sejarah matematika yang sangat rumit

1. 1
BAB 1
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam kehidupan sehari-hari, kita sering menjumpai berbagai problem
atau permasalahan yang berkaitan dengan aljabar. Berbagai bidang kehidupan
telah mengangkat permasalahan-permasalahan aljabar ke dalam bidang
mereka sendiri.
Baik dari bidang ekonomi maupun bidang-bidang lainnya, aljabar
selalu diterapkan untuk mencapai suatu keputusan dan hasil yang baik.
Sehingga tak heran bila kita akan mendapatkan materi pembelajaran Aljabar
ketika belajar di kelas.
Dewasa ini, banyak siswa yang belum mengenal bahkan mengetahui
tentang materi aljabar. Mereka menganggap aljabar sebagai pelajaran yang
menakutkan. Bahkan tak sedikit pula yang benar-benar membenci pelajaran
ini.
Beranjak dari situlah, materi aljabar selalu berusaha disajikan dalam
bentuk yang lebih menyenangkan. Penampilan-penampilan yang terasa baru
memang patut dipertunjukkan untuk meningkatkan kecintaan terhadap aljabar.
Sebuah peternakan memiliki beberapa sapi. Suatu hari, sapi itu
diperah, maka setiap sapi akan menghasilkan 1,5 liter. Jika hasil yang didapat
dari perahan sapi adalah sebanyak 9 liter, berapakah sapi yang dimiliki
peternakan itu?
Segelintir pertanyaan di atas hanyalah secuil dari banyaknya
permasalahan atau problem dalam soal Matematika. Dengan pendekatan yang
lebih menarik dan meningkatkan kreatifitas, siswa bisa lebih terpacu dalam
mengerjakan soal-soal aljabar.
Beragam hal dalam berbagai aspek kehidupan bisa dihubungkan
dengan Matematika yang juga berkaitan langsung dengan aljabar. Aneka
contoh juga bisa diterapkan dalam pelajaran Matematika satu per satu.

2. 2
B. Perumusan Masalah
1. Apakah pengertian dari aljabar? Bagaimana juga suku-suku pembentuknya?
2. Bagaimanakah sejarah atau asal usul mengenai aljabar?
3. Bagaimanakah cara melakukan pengoperasian dalam aljabar?
4. Bagaimanakah cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar?
5. Apakah trik-trik yang bisa digunakan untuk mengoperasikan aljabar?
C. Tujuan
1. Mengetahui pengertian dari aljabar serta suku-suku yang membentuk aljabar.
2. Mengetahui asal usul mengenai aljabar.
3. Mengetahui cara melakukan operasi dalam aljabar.
4. Mengetahui cara memfaktorkan suku-suku dalam aljabar.
5. Memahami trik-trik yang bisa digunakan untuk memanipulasi soal pada
aljabar.

3. 3
BAB 2
PEMBAHASAN
A. 1. Pengertian Aljabar
Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”,
“hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat
dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga
merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah
bidang. Aljabar adalah cabang matematika yang mempelajari struktur,
hubungan dan kuantitas. Untuk mempelajari hal-hal ini, dalam aljabar
digunakan simbol (biasanya berupa huruf) untuk merepresentasikan bilangan
secara umum sebagai sarana penyederhanaan dan alat bantu memecahkan
masalah. Contohnya, x mewakili bilangan yang diketahui dan y bilangan yang
ingin diketahui.
A.2. Suku-suku pembentuk dalam aljabar
Koefisien = adalah bilangan yang diikuti variabel dibelakangnya pada tiap-tiap
suku.
Contoh:
5x , artinya 5 adalah koefisien x
8y , artinya 8 adalah koefisien y
a2, artinya 1 adalah koefisien a2
Variabel = adalah lambang dari suatu bilangan yang belum diketahui nilainya.
Variabel disimbolkan dengan huruf kecil, misalnya; a, b, c, …. , x, y, z.
Contoh:
3p, artinya p adalah variabel dari 3
4q, artinya q adalah variabel dari 4
Konstanta = merupakan bilangan tetap yang tidak memiliki variabel.
Contoh konstanta dari operasi berikut:
5x + 2xy2 + y – 35
Konstanta dari operasi diatas adalah (-35).

