2. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 2
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1: แบบระบายตัวเลือก แตละขอมีคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว
จํานวน 25 ขอ ( ขอ 1 – 25) ขอละ 6 คะแนน
1. กําหนดให p และ q เปนประพจนใดๆ
ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1. ( p ⇒ q) ∨ p
2. (~ p ∧ p ) ⇒ q
3. [( p ⇒ q ) ∧ p] ⇒ q
4. (~ p ⇒ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q )
3. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 3
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
2. ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถาเอกภพสัมพัทธ คือ { − 1, 0, 1 }
คาความจริงของ ∀x∃y[ x 2 + x = y 2 + y ] เปนเท็จ
2. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
คาความจริงของ ∃x[ 3 x = log 3 x ] เปนจริง
3. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนจริง
นิเสธของขอความ ∀x∃y[ ( x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ ( xy < 0)]
คือ ∃x∀y[ ( xy < 0) ⇒ ( x ≤ 0 ∨ y > 0)]
4. ถาเอกภพสัมพัทธเปนเซตของจํานวนเต็ม
นิเสธของขอความ ∀x[ x > 0 ⇒ x 3 ≥ x 2 ]
คือ ∃x[ ( x ≤ 0) ∧ ( x 3 < x )]
3. ให A = { 1, { 1 }} และ P ( A) เปนเพาเวอรเซตของเซต A
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. จํานวนสมาชิกของ P ( A) − A เทากับ 3
2. จํานวนสมาชิกของ P ( P ( A) ) เทากับ 16
3. { {1} } ∈ P (A ) − A
4. { φ , A } ∈ P ( A)
4. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 4
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
4. กําหนดให A = { x∈ R x2 − 6x + 9 ≤ 4 }
เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. A′ = { x∈R 3− x > 4 }
2. A′ ⊂ ( −1, ∞ )
3. A = { x∈ R x ≤ 7 }
4. {
A ⊂ x ∈ R 2x − 3 < 7 }
5. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 5
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
x+1
5. กําหนดให y1 = f ( x ) = เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับ 1
x −1
y2 = f ( y1 ) , y3 = f ( y2 ) , ...
yn = f ( yn − 1 ) สําหรับ n = 2 , 3 , 4 , ...
y2553 + y2010 เทากับขอใดตอไปนี้
x −1
1.
x+1
x2 + 1
2.
x −1
x2 + 1
3.
2x
1 + 2x − x2
4.
x −1
6. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 6
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
6. ให f และ g เปนฟงกชันจากเซตของจํานวนจริงไปยังเซตของจํานวนจริง โดยที่
x −1
f (x) = และ g( x ) = f (x) − x −1
x2 − 4
จงพิจารณาขอความตอไปนี้
ก. Dg = ( 2, ∞ )
ข. คาของ x > 0 ที่ทําให g( x ) = 0 มีเพียง 1 คาเทานั้น
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ก. ถูก และ ข. ถูก
2. ก. ถูก แต ข. ผิด
3. ก. ผิด แต ข. ถูก
4. ก. ผิด และ ข. ผิด
7. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 7
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
7. กําหนดให x เปนจํานวนจริง
ถา sin x + cos x = a และ sin x − cos x = b
แลวคาของ sin 4 x เทากับขอใดตอไปนี้
1.
2
(
1 3
a b − ab 3 )
2. 1
2
(
ab 3 − a 3 b )
3. ab 3 − a 3b
4. a 3 b − ab 3
8. กําหนดใหวงรีรูปหนึ่งมีสมการเปน 25 x 2 + 21 y 2 + 100 x − 42 y − 404 = 0
แลวไฮเพอรโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จดโฟกัสทั้งสองของวงรีและผานจุด ( −3, 1 +
ุ 8)
มีสมการตรงกับขอใดตอไปนี้
1. 5 y 2 − 4 x 2 − 10 8 y − 32 x − 25 = 0
2. 3 y 2 − 2 x 2 − 6 8 y − 8 x + 15 = 0
3. y 2 − 4 x 2 − 2 y − 16 x − 19 = 0
4. y 2 − 7 x 2 − 2 y − 28 x − 28 = 0
8. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 8
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
9. จุด A (− 3 , 1) B (1, 5) C (8 , 3) และ D (2 , − 3) เปนจุดยอดของ
รูปสี่เหลี่ยม ABCD
ขอใดตอไปนี้ผิด
1. ดาน AB ขนานกับ ดาน DC
2. ผลบวกความยาวของดาน AB กับ DC เทากับ 10 2 หนวย
3. ระยะตั้งฉากจากจุด A ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
9 2
เทากับ หนวย
2
4. ระยะตั้งฉากจากจุด B ไปยังเสนตรงที่ผานจุด C และจุด D มีคา
9
เทากับ หนวย
2
10. กําหนดให x และ y เปนจํานวนจริงบวกและ y ≠ 1
ถา log y 2 x = a และ 2 y = b แลว x มีคาเทากับขอใดตอไปนี้
1. 1
(log2 b )a
2
2. 2 (log 2 b )a
3. a
(log 2 b )
2
4. 2a (log 2 b )
16. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 16
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
24. ให N แทนเซตของจํานวนนับ
กําหนดให a ∗ b = ab สําหรับ a , b ∈ N
พิจารณาขอความตอไปนี้
สําหรับ a , b, c ∈ N
ก. a∗b = b∗a
ข. (a ∗ b ) ∗ c = a ∗ (b ∗ c )
ค. a ∗ (b + c ) = (a ∗ b ) + (a ∗ c )
ง. (a + b ) ∗ c = (a ∗ c ) + (b ∗ c )
ขอใดตอไปนี้ถูกตอง
1. ถูก 2 ขอคือ ข. และ ค.
