ゲーム理論 BASIC 演習97 -敗者支払いオークション Sad Loser Auction -

1. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯ 4BE-PTFSVDUJPO

2. ໰୊
຅ղ๏
ղ౴

3. ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯ 4BE-PTFSVDUJPO ͷ΋ͱͰΦʔΫγϣϯ͕࣮ࢪ͞ΕΔ
ೖࡳऀ͸ ਓͱ͢Δ֤ೖࡳऀ͸ͭͷग़඼෺ʹର͢ΔධՁ஋Λ΋ͭͱ͢Δ
ͨͩ͠ ࣗ෼ͷධՁ஋͸Θ͔Δ͕ଞͷೖࡳऀͷධՁ஋͸Θ͔Βͳ͍ͱ͢Δ
ೖࡳऀ ͷධՁ஋ ͸ ಠཱͳ֬཰ม਺Ͱ ͷൣғͰҰ༷෼෍͍ͯ͠Δͱ͢Δ
֤ϓϨΠϠʔ͸‫͍ޓ‬ͷ֬཰෼෍Λ஌͍ͬͯΔ΋ͷͱ͢Δ
ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯ 4BE-PTFSVDUJPO ͷϧʔϧ͸ҎԼͷ௨ΓʹͳΔɿ
ɾഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯͱ͸
ɹ࠷΋ߴ͍Ձ֨Λೖࡳͨ͠ਓ͕མࡳ ߪೖ ͢ΔΦʔΫγϣϯͰ͋Δ
ɾ൵͍͜͠ͱʹ མࡳͰ͖ͳ͔ͬͨਓ͕ࣗ਎ͷೖࡳֹΛࢧ෷͏
ɹɾམࡳͨ͠৔߹ɿ
ɹɾམࡳͰ͖ͳ͔ͬͨ৔߹ɿ
֤ೖࡳऀ͕ࣗ਎ͷλΠϓ͕ ͷͱ͖ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫ͳͱߧۉ‬Δ͜ͱΛࣔͤ
ͨͩ͠ ࠓճ͸ ͕‫ͳີݫ‬୯ௐ૿Ճؔ਺ʹै͏΋ͷͱ͠ ධՁ஋͕ߴ͍ํ͕མࡳͰ͖Δ ͱԾఆ͢Δ
Ώ͑ʹ ධՁ஋ ͷೖࡳऀ͕λΠϓ ͷϑϦͨ͠৔߹ͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ͱ‫ه‬ड़Ͱ͖ ରশϕΠδΞϯφογϡ‫͍͓ͯʹߧۉ‬͸ Ͱ‫ظ‬଴རಘ࠷େͱͳΔ͜ͱΛ࢖ͬͯ‫ٻ‬ΊΑ
ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯͷ΋ͱͰͷओ࠵ऀଆͷ‫ظ‬଴ऩೖΛ‫ٻ‬ΊΑ
2
i ∈ N = {1,2} vi
[0,1]
ui
(b|vi
) = vi
ui
(b|vi
) = − b
vi
bi
(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
bi
(vi
) = b(vi
) b(0) = 0
vi
x Ei
(b(x)|vi
) = P(x vj
)vi
+ (1 − P(x vj
))(−b(x))
x = vi
໰୊

4. ֤ೖࡳऀ͕ࣗ਎ͷλΠϓ͕ ͷͱ͖ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫ͳͱߧۉ‬Δ͜ͱΛࣔͤ
೚ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ஋͸ ͱ͢Δ
΋͏ਓͷೖࡳऀ ͕ ΛͱΔͱ͢Δ
Λೖࡳͨ͠৔߹ʹ
མࡳͰ͖Δ֬཰͸
Ώ͑ʹ‫ظ‬଴རಘ͸
Ұ֊৚݅ΑΓ
vi
bi
(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
i ∈ {1,2} vi
∈ [0,1]
j ≠ i bj
(vj
) =
vj2
2(1 − vj)
bi
(vi
) = x
P(x
vj2
2(1 − vj)
) = P(0 ≤ vj
− x + x2
+ 2x) = − x + x2
+ 2x
E(x) = (−x + x2
+ 2x)vi
+ (1 + x − x2
+ 2x)(−x)
E′

