Παρουσίαση των σημαντικότερων κατανομών πιθανότητας και των ιδιοτήτων τους.

1. ΑΧΙΛΛΕΑΣ ΠΑΠΑΤΣΙΜΠΑΣ
ΙΟΥΛΙΟΣ 2018
ΣΗΜΑΝΤΙΚΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ
1

2. Εισαγωγή
 Ορισμένες κατανομές πιθανοτήτων εμφανίζονται σε
διάφορες πτυχές της καθημερινής ζωής έτσι ώστε να
έχουν ξεχωριστά ονόματα.
 Στην παρούσα παρουσίαση, εξετάζουμε και
μελετάμε κάποιες βασικές ιδιότητες των κατανομών
αυτών.
2

3. Κατανομές που θα μελετήσουμε
 Θα αναφερθούμε στις παρακάτω κατανομές:
Διωνυμική
Poisson
Ομοιόμορφη
Κανονική
Εκθετική
3

4. Διωνυμική κατανομή
 Ας θεωρήσουμε τα παρακάτω σενάρια:
Το πλήθος των φορών που θα φέρουμε
κορώνα/γράμματα σε μια ακολουθία ρίψεων.
Το πλήθος των ψήφων για δύο διαφορετικούς
υποψήφιους στις εκλογές.
Ο αριθμός των ανδρών/γυναικών σε μια εταιρεία.
Ο αριθμός των ελαττωματικών προϊόντων σε μία
γραμμή παραγωγής.
 Σε όλες τις παραπάνω εφαρμογές μπορεί να
χρησιμοποιηθεί η διωνυμική κατανομή.
4

5. Υποθέσεις για τη διωνυμική κατανομή
 Εκτελούνται δοκιμές ενός τυχαίου πειράματος.
 Κάθε δοκιμή έχει σαν αποτέλεσμα επιτυχία ή
αποτυχία.
 Η πιθανότητα επιτυχίας είναι αμετάβλητη από
δοκιμή σε δοκιμή του τυχαίου πειράματος.
 Οι δοκιμές είναι μεταξύ τους ανεξάρτητες.
 Μας ενδιαφέρει ο συνολικός αριθμός των επιτυχιών
στις δοκιμές του τυχαίου πειράματος.
p
n
n
5

6. Υποθέσεις για τη διωνυμική κατανομή
 Κάτω από τις προηγούμενες υποθέσεις η τυχαία
μεταβλητή θα παριστάνει τον συνολικό αριθμό
των επιτυχιών.
 Η θα λέγεται διωνυμική τυχαία μεταβλητή.
 Η συνάρτηση πιθανότητας της λέγεται διωνυμική
κατανομή.
X
X
X
6

7. Συνάρτηση πιθανότητας
 Έστω μια διωνυμική τυχαία μεταβλητή. Η
συνάρτηση πιθανότητας της είναι:
για
 Οι τιμές των και λέγονται παράμετροι της
κατανομής.
!
( ) (1 )
!( )!
x n xn
P X x p p
x n x

  

X
X
0,1,2,...,x n
pn
7

8. Παράδειγμα: Τεστ πολλαπλής επιλογής
 Θεωρούμε ένα τεστ το οποίο περιέχει 10 ερωτήσεις
πολλαπλής επιλογής και 4 δυνατές απαντήσεις για
καθεμία ερώτηση, εκ των οποίων μόνο μία είναι
σωστή.
 Υποθέτουμε ότι ένας μαθητής διαλέγει στην τύχη μία
απάντηση για κάθε ερώτηση.
 Έστω ο αριθμός των σωστών απαντήσεων. Τότε η
ακολουθεί διωνυμική κατανομή με παραμέτρους
και .
X
X
10n  0,25p 
8

9. Παράδειγμα: Τεστ πολλαπλής επιλογής
 Υποθέτουμε ότι όλες οι υποθέσεις της διωνυμικής
κατανομής ισχύουν.
 Θέλουμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο
μαθητής να μην απαντήσει σε καμία ερώτηση
σωστά.
 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
0 10 0
10
10!
( 0) (0,25) (1 0,25)
0!(10 0)!
(0,75)
0,0563
P X 
  



