1. Vektor adalah kuantitas fisik yang membutuhkan informasi tentang besarnya dan arahnya. Vektor dapat direpresentasikan secara geometris dengan panah yang panjangnya mewakili besar dan arah panah mewakili arah vektor. 2. Terdapat beberapa operasi pada vektor seperti penjumlahan, pengurangan, perkalian skalar, dan produk skalar dan silang. Penjumlahan vektor dapat dilakukan dengan metode jajaran

1. Vektor
BAB I
V E K T O R
1.1 Pengertian
Banyak kuantitas fisik, seperti luas, panjang, massa dan temperatur,
dapat dijelaskan secara lengkap apabila besaran kuantitas tersebut telah
diberikan. Kuantitas seperti ini dinamakan skalar. Kualitas fisik lainnya disebut
vektor, penjelasannya tidak begitu lengkap sehingga baik besarannya maupun
arahnya dapat dispesifikasikan. Sebagai contoh, angin yang bergerak pada
umumnya digambarkan dengan memberikan kecepatan dan arahnya, misalnya
mendekati 20 mil / jam.
Vektor-vektor dapat dinyatakan secara geometris sebagai segmen –
segmen garis terarah ataupun panah-panah di ruang-2 atau ruang-3; arah panah
menentukan arah vektor dan panjang panah menyatakan besarnya. Ekor panah
disebut titik awal (initial point) dari vektor, dan ujung panah dinamakan titik
terminal (terminal point).
Gambar 1.1
Pada gambar 1.1a, titik awal vector v adalah A da titik terminalnya adalah B,
maka dituliskan v =
→−
AB
Oleh : Syamsul Anam,S.Kom. 1
B
A
(a) (b)

2. Pendahuluan
Vektor – vektor yang mempunyai panjang dan arah yang sama, seperti pada
gambar 3.1b disebut ekivalen.
Untuk menuliskan panjang vektor v digunakan notasi |v|
1.2 Operasi – operasi pada vector
a. Penjumlahan Vektor
Ada 2 metode yang dapat digunakan untuk menjumlahkan 2 buah vektor
a.1 Metode Jajaran Genjang
Gambar 1.2
Vektor hasil (resultant) yaitu a + b diperoleh dari diagonal jajaran
genjang yang dibentuk oleh vektor a dan b setelah titik awal dan
titik akhir ditempatkan berimpit.
a.2 Metode Segitiga
Gambar 1.3
a
b
a+b
a+b
a
b
a+b
a
b

3. Pendahuluan
Resultan diperoleh dengan menempatkan titik awal salah satu vektor
pada titik ujung vektor yang lain, maka resultannya adalah vektor
bertitik awal di titik awal a dan bertitik ujung di titik ujung b
Catatan :
1. Penjumlahan vektor bersifat komutatif, a + b = b + a
2. Metode Segitiga baik sekali digunakan untuk menjumlahkan lebih
dari 2 vektor. Misalnya a + b + c + d + e , maka resultannya
adalah vektor dengan titik awal di titik awal vektor a dan bertitik
ujung di titik ujung vektor e
3. Pengurangan vektor a dan b adalah a – b = a + (-b)
b. Perkalian Skalar
Jika k adalah suatu skalar bilangan riil, a suatu vektor, maka perkalian
skalar ka menghasilkan suatu vektor yang panjangnya |k| kali panjang a
dan arahnya sama dengan arah a bila k positif atau berlawanan arah bila k
negatif. Bila k = 0 maka ka =0 disebut vektor nol, yaitu vektor yang titik
awal dan titik ujungnya berimpit.
Gambar 1.4
a
2a -2a

4. Pendahuluan
1.3 Susunan Koordinat Ruang-n
a. Ruang dimensi satu (R1
)
R O P E A
Gambar 1.5
Titik O mewakili bilangan nol, titik E mewakili bilangan 1. Ditulis O(0),
E(1), P( 5
2 ) artinya P mewkili bilangan 5
2 dan kita letakkan P sehingga
OP = 5
2 satuan ke arah E (arah positif).
b. Ruang dimensi dua (R2
)
Setiap pasangan bilangan riil (koordinat titik) dapat diwakili oleh sebuah
titik pada suatu bidang rata, yang membentuk susunan koordinat di
dalam ruang dimensi dua, ditulis R2
.
X2
E2
E1 C
B(3,1)
A(1,2)
o
X1
D
Gambar 1.6

5. Pendahuluan
c. Ruang dimensi tiga (R3
)
X1
X2
X3
A D
C
B(0,3,3)
Gambar 1.7
d. Ruang dimensi n (Rn
)
Secara umum untuk Rn
dimana n adalah bilangan bulat positif, suatu titik di
dalam Rn
dinyatakan sebagai n-tupel bilangan riil. Misalnya titik X(x1,
x2, ...,xn)
1.4 Vektor di dalam Ruang Rn
Lebih dahulu kita pandang suatu susunan koordinat di R2
. Suatu vektor
disebut satuan bila panjangnya = 1.

6. Pendahuluan
Kita ambil sekarang vektor satuan :
e1 = OE1 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E1(1,0)
e2 = OE2 yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya adalah E2(0,1)
Kemudian kita tulis e1 = 1e1 + 0 e2
e2 = 0e1 + 1 e2
Yang selanjutnya penulisan itu disingkat dengan
e1 = [1,0]
e2 = [0,1]
Sekarang pandang vektor a yang titik awalnya O(0,0) dan titik ujungnya
titik A(a1, a2). Vektor a disebut vektor posisi dari titik A.
e1
e2
A(a1, a2)
a1e1
a2e2
Gambar 1.8
Bilangan – bilangan a1, a2 disebut komponen – komponen dari a
Panjang vektor a adalah 2
2
2
1 aa +
Secara umum untuk vektor p yang titik awalnya P(p1, p2) dan titik
ujungnya di Q(q1, q2) :
PQ = (q1 – p1) e1 + (q2 – p2) e2
= [(q1 – p1), (q2 – p2)]

