1. บทที่ 3
ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล
(20 ชั่วโมง)
ผลการเรียนรูที่คาดหวัง
1. เขาใจความหมายของการสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่ประกอบดวยสองตัวแปร
2. สรางความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลที่ประกอบดวยสองตัวแปรที่อยูในรูปอนุกรมเวลาโดย
ใชเครื่องคํานวณ
3. ใชความสัมพันธเชิงฟงกชันของขอมูลพยากรณคาตัวแปรตามเมื่อกําหนดตัวแปรอิสระให
ขอเสนอแนะ
1. ขอมูลที่นํามาศึกษาความสัมพันธอยูในรูปของคูอันดับ ไมสามารถสลับสมาชิกตัวแรก
หรือสมาชิกตัวหลังของขอมูล ถามีการสลับที่กันจะทําใหความสัมพันธเปลี่ยนไป ตัวอยางเชน ขอมูล
รายได (X) และรายจายของครอบครัว (Y) (หนวยเปนพันบาท) ในทองที่แหงหนึ่งในรูปคูอันดับคือ
ครอบครัวที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
(x, y) (1,1) (3,2) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,9)
ไมสามารถสลับคาของ Y ระหวางครอบครัวที่ 1 กับ 2 ไดเชน
ครอบครัวที่ 1 2 3 4 5 6 7 8
(x, y) (1,2) (3,1) (4,4) (6,4) (8,5) (9,7) (11,8) (14,9)
แมวาในการหาคาเฉลี่ยเลขคณิตของรายไดและรายจายจะคงเดิมเมื่อมีการสลับที่ระหวาง
ครอบครัวที่ 1 กับ ครอบครัวที่ 2 และในการคํานวณสมการความสัมพันธ ตองพิจารณาความสัมพันธ
ระหวางตัวแปรโดยการหาคา ผลบวกของผลคูณระหวางตัวแปรทั้งสอง (
n
i i
i 1
x y
=
∑ ) การสลับคาระหวาง
ครอบครัวที่ 1 กับครอบครัวที่ 2 จะทําใหคาผลบวกผลคูณนี้เปลี่ยนแปลงไป และมีผลถึงคา
สัมประสิทธิ์ตางๆ ในสมการความสัมพันธ ตลอดจนทําใหแผนภาพการกระจายเปลี่ยนแปลงดวย
เนื่องจากขอมูลของคูลําดับเปลี่ยนแปลงคนละจุดจากจุดเดิม

2. 93
2. ความสัมพันธจริงที่คาดหมายคือ Y f (X) X= = α +β สวนความสัมพันธจากขอมูล
ที่สังเกตมา จะไมเทากับที่คาดหวังไว โดยจะมีความคลาดเคลื่อนรวมอยูดวย กลาวคือความสัมพันธ
ระหวางขอมูลที่สังเกตมาจริงคือ i i iy x= α +β + ε โดยที่ i คือ 1,2,3,...n
สําหรับการประมาณคา α และ β ดวยวิธีกําลังสองนอยที่สุด จะไดความสัมพันธโดย
ประมาณคือ i i
ˆy a bx= + โดยที่ i คือ 1,2,3,...n เมื่อ a และ b เปนคาประมาณของ α และ
β ตามลําดับ
อนึ่งคําวา “กําลังสองนอยที่สุด” หมายถึง ผลรวมของความคลาดเคลื่อนยกกําลังสองมีคา
นอยที่สุด การประมาณคาของ α และ β ดวยวิธีหรือสูตรแบบนี้ทําใหผลรวมของความคลาด
เคลื่อนที่ยกกําลังสองนี้มีคานอยที่สุด และนั่นหมายความวา ถาตองการความสัมพันธในรูป
X f (Y) Y= = γ + δ หรือความสัมพันธจริงของขอมูลคือ *
ii ix y= γ + δ + ε โดยที่ i คือ
1,2,3,...n จึงตองใชผลรวมของความคลาดเคลื่อนตัวใหมยกกําลังสอง คาประมาณของ γ และ δ
จึงตองคํานวณใหม ไมสามารถใชการแทนคาในสมการ i i
ˆy a bx= + ได
3. เมื่อให X แทนเวลา เพื่อใหงายในการคํานวณจึงใหคา ผลรวมของ X เปนศูนย
สําหรับขอมูลอนุกรมเวลา คาที่ไดโดยวิธีการกําลังสองนอยที่สุดเปนเพียงคาประมาณของแนวโนม
ในอนุกรมเวลาเทานั้น เนื่องจากขอมูลอนุกรมเวลาประกอบไปดวยสวนตางๆ คือ แนวโนม ความ
ผันแปรตามฤดูกาล ความผันแปรตามวัฏจักรและความผันแปรแบบผิดปกติ ในที่นี้เปนการศึกษาใน
ขั้นตนจึงประมาณเฉพาะคาแนวโนมของอนุกรมเวลาเทานั้น
กิจกรรมเสนอแนะ
กิจกรรมที่ 1 การใช Microsoft Excel ชวยในการหาความสัมพันธเชิงฟงกชัน
เนื่องจากการวิเคราะหขอมูลในปจจุบันใชโปรแกรมสําเร็จรูปทางสถิติหรือโปรแกรมชวย
คํานวณในรูปแบบอื่นๆ ดังนั้นควรใหผูเรียนไดทราบถึงการวิเคราะหขอมูลดวยเครื่องคอมพิวเตอร
โดยเฉพาะโปรแกรมที่ไดติดตั้งมากับเครื่องคอมพิวเตอร เชน Microsoft Excel เปนตน
การหาความสัมพันธเชิงฟงกชันโดยใช Microsoft Excel นั้นทําไดไมยากนัก โดยเฉพาะ
กับผูใชที่คุนเคยกับการใช Excel ในการสรางแผนภาพการกระจาย วิธีการใหดําเนินการตามขั้นตอน
ตอไปนี้
หลังจากปอนขอมูล ของตัวแปรทั้งสองในแผนทํางานของ Excel แลว ใหคลิกที่ ตัวชวย
สรางแผนภูมิ ที่อยูดานบน ในรูปนี้

3. 94
จากนั้นจะปรากฏกลองขอความของตัวชวยสรางแผนภูมิ ใหเลือก ชนิดแผนภูมิ XY (กระจาย)