4. 4
Suku = adalah bagian dari bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah
atau selisih. Memuat variabel beserta koefisiennya atau hanya konstanta.
Bentuk aljabar dengan dua suku disebut suku dua.
Contoh: 5x – 2y, a + b2
Bentuk aljabar dengan lebih dari dua suku disebut suku banyak
(polinom).
Contoh: a2 + 4b – c, 6x + 1 – 3y + xy2
B. Sejarah dan Asal Usul Aljabar
Asal mula Aljabar dapat ditelusuri berasal dari bangsa
Babilonia Kuno yang mengembangkan sistem aritmatika
yang cukup rumit, dengan hal ini mereka mampu menghitung
dalam cara yang mirip dengan aljabar sekarang ini. Dengan
menggunakan sistem ini, mereka mampu mengaplikasikan
rumus dan menghitung solusi untuk nilai yang tak diketahui
untuk kelas masalah yang biasanya dipecahkan dengan
menggunakan persamaan Linier, Persamaan Kuadrat dan
Persamaan Linier tak tentu. Sebaliknya, bangsa Mesir, dan
kebanyakan bangsa India, Yunani, serta Cina dalam milenium
pertama sebelum masehi, biasanya masih menggunakan metode geometri
untuk memecahkan persamaan seperti ini, misalnya seperti yang disebutkan
dalam ‘the Rhind Mathematical Papyrus’, ‘Sulba Sutras’, ‘Euclid’s Elements’,

5. 5
dan ‘The Nine Chapters on the Mathematical Art’. Hasil karya bangsa Yunani
dalam Geometri, yang tertulis dalam kitab Elemen, menyediakan kerangka
berpikir untuk menggeneralisasi formula matematika di luar solusi khusus dari
suatu permasalahan tertentu ke dalam sistem yang lebih umum untuk
menyatakan dan memecahkan persamaan, yaitu kerangka berpikir logika
Deduksi.
Sekitar tahun 300 S.M seorang sarjana Yunani kuno Euclid menulis
buku yang berjudul "Elements". Dalam buku itu ia mencantumkan beberapa
rumus aljabar yang benar untuk semua bilangan yang ia kembangkan dengan
mempelajari bentuk-bentuk geometris. Perlu diketahui, orang-orang Yunani
kuno menuliskan permasalahan-permasalahan secara lengkap jika mareka
tidak dapat memecahkan permasalahan-permasalahan tersebut dengan
menggunakan geometri. Metode inilah yang kemudian menjadikan
kemampuan mereka untuk memecahkan permasalahan-permasalahan yang
mendetail menjadi terbatasi.
Seiring dengan perkembangan zaman, Pada abad ke-3, Diophantus of
Alexandria (250 M) menulis sebuah buku berjudul Aritmetika, dimana ia
menggunakan simbol-simbol untuk bilangan-bilangan yang tidak diketahui
dan untuk operasi-operasi seperti penambahan dan pengurangan. Sistemnya
tidak sepenuhnya dalam bentuk simbol, tetapi berada diantara sistem Euclid
dan apa yang digunakan sekarang ini.Lambat laun bangsa Arab mulai
mengenal teori yang dimiliki negara jajahan tersebut.
Kemudian munculah tokoh yang sekarang ini dianggap sebagai
penemu teori Aljabar, dialah Al-Khawarizmi , seorang muslim keturunan
Usbekistan dan lahir pada tahun 780 masehi atau 194 Hijriah menurut
kalender islam. Dibidan pendidikan, telah dibuktikan bahwa ialah seorang
tokoh Islam yang berpengetahuan luas. Pengetahuan dan kemahiran al-
Khawarizmi bukan hanya meliputi bidang syariat tetapi juga dalam bidang
falsafah, logika, aritmetik, geometri, musik, sastra, sejarah Islam dan ilmu
kimia. Keahlian dirinya pada ilmu matematika telah membawa dirinya
menciptakan pemakaian Secans dan Tangens dalam penyelidikan trigonometri
dan astronomi. Dalam usia muda ia telah bekerja di bawah pemerintahan

