2人ゼロ和ゲームにおけるマックスミニ値

1. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋

2. ਓθϩ࿨ήʔϜͷఆٛ
ϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུͷఆٛ
໰୊
ղ౴
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏

3. ઓུ‫ܗ‬ήʔϜʹ͍ͭͯ
͢΂ͯͷઓུͷ૊ ʹରͯ͠
͕੒ཱ͢Δͱ͖
ήʔϜ͸θϩ࿨ήʔϜͰ͋Δͱ͍͏
·ͨ
θϩ࿨Ͱ͸ͳ͍ήʔϜΛඇθϩ࿨ήʔϜͱ͍͏
ήʔϜཧ࿦#4*$ୈճΑΓ
(s1
, ⋯, sn
) ∈ S
∑
i∈N
fi
(s1
, ⋯, sn
) = 0
ਓθϩ࿨ήʔϜͷఆٛ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
1 s2
2
θϩ࿨ήʔϜ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
1 s2
2
ඇθϩ࿨ήʔϜ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
2
s2
1

4. ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͍ͯ
ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷϚοΫεϛχઓུ ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ΛϚοΫεϛχ஋ͱ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ΛϛχϚοΫε஋ͱ͍͏
ήʔϜཧ࿦#4*$ୈճΑΓ
1 p1
∈ P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
1 p*1
∈ P1
min
p2
∈P2
F1
(p*1
, p2
) = max
p1
∈P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
max
p1
∈P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
2 p2
∈ P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
2 p*2
∈ P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p*2
) = min
p2
∈P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
min
p2
∈P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
ϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུͷఆٛ
ʮϓϨΠϠʔ ͷརಘʯʹؔ͢Δ
ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ
1
2
1ʘ2 ද ཪ
ද
ཪ
ߗ՟߹Θͤ վ
4
7
p1
1
−1
1
7
1
F1 4p1
1 − 1
3 − 5p1
1
0
−2
อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋

5. ӈͷਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͍ͯ
ࠞ߹ઓུͷൣғͰ
ϓϨΠϠʔͷϚοΫεϛχ஋
ϓϨΠϠʔͷϛχϚοΫε஋Λ‫ٻ‬ΊΑ
ͳ͓
ӈͷརಘදͷ஋͸ϓϨΠϠʔͷརಘͷΈ‫ࡌه‬
໰୊ 1ʘ2 C C
B
B

6. ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ
ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ ͱ͢Δ
͜ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ϓϨΠϠʔʹͱͬͯϓϨΠϠʔ͕࠷ѱͳߦಈΛͱΔ͜ͱΛߟ͑ΔͷͰ
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸೚ҙͷ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
Ҏ্ΑΓ
ӈਤͷΑ͏ʹͳΓ
ϓϨΠϠʔͷϚοΫεϛχઓུ͸ Ͱ
ϚοΫεϛχ஋͸ ͱͳΔ
p1
= (p, 1 − p) p2
= (q, 1 − q)
F1
(p1
, p2
) = 1 ⋅ pq + 4 ⋅ (1 − p)q + 3 ⋅ p(1 − q) + 2 ⋅ (1 − p)(1 − q)
= − 4pq + 2q + p + 2
min
q∈[0,1]
F1
(p1
, p2
) = min
q∈[0,1]
− 4pq + 2q + p + 2 = min
q∈[0,1]
(−4p + 2)q + p + 2
−4p + 2 0 ⇔ p
1
2
q = 0 F1
(p1
, (0,1)) = p + 2
−4p + 2 = 0 ⇔ p =
1
2
q F1
((
1
2
,
1
2
), p2
) =
5
2
−4p + 2 0 ⇔ p
1
2
q = 1 F1
(p1
, (1,0)) = − 3p + 4
(
1
2
,
1
2)
5
2
ղ౴ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q
1
2
p
2
5
2
F1
p + 2
4 − 3p
0
อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋
1
1

7. ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ
ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ ͱ͢Δ
͜ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ϓϨΠϠʔʹͱͬͯϓϨΠϠʔ͕࠷ળͳߦಈΛͱΔ͜ͱΛߟ͑ΔͷͰ
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸೚ҙͷ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
Ҏ্ΑΓ
ӈਤͷΑ͏ʹͳΓ
ϓϨΠϠʔͷϛχϚοΫεઓུ͸ Ͱ
ϛχϚοΫε஋͸ ͱͳΔ
p1
= (p, 1 − p) p2
= (q, 1 − q)
F1
(p1
, p2
) = 1 ⋅ pq + 4 ⋅ (1 − p)q + 3 ⋅ p(1 − q) + 2 ⋅ (1 − p)(1 − q)
= − 4pq + 2q + p + 2
max
p∈[0,1]
F1
(p1
, p2
) = max
p∈[0,1]
− 4pq + 2q + p + 2 = max
p∈[0,1]
(−4q + 1)p + 2q + 2
−4q + 1 0 ⇔ q
1
4
p = 1 F1
((1,0), p2
) = − 2q + 3
−4q + 1 = 0 ⇔ q =
1
4
p F1
(p1
, (
1
4
,
3
4
)) =
5
2
−4q + 1 0 ⇔ q
1
4
p = 0 F1
((0,1), p2
) = 2q + 2
(
1
4
,
3
4)
5
2
ղ౴ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q
1
4
q
2
5
2
F1
−2q + 3
2q + 2
0
ϛχϚοΫε஋
1
1
3
4 อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋ϛχϚοΫε஋

8. ҎԼͷઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λߟ͑Δɿ
TU ͔ͭ
͜ͷ࠷ద஋ͷ‫͕਺ٯ‬ϚοΫεϛχ஋
Ͱ͋Δ
·ͨ
࠷దղΛ ͱ͢Ε͹
ϚοΫεϛχઓུ
min
(x1,x2)∈ℜ2
x1 + x2
(x1, x2) ⋅
(
1 3
4 2)
≥ (1,1) ⇔ x1 + 4x2 ≥ 1 3x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
= α
x* = (x*
1
, x*
2
) p = αx* = (αx*
1
, αx*
2
)
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q

9. ҎԼͷઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λߟ͑Δɿ
TU ͔ͭ
͜ͷ࠷ద஋ͷ‫͕਺ٯ‬ϚοΫεϛχ஋
Ͱ͋Δ
·ͨ
࠷దղΛ ͱ͢Ε͹
ϚοΫεϛχઓུ
ӈਤΑΓ
࠷దղ͸ Ͱ͋Γ
࠷ద஋͸
Ώ͑ʹ
࠷ద஋ͷ‫
਺ٯ‬ϚοΫεϛχ஋͸ Ͱ͋Δ
͜ͷͱ͖
ϚοΫεϛχઓུ͸
min
(x1,x2)∈ℜ2
x1 + x2
(x1, x2) ⋅
(
1 3
4 2)
≥ (1,1) ⇔ x1 + 4x2 ≥ 1 3x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
= α
x* = (x*
1
, x*
2
) p = αx* = (αx*
1
, αx*
2
)
x* =
(
1
5
,
1
5)
1
5
+
1
5
=
2
5
5
2
p =
5
2 (
1
5
,
1
5)
=
(
1
2
,
1
2)
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q
x1
x2
0
1
2
1
4
1
3
1
x1 + 4x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
(
1
5
,
1
5)
1
5
1
5
x1 + x2 = k
k

10. ҎԼͷઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λߟ͑Δɿ
TU ͔ͭ
͜ͷ࠷ద஋ͷ‫͕਺ٯ‬ϛχϚοΫε஋
Ͱ͋Δ
·ͨ
࠷దղΛ ͱ͢Ε͹
ϚοΫεϛχઓུ
max
(y1,y2)∈ℜ2
y1 + y2
(
1 3
4 2)
⋅
(
y1
y2)
≤
(
1
1)
⇔ y1 + 3y2 ≤ 1 4y1 + 2y2 ≤ 1
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
= β
y* = (y*
1
, y*
2
) p = βx* = (βy*
1
, βy*
2
)
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q

11. ҎԼͷઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λߟ͑Δɿ
TU ͔ͭ
͜ͷ࠷ద஋ͷ‫͕਺ٯ‬ϛχϚοΫε஋
Ͱ͋Δ
·ͨ
࠷దղΛ ͱ͢Ε͹
ϚοΫεϛχઓུ
ӈਤΑΓ
࠷దղ͸ Ͱ͋Γ
࠷ద஋͸
Ώ͑ʹ
࠷ద஋ͷ‫
਺ٯ‬ϛχϚοΫε஋͸ Ͱ͋Δ
͜ͷͱ͖
ϛχϚοΫεઓུ͸
max
(y1,y2)∈ℜ2
y1 + y2
(
1 3
4 2)
⋅
(
y1
y2)
≤
(
1
1)
⇔ y1 + 3y2 ≤ 1 4y1 + 2y2 ≤ 1
y1 ≥ 0, y2 ≥ 0
= β
y* = (y*
1
, y*
2
) p = βx* = (βy*
1
, βy*
2
)
y* =
(
1
10
,
3
10)
1
10
+
3
10
=
2
5
5
2
p =
5
2 (
1
10
,
3
10 )
=
(
1
4
,
3
4)
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏ 1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q
y1
y2
0
1
2
1
3
1
4
1
y1 + 3y2 = 1
4y1 + 2y2 = 1
(
3
10
,
1
10)
1
10
3
10
y1 + y2 = k
k

12. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