7. Pendahuluan
Kesimpulan (untuk Rn
):
1. Vektor posisi dari titik A(a1, a2, …, an) adalah OA = [a1, a2, …, an]
2. Vektor bertitik awal di P(p1, p2, …, pn) dan bertitik ujung di Q(q1, q2, …,
qn) adalah PQ = [q1 – p1, q2 – p2, … , qn – pn ]
3. Panjang vektor a = [a1, a2, …, an] adalah |a| = 22
2
2
1 .... naaa +++
Jarak 2 titik P(p1, p2, …, pn) dan Q(q1, q2, …, qn) adalah panjang vektor
PQ yaitu :
|PQ| = 22
22
2
11 )(....)()( nn qpqppq −++−+−
4. Vektor – vektor satuan dari susunan koordinat adalah
e1 = [1,0,0,…,0],
e2 = [0,1,0,…,0],
e3 = [0,0,1,0…,0], dst.
Latihan :
1. Carilah komponen – komponen vektor yang bertitik awal di P dan terminal
di Q
a. P(3,5) dan Q(2,8) b. P(6,5,8) dan Q(8, -7, -3)
2. Carilah vektor yang bertitik awal P(2, -1, 4) yang mempunyai arah seperti
v = [7, 6, -3]
3. Carilah vektor yang bertitik terminal Q(2, 0, -7) yang mempunyai arah
berlawanan dengan v = [-2, 4, -1]
4. Misalkan P adalah titik (2, 3, -2) dan Q adalah titik (7, -4, 1)
a. Carilah titik tengah dari segmen garis yang menghubungkan P dan Q
b. Carilah titik pada segmen garis yang menghubungkan P dan Q yang
4
3 dari P ke Q.
5. Hitunglah panjang v bila
a. v = [3, 4] b. v = [-8, 7, 4]
6. Hitunglah jarak antara P dan Q bila
a. P(2,3) dan Q(7,8) b. P(1, 1, 1) dan Q(6, -7, 3)

8. Pendahuluan
1.5 Beberapa Dalil pada Operasi Vektor
Untuk setiap vektor a = [a1, a2, a3,. . ., an] , b = [b1, b2, b3, . . . , bn] , c=[c1, c2,
c3, . . ., cn] ∈ Rn
, dan m, k adalah skalar – skalar, maka berlaku :
(1). a + b = b + a
(2). (a + b) + c = a + (b + c)
(3). k(a + b) = ka + kb
(4). a + 0 = a
(5). a + (-a) = 0
(6). (k + m)a = ka + ma
(7). (km)a = k(ma) = m(ka)
1.6 Dot Product (Hasil Kali Titik)
Definisi
Bila v dan w adalah vektor, dan θ adalah sudut antara v dan w (0 ≤ θ ≤ π)
Maka hasil kali titik (dot product) v. w didefinisikan dengan :
v.w =



0
cos|||| θwv
00
00
==
≠≠
watauvjika
wdanvjika
)1.1.....(....................
θ
z
x
y
P(v1, v2, v3)
Q(w1, w2, w3)θ

9. Pendahuluan
Gambar 1.9
Perhatikan gambar 1.9 di atas. Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah 2
vektor tak nol. Dan θ adalah sudut antara v dan w , maka hokum cosinus
menghasilkan :
|
→−
PQ |2
= |v|2
+ |w|2
– 2|v||w| cos θ …………………………………………..(1.2)
Karena
→−
PQ = w – v maka dapat (1.2) dapat dituliskan kembali sebagai :
2|v||w| cos θ = |v|2
+ |w|2
- |w – v|2
|v||w| cos θ = 2
1
(|v|2
+ |w|2
- |w – v|2
)
Atau
v . w = 2
1
(|v|2
+ |w|2
- |w – v|2
)
Dengan mensubstitusikan
|v|2
=
2
1v +
2
2v +
2
3v dan |w|2
=
2
1w +
2
2w +
2
3w
dan
|w – v|2
=
2
11 )( vw − +
2
22 )( vw − +
2
33 )( vw −
Maka setelah disederhanakan akan diperoleh :
v. w = v1w1 + v2w2 + v3w3
Jika v dan w bukan vektor nol, maka persamaan (1.1) dapat ditulis dengan
Cos θ =
||||
.
wv
wv
Contoh 1.1
Diketahui vektor v = (2, -1, 1) dan w=(1, 1, 2)
Carilah v.w dan tentukan sudut antara v dan w.

10. Pendahuluan
Jawab :
v. w = (2).(1) + (-1).(1) + (1)(2) = 2 – 1 + 2 = 3
|v| = 114 ++ = 6
|w| = 411 ++ = 6
Jadi Cos θ =
6
3
= 2
1 , maka sudut antara v dan w adalah 60o
1.7 Cross Product (Hasil Kali Silang)
Dalam banyak penerapan vektor pada bidang geometri, fisika, dan teknik, kita
perlu membentuk vektor di ruang-3 yang tegak lurus dengan 2 vektor lain yang
diberikan.
Definisi
Jika v =(v1, v2, v3) dan w = (w1, w2, w3) adalah vektor – vektor di Ruang-3,
maka hasil kali silang (cross product) v x w adalah vektor yang didefinisikan oleh
v x w = (v2w3 – v3w2, v3w1 – v1w3, v1w2 – v2w1)
atau dalam notasi determinan
v x w = 







−
21
21
31
31
32
32
,,
ww
vv
ww
vv
ww
vv
Contoh 1.2
Carilah u x v dimana u = (1, 2, -2) dan v=(3, 0, 1)

11. Pendahuluan
Jawab :





 −
103
221
u x v = 






 −
−
−
03
21
,
13
21
,
10
22
= ( )6,7,2 −−
Teorema
Jika v dan w adalah vector dalam Ruang-3, maka
1. v. (v x w) = 0
2. v. (v x w) = 0
3. |v x w|2
= |v|2
|w|2
– (v.w)2
(Identitas Lagrange)
Jika θ adalah sudut di antara v dan w , maka v.w = |v| |w| cos θ, sehingga
Identitas Lagrange dapat dituliskan kembali sebagai :
|v x w|2
= |v|2
|w|2
– (v.w)2
= |v|2
|w|2
- (|v| |w| cos θ)2
= |v|2
|w|2
- |v|2
|w|2
cos2
θ
= |v|2
|w|2
(1 - cos2
θ)
= |v|2
|w|2
sin2
θ
Jadi
|v x w| = |v| |w| sin θ
|w| sin θ
|w|
|v|
v

12. Pendahuluan
Jadi luas A dari jajaran genjang di atas diberikan oleh
A = |v| |w| sin θ = |v x w|
1.8 Persamaan Garis LUrus dan Bidang Rata
a. Garis Lurus
Gambar 1.6
Misalkan titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3)
Maka
→−
OA = [a1, a2, a3] dan
→−
OB = [b1, b2, b3] dan
→−
AB = [b1- a1, b2-a2, b3-a3]
Untuk setiap titik sebarang pada g berlaku AX = λAB.
Jelas
→−
OX =
→−
OA +
→−
AX
=
→−
OA + λ
→−
AB
Atau
A
B
X
g
O

