Pithanotites se apeirous_dx

1. Πιθανότητες σε άπειρους δειγματόχωρους
Ιωάννης Π. Πλατάρος Εκπαιδευτικός Π.Ε.03
Περίληψη
Η αντίληψη για το ίδιο το μαθηματικό άπειρο γίνεται περισσότερο κατανοητή μέσω
της προσέγγισης κάποιων απλών ερωτημάτων μέσω της Θεωρίας Πιθανοτήτων. Στην
ίδια προσέγγιση, γίνεται κατανοητή η έννοια της κατανομής απειροσυνόλων σε απει-
ροσύνολα, είτε είναι αριθμήσιμα ή υπεραριθμήσιμα.
Εισαγωγή
Με βασικά εργαλεία τον ορισμό της πιθανότητας και την έννοια του ορίου όπως και με
λίγα πορίσματα της Θεωρίας Μέτρου, μπορούν να γίνουν πιο κατανοητές οι έννοιες
του απείρου, της αριθμησιμότητας της υπεραριθμησιμότητας όπως και της κατανομής
διάφορων γνωστών υποσυνόλων του R σε διάφορα υποσύνολά του. Το πλέον γόνιμο
μαθησιακά, είναι η σύγκρουσης της πεπερασμένης φύσης του ανθρώπου με την κατα-
νόηση του απείρου. Ναι μεν τα ίδια τα Μαθηματικά αναπτύσσονται με διαδικασίες
αφαίρεσης της φύσης αλλά ιδίως για το άπειρο, έχομε από την ίδια την φύση του το
σχήμα: έπεπερασµ νο∞ − = ∞ . Έχουμε λοιπόν, μια διαρκή σύγκρουση αφ΄ενός των
νοητικών δομών, των «ενσώματων Μαθηματικών» της ανθρώπινης γλώσσας, των ι-
διαιτεροτήτων του ανθρώπινου σώματος και μυαλού και αφ΄ετέρου των μαθηματικών
αξιωμάτων, που δεν μπορούν να δώσουν εξηγήσεις για την φύση του αριθμήσιμου ή
υπεραριθμήσιμου απείρου και την φύση του πραγματικού άπειρου. (Πατέρας, Ι. 2016)
Στα παρακάτω παραδείγματα έχουμε δειγματικούς χώρους αριθμησίμως άπειρους (δια-
κριτούς) είτε μη αριθμήσιμους(συνεχείς) και θεωρούμε την πιθανότητα είτε κατά Von
Mises είτε κατά την κλασική αξιωματική θεμελίωση της έννοιας. (Χαραλαμπίδης, Χ.
2003)
Παράδειγμα 1
Το εύρος παρατηρήσεων των υψών μαθητών μιας τάξης Γυμνασίου με μονάδα το 1m,
είναι στο διάστημα λ.χ. [ 1.60 , 1.70] Ποια η πιθανότητα να έχει μαθητής ύψος 1,65;
Εκεί ο μαθητής απαντά
1
0=
∞
και έχουμε την πρώτη μας επαφή ότι μη κενό ενδεχόμενο
δειγματικού χώρου μπορεί να έχει μηδενική πιθανότητα. Και μάλιστα ανεξαρτήτως
παραδοχής κατανομής λ.χ. ομοιόμορφης όπου ενυπάρχει η έννοια του «ισοπίθανου»
είτε κανονικής ή άλλης. Το αποτέλεσμα γίνεται πιο ενδιαφέρον αν σκεφθούμε ότι α-
κόμα και να απαιτήσουμε το αποτέλεσμα να είναι λ.χ. «μία από τις παρακάτω 1.000
διαφορετικές τιμές υψών που εμπεριέχονται στο [1.60,1.70]», πάλι έχουμε το σχήμα
1.000
0=
∞
. Αν αναλογιστούμε το «ποια η πιθανότητα ένας μαθητής να έχει ρητό ύ-
ψος», υπολογίζουμε σύμφωνα με την θεωρία του μέτρου μετρήσιμων συνόλων κατά
Lebesgue τον λόγο
132/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

2. ( [1.60,1.70] 0 0
0
([1.60,1.70]) 1.70 1.60 1
Qµ
µ
∩
= = =
−
(Κολουντζάκης, Μ.2010), (Πλατάρος, Ι.