9

10. Παράδειγμα: Τεστ πολλαπλής επιλογής
 Αν θέλαμε να υπολογίσουμε την πιθανότητα ο
μαθητής να αποτύχει στην εξέταση; (δηλαδή να έχει
λιγότερες από 5 σωστές απαντήσεις)
 Η ζητούμενη πιθανότητα θα ήταν:
4
0
( 5) ( )
( 0) ( 1) ( 2) ( 3)
( 4)
0,0563 0,1877 0,2816 0,2503 0,1460
0,9219
i
P X P X i
P X P X P X P X
P X

  
        
 
    


10

11. Μέση τιμή και διακύμανση
 Η μέση τιμή της διωνυμικής κατανομής είναι:
 Η διακύμανση είναι:
( )E X np  
2
( ) (1 )Var X np p   
11

12. Κατανομή Poisson
 H Poisson κατανομή είναι εφαρμόσιμη σε καταστάσεις
όπου τυχαία «γεγονότα» ή «αφίξεις» προκύπτουν με
έναν συγκεκριμένο ρυθμό σε μια χρονική περίοδο.
 Θεωρούμε τα ακόλουθα σενάρια:
 Ο αριθμός των πελατών που καταφθάνουν στο ταμείο
μιας τράπεζας σε μία ώρα.
 Ο ημερήσιος αριθμός ατυχημάτων σε ένα συγκεκριμένο
σημείο ενός αυτοκινητόδρομου.
 Ο ημερήσιος αριθμός τηλεφωνημάτων σε ένα
τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια της νύχτας.
Σε όλες τις παραπάνω εφαρμογές μπορεί να
χρησιμοποιηθεί η κατανομή Poisson.
12

13. Υποθέσεις για την Poisson κατανομή
 Ο αριθμός των αφίξεων που προκύπτουν σε
οποιοδήποτε χρονικό διάστημα είναι ανεξάρτητος
του αριθμού των γεγονότων σε οποιοδήποτε άλλο
χρονικό διάστημα.
 Η κατανομή του αριθμού των αφίξεων σε ένα
διάστημα είναι η ίδια για όλα τα διαστήματα με ίδιο
μήκος.
 Για ένα μικρό χρονικό διάστημα, η πιθανότητα
παρατήρησης ενός γεγονότος είναι ανάλογη του
χρονικού διαστήματος.
13

14. Υποθέσεις για την Poisson κατανομή
 Η πιθανότητα παρατήρησης δύο ή περισσότερων
γεγονότων σε ένα διάστημα προσεγγίζει το μηδέν
καθώς το διάστημα γίνεται μικρότερο.
 Κάτω από τις παραπάνω υποθέσεις, έστω ο
ρυθμός με τον οποίο συμβαίνουν τα γεγονότα,
είναι το μήκος ενός χρονικού διαστήματος, και
είναι ο συνολικός αριθμός των γεγονότων σε αυτό το
χρονικό διάστημα.
 Η θα λέγεται Poisson τυχαία μεταβλητή.
 Η κατανομή πιθανότητας της λέγεται κατανομή
Poisson.

t
X
X
X
14

15. Συνάρτηση πιθανότητας
 Έστω μια Poisson τυχαία μεταβλητή. Η
συνάρτηση πιθανότητας της είναι:
για
 Έστω . Τότε το εκφράζει τη μέση τιμή του
αριθμού των γεγονότων σε ένα διάστημα μήκους .
 Η τιμή του είναι η παράμετρος της κατανομής
Poisson.
X
X
 ( )
!
x
t t
P X x e
x
 
