алгебра и геометрии учебное пособие. тестовые задании
1. 1
Федеральное агентство связи
Государственное федеральное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
ЭЛЕКТРОННАЯ
БИБЛИОТЕЧНАЯ СИСТЕМА
Самара
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. 2
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО СВЯЗИ
Государственное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра высшей математики
Блатов И.А., Сергиевская И.М.
УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Алгебра и геометрия
Тестовые задания
Самара
ПГУТИ
2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3. 3
УДК 621.391
Блатов И.А., Сергиевская И.М. Алгебра и геометрия. Учебное пособие.
Тестовые задания. - Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2011. - 55 с.
Учебное пособие включает краткие теоретические сведения и тестовые
задания разной степени сложности по разделам линейной алгебры,
аналитической и дифференциальной геометрии.
Учебное пособие может быть использовано для самостоятельной работы и
подготовки к тестированию.
Редактор:
Старожилова О.В. – к.т.н., доц., доцент кафедры высшей математики ПГУТИ
Рецензент:
Головкина М.В. – к.ф.-м.н., доц., доцент кафедры физики ПГУТИ
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального
образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Блатов И.А., Сергиевская И.М., 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. 4
Содержание
Введение……………………………………………………………4
Теоретические сведения.
Комплексные числа………………………………………………..5
Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений. Линейные
преобразования……………...……………………………………...5
Векторная алгебра …………………………………………………6
Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.
Плоскость и прямая в
пространстве.………………………………………………………..7
Кривые и поверхности второго
порядка.………………………………………………………………9
Алгебраические структуры. Квадратичные
формы.………………………………..................................................9
Дифференциальная геометрия кривых и
поверхностей.………………………………………………………11
Тестовые задания.
Комплексные числа………………………………………………..12
Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений. Линейные
преобразования……………...……………………………………..16
Векторная алгебра …………………………………………………30
Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.
Плоскость и прямая в
пространстве.……………………………………………………….34
Кривые и поверхности второго
порядка.……………………………………………………………..38
Алгебраические структуры. Квадратичные
формы.………………………………………………………………42
Дифференциальная геометрия кривых и
поверхностей.………………………………………………………46
Литература……………………………………………………….....55
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 5
Введение
Курс «Алгебра и геометрия» является одним из основных при подготовке
программистов. Большая часть специальных дисциплин базируется на понятиях
и методах линейной алгебры и аналитической геометрии.
Кроме того, знания алгебры и геометрии используются и в дисциплинах
математического цикла.
В настоящее время применяются формы контроля знаний студентов в виде
тестов. Данное пособие может помочь организовать тестовый контроль знаний
студентов специальностей 230105 «Программное обеспечение вычислительных
и автоматизированных систем», 230201 «Информационные системы и
технологии», поскольку написано в соответствии с Государственным
образовательным стандартом высшего профессионального образования по
названным специальностям. Пособие может быть использовано и студентами
других специальностей в кусе математики.
Тестовые задания затрагивают такие разделы курса как комплексные
числа, определители, матрицы, системы линейных алгебраических уравнений,
линейные преобразования, векторная алгебра, системы координат на плоскости
и в пространстве, прямая на плоскости, плоскость и прямая в пространстве,
кривые и поверхности второго порядка, алгебраические структуры,
квадратичные формы, дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. 6
Теоретические сведения.
Комплексные числа.
Если 1 1 1z x iy , 2 2 2z x iy , то 1 1 2 21
2 2 2 2 2
x iy x iyz
z x iy x iy
.
Модуль комплексного числа z x iy вычисляется по формуле 2 2
x y (так
же вычисляется полярный радиус точки ,M x y в полярной системе
координат).
Аргумент комплексного числа вычисляется по формуле
, ( , ) в I и IV четверти,
, ( , ) во II и III четверти.
y
arctg x y
x
y
arctg x y
x
Тригонометрическая форма комплексного числа cos sinz i .
Показательная форма комплексного числа i
z e .
Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений. Линейные преобразования.
Определитель второго порядка 11 12
11 22 12 21
21 22
a a
a a a a
a a
.
Определитель третьего порядка
11 12 13
21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13 13 22 31
31 32 33
12 21 33 23 32 11.
a a a
a a a a a a a a a a a a a a a
a a a
a a a a a a
Правило Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений.
x
x , y
y , z
z , где - определитель системы, x - определитель
неизвестного x , y - определитель неизвестного y , z - определитель
неизвестного z .
Алгебраическое дополнение элемента ija матрицы A 1
i j
ij ijA M , где ijM -
минор элемента ija (получается из матрицы A вычеркиванием строки i и
столбца j ).
Пусть дана матрица ij m n
A a . Тогда элемент матрицы C A ij ijc a .
Пусть даны матрицы ij m n
A a , ij m n
B b . Тогда элемент матрицы C A B
ij ij ijc a b .
