https://youtu.be/KfCbjtN9orA https://youtu.be/z08nFwIlWRs

1. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
෦෼ήʔϜ‫׬‬શ‫ߧۉ‬ɿߦಈઓུ

2. ໰୊
ղ౴

3. ಉܾ࣌ఆʹ͓͚Δ Λͱͬͨ৔߹ʹ ௥Ճͷಉܾ࣌ఆήʔϜΛߦ͏
͜ͷͱ͖ ͷ஋ʹΑͬͯ෦෼ήʔϜ‫׬‬શ‫ߧۉ‬͸Ͳ͏ͳΔ͔ʁͳ͓ ͸࣮਺஋Ͱ͋Δ
x x
໰୊
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)

4. ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚ΔϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ͱ͢Δ
ͷ৔߹
෦෼ήʔϜͰ͋Δ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δφογϡ‫ߧۉ‬͸ :͕/Λࢧ഑͍ͯ͠Δ͔Β :͕ඞͣ࠷ద
ͭ·Γ ͕࠷ద
(r, 1 − r) (s, 1 − s)
x 0
(r, 1 − r) = (1, 0)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

5. ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚ΔϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ͱ͢Δ
ͷ৔߹
෦෼ήʔϜͰ͋Δ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δφογϡ‫ߧۉ‬͸ :͕/Λࢧ഑͍ͯ͠Δ͔Β :͕ඞͣ࠷ద
ͭ·Γ ͕࠷ద͜ͷઓུʹର͠ ϓϨΠϠʔ͸:ΛબͿ͜ͱ͕࠷ద ͭ·Γ ͕࠷ద
(r, 1 − r) (s, 1 − s)
x 0
(r, 1 − r) = (1, 0) (s, 1 − s) = (1, 0)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
1
0
s 1 − s

6. ͷ৔߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δ ͷ΋ͱͰ རಘ͸
ಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚ΔϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུΛ ͱ͢Δ
ӈͷརಘදͷΑ͏ʹͳΓ ͜ͷརಘදͰ΋ ϓϨΠϠʔͷ͕'Λࢧ഑͢ΔͷͰ ͕࠷ద
͜ͷઓུʹର͠ ϓϨΠϠʔ͸ΛબͿ͜ͱ͕࠷ద ͭ·Γ ͕࠷ద
x 0
(r, 1 − r) = (1, 0) (s, 1 − s) = (1, 0) (3, 2)
(p, 1 − p) (q, 1 − q)
(p, 1 − p) = (1, 0)
(q, 1 − q) = (1, 0)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(3, 2)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
'
p
1 − p
q 1 − q

7. ͷ৔߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δ ͷ΋ͱͰ རಘ͸
ಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δ ͷ΋ͱͰ རಘ͸
ϓϨΠϠʔͷ‫ॴہ‬ઓུ ࢀೖ͠ͳ͍֬཰ ࢀೖ͢Δ֬཰ ͱ͢Δͱ
্‫ه‬ͷ‫ॴہ‬ઓུͷ΋ͱͰ͸ࢀೖ͢Δͷ͕࠷ద Ώ͑ʹ
x 0
(r, 1 − r) = (1, 0) (s, 1 − s) = (1, 0) (3, 2)
(p, 1 − p) = (1, 0) (q, 1 − q) = (1, 0) (3, 2)
(t, 1 − t)
(t, 1 − t) = (0, 1)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(3, 2)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
'
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(3, 2)
1 − t
1
0
1 0

8. ͷ৔߹
‫ॴہ‬ઓུ ֤৘ใू߹্ͷઓུ Λ·ͱΊͨ΋ͷ͕ߦಈઓུͰ͋Δ͔Β
ɹϓϨΠϠʔͷߦಈઓུɿ
ɹϓϨΠϠʔͷߦಈઓུɿ
͕෦෼ήʔϜ‫׬‬શ‫͋Ͱߧۉ‬Δ্͸ԋशͰΈͨ७ઓུΛ֬཰ද‫ͨ͠ه‬΋ͷͰ͋Δ
x 0
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (1, 0), (1, 0))
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(3, 2)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
'
0
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(3, 2)
1
1
0
1 0