13. Pendahuluan
[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + λ [b1- a1, b2-a2, b3-a3] ……………………………………(1.3)
Persamaan (1.3) di atas disebut persamaan vektoris garis lurus yang melalui 2
titik A(a1, a2, a3) dan B(b1, b2, b3).
Vektor
→−
AB (atau vektor lain yang terletak pada g, dengan kata lain, kelipatan
dari
→−
AB ) disebut vector arah garis lurus tersebut.
Jadi bila garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vector arah
_
a = [a, b, c],
maka persamaannya adalah :
[x1, x2, x3] = [a1, a2, a3] + λ [a, b, c] ……………………………………….(1.4)
Persamaan (1.4) dapat ditulis menjadi :
x1 = a1 + λ b1
x2 = a2 + λ b2
x3 = a3 + λ b3
yang disebut dengan persamaan parameter garis lurus.
Kemudian bila a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0, λ kita eliminasikan dari persamaan parameter
di atas, diperoleh :
λ =
a
ax )( 11 −
=
b
ax )( 22 −
=
c
ax )( 33 −
Merupakan persamaan linier garis lurus melalui titik A(a1, a2, a3) dengan vektor
arah [a, b, c].

14. Pendahuluan
b. Bidang Rata
Gambar 1.7
Misal diketahui 3 titik P(p1, p2, p3) , Q(q1, q2, q3) dan R(r1, r2, r3) pada sebuah
bidang rata seperti di atas.
Maka
→−
PQ = [q1-p1, q2-p2, q3-p3]
→−
PR = [r1-p1, r2-p2, r3-p3]
Untuk setiap titik pada bidang, berlaku
→−
PX = λ
→−
PQ + µ
→−
PR
Jelas dari gambar
→−
OX =
→−
OP +
→−
PX
=
→−
OP + λ
→−
PQ + µ
→−
PR
Atau
[x1, x2, x3] = [p1, p2, p3] + λ [q1-p1, q2-p2, q3-p3] + µ [r1-p1, r2-p2, r3-p3]
Adalah persamaan vektoris bidang yang melalui 3 titik. Kedua vektor
→−
PQ dan
→−
PR adalah vektor arah bidang.
Latihan :
P
Q
R
O

15. Pendahuluan
1. Tentukan :
a. a . b bila a = [2, -3, 6] dan b = [8, 2, -3]
b. Jarak A(2, 4, 0) , B(-1, -2, 1)
c. Jarak vektor a = [ 1, 7] dan b = [6, -5]
2. a. Tentukan k supaya a = [1, k, -2, 5] mempunyai panjang 39
b. Berapa sudut antara a = [1, 2, 3, 4] dan b = [0, 0, 1, 1]
c. Tentukan k supaya a = [1, k, -3] tegak lurus b = [4, -k, 1]
3. Carilah u. v untuk
a. u = [-3, 1, 2] dan v = [4, 2, -5]
b. u = [ 1, 2] dan v = [6, -8]
4. Carilah sudut antara u dan v pada soal (3)
5. Misalkan u = [2, -1, 3] , v = [0, 1, 7] dan w = [1, 4, 5], hitunglah
a. v x w b. u x (v x w) c. (u x v) x w
d. (u x v) x (v x w) d. u x (v – 2w) f. (u x v) – 2w
6. a. Tentukan persamaan vektoris dari garis lurus
x1 – 3 = x2 – 4 = -x3 + 2 = 3x4 +2
b. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui (1,1,1) dan garis
lurus g : [x1, x2, x3] = [1, 2,1] + λ[1, 0, 2]
c. Tentukan persamaan bidang rata yang melalui garis lurus g :
[x, y, z] = [1, 2, 3] + λ[4, 5, 6] serta sejajar dengan garis lurus
h : [x, y, z] = [7, 8, 10] + λ[1, 2, 31]

16. Pendahuluan
BAB II
RUANG VEKTOR
2.1 Ruang Vektor Umum
Definisi
Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan yaitu
penjumlahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penjumlahan tersebut
kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda
u dan v dalam V, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah
u dan v, dengan perkalian skalar kita artikan setiap benda u pada V yang
mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar u oleh k. Jika semua
aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v, w pada V dan oleh semua
skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor dan benda – benda
pada V kita namakan vektor :
(1). Jika u dan v adalah benda – benda pada V kita namakan vektor
(2). u + v = v + u
(3). u + (v + w) = (u + v) + w
(4). Ada vektor 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V
(5). Untuk setiap u di V, terdapat –u sehingga u + (-u) = (-u) + u = 0
(6). Jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang vektor di V, maka
ku berada di V
(7). k(u + v )= ku + kv
(8). (k + l)u = ku + lu
(9). k(lu) = l(ku)
(10). 1u = u

17. Pendahuluan
2.2 SubRuang (subspace)
Definisi
Subhimpunan W dari sebuah ruang vektor V disebut sub ruang (subspace) V jika
W itu sendiri adalah ruang vektor di bawah penjumlahan dan perkalian skalar
yang didefinisikan pada V.
2.3 Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier
Definisi
Himpunan m buah vektor (u1, u2, … um) disebut tak bebas linier (linearly
dependent) bila terdapat skalar – skalar λ1, λ2, …, λm yang tidak semuanya nol
sedemikian hingga (u1, u2, … um)
Sebaliknya himpunan (u1, u2, … um) disebut bebas linier (linearly independent)
jika λ1 u1 + λ2 u2 + …+ λm um = 0 hanya dipenuhi oleh λ1= λ2 = …= λm = 0.
Catatan :
1. Jika m=1, maka :
a. Bila u = 0 (vektor nol), akan tak bebas linier, karena λu = 0
 λ0 = 0 terpenuhi juga untuk λ ≠ 0
b. Bila λ ≠ 0, akan bebas linier karena λu=0 hanya dipenuhi oleh λ =0
2. Jika dalam himpunan terdapat vektor 0, misalnya {u1, u2,…,0, … um)
maka himpunan itu tak bebas linier,
λ1 u1 + λ2 u2 + … + λi 0+ … + λm um = 0 dipenuhi juga oleh λI ≠ 0
3. JIka u dan v adalah 2 vektor yang berkelipatan, u = αv, maka mereka
tak bebas linier. Sebab u = αv  1u - αv = 0, artinya terdapat λ ≠ 0
pada λ1 v + λ2 u = 0