 
0,1,2,...,x n
t  
t

15

16. Παράδειγμα: Τυπογραφικά λάθη βιβλίου
 Ο αριθμός των τυπογραφικών λαθών σε ένα βιβλίο
ακολουθεί κατανομή Poisson με μέση τιμή 1,5 λάθη
ανά 100 σελίδες.
 Υποθέτουμε ότι 100 σελίδες του βιβλίου επιλέγονται
τυχαία. Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν
καθόλου τυπογραφικά λάθη;
 Η απάντηση είναι:
0
1,5 1,5
( 0) 0,2231
! 0!
x
P X e e
x
  
   
16

17. Παράδειγμα: Τυπογραφικά λάθη βιβλίου
 Υποθέτουμε ότι επιλέγουμε τυχαία 400 σελίδες του
βιβλίου. Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν
καθόλου τυπογραφικά λάθη;
 Τότε η απάντηση είναι:
 
0
1,5 4 1,5 4
( 0) 0,002479
0!
P X e  
  
17

18. Μέση τιμή και διακύμανση
 Η μέση τιμή της Poisson κατανομής είναι:
 Η διακύμανση είναι:
( )E X 
( )Var X 
18

19. Ομοιόμορφη κατανομή
 Η ομοιόμορφη κατανομή είναι η πιο απλή
περίπτωση μιας συνεχούς κατανομής πιθανότητας.
 Μια τυχαία μεταβλητή λέμε ότι ακολουθεί
ομοιόμορφη κατανομή αν η συνάρτηση πυκνότητας
πιθανότητας της δίνεται από:
για
1
( )f x
 


x      
X
19

20. Ομοιόμορφη κατανομή
 Γραφικά η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας
είναι:
όπου η γκρι περιοχή έχει εμβαδόν
 Οι τιμές των και είναι οι παράμετροι της
ομοιόμορφης κατανομής.
1
 
 



 
20

21. Μέση τιμή και διακύμανση
 Η μέση τιμή της ομοιόμορφης κατανομής είναι:
 Η διακύμανση είναι:
( )
2
E X
 

2
( )
( )
12
Var X
 

21

22. Τυπική ομοιόμορφη κατανομή
 Η τυπική ομοιόμορφη κατανομή έχει παραμέτρους
και .
 Συνεπώς η συνάρτηση πυκνότητας είναι για
και οπουδήποτε αλλού.
0  1 
( ) 1f x 
0 1x 
22
0

23. Παράδειγμα: Πωλήσεις βενζίνης
 Υποθέτουμε ότι η ποσότητα της βενζίνης που
πωλείται καθημερινά σε ένα σταθμό καυσίμων
ακολουθεί ομοιόμορφη κατανομή με ελάχιστο 2000
γαλόνια και μέγιστο 5000 γαλόνια βενζίνης.
 Ποια είναι η πιθανότητα οι ημερήσιες πωλήσεις να
βρίσκονται μεταξύ 2500 και 3000 γαλονιών;
 Η απάντηση είναι:
   
1
2500 3000 3000 2500
5000 2000
0,1667
P X   


23

24. Παράδειγμα: Πωλήσεις βενζίνης
 Ποια είναι τώρα η πιθανότητα ο σταθμός καυσίμων
να πουλήσει τουλάχιστον 4000 γαλόνια βενζίνης;
   
1
4000 5000 4000
5000 2000
0,3333
P X   


24

25. Κανονική κατανομή
 Η κανονική κατανομή είναι η πιο σημαντική
κατανομή στη στατιστική, καθώς έχει πολλές
εφαρμογές. Ο κύριος λόγος είναι ότι μεγάλα
αθροίσματα (μικρών) τυχαίων μεταβλητών συχνά
αποδεικνύεται ότι ακολουθούν κανονική κατανομή.
 Μια τυχαία μεταβλητή λέγεται ότι ακολουθεί
κανονική κατανομή με παραμέτρους και αν η
συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι:
για
X
 2

2
1 1
( ) exp
22
x
f x


   
   
   
x   
25

26. Μέση τιμή και διακύμανση
 Η μέση τιμή της κανονικής κατανομής είναι:
 Η διακύμανση είναι:
 Συνεπώς, η κανονική κατανομή χαρακτηρίζεται από
μια μέση τιμή και μια τυπική απόκλιση .
( )E X 
2
( )Var X 
 
26

27. Καμπύλη κανονικής κατανομής
 Η καμπύλη της κανονικής κατανομής είναι:
 Η καμπύλη έχει σχήμα καμπάνας και είναι
συμμετρική γύρω από τη μέση τιμή .
 Η τυπική απόκλιση καθορίζει πόσο «επίπεδη»
τείνει να γίνει η καμπύλη.