2. ถูก 2 ขอคือ ค. และ ง.
3. ถูก 1 ขอคือ ค.
4. ก. ข. ค. และ ง. ผิดทุกขอ
17. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 17
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
25. นายชัดแจงไดทราบขอมูลของคน 5 คน คือ A, B, C, D และ E ดังนี้
A บอกวา “C และ D พูดโกหก”
B บอกวา “A และ C เปนคนพูดจริง”
C บอกวา “D พูดโกหก”
D บอกวา “E พูดโกหก”
E บอกวา “B พูดโกหก”
จากขอมูลดังกลาวทานจะชวยนายชัดแจงคนหาวาใครบางเปนคนพูดจริงและ
ใครบางเปนคนพูดเท็จ
1. A, B, D พูดเท็จ C และ E พูดจริง
2. B และ D พูดเท็จ A และ C พูดจริง
3. A, B และ C พูดเท็จ D และ E พูดจริง
4. B และ E พูดเท็จ A และ C พูดจริง
18. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 18
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 2 : แบบระบายตัวเลข จํานวน 25 ขอ (ขอ 26 – 50 ) ขอละ 6 คะแนน
26. กําหนดให A , B และ C เปนเซตใดๆ
ถา n( A ∪ B ∪ C ) = 91 , n( A ∩ B′ ∩ C ′ ) = 11 ,
n((B − A) ∩ (B − C )) = 15 , n( A ∩ B ∩ C ) = 20
n(( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) ∪ ( B ∩ C )) = 47 และ n(C ) = 59
แลว n( A′ ∩ B′ ∩ C ) เทากับเทาใด
27. ถา S = { x∈R 3x + 1 + x −1 = 7x + 1 }
เมื่อ R แทนเซตของจํานวนจริง
แลว ผลบวกของสมาชิกใน S เทากับเทาใด
19. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 19
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
28. ให A เปนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10
B เปนเซตของจํานวนเต็มบวกที่มีคานอยกวาหรือเทากับ 10
และ C เปนเซตของฟงกชัน f : A→ B ทั้งหมดที่เปนฟงกชันหนึ่งตอหนึ่ง
และ ห.ร.ม. ของ a และ f (a ) ไมเทากับ 1 สําหรับทุกคา a ∈ A
จํานวนสมาชิกในเซต C เทากับเทาใด
a
29. ให α และ β เปนมุมแหลมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ tan α =
b
⎛ ⎛ a ⎞⎞ ⎛ ⎛ a ⎞⎞
ถา cos ⎜ arcsin ⎜
⎜ ⎟ ⎟ + sin ⎜ arccos ⎜
⎟⎟ ⎜ 2
⎟⎟ = 1
⎟⎟
⎜ ⎜
⎝ a +b ⎝ a +b
2 2 2
⎝ ⎠⎠ ⎝ ⎠⎠
แลว sin β มีคาเทากับเทาใด
cos 36ο − cos 72ο
30. คาของ เทากับเทาใด
sin 36ο tan 18ο + cos 36ο
20. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 20
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
31. ให A และ B เปนเมทริกซที่มีขนาด 2× 2 โดยที่
⎡ − 4 − 4⎤ ⎡ − 5 − 8⎤
2A − B = ⎢ และ A − 2B = ⎢
⎣ 5 6⎥
⎦ ⎣ 4 0⎥
⎦
คาของ (
det A4 B − 1 ) เทากับเทาใด
32. ให x, y,z และ w สอดคลองกับสมการ
⎡ 1 0⎤ ⎡ x − 1⎤ ⎡ 2 y − 1⎤ ⎡ 1 0 ⎤
⎢− 1 w ⎥ ⎢0 y ⎥ = ⎢z
⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ 2 ⎥ ⎢− 1 w ⎥
⎦⎣ ⎦
คาของ 4w − 3 z + 2 y − x เทากับเทาใด
33. ให u, v และ w เปนเวกเตอร กําหนดโดย u = i + 2 j + 3k ,
v = 2i − d j + k , w = ai + b j + ck เมื่อ a , b, c และ d เปนจํานวนจริง
ถา u ⋅ w = 2 , u ⋅ (v + w ) = 3 , v + w = i + q j + r k เมื่อ q , r เปน
2 1 1
จํานวนจริง และ w ขนานกับ − i + j+ k
3 2 3
แลวคาของ a + 4b + 2c เทากับเทาใด
21. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 21
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
34. ให z1 และ z2 เปนจํานวนเชิงซอนใดๆ และ z2 แทนสังยุค(conjugate) ของ z2
ถา 5 z1 + 2 z 2 = 5 และ z 2 = 1 + 2i เมื่อ i 2 = −1 แลว
คาของ 5 z1 − 1 เทากับเทาใด
35. ถา { an } เปนลําดับของจํานวนจริงที่
2 + 4 + 6 + Κ + 2n
an = สําหรับทุกจํานวนเต็มบวก n
n2
แลว lim a n มีเทากับเทาใด
n→ ∞
n
⎛ ⎞
∑⎜
1
36. กําหนดให Sn = ⎜ ⎟
⎟ สําหรับ n = 1,2,3,...