9. ͷ৔߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δφογϡ‫ߧۉ‬Λ‫ٻ‬ΊΔ
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
x ≥ 0
F1(r, s) = 3rs + x(1 − s)(1 − r) = {(3 + x)s − x}r + x − xs
F2(r, s) = 2rs + (1 − s)(1 − r) = (3r − 1)s − r + 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s
ʹ͍ͭͯ
ΑΓ૿Ճؔ਺·ͨ े෼ʹେ͖͍ ʹର͠
ͭ·Γ ʹରͯ͠ ͕‫͑ݴ‬Δ
f(x) =
x
3 + x
x ≥ 0
f(0) =
0
3 + 0
= 0
f′

(x) =
1
3 + x
+
(−1)x
(3 + x)2
=
3 + x − x
(3 + x)2
=
3
(3 + x)2
0
x 0
f(x) =
1
3/x + 1
x→∞
1
x ≥ 0 0 ≤
x
3 + x
1

10. ͷ৔߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δφογϡ‫ߧۉ‬Λ‫ٻ‬ΊΔ
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
x ≥ 0
F1(r, s) = 3rs + x(1 − s)(1 − r) = {(3 + x)s − x}r + x − xs
F2(r, s) = 2rs + (1 − s)(1 − r) = (3r − 1)s − r + 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s
0
1
1
s
r
1
3
x
3 + x
0 ≤
x
3 + x
1

11. ͷ৔߹
φογϡ‫ߧۉ‬͸ ͷͱ͖
ͷͱ͖
x ≥ 0
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)), ((0, 1), (0, 1)),
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)), ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s
0
1
1
s
r
1
3
x
3 + x
0
x
3 + x
1 x
3 + x
= 0

12. ͷ৔߹
φογϡ‫ߧۉ‬͸ ͷͱ͖
ͷͱ͖
͸ ͱಉ༷ͷٞ࿦ʹͳΔͷͰলུ͢Δ
x ≥ 0
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) x 0
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

13. ͷ৔߹
φογϡ‫ߧۉ‬͸ ͷͱ͖
ʹ͍ͭͯ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜʹ͓͚Δརಘ͸
x 0
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1)) (x, 1)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

14. ͷ৔߹
ʹ͍ͭͯརಘ͸
ͷͱ͖͸ ϓϨΠϠʔͷ͕'Λࢧ഑͢ΔͷͰ ͕࠷ద
͜ͷͱ͖ɹϓϨΠϠʔ͸ΛͱΔͷ͕࠷ద
x 0
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1)) (x, 1)
x 1 (p, 1 − p) = (1, 0)
(q, 1 − q) = (1, 0)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q

15. ͷ৔߹͔ͭ
‫ॴہ‬ઓུ ֤৘ใू߹্ͷઓུ Λ·ͱΊͨ΋ͷ͕ߦಈઓུͰ͋Δ͔Β
ɹϓϨΠϠʔͷߦಈઓུɿ
ɹϓϨΠϠʔͷߦಈઓུɿ
͕෦෼ήʔϜ‫׬‬શ‫͋Ͱߧۉ‬Δ
x 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (1, 0), (0, 1))
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (0, 1))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(x, 1)
1 − t

16. ͷ৔߹͔ͭ
ʹ͍ͭͯརಘ͸ ͷͱ͖͸ ϓϨΠϠʔ ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
0 x ≤ 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1)) (x, 1) 0 x ≤ 1
F1(p, q) = xpq + (−1)p(1 − q) + (1 − p)q + (−3)(1 − p)(1 − q) = {(x − 3)q + 2}p + 4q − 3
F2(p, q) = pq + (−2)p(1 − q) + (−2)(1 − p)q + (−1)(1 − p)(1 − q) = (4p − 1)q − p − 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q
0
1
1
q
p
1
4
2
3 − x
0
2
3 − x
1
2
3 − x
= 1

17. ͷ৔߹͔ͭ
ͷͱ͖
ͷͱ͖
0 x ≤ 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
0 x 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4
,
3
4)
,
(
2
3 − x
,
1 − x
3 − x))
x = 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
1
4
≤ p′

≤ 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q
0
1
1
q
p
1
4
2
3 − x
0
2
3 − x
1
2
3 − x
= 1

18. ͷ৔߹͔ͭ
ͷͱ͖
ࢀೖͨ͠৔߹ͷϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ࢀೖͨ͠৔߹ͷϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
0 x 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
0 x 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4
,
3
4)
,
(
2
3 − x
,
1 − x
3 − x))
F1(p, q) = 4
2
3 − x
− 3 =
3x − 1
3 − x
F2(p, q) = −
1
4
− 1 = −
5
4
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(
3x − 1
3 − x
, −
5
4)
1 − t
ͳΒࢀೖ
ͳΒࢀೖ͠ͳ͍
ͳΒࢀೖͱࢀೖ͠ͳ͍ͲͪΒ΋࠷ద
3x − 1
3 − x
0 ⇔ x
1
3
3x − 1
3 − x
0 ⇔ x
1
3
3x − 1
3 − x
= 0 ⇔ x =
1
3