27

28. Μεταβολή στη μέση τιμή
 Αυξάνοντας τη μέση τιμή, μετατοπίζεται η καμπύλη
της κανονικής κατανομής προς τα δεξιά.
28

29. Μεταβολή στη τυπική απόκλιση
 Αυξάνοντας την τυπική απόκλιση, η καμπύλη της
κανονικής κατανομής γίνεται πιο επίπεδη.
29

30. Τυπική κανονική κατανομή
 Η κανονική κατανομή με μέση τιμή 0 και τυπική
απόκλιση 1 λέγεται τυπική κανονική κατανομή.
 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας γίνεται τότε:
για
 Για τον υπολογισμό των πιθανοτήτων της τυπικής
κανονικής κατανομής χρησιμοποιούνται στατιστικοί
πίνακες.
2
2
1
( )
2
x
f x e



x   
30

31. Πίνακας κανονικής κατανομής
31

32. Πίνακας κανονικής κατανομής
 Έστω μια τυχαία μεταβλητή η οποία ακολουθεί
τυπική κανονική κατανομή. Ο πίνακας κανονικής
κατανομής υπολογίζει τις πιθανότητες τις μορφής
για οποιοδήποτε μη αρνητικό αριθμό .
Z
(0 )P Z z  z
32

33. Μετατροπή σε τυπική κανονική κατανομή
 Η πιο συνήθης τεχνική είναι να μετατρέπουμε μια
τυχαία μεταβλητή από κανονική κατανομή με
παραμέτρους και , σε μία τυχαία μεταβλητή
με παραμέτρους 0 και 1.
 Χρησιμοποιούμε γι αυτό τον τυπικό μετασχηματισμό
X
  Z
X
Z




33

34. Παράδειγμα: Χρόνος κατασκευής υπολογιστών
 Υποθέτουμε ότι ο χρόνος που απαιτείται για να
κατασκευαστεί ένας υπολογιστής ακολουθεί
κανονική κατανομή με μέση τιμή 50 λεπτά και
τυπική απόκλιση 10 λεπτά.
 Ποια είναι η πιθανότητα ο χρόνος συναρμολόγησης
ενός υπολογιστή να είναι μεταξύ 45 και 60 λεπτών;
 Υπολογίζουμε την πιθανότητα (45 60)P X 
45 50 50 60 50
( 0,5 1)
10 10 10
X
P P Z
   
      
 
34

35. Παράδειγμα: Χρόνος κατασκευής υπολογιστών
 Στη συνέχεια παρατηρούμε ότι
 Με τη βοήθεια πινάκων βρίσκουμε ότι:
και
οπότε τελικά
 Άρα
( 0,5 1) (0 0,5) (0 1)P Z P Z P Z        
(0 0,5) 0,1915P Z   (0 1) 0,3413P Z  
( 0,5 1) 0,5328P Z   
(45 60) 0,5328P X  
35

36. Εκθετική κατανομή
 Άλλη μια χρήσιμη συνεχής κατανομή είναι η
εκθετική κατανομή, η οποία έχει την ακόλουθη
συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας:
για
 Η κατανομή έχει μόνο μια παράμετρο , η οποία
καλείται ρυθμός.
 Η εκθετική κατανομή χρησιμοποιείται για να
μοντελοποιήσουμε χρονικά διαστήματα μεταξύ
«τυχαίων γεγονότων» ή «τυχαίων αφίξεων».
( ) x
f x e 
 