Пусть даны матрицы ij m k
A a , ij k n
B b . Тогда элемент матрицы C AB
1
k
ij ik kj
l
c a b .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. 7
Пусть матрица
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
. Тогда обратная матрица
11 21 31
1
12 22 32
13 23 33
1
A A A
A A A A
A A A
,
где
11 12 13
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
a a a
, а ijA - алгебраическое дополнение элемента ija .
Ранг матрицы – наивысший порядок отличных от нуля миноров этой матрицы.
Собственные значения матрицы A вычисляются из уравнения 0A E .
Линейное преобразование плоскости 2
R определяется матрицей A . Линейное
преобразование переводит векторы базиса 1e и 2e в векторы 1f и 2f
соответственно ( i iAe f ).
Векторная алгебра.
Даны точки 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z . Тогда вектор 2 1 2 1 2 1; ;a x x y y z z .
Дан вектор 1 2 3; ;a a a a . Длина вектора 2 2 2
1 2 3a a a a . Вектор
1 2 3; ;a a a a .
Даны векторы 1 2 3; ;a a a a , 1 2 3; ;b b b b . Тогда вектор
1 1 2 2 3 3; ;a b a b a b a b .
Скалярное произведение векторов a и b 1 1 2 2 3 3ab a b a b a b .
Векторное произведение векторов a и b 1 2 3
1 2 3
i j k
a b a a a
b b b
.
Даны векторы 1 2 3; ;a a a a , 1 2 3; ;b b b b , 1 2 3; ;c c c c . Смешанное произведение
векторов a , b , c
1 2 3
1 2 3
1 2 3
a a a
abc b b b
c c c
.
Векторы a и b коллинеарны тогда и только тогда, когда a b
.
Векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда 0ab
.
Векторы a , b , c компланарны тогда и только тогда, когда 0abc
.
Площадь треугольника, построенного на векторах a и b , приложенных к
одному началу,
1
2
S a b .
Объем тетраэдра, построенного на векторах a , b , c , приложенных к одному
началу,
1
6
V abc .
Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.
Плоскость и прямая в пространстве.
Каноническое уравнение прямой на плоскости 0Ax By D .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. 8
Каноническое уравнение плоскости 0Ax By Cz D .
Канонические уравнения прямой в пространстве 1 1 1x x y y z z
m n p
.
Расстояние от точки 0 0,M x y до прямой 0Ax By D 0 0
2 2
Ax By D
d
A B
.
Расстояние между точками 1 1 1, ,A x y z , 2 2 2, ,B x y z
2 2 2
2 1 2 1 2 1d x x y y z z .
Расстояние от точки 0 0 0, ,M x y z до плоскости 0Ax By Cz D
0 0 0
2 2 2
Ax By Cz D
d
A B C
.
Прямые 1 1 1
1 1 1
x x y y z z
m n p
и 2 2 2
2 2 2
x x y y z z
m n p
параллельны тогда и только
тогда, когда 1 1 1
2 2 2
m n p
m n p
.
Прямые 1 1 1
1 1 1
x x y y z z
m n p
и 2 2 2
2 2 2
x x y y z z
m n p
перпендикулярны тогда и
только тогда, когда 1 2 1 2 1 2 0m m n n p p .
Плоскость 0Ax By Cz D параллельна прямой 1 1 1x x y y z z
m n p
тогда и
только тогда, когда 0Am Bn Cp .
Плоскость 0Ax By Cz D перпендикулярна прямой 1 1 1x x y y z z
m n p
тогда и только тогда, когда.
A B C
m n p
.
Кривые и поверхности второго порядка.
Каноническое уравнение эллипса
2 2
2 2
1
x y
a b
.
Каноническое уравнение гиперболы
2 2
2 2
1
x y
a b
.
Каноническое уравнение параболы 2
2y px .
Каноническое уравнение цилиндрической поверхности с образуюшими,
параллельными оси Oz , 0F x y .
Каноническое уравнение конуса
2 2 2
2 2 2
0
x y z
a b c
.
Каноническое уравнение эллипсоида
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
.
Каноническое уравнение эллиптического параболоида
2 2
2
x y
z
p q
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. 9
Каноническое уравнение гиперболического параболоида
2 2
2
x y
z
p q
.
Каноническое уравнение однополостного гиперболоида
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
.
Каноническое уравнение двуполостного гиперболоида
2 2 2
2 2 2
1
x y z
a b c
.
Алгебраические структуры. Квадратичные формы.
Полугруппа G – это множество с операцией, аналогичной сложению или
умножению, обладающей свойством ассоциативности ( ,a b G ( ) ( )a bc ab c или
( ) ( )a b c a b c ). Группа G – это множество с бинарной операцией,
аналогичной сложению или умножению, обладающей свойством
ассоциативности ( , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c или ( ) ( )a b c a b c ). В группе
обязательно есть нейтральный элемент e( ), обладающий свойством
ae ea a a G (a a a a G ), и для любого элемента группы
найдется обратный (противоположный) элемент: 1 1 1
a G a aa a a e
( ( )a G a a a a a ). Если операция обладает свойством
коммутативности ( ,a b G ab ba или ,a b G a b b a ), то группа
называется абелевой.