⎝
k =1
k ( k + 1) + k k + 1 ⎠
คาของ lim S n เทากับเทาใด
n→ ∞
22. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 22
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
37. กําหนดให a และ b เปนจํานวนจริง และ f เปนฟงกชัน
ซึ่งกําหนดโดย
⎧ x3 − 3x − 2
⎪ , x<2
⎪ x−2
⎪
f ( x) = ⎨ a − b , x=2
⎪ 2
⎪ x + ax + 1 , x>2
⎪
⎩
ถา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริงแลว
คาของ a 2 + b2 เทากับเทาใด
38. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f :R→ R เปนฟงกชัน โดยที่
f ′( x ) = 3 x + 5 สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f (1) = 5
แลวคาของ lim
( )
f x2 − 2
เทากับเทาใด
x→4 f (x)
23. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 23
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
39. กําหนดให R แทนเซตของจํานวนจริง ถา f :R→ R เปนฟงกชัน โดยที่
f ′′( x ) = 6 x + 4 สําหรับทุกจํานวนจริง x และ ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง
y = f ( x ) ที่จุด (2, 19) เทากับ 19 แลว คาของ f (1) เทากับเทาใด
40. กําหนดให A = { 0 ,1 , 2 , 3 , 4 } จํานวนเต็มบวกที่มคานอยกวา 300 โดยสรางมาจาก
ี
ตัวเลขในเซต A และตัวเลขแตละหลักไมซ้ํากัน เทากับเทาใด
41. คณะกรรมการชุดหนึ่งมี 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานุการและ
กรรมการอีก 4 คน จํานวนวิธีที่จัดกลุมคน 7 คนนี้น่งประชุมรอบโตะกลม โดยให
ั
ประธานและรองประธานนั่งติดกันเสมอ แตเลขานุการไมนั่งติดกับรองประธาน
เทากับเทาใด
26. รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 26
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
47. กําหนดให R เปนเซตของจํานวนจริง
บทนิยาม ให f :R→ R และ g:R→ R เปนฟงกชันใดๆ
กําหนดการดําเนินการ ⊗ ของ f และ g ดังนี้
(f ⊗ g )( x ) = f ( g ( x )) − g ( f ( x ))
สําหรับทุกจํานวนจริง x
ถา f ( x ) = x 2 − 1 และ g ( x ) = 2 x + 1 สําหรับทุกจํานวนจริง x
แลว ( f ⊗ g )(1) เทากับเทาใด
48. ถา a , b, c , d เปนเลขโดดที่แตกตางกันที่ทําใหจํานวนเต็ม 4 หลัก dcba
เทากับ 9 เทาของ abcd แลว b เทากับเทาใด
![รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร หนา 2
วันเสารที่ 6 มีนาคม 2553 เวลา 13.00 - 16.00 น.
ตอนที่ 1: แบบระบายตัวเลือก แตละขอมีคําตอบที่ถูกตองที่สุดเพียงคําตอบเดียว
จํานวน 25 ขอ ( ขอ 1 – 25) ขอละ 6 คะแนน
1. กําหนดให p และ q เปนประพจนใดๆ
ขอใดตอไปนี้มีคาความจริงเปนเท็จ
1. ( p ⇒ q) ∨ p
2. (~ p ∧ p ) ⇒ q
3. [( p ⇒ q ) ∧ p] ⇒ q
4. (~ p ⇒ q ) ⇔ (~ p ∧ ~ q )](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)