Τι διαφορά έχει η μέση τιμή από τη διάμεσο; Τι είναι αυτό που λέμε «μέτρα θέσης» ενός δείγματος και τι πληροφορίες μπορούν να μας δώσουν για το δείγμα στο σύνολό του καθώς και για τις στατιστικές του ιδιότητες; Τι περιορισμούς έχουν τα μέτρα θέσης και για ποιους σκοπούς δεν μπορούμε να τα χρησιμοποιούμε; Αυτά και άλλα πολλά θα τα βρείτε στις παραπάνω διαφάνειες! Καλό διάβασμα!

1. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Στατιστική
Μάθημα 3ο: Μέτρα θέσης και διασποράς
Μέρος 1ο
Μάρκος Βασίλης — https://aftermathsgr.wordpress.com/
15 Ιουλίου 2020

2. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Τι είναι τα μέτρα θέσης;
Γενικά, όταν έχουμε ένα δείγμα, πέρα από τη συχνότητα
εμφάνισης κάποιων χαρακτηριστικών, όπως έχουμε δει ως
τώρα, μας απασχολεί συχνά και μία πιο μακροσκοπική
άποψή του. Για παράδειγμα, σε ένα εκτενές δείγμα όπως
αυτό των κρουσμάτων του νέου κορωνοϊού π.χ. στην Αθήνα
μπορεί να μη μας ενδιαφέρει τόσο η ακριβής κατανομή των
ηλικιών όσο λ.χ. η μέση ή η διάμεση ηλικία — σίγουρα έχετε
ακούσει τον κ. Τσιόδρα να κάνει λόγο για διάμεση ηλικία
των νεκρών, των κρουσμάτων κ.λπ.
Εργαλεία που μας βοηθούν σε τέτοιου είδους μελέτες είναι
τα μέτρα θέσης, που μας δίνουν πληροφορίες για την
«περιοχή» στην οποία βρίσκονται τα δεδομένα μας.

3. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Μέση τιμή
Από όλα τα μέτρα θέσης το πιο γνωστό είναι η μέση τιμή.
Σε ένα δείγμα 10 παρατηρήσεων όπως το παρακάτω:
3, 6, 7, 11, −9, 0, 3, 7, 3, 0,
η μέση τιμή, που τη συμβολίζουμε με x, δίνεται από την
παράσταση:
x =
3 + 6 + 7 + 11 + (−9) + 0 + 3 + 7 + 3 + 0
10
=
31
10
= 3.1.

4. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Ορισμός μέσης τιμής
Ορισμός (Μέση τιμή)
Γενικά, όπως και στο προηγούμενο παράδειγμα, αν έχουμε
ένα δείγμα με παρατηρήσεις:
t1, t2, . . . , tν
τότε ορίζουμε τη μέση τιμή, x ως:
x =
t1 + t2 + . . . + tν
ν
.
Δηλαδή, αθορίζουμε όλες τις παρατηρήσεις και διαιρούμε με
το πλήθος τους.

5. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Μέση τιμή μέσω συχνοτήτων
Αν έχουμε έναν πίνακα συχνοτήτων, τότε μπορούμε να
υπολογίσουμε τη μέση τιμή χρησιμοποιώντας τις απόλυτες
συχνότητες νi των τιμών xi των παρατηρήσεων. Για την
ακρίβεια, για ένα δείγμα ν παρατηρήσεων με τιμές
x1, x2, . . . , xk, k ≤ ν, ισχύει η σχέση:
x =
x1ν1 + x2ν2 + . . . + xkνk
ν
.
Μπορείτε να εξηγήσετε πώς προκύπτει αυτή η σχέση από
τον ορισμό της μέσης τιμής;

6. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Μέση τιμή μέσω σχετικών συχνοτήτων
Παίρνοντας την παραπάνω σχέση βλέπουμε ότι:
x =
x1ν1 + x2ν2 + . . . + xkνk
ν
=
=
x1ν1
ν
+
x2ν2
ν
+ . . . +
xkνk
ν
=
= x1
ν1
ν
+ x2
ν2
ν
+ . . . + xk
νk
ν
=
= x1f1 + x2f2 + . . . + xkfk,
η οποία συνδέει τη μέση τιμή με τις σχετικές συχνότητες
εμφάνισης των τιμών xi μέσα στο δείγμα.

7. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
΄Ενα παράδειγμα
Ας πάρουμε τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων:
xi 3 5 7 8 9 Σύνολο
νi 6 5 2 7 5 25
fi 0.24 0.20 0.08 0.28 0.20 1
Με βάση τους παραπάνω τύπους έχουμε:
x =
6 · 3 + 5 · 5 + 2 · 7 + 7 · 8 + 5 · 9
25
=
158
25
= 6.32.

8. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Σταθμική μέση τιμή
Για τον υπολογισμό του βαθμού πτυχίου ενός τμήματος κάθε
υποχρεωτικό μάθημα υπολογίζεται με συντελεστή βαρύτητας
2 ενώ κάθε μάθημα επιλογής με συντελεστής βαρύτητας 1.5.
΄Ετσι, αν έχουμε 8, 9 και 9 σε τρία υποχρεωτικά μαθήματα
και 9 και 10 σε δύο μαθήματα επιλογής τότε ο μέσος όρος
μας θα δίνεται από τον τύπο:
x =
2 · 8 + 2 · 9 + 2 · 9 + 1.5 · 9 + 1.5 · 10
2 + 2 + 2 + 1.5 + 1.5
=
80.5
9
≈ 8.94.

9. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Ορισμός σταθμικής μέση τιμής
Ορισμός (Σταθμική μέση τιμή)
Γενικά, αν έχουμε ένα δείγμα ν παρατηρήσεων t1, t2, . . . , tν
και για κάθε παρατήρηση έχουμε έναν συντελεστή
βαρύτητας, w1, w2, . . . , wν αντίστοιχα, τότε ορίζουμε τη
σταθμική μέση τιμή του παραπάνω δείγματος με
συντελεστές βαρύτητας (βάρη) w1, w2, . . . , wν να είναι ο:
x =
w1x1 + w2x2 + . . . + wνxν
w1 + w2 + . . . + wν
.
Μπορείτε να εξηγήσετε το σκεπτικό πίσω από τον παραπάνω
ορισμό;

10. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος
Πολλές φορές, εκτός από τη μέση τιμή ενός δείγματος, δε μας
δίνει καλή εικόνα του δείγματος, μιας και επηρεάζεται από
τις ακραίες τιμές του. Γι΄ αυτόν τον λόγο, πολύ συχνά μας
ενδιαφέρει και η παρατήρηση που βρίσκεται σε «κέντρο» του
δείγματος, η οποία και μένει ανεπηρέαστη από το μέγεθος
των ακραίων παρατηρήσεων. Ακολουθεί ο τυπικός ορισμός:
Ορισμός (Διάμεσος)
Αν t1 < t2 < . . . < tν είναι ένα δείγμα ν παρατηρήσεων
διατεταγμένο σε αύξουσα σειρά τότε η διάμεσος δ (διάμεση
παρατήρηση) του δείγματος είναι:
I η μεσαία παρατήρηση, αν ν περιττός,
I ο μέσος όρος των δύο μεσαίων παρατηρήσεων, αν ν
άρτιος.

11. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Παραδείγματα
I Για το δείγμα:
3, 6, 8, 9, 12
η διάμεσος είναι η μεσαία παρατήρηση (αφού έχουμε
πέντε παρατηρήσεις), δηλαδή δ = 8.
I Για το δείγμα:
−3, −1, 0, 5, 6, 9
η διάμεσος είναι ο μέσος όρος των δύο μεσαίων
παρατηρήσεων (αφού έχουμε έξι παρατηρήσεις),
δηλαδή:
δ =
0 + 5
2
=
5
2
= 2.5.

12. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος και πίνακες συχνοτήτων
΄Οταν καλούμαστε να υπολογίσουμε τη διάμεσο ενός
δείγματος μέσω ενός πίνακα συχνοτήτων είναι χρήσιμο να
υπολογίζουμε και τις αθροιστικές απόλυτες συχνότητες, Ni .
Για παράδειγμα, για το παρακάτω δείγμα:
xi 2 4 5 6 9 Σύνολο
νi 4 6 13 11 6 40
Ni 4 10 23 34 40 −
έχουμε 40 παρτηρήσεις, επομένως χρειζόμαστε τις δύο
μεσαίες παρατηρήσεις, δηλαδή την 20η και την 21η, οι
οποίες, όπως βλέπουμε από το N2 και το N3 είναι και οι δύο
ίσες με 5, επομένως:
δ =
5 + 5
2
=
10
2
= 5.

13. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε τον ακόλουθο πίνακα συχνοτήτων:
[αi , βi ) xi νi fi % Fi %
[1, 3) 2 4 10 10
[3, 5) 4 14 35 45
[5, 7) 6 12 30 75
[7, 9) 8 10 25 100
Σύνολο 40 100 −
΄Οπως έχουμε πει, όταν έχουμε ομαδοποιημένα δεδομένα
υποθέτουμε ότι οι παρατηρήσεις μας είναι ομοιόμορφα
κατανεμημένες μέσα στις κλάσεις, έτσι, τα παραπάνω δε μας
είναι τόσο εύχρηστα.

14. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα
Ωστόσο, θα μας φανεί ιδιαίτερα χρήσιμο το
ιστόγραμμα/πολύγωνο των Fi %:
1 2 3 4 5
10
45
75
100

15. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα
΄Οπως έχουμε πει, η διάμεσος αντιστοιχεί, ιδανικά, στη
μεσαία παρατήρηση, δηλαδή αφήνει το μισό δείγμα πριν από
αυτήν και το άλλο μισό μετά. ΄Ετσι, η διάμεσος αντιστοιχεί
σε εκείνην την τιμή η οποία ταιριάζει στο 50% των
παρατηρήσεων.
Για να βρούμε αυτήν την τιμή θα χρειαστούμε το
διάγραμμα/πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων επί
τοις εκατό καθώς και την έννοια της ομοιότητας τριγώνων
από την Ευκλείδεια γεωμετρία.

16. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα
1 2 3 4 5
10
45
75
100
50
δ

17. Στατιστική
∀ftermaths
Μέτρα
Θέσης
Μέση τιμή
Διάμεσος
Διάμεσος σε ομαδοποιημένα δεδομένα
Τα δύο ορθογώνια τρίγωνα που σχηματίζονται είναι όμοια,
επομένως, έχουμε:
δ − 3
50 − 45
=
4 − 3
75 − 45
⇔
δ − 3
5
=
1
30
⇔
⇔ 30(δ − 3) = 5 ⇔
⇔ 30δ − 90 = 5 ⇔
⇔ 30δ = 95 ⇔
⇔ δ =
95
30
=
19
6
≈ 3.17.
Επομένως, η διάμεσος του δείγματος είναι περίπου δ ≈ 3.17.