2018)
Αν το επεκτείνουμε κι άλλο ενσωματώνοντας και τους αλγεβρικούς αρρήτους που υ-
πάρχουν στο διάστημα υψών, επειδή κι αυτοί είναι αριθμήσιμοι και η ένωση αριθμή-
σιμων έχει μέτρο Lebesgue το 0, πάλι έχουμε πιθανότητα μηδέν. Τελικά, το «βέβαιο
γεγονός» με πιθανότητας 1, είναι η πιθανότητα εξαγωγής υπερβατικού αριθμού (Πλα-
τάρος, Ι. 2018)
Ενδιαφέρον έχει και να θεωρήσουμε την ανάλογη κατασκευή του συνόλου του Cantor
στο σύνολο [1.60,1.70] που είναι υπεραριθμήσιμο μεν, αλλά αυτό έχει μέτρο μηδέν
οπότε έχουμε πάλι πιθανότητα μηδέν, οπότε η πιθανότητα εξαγωγής από το διάστημα
[1.60,1.70] ρητού είτε αρρήτου αλγεβρικού, είτε στοιχείου του υπεραριθμήσιμου αντι-
στοίχως κατασκευαζόμενου συνόλου Cantor, είναι μηδέν.
Παράδειγμα 2.
Εκτελώντας το νοητό πείραμα εξαγωγής ενός τυχαίου στοιχείου του  , ποία η πιθα-
νότητα εξαγωγής ενός άρτιου φυσικού;
Εδώ αμέσως και σωστά, η διαίσθηση μας λέει ½ . Στην γενική του περίπτωση, φαντα-
ζόμαστε αυτό να υπολογίζεται αφού θεωρήσουμε έναν φυσικό αριθμό ν, έπειτα την
συνάρτηση π(ν) που μας δίνει το πόσοι φυσικοί αριθμοί μέχρι το ν έχουν την ιδιότητα
π (εδώ πόσοι άρτιοι υπάρχουν μέχρι το ν) , εφ΄ όσον μπορούμε να την υπολογίσουμε
κάθε φορά και στην συνέχεια υπολογίζουμε το
( )
lim
ν
π ν
ν→∞
Για την περίπτωση της εξα-
γωγής άρτιου φυσικού γνωρίζουμε ότι π(ν)=
2
ν 
  
όπου [ ] : συνάρτηση «ακέραιο μέ-
ρος» ΄Έτσι έχουμε :
( ) 12 2lim lim lim lim
2 2ν ν ν ν
ν ν
π ν ν
ν ν ν ν→∞ →∞ →∞ →∞
 
  = ≤ = = (1) Επίσης έχουμε και
1
( ) 2 1 1 1 12 2lim lim lim lim lim 0
2 2 2 2ν ν ν ν ν
ν ν
π ν ν
ν ν ν ν ν→∞ →∞ →∞ →∞ →∞
 
−  −   = ≥ = = − = − = 
 
(2)
Από (1) & (2) έχουμε
1 ( ) 1 ( ) 1
lim lim
2 2 2
ά
ν ν
π ν π ν
καιτελικ
ν ν→∞ →∞
≤ ≤ =
Με εντελώς ανάλογο τρόπο γενικεύεται η προσέγγιση για την εύρεση της πιθανότητας
εξαγωγής πολλαπλασίου του φυσικού αριθμού κ, ως
1
κ
.
133/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

3. Όλα τα παραπάνω φαντάζουν εύλογα, καθώς κάνουμε μια γενίκευση σε κάτι που διαι-
σθανόμαστε απολύτως βέβαιο σε κάθε πεπερασμένο απόκομμα του N με την φυσική
διάταξη αρίθμησης . Εδώ όμως έχουμε αντιπαράδειγμα: Αναδιατάσσω το N και επα-
νατοποθετώ τα στοιχεία του με τον εξής τρόπο: «Οι 100 πρώτοι διαδοχικοί άρτιοι και
1 πρώτος περιττός. Οι 100 επόμενοι διαδοχικοί άρτιοι και ο επόμενος περιττός κ.ο.κ.
