ゲーム理論 BASIC 演習99 -リスク回避的な入札者 2-

1. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
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2. ໰୊
ղ౴

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2
i ∈ N = {1,2} vi
[0,1]
i ∈ N = {1,2} ui
(x) = u(x) = x
vi
≥ bj
u(b|vi
) = vi
− bj
vi
bj
u(b|vi
) = 0
u(b|vi
) = 0
vi
b(vi
) = vi
໰୊
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4. ֤ೖࡳऀ͕ࣗ਎ͷλΠϓ͕ ͷͱ͖ Λೖࡳ͢Δ͜ͱ͕ऑࢧ഑ઓུͱͳΔ͜ͱΛࣔͤ
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vi
b(vi
) = vi
i ∈ {1,2} vi
bi
= vi
j ≠ i bj
vi
bj
bi
= vi
bi
= vi
u(b|vi
) = vi
− bj
0 i bi
bi
≤ bj
0
bi
bj
bj
u(b|vi
) = vi
− bj
0
bi
= vi
bj
≥ vi
bi
= vi
bi
= vi
0 i bi
bi
bj
≥ vi
bj
vi
− bj
≤ 0 u(b|vi
) = 0
bi
≤ bj
0
bi
= vi
ղ౴

5. ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͷ΋ͱͰͷओ࠵ऀଆͷ‫ظ‬଴ऩೖΛ‫ٻ‬ΊΑ
ͨͩ͠ ओ࠵ऀଆ͸ϦεΫதཱతͰ͋Δͱ͢Δ
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Ώ͑ʹ ࣮‫͢ݱ‬Δऩೖ͕ ҎԼͱͳΔ֬཰͸
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i ∈ {1,2} b(vi
) = vi
x ≥ 0
α x
α x x
P(x ≤ α) = P(x ≤ v1
and x ≤ v2
) = (1 − x) × (1 − x) = (1 − x)2
x
F(x) = P(x α) = 1 − (1 − x)2
x
f(x) = F′

(x) = 2(1 − x)
ղ౴
x 1
vi
1
1 − x

6. ηΧϯυϓϥΠεΦʔΫγϣϯͷ΋ͱͰͷओ࠵ऀଆͷ‫ظ‬଴ऩೖΛ‫ٻ‬ΊΑ
ͨͩ͠ ओ࠵ऀଆ͸ϦεΫதཱతͰ͋Δͱ͢Δ
‫ظ‬଴ऩೖ ͸
ิ଍ ϑΝʔετϓϥΠεΦʔΫγϣϯͰͷ‫ظ‬଴ऩೖ͸
Ͱ͋ͬͨͷͰ ೖࡳऀ͕ϦεΫճආతͳ৔߹͸ऩೖಉ஋ఆཧ͸੒ཱ͠ͳ͍
ิ଍ ࣮‫͢ݱ‬Δऩೖ ͕ ҎԼʹͳΔ֬཰ͷؔ਺ͷ‫ٻ‬Ίํ
E(r)
E(r) =
∫
1
0
x ⋅ 2(1 − x)dx =
[
x2
−
2
3
x3
]
1
0 = 1 −
2
3
=
1
3
E =
∫
2
3
0
x
9x
2
dx =
[
9
6
x3
]
2
3
0
=
9
6(
2
3 )
3
=
4
9
α x
P(α ≤ x) = P(x ≥ v1
or x ≥ v2
) = P(x ≥ v1
) + P(x ≥ v2
) − P(x ≥ v1
and x ≥ v2
) = x + x − x2
= 2x − x2
ղ౴
ೖࡳऀͷ
ධՁ஋͕
ҎԼ
x
ೖࡳऀͷ
ධՁ஋͕
ҎԼ
x
࣮‫͢ݱ‬Δऩೖ ͕ Ҏ্ͱͳΔ
α x
x 1
vi
1
x

7. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ϦεΫճආతͳೖࡳऀ