบอกจะมีปริมาตรมากสุดที่สามารถบรรจุใน
กรวยกลมไดเมื่อ มีรัศมี =
2
3
ของรัศมีกรวยกลม .
มีความสูง =
1
3
ของความสูงของกรวยกลม .
∴ ปริมาตรทรงกระบอก =
2
3
1
6
ℎ
=
4
9
1
6
ℎ =
2
9
1
3
ℎ
∴ ปริมาตรทรงกระบอก =
2
9
(ปริมาตรกรวยกลม) .
37.1. จงหาความสูง รัศมี ปริมาตรของทรงกระบอกที่มีปริมาตร
มากสุดที่สามารถบรรจุลงในกรวยกลมที่มีรัศมี 15 นิ้วและ
มีความสูงเทากับ 21นิ้ว (แสดงวิธีทํา)
37.2. จงหาความสูง รัศมี ปริมาตรของทรงกระบอกที่มีปริมาตร
มากสุดที่สามารถบรรจุลงในกรวยกลมที่มีรัศมี 21 นิ้วและ
มีความสูงเทากับ 27นิ้ว
37.3. จงหาความสูง รัศมี ปริมาตรของทรงกระบอกที่มีปริมาตร
มากสุดที่สามารถบรรจุลงในกรวยกลมที่มีรัศมี 9 นิ้วและ
มีความสูงเทากับ 14 นิ้ว
F
r
x
h
y
ED
CB
A

17. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 30
38 ลูกบอลลูนถูกเติมกาซในขณะที่มีรัศมี 2 ฟุต
จนทําใหรัศมีเพิ่มขึ้นดวยอัตารเร็ว
1
6
ฟุตตอวินาที
จงหาวา ในขณะเดียวกันนี้ ปริมาตรของลูกบอลลูนจะ
เปลี่ยนแปลงดวยความเร็วเทาไร
วิธีทํา จาก =
4
3
3
∴ =
4
3
3 = 4
แตจากโจทย =
1
6
และ = 2
∴ = 4 (2)
1
6
=
8
3
≈ 8.3775 .
39 เครื่องบินโดยสารลําหนึ่ง กําลังบินผานสถานีเรดาและอยูสูง
เหนือระดับเรดา 6 ไมล ซึ่งเปลี่ยนแปลงลดลงดวยอัตราเร็ว
400 ไมลตอชั่วโมง ถา เปนระยะหางระหวางเรดากับเครื่องบิน
จงหาอัตราเร็วของเครื่องบินตามแนวราบ ขณะ เทากับ 10 ไมล
วิธีทํา ให เปนระยะหางจากเรดาถึงจุดในแนวตั้งใตเครื่องบิน
จากรูปสามเหลี่ยมมุมฉากจะไดวา + 6 =
∴ 2 + 0 = 2
จากโจทย
= −400 , = 10 , = √100 − 36 = 8
∴ 2(8) = 2(10)(−400)
∴ =
2(10)(−400)
16
= −500 ไมลตอชั่วโมง .
38. ลูกบอลลูนถูกเติมกาซเขาดวยอัตราเร็ว 4.5 ล.บ. นิ้ว
ตอวินาที จงหาอัตราเร็วของการเปลี่ยนแปลงของรัศมี เมื่อรัศมียาว 2นิ้ว
39. เรือโดยสารลําหนึ่ง อยูทางทิศเหนือของประภาคาร หาง9 ไมล
ประภาคาร อยูทางทิศตะวันตกของประภารคาร อยูหางจาก
เรือโดยสาร ไมล และระยะจะเปลี่ยนแปลงลดลงดวยอัตราเร็ว
300 ไมลตอชั่วโมง จงหาอัตราเร็วของเรือลํานี้ขณะอยูหางจาก
ประภาคาร ระยะ 15 ไมล
ระด ั บเรดา
6 mi
x
S=10 mi

18. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 31
40 ชายคนหนึ่งยืนอยูใตเสาไฟฟาซึ่งสูง 6 เมตร ตัวเขาสูง
1.8 เมตร ถาเขาวิ่งออกจากเสาไฟไปทางทิศตะวันออกดวย
อัตราเร็วเร็ว 1.5 เมตรตอวินาทีอยากทราบวาจุดปลาย
ของเงาของตัวเขาวิ่งดวยอัตราเร็วเทาไร
วิธีทํา จากรูป ∆ ≅ ∆
∴ = ∴
6
=
1.8
−
∴ 6( − ) = 1.8
∴ 6 − 1.8 = 6 ∴ 4.2 = 6
∴ =
6
4.2
∴ =
1
0.7
จากโจทย
1
= 1.5 เมตรตอวินาที
∴ =
1
0.7
=
1
0.7
(1.5) =
15
7
≈ 2.14 ≈ เมตรตอวินาที .
40. ชายคนหนึ่งยืนอยูใตเสาไฟฟาซึ่งสูง 10 เมตร ตัวเขาสูง
2 เมตร ถาเขาวิ่งออกจากเสาไฟไปทางทิศตะวันออกดวย
อัตราเร็วเร็ว 2 เมตรตอวินาที อยากทราบวาจุดปลาย
ของเงาของตัวเขาวิ่งดวยอัตราเร็วเทาไร
S1
S2
L
K
j
i
H
G
F
D
C
B
A

19. คณิตศาสตร์ ชุด CALCULUS เรียบเรียงโดย….. อ. สุทธิ – อ.อารยา คุณวัฒนานนท์ หน้าที 32
41 แผนไมกระดานแผนหนึ่งยาว 17 เมตรตั้งพิงไวกับผนัง
และพบวาขอบกระดานดานลางจะเลื่อนไถลออกจากผนังดวย
ความเร็ว 20 ซม. ตอวินาที จงหาความเร็วในการเคลื่อนที่ลง
ของขอบบนของแผนไม ณ จุดที่สูงกวาพื้น 8 เมตร
วิธีทํา กําหนดรูปการเคลื่อนที่ดังนี้
จาก ∆ มี (17 − 1)2
+ 2
2
= 172
∴ (17 − 1)
2
+ 2
2
= 172
∴ (17 − 1) −
1
+ 2
2
= 0 … … … (1)
จากโจทย
(17 − ) = 8 , =
20
100
=
1
5
เมตรตอวินาที
= 17 − 8 = √289 − 64 = √225 = 15
จาก … . (1) จะได 8 −
1
+ 15
1
5
= 0
∴ =
3
8
ขอบบนจะเคลื่อนที่ดวยความเร็ว
3
8
เมตรตอวินาที .
41 แผนไมกระดานแผนหนึ่งยาว 20 เมตรตั้งพิงไวกับผนัง
และพบวาขอบกระดานดานลางจะเลื่อนไถลออกจากผนังดวย
ความเร็ว25 ซม. ตอวินาที จงหาความเร็วในการเคลื่อนที่ลง
ของขอบบนของแผนไม ณ จุดที่สูงกวาพื้น 10 เมตร
S2
S1
17
17-S1
D
C
B
A