επ΄ άπειρον. Το σύνολο αυτό προφανώς είναι το N, αφού περιέχει εκ κατασκευής όλα
τα στοιχεία του και μόνον αυτά. Σε κάθε πεπερασμένο απόκομμα αυτής της αναδιάτα-
ξης, προφανώς κατά τα προηγούμενα και εκ κατασκευής, θα έχω πιθανότητα εξαγωγής
αρτίου περίπου
100
101
. Και αν θεωρήσω το όριο αυτής της αναδιάταξης, θα βρω ακριβώς
100
101
. Προφανώς αυτό το παράδοξο δεν ισχύει στα πεπερασμένα σύνολα, αφού οποια-
δήποτε αναδιάταξη-ανακατανομή του συνόλου διατηρεί και το σύνολο τις «ευνοϊκές
περιπτώσεις» Στο απειροσύνολο, με την αναδιάταξη, διατηρείται και το σύνολο και οι
ευνοϊκές περιπτώσεις, μόνο που κάποιες φορές «μπορεί να χάνονται στο άπειρο», αφού
η εκάστοτε εμφαινόμενη κατανομή διατηρείται επ΄ άπειρον . Όπως διαφαίνεται από
τον τρόπο κατασκευής του ειδικού αντιπαραδείγματος, μπορούμε να παραθέσουμε και
γενικά αντιπαραδείγματα, δηλ. να βρούμε διατάξεις «όσες θέλουμε» όπου η εκάστοτε
υπολογιζόμενη πιθανότητα να είναι οποιοσδήποτε ρητός μεταξύ 0 και 1. Η αντίφαση
που διαπιστώνεται στην απαίτηση μοναδικής τιμής για το ίδιο ενδεχόμενο, αίρεται με
την θεώρηση πεπερασμένων συνόλων «οσοδήποτε μεγάλου πληθικού αριθμού» , όπου
εκεί ισχύει το όποιο συμπέρασμα «για κάθε ν οσοδήποτε μεγάλο» Δηλαδή, ουσιαστικά
αυτό αίρεται αν θεωρήσουμε το άπειρο όχι ως «ολοκληρωμένο άπειρο» όχι ως «ενε-
στωτικό άπειρο» όχι «ως ολοκληρωμένο μαθηματικό αντικείμενο», δηλ. «εν ενεργεία»
αλλά ως -κατ΄ Αριστοτέλην- «εν δυνάμει» το «πραγματικό άπειρο» όπως λέγεται και
νοείται και θεωρεί ο Αριστοτέλης. Σύμφωνα με την θεώρηση του Αριστοτέλη, το
{0,1,2,3,4,... , 1,...}ν νΝ= + σημαίνει, ότι κάποιος μπορεί να γράφει όρους επ΄ άπειρο,
χωρίς να υπάρχει ένα πέρας. Το άπειρο των συνόλων εξετάζεται «εσωτερικά» Το 
κατ΄ Αριστοτέλην είναι «δυνάμει» άπειρο. (Μπαντές,Γ. 2002)
Πρέπει ακόμα να παρατηρήσουμε, ότι οι «λαϊκές διαμάχες» για τις δύο οπτικές του
απείρου είναι πανάρχαιες, συνεχίζονται και σήμερα (λ.χ. ο αριθμός 0,999…. Ισούται
ακριβώς με 1 ή «δεν φτάνει ποτέ το1 ;) Επιπτώσεις υπάρχουν και στην θεώρηση λ.χ.
