7. 14
ทฤษฎีจำนวนเบื้องต้น
การหารลงตัว
บทนิยาม
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มใดๆ โดยที่ b ≠ 0 b หำร a ลงตัว ก็ต่อเมื่อ มีจำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และเขียนแทน “b หาร a ลงตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b | a
พูดถึงเรื่องทฤษฎีจำนวนแล้ว ก็คงจะมีทฤษฎีให้เรำคิดมำกมำยแน่ๆเลย เรำไปลุย กับทฤษฎีแรกเลยดีกว่ำ พร้อมแล้วไปกันเลย
จำกบทนิยำมจะเห็นว่ำมีแต่กำรหำรลงตัวแล้วถ้ำหำรไม่ลงตัวบ้ำงหละ จะเป็นยังไง ผมมีคำตอบครับ ถ้ำ b หำร a ไม่ลงตัว แสดงว่ำไม่มี จำนวนเต็ม n ที่ทำให้ a = bn และ เขียนแทน “b หาร a ไม่ลง ตัว” ได้ด้วยสัญลักษณ์ b † a
เช่น 3 | 9 เพรำะมี n = 3 ที่ทำให้ 9 = 3n
-5 | 10 เพรำะมี n = -2 ที่ทำให้ 10 = -5n
3
8. สมบัติของการหารลงตัวมีอะไรบ้างนะ?
ทฤษฎีบทที่ 1
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้ำ a | b และ b | c แล้วจะได้ a | c
เช่น 5|10 และ 10|20 แล้ว 5|20
ทฤษฎีบทที่ 2
กำหนด a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ถ้ำ a | b แล้วจะได้ a ≤ b
เช่น 2|4 แล้วจะได้ 2 ≤ 4
ทฤษฎีบทที่ 3
กำหนด a, b, c เป็นจำนวนเต็มใดๆ ถ้ำ a | b และ b | c แล้วจะได้ a | bx + cy เมื่อ x, y เป็นจำนวนเต็มใดๆ
เช่น 3|9 และ 9|18 แล้วจะได้ 3| 9(0) + 18(-1)
มีสามข้อเน้นๆครับผมจัดกันไปเลย!!!
4
13
9. 12
จงยกตัวอย่างจานวนเต็ม a , b , c ซึ่ง a | bc แต่ a †b และ a † c
เช่น a = 6 , b = 9 , c = 10
จะได้ว่า 6 | 9(10) แต่ 6 † 9 และ 6 † 10
จริงหรือไม่ ถ้า a |(b+ c) แล้ว a | b หรือ a | c
ไม่จริง เช่น a = 6 , b = 11 ,c = 7
จะได้ว่า 6 | (11+7) แต่ 6 † 11 และ 6 † 7
ตะลุยโจทย์กันเลยครับผม
5
10. . ถ้า a | (2p – 3q) และ a | (4p – 5q) จงแสดงว่า a | q
วิธีทำ เนื่องจำก a | (2p – 3q)
จะได้ 2p - 3q = ax , x เป็นจำนวนเต็ม ……. (1)
เนื่องจำก a | (4p – 5q)
จะได้ 4p – 5q = ay , y เป็นจำนวนเต็ม ………..(2)
นำ 2 คูณสมกำร (1)
จะได้ 4p – 6q = 2a ………..(3)
นำสมกำร (2) ลบ สมกำร (3)
จะได้ q = ay - 2ax
= a(y – 2x) และ y – 2x เป็นจำนวนเต็ม
ดังนั้น a | q
จะง่ายไปไหนเนี่ย!!!
6
ขำๆ ก่อนเรียนทฤษฎีต่อไปครับ
11
11. 10
ผ่ำนไปแล้วหนึ่งทฤษฎีไปต่อกับขั้นตอนกำรหำรกันเลยดีกว่ำครับ
ขั้นตอนวิธีการหารจ้า
ถ้ำ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ b ≠ 0 แล้วจะมี q และ r ซึ่งเป็น จำนวนเต็มที่ทำให้ a = bq + r เมื่อ 0 <r <|b| นั่นคือ a เป็นตัวตั้งหำรด้วย b ได้ผลหำรคือ q และเศษ r
กำหนด a = 48, b = 7 จงหำ q และ r
เขียนให้อยู่ในรูป
a = bq + r
48 = 7 × 6 +6
∴
q = 6 และ r = 6
Wow!
7
12. บทนิยาม
จานวนเต็ม a จะเป็นจานวนคู่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2m เมื่อ m เป็นจานวนเต็ม
จานวนเต็ม a จะเป็นจานวนคี่ ก็ต่อเมื่อ สามารถเขียน a = 2m + 1 เมื่อ m เป็นจานวนเต็ม
เช่น 6 เป็นจานวนคู่ เพราะ 6 = 2(3) 9 เป็นจานวนคี่ เพราะ 9 = 2(4) + 1
จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่มำเรำมำรู้กันวันนี้หละ
สู้ต่อกับทฤษฎีต่อไปครับ!!!
8
รู้จักทฤษฎีแล้วไปต่อที่โจทย์เลย จ้ำ!
9