19. ͷ৔߹͔ͭ
ͷͱ͖ࢀೖ
ͷͱ͖ࢀೖ͠ͳ͍
ͷͱ͖ ೚ҙͷ
0 x ≤ 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
1
3
x 1 t = 0 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4
,
3
4)
,
(
2
3 − x
,
1 − x
3 − x ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
0 x
1
3
t = 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4
,
3
4)
,
(
2
3 − x
,
1 − x
3 − x ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
x =
1
3
t, 0 ≤ t ≤ 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4
,
3
4)
,
(
2
3 − x
,
1 − x
3 − x))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(
3x − 1
3 − x
, −
5
4)
1 − t

20. ͷ৔߹͔ͭ
ͷͱ͖
ࢀೖͨ͠৔߹ͷϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ࢀೖͨ͠৔߹ͷϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ϓϨΠϠʔ͸ࢀೖ͢Δͷ͕࠷ద
x = 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
x = 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
1
4
≤ p′

≤ 1
F1(p, q) = 4 ⋅ 1 − 3 = 1
F2(p, q) = − p′

− 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
(1, − p′

− 1)
1 − t

21. ͷ৔߹͔ͭ
ͷͱ͖ࢀೖ
x = 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
x = 1 t = 0 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
1
4
≤ p′

≤ 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(x, 1)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (1, − p′

− 1)

22. ͷ৔߹
φογϡ‫ߧۉ‬͸ ͷͱ͖
ͷͱ͖
x ≥ 0
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

23. ͷ৔߹͔ͭ
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘؔ਺
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
F1(r, s) = 3rs + x(1 − s)(1 − r) = {(3 + x)s − x}r + x − xs
F2(r, s) = 2rs + (1 − s)(1 − r) = (3r − 1)s − r + 1
F1(r, s) = x − x
(
x
3 + x)
=
3x
3 + x
F2(r, s) = −
1
3
+ 1 =
2
3
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y Y
'
p
1 − p
q 1 − q

24. ͷ৔߹͔ͭ
ͷ৔߹ ϓϨΠϠʔͷ͕'Λࢧ഑͢ΔͷͰ ͕࠷ద
͜ͷઓུʹର͠ ϓϨΠϠʔ͸ΛબͿ͜ͱ͕࠷ద ͭ·Γ ͕࠷ద
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
3x
3 + x
1 ⇔ x
3
2
(p, 1 − p) = (1, 0)
(q, 1 − q) = (1, 0)
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y Y
'
p
1 − p
q 1 − q

25. ͷ৔߹͔ͭ
ͷ৔߹ Ͱ΋͋ΔͷͰ ࢀೖ ͕࠷ద
Ώ͑ʹ ͷͱ͖ ࢀೖ
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
3x
3 + x
1 ⇔ x
3
2
3x
3 + x
0 t = 0
x
3
2
t = 0 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3 )
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (
3x
3 + x
,
2
3)

26. ͷ৔߹͔ͭ ͷ৔߹
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
3x
3 + x
≤ 1 ⇔ x ≤
3
2
F1(p, q) =
3x
3 + x
pq + (−1)p(1 − q) + (1 − p)q + (−3)(1 − p)(1 − q) =
(
6 + 2x − 9q
3 + x )
p + 4q − 3
F2(p, q) =
2
3
pq + (−2)p(1 − q) + (−2)(1 − p)q + (−1)(1 − p)(1 − q) =
(
11
3
p − 1
)
q − p − 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y Y
'
p
1 − p
q 1 − q
1
1
q
p
3
11
6 + 2x
9
0
6 + 2x
9
1
6 + 2x
9
= 1

27. ͷ৔߹͔ͭ ͷ৔߹
ͷͱ͖
ͷͱ͖
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
3x
3 + x
≤ 1 ⇔ x ≤
3
2
0 x
3
2
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
3
11
,
8
11)
,
(
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 ))
x =
3
2
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
3
11
≤ p′

≤ 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
Y Y
'
p
1 − p
q 1 − q
1
1
q
p
3
11
6 + 2x
9
0
6 + 2x
9
1
6 + 2x
9
= 1