του ορίου
0
1
lim 0
ν ν→
= ως μια διαδικασία διαρκούς προσέγγισης του μηδενός χωρίς όμως
να «το φθάνουμε», πράγμα που αποτελεί και ένα σύγχρονο σοβαρό γνωστικό (επιστη-
μολογικό) εμπόδιο για όλες τις βαθμίδες εκπαίδευσης που διδάσκονται Απειροστικό
Λογισμό. Η σημερινή επίσημη άποψη παραδέχεται το «εν ενεργεία» άπειρο όπως ει-
σήχθη επί Cantor (Μπαντές,Γ. 2002) ενώ η αντίφαση με τα αντιπαραδείγματα επί α-
πειροσυνόλων, που αναδεικνύεται στο παρόν παράδειγμα, «αίρεται» με την καλώς ο-
ρισμένη έννοια «Πυκνότητα στους Φυσικούς Αριθμούς» ( natural density ή asymptotic
density ή arithmetic density) η οποία σχεδόν ταυτίζεται με την έννοια της πιθανότητας
όπως την αναμένουμε και κοινώς την εννοούμε, για κάποια υποσύνολα του  , νοού-
μενη μόνο σε ολική διάταξη, όταν ορίζεται, και όταν υπάρχει το όριο.
134/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

4. [1, ]( )
( ) lim lim
AA
d A
ν ν
νν
ν ν→∞ →∞
∩
= = , όπου Α(ν) , η ιδιότητα Α. Ισχύει λ.χ.
( ) 1, ( ) 0.5, ( ) 1 ( ), ({1,2,..., }) 0 . . .C
d d A d A d A d κ κ τ λΝ = = = − = (Βικιπαίδεια 2020) .
Στα παρακάτω, όταν ομιλούμε για «πιθανότητα στο Ν » εννοούμε την «ειδική συνθήκη
πιθανότητας» δηλ. την «Πυκνότητα στους Φυσικούς», d, όπου ισχύουν όλα τα αξιώ-
ματα της πιθανότητας, εκτός από το μονότιμον της πιθανότητας, σε αναδιάταξη του
απειροσυνόλου και η οποία όμως, διατηρεί την συνέχεια μετάβασης από το οσοδήποτε
μεγάλο, στο άπειρο, νοούμενο μόνο εν δυνάμει, χωρίς δηλ. να χρειαστεί να διαχειρι-
στούμε το «Ξενοδοχείον το Άπειρον» του Hilbert (Dekofsky,J 2020)
Παράδειγμα 3
Θεωρώντας πάλι το πείραμα του παραδείγματος 2, ποία η πιθανότητα εξαγωγής τε-
λείου τετραγώνου;
Σύμφωνα με τα προηγούμενα πρέπει να βρούμε την πάλι την νέα π(ν) η οποία αυτή την
φορά θα μας δίνει τον αριθμό των τελείων τετραγώνων μέχρι το ν.
Προφανώς ( )π ν ν =   όπου σύμφωνα με τις ιδιότητες της συνάρτησης «ακέραιο μέ-
ρος» έχουμε 1ν ν ν − ≤ ≤  όπου με διαίρεση με το ν και λήψη ορίων, έχω
1
lim lim lim
ν ν ν
νν ν
ν ν ν→∞ →∞ →∞
 −  ≤ ≤ ή
1 1 1
lim lim lim
ν ν ν
ν
ν νν ν→∞ →∞ →∞
    − ≤ ≤ 
 
ή
0 lim 0
ν
ν
ν→∞
 
 ≤ ≤ Άρα η ζητούμενη πιθανότητα είναι 0 .
Ομοίως γενικεύουμε για τέλειους κύβους, τέταρτες δυνάμεις κ.ο.κ. εργαζόμενοι ανά-
λογα και θεωρώντας ως ( ) , 2,κ
π ν ν µε κ κ= > ∈ .
Παράδειγμα 4
Θεωρούμε κι αυτή την φορά το ίδιο πείραμα και αναζητούμε την πιθανότητα εξαγωγής
πρώτου αριθμού.