18. Pendahuluan
2.4 Kombinasi Linier
Definisi
Suatu vektor v dikatakan kombinasi linier dari vektor – vektor (u1, u2, … um) bila
terdapat skalar – skalar λ1, λ2, …, λm sedemikian hingga v = λ1 u1 + λ2 u2 + …+ λm
um.
Contoh 2.1
a = [2, 1, 2], b = [1, 0, 3], c = [3, 1, 5]
Kita hendak menyatakan a sebagai kombinasi linier dari b dan c
Kita hitung λ1, dan λ2 yang memenuhi [2, 1, 2] = λ1 [1, 0, 3] + λ2 [3, 1, 5]
2 = λ1 + 3 λ2
1 = λ2
2 = 3 λ1 + 5 λ2
Dengan substitusi, diperoleh λ1 = -1 dan λ2 = 1
Jadi penulisan yang diminta adalah a = -b + c
2.5 Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur
(1). Kalau v kombinasi linier dari suatu vektor u, yaitu v = λu yang mana v
adalah kelipatan dari u dengan garis pembawanya sama (atau sejajar), v
dan u disebut koliner (segaris).
(2). v kombinasi linier dari 2 vektor u1 dan u2, yaitu v = λ1u1 + λ2u2 maka v
adalah diagonal jajaran genjang yang sisi – sisinya λ1u1 dan λ2u2 . u1
dan u2 disebut koplanar (sebidang).
(3) v kombinasi linier dari 3 vektor u1 , u2 dan u3, yang tidak sebidang, yaitu
v = λ1u1 + λ2u2 + λ3u3 maka v adalah diagonal paralelepipedum yang
sisi – sisinya λ1u1, λ2u2 dan λ3u3.

19. Pendahuluan
2.6 Dimensi dan Basis
Definisi
Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S = {v1, v2, …, vr} merupakan
himpunan berhingga dari vektor – vektor pada S, maka S disebut basis untuk V
jika : (i). S bebas linier
(ii) S merentang V
Definisi
Dimensi sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga didefinisikan sebagai
banyaknya vektor pada basis untuk V.
Contoh 2.2
Tentukan dimensi dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i). p = [1, -2, 3, 1] dan q = [2, -4, 5, 2]
(ii). u = [5, 7, 11, 4] dan v = [10, 14, 22, 8]
Jawab :
(i). Kedua vektor pembentuk tidak berkelipatan, jadi sistem pembentuk bebas
linier. Berarti dimensi = 2
(ii). Kedua vektor berkelipatan. Vektor u maupun v ≠ 0, jadi keduanya
merupakan sistem pembentuk yang bebas linier. Berarti dimensi = 1

20. Pendahuluan
Latihan:
1. Tentukan dimensi dan basis dari ruang vektor yang dibentuk oleh :
(i). a = [1, 1, 2], b= [1, 2, 5] , c = [5, 3, 4]
(ii). p = [1, 2, 2], q = [2, 4, 4] , r = [1, 0, 1]
(iii) u = [1, 0, 1], v = [3, 0, 3] , w = [2, 0, 2]
2. Apakah himpunan – himpunan vektor ini merupakan basis R-3 ?
(i). [1, 1, 1] , [1, -2, 3]
(ii). [1, 0, 0], [1, 1, 0], [1, 1, 1]
(iii). [1, 1, 2], [1, 2, 5], [5, 3, 4]
3. Diketahui L dibentuk oleh p = [1, 3, 1], q= [2, 1, 0], dan r = [ 4, x-2, 2]
Ditanya :
(i) Nilai x supaya L berdimensi 2
(ii) Nilai y supaya vektor a = [3, 2-y, 4] ∈ L{p,q,r}
(iii) Koordinat a di atas relative terhadap basis {p,q}

21. Pendahuluan
BAB III
M A T R I K
3.1 Pengertian
Matrik adalah himpunan skalar yang disusun secara empat persegi panjang
(menurut baris dan kolom)
Skalar – skalar itu disebut elemen matrik. Untuk batasnya biasanya digunakan: (
), [ ], || ||
3.2 Notasi Matrik
Matrik diberi nama dengan huruf besar. Secara lengkap ditulis matrik
A=(aij), artinya suatu matrik A yang elemen – elemennya adalah aij dimana
index i menunjukkan baris ke-i dan indeks ke–j menunjukkan kolom ke–j .
Sehingga bila matrik disusun secara A(mxn) = (aij), mxn disebut ordo
(ukuran) dari matrik A.
3.3 Operasi pada Matrik
1. Penjumlahan matrik
Syarat : ukuran matrik harus sama.
Jika A = (aij) dan B = (bij), matrik berukuran sama, maka A + B adalah
suatu matrik C = (cij) dimana cij = aij + bij untuk setiap I dan j

22. Pendahuluan
2. Perkalian skalar terhadap matrik
Kalau λ suatu skalar (bilangan) dan A = (aij), maka matrik λA = (λaij),
dengan kata lain, matrik λA diperoleh dengan mengalikan semua elemen
matrik A dengan λ.
Hukum pada penjumlahan dan perkalian scalar :
Jika A, B, C adalah matrik berukuran sama, dan λ adalah skalar maka :
1. A + B = B + A (komutatif)
2. (A + B) + C = A + (B+C) (asosiatif)
3. λ(A + B) = λA + λB (distributif)
4. Selalu ada matrik D sedemikian hingga A + D = B
3. Perkalian matrik
Pada umumnya matrik tidak komutatif terhadap operasi perkalian : AB ≠
BA. Pada perkalian matrik AB, matrik A disebut matrik pertama dan B
matrik kedua.
Syarat : Jumlah kolom matrik pertama = jumlah baris matrik kedua
Definisi :
Panjang A = (aij) berukuran (p x q) dan B = (bij) berukuran (q x r). Maka
perkalian AB adalah suatu matrik C = (cij) berukuran (p x r) dimana :
cij = ai1 b1j + ai2 b2j + … + aiq bqj, untuk setiap i = 1,2,…,p dan j = 1,2, …
r