6. 6
Khalifah al-Ma’mun, daerah Bayt al-Hikmah di Baghdad. al-Khawarizmi
bekerja dalam sebuah observatory atau tempat ilmu matematik dan astronomi
yang ia gali lebih dalam. Al-Khawarizmi juga dipercayai memimpin
perpustakaan khalifah.
Sedikit tambahan dari penulis Sumbangsih terbesar al-Khawarizmi
adalah karya yang terangkum dalam buku bukunya yang berjudul sebagai
berikut.
Al-Jabr wa’l Muqabalah : Penciptaan pemakaian secans dan tangens dalam
penyelidikan trigonometri dan astronomi.
Hisab al-Jabr wa al-Muqabalah : Sebuah buku yang merangkum pemecahan
dari permasalan masalah matematika yang sebagian telah dikemukakan bangsa
Babilonia kuno. Dan Kebenarannya diakui oleh al-Khawarizmi .
Sistem Nombor : Beliau telah memperkenalkan konsep sifat dan ia penting
dalam sistem nombor pada zaman sekarang.
Seperti telah disinggung di atas istilah ‘Aljabar’ berasal dari kata arab
“al-jabr” yang berasal dari kitab ‘Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala’ (yang
berarti “The Compendious Book on Calculation by Completion and
Balancing”), yang ditulis oleh Matematikawan Persia Muhammad ibn Musa
al-Kwarizmi. Kata ‘Al-Jabr’ sendiri sebenarnya berarti penggabungan
(reunion).
Matematikawan Yunani di jaman Hellenisme, Diophantus, secara
tradisional dikenal sebagai ‘Bapak Aljabar’, walaupun sampai sekarang masih
diperdebatkan siapa sebenarnya yang berhak atas sebutan tersebut Al-
Khwarizmi atau Diophantus?. Mereka yang mendukung Al-Khwarizmi
menunjukkan fakta bahwa hasil karyanya pada prinsip reduksi masih
digunakan sampai sekarang ini dan ia juga memberikan penjelasan yang rinci
mengenai pemecahan persamaan kuadratik. Sedangkan mereka yang
mendukung Diophantus menunjukkan Aljabar ditemukan dalam Al-Jabr
adalah masih sangat elementer dibandingkan Aljabar yang ditemukan dalam
‘Arithmetica’, karya Diophantus. Matematikawan Persia yang lain, Omar
Khayyam, membangun Aljabar Geometri dan menemukan bentuk umum
geometri dari persamaan kubik. Matematikawan India Mahavira dan

7. 7
Bhaskara, serta Matematikawan Cina, Zhu Shijie, berhasil memecahkan
berbagai macam persamaan kubik, kuartik, kuintik dan polinom tingkat tinggi
lainnya.
Peristiwa lain yang penting adalah perkembangan lebih lanjut dari
aljabar, terjadi pada pertengahan abad ke-16. Ide tentang determinan yang
dikembangkan oleh Matematikawan Jepang Kowa Seki di abad 17, diikuti
oleh Gottfried Leibniz sepuluh tahun kemudian, dengan tujuan untuk
memecahkan Sistem Persamaan Linier secara simultan dengan menggunakan
Matriks. Gabriel Cramer juga menyumbangkan hasil karyanya tentang Matriks
dan Determinan di abad ke-18. Aljabar Abstrak dikembangkan pada abad ke-
19, mula-mula berfokus pada teori Galois dan pada masalah keterkonstruksian
(constructibility)
Aljabar secara garis besar dapat dibagi dalam kategori berikut ini:
1. Aljabar Elementer, yang mempelajari sifat-sifat operasi pada bilangan riil
direkam dalam simbol sebagai konstanta dan variabel, dan aturan yang
membangun ekspresi dan persamaan Matematika yang melibatkan simbol-
simbol.
Aljabar Elementer adalah bentuk paling dasar dari Aljabar, yang
diajarkan pada siswa yang belum mempunyai pengetahuan Matematika
apapun selain daripada Aritmatika Dasar. Meskipun seperti dalam Aritmatika,
di mana bilangan dan operasi Aritmatika (seperti +, −, ×, ÷) muncul juga
dalam Aljabar, tetapi disini bilangan seringkali hanya dinotasikan dengan
simbol (seperti a, x, y). Hal ini sangat penting sebab: Hal ini mengijinkan kita
menurunkan rumus umum dari aturan Aritmatika (seperti a + b = b + a untuk
semua a dan b), dan selanjutnya merupakan langkah pertama untuk
penelusuran yang sistematik terhadap sifat-sifat sistem bilangan riil.
Dengan menggunakan simbol, alih-alih menggunakan bilangan secara
langsung, mengijinkan kita untuk membangun persamaan matematika yang
mengandung variabel yang tidak diketahui (sebagai contoh “Carilah bilangan
x yang memenuhi persamaan 3x + 1 = 10"). Hal ini juga mengijinkan kita
untuk membuat relasi fungsional dari rumus-rumus matematika tersebut