Εδώ έχουμε ένα εκ πρώτης όψεως αξεπέραστο πρόβλημα αφού μας είναι ακόμη άγνω-
στη η ακριβής κατανομή των απείρων πρώτων που υπάρχουν. Δεν γνωρίζουμε κάποιο
ακριβή αλγεβρικό τύπο για το π(ν). Γνωρίζουμε όμως ένα μνημειώδες αποτέλεσμα της
Θεωρίας Αριθμών «Θεώρημα των Πρώτων Αριθμών») όπου σύμφωνα με μια διατύ-
πωση του οποίου ισχύει
( )
lim 1
ln
ν
π ν
ν
ν
→∞
=
135/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

5. Συνεπώς για την εύρεση του σχετικού ορίου έχω ,
( ) 1lnlim lim lim lim 0
ln lnν ν ν ν
ν
π ν νν
ν ν ν ν ν→∞ →∞ →∞ →∞
= = = = , (Λαρετζάκη, Ε.2012) και (Βικιπαίδεια
2020)
Παράδειγμα 5
Αν επιλέξουμε τυχαία ένα στοιχείο του Q , ποία η πιθανότητα στο δεκαδικό σύστημα
αρίθμησης να μπορεί να γραφεί ως δεκαδικός τερματιζόμενος;
Κάθε στοιχείο του Q γράφεται στην μορφή *
,
µ
µε µ και ν
ν
∈Ν ∈Ν και μάλιστα με
μοναδικό τρόπο αν επί πλέον απαιτήσουμε (μ,ν)=1. Για να περατούται η Ευκλείδεια
διαίρεση μ:ν πρέπει ο διαιρέτης, το ν, να είναι εκτός της τετριμμένης περίπτωσης 1, ή
δύναμη του 2 ή δύναμη του 5 ή δύναμη του 2 και του 5. Το σχήμα που οδηγεί σε αυτό
το συμπέρασμα είναι ότι έχουμε ένα σχήμα διαίρεσης 1 2
2 5ν ν
µ µ
ν
=
⋅
(*) όπου τα 1 2,ν ν
μπορεί να είναι οποιοδήποτε φυσικοί. Στην περίπτωση όπου 1 2ν ν= η διαίρεση είναι
περατούμενη, αφού η (*) γίνεται 1 1 1
2 5 10ν ν ν
µ µ µ
ν
= =
⋅
οπότε στον ακέραιο ν, μεταφέ-
ρουμε την νοούμενη υποδιαστολή 1ν θέσεις αριστερά. Αν θεωρήσουμε 1 2ν ν> , τότε η
(*) γίνεται
1 2 1 2
1 2 1 2 1
5 5
2 5 5 10
ν ν ν ν
ν ν ν ν ν
µ µ µ
ν
− −
−
⋅ ⋅
= =
⋅ ⋅
, οπότε στον ακέραιο αριθμητή χωρίζουμε 1ν
θέσεις αριστερά. Ομοίως και όταν 2 1ν ν> πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομα-
στή με 2 1
2ν ν−
και καταλήγουμε σε ανάλογο συμπέρασμα.
Αντιστρόφως, αν πάρουμε οποιονδήποτε περατούμενο (δηλ. μη περιοδικό ή με περίοδο
διάφορη του 9) αυτός γράφεται αμέσως ως πηλίκο φυσικών αν ως αριθμητή θεωρή-
σουμε τον δεκαδικό χωρίς κόμμα και παρονομαστή το 10ν
όπου ν ο ακέραιος αριθμός
των ψηφίων του, μετά την υποδιαστολή. Ο παρονομαστής είναι της μορφής 2ν
5ν
, όπου
και μετά τις ενδεχόμενες απλοποιήσεις τίθεται στην γενική μορφή (*)
Εδώ γίνεται φανερό ότι στην αναζήτηση της πιθανότητας έχουμε ως τελικό σχήμα το
2
0=
∞
, με το δεδομένο ότι κάτι ισχύει συνδυαστικά για δύο μόνο πρώτους το 2 και το
5, ενώ οι πρώτοι από την εποχή του Ευκλείδη είναι γνωστό ότι είναι άπειροι.
Παράδειγμα 6
Από το παράδειγμα 2, έχουμε, ότι η πιθανότητα εξαγωγής αρτίου από το Ν είναι ½
επομένως και για το συμπληρωματικό ενδεχόμενο εξαγωγής αρτίου, έχουμε πάλι πιθα-
νότητα ½ . Αν θεωρήσω το νέο πείραμα τύχης «εξάγω από το Ν με επανάθεση φυσι-
κούς, έως ότου υπάρξει εξαγωγή αρτίου, οπότε το πείραμα σταματά» Αν ως δειγματό-
χωρο θεωρήσω το πόσες φορές θα κάνω εξαγωγή έως ότου εξαχθεί άρτιος αυτός θα
136/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

6. είναι Δ= *
Ν =Ω={1,2,3,4,5…} με πιθανότητες για όλα τα στοιχειώδη ενδεχόμενα
2 3
1 1 1 1
(1) , (2) , (3) ,..., ( ) ,...