4. 95
เมื่อเลือก XY (กระจาย) จากนั้นเลือกรูปแบบแผนภูมิที่ตองการ (ภาพบนสุด) แลวคลิก ตอไป
หลังจากคลิกตอไปจะปรากฏ ชองใหเติมชวงขอมูลดังนี้ ใหคลิกที่ลูกศรแดง ดานขวาสุด
ของชองที่เขียนวา ชวงขอมูล

5. 96
จากนั้นใหลากทั่วบริเวณตัวแปรทั้งสองที่ตองการหาความสัมพันธ รวมทั้งชื่อตัวแปร แลว
คลิกลูกศรแดงอีกครั้งหนึ่ง
เมื่อกลับมายังกลองขอความเดิมจะปรากฏรูปแบบของแผนภูมิตามที่เลือก ใหคลิกที่ตอไป
ใสชื่อเรื่องแผนภูมิแกนคา (X ) และแกนคา (Y) แลวคลิก ตอไป จากนั้นคลิก เสร็จสิ้น

6. 97
หลังจากคลิกที่เสร็จสิ้น จะไดแผนภูมิดังกลาวบนแผนงานผูใชสามารถตกแตงใหมีขนาดที่เหมาะสมได
ความสัมพันธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
รายได
รายจาย

7. 98
การกําหนดใหแสดงเสนแนวโนมซึ่งเปนสมการแสดงความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวาง
ตัวแปรทั้งสองทําไดโดย การคลิกขวาที่จุด จากนั้นเลือก เพิ่มเสนแนวโนม
เลือกชนิดของแนวโนมที่ตองการ (เชิงเสน) แลวคลิกที่ ตกลง

8. 99
จากนั้นจะปรากฏเสนแนวโนมบนแผนภาพ
คลิกขวาที่เสนอีกที แลวเลือก รูปแบบเสนแนวโนม
ความสัมพันธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
รายได
รายจาย
ความสัมพันธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
รายได
รายจาย

9. 100
ความสัมพันธระหวางรายได(X)และรายจาย(Y)
y = 0.6364x + 0.5455
0
2
4
6
8
10
0 2 4 6 8 10 12 14 16
รายได
รายจาย
เมื่อปรากฏกลองขอความใหเลือก ตัวเลือก แลวคลิกเลือก (เครื่องหมายถูก) แสดงนิพจน
บนแผนภูมิ จากนั้น คลิกที่ ตกลง
จะไดสมการความสัมพันธเชิงฟงกชันบนแผนภูมิ Y = 0.6364 X + 0.5455 หรือ
Y = 0.5455 + 0.6364X

10. 101
กิจกรรมที่ 2 การเก็บขอมูลจากแหลงปฐมภูมิและทุติยภูมิ
เมื่อผูเรียนสามารถทําการสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางตัวแปรสองตัวดวย
คอมพิวเตอรไดแลว ใหแบงกลุมผูเรียนเพื่อศึกษาและวางแผนเก็บรวบรวมขอมูลในเรื่องที่ผูเรียนสนใจ
ศึกษาความสัมพันธ โดยใหสมมุติวาขอมูลที่ไดมาเปนตัวอยางหรือตัวแทนที่ดีจากประชากร ขอมูล
ที่รวบรวมมานี้อาจมาจากแหลงปฐมภูมิโดยการสอบถาม สัมภาษณ หรือจากแหลงขอมูลทุติยภูมิ
เชน หนังสือพิมพ อินเทอรเน็ต เปนตน ขอมูลจะตองเปนขอมูลเชิงปริมาณทั้งสองตัวแปร เชน
ความสัมพันธระหวางขนาดของรอบคอและขนาดของรอบเอวหนวยเปนเซนติเมตร (ใหสังเกตเวลาวัด
ขนาดกางเกงที่ซื้ออาจใชวิธีพันรอบคอดู) หรือความสัมพันธระหวางคะแนนสอบกลางภาคและคะแนน
สอบปลายภาค ความสัมพันธระหวางระดับคะแนนเฉลี่ยสะสมของชั้นม.4กับระดับคะแนนเฉลี่ยสะสม
ในเทอมปจจุบัน ความสัมพันธระหวางจํานวนปในการทํางานและอัตราเงินเดือนสําหรับครูที่มีวุฒิการ
ศึกษาสูงสุดเทากัน ความสัมพันธระหวางระดับคะแนนเฉลี่ยสะสมและจํานวนชั่วโมงในการอาน
หนังสือโดยเฉลี่ยตอวัน เปนตน จากนั้นใหผูเรียนใชโปรแกรม Microsoft Excel ในการสรางแผน
ภาพแสดงความสัมพันธ เสนแนวโนม และสมการแสดงความสัมพันธตามตัวอยางในกิจกรรมที่ 1
อนึ่งความสัมพันธที่ศึกษา อาจเปนขอมูลอนุกรมเวลาก็ได เชน ขอมูลอนุกรมเวลาของคา
ไฟฟาที่ผูปกครองตองจายในแตละเดือน (เก็บขอมูล 12 เดือนยอนหลัง เปนตน) ขอมูลจํานวนนักเรียนที่
มาสมัครสอบชั้น ม. 1 ในแตละป ขอมูลจํานวนผูมาใชบริการหองสมุดในชวงเวลาหนึ่งของแตละวัน
ขอมูลปริมาณการขายของรานคาในโรงเรียนในแตละวัน หรือแตละสัปดาห เปนตน
การประเมินผล
เนื่องจากในการเรียนการสอนเรื่อง ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางขอมูล ใหความสําคัญ
กับความหมายของการสรางความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางตัวแปรเชิงปริมาณสองตัว ซึ่งอาจอยู
ในรูปอนุกรมเวลาก็ได นอกจากนั้นยังสามารถใชความสัมพันธนี้ในการพยากรณคาตัวแปรตามเมื่อ
กําหนดคาของตัวแปรอิสระที่อยูในชวงพิสัยของคาที่เปนไปไดของตัวแปรอิสระที่ใชในการคํานวณ
ความสัมพันธ ดังนั้นในการประเมินผลผูสอนอาจประเมินจากแบบฝกหัด ขอสอบที่เนนการเลือกคู
ของตัวแปรที่คาดวาจะมีความสัมพันธกัน หรือมีความสมเหตุสมผลในการใชตัวแปรหนึ่งเพื่อทํานาย
คาของตัวแปรอีกตัวหนึ่งซึ่งโดยปกติวัดคาไดยากกวา การสรางความสัมพันธไดโดยใชเครื่องคํานวณและการ
คาดทํานายคาของตัวแปรโดยอาศัยสมการความสัมพันธที่ได ความสัมพันธอาจเปนเสนตรงหรือเสนโคง
ในรูปแบบอื่นตามที่เสนอในหนังสือเรียน ผูสอนไมควรเนนการวัดผลในเรื่องของการใชสูตรคํานวณที่
ยุงยาก เชน ขอมูลมีจํานวนมากหรือสมการความสัมพันธแบบอื่นที่ไมใชเสนตรง เชน สมการพหุนามที่มี
กําลังสูง เปนตน
นอกจากนั้นอาจประเมินผลโดยพิจารณาจากผลงานที่ผูเรียนแตละกลุมทํากิจกรรมโดย
พิจารณาจากวัตถุประสงคของการศึกษาความสัมพันธ การเก็บรวบรวมขอมูล ความถูกตองนาเชื่อถือของ
ขอมูล การคํานวณสมการความสัมพันธ การนําเสนองาน การสรุปผลและการสื่อสารใหเปนที่เขาใจ
งายตอผูฟงทั่วไป