(x) = (−1 +
2x + 2
2 x2 + 2x
)vi
− 1 − 2x +
4x3
+ 6x2
2 x4 + 2x3
= 0 ⇒ (−1 +
x + 1
x2 + 2x
)vi
− 1 − 2x +
2x2
+ 3x
x2 + 2x
= 0
຅ղ๏
−x + x2
+ 2x 1
vj
1
−x + x2
+ 2x
0

5. ֤ೖࡳऀ͕ࣗ਎ͷλΠϓ͕ ͷͱ͖ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫ͳͱߧۉ‬Δ͜ͱΛࣔͤ
೚ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ஋͸ ͱ͢Δ
‫ظ‬଴རಘ͸
͜ͷඍ෼ํఔࣜΛղ͘ʁ
vi
bi
(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
i ∈ {1,2} vi
∈ [0,1]
Ei
(b(x)|vi
) = P(x vj
)vi
+ (1 − P(x vj
))(−b(x)) = xvi
− (1 − x)b(x)
dE(b(x)|vi
)
dx
= vi
− (−1)b(x) − (1 − x)b′

(x)
dE(b(x)|vi
)
dx
|x=vi = vi
− (−1)b(vi
) − (1 − vi
)b′

(vi
) = 0 ⇔ vi
+ b(vi
) − (1 − vi
)b′

(vi
) = 0
ղ౴
1
vj
1
x
0 x

6. ֤ೖࡳऀ͕ࣗ਎ͷλΠϓ͕ ͷͱ͖ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫ͳͱߧۉ‬Δ͜ͱΛࣔͤ
೚ҙͷೖࡳऀ ʹ͍ͭͯߟ͑Δ͜ͷೖࡳऀͷධՁ஋͸ ͱ͢Δ
‫ظ‬଴རಘ͸ ‫ظ‬଴ࢧ෷Λ ͱ͓͚͹
Ώ͑ʹ ͸ੵ෼ఆ਺ ΑΓ
ΑΓ Ώ͑ʹ ΛಘΔ
vi
bi
(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
i ∈ {1,2} vi
∈ [0,1]
Q(x)
Ei
(b(x)|vi
) = P(x vj
)vi
+ (1 − P(x vj
))(−b(x)) = xvi
− (1 − x)b(x) = xvi
− Q(x)
dE(b(x)|vi
)
dx
= vi
− Q′

(x)
dE(b(x)|vi
)
dx
|x=vi = vi
− Q′

(vi
) = 0
Q′

(vi
) = vi
⇒ Q(vi
) =
vi2
2
+ C C Q(vi
) = (1 − vi
)b(vi
)
vi2
2
+ C = (1 − vi
)b(vi
) ⇔ b(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
+
C
1 − vi
b(0) = 0 C = 0 b(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
ղ౴
1
vj
1
x
0 x

7. ೖࡳઓུ Λ୯ௐ૿Ճؔ਺ ͱԾఆ͠ ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫͢ͱͩߧۉ‬Δ
ʹ͍ͭͯ ϓϨΠϠʔͷརಘΛߟ͑Δ ͳΔ ͕ଘࡏ͢Δ
མࡳͰ͖Δ֬཰͸ ͕୯ௐ૿ՃΑΓ
ɾ ͷͱ͖͸ඞͣམࡳͰ͖Δ͕ ͕୯ௐ૿ՃΑΓ
Ͱ͋Δ͔Β ͱͳΔΑ͏ͳೖࡳֹ͸࠷దͰ͸ͳ͍
ɾ ͷͱ͖ ·ͨ͸ Ͱ͋Δ
͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫ͳߧۉ‬ͷ͔ͩΒ Ͱ‫ظ‬଴རಘ͸࠷େͱͳΔ
ΑΓ
͜ͷඍ෼ํఔࣜΛղ͘ఆ਺มԽ๏Λ༻͍Δ
b(x) b(0) = 0 (b(vi
), b(vj
))
(b, b(vj
)) b = b(x*) x*
b(x) P(b b(vj
)) = P(b(x*) b(vj
)) = P(x* vj
) = x*
x* 1 b(x)
vi
− b(x*) vi
− b(1) b = b(x*) x* 1
x* ≤ 1 x* ≤ vi
vi
≤ x*
(b(vi
), b(vj
)) x* = vi
E(x*|vi
) = x*vi
+ (1 − x*)(−b) = x*vi
− b + x*b = x*vi
− b(x*) + x*b(x*)
dE(x*|vi
)
dx*
|x*=vi = vi
− b′