23. Pendahuluan
Hukum pada perkalian matrik :
1. A(B + C) = AB + AC, dan (B + C) A = BA + CA, memenuhi hukum
distributif
2. A(BC) = (AB)C , memenuhi hukum asosiatif
3. Perkalian tidak komutatif, AB ≠ BA
4. Jika AB = 0 (matrik 0 ) , yaitu matrik yang semua elemennya adalah =
0, kemungkinan kemungkinannya adalah :
(i). A = 0 dan B = 0
(ii) A = 0 atau B = 0
(iii) A ≠ 0 dan B ≠ 0
5. Bila AB = AC belum tentu B = C
4. Transpose dari suatu matrik
Pandang suatu matrik A = (aij) berukuran (m x n) maka transpose dari A
adalah matrik AT
berukuran (n x m) yang didapatkan dari A dengan
menuliskan baris ke – i dari A, i = 1,2,…,m sebagai kolom ke –i dari AT
.
Dengan kata lain : AT
= (aji)
Sifat – sifat matrik transpose
1. (A + B)T
= AT
+ BT
2. (AT
)T
= A
3. λ(AT
) = (λA)T
4. (AB)T
= BT
AT

24. Pendahuluan
3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus
1. Matrik bujursangkar
adalah matrik dengan jumlah baris = jumlah kolom, sehingga
disebut berordo n.
Barisan elemen a11, a22, … ann disebut diagonal utama dari matrik
bujursangkar A
2. Matrik nol
adalah matrik yang semua elemennya adalah 0
3. Matrik diagonal
matrik bujursangkar yang semua elemen di luar diagonal
utamanya 0.
4. Matrik identitas
adalah matrik diagonal yang elemen – elemen diagonal utama
adalah 1.
5. Matrik skalar
adalah matrik diagonal dengan semua elemen diagonal
utamanyanya = k
6. Matrik segitiga bawah (lower triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di atas diagonal
utama = 0.
7. Matrik segitiga atas (upper triangular)
adalah matrik bujursangkar yang semua elemen di bawah diagonal
utama = 0.
8. Matrik simetris

25. Pendahuluan
adalah matrik yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
9. Matrik anti simetris
adalah matrik yang transposenya adalah negatifnya.
.
10. Matrik hermitian
adalah matrik yang bila transpose hermitiannya adalah sama
dengan dirinya sendiri.
11. Matrik idempoten, nilpotent
Bila berlaku A.A = A2
= A, maka A dikatakan matrik idempoten.
Bila Ar
= 0, maka A nilpotent dengan index r (dimana r adalah
bilangan bulat positif terkecil yang memenuhi hubungan tersebut)
3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu
matrik
Yang dimaksud dengan transformasi elementer pada baris dan kolom suatu
matrik A adalah sebagai berikut :
1a. Penukaran tempat baris ke – i dan baris ke – j ditulis H ij (A)
b. Penukaran tempat kolom ke – i dan kolom ke – j ditulis K ij (A)
2a Mengalikan baris ke – i dengan skalar λ ≠ 0 , ditulis H
)(λ
i
(A)
b. Mengalikan kolom ke – j dengan skalar λ ≠ 0 , ditulis K
)(λ
i
(A)
3a. Menambah baris ke – i dengan λ kali baris ke – j ditulis Hij
(λ)
(A)
b. Menambah kolom ke – i dengan λ kali kolom ke – j ditulis Kij
(λ)
(A)
Misalnya kita telah mengetahui matrik B sebagai hasil transformasi elementer
dari A. Kita dapat mencari A, disebut invers dari transformasi elementer tersebut.

26. Pendahuluan
Matrik ekivalen
Dua matrik A dan B dikatakan ekivalen (A~B) apabila salah satunya dapat
diperoleh dari yang lin dengan transformasi – transformasi elementer terhadap
baris dan atau kolom. Jika transformasi elementernya pada baris saja, maka
dikatakan ekivalen baris. Begitu juga dengan kolom.
Matrik Elementer
Sebuah matrik n x n disebut matrik elementer jika matrik tersebut dapat
diperoleh dari matrik identitas n x n yaitu In dengan melakukan sebuah operasi
baris elementer tunggal.
3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan
Misal diketahui matrik A adalah matrik bujursangkar. Dan X adalah pemecahan
bagi AX = 0 dimana AX = 0 adalah bentuk matrik dari sistem :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = 0
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = 0
.
.
.
an1x1 + an2x2 + … + annxn = 0
Jika kita memecahkannya dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan, maka
sistem persamaan yang bersesuaian dengan bentuk eselon baris tereduksi dari
matrik yang diperbesar akan menjadi :

27. Pendahuluan
x1 = 0
x2 = 0
.
.
xn = 0
dan matrik yang diperbesar tersebut adalah :




















0..
......
......
......
0..
0..
21
22221
11211
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
3.7 Mencari invers matrik
Contoh 3.1:
Cari invers matrik A =










801
352
321
Jawab :
Pada akhir operasi , matrik dibentuk menjadi [I |A-1
] dari bentuk asal [A | I]





801
352
321





100
010
001

28. Pendahuluan
dengan operasi elementer H
)2(
21
−
dan H
)1(
21
−
menjadi





−
−
520
310
321





−
−
101
012
001
dengan operasi elementer H
)2(
32 menjadi





−
−
100
310
321





−
−
125
012
001
dengan operasi elementer H
)1(
3
−
menjadi





−
100
310
321





−−
−
125
012
001
dengan operasi elementer H
)3(
13
−
dan H
)3(
23 menjadi





100
010
021





−−
−−
−
125
3513
3614
dengan operasi elementer H
)2(
12
−
menjadi





100
010
001





−−
−−
−
125
3513
91640
Jadi invers dari matrik A adalah










−−
−−
−
125
3513
91640

29. Pendahuluan
LATIHAN:
1. Carilah 3A2
+ 2A – 3I2
, bila A = 





43
12
2. Tunjukkan bahwa A adalah matrik idempoten, A =










−
−−
−
531
531
531
3. Carilah invers dari A = 





34
23
4. Diketahui A =










1031
2014
1213
, matrik B dihasilkan dari sederetan
transformasi elementer H
)1(
31
−
,H
)2(
2
, H 12 , K
)1(
41
, K
)2(
3 terhadap A.
Carilah B tersebut.
5. Tentukan transpose hermitian dari :
Q = 





+
+
π2
3
sin2
xi
ixii
6. Cari solusi dari persamaan linier berikut ini :
x1 + 2x2 + 3x3 = 5
2x1 + 5x2 + 3x3 = 3
x1 + + 8x3 = 17