11. 102
ตัวอยางแบบทดสอบประจําบท
1. ในการศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรสองตัวในแตละขอตอไปนี้ ควรกําหนดใหตัวแปร
ใดเปนตัวแปรอิสระและตัวแปรใดเปนตัวแปรตาม
1.1 จํานวนชั่วโมงตอวันโดยเฉลี่ยที่นักเรียนใชอานหนังสือหรือเตรียมตัวสอบกับ
คะแนนสอบที่จะไดในการสอบ
1.2 น้ําหนักและสวนสูงของนักเรียน
1.3 ปริมาณฝนตกเฉลี่ยตอปและปริมาณผลผลิตทางการเกษตรในปนั้นๆ
1.4 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรและคะแนนสอบวิชาภาษาไทยของนักเรียน
1.5 ระดับการศึกษาของบิดาและของบุตร (พิจารณาจากจํานวนปที่ใชศึกษาในการไดรับ
วุฒิการศึกษาสูงสุด)
2. ขอมูลตอไปนี้แสดงจํานวนตัวพะยูนที่ถูกฆาเพราะเรือเร็ว และจํานวนเรือเร็วที่จดทะเบียน
(หนวยเปนพันลํา) ในแตละปของรัฐฟลอริดาในชวง ป ค.ศ. 1977 ถึง 1990
ป ค.ศ. เรือเร็วที่จดทะเบียน (1,000) พะยูนที่ถูกฆา
1977 447 13
1978 460 21
1979 481 24
1980 498 16
1981 513 24
1982 512 20
1983 526 15
1984 559 34
1985 585 33
1986 614 33
1987 645 39
1988 675 43
1989 711 50
1990 719 47

12. 103
2.1 ถาตองการศึกษาความสัมพันธระหวางจํานวนเรือเร็วและจํานวนตัวพะยูนที่ถูกฆา
โดยเรือเร็วตัวแปรอิสระคือตัวแปรใด
2.2 จงสรางแผนภาพการกระจายแสดงความสัมพันธระหวางตัวแปรทั้งสองและความ
สัมพันธที่ไดสามารถประมาณไดวาเปนความสัมพันธเชิงเสนตรงหรือไม
2.3 ทิศทางของความสัมพันธเปนเชนไร สามารถพยากรณจํานวนพะยูนที่ถูกฆาดวยจํานวน
เรือเร็วที่จดทะเบียนไดหรือไม
2.4 จงหาสมการแสดงความสัมพันธระหวางจํานวนเรือเร็วและจํานวนพะยูนที่ถูกฆาโดยเรือ
เร็ว ในกรณีที่ตองการพยากรณจํานวนพะยูนที่ถูกฆาโดยเรือเร็วในแตละป
2.5 จากสมการที่ไดในขอ 2.4 คาความชันที่ไดหมายความวาอยางไร
2.6 พยากรณจํานวนพะยูนที่ถูกฆาโดยเรือเร็วถามีจํานวนเรือเร็วจดทะเบียนในปหนึ่ง 716,000 ลํา
ถามีขอมูลเพิ่มเติม ดังนี้
ป ค.ศ. เรือเร็วที่จดทะเบียน (1,000) พะยูนที่ถูกฆา
1991 716 53
1992 716 38
1993 716 35
1994 735 49
นั่นคือรัฐฟลอริดาไดหามาตรการปองกันจํานวนพะยูนที่ถูกฆาโดยเรือเร็ว ซึ่งจะเห็นวาจํานวน
เรือเร็วที่จดทะเบียนใน 3 ปตอไปไมเพิ่มขึ้น
2.7 มาตรการปองกันจํานวนพะยูนที่ถูกฆาโดยเรือเร็วของรัฐฟลอริดานี้ไดผลหรือไม
2.8 ใหเปรียบเทียบจํานวนพะยูนที่ถูกฆาที่ทํานายใน2.5กับคาเฉลี่ยของจํานวนพะยูนที่ถูกฆาจริง
ในป ค.ศ. 1991 ถึง 1993
2.9 หากเพิ่มขอมูลในปค.ศ.1991ถึง1994 เขากับขอมูลเดิมใหคํานวณสมการความสัมพันธ
ใหมที่ได
3. ขอมูลตอไปนี้แสดงระยะเวลา(นาที)ที่ใชในการวายน้ําระยะทาง 2,000 หลาของนักวายน้ํา
คนหนึ่งและอัตราการเตนของหัวใจ (ครั้งตอนาที) หลังวายน้ําเสร็จจากการเก็บขอมูลจํานวน 23 ครั้ง