2 2 2 2
p p p p ν
ν= = = = Ισχύει κατά τα γνωστά της αξιωματι-
κής θεμελίωσης του ορισμού p(Ω) =
1
1
1
2ν
ν
∞
=
=∑ . Αν αναζητήσω την πιθανότητα εξαγω-
γής αρτίου μετά από 10 εξαγωγές θα έχω p(10)=
10
1
1 203
1
2 204ν
ν =
=∑  Η ίδια πιθανότητα
για μετά από 1.000 εξαγωγές η δημόσια μηχανή WolframAlpha υπολογισμών και όχι
μόνο, δίνει ένα κλάσμα με 605-ψήφιους όρους, που διαφέρουν κατά μονάδα στο
τελευταίο ψηφίο του.
Η εισαγωγή των δεδομένων στην υπερμηχανή υπολογισμού, δεν γίνεται κατ΄ανάγκην
με προγραμματιστικές εντολές, αλλά και με συμβατικό μαθηματικό τρόπο
αναπαράστασης. (WolframAlpha computational intelligence. 2020)
Η πιθανότητα εξαγωγής αρτίου μετ΄από άρτιο αριθμό αριθμό προσπαθειών, είναι η
( ) 2 2 4 3
1
1 1
1 1 1 1 14 42,4,6,8,10,12 ...
1 32 3
{ }
2 2 2 1
4 4
p ν
ν
∞
=
… = = + + + = =
−
= =Α ∑
Οπότε και η πιθανότητα του συμπληρωματικού ενδεχομένου εξαγωγής αρτίου μετά
από περιττό αριθμό προσπαθειών θα είναι
2
( ) ( ) ( )
3
C
p A p p A= Ω − = . Η διαφορά στις
πιθανότητες, οφείλεται ότι η εξαγωγή αρτίου την πρώτη φορά (περιττή) είναι πολύ
μεγαλύτερη (διπλάσια και υπερδιπλάσια) από όλες τις υπόλοιπες. Άξιο προσοχής
επίσης είναι ότι δεν έχει σημασία αν η εξαγωγή γίνεται με επανάθεση ή χωρίς
επανάθεση, κάτι πολύ ουσιώδες σημαντικό για την τιμή της πιθανότητας σε
πεπερασμένους δειγματόχωρους. Η απόδειξη αυτής της ανεξαρτησίας του τρόπου
εξαγωγής έγκειται στον ίδιο τον τρόπο του υπολογισμού της πιθανότητας. Η
πιθανότητα προκύπτει ως
( ) 1
( ) lim
2
p ά
ν
π ν
ρτιος
ν→∞
= = Μετά από οσεσδήποτε κ εξαγω-
γές περιττού πριν εξαχθεί άρτιος, ο υπολογισμός της πιθανότητας παίρνει την μορφή
( ) 1
( ) lim
2
p ά
ν
π ν
ρτιος
ν κ→∞
= =
−
οπότε δεν έχουμε μεταβολή της τιμής.
Συμπεράσματα
Α) Παρουσιάστηκε, ότι αν από το Ν αφαιρέσουμε οσοδήποτε πεπερασμένο πλήθος
περιττών, η πιθανότητα εξαγωγής αρτίου δεν αλλάξει καθόλου και εξακολουθεί να εί-
ναι σταθερή ½ (Παράδειγμα 6)
Β) Σε κάθε χώρο πιθανοτήτων ισχύει πάντα ( ) 0p A A> ⇒ ≠ ∅ (3) όμως δεν ισχύει η
αντίστροφη πρόταση. Στο παράδειγμα1, έχουμε υποπαραδείγματα, με σύνολα· πεπε-
ρασμένο, άπειρο αριθμήσιμο και υπεραριθμήσιμο, που είναι όλα αντιπαραδείγματα
137/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

7. στην καθολική ισχύ της αντίστροφης πρότασης (3) Επίσης ισχύει η πρόταση
( ) ( )p A p BΑ ⊆ Β ⇒ ≤ (4) Στο παράδειγμα 1 έχουμε ουσιαστικά ειδική οριακή επαλή-
θευση της (4) μέσω του ( ) ( ) ( )Q ί p Q pαλγεβρικο⊂ Α ⇒ = Α όπως και το τύπου Can-
tor σύνολο στο [1.60,1.70] αφού κατασκευάζεται σε αυτό, όπως και στο [0,1] όπου κι
αυτό έχει μέτρο πιθανότητας το 0, στον δειγματόχωρο [1.60,1.70], παρ΄ ότι είναι υπε-
ραριθμήσιμο.