28. ͷ৔߹͔ͭ ͷ৔߹
ͷͱ͖
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
0 x
3
2
0 x
3
2
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
3
11
,
8
11)
,
(
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 ))
F1(p, q) = 4
6 + 2x
9
− 3 =
8x − 3
9
F2(p, q) = −
3
11
− 1 = −
14
11
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (
8x − 3
9
, −
14
11)
ͳΒࢀೖ
ͳΒࢀೖ͠ͳ͍
ͳΒࢀೖͱࢀೖ͠ͳ͍ͲͪΒ΋࠷ద
8x − 3
9
0 ⇔ x
3
8
8x − 3
9
0 ⇔ x
3
8
8x − 3
9
= 0 ⇔ x =
3
8

29. ͷͱ͖ࢀೖ
ͷͱ͖ࢀೖ͠ͳ͍
ͷͱ͖ ೚ҙͷ
3
8
x
3
2
t = 0 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
3
11
,
8
11 )
,
(
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
0 x
3
8
t = 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
3
11
,
8
11)
,
(
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
x =
3
8
t, 0 ≤ t ≤ 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
3
11
,
8
11 )
,
(
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 ))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (
8x − 3
9
, −
14
11)

30. ͷ৔߹͔ͭ ͷ৔߹
ΑΓ ϓϨΠϠʔ͸ࢀೖ ͕࠷ద
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x =
3
2
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
3
11
≤ p′

≤ 1
F1(p, q) = 4 ⋅ 1 − 3 = 1 F2(p, q) = − p′

− 1 t = 0
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (1, − p′

− 1)

31. ͷͱ͖ࢀೖ
x =
3
2
t = 0 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) = ((p′

, 1 − p′

), (1, 0)),
3
11
≤ p′

≤ 1 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(
3x
3 + x
,
2
3)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (1, − p′

− 1)

32. ͷ৔߹
φογϡ‫ߧۉ‬͸ ͷͱ͖
ͷͱ͖
x ≥ 0
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

33. ͷ৔߹͔ͭ
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
F1(r, s) = x − xs = 0
F2(r, s) = − r′

+ 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s

34. ͷ৔߹͔ͭ
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
F1(p, q) = 0pq + (−1)p(1 − q) + (1 − p)q + (−3)(1 − p)(1 − q) = (2 − 3q)p + 4q − 3
F2(p, q) = (−r′

+ 1)pq + (−2)p(1 − q) + (−2)(1 − p)q + (−1)(1 − p)(1 − q) = {(4 − r′

)p − 1}q − p − 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(0, − r′

+ 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
S`
'
p
1 − p
q 1 − q

35. ͷ৔߹͔ͭ
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
F1(p, q) = 0pq + (−1)p(1 − q) + (1 − p)q + (−3)(1 − p)(1 − q) = (2 − 3q)p + 4q − 3
F2(p, q) = (−r′

+ 1)pq + (−2)p(1 − q) + (−2)(1 − p)q + (−1)(1 − p)(1 − q) = {(4 − r′

)p − 1}q − p − 1
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(0, − r′

+ 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
S`
'
p
1 − p
q 1 − q
1
1
q
p
2
3
1
4
≤
1
4 − r′

≤
3
11
1
4 − r′


36. ͷ৔߹͔ͭ
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4 − r′

,
3 − r′

4 − r′

)
,
(
2
3
,
1
3))
F1(p, q) = 4
2
3
− 3 = −
1
3
F2(p, q) = −
1
4 − r′

− 1 = −
5 − r′

4 − r′

ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(0, − r′

+ 1)
ಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ '
S`
'
p
1 − p
q 1 − q
1
1
q
p
2
3
1
4
1
4 − r′

3
11
1
4 − r′


37. ͷ৔߹͔ͭ
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4 − r′

,
3 − r′

4 − r′

)
,
(
2
3
,
1
3))
F1(p, q) = 4
2
3
− 3 = −
1
3
F2(p, q) = −
1
4 − r′

− 1 = −
5 − r′

4 − r′

ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(0, − r′

+ 1)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (
−
1
3
, −
5 − r′

4 − r′

)
ࢀೖ͠ͳ͍͕࠷ద

38. ͷͱ͖ࢀೖ͠ͳ͍
x = 0 t = 1 ((p, 1 − p), (q, 1 − q)) =
((
1
4 − r′

,
3 − r′

4 − r′

)
,
(
2
3
,
1
3))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
ղ౴
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
(0, − r′