8. 8
(sebagai contoh "Jika anda menjual x tiket, dan kemudian anda mendapat
untung 3x - 10 rupiah, dapat dituliskan sebagai f(x) = 3x - 10, dimana f adalah
fungsi, dan x adalah bilangan dimana fungsi f bekerja.
2. Aljabar Abstrak, kadang-kadang disebut Aljabar Modern, yang mempelajari
Struktur Aljabar semacam Grup, Ring dan Medan (fields) yang didefinisikan
dan diajarkan secara aksiomatis;
3. Aljabar Linier, yang mempelajari sifat-sifat khusus dari Ruang Vektor
(termasuk Matriks);
4. Aljabar Universal, yang mempelajari sifat-sifat bersama dari semua Struktur
aljabar.
Dalam studi Aljabar lanjut, sistem aljabar aksiomatis semacam Grup, Ring,
Medan dan Aljabar di atas sebuah Medan (algebras over a field) dipelajari
bersama dengan telaah Struktur Geometri Natural yang kompatibel dengan
Struktur Aljabar tersebut dalam bidang Topologi.
C. MenyelesaikanOperasi Aljabar
Pada dasarnya, sifat - sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada
bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk -
bentuk aljabar, sbb:
a. Sifat Komutatif
a+b=b+a, dengan a dan b bilangan riil.
b. Sifat Asosiatif

9. 9
(a+b) + c= a+ (b+c), dengan a,b dan c bilangan riil.
c. Sifat Distributif
a(a+c)=ab+ac, dengan a,b dan c bilangan riil.
 Pengurangan pada Aljabar
Berikut adalah contoh operasi pengurangan dalam aljabar
a. (4p²-10p-5) - (8p² + 10p + 15)
Jawab :
(4p²-10p-5) - (8p² + 10p + 15) = 4p² - 8p² - 10p - 10p - 5 -15
= 4p² - 20p -20
b. (10p - 8) - (8p -10)
Jawab :
10p - 8 – 8p + 10 = 2p + 2
c. 7x – 3x = 4x
d. 5pq – 3pq = 2pq
 Penjumlahan pada Aljabar
Berikut adalah contoh soal-soal penjumlahan yang diterapkan kepada
bentuk aljabar.
a. (10x² + 6xy - 12) + (-4x²- 2xy + 10)
Jawab :
10x2 + (-4x2) + 6xy – 2xy -12 + 10 = 6x2 + 4xy -2
b. 7x + 3x = 10x
c. 8x2 + 5x2 = 13 x2
d. –y2 + 7y2 = 6y2

10. 10
 Perkalian Aljabar
1. Perkalian suku satu dengan suku dua
Contoh soal:
a. 2(x + 3) c. x(y + 5)
b. –4(9 – y) d. –9p(5p – 2q)
Jawab:
a. 2(x + 3) = 2x + 6
b. –4(9 – y) = –36 + 4y
c. x(y + 5) = xy + 5x
d. –9p(5p – 2q) = –45p2 + 18pq
2. Perkalian suku dua dengan suku dua
Contoh soal :
a. (2x + 1)2 =
b. (3x + 2)(3x + 1)
c. (x-5)(2x-3) =
d. (x – 2)(x - 2) =
e. (x + 1)(x + 1) =
Jawab :
a. (2x + 1)2 = (2x + 1)(2x + 1) = 4x2 + 4x + 1
b. (3x +2)(3x + 1) = 9x2 + 3x + 6x + 1 = 9x2 + 9x + 1