(vi
) + b(vi
) + vi
b′

(vi
) = 0 ⇔ b′

(vi
) +
b(vi
)
vi − 1
+
vi
vi − 1
= 0
ิ଍ ඍ෼ํఔࣜ
x
b(x)
b
x*

8. ೖࡳઓུ Λ୯ௐ૿Ճؔ਺ ͱԾఆ͠ ͕ରশϕΠδΞϯφογϡ‫͢ͱͩߧۉ‬Δ
ɾɾɾ
͜ͷඍ෼ํఔࣜΛղ͘ఆ਺มԽ๏Λ༻͍Δ
ͱͯ͠
͜ΕΒΛ ࣜʹ୅ೖ͢Δͱ
͜Εͱ Λ߹Θͤͯ
͔Β
b(x) b(0) = 0 (b(vi
), b(vj
))
dE(x*|vi
)
dx*
|x*=vi = vi
− b′

(vi
) + b(vi
) + vi
b′

(vi
) = 0 ⇔ b′

(vi
) +
b(vi
)
vi − 1
+
vi
vi − 1
= 0
b′

(vi
) +
b(vi
)
vi − 1
= 0 ⇔
b′

(vi
)
b(vi)
=
1
1 − vi
⇒
∫
1
b(vi)
b′

(vi
)dvi
=
∫
1
1 − vi
dvi
⇒ ln b(vi
) = − ln(1 − vi
) + C ⇒ b(vi
) =
C′

1 − vi
b(vi
) =
C(vi
)
1 − vi
b′

(vi
) =
C′

(vi
)
1 − vi
−
C(vi
)
(1 − vi)2
(−1)
C′

(vi
)
1 − vi
−
C(vi
)
(1 − vi)2
(−1) +
C(vi
)
1 − vi
vi − 1
+
vi
vi − 1
= 0 ⇔
C′

(vi
)
1 − vi
+
C(vi
)
(1 − vi)2
−
C(vi
)
(1 − vi)2
+
vi
vi − 1
= 0 ⇔
C′

(vi
)
1 − vi
=
vi
1 − vi
⇔ C′

(vi
) = vi
C(vi
) =
∫
vi
dvi
=
vi2
2
+ K b(vi
) =
C(vi
)
1 − vi
b(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
+ K .
b(0) = 0 b(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
ิ଍

9. ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯͷ΋ͱͰͷओ࠵ऀଆͷ‫ظ‬଴ऩೖΛ‫ٻ‬ΊΑ
೚ҙͷೖࡳऀ ʹର͠ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͸
ରশϕΠδΞϯφογϡ‫Ͱߧۉ‬ ͜ͷ΋ͱͰͷ‫ظ‬଴ऩೖΛߟ͑Δ
ධՁ஋ ͷೖࡳऀͷ‫ظ‬଴ࢧ෷ֹ͸ ͳͷ͔ͩΒ ओ࠵ऀଆ͔Β͢Δͱ
͜Ε͸‫ظ‬଴ऩೖͱͳΔ
‫ظ‬଴ऩೖ͸
ิ଍ ͜ͷ‫ظ‬଴ऩೖ͸ཹอՁ͕֨ͳ͍৔߹ͷηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͱҰக͢Δ
i ∈ {1,2} bi
(vi
) =
vi2
2(1 − vi)
vi
∈ [0,1] Q(vi
)
E =
∑
i∈{1,2}
∫
1
0
Q(vi
)dvi
=
∑
i∈{1,2}
∫
1
0
(1 − vi
)b(vi
)dvi
=
∑
i∈{1,2}
∫
1
0
vi2
2
dvi
=
∑
i∈{1,2}
[
1
6
vi3
]
1
0 =
1
3
ղ౴
x 1
vj
1
x
0

10. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ഊऀࢧ෷͍ΦʔΫγϣϯ 4BE-PTFSVDUJPO