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ゲーム理論BASIC 第13回 -ミニマックス定理-
- 3. 1. ϛχϚοΫεఆཧ (1) ϛχϚοΫεఆཧ (2) ϚοΫεϛχ ϛχϚοΫε ূ໌ (3) ϛχϚοΫεఆཧ ূ໌ (4) ઢܭܗըʹ͓͚ΔରͱϛχϚοΫεఆཧ ≤ ࣍
- 5. ࠞ߹ઓུʹ͓͚ΔϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུ෮श ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ϓϨΠϠʔ ͷϚοΫεϛχઓུ ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ɹɹ ΛϚοΫεϛχͱ͍͏ 1 p1 ∈ P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) 1 p*1 ∈ P1 min p2 ∈P2 F1 (p*1 , p2 ) = max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ɹɹ ΛϛχϚοΫεͱ͍͏ 2 p2 ∈ P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) 2 p*2 ∈ P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p*2 ) = min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ิ ʮϓϨΠϠʔ ͷརಘʯʹؔ͢Δ ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ 1 2 ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯ ิ F1 (p1 , p2 ) = − F2 (p1 , p2 ), ∀p1 ∈ P1 , ∀p2 ∈ P2
- 6. ࠞ߹ઓུʹ͓͚ΔϚοΫεϛχઓུϛχϚοΫεઓུ෮श ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ϓϨΠϠʔ ͷϚοΫεϛχઓུ ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ɹɹ ΛϚοΫεϛχͱ͍͏ 1 p1 ∈ P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) 1 p*1 ∈ P1 min p2 ∈P2 F1 (p*1 , p2 ) = max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ϓϨΠϠʔ ͷࠞ߹ઓུ ͷอূਫ४ͱ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ϓϨΠϠʔ ͷϛχϚοΫεઓུ ͱ ɹɹ Λຬͨ͢ͱ͖Λ͍͏ ɹɹ ΛϛχϚοΫεͱ͍͏ 2 p2 ∈ P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) 2 p*2 ∈ P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p*2 ) = min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯ ิ F1 (p1 , p2 ) = − F2 (p1 , p2 ), ∀p1 ∈ P1 , ∀p2 ∈ P2 max p1 ∈P1 (−F2 (p1 , p2 )) = min p1 ∈P1 F2 (p1 , p2 ) min p1 ∈P1 F2 (p1 , p*2 ) = max p2 ∈P2 min p1 ∈P1 F2 (p1 , p2 ) ϚοΫεϛχઓུ ΛϚοΫεϛχ max p2 ∈P2 min p1 ∈P1 F2 (p1 , p2 )
- 7. ϛχϚοΫεఆཧ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯ ϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) 1ʘ2 ද ཪ ද ཪ ߗ՟߹Θͤ վ 5 7 p2 1 1 1 7 1 Fi 3p2 1 − 2 3 − 4p2 1 0 อূਫ४ 3 2 ϛχϚοΫε 4 7 p1 1 −1 1 7 1 Fi 4p1 1 − 1 3 − 5p1 1 0 อূਫ४ −2 ϚοΫεϛχ
- 8. ϚοΫεϛχ ϛχϚοΫεূ໌ ≤ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ ূ໌ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δͭ·Γ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ F1 (p1 , p2 ) ≤ max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 )≤ max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ͯ͢ͷ p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 m(p1 )≤M(p2 )
- 9. ϚοΫεϛχ ϛχϚοΫεূ໌ ≤ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ ূ໌ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δͭ·Γ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ F1 (p1 , p2 ) ≤ max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 )≤ max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ࠨล ʹؔͯ͠࠷େΛऔͬͯ ӈลΛ͑Δ͜ͱͳ͍ͨΊ ·ͨ ӈล ʹґଘ͠ͳ͍ͨΊ ࠨล ʹґଘ͠ͳ͍ͨΊ ɹɹ p1 ∈ P1 p1 ∈ P1 max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 )≤ max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p2 ∈ P2 max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 )≤ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ͯ͢ͷ p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 m(p1 )≤M(p2 ) ͲΜͳ Λऔͬͨͱͯ͠ p2 ∈ P2 C≤M(p2 )