30. Pendahuluan
7. Pecahkan persamaan matrik untuk X dalam masing – masing bagian berikut
:
a. X










−
−
113
011
101
= 





− 513
021
b. X 




 −
103
211
= 





−
−−
736
015

31. Pendahuluan
BAB IV
D E T E R M I N A N
4.1 Pengertian
Setiap matrik bujursangkar A selalu dikaitkan dengan suatu sknlar yang
disebut Determinan. Sebelum mulai dengan yang lebih umum, kita ambil
dahulu matrik A(2x2) sebagai berikut : 





dc
ba
Didefinisikan ; det(A) =
dc
ba
= ad -bc
Contoh :
A = 





55
31
maka det(A) = 1.5 – 3.5 = 5 – 15 = -10
4.2 PERMUTASI
Definisi :
Permutasi himpunan bilangan – bilangan bulat {1,2,3 …,n} adalah
susunan bilangan – bilangan bulat ini menurut suatu aturan tanpa
menghilangkan atau mengulangi bilangan – bilangan tersebut.

32. Pendahuluan
Contoh 4.1:
Ada 6 permutasi yang berbeda dari himpunan {1,2,3} yaitu {1,2,3}, {1,3,2},
{2,1,3}, {2,3,1}, {3,2,1}, {3,1,2}
Banyaknya permutasi dapat dihitung dengan factorial. Untuk contoh soal diatas
3! = 1.2.3 = 6
Definisi
Invers pada suatu permutasi (j1, j2, j3 …,jn) adalah adanya jk < ji (jk mendahului
ji) padahal ji < jk (I dan k = 1, 2, . . ., n)
Contoh 4.2:
Berapa banyak invers yang terdapat pada permutasi {2, 1, 4, 3} ?
Ada 2 invers yaitu :
1. ji = 2 mendahului jk = 1, padahal 1 < 2
2. ji = 4 mendahului jk = 3, padahal 3 < 4
4.3 DETERMINAN
Cara termudah mencari determinan dari matrik bujursangkar untuk orde
yang tidak terlalu besar adalah dengan metode SARRUS .
(-) (-) (-)
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
3231
2221
1211
aa
aa
aa
(+) (+) (+)
Contoh 4.3:
213
212
132
13
12
32
= 2.1.2 + 3.2.3 + 1.2.1 – 1.1.3 – 2.2.1 – 3.2.2
= 4 + 18 + 2 – 3 – 4 – 12 = 5

33. Pendahuluan
4.4 SIFAT – SIFAT DETERMINAN
1. det(A) = det(AT
)
2. Tanda determinan berubah jika 2 baris atau kolom ditukar tempatnya.
3. Harga determinan menjadi λ kali, bila suatu baris / kolom dikalikan
dengan skalar λ
4.5 MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS
Metode ini penting untuk menghindari perhitungan panjang yang terlibat dalam
penerapan definisi determinan secara langsung.
Theorema :
Jika A adalah matrik segitiga n x n, maka det(A) adalah hasil kali elemen –
elemen pada diagonal utama, yaitu , det(A) = a11.a22.a33 .. ann
Contoh 4.4 :
40000
89000
67600
15730
38372
−
−
= (2) (-3) (6) (9) (4) = -1296
Contoh 4.5 :
Hitung det(A) dimana A =
162
963
510
−

34. Pendahuluan
Jawab :
Baris I ditukar dengan baris II ( H21), sehingga menjadi = -
162
510
963 −
= - 3
162
510
321 −
⇒ H31
(-2)
⇒ = - 3
5100
510
321
−
−
⇒ H32
(-10)
⇒
= - 3
5500
510
321
−
−
= (-3) (-55)
100
510
321 −
= (-3) (-55) (1) = 165
Metode reduksi baris ini sangat sesuai untuk menghitung determinan dengan
menggunakan komputer karena metode tersebut sistematis dan mudah
diprogramkan.
4.6 MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER
Minor aij adalah determinan submatrik yang tetap setelah baris ke – i dan
kolom ke – j dicoret dari A . Dinyatakan dengan |Mij|.
Sedangkan bilangan (-1) i+j
|Mij|dinyatakan oleh Cij disebut Kofaktor
Contoh 4.6 :
A =










198
765
432
Minor dari elemen a23 =
98
32
= 18 – 24 =
-6
Kofaktor dari elemen a23 = (-1) 5
(-6) = 6
Perhatikan bahwa kofaktor dan minor hanya berbeda pada tandanya, yaitu
Cij = ±Mij . Cara cepat untuk menentukan apakah penggunaantanda + atau

35. Pendahuluan
tanda – merupakan penggunaan tanda yang menghubungkan Cij dan Mij
berada dalam baris ke – i dan kolom ke – j dari susunan :




















+−+−+
−+−+−
+−+−+
−+−+−
+−+−+
..........
..
.
..
..
..
..
..
Misalnya C11 = M11, C21 = -M21 , C44 = M44, C23 = -M23
Theorema
Determinan matrik A yang berukuran n x n dapat dihitung dengan mengalikan
elemen – elemen dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor – kofaktornya
dan menambahkan hasil kali – hasil kali yang dihasilkan, yaitu setiap 1 ≤ i ≤ n
dan 1 ≤ j ≤ n , maka
det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj
(ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke – j)
dan
det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin
(ekspansi kofaktor sepanjang baris ke – i)

36. Pendahuluan
Contoh 4.7 :
Det(A) bila A =










−
−−
245
342
013
adalah
Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama
= 3
24
34
−
−
- 1
25
32
−
−
+ 0
45
42 −−
= (3)(-4) – (1)(-11)
= -12 + 11
= -1
Definisi :
Jika A adalah sebarang matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij, maka matrik
















nnnnn
n
n
CCCC
CCCC
CCCC
...
.....
.......
...
...
321
2232221
1131211
disebut matrik kofaktor A.
Transpose matrik ini disebut Adjoin A dan sinyatakan dengan adj(A).
Jika A adalah matrik yang dapat dibalik, maka : A
1−
= )det(
1
A adj(A)