13. 104
ครั้งที่ ระยะเวลา การเตนของหัวใจ ครั้งที่ ระยะเวลา การเตนของหัวใจ
1 34.12 152 13 34.85 148
2 35.72 124 14 34.70 144
3 34.72 140 15 34.75 140
4 34.05 152 16 33.93 156
5 34.13 146 17 34.60 136
6 35.72 128 18 34.00 148
7 36.17 136 19 34.35 148
8 35.57 144 20 35.62 132
9 35.37 148 21 35.68 124
10 35.57 144 22 35.28 132
11 35.43 136 23 35.97 139
12 36.05 124
3.1 จงหาสมการแสดงความสัมพันธระหวางอัตราการเตนของหัวใจและเวลาที่ใชใน
การวายน้ํา เพื่อใชในการพยากรณอัตราการเตนของหัวใจ
3.2 ถาในครั้งตอไป นักวายน้ําผูนี้ใชเวลา 34.30 นาที ในการวายน้ําระยะทางเดียวกันนี้
อัตราการเตนหัวใจของเขาหลังการวายน้ําควรเปนเทาใด และถาอัตราการเตนของหัวใจจริงๆ คือ
152 ครั้งตอนาที การพยากรณของทานใกลเคียงเพียงใด
3.3 ถาทานทราบวาอัตราการเตนของหัวใจหลังวายน้ําคือ 152 ครั้งตอนาที และตองการ
พยากรณเวลาที่ใชในการวายน้ําครั้งนี้ จงหาสมการความสัมพันธเพื่อใชในวัตถุประสงคครั้งนี้ ทานจะ
พยากรณวาเวลาที่ใชในการวายน้ําครั้งนี้เปนเทาใด แมนยําเพียงใด
3.4 จงอธิบาย เหตุใดสมการที่ไดสองสมการ (ใน 3.1 และ 3.3) จึงแตกตางกัน
4. ขอมูลตอไปนี้แสดงจํานวนประชากร (หนวยเปนลานคน) ที่อาศัยในฟารมประเทศ
สหรัฐอเมริกา
ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
จํานวน 32.1 30.5 24.4 23.0 19.1 15.6 12.4 9.7 8.9 7.2
4.1 จงหาสมการความสัมพันธเพื่อทํานายจํานวนประชากรที่อาศัยในฟารมจากขอมูลรายป
4.2 จากสมการที่ไดจงหาวาในแตละปประชากรที่อาศัยในฟารมลดลงโดยเฉลี่ยปละเทาใด
4.3 จงใชสมการที่ไดพยากรณจํานวนประชากรที่อาศัยในฟารมในป ค.ศ. 1990 และวิจารณ
ผลจากการพยากรณที่ได

14. 105
เฉลยแบบทดสอบประจําบท
1. 1.1 ตัวแปรอิสระคือจํานวนชั่วโมงตอวันโดยเฉลี่ยที่นักเรียนใชอานหนังสือหรือเตรียมตัวสอบ
สวนตัวแปรตามคือ คะแนนที่ไดจากการสอบ
1.2 ไมสมเหตุสมผลที่จะกําหนดใหตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเปนตัวแปรอิสระ และอีกตัวแปร
หนึ่งเปนตัวแปรตาม ทําการศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรทั้งสองได แตไมตองใช
ตัวแปรหนึ่งเพื่อพยากรณคาของอีกตัวแปรหนึ่ง
1.3 ตัวแปรอิสระคือ ปริมาณฝนตกเฉลี่ยตอป สวนตัวแปรตามคือ ปริมาณผลผลิตทางการ
เกษตรในปนั้น ๆ
1.4 ไมสมเหตุสมผลที่จะกําหนดใหตัวแปรใดตัวแปรหนึ่งเปนตัวแปรอิสระและอีกตัวแปรหนึ่ง
เปนตัวแปรตาม ควรศึกษาความสัมพันธระหวางตัวแปรทั้งสองโดยไมตองใชตัวแปร
หนึ่งเพื่อพยากรณคาของอีกตัวแปรหนึ่ง
1.5 ตัวแปรอิสระคือระดับการศึกษาของบิดาสวนตัวแปรตามคือระดับการศึกษาของบุตร
2. 2.1 ตัวแปรอิสระคือ จํานวนเรือเร็วที่จดทะเบียน
2.2 สามารถประมาณไดวาเปนความสัมพันธเชิงเสนตรง
2.3 มีทิศทางไปในทางเดียวกันหรือความสัมพันธเชิงบวก ความสัมพันธระหวางตัวแปรทั้งสองอยู
ในระดับกลาง สามารถทํานายไดดีพอควร
2.4 สมการที่ไดคือ ˆY 41.43 0.1249X= − +
2.5 คาความชัน 0.1249 หมายความวา ถาจํานวนเรือเร็วที่จดทะเบียนเพิ่ม 1,000 ลํา โดยเฉลี่ย
แลวพะยูนจะถูกฆาตายโดยเรือเร็ว .125 ตัว หรือ ถาจํานวนเรือเร็วที่จดทะเบียนเพิ่ม
10,000 ลํา โดยเฉลี่ยแลวพะยูนจะถูกฆาตายโดยเรือเร็ว 1.25 ตัว
2.6 จํานวนพะยูนที่ถูกฆาประมาณ 48 ตัว
2.7 มาตรการนี้ไดผลเนื่องจาก จํานวนพะยูนที่ถูกฆานอยกวา 48 ตัว ซึ่งเปนคาพยากรณจาก
สมการความสัมพันธ แมวาในป ค.ศ. 1991 จะมีพะยูนถูกฆาตาย 53 ตัวก็ตาม แตในป
ตอๆ มา ลดลงเปน 38 และ 35 ตัวตามลําดับ
2.8 คาเฉลี่ยของจํานวนพะยูนที่ถูกฆาจริงคือ 42 ตัว สวนคาที่พยากรณคือ 48 ตัว
2.9 สมการใหมที่ไดคือ ˆY 34.568 0.11115X= − +

