Тема 2 Нерівності зі змінною (2 год)

1. Розглянемо таку задачу. Одна із сторін паралелограма дорівнює 7 см. Якою
має бути довжина другої сторони, щоб периметр паралелограма був більший за
44 см?
Нехай шукана сторона дорівнює x см. Тоді периметр паралелограма дорівнює
(14 +2x) см. Нерівність 14 + 2x > 44 є математичною моделлю задачі про периметр
паралелограма.
Якщо в цю нерівність замість змінної x підставити, наприклад, число 16, то
отримаємо правильну числову нерівність 14+32>44. Кажуть, що число 16 є
розв’язком нерівності 14 + 2x > 44.
Означення. Розв’язком нерівності з однією змінною називають значення
змінної, яке перетворює її в правильну числову нерівність.
Так, кожне з чисел 15,1; 20; 101 є розв’язком нерівності 14 + 2x > 44, а,
наприклад, число 10 не є її розв’язком.
З а у в а ж е н н я. Означення розв’язку нерівності аналогічне означенню
кореня рівняння. Проте не прийнято говорити «корінь нерівності».
Розв’язати нерівність означає знайти всі її розв’язки або довести, що
розв’язків немає.
Усі розв’язки нерівності утворюють множину розв’язків нерівності. Якщо
нерівність розв’язків не має, то кажуть, що множиною її розв’язків є порожня
множина. Отже, розв’язати нерівність означає знайти множину її розв’язків.
Наприклад, до задачі «розв’яжіть нерівність x2
>0» відповідь буде такою:
«множина всіх чисел, крім числа 0».
1. Нерівності зі змінними. Поняття про розв’язування та
доведення нерівностей зі змінними. Область
допустимих значень нерівностей. Рівносильні
нерівності, нерівності-наслідки.

2. Очевидно, що нерівність |x| < 0 розв’язків не має, тобто множиною її
розв’язків є порожня множина.
Означення. Нерівності називають р і в н о с и л ь н и м и, якщо множини
їх розв’язків рівні.
Наведемо кілька прикладів.
Нерівності x2
≤0 I |x|≤0 є рівносильними. Справді, кожна з них має єдиний
розв’язок x=0.
Нерівності x2
>-1 i |x|> -2 є рівносильними, оскільки множиною розв’язків
кожної з них є множина всіх чисел.
Оскільки кожна з нерівностей |x|<-1 і 0x < -3 розв’язків не має, то вони також
є рівносильними.
Означення. Нерівності виду ax>b i ax<b, де x – змінна, a i b – параметри,
називають л і н і й н и м и н е р і в н о с т я м и з о д н і є ю з м і н н о ю.
Означення. Якщо множина розв’язків першої нерівності є підмножиною
множини розв’язків другої нерівності, то другу нерівність називають н а с –
л і д к о м першої нерівності.
Наприклад, нерівність х > 2 є наслідком нерівності х>5.
Оскільки порожня множина є підмножиною будь-якої множини, то будь-яка
нерівність з однією змінною є наслідком нерівності, яка не має розв’язків,
наприклад нерівності |х| < 0.
Приклад. При яких значеннях параметра а нерівність 2х + а >0 є наслідком
нерівності х+1 -3а >0?
Розв’язання. Замінимо дані нерівності на рівносильні. Маємо: х > і

3. х > 3а – 1. Множина розв’язків нерівності х > має містити множину
розв’язків нерівності х > 3а – 1, а це виконується, якщо ≤ 3а – 1, тобто а≥
Доведення нерівностей за означенням
Приклад 1. Довести , що для х > 1 виконується нерівність.
1 1х х х х≥ − + −
Доведення. Дана нерівність справедлива, оскільки нерівність 1
2
х
х≥ − та
1
2
х
х х≥ − справедливі і не перетворюються в рівність одночасно.
Приклад 2. Довести нерівність 2 2 2
3 2( ).a b c a b c+ + + ≥ + +
Доведення. Розглянемо різницю між лівою та правою частинами даної нерівності
і визначимо її знак.
Маємо: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
3 2 2 2 2 1 2 1 2 1a b c a b c a a b b c c+ + + − + + = − + + − + + − + =
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0.a b c= − + − + − ≥
Отже, 2 2 2
3 2( ).a b c a b c+ + + ≥ + + , що й треба було довести.
Приклад 3. Довести нерівність 1 1 1 8,
y z x
x y z
    
+ + + ≥ ÷ ÷  ÷
    
де 0, 0, 0.x y z> > >
Доведення . Розглянемо різницю між лівою та правою частинами нерівності :
2 2 2
1 1 8 6
2 2 2 6
z y z x y x z x y x z y
x x y z z y x z x y y z
z x y x z y
x z x y y z
    
+ + + + + + + − = + + + + + − = ÷  ÷ ÷
     
     
+ + + + + + + + − = ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷
     
2. Доведення нерівностей способом «за означенням»

4. =
2 2 2
z x y x z y
x z x y y z
     
+ + + + + ÷  ÷  ÷ ÷  ÷  ÷
     
.
Кожний із доданків різниці невід’ємний. Тому справедлива дана в умові
нерівність.
Приклад 4. Довести, що для будь – яких додатних чисел х та у виконується
нерівність ( ) 3 33 4 .x y x y+ ≥ +
Доведення. Замінимо дану нерівність на рівносильну для 0x > та 0y > . Маємо:
( )( ) ( )
3 3
3 33 4 ,x y x y+ ≥ +
( ) 2 23 3
4 3 3 ,x y x x y xy y+ ≥ + + + ( ) ( )33 33 3 .x y xy x y+ ≥ +
Доведемо , що різниця правої та лівої частин одержаної нерівності невід’ємна,
тобто 2 23 3
0x y x y xy+ − − ≥ . Справді,
( ) ( )3 3 33 3 2 2 2 23 3 33 3 33 3 3x y x y y x x x y y x y+ − − = − − − =
( )( ) ( ) ( )
2
3 2 23 3 333 3 3 0x y x y x y x y= − − = − + ≥ .