+ 1)
t
ࢀೖ͠ͳ͍
ࢀೖ͢Δ
(0, 3)
1 − t (
−
1
3
, −
5 − r′

4 − r′

)

39. ֤‫ॴہ‬ઓུΛҎԼͷਤͷΑ͏ʹ͓͘
·ͱΊ
ࢀೖ͠ͳ͍
'
ࢀೖ͢Δ
'
'
(0, 3)
(1, − 2)
(−3, − 1)
৘ใू߹
௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
෦෼ήʔϜ
෦෼ήʔϜ
(−1, − 2)
r
1 − r
s 1 − s
p
1 − p
q
1 − q
t
1 − t

40. ͷͱ͖
ͷͱ͖
: : ͕‫·ؚʹߧۉ‬ΕΔɿ
/ / ͕‫·ؚʹߧۉ‬ΕΔɿ
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x ))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0))
x 0 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (1, 0), (1, 0)) ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0))
x ≥ 0 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (1, 0), (1, 0)) ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0))
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((0, 1), (0, 1))
x 1 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (1, 0), (0, 1)) ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (0, 1))
x = 1 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) = ((0, 1), (p′

, 1 − p′

), (0, 1)),
1
4
≤ p′

≤ 1 ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (0, 1))
1
3
x 1 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
((0, 1),
(
1
4
,
3
4)
, (0, 1)
)
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
2
3 − x
,
1 − x
3 − x)
, (0, 1)
)
0 x
1
3
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
((1, 0),
(
1
4
,
3
4)
, (0, 1)
)
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
2
3 − x
,
1 − x
3 − x)
, (0, 1)
)
x =
1
3
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
((t′

, 1 − t′

),
(
1
4
,
3
4 )
, (0, 1)
)
, 0 ≤ t′

≤ 1 ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
3
4
,
1
4 )
, (0, 1)
)
·ͱΊ ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
r
1 − r
s 1 − s
ಉܾ࣌ఆήʔϜ ::
ʗ '
'
p
1 − p
q 1 − q
ಉܾ࣌ఆήʔϜ / /
ʗ '
Y
'
p
1 − p
q 1 − q

41. ͷͱ͖
ͷͱ͖
‫׬‬શࠞ߹ύλʔϯɿ
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) =
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x
3
2
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(0, 1), (1, 0),
(
1
3
,
2
3))
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
(
(1, 0),
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x =
3
2
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(0, 1), (p′

, 1 − p′

),
(
1
3
,
2
3))
,
3
11
≤ p′

≤ 1 ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
(
(1, 0),
(
1
3
,
2
3))
3
8
x
3
2
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(0, 1),
(
3
11
,
8
11 )
,
(
1
3
,
2
3))
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 )
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
0 x
3
8
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(1, 0),
(
3
11
,
8
11 )
,
(
1
3
,
2
3))
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
6 + 2x
9
,
3 − 2x
9 )
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x =
3
8
((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(t′

, 1 − t′

),
(
3
11
,
8
11 )
,
(
1
3
,
2
3))
, 0 ≤ t′

≤ 1 ((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
3
4
,
1
4 )
,
(
1
9
,
8
9 ))
·ͱΊ ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
r
1 − r
s 1 − s
ಉܾ࣌ఆήʔϜ / /
ʗ '
Y Y
'
p
1 − p
q 1 − q

42. ͷͱ͖
ͷͱ͖
ࠞ߹ύλʔϯɿ
x 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((0, 1), (0, 1))
((
1
3
,
2
3)
,
(
x
3 + x
,
3
3 + x))
x = 0 ((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((1, 0), (1, 0)) ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
((r, 1 − r), (s, 1 − s)) = ((r′

, 1 − r′

), (0, 1)), 0 ≤ r′

≤
1
3
x = 0 ((t, 1 − t), (p, 1 − p), (r, 1 − r)) =
(
(1, 0),
(
1
4 − r′

,
3 − r′

4 − r′

)
, (r′

, 1 − r′

)
)
, 0 ≤ r′

≤
1
3
((q, 1 − q), (s, 1 − s)) =
((
2
3
,
1
3)
, (0, 1)
)
·ͱΊ ௥Ճಉܾ࣌ఆήʔϜ
ʗ : /
:
/ Y
r
1 − r
s 1 − s
ಉܾ࣌ఆήʔϜ / /
ʗ '
S`
'
p
1 − p
q 1 − q

43. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
෦෼ήʔϜ‫׬‬શ‫ߧۉ‬ɿߦಈઓུ