15. 106
3. 3.1 สมการที่ไดในกรณีที่ให Y แทนอัตราการเตนของหัวใจ และ X แทน ระยะเวลา คือ
ˆY 479.93 9.695X= −
3.2 การเตนของหัวใจประมาณ 147.39 ครั้งตอนาที การพยากรณต่ํากวาจริงประมาณ 4.6 ครั้ง
3.3 สมการที่ไดในกรณีที่ให Y แทนระยะเวลา และ X แทนอัตราการเตนของหัวใจ คือ
ˆY 43.097 0.0574X= − และพยากรณวาเวลาที่ใชในการวายน้ําครั้งนี้คือ 34.37 นาที
ซึ่งสูงกวาคาจริงเล็กนอย (คาจริง คือ34.30 นาที)
3.4 สมการที่ไดขึ้นกับวาตองการพยากรณคาตัวแปรใดซึ่งจะใชหลักการใหความคลาดเคลื่อน
(ความแตกตางระหวางคาจริงกับคาพยากรณ) ในการพยากรณคาตัวแปรนั้นมีคานอยที่สุด
4. 4.1 สมการความสัมพันธเพื่อพยากรณจํานวนประชากรที่อาศัยในฟารมจากขอมูลรายปคือ
(1) ˆY 1166.9 0.5868X= − ถาไมไดมีการแปลงคาป ค.ศ. หรือใชคาจริงของป ค.ศ.
(2) ˆY 18.29 0.2934X= − ถามีการแปลงคาป ดังนี้
ป 1935 1940 1945 1950 1955 1960 1965 1970 1975 1980
คาที่แปลง -45 -35 -25 -15 -5 5 15 25 35 45
4.2 ประชากรที่อาศัยในฟารมลดลงโดยเฉลี่ย 0.5868 ลานคนตอ 5 ป จากสมการที่ (1) หรือ
0.5868 ลานคน หรือ586,800คนตอป หรือจากสมการ (2) ประชากรที่อาศัยในฟารมลดลง
โดยเฉลี่ย 0.2934 ลานคนตอ 0.5 ป ซึ่งเทากับ 0.2934/0.5 = 0.5868 ลานคน หรือ
586,800 คนตอป
4.3 จํานวนประชากรที่อาศัยในฟารมในป ค.ศ. 1990 จากสมการ (1) คือ –0.832 ลานคน ซึ่ง
เปนไปไมไดที่ไดคาติดลบ ดังนั้นการพยากรณนอกชวงของขอมูลที่เก็บรวบรวมมา (ค.ศ.
1935 ถึง 1980) ออกไปไกลๆ จึงไมควรใช

16. 107
เฉลยแบบฝก 3.4
1. (1) และ (2) แผนภาพการกระจายของขอมูล และกราฟที่ใชแสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ํา
แตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ. 2542 และ พ.ศ. 2543
(3) เนื่องจากความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดอยูในรูปเสนตรง
ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 (Y) เปนตัวแปรตาม
และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 (X) เปนตัวแปรอิสระ
สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bx คือ
n
i
i 1
y
=
∑ =
n
i
i 1
an b x
=
+ ∑
และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n
2
i i
i 1 i 1
a x b x
= =
+∑ ∑
X พ.ศ. 2542
20 40 8060 1000
20
40
60
80
*
*
*
*
*
*
*
*
*
*
พ.ศ. 2543
120 140 160 200180
100
120
140
200
180
160
Y

17. 108
ตารางพจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2)
xi yi
2
ix xiyi
164.1
47.9
51.6
59.9
10.1
14.1
44.3
182.8
134.7
206.0
152.9
35.2
58.2
53.4
11.0
12.8
42.6
164.0
143.1
197.9
26928.81
2294.41
2662.56
3588.01
102.01
198.81
1962.49
33415.84
18144.09
42436.00
25090.89
1686.08
3003.12
3198.66
111.10
180.48
1887.18
29979.20
19275.57
40767.40
10
i
i 1
x
=
∑ = 915.50
10
i
i 1
y
=
∑ = 871.10
10
2
i
i 1
x
=
∑ = 131733.03
10
i i
i 1
x y
=
∑ = 125179.68
แทนคา
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
2
i
i 1
x
=
∑ และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ ในสมการปกติดวยคาในตาราง จะได
871.10 = 10a + 915.50b ---------- (1)
125179.68 = 915.50a + 131733.03b ---------- (2)
(1) × 91.55, 79749.205 = 915.5a + 83814.025b ---------- (3)
(2) – (3) 45430.475 = 47919.005b
b = 0.948
และ a = 0.321
จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําแตละชนิดที่จับไดในป พ.ศ.
2542 และป พ.ศ. 2543 คือ Y
∧
= 0.948X
∧
+ 0.321 ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542
เทากับ 50,000 ตัน (x = 50.00) จะได
Y
∧
= 0.948(50.00) + 0.321 = 47.72
นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ถาป พ.ศ. 2542 จับได 50,000 ตัน ในป พ.ศ. 2543 จะจับได
47,720 ตัน

18. 109
(4) ถาตองการทํานายปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542
ใหปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เปนตัวแปรตาม (X)
และปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เปนตัวแปรอิสระ (Y)
สมการของความสัมพันธ X = a + bY คือ
10
i
i 1
x
=
∑ =
10
i
i 1
an b y
=
+ ∑
และ
10
i i
i 1
x y
=
∑ =
n 10
2
i i
i 1 i 1
a y b y
= =
+∑ ∑
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2)
xi yi
2
iy xiyi
164.1
47.9
51.6
59.9
10.1
14.1
44.3
182.8
134.7
206.0
152.9
35.2
58.2
53.4
11.0
12.8
42.6
164.0
143.1
197.9
23378.41
1239.04
3387.24
2851.56
121
163.84
1814.76
26896
20477.61
39164.41
25090.89
1686.08
3003.12
3198.66
111.10
180.48
1887.18
29979.20
19275.57
40767.40
10
i
i 1
x
=
∑ = 915.50
10
i
i 1
y
=
∑ = 871.10
10
2
i
i 1
y
=
∑ = 119493.87
10
i i
i 1
x y
=
∑ = 125179.68
แทนคา
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
i i
i 1
x y
=
∑ ,
n
2
i
i 1
y
=
∑ ดวยคาในตาราง จะได
915.50 = 10a + 871.10b ---------- (1)
125179.68 = 871.10a + 119493.87b ---------- (2)
(1) × 87.11, 79749.205 = 871.10a + 75881.52b ---------- (3)
(2) – (3),
45430.475 = 43612.35b
b = 1.042
และ a = 0.78