Кольцо K – это множество с двумя бинарными операциями,
удовлетворяющими свойствам:
1) , ,a b c K ( ) ( )a b c a b c ,
2) a a a a K ,
3) ( )a K a a a a a ,
4) ,a b K a b b a .
5) , ,a b c K ( )a b c ab ac ,
6) , ,a b c K ( )a b c ac bc .
Если выполняется свойство
7) , ,a b c K ( ) ( )a bc ab c,
то кольцо называют ассоциативным. Если к тому же выполняется
8) ,a b ab ba ,
кольцо ассоциативно-коммутативно. А если в таком кольце
9) 1 1 1
a a aa a a e,
то кольцо называется полем.
Умножение подстановок на множестве A осуществляется по правилу
1 2 2 1* ( ) ( ( ))s s x s s x .
Матрица квадратичной формы – квадратная симметричная матрица, элементы
на главной диагонали равны коэффициентам при квадратах, а элементы ij jia a
и равны половине коэффициента при произведении i jx x .
Если собственные значения матрица квадратичной формы только
положительны (только отрицательны, все неотрицательны, все
неположительны, знаконеопределенны) то квадратичная форма называется
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. 10
положительно определенной (отрицательно определенной, положительно
полуопределенной, отрицательно полуопределенной, знаконеопределенной.
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.
Уравнение касательной плоскости к поверхности
, ,
, ,
,
x x u v
y y u v
z z u v
имеет вид
0
X x Y y Z z
x y z
u u u
x y z
v v v
. Уравнения нормали
X x
y z
u u
y z
v v
Y y
z x
u u
z x
v v
Z z
x y
u u
x y
v v
.
Уравнение касательной плоскости к поверхности , , 0F x y z имеет вид
0x y zX x F Y y F Z z F . Уравнения нормали
x
X x
F y
Y y
F z
Z z
F
.
Кривизна кривой вычисляется по формуле
2 2 2
3
2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
. Кручение кривой
2 2 2
x y z
x y z
x y z
y z z x x y
y z z x x y
.
Тестовые задания.
Комплексные числа.
1. Выражение
3
1 2
i
i
, где i -
мнимая единица, равно
…
1) 2i .
2) 2 i .
3) 1 i .
4) 2 i .
5) 1 i .
2. Выражение
5
1 2
i
i
, где i -
мнимая единица, равно
…
1) 1 i .
2) 2 i .
3) 1 i .
4) 2 i .
5) 2i .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. 11
3. Выражение
4 3
1 2
i
i
, где i -
мнимая единица, равно
…
1) 2 i .
2) 2 i .
3) 1 i .
4) 1 i .
5) 2i .
4. Выражение
1 3
1 2
i
i
, где i
- мнимая единица, равно
…
1) 2 i .
2) 2 i .
3) 1 i .
4) 1 i .
5) 2i .
5. Выражение
4 2
1 2
i
i
, где i
- мнимая единица, равно
…
1) 2i .
2) 2 i .
3) 1 i .
4) 1 i .
5) 2 i .
6. Модуль комплексного числа 3 4i …
7. Модуль комплексного числа 5 12i …
8. Модуль комплексного числа 2i …
9. Модуль комплексного числа
1
1
i
i
…
10.Модуль комплексного числа
6
1 i …
11.Модуль комплексного числа
2
1 3i …
12.Аргумент
комплексного
числа i …
1) .
2)
2
.
3)
3
4
.
4)
2
.
5) 0 .
13.Аргумент
комплексного
числа 2 2i …
1)
4
.
2)
2
.
3)
3
4
.
4) .
5)
4
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. 12
14.Аргумент
комплексного
числа 5 …
1)
3
4
.
2)
2
.
3) 0 .
4) .
5)
2
.
15.Тригонометрическая
форма
комплексного числа
1 i …
1) 5 cos sin
4 4
i .
2) 3 cos sin
4 4
i .
3) 2 cos sin
4 4
i .
4)
3 3
2 cos sin
4 4
i .
5)
7 7
2 cos sin
4 4
i .
16.Тригонометрическая
форма
комплексного числа
1 i …
1)
3 3
2 cos sin
4 4
i .
2) 3 cos sin
4 4
i .
3) 2 cos sin
4 4
i .
4) 5 cos sin
4 4
i .
5)
7 7
2 cos sin
4 4
i .
17.Тригонометрическая
форма
комплексного числа
1 i …
1)
7 7
2 cos sin
4 4
i .
2)
5 5
2 cos sin
4 4
i .
3)
3 3
2 cos sin
4 4
i .
4) 2 cos sin
4 4
i .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. 13
18.Показательная
форма
комплексного числа
1 i …
1)
7
4
2
i
e .
2) 4
3
i
e .
3)
3
4
2
i
e .
4) 4
5
i
e .
5) 4
2
i
e .
19.Показательная
форма
комплексного числа
i …
1)
3
2
i
e .
2) 2
i
e .
3) 4
i
e .
4)
5
4
5
i
e .
5)
7
4
2
i
e .