Γ) Αν υπάρξει μια σκέψη απόδοσης τιμών πιθανότητας στα στοιχειώδη ενδεχόμενα,
υπεραριθμήσιμα μονοσύνολα του [1.60,1.70] όσο μικρές θετικές και να είναι αυτές,
οσοδήποτε κοντά στο 0, αν δεχθούμε ως ε>0 την μικρότερη τιμή πιθανότητας από όλες,
τότε υπάρχει 0ν ∈Ν αρκούντως μεγάλο, έτσι ώστε 0 1ν ε⋅ > , άτοπο, διότι το άθροισμα
όλων των στοιχειωδών ενδεχομένων σε κάθε δειγματόχωρο, πρέπει να είναι 1 και αυτά
είναι κατ΄αριθμόν, όχι απλώς αριθμήσιμα, αλλά υπεραριθμήσιμα. Το προηγούμενο ε-
πιχείρημα, είναι το αξίωμα των Αρχιμήδους -Ευδόξου και δεν μπορεί να παραβλεφθεί
στην Συμβατική Ανάλυση που δεχόμαστε στην Πιθανοθεωρία. (To αξίωμα των Α-Ε
δεν ισχύει στην «Μη Συμβατική Ανάλυση» -Νon Standard Analysis)
Δ) Στο παράδειγμα 1, η πιθανότητα εξαγωγής ασυμμέτρου αριθμού, είναι 1 αφού η
πιθανότητα του συμπληρωματικού ενδεχομένου (ρητός είτε αλγεβρικός) είναι 0 . Η
βιβλιογραφία αυτό το φαινόμενο το εντάσσει σε έναν πιο ευρύ ορισμό του τύπου :
Ορισμός: «Ένα ενδεχόμενο Α ⊆ Ω λέγεται σχεδόν σίγουρο, αν ( ) 0C
p A = . Λέγεται σχε-
δόν αδύνατο αν ( ) 0p A = . Λέμε ότι ένα ενδεχόμενο συμβαίνει σχεδόν σίγουρα, αν συμ-
βαίνει με πιθανότητα 1.» (Κολουντζτάκης, Μ.2006) Μια κριτική παρατήρηση για το
«σχεδόν» που μπορεί να γίνει, είναι ότι οι τιμές 0 και 1 εξάγονται ως ακριβείς και ση-
μειακές, και όχι με οποιαδήποτε προσέγγιση.
Ε) Οι άπειροι δειγματόχωροι, εξ ορισμού αποκλείουν οποιουδήποτε είδους «πειραμα-
τική επαλήθευση» ή στατιστική προσέγγιση. Μόνο στοχαστικά και μόνο με θεωρητικά
μαθηματικά εργαλεία και μοντέλα τους μελετούμε. Μπορούμε να εκτυπώσουμε ένα
αντίτυπο της Καινής διαθήκης σε μονοσέλιδα, στην συνέχεια να αποκόψουμε όλα τα
γράμματα ένα προς ένα , να τα ανακατώσουμε, να τα ρίξουμε στον αέρα, όλα αυτά να
καθίσουν με την όψη προς τα πάνω, μετά να τα βάλουμε σε μια σειρά και να βγει το
ίδιο το κείμενο, με τον επί πλέον περιορισμό, το ίδιο γράμμα, να βγει στην ίδια θέση
που ήταν αρχικά. Σε μια ηλεκτρονική διεύθυνση βρήκαμε το κείμενο και με την βοή-
θεια του επεξεργαστή κειμένου, βρήκαμε πως έχει «878.220 χαρακτήρες, με κενά» Ε-
πομένως η πιθανότητα επανασύνθεσης του κειμένου σε ένα τέτοιο πείραμα πιθανότη-
τας, είναι: 5102760
878.220
1 1
7,173 10 0
878.220!2
−
⋅ Χ > (WolframAlpha computational
intelligence. 2020) Αυτό θα εθεωρείτο ως θαύμα, αλλά πάντα υπάρχει πιθανότητα να
συμβεί!