19. 110
จะไดสมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 กับ
ป พ.ศ. 2542 คือ X
∧
= 1.042Y
∧
+ 0.78
ถาปริมาณสัตวน้ําที่จับไดในป พ.ศ. 2543 เทากับ 85,000 ตัน (Y = 85) จะได
X
∧
= 1.042(85) + 0.78 = 89.35
นั่นคือ ปริมาณสัตวน้ําชนิดนี้ที่จับไดในป พ.ศ. 2542 เทากับ 89,350 ตัน
2. แผนภาพการกระจายของราคายางพาราแผนดิบที่ขายไดในป พ.ศ. 2546
พิจารณาจากแผนภาพการกระจายจะไดความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบอยูใน
รูปเสนตรง
ตองการทํานายราคายางพาราแผนดิบ ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ
และราคายางพาราแผนดิบ (Y) เปนตัวแปรตาม
สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ
n
i
i 1
y
=
∑ =
n
i
i 1
an b x
=
+ ∑
และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n
2
i i
i 1 i 1
a x b x
= =
+∑ ∑
X เดือน
48
40
42
44
46
0
36
34
32
38
*
*
*
* **
*
*
* *
ราคา (บาท/กก. )
Y
ม.ค. ก.พ. มี.ค. เม.ย. พ.ค. มิ.ย. ก.ค. ส.ค. ก.ย. ต.ค. พ.ย. ธ.ค.
*
*

20. 111
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณหาคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2)
เดือน xi yi
2
ix xiyi
ม.ค.
ก.พ.
มี.ค.
เม.ย.
พ.ค.
มิ.ย.
ก.ค.
ส.ค.
ก.ย.
ต.ค.
พ.ย.
ธ.ค.
–11
–9
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
9
11
32.41
36.32
40.00
37.29
36.64
38.03
36.59
38.22
39.41
45.41
43.39
41.36
121
81
49
25
9
1
1
9
25
49
81
121
–356.51
–326.88
–280.00
–186.45
–109.92
–38.03
36.56
114.66
197.05
317.87
390.51
454.96
รวม
12
i
i 1
x
=
∑ = 0
12
i
i 1
y
=
∑ = 465.07
12
2
i
i 1
x
=
∑ = 572
12
i i
i 1
x y
=
∑ = 213.82
แทนคา
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
2
i
i 1
x
=
∑ และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ ดวยคาในตารางจะได
465.07 = 12a ---------- (1)
213.85 = 572b ---------- (2)
จาก (1) จะได a = 38.76
จาก (2) จะได b = 0.37
จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับราคายางพาราแผนดิบคือ
Y
∧
= 38.76 + 0.37X
∧
เมื่อ x = 1 แทนเดือนกรกฎาคม และ 2 หนวยของ x
เทากับ 1 เดือน
ในป พ.ศ. 2547 เดือน ม.ค., x = 13 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(13) = 43.57
เดือน ก.พ., x = 15 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(15) = 44.31
เดือน มี.ค., x = 17 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(17) = 45.05
เดือน เม.ย., x = 19 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(19) = 45.79
เดือน พ.ค., x = 21 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(21) = 46.53
เดือน มิ.ย., x = 23 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(23) = 47.27

21. 112
เดือน ก.ค., x = 25 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(25) = 48.01
เดือน ส.ค., x = 27 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(27) = 48.75
เดือน ก.ย., x = 29 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(29) = 49.49
เดือน ต.ค., x = 31 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(31) = 50.23
เดือน พ.ย., x = 33 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(33) = 50.97
เดือน ธ.ค., x = 35 จะได Y
∧
= 38.76 + 0.37(35) = 51.71
นั่นคือ ราคายางพาราแผนดิบในป พ.ศ. 2547 ตั้งแตเดือนมกราคมถึงเดือนธันวาคม โดยประมาณ
เทากับ 43.57, 44.31 45.05, 45.79, 46.53, 47.27, 48.01, 48.75, 49.49, 50.23, 50.97
และ 51.71 บาทตอกิโลกรัม ตามลําดับ
3. แผนภาพการกระจายของปริมาณการนําเขาขาวที่ประเทศหนึ่งในทวีปเอเชียนําเขาจากประเทศไทย
ระหวางป พ.ศ. 2538 – 2545
พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาวอยูในรูป
พาราโบลาตองการทํานายปริมาณการนําเขาขาว
ใหเวลา (X) เปนตัวแปรอิสระ
และปริมาณนําเขาขาว (Y) เปนตัวแปรตาม
X พ.ศ.
2538
0
23
24
25
26
*
*
*
*
*
*
* *
ปริมาณขาว (หมื่นตัน)
Y
2539
2540
2541
2542
2543
2544
2545

22. 113
สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX + cX2
คือ
n
i
i 1
y
=
∑ =
n n
2
i i
i 1 i 1
an b x c x
= =
+ +∑ ∑
n
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n n
2 3
i i i
i 1 i 1 i 1
a x b x c x
= = =
+ +∑ ∑ ∑
n
2
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n n
2 3 4
i i i
i 1 i 1 i 1
a x b x c x
= = =
+ +∑ ∑ ∑
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1), (2) และ (3)
พ.ศ. xi yi
2
ix 3
ix 4
ix xiyi
2
i ix y
2538
2539
2540
2541
2542
2543
2544
2545
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
23.7
23.9
24.8
25.5
25.2
24.6
23.1
23.5
49
25
9
1
1
9
25
49
–343
–125
–27
–1
1
27
125
343
2401
625
81
1
1
81
625
2401
–165.9
–119.5
–74.4
–25.5
25.2
73.8
115.5
164.5
1161.3
597.5
223.2
25.5
25.2
221.4
577.5
1151.5
รวม 0 194.3 168 0 6216 –6.3 3983.1
แทนคา
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
2
i
i 1
x
=
∑ ,
n
3
i
i 1
x
=
∑ ,
n
4
i
i 1
x
=
∑ ,
n
i i
i 1
x y
=
∑ และ
n
2
i i
i 1
x y
=
∑
ดวยคาในตาราง จะได
194.3 = 8a + 168c ---------- (1)
–6.3 = 168b ---------- (2)
3983.1 = 168a + 6216c ---------- (3)
จาก (2) จะได b = –0.038
(1) × 21 4080.3 = 168a + 3528c ---------- (4)
(4) – (3) 97.20 = –2688c
c = –0.036
และ a = 25.04
จะได สมการพาราโบลาที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับปริมาณนําเขาขาว คือ
Y
∧
= 25.04 – 0.038X
∧
– 0.036
2
X
∧
เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2542
และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป

