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1. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋

2. ਓθϩ࿨ήʔϜͷఆٛ
ϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུͷఆٛ
஫ҙɿઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏
໰୊
ղ౴
ߟ࡯

3. ઓུ‫ܗ‬ήʔϜʹ͍ͭͯ
͢΂ͯͷઓུͷ૊ ʹରͯ͠
͕੒ཱ͢Δͱ͖
ήʔϜ͸θϩ࿨ήʔϜͰ͋Δͱ͍͏
·ͨ
θϩ࿨Ͱ͸ͳ͍ήʔϜΛඇθϩ࿨ήʔϜͱ͍͏
ήʔϜཧ࿦#4*$ୈճΑΓ
(s1
, ⋯, sn
) ∈ S
∑
i∈N
fi
(s1
, ⋯, sn
) = 0
ਓθϩ࿨ήʔϜͷఆٛ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
1 s2
2
θϩ࿨ήʔϜ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
1 s2
2
ඇθϩ࿨ήʔϜ
1ʘ2
s1
1
s1
2
s2
2
s2
1

4. ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͍ͯ
ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷϚοΫεϛχઓུ ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ΛϚοΫεϛχ஋ͱ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ ͱ͸
Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏
ΛϛχϚοΫε஋ͱ͍͏
ήʔϜཧ࿦#4*$ୈճΑΓ
1 p1
∈ P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
1 p*1
∈ P1
min
p2
∈P2
F1
(p*1
, p2
) = max
p1
∈P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
max
p1
∈P1
min
p2
∈P2
F1
(p1
, p2
)
2 p2
∈ P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
2 p*2
∈ P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p*2
) = min
p2
∈P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
min
p2
∈P2
max
p1
∈P1
F1
(p1
, p2
)
ϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུͷఆٛ
ʮϓϨΠϠʔ ͷརಘʯʹؔ͢Δ
ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ
1
2
1ʘ2 ද ཪ
ද
ཪ
ߗ՟߹Θͤ վ
4
7
p1
1
−1
1
7
1
F1 4p1
1 − 1
3 − 5p1
1
0
−2
อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋

5. ҎԼͷઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λߟ͑Δɿ
TU ͔ͭ
͜ͷ࠷ద஋ͷ‫͕਺ٯ‬ϚοΫεϛχ஋
Ͱ͋Δ
·ͨ
࠷దղΛ ͱ͢Ε͹
ϚοΫεϛχઓུ
ӈਤΑΓ
࠷దղ͸ Ͱ͋Γ
࠷ద஋͸
Ώ͑ʹ
࠷ద஋ͷ‫
਺ٯ‬ϚοΫεϛχ஋͸ Ͱ͋Δ
͜ͷͱ͖
ϚοΫεϛχઓུ͸
min
(x1,x2)∈ℜ2
x1 + x2
(x1, x2) ⋅
(
1 3
4 2)
≥ (1,1) ⇔ x1 + 4x2 ≥ 1 3x1 + 2x2 ≥ 1
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0
= α
x* = (x*
1
, x*
2
) p = αx* = (αx*
1
, αx*
2
)
x* =
(
1
5
,
1
5)
1
5
+
1
5
=
2
5
5
2
p =
5
2 (
1
5
,
1
5)
=
(
1
2
,
1
2)
஫ҙɿઢ‫ܭܕ‬ը໰୊ʹΑΔղ๏
1ʘ2 C C
B
B
p
1 − p
q 1 − q
x1
x2
0
1
2
1
4
1
3
1
x1 + 4x2 = 1
3x1 + 2x2 = 1
(
1
5
,
1
5)
1
5
1
5
x1 + x2 = k
k
རಘߦྻͷ֤ཁૉ͕ਖ਼Ͱ͋Δඞཁ͕͋Δ

6. ӈͷਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͍ͯ
ࠞ߹ઓུͷൣғͰ
ϓϨΠϠʔͷϚοΫεϛχ஋
ϓϨΠϠʔͷϛχϚοΫε஋Λ‫ٻ‬ΊΑ
ͳ͓
ӈͷརಘදͷ஋͸ϓϨΠϠʔͷརಘͷΈ‫ࡌه‬
໰୊ 1ʘ2 C C
B
B
ࢀߟɿલճ
1ʘ2 C C
B
B
−2

7. ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ
ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ ͱ͢Δ
͜ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ϓϨΠϠʔʹͱͬͯϓϨΠϠʔ͕࠷ѱͳߦಈΛͱΔ͜ͱΛߟ͑ΔͷͰ
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸೚ҙͷ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
Ҏ্ΑΓ
ӈਤͷΑ͏ʹͳΓ
ϓϨΠϠʔͷϚοΫεϛχઓུ͸ Ͱ
ϚοΫεϛχ஋͸ ͱͳΔ
p1
= (p, 1 − p) p2
= (q, 1 − q)
F1
(p1
, p2
) = (−1) ⋅ pq + 2 ⋅ (1 − p)q + 1 ⋅ p(1 − q) + 0 ⋅ (1 − p)(1 − q)
= − 4pq + 2q + p
min
q∈[0,1]
F1
(p1
, p2
) = min
q∈[0,1]
− 4pq + 2q + p = min
q∈[0,1]
(−4p + 2)q + p
−4p + 2 0 ⇔ p
1
2
q = 0 F1
(p1
, (0,1)) = p
−4p + 2 = 0 ⇔ p =
1
2
q F1
((
1
2
,
1
2
), p2
) =
1
2
−4p + 2 0 ⇔ p
1
2
q = 1 F1
(p1
, (1,0)) = − 3p + 2
(
1
2
,
1
2)
1
2
ղ౴
p
1 − p
q 1 − q
1
2
p
1
2
F1
p
2 − 3p
0
อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋
−1
1
1ʘ2 C C
B
B
લճɿF1
(p1
, p2
) = − 4pq + 2q + p + 2
લճɿ
5
2

8. ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ
ϓϨΠϠʔͷࠞ߹ઓུΛ ͱ͢Δ
͜ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔͷ‫ظ‬଴རಘ͸
ϓϨΠϠʔʹͱͬͯϓϨΠϠʔ͕࠷ળͳߦಈΛͱΔ͜ͱΛߟ͑ΔͷͰ
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸೚ҙͷ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
ͷͱ͖
ϓϨΠϠʔ͸ ΛͱΔ͜ͷͱ͖
Ҏ্ΑΓ
ӈਤͷΑ͏ʹͳΓ
ϓϨΠϠʔͷϛχϚοΫεઓུ͸ Ͱ
ϛχϚοΫε஋͸ ͱͳΔ
p1
= (p, 1 − p) p2
= (q, 1 − q)
F1
(p1
, p2
) = (−1) ⋅ pq + 2 ⋅ (1 − p)q + 1 ⋅ p(1 − q) + 0 ⋅ (1 − p)(1 − q)
= − 4pq + 2q + p
max
p∈[0,1]
F1
(p1
, p2
) = max
p∈[0,1]
− 4pq + 2q + p = max
p∈[0,1]
(−4q + 1)p + 2q
−4q + 1 0 ⇔ q
1
4
p = 1 F1
((1,0), p2
) = − 2q + 1
−4q + 1 = 0 ⇔ q =
1
4
p F1
(p1
, (
1
4
,
3
4
)) =
1
2
−4q + 1 0 ⇔ q
1
4
p = 0 F1
((0,1), p2
) = 2q
(
1
4
,
3
4)
1
2
ղ౴
p
1 − p
q 1 − q
1
4
q
1
2
F1
−2q + 1
2q
0
ϛχϚοΫε஋
1
1
2 อূਫ४
ϚοΫεϛχ஋ϛχϚοΫε஋
1ʘ2 C C
B
B

9. ͱ͢Δ
·ͣ
‫ظ‬଴རಘʹ͍ͭͯ ্ఴࣈͷ ͸సஔ‫͋Ͱ߸ه‬Δ
೚ҙͷࠞ߹ઓུ
ʹର͠
Ͱ͋Γ
Λຬͨ͢
࣮ࡍ
·ͨ
རಘߦྻ ʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋ ήʔϜͷ஋
Λ ͱ͠
རಘߦྻ ʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋ ήʔϜͷ஋
Λ ͱ͢Δͱ
͕੒Γཱͭ
·ͨ
͜ͷͱ͖ͷ ͱ ʹ͓͚ΔϚοΫεϛχઓུ͸Ұக͢Δ
ূ໌͸লུ
͜ͷࣄ࣮Λ༻͍Ε͹
རಘߦྻʹෛͷ஋Λ‫ؚ‬ΉήʔϜͰ΋
͍ͬͨΜશͯͷཁૉ͕ਖ਼ͱͳΔΑ͏ʹఆ਺ΛՃࢉ͠
ͦͷ্Ͱ
ઢ‫ܭܕ‬ը໰୊Λղ͚͹ྑ͍ղ͍ͨ‫ʹޙ‬ఆ਺ΛҾ͚͹
‫ݩ‬ͷήʔϜͷϚοΫεϛχ஋͕‫·ٻ‬Δ
A =
(
1 3
4 2)
B =
(
−1 1
2 0)
T
p = (p, 1 − p) q = (q, 1 − q)
F1
A(p1
, p2
) = pAqT
F1
B(p1
, p2
) = pBqT
pBqT
= pAqT
− 2
pBqT
= p(A +
(
−2 −2
−2 −2)
)qT
= pAqT
− 2p
(
1 1
1 1)
qT
= pAqT
− 2
A α
B α′

α′

= α − 2
A B
ߟ࡯ 1ʘ2 C C
B
B
ࢀߟɿલճ
1ʘ2 C C
B
B
−2
+2
A
B

10. ήʔϜཧ࿦#4*$ԋश
ਓθϩ࿨ήʔϜʹ͓͚ΔϚοΫεϛχ஋