20.Показательная
форма
комплексного числа
1 …
1) i
e .
2) 2
i
e .
3)
3
2
i
e .
4) 4
i
e .
5)
7
4
2
i
e .
Определители. Матрицы. Решение систем линейных алгебраических
уравнений. Линейные преобразования.
21.Определитель матрицы
1 1 2
0 4 1
0 0 2
…
22.Определитель матрицы
2 1 2
0 4 1
0 0 2
…
23.Определитель матрицы
1 1 2
0 2 1
0 0 3
…
24.Определитель матрицы
2 1 2
0 4 1
0 0 3
…
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. 15
Алгебраическое
дополнение 12A …
3)
7 0
2 8
.
30.Определитель неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
5 . Определитель неизвестного x 10x , неизвестного y 15y ,
неизвестного z 20z . Тогда соответствие между неизвестными и их
значениями…
1) x 1) -6.
2) y 2) 2.
3) z 3) 3.
4) 8.
5) -4.
31.Определитель неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
1. Определитель неизвестного x 1x , неизвестного y 2y ,
неизвестного z 3z . Тогда соответствие между неизвестными и их
значениями…
1) x 1) -6.
2) y 2) 2.
3) z 3) -1.
4) 3.
5) -4.
32.Определитель неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
7 . Определитель неизвестного x 0x , неизвестного y 14y ,
неизвестного z 49z . Тогда соответствие между неизвестными и их
значениями…
1) x 1) 0.
2) y 2) 11.
3) z 3) -1.
4) 2.
5) -7.
33.Определитель неоднородной системы линейных алгебраических уравнений
4. Определитель неизвестного x 0x , неизвестного y 4y ,
неизвестного z 4z . Тогда соответствие между неизвестными и их
значениями…
1) x 1) 1.
2) y 2) 11.
3) z 3) -1.
4) 2.
5) 0.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. 17
Умножение
матрицы A на
матрицу B
невозможно при…
(Укажите не менее
двух вариантов)
38.Матрица A
состоит из m строк
и k столбцов.
Матрица B
состоит из l строк
и n столбцов.
Умножение
матрицы A на
матрицу B
невозможно при…
(Укажите не менее
двух вариантов)
1) 2k , 4l .
2) 3k , 3l .
3) 6,k 6l .
4) 6k , 12l .
5) 2k , 2l .
39.Матрица A
состоит из m строк
и k столбцов.
Матрица B
состоит из l строк
и n столбцов.
Умножение
матрицы A на
матрицу B
невозможно при…
1) 2k , 2l .
2) 3k , 3l .
3) 6,k 6l .
4) 6k , 12l .
5) 5k , 2l .
40.Матрица A
состоит из m строк
и k столбцов.
Матрица B
состоит из l строк
и n столбцов.
Умножение
матрицы A на
матрицу B
невозможно при…
(Укажите не менее
двух вариантов)
1) 7k , 2l .
2) 3k , 3l .
3) 6,k 6l .
4) 4k , 3l .
5) 5k , 5l .
41.Определитель системы уравнений
2 3 2 0
4 4
3 6 1
x y z
x y z
x y z
равен…
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. 18
42.Определитель системы уравнений
3 0
5 4
14 3 4 1
x y z
x z
x y z
равен…
43.Дана система уравнений
3 2 0
4 4
3 6 1
x y z
x y z
x y z
. Определитель неизвестного x
равен…
44.Дана система уравнений
2 3 2 0
3 4 4
3 6 1
x y z
x y z
x y z
. Определитель неизвестного y
равен…
45.Дана система уравнений
2 3 0
4 4
3 6 1
x y z
x y z
x y z
. Определитель неизвестного z
равен…
46.
1 2
5 7
A ,
4 5
3 4
B . AB …
1)
4 10
15 28
.
2)
10 13
41 53
.
3)
7 12
34 53
.
4)
4 10
10 28
.
5)
7 34
12 53
.
47.
1 2
3 4
A ,
1 2
2 3
B . AB …
1)
10 13
41 53
.
2)
4 10
15 28
.
3)
7 12
34 53
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. 26
Векторное
произведение
a b …
4) 2;2; 1 .
5) 2;3; 1 .
81.Даны векторы 0;1;3a , 1;0;2b , 4;5;6c . Смешанное произведение
abc …
82.Даны векторы 0;1;2a , 1;0;2b , 4;5;6c . Смешанное произведение
abc …
83.Даны векторы 0;1;3a , 1;0;3b , 4;5;6c . Смешанное произведение
abc …
84.Даны точки 1;0;4A и 1; 2;4B . Длина вектора AB …
85.Даны точки 1;4;0A и 1;4;3B . Длина вектора AB …
86.Даны точки 0;1;4A и 5;1;4B . Длина вектора AB …
87.Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины.
2
2 3 2 3i k i j k i j …
88.Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины.
2
2 3 2 2 3i k i j k i j …
89.Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины.
2
2 3 2 3 3i k i j k i j …
90.Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины.
2
2 3 2 4 3i k i j k i j …
91.Пусть i , j , k - попарно перпендикулярные векторы единичной длины.