23. 114
ในป 2550, x = 17 จะได Y = 25.04 – 0.038(17) – 0.036(17)2
= 13.99
นั่นคือ ปริมาณการนําเขาขาวของประเทศนี้จากประเทศไทยในป พ.ศ. 2550 เทากับ 13.99 หมื่นตัน
หรือประมาณ 139,900 ตัน
4. แผนภาพการกระจายของตนทุนการผลิตสินคาตอหนวย (บาท) กับจํานวนสินคาที่ผลิตได
พิจารณาจากแผนภาพกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตกับจํานวนสินคาอยูในรูป
เสนตรงตองการทํานายตนทุนการผลิต ใหจํานวนสินคา (X) เปนตัวแปรอิสระ
และ ตนทุนการผลิตสินคานี้ (Y) เปนตัวแปรตาม
สมการปกติของความสัมพันธ Y = a + bX คือ
n
i
i 1
y
=
∑ =
n
i
i 1
an b x
=
+ ∑
และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n
2
i i
i 1 i 1
a x b x
= =
+∑ ∑
ตนทุนตอหนวย (บาท)
Y
X จํานวนที่ผลิต0
1 2 3 4 5 6 7 8
10
20
30
40
50
* * *
*
*
*
*
*
60
9 10
*
*

24. 115
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2)
xi yi
2
ix xiyi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
58
56
55
50
45
40
37
30
26
20
1
4
9
16
25
36
49
64
81
100
58
112
165
200
225
240
259
240
234
200
55 417 385 1933
แทนคา
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
2
i
i 1
x
=
∑ และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ ดวยคาในตาราง
จะได
417 = 10a + 55b ---------- (1)
1933 = 55a + 385b ---------- (2)
(1) × 5.5, 2293.5 = 55a + 302.5b ---------- (4)
(3) – (2), 360.5 = –82.5b
b = –4.37
และ a = 65.73
จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยกับจํานวนสินคา
ที่ผลิตได คือ Y
∧
= –4.37X
∧
+ 65.73
ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย (x = 7) จะได
Y
∧
= 65.73 – 4.37(7) = 35.14
นั่นคือ ถาจํานวนสินคาที่ผลิตไดเปน 7 หนวย ตนทุนการผลิตสินคาตอหนวยมีคาประมาณ 35.14 บาท

25. 116
5. (1) กราฟแสดงความสัมพันธระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูกในแตละครั้ง
จากกราฟ ความสัมพันธเชิงฟงกชันระหวางแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาสองลูก ควรอยูใน
รูปเสนตรง
(2) โดยแทจริงแลวแตมที่ไดจากการทอดลูกเตาทั้งสองในแตละครั้งไมควรมีความสัมพันธกัน
แตมจากลูกเตาลูกที่ 2
Y
X แตมจากลูกเตาลูกที่ 1
6
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
*
*
* *
*
* *
*
*
*

26. 117
6. แผนภาพการกระจายของมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศระหวางป พ.ศ.
2536 – 2545
(1) พิจารณาจากแผนภาพการกระจาย จะไดความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาสินคาขาเขาที่
ประเทศไทยนําเขาจากตางประเทศอยูในรูปเสนตรงตองการทํานายมูลคาของสินคาใหเวลา (X)
เปนตัวแปรอิสระ และ มูลคาของสินคา (Y) เปนตัวแปรตามสมการปกติของความสัมพันธ
Y = a + bX คือ
n
i
i 1
y
=
∑ =
n
i
i 1
an b x
=
+ ∑
และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ =
n n
2
i i
i 1 i 1
a x b x
= =
+∑ ∑
X พ.ศ.
2536
0
10
15
20
30
*
*
***
*
*
*
มูลคาสินคา (พันลานบาท)
Y
2537
2538
2539
2540
2541
2542
2543
25
2544
2545
* *

27. 118
พจนตาง ๆ ที่ใชในการคํานวณคาคงตัวจากสมการปกติ (1) และ (2)
พ.ศ. xi yi
2
ix xiyi
2536
2537
2538
2539
2540
2541
2542
2543
2544
2545
–9
–7
–5
–3
–1
1
3
5
7
9
11.71
13.69
18.35
18.57
19.24
17.74
19.10
24.94
27.55
27.75
81
49
25
9
1
1
9
25
49
81
–105.39
–95.83
–91.75
–55.71
–19.24
17.74
57.30
124.70
192.85
249.75
รวม 0 198.64 330 274.42
แทนคา
n
i
i 1
y
=
∑ ,
n
i
i 1
x
=
∑ ,
n
2
i
i 1
x
=
∑ และ
n
i i
i 1
x y
=
∑ ดวยคาในตาราง จะได
198.64 = 10a ----------(1)
274.42 = 330b ----------(2)
จาก (1) จะได a = 19.8
จาก (2) จะได b = 0.832
จะได สมการเสนตรงที่แสดงความสัมพันธระหวางเวลากับมูลคาของสินคาขาเขาที่ประเทศไทยนําเขา
คือ Y
∧
= 19.8 + 0.832X
∧
เมื่อ x = 1 แทน พ.ศ. 2541 และ 2 หนวยของ x เทากับ 1 ป
(2) ในป พ.ศ. 2546, x = 11 จะได Y
∧
= 19.8 + 0.832(11) = 28.95
พ.ศ. 2547, x = 13 จะได Y
∧
= 19.8 + 0.832(13) = 30.62
พ.ศ. 2548, x = 15 จะได Y
∧
= 19.8 + 0.832(15) = 32.28
พ.ศ. 2549, x = 17 จะได Y
∧
= 19.8 + 0.832(17) = 33.94
พ.ศ. 2550, x = 19 จะได Y
∧
= 19.8 + 0.832(19) = 35.61
นั่นคือ มูลคาของสินคาโดยประมาณที่ประเทศไทยนําเขาระหวางป พ.ศ. 2546 – 2550 เปน
28.95, 30.62, 32.28, 33.94 และ 35.61 พันลานบาท ตามลําดับ