37. Pendahuluan
ATURAN CRAMER
Theorema
Jika AX = B adalah sistem yang terdiri dari n persamaan linier dalam n bilangan
tak diketahui sehingga det(A) ≠ 0, maka system tesebut mempunyai
pemecahan unik. Pemecahan ini adalah :
x1 =
)det(
)det( 1
A
A
, x2 =
)det(
)det( 2
A
A
, … , xn =
)det(
)det(
A
An
dimana Aj adalah matrik yang didaptkan dengan mengantikan elemen- elemen
dalam kolom ke j dari A dengan elemen matrik B =












nb
b
b
.
2
Contoh 4.8:
Gunakan aturan Cramer untuk memecahkan
x1 + + 2x3 = 6
-3x1 + 4x2 + 6x3 = 30
-x1 - 2x2 + 3x3 = 8
Jawab :
A=










−−
−
321
6403
201
,
A1=










− 328
6430
206
, A2=










−
−
381
6303
261
, A3=










−−
−
321
3043
601
Maka

38. Pendahuluan
x1 =
)det(
)det( 1
A
A
=
44
40−
=
11
10−
,
x2=
)det(
)det( 2
A
A
=
44
72
=
11
18
,
x3 =
)det(
)det( 3
A
A
=
44
152
=
11
38
Latihan
Latihan Soal :
1. Cari semua minor dan kofaktor dari A =










−
−
−
413
172
361
2. Q =










751
432
321
, cari :
a. adj(A)
b. det(A)
c. A 1−
3. Carilah harga x,y,z,dan w yang memenuhi susunan persamaan linier berikut
:
2x + 4y + 3z + 2w = 1
3x + 6y + 5z + 2w = 1
2x + 5y + 2z - 3w = 0
4x + 5y + 14z + 14w = 0

39. Pendahuluan
BAB V
TRANSFORMASI LINIER
5.1 Pengantar
Definisi
Jika F:V  W adalah sebuah fungsi dari ruang vektor V ke dalam ruang vektor W,
maka F disebut transformasi linier, jika :
(i). F(u+v) = F(u) + F(v), untuk semua vektor u dan v di V
(ii). F(ku) = kF(u) untuk semua vektor u di dalam V dan semua skalar k
Contoh 5.1
Misal F:R2
 R3
adalah sebuah fungsi yang didefinisikan oleh :
F(v) = (x, x+y, x-y)
Jika u=(x1, y1) dan v=(x2, y2) maka u + v = (x1 + x2 , y1 + y2)
Sehingga ,
F(u + v) = (x1 + x2, [x1 + x2]+[ y1 + y2], [x1 + x2]-[ y1 + y2])
= (x1, x1 + y1, x1 - y1) + (x2, x2 + y2, x2 – y2)
= F(u) + F(v)
Demikian juga jika k adalah sebuah skalar, ku = (kx1, ky1) sehingga
F(ku) = (kx1, kx1 + ky1, kx1 - ky1)
= k(x1, x1 + y1, x1 - y1)
= k F(u)
Jadi F adalah sebuah transformasi linier
Latihan :
Tentukan apakah F linier untuk masing – masing latihan berikut :
1. F(x,y) = (2x, y)
2. F(x,y) = (2x+y, x-y)
3. F(x, y, z) = (2x+y, 3y-4z)
4. F(x,y,z) = (1, 1)

40. Pendahuluan
5.2 Transformasi Linier dari Rn
 Rm
Misalkan e1, e2, . . . , en adalah basis baku untuk Rn
dan misalkan A adalah
sebuah matrik m x n yang mempunyai T(e1), T(e2), . . . , T(en) sebagai vektor –
vektor kolomnya.
Misal jika T:R2
 R2
diberikan oleh :
T 













2
1
x
x
= 





−
+
21
21 2
xx
xx
Maka
T(e1) = T 













0
1
= 





1
1
dan T(e2) = T 













1
0
= 





−1
2
Jadi A = 





−11
21
adalah matrik baku untuk T di atas.
5.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang
1. Rotasi (Perputaran)
Matrik baku untuk T adalah : 




 −
θθ
θθ
cossin
sincos
2. Refleksi
Refleksi terhadap sebuah garis l adalah transformasi yang memetakan
masing – masing titik pada bidang ke dalam bayangan cerminnya
terhadap l
Matrik baku untuk :

41. Pendahuluan
a. refleksi terhadap sumbu y ( yang mengubah 





y
x
menjadi 




−
y
x
)
adalah : 




−
10
01
b. refleksi terhadap sumbu x ( yang mengubah 





y
x
menjadi 





− y
x
)
adalah : 





−10
01
c. refleksi terhadap garis y = x ( yang mengubah 





y
x
menjadi 





x
y
)
adalah : 





01
10
3. Ekspansi dan kompresi
Jika koordinat x dari masing – masing titik pada bidang dikalikan dengan
konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya adalah memperluas
gambar bidang dalam arah x. Jika 0 < k < 1 maka efeknya adalah
mengkompresi gambar bidang dalam arah x. Disebut dengan ekspansi
(kompresi) dalam arah x dengan faktor k
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





10
0k
Demikian juga , jika koordinat y dari masing – masing titik pada bidang
dikalikan dengan konstanta k yang positif dimana k > 1, maka efeknya
adalah memperluas gambar bidang dalam arah y. Jika 0 < k < 1 maka
efeknya adalah mengkompresi gambar bidang dalam arah y. Disebut
dengan ekspansi (kompresi) dalam arah y dengan faktor k
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





k0
01

42. Pendahuluan
4. Geseran
Sebuah geseran dalam arah x dengan faktor k adalah transformasi yang
menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu x
sebanyak ky menuju kedudukan yang baru (x + ky, y)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





10
1 k
Sebuah geseran dalam arah y dengan faktor k adalah transformasi yang
menggerakkan masing – masing titik (x,y) sejajar dengan sumbu y
sebanyak kx menuju kedudukan yang baru (x , y + kx)
Matrik baku untuk transformasi ini adalah : 





1
01
k
Jika dilakukan banyak sekali transformasi matrik dari Rn
ke Rm
secara
berturutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan transformasi matrik
tunggal.
Jika transformasi - transformasi matrik
T1(x) = A1x, T2(x) = A2x, , .... , Tn(x) = Anx,
Dari Rn
ke Rm
dilakukan berurutan, maka hasil yang sama dapat dicapai dengan
transformasi matrik tunggal T(x) = Ax, dimana
A = Ak . . . A2 A1

43. Pendahuluan
Contoh 5.2
a. Carilah transformasi matrik dari R2
ke R2
yang mula – mula menggeser
dengan faktor sebesar 2 dalam arah x dan kemudian merefleksikannya
terhadap y = x
b. Carilah transformasi matrik dari R2
ke R2
yang mula – mula
merefleksikannya terhadap y = x dan kemudian menggeser dengan faktor
sebesar 2 dalam arah x
Jawab :
a). Matrik baku untuk geseran adalah A1 = 