11. 11
c. Sesuai dengan contoh penyelesaian dibawah :
d. (x – 2)(x - 2) = x2 – 2x – 2x + 4 = x2 – 4x + 4
e. (x + 1)(x+1) = x2 + x + x + 1 = x2 + 2x + 1
 Pembagian Aljabar
Contoh soal :
a. 3x : 3 = b. 6x2 : 2x =
c. 8xyz : 4x = c.
10𝑃𝑄𝑅
2𝑃
=
Jawab :
a. 3x : 3 = x
b. 6x2 : 2x = 3x
c. 8xyz : 4x = 2yz

12. 12
d. 10pqr : 2p = 5qr
D. Memfaktorkan bentuk Aljabar
Berikut adalah beberapa contoh gambar yang menunjukkan
penyelesaian dari pemfaktoran bentuk-bentuk aljabar.
a. x2 + 5x + 6 =
b. 2x2 + 5x + 2 =
c. 3x2 - x – 10 =

13. 13
d. x2 – 3x + 2 =
E. Trik-trik Aljabar
Di bagian ini, kita akan membahas tentang beberapa trik-trik dalam
aljabar. Biasanya, trik digunakan untuk mempermudah cara kita mengerjakan
sesuatu soal. Dengan demikian, trik-trik yang tersajikan ini bisa membantu
kita menyelesaikan soal dengan lebih cepat.
1. Menggunakan selisih kuadrat
Contoh soal :
a. 942 – 62 = ...
b. 1052 – 52 = ...
c. 902 – 102 = ...
Jawab :
a. 942 – 62 = (94 + 6)(94 - 6) = 100 x 88 = 8.800
b. 1052 – 52 = (105 - 5)(105 + 5) = 100 x 120 = 12.000
c. 902 – 102 = (90 + 10)(90 - 10) = 100 x 80 = 8.000
Daripada harus mencari kuadratnya, sebaiknya kita menggunakan
selisih kuadrat agar lebih mudah.

14. 14
2. Menggunakan rumus umum
Rumus umumnya adalah :
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
Contoh soal :
a. (3x + 2)2 =
b. (5x - 1)2 =
c. (9x - 3)2 =
Jawab :
a. (3x + 2)2 = (3x)2 + 2.3x.2 + (2)2 = 9x2 + 12x + 4
b. (5x – 1)2 = 25x2 – 10x + 1
c. (9x – 3)2 = 81x2 – 54x + 9
3. Menganalisa soal
Contoh soal :
a. Dua buah bilangan berjumlah 30. Jika bilangan pertama 2 kali lebih besar
dari bilangan kedua, berapakah bilangan kedua?
b. Sebuah bilangan jika dikalikan 30 ditambah 5 dan dikurangi 2, maka
hasilnya adalah 63. Berapakah bilangan tersebut?
Jawab :
a. a + b = 30, a = 2b
Berarti, 2b + b = 30
3b = 30, b = 10

15. 15
b. X . 30 + 5 -2 = 63, 30x + 3 = 63
Berarti, 30x = 63 -3
30x = 60 dan x = 2

16. 16
BAB 3
PENUTUPAN
Kesimpulan :
Mempelajari aljabar bukanlah sesuatu yang sulit, melainkan sesuatu
yang bisa menantang kita bagaimana cara menyelesaikan suatu soal. Dengan
mempelajari aljabar, kita bisa lebih mengetahui banyak hal dalam
menyelesaikan pertanyaan demi pertanyaan sulit dari berbagai aspek.
Saran :
Sebaiknya, proyek setiap semester bisa terus diadakan. Selain untuk
bisa lebih memahami dan mempelajari materi, kita bisa ikut membagikan ilmu
kepada orang lain.

17. 17
DAFTAR PUSTAKA
www.blajar-pintar.blogspot.com
http://astutisetyoningsih.blogspot.com/p/sejarah-aljabar.html
Buku Matematika Erlangga kelas 8
http://pancaur.blogspot.com/2013/04/cara-mudah-menghitung-aljabar.html
http://aryrindasholu.blogspot.com/2013/03/bagaimana-cara-menyelesaikan-
operasi.html
http://bljrmatematika.blogspot.com/2012/12/operasi-hitung-aljabar.html
Terima Kasih