- 10. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p2 ) ࠷దԠͷఆ͔ٛΒϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯ F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ∀p1 ∈ P1
- 11. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p2 ) ࠷దԠͷఆ͔ٛΒϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯ F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ∀p1 ∈ P1 ϓϨΠϠʔʹ͍ͭͯ ਓθϩήʔϜͰ ͕Γཱ͔ͭΒ F2 (p*1 , p2 ) ≤ F2 (p*1 , p*2 ) ∀p2 ∈ P2 ⇔ −F2 (p*1 , p2 ) ≥ − F2 (p*1 , p*2 ) ∀p2 ∈ P2 −F2 (p1 , p2 ) = F1 (p1 , p2 ) F1 (p*1 , p2 ) ≥ F1 (p*1 , p*2 ) ∀p2 ∈ P2
- 12. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δ ͕ͨͬͯ͠ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p2 ) F1 (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 F1 (p1 , p*2 )≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) M(p*2 ) ≥ min p2 ∈P2 M(p2 )
- 13. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δ ͕ͨͬͯ͠ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p2 ) F1 (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 F1 (p1 , p*2 )≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ಉ༷ʹ F1 (p*1 , p*2 ) min p2 ∈P2 F1 (p*1 , p2 )≤ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) m(p*1 ) ≤ max p1 ∈P1 m(p1 )
- 14. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͯ͢ͷ ʹରͯ͠ ɹɹɹ ɹཱ͕͢Δ ͕ͨͬͯ͠ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) p1 ∈ P1 , p2 ∈ P2 F1 (p1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p*2 ) ≤ F1 (p*1 , p2 ) F1 (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 F1 (p1 , p*2 )≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) ಉ༷ʹ Ώ͑ʹ ɹɹ F1 (p*1 , p*2 ) min p2 ∈P2 F1 (p*1 , p2 )≤ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 )≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 )
- 15. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͜ΕΒΑΓφογϡߧۉ ͕ଘࡏ͢Ε ɹɹ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 )
- 16. ϛχϚοΫεఆཧূ໌ ਓθϩήʔϜʹ͓͍ͯϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕Ұக͢Δ Λφογϡ͢ͱߧۉΔ͜ͷͱ͖ ͜ΕΒΑΓφογϡߧۉ ͕ଘࡏ͢Ε ɹɹ max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≤ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) ≥ min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) (p*1 , p*2 ) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 ) φογϡߧۉͷଘࡏఆཧ ࠞ߹ઓུ·Ͱߟ͑ͨήʔϜ Λߟ͑Δͱ φογϡ͕ߧۉগͳ͘ͱͭଘࡏ͢Δ ͜ΕΒΑΓ ࠞ߹ઓུ·Ͱߟ͑Ε φογϡߧۉඞͣଘࡏ͢Δͷ͔ͩΒ ɹɹ ɹ͕Γཱͭ ɹূ໌ऴྃ (N, {Pi }i∈N, {Fi }i∈N) max p1 ∈P1 min p2 ∈P2 F1 (p1 , p2 ) min p2 ∈P2 max p1 ∈P1 F1 (p1 , p2 )
- 17. ઢܭܗըʹ͓͚ΔରͱϛχϚοΫεఆཧ TU ϓϨΠϠʔ͕ ΛબΜͩ߹ʹɺ ϓϨΠϠʔϓϨΠϠʔͷརಘΛ࠷খʹ͢Δߦಈ ΛͱΔͱ͠ɺ ͦͷ࠷খΛ ͱ͢Δͱ ɹɹ ͕Γཱͭ ϓϨΠϠʔͱͯࣗ͠ͷઓུ Λมͱͯ͠ɺ ࠷খ Λ࠷େԽ͢Δ max p v1 m ∑ i=1 piaij ≥ v1, j = 1,2,⋯, n m ∑ i=1 pi = 1 pi ≥ 0, i = 1,2,⋯, m p ∈ Δ(S1) j ∈ S2 v1 m ∑ i=1 piaij ≥ v1 p v1 TU ϓϨΠϠʔ͕ ΛબΜͩ߹ʹɺ ϓϨΠϠʔϓϨΠϠʔͷଛࣦΛ࠷େʹ͢Δߦಈ ΛͱΔͱ͠ɺ ͦͷ࠷େΛ ͱ͢Δͱ ɹɹ ͕Γཱͭ ϓϨΠϠʔͱͯࣗ͠ͷઓུ Λมͱͯ͠ɺ ࠷େ Λ࠷খԽ͢Δ min y v2 n ∑ j=1 yiaij ≤ v2, i = 1,2,⋯, m n ∑ j=1 yj = 1 yj ≥ 0, j = 1,2,⋯, n y ∈ Δ(S2) i ∈ S1 v2 n ∑ j=1 yiaij ≤ v2 y v2 w ࠷దղϚοΫεϛχઓུ w ࠷దʹϚοΫεϛχ w ࠷దղϛχϚοΫεઓུ w ࠷దʹϛχϚοΫε ؔ࿈͢Δఆཧ ओͱର͕ͱʹ࣮ߦՄೳղΛͭͱ͖ɺͦΕͧΕ࠷దղΛͭ ରఆཧʢEVBMJUZUIFPSFNʣ ओ͕࠷దղΛͭͳΒର࠷దղΛͪɺͦͷ࠷ద͕͍͠ త͕ؔ༗քͰ͋Δ͜ͱ໌Β͔Ͱɺ ओɾରͱʹ࣮ߦՄೳղΛ͔࣋ͭΒ࠷దղΛͪɺରఆཧ͔Βͦͷ࠷ద͕͍͠ ͭ·Γ ͱͳΔɻʮϚοΫεϛχͱϛχϚοΫε͕͍͠ʯɹʹɹϛχϚοΫεఆཧɹ v* 1 = v* 2