10
21
Dan untuk refleksi terhadap y = x adalah A2 = 





01
10
Jadi matrik baku untuk geseran yang diikuti dengan refleksi adalah
A2. A1 = 





01
10






10
21
= 





21
10
b). Matrik baku untuk refleksi yang diikuti dengan geseran adalah
A1. A2 = 





10
21






01
10
= 





01
12
Dari contoh di atas, perhatikan bahwa A2. A1 ≠ A1. A2
Jika T:R2  R2 adalah perkalian oleh sebuah matrik A yang punya invers, dan
misalkan T memetakan titik (x,y) ke titik (x’, y’), maka






'
'
y
x
= A 





y
x
Dan






y
x
= A-1






'
'
y
x
Contoh 5.3

44. Pendahuluan
Carilah persamaan bayangan sebuah garis y = 2x + 1 yang dipetakan oleh
matrik A = 





12
13
Jawab :






'
'
y
x
= 





12
13






y
x
Dan






y
x
=
1
12
13
−












'
'
y
x
= 





−
−
32
11






'
'
y
x
Sehingga
x = x’ – y’
y = -2x’ + 3y’
Substitusikan ke y = 2x + 1 maka dihasilkan :
-2x’ + 3y’ = 2(x’ – y’) + 1
-2x’ + 3y’ = 2x’ – 2y’ + 1
5y’ = 4x’ + 1
y’ = 5
4 x’ + 5
1

45. Pendahuluan
Latihan
1. Carilah matrik bakunya
a. T 













2
1
x
x
=












−
+
−
21
21
1
2
3
xx
xx
x
x
b. T


























4
3
2
1
x
x
x
x
=










−
+
+−+
1
32
4321 27
x
xx
xxxx
2. Carilah matrik baku untuk transformasi linier bidang T:R2  R2 yang
memetakan titik (x,y) ke dalam :
(a). Refleksi terhadap garis y = -x
(b). Refleksi melalui titk pusat
(c). Proyeksi ortogonal pada sumbu x
(d). Proyeksi ortogonal pada sumbu y
3. Gambarkan bayangan bujursangkar dengan titik – titik sudut (0,0),
(1,0), (0,1), dan (1,1) di bawah perkalian oleh A = 




−
10
03
4. Carilah persamaan bayangan garis y = -4x + 3 di bawah perkalian
oleh A = 





−
−
23
34

46. Pendahuluan
BAB VI
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Definisi
Jika A adalah matrik n x n, maka vektor tak nol x di dalam Rn
dinamakan vektor
eigen dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x, yaitu,
Ax = λx
untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen dari A dan x dikatakan vektor
eigen yang bersesuaian dengan λ.
Contoh 6.1
Vektor x = 





2
1
adalah vektor eigen dari A = 





−18
03
Yang bersesuaian dengan nilai λ = 3 karena
Ax = 





−18
03






2
1
= 





6
3
= 3 





2
1
Untuk mencari nilai eigen matrik A yang berukuran n x n maka kita
menuliskannya kembali Ax = λx sebagai Ax = λIx
 (λI – A)x = 0
Dan persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian jika
det(λI – A)=0 ...................................................(6.1)
Persamaan (6.1) disebut persamaan karakteristik A.

47. Pendahuluan
Contoh 6.2
Carilah nilai – nilai eigen dari A = 





− 01
23
Jawab :
Karena
λI – A = λ 





10
01
- 





− 01
23
= 




 −−
λ
λ
1
23
Det(λI – A) = (λ-3) λ - (-2) = 0
= λ2
- 3λ + 2 = 0
λ1 = 2, λ2 = 1
Jadi nilai – nilai eigen dari A adalah λ1 = 2 dan λ2 = 1
Latihan :
1. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A = 





−
−
24
910
2. Carilah persamaan karakteristik dari matrik A =










−
−
102
012
104

48. Pendahuluan
DAFTAR ISI
Kata Pengantar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i
Daftar Isi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii
BAB I.........................................................................................................1
1.1Pengertian ............................................................................................................1
1.2Operasi – operasi pada vector...............................................................................2
1.3 Susunan Koordinat Ruang-n................................................................................4
1.4 Vektor di dalam Ruang Rn..................................................................................5
1.5Beberapa Dalil pada Operasi Vektor....................................................................8
1.6Dot Product (Hasil Kali Titik)..............................................................................8
1.7Cross Product (Hasil Kali Silang).......................................................................10
1.8Persamaan Garis LUrus dan Bidang Rata..........................................................12
a. Garis Lurus.......................................................................................................12
b. Bidang Rata.....................................................................................................14
BAB II......................................................................................................16
2.1Ruang Vektor Umum..........................................................................................16
2.2 SubRuang (subspace).........................................................................................17
2.3Vektor yang Bebas Linier dan Tak Bebas Linier...............................................17
2.4Kombinasi Linier................................................................................................18
2.5Arti Kombinasi Linier Secara Ilmu Ukur...........................................................18
2.6 Dimensi dan Basis.............................................................................................19
BAB III.....................................................................................................21
3.1Pengertian...........................................................................................................21
3.2 Notasi Matrik ....................................................................................................21
3.3 Operasi pada Matrik..........................................................................................21
3.4 Beberapa Jenis matrik Khusus...........................................................................24
3.5 Transformasi (Operasi) elementer pada baris dan kolom suatu matrik.............25
3.6 Mencari solusi dengan menggunakan eliminasi Gauss Jordan..........................26
3.7 Mencari invers matrik .......................................................................................27
BAB IV.....................................................................................................31
4.1Pengertian...........................................................................................................31
4.2PERMUTASI......................................................................................................31
4.3DETERMINAN..................................................................................................32
4.4SIFAT – SIFAT DETERMINAN.......................................................................33
4.5MENGHITUNG DETERMINAN DGN REDUKSI BARIS.............................33
4.6MINOR, EKSPANSI KOFAKTOR, & ATURAN CRAMER..........................34
BAB V......................................................................................................39
5.1 Pengantar...........................................................................................................39
5.2 Transformasi Linier dari Rn  Rm...................................................................40
5.3 Jenis – jenis Transformasi Linier bidang...........................................................40
BAB VI.....................................................................................................46

49. Pendahuluan
Daftar Pustaka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48