0x 

36

37. Εκθετική κατανομή: Εφαρμογές
 Η χρονική διάρκεια τηλεφωνικών κλήσεων.
 Ο χρόνος που μεσολαβεί μεταξύ των δύο διαδοχικών
αφίξεων σε ένα σταθμό εξυπηρέτησης.
 Ο χρόνος ζωής ηλεκτρονικών συσκευών.
37

38. Σχέση με την κατανομή Poisson
 Όταν οι χρόνοι μεταξύ τυχαίων γεγονότων
ακολουθούν την εκθετική κατανομή με ρυθμό .
τότε ο συνολικός αριθμός των αφίξεων σε μια
χρονική περίοδο μήκους ακολουθεί την κατανομή
Poisson με παράμετρο .

t
t
38

39. Μέση τιμή και διακύμανση
 Η μέση τιμή της εκθετικής κατανομής είναι:
 Η διακύμανση είναι:
1
( )E X


2
1
( )Var X

 
  
 
39

40. Γραφική παράσταση
 Παρατηρούμε ότι όσο μεγαλύτερος είναι ο ρυθμός,
τόσο πιο γρήγορα φθίνει η καμπύλη.
40

41. Αθροιστική συνάρτηση κατανομής
41
 Η αθροιστική συνάρτηση κατανομής της εκθετικής
κατανομής είναι:
 Χρήσιμη σε εφαρμογές είναι και η συμπληρωματική
πιθανότητα:
 Άμεση συνέπεια στης αθροιστικής συνάρτησης είναι
και η:
( ) 1 x
P X x e 
  
( ) x
P X x e 
 
1 2
1 2( ) x x
P x X x e e  
   

42. Παράδειγμα: Χρόνος ζωής μπαταρίας
 Ο χρόνος ζωής μίας αλκαλικής μπαταρίας
ακολουθεί εκθετική κατανομή με ανά ώρα.
 Ποια είναι η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση του
χρόνου ζωής της μπαταρίας;
 Η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση είναι ίσες.
X
0,05 
1
( ) ( ) 20 ώρες
0,05
E X Var X  
42

43. Παράδειγμα: Χρόνος ζωής μπαταρίας
 Ποια είναι οι πιθανότητα για μία μπαταρία να
διαρκέσει μεταξύ 10 και 15 ωρών;
 Απάντηση:
 Ποια είναι η πιθανότητα να διαρκέσει πάνω από 20
ώρες;
 Απάντηση:
0,0510 0,0515
(10 15) 0,1341P X e e   
    
0,05 20
( 20) 0,3679P X e 
  
43

44. Παράδειγμα: Αφίξεις σε σταθμό καυσίμων
 Ο ρυθμός άφιξης αυτοκινήτων σε έναν σταθμό
καυσίμων είναι πελάτες ανά ώρα. (Αυτό είναι
ισοδύναμο με το να πούμε ότι οι χρόνοι άφιξης
ακολουθούν εκθετική κατανομή με ρυθμό 40
πελάτες ανά ώρα).
 Ποια είναι η πιθανότητα να μην υπάρχουν αφίξεις σε
ένα διάστημα 5 λεπτών;
 Η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
40 
5
40
60
5
0,03567
60
P X e
  
   
 
44

45. Παράδειγμα: Αφίξεις σε σταθμό καυσίμων
 Ποια είναι η μέση τιμή και η διακύμανση του
αριθμού, των αφίξεων σε 5 λεπτά;
 Η μεταβλητή Ν έχει Poisson κατανομή με
παράμετρο
 Η μέση τιμή είναι:
 Η διακύμανση είναι:
N
5
40 3,333
60
t    
( ) 3,333E N 
( ) 3,333Var N 
45

46. Βιβλιογραφία
46
 Η παρούσα παρουσίαση είναι βασισμένη στην
εργασία «Important Probability Distributions» του
Πανεπιστημίου του Dallas.