2
2 3 2 5 3i k i j k i j …
92.Векторы 2a i j k и 12 6 3b i j mk коллинеарны при m …
93.Векторы 4 2a i j k и 12 6b i j mk коллинеарны при m …
94.Векторы 3 5a i j mk и 9 15 21b i j k коллинеарны при m …
95.Векторы 2 7a i j k и 6 21 3b i j mk коллинеарны при m …
96.Векторы 3a i j k и 6 3b i j mk перпендикулярны при m …
97.Векторы 4 2a i j k и 12 6b i j mk перпендикулярны при m …
98.Векторы 4 9a i j k и 16 36 2b i j mk перпендикулярны при m …
99.Даны точки (1;0;5)A , (3;0;5)B , (1;2;5)C . Площадь треугольника ABC …
100. Даны точки (1;0;5)A , (3;0;5)B , (1;0;8)C . Площадь треугольника ABC …
101. Даны точки (1;0;5)A , (1;0;9)B , (1;2;5)C . Площадь треугольника ABC …
102. Даны точки (1;0;5)A , (1;0;10)B , (3;0;5)C . Площадь треугольника ABC …
103. Векторы 3a i j mk , 2 4b i k , 3 2 6c i j k компланарны при
m …
104. Векторы 3 4 3a i j k , 5b mi k , 2 2c i j k компланарны при
m …
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
27. 27
105. Векторы 3 4 3a i j k , 2 2b i j k , 6c i mk компланарны при
m …
106. Векторы 4 2a mi j k , 2 2 6b i j k , 2 4c i k компланарны при
m …
107. Даны точки (1;0;5)A , (2;0;7)B , (6;4;8)C , (5;0;10)D . Объем тетраэдра
ABCD …
108. Даны точки (1;0;5)A , (3;0;9)B , (6;4;8)C , (13;0;20)D . Объем тетраэдра
ABCD …
109. Даны точки (1;0;5)A , (2;0;7)B , (6;4;8)C , (9;0;15)D . Объем тетраэдра
ABCD …
110. Даны точки (1;0;5)A , (3;0;9)B , (11;8;11)C , (13;0;20)D . Объем тетраэдра
ABCD …
Системы координат на плоскости и в пространстве. Прямая на плоскости.
Плоскость и прямая в пространстве.
111. Расстояние между точками (6,0)A , (2, 3)B на плоскости Oxy …
112. Расстояние между точками (8,5)A , (2, 3)B на плоскости Oxy …
113. Расстояние между точками (6,9)A , ( 3, 3)B на плоскости Oxy …
114. Расстояние между точками (7,9)A , (2, 3)B на плоскости Oxy …
115. Расстояние между точками (6,0)A , (21,8)B на плоскости Oxy …
116. Расстояние от точки (5,1, 1)A до плоскости 2 2 4 0x y z …
117. Расстояние от точки (1,1,1)A до плоскости 2 3 6 3 0x y z …
118. Расстояние от точки (1,1,2)A до плоскости 2 3 6 11 0x y z …
119. Расстояние от точки (0,5,3)A до плоскости 2 2 5 0x y z …
120. Расстояние от точки (1,1)A до прямой 4 3 4 0x y …
121. Расстояние от точки (2,2)A до прямой 4 3 8 0x y …
122. Расстояние от точки (1, 1)A до прямой 4 3 8 0x y …
123. Расстояние от точки (0,5)A до прямой 4 3 10 0x y …
124. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой
системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью
абсцисс. Тогда точка , 6x , заданная в декартовой системе координат,
имеет полярный радиус 10 при x …
125. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой
системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью
абсцисс. Тогда точка ,5x , заданная в декартовой системе координат, имеет
полярный радиус 13 при x …
126. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой
системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью
абсцисс. Тогда точка , 3x , заданная в декартовой системе координат,
имеет полярный радиус 5 при x …
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
28. 28
127. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой
системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью
абсцисс. Тогда точка , 12x , заданная в декартовой системе координат,
имеет полярный радиус 15 при x …
128. Полюс полярной системы координат совпадает с началом декартовой
системы координат, а полярная ось совпадает с положительной осью
абсцисс. Тогда точка , 4x , заданная в декартовой системе координат,
имеет полярный радиус 5 при x …
129. Прямые
1 2 3
4 4
x y z
m
и
3 4 5
2 3 2
x y z
параллельны при m …
130. Прямые
1 2 3
8 8
x y z
m
и
3 4 5
2 3 2
x y z
параллельны при m …
131. Прямые
1 2 3
10 10
x y z
m
и
3 4 5
2 3 2
x y z
параллельны при m …
132. Прямые
1 2 3
6 6
x y z
m
и
3 4 5
2 3 2
x y z
перпендикулярны при
m …
133. Прямые
1 2 3
12 12
x y z
m
и
3 4 5
2 3 2
x y z
перпендикулярны при
m …
134. Прямые
1 2 3
4 4
x y z
m
и
4
3 5
2
y
x z перпендикулярны при
m …
135. Плоскость 3 5 1 0Ax y z будет параллельна прямой
1 2
4 3
x y
z
при A …
136. Плоскость 3 3 1 0Ax y z будет параллельна прямой
1 2
6 3
x y
z
при A …
137. Плоскость 3 3 1 0Ax y z будет параллельна прямой
1 2
2 3
x y
z
при A …
138. Плоскость 3 4 1 0Ax y z будет параллельна прямой
2
1
3
y
x z при
A …
139. Плоскость 3 5 1 0Ax y z будет параллельна прямой
2
1
3
y
x z при
A …
140. Плоскость, заданная уравнением 8 12 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
1 2 3
2 2 3
x y z
при A …
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
29. 29
141. Плоскость, заданная уравнением 2 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
3
1 2
2
z
x y при A …
142. Плоскость, заданная уравнением 3 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
1 3
2
3 3
x z
y при A …
143. Плоскость, заданная уравнением 15 20 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
1 2 3
2 3 4
x y z
при A …
144. Плоскость, заданная уравнением 6 12 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
3
1 2
2
z
x y при A …
145. Плоскость, заданная уравнением 6 12 4 0Ax y z относительно
прямоугольной декартовой системы координат, перпендикулярна прямой
3
1 2
2
z
x y при A …
Кривые и поверхности второго порядка.