138/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020

8. Επίλογος
Οι άπειροι δειγματόχωροι βάζουν το άπειρο από την πόρτα της πιθανοθεωρίας όπου
εκεί βγαίνουν και τα «παράδοξά» του. Βάζουμε τα εισαγωγικά για να τονίσουμε την
μη εύκολη αποδοχή τους από τον πεπερασμένο μας νου που θεωρεί ότι μπορεί με μα-
θηματική αφαίρεση και μαθηματική γενίκευση, να κατανοήσει την φύση του απείρου
και του απειροστού. Σε κάθε περίπτωση όμως, η αλλαγή πλαισίου και αναπαράστασης,
βοηθά πολύ.
Αναφορές
Πατέρας, Ι. (2016) «Γνωσιακή προσέγγιση στα Μαθηματικά, η περίπτωση του Απείρου»,
Μαθηματική Επιθεώρηση (τεύχος 81 -82)
Χαραλαμπίδης, Χ. (2003) «Σημειώσεις Πιθανοτήτων και Στατιστικής» (σελ. 2,13,14)
Αθήνα Διατίθεται σε
(https://eclass.uop.gr/modules/document/file.php/TST244/ProbabilityandStatisti
cs.pdf πρόσβαση 11/8/2019 )
Κολουντζάκης, Μ.(2010) «Μέτρο και Ολοκλήρωμα Lebesgue, Εγχειρίδιο Χρήσης» ,
Ηράκλειο (διατίθεται σε http://eigen-space.org/mk/harmonic1011/lebesgue.pdf ,
πρόσβαση 11/8/2019)
Πλατάρος, Ι. (2018) «Περί της δυνατότητας μέτρησης του μεγέθους μήκος “3m”» Πρα-
κτικά 35ου
Συνεδρίου Ε.Μ.Ε. Μαρούσι (Διατίθεται σε
https://www.academia.edu/37949139/103._Περί_της_δυνατότητας_της_μετρή-
σεως_του_μεγέθους_μήκος_3m_/ πρόσβαση 11/8/2019
Μπαντές, Γ. (2002) «Θεμελιώδεις έννοιες των Μαθηματικών» Σέρρες (Απόσπασμα
«Το ενεργητικό άπειρο και η θεωρία συνόλων του Κάντορ» διατίθεται σε
https://www.academia.edu/32363911/Το_ενεργητικό_άπειρο_και_η_θεω-
ρία_των_συνόλων/
Βικιπαίδεια (2020) «Natural Density» διατίθεται σε https://en.wikipedia.org/wiki/Nat-
ural_density
Dekofsky,J (2020).«The Infinite Hotel» Βίντεο. Διατίθεται σε https://ed.ted.com/les-
sons/the-infinite-hotel-paradox-jeff-dekofsky
Λαρετζάκη, Ε.(2012) «Οι πρώτοι Αριθμοί» Διπλωματική Εργασία στο ΕΜΠ Αθήνα
(διατίθεται σε http://www.math.ntua.gr/~sofia/dissertations/Larentzaki.pdf πρό-
σβαση11/8/2019)
Βικιπαίδεια (2020) «Θεώρημα Πρώτων Αριθμών» Διατίθεται σε
https://el.wikipedia.org/wiki/Θεώρημα_πρώτων_αριθμών/
WolframAlpha computational intelligence. (2020) Διατίθεται σε
https://www.wolframalpha.com/
139/955
_____________________________________________________________________________________
ISSN: 2241-6781 ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ "ΝΕΟΣ ΠΑΙΔΑΓΩΓΟΣ" 19ο Τεύχος Ιούλιος 2020