28. 119
0 2 4 6 8 10 12 14
8
7. (1) ถาขอมูลประกอบดวยตัวแปรสองตัวแลว ตัวแปรทั้งสองนั้นอาจจะมีความสัมพันธ
เชิงฟงกชันหรือไมมีก็ได
(2)
(3)
(4) คาที่ไดจากการทํานายสวนใหญ จะเปนเพียงคาประมาณ ซึ่งอาจจะไมเทากับคา
ที่ควรเปนจริง
(5) ถาขอมูลมีจํานวนนอย ไมควรนํามาสรางความสัมพันธ เพราะความสัมพันธที่สรางขึ้น
อาจจะไมสามารถแทนความสัมพันธที่ควรจะเปนจริงได
(6) ขอมูลอนุกรมเวลาจะตองประกอบดวยตัวแปรอยางนอย 2 ตัว โดยที่มีตัวแปรตัวหนึ่ง
ใชแทนเวลา
(7) การกําหนดคาของตัวแปรที่ใชแทนเวลา จะกําหนดคาเปนบวกหรือเปนลบก็ได
(8) เพราะสมการ y = 0.85x จะใชทํานายรายจายโดยเฉลี่ยตอเดือนของครอบครัวที่อาศัยอยู
ในจังหวัดชลบุรีเทานั้น ไมสามารถนําไปใชทํานายรายจายของครอบครัวที่จังหวัดอื่นได
(9)
(10)
8. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูล Y และ X
(2) จากสมการ Y
∧
= 35.57 – 1.40X
∧
ที่ใชประมาณจํานวนของเสีย (ชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ)
จากระยะเวลาฝกทักษะคนงาน พบวา เมื่อเรานําขอมูลระยะเวลาฝกทักษะของคนงานแทนใน
สมการขางตน ทําใหสามารถวิเคราะหขอมูลไดวา
เมื่อระยะเวลาฝกงานของคนงานเพิ่มมากขึ้นจํานวนของเสียจะลดนอยลง ในทํานอง
เดียวกัน ถาระยะเวลาฝกงานของคนงานนอยจํานวนของเสียจะมีคามาก
24
*
*
*
* *
40
16
32
X ระยะเวลาฝกงาน
(สัปดาห)
Y จํานวนชิ้นงานที่คนงานทําไมสําเร็จ
*
*
*
*
*
*
*
*

29. 120
(3) จากสมการ Y
∧
= 35.57 – 1.40X
∧
จะไดคา Y
∧
และคา Y – Y
∧
ดังนี้
ระยะเวลา
ฝกงาน
(สัปดาห)
7 9 6 14 8 12 10 4 2 11 1 8
Y
∧
25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77 25.77
Y – Y
∧
0.23 –2.97 0.83 0.03 –1.37 –0.77 2.43 –3.97 5.23 1.83 –2.17 0.63
(4) ผลตางของ Y – Y
∧
ควรมีคาต่ํา เพราะนั่นหมายความวา สมการ Y
∧
ที่ใชประมาณจํานวน
ของเสีย มีคาใกลเคียงกับความเปนจริง
หากคาของ Y – Y
∧
มีคาสูง แสดงวา สมการ Y
∧
นั่น ไมเหมาะสมใชประมาณจํานวนของเสีย
9. (1) แผนภาพการกระจายของขอมูลปริมาณน้ําหนักที่ลดลง (DX) และปริมาณไทรกลีเซอไรด
ที่เปลี่ยนแปลงเมื่อคนไขลดน้ําหนักเปนเวลา 8 สัปดาห (DY)
(2) จากแผนภาพไมมีขอมูลผิดปกติ และลักษณะกราฟแสดงความสัมพันธระหวาง DX และ DY
เปนกราฟรูปเสนตรง
-10 -5 0
-200
-100
0
100
200
300
400
DX
DY
*
**
* *
*
**
*
*
*
*
*
* *
*
** ****
*
*
* * *
* *
*
*
** *

30. 121
(3) สามารถใชสมการปกติ และผลรวมของขอมูลจากตาราง ดังนี้
34
i
i 1
(DY)
=
∑ =
34
i
i 1
an b (DX)
=
+ ∑
34
i i
i 1
(DX) (DY)
=
∑ =
34 34
2
i i
i 1 i 1
a (DX) b (DX)
= =
+∑ ∑
แทนคา
34
i
i 1
(DX)
=
∑ = –139.2,
34
i
i 1
(DY)
=
∑ = –747,
34
i i
i 1
(DX) (DY)
=
∑ = 4,545.7
34
2
i
i 1
(DX)
=
∑ = 798.76
จะได สมการปกติ คือ
–749 = a (34) + b(–139.20) ---------- (1)
4,545.7 = a(–139.20) + b(798.76) ---------- (2)
จะได a = 4.42, b = 6.46
ดังนั้น สมการที่ใชประมาณคาของ DY จากคาของ DX คือ
DY
∧
= 4.42 + 6.46DX
∧
หรือถาน้ําหนักเพิ่มขึ้น 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดเพิ่มขึ้นโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย
หรือ ถาน้ําหนักลดลง 1 หนวย อาจทําใหปริมาณไทรกลีเซอไรดลดลงโดยเฉลี่ย 6.46 หนวย
(4) จากสมการที่ใชประมาณคา DY ในขอ 3
เมื่อ DX
∧
= -5 จะได
DY
∧
= 4.42 + 6.46(-5)
= -27.88
ดังนั้น DY ที่พยากรณไดเมื่อ DX = -5 คือ -27.88
หมายความวา ถาน้ําหนักลดลง 5 กิโลกรัม ปริมาณไทรกลีเซอไรดจะลดลงโดยเฉลี่ย 27.88
มิลลิกรัมตอเดซิลิตร
หมายเหตุ จะเห็นวาการรวมและไมรวมคาผิดปกติใหผลลัพธที่ตางกัน ในบางกรณีอาจใหผลลัพธที่ตาง
กันมากโดยเฉพาะกรณีที่รวมคาผิดปกติหลายคา ซึ่งอาจมีผลกระทบมากตอสมการความสัมพันธจน
อันตรายหรือใชในความหมายที่ผิดได อยางไรก็ตามในการศึกษาในระดับที่สูงขึ้นเราสามารถตรวจ
สอบหาคาผิดปกติโดยใชวิธีการทางสถิติไดตอไป