146. Уравнение
2 2
1
4 9
x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Гиперболу.
3) Параболу.
4) Пару прямых.
5) Точку.
147. Уравнение
2 2
1
3 15
x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Гиперболу.
3) Параболу.
4) Пару прямых.
5) Точку.
148. Уравнение
2
2y x определяет
на плоскости
Oxy …
1) Эллипс.
2) Гиперболу.
3) Параболу.
4) Пару прямых.
5) Точку.
149. Уравнение эллипса имеет вид
2 2
1
4 9
x y
. Длина его малой полуоси
равна…
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
30. 30
150. Уравнение эллипса имеет вид
2
2
1
4
x
y . Длина его малой полуоси
равна…
151. Уравнение эллипса имеет вид
2 2
1
12 9
x y
. Длина его малой полуоси
равна…
152. Уравнение гиперболы имеет вид
2 2
1
16 20
x y
. Длина ее действительной
полуоси равна…
153. Уравнение гиперболы имеет вид
2 2
1
40 25
x y
. Длина ее мнимой полуоси
равна…
154. Уравнение гиперболы имеет вид
2 2
1
36 25
x y
. Длина ее действительной
полуоси равна…
155. Поверхность,
заданная
уравнением
2 2
2 3
x y
z ,
является…
1) Конусом.
2) Эллипсоидом.
3) Параболическим
цилиндром.
4) Гиперболическим
параболоидом.
5) Эллиптическим
параболоидом.
156. Поверхность,
заданная
уравнением
2 2
2
2 3
x y
z ,
является…
1) Конусом.
2) Эллипсоидом.
3) Параболическим
цилиндром.
4) Гиперболическим
параболоидом.
5) Эллиптическим
параболоидом.
157. Поверхность,
заданная
уравнением
2 2
2 3
x y
z ,
является…
1) Конусом.
2) Эллипсоидом.
3) Параболическим
цилиндром.
4) Гиперболическим
параболоидом.
5) Эллиптическим
параболоидом.
158. Поверхность,
заданная
1) Конусом.
2) Эллипсоидом.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
31. 31
уравнением
2
2
x
z ,
является…
3) Параболическим
цилиндром.
4) Гиперболическим
параболоидом.
5) Эллиптическим
параболоидом.
159. Поверхность,
заданная
уравнением
2 2
2
1
2 3
x y
z ,
является…
1) Конусом.
2) Эллипсоидом.
3) Параболическим
цилиндром.
4) Гиперболическим
параболоидом.
5) Эллиптическим
параболоидом.
160. Расстояние между фокусами эллипса
2 2
1
25 9
x y
…
161. Расстояние между фокусами эллипса
2 2
1
25 16
x y
…
162. Расстояние между фокусами гиперболы
2 2
1
16 9
x y
…
163. Уравнение
2 2
9 25 18
100 316 0
x y x
y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
164. Уравнение
2 2
5 6 10 12
31 0
x y x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
165. Уравнение
2 2
4 6 5 0x y x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
32. 32
166. Уравнение
2 2
2 2 3 4
2 0
x y x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
167. Уравнение
2 2
5 9 30 18
9 0
x y x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
168. Уравнение
2 2
2 4 20 0x y x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
169. Уравнение
2 2
16 25 32
100 284 0
x y x
y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
170. Уравнение
2
4 8 7 0x x y
определяет на
плоскости Oxy …
1) Эллипс.
2) Окружность.
3) Гиперболу.
4) Параболу.
5) Пару прямых.
Алгебраические структуры. Квадратичные формы.
171. На
множестве Z
выполнимы
операции…
(Укажите не
менее двух
пунктов).
1)
a
b
, a b .
2) a b , ab .
3) a b ,
a
b
.
4)
a
b
, a b .
5) ab , a b .
172. На
множестве N
выполнимы
1) ab , a b .
2)
a
b
, b
a .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
33. 33
операции…
(Укажите не
менее двух
пунктов).
3) a b ,
a
b
.
4)
a
b
, ( , )НОК a b .
5) a b , ( , )НОК a b .
173. На
множестве N
выполнимы
операции…
(Укажите не
менее двух
пунктов).
1) ab , a b .
2) b
a , ( , )НОК a b .
3) a b ,
a
b
.
4)
a
b
, ( , )НОК a b .
5)
a
b
, ( , )НОД a b .
174. Полугруппа
G с
мультипликатив
ной операцией
обладает
свойством…
1) ( )a G a a a a a .
2) 1 1 1
a G a aa a a e .
3) , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c.
4) , ,a b c G ( ) ( )a b c a b c .
5) e G ae ea a a G .
175. Если группа
G с
мультипликатив
ной операцией
обладает
свойством…, то
она называется
абелевой.
1) ,a b G ab ba .
2) ,a b G a b b a
3) 1 1 1
a G a aa a a e .
4) e G ae ea a a G ..
5) , ,a b c G ( ) ( )a bc ab c.
176. В кольце K
не выполняются
свойства …
(Укажите не
менее двух
пунктов).
1) , ,a b c K ( ) ( )a bc ab c.
2) , ,a b c K ( )a b c ab ac .
3) 1 1 1
a K a aa a a e .
4) ,a b K a b b a .
5) ,a b K ab ba .
177. На множестве
1,2,3,4,5,6A
заданы
подстановки
1
1 2 3 4 5 6
6 3 4 1 2 5
s
и
1)
1 2 3 4 5 6
5 2 1 3 4 6
.
2)
1 2 3 4 5 6
5 4 1 2 3 6
.
3)
1 2 3 4 5 6
5 4 1 3 2 6
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
35. 35
2 2
2x xy y
является…
2) Отрицательно
определенной.
3) Знаконеопределенной.
4) Положительно
полуопределенной.
5) Отрицательно
полуопределенной.
182. Квадратичная
форма
2 2
2x xy y
является…
1) Положительно
определенной.
2) Отрицательно
определенной.
3) Знаконеопределенной.
4) Положительно
полуопределенной.
5) Отрицательно
полуопределенной.
183. Квадратичная
форма
2 2
x xy y
является…
1) Положительно
определенной.
2) Отрицательно
определенной.
3) Знаконеопределенной.
4) Положительно
полуопределенной.
5) Отрицательно
полуопределенной.
184. Квадратичная
форма
2 2
2 2 2x xy y
является…
1) Положительно
определенной.
2) Отрицательно
определенной.
3) Знаконеопределенной.
4) Положительно
полуопределенной.
5) Отрицательно
полуопределенной.
185. Квадратичная
форма
2 2
4 3x xy y
является…
1) Положительно
определенной.
2) Отрицательно
определенной.
3) Знаконеопределенной.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
36. 36
4) Положительно
полуопределенной.
5) Отрицательно
полуопределенной.
Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей.
186. Поверхность задана параметрическими уравнениями
, ,
, ,
, .
x x u v
y y u v
z z u v
Уравнение касательной плоскости к поверхности…
1)
X x
y z
u u
y z
v v
Y y
z x
u u
z x
v v
Z z
x y
u u
x y
v v
2) 0
X x Y y Z z
x x z
u v u
y y z
u v v
.
3) 0
X x Y y Z z
x y z
u u u
x y z
v v v
..
187. Поверхность задана уравнением , , 0F x y z . Уравнение касательной
плоскости к поверхности…
1) 0
X x Y y Z z
x x z
u v u
y y z
u v v
.
2) 0x y zX x F Y y F Z z F .
3)
X x
y z
u u
y z
v v
Y y
z x
u u
z x
v v
Z z
x y
u u
x y
v v
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
37. 37
4) 0
X x Y y Z z
x y z
u u u
x y z
v v v
.
5)
x
X x
F y
Y y
F z
Z z
F
.
188. Поверхность задана параметрическими уравнениями
, ,
, ,
, .
x x u v
y y u v
z z u v
Уравнения нормали к поверхности…
1) 0x y zX x F Y y F Z z F .
2) 0
X x Y y Z z
x x z
u v u
y y z
u v v
.
3)
X x
y z
u u
y z
v v
Y y
z x
u u
z x
v v
Z z
x y
u u
x y
v v
.
4) 0
X x Y y Z z
x y z
u u u
x y z
v v v
.
5)
x
X x
F y
Y y
F z
Z z
F
.
189. Поверхность задана уравнением , , 0F x y z . Уравнения нормали к
поверхности…
1)
x
X x
F y
Y y
F z
Z z
F
.
2) 0
X x Y y Z z
x x z
u v u
y y z
u v v
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
38. 38
3)
X x
y z
u u
y z
v v
Y y
z x
u u
z x
v v
Z z
x y
u u
x y
v v
.
4) 0
X x Y y Z z
x y z
u u u
x y z
v v v
.
5) 0x y zX x F Y y F Z z F .
190. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями
,
,
.
x x t
y y t
z z t
Кривизна кривой вычисляется по формуле…
1)
2 2 2
22 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
2) 2 2 2
x y z
x y z
x y z
y z z x x y
y z z x x y
.
3)
2 2 2
3
2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
4) 3
2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
5)
x y z
x y z
x y z
y z z x x y
y z z x x y
.
1
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
39. 39
191. Кривая в пространстве задана параметрическими уравнениями
,
,
.
x x t
y y t
z z t
Кручение кривой вычисляется по формуле…
1)
x y z
x y z
x y z
y z z x x y
y z z x x y
.
2)
2 2 2
3
2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
3)
2 2 2
22 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
4) 3
2 2 2 2
y z z x x y
y z z x x y
k
x y z
.
5) 2 2 2
x y z
x y z
x y z
y z z x x y
y z z x x y
.
192. Уравнение
касательной
плоскости к
поверхности
z xy в точке
(1;1;1)M имеет
вид…
1) 1 0x y z .
2) 1 0x y z .
3) 1 0x y z .
4) 1 0x y z .
5) 1 0x y z .
193. Уравнение
касательной
плоскости к
поверхности
2 2
2 4z x y в
1) 8 8 4 0x y z .
2) 8 8 4 0x y z .
3) 8 8 4 0x y z .
4) 8 8 4 0x y z .
5) 8 8 4 0x y z .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
40. 40
точке
(2;1;4)M имеет
вид…
194. Уравнение
касательной
плоскости к
поверхности
2 2
z x y в точке
(1;1;0)M имеет
вид…
1) 2 2 4 0x y z .
2) 2 2 4 0x y z .
3) 2 2 4 0x y z .
4) 2 2 4 0x y z .
5) 2 2 4 0x y z .
195. Уравнения
нормали к
поверхности
z xy в точке
(1;1;1)M имеют
вид…
1)
1
1 1
1
z
x y .
2) 1 1 1x y z .
3)
1
1 1
1
z
x y .
4)
1
1 1
1
z
x y .
5)
1
1 1
1
z
x y .
196. Уравнения
нормали к
поверхности
2 2
2 4z x y в
точке (2;1;4)M
имеют вид…
1)
2 4 4
8 8 1
x y z
.
2)
2 4
4
8 8
x y
z .
3)
2 4 4
8 8 1
x y z
.
4)
2 4 4
8 8 1
x y z
.
5)
2 4 4
8 8 1
x y z
.
197. Уравнение касательной плоскости к поверхности
cos ,
sin ,
x u v
y u v
z av
имеет вид…
1) sin cos 0ax v ay v uz auv .
2) sin cos 0ax v ay v uz auv .
3) sin cos 0ax v ay v uz auv .
4) sin cos 0ax v ay v uz auv .
5) sin cos 0ax v ay v uz auv .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
41. 41
198. Уравнения нормали к поверхности
cos ,
sin ,
x u v
y u v
z av
имеют вид…
1)
cos sin
sin cos
x u v y u v z av
a v a v u
.
2)
cos sin
sin cos
x u v y u v z av
a v a v u
.
3)
cos sin
sin cos
x u v y u v z av
a v a v u
.
4)
cos sin
sin cos
x u v y u v z av
a v a v u
.
5)
cos sin
sin cos
x u v y u v z av
a v a v u
.
199. Кривизна
кривой
,
,
2
t
t
x e
y e
z t
…
1) 2
2
t t
e e
.
2)
2
2
t t
e e
.
3)
2
t t
e e
.
4)
2
t t
e e
.
5) 2
2
t t
e e
.
200. Кручение
кривой
,
,
2
t
t
x e
y e
z t
…
1) 2
2
t t
e e
.
2)
2
2
t t
e e
.
3)
2
t t
e e
.
4)
2
t t
e e
.
5) 2
2
t t
e e
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
42. 42
Литература.
Основная литература.
1. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.,
Физматлит. 2004.
2. Блатов И.А., Старожилова О.В. Алгебра и геометрия. Конспект лекций. –
Самара: ГОУВПО ПГУТИ. 2010.
3. Блатов И.А., Сергиевская И.М. База тестовых заданий по учебной
дисциплине «Алгебра и геометрия» для студентов 2 курса заочной формы
обучения по специальностям 230105, 230105у, 230210у. ПГУТИ, 2011.
4. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Профессия.
2004.
Дополнительная литература.
1. Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной
алгебре. 2001.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М., Наука, 1986.
3. Ефимов Н.В. Сборник задач по математике для вузов. Линейная алгебра и
основы математического анализа. Тт. 1, 2. М., Наука. 1981.
4. Кострикин А.И. Введение в алгебру. Кн. 1. Основы алгебры. Кн. 2. Линейная
алгебра. Кн. 3. Основные структуры алгебры. М., Физматлит. 2000, 2001.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
