1. 03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
1

2. 1. Определения, обозначения, общие сведения
В общем виде система m линейных
алгебраических уравнений с n неизвестными:
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
2

3. Обозначим:
a11 a12 … a1n x1 b1
A = a21 a22 … a2n X= x2 B= b2
… … …
an1 an2 … ann xn bn
столбец
матрица столбец
свободных
коэффициентов неизвестных членов
Тогда в матричном виде можно записать
AX = B
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
3

4. Решением системы (1) называется
такая упорядоченная совокупность чисел
x1 = c1 ,
x2 = c2 ,
…,
xn = cn
, которая обращает все уравнения системы
в верные равенства
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
4

5.  a11a12 ...a1nb1 
 
 a21a22 ...a2 nb2 
B= 
...................
 
 a a ...a b 
 m1 m 2 mn т 
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
5

6. −1 −1
A⋅ A = A ⋅ A = E,
Транспонированная матрица
 a11 a 21 ...a m1 
 
 a12 a 22 ...a m 2 
A =
T

................
 
 a a ...a 
 1n 2 n mn 
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
6

7. Численные методы решения
СЛАУ
Прямые (точные) Итерационные
Метод простой итерации
Метод Крамера
Метод Зейделя
Метод Гаусса
Метод релаксаций
Метод ортогонализации
Градиентные методы
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
7

8. 3. Метод Гаусса
(метод последовательного исключения неизвестных)
Шаг 1
Получение расширенной матрицы -
добавим к основной матрице A столбец свободных членов B
a11 a12 … a1n b1
A’ = a21 a22 … a2n b2 Фрагмент
блок-схемы
… …
an1 an2 … ann bn
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
8

9. Шаг 2
Прямой ход метода Гаусса -
приведение расширенной матрицы к треугольному виду
a11 a12 a13 … a1n-1 a1n b1
A’ = 0 a22 a23 … a2n-1 a2n b2
0 0 a33 … a3n-1 a3n b3
… …
0 0 0 … 0 ann bn
Как это сделать?
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
9

10. а. Формирование первого столбца матрицы
a11 a12 … a1n b1 a11 a12 … a1n b1
a21
a21 a22 … a2n b2 M= a
a21:=a21-M.a11=0; 0 a22 … a2n b2
11 a22:=a22-M.a12; …
a31 a32 … a3n b3 a31 a31:=a31-M.a11=0;
0 a32 … a3n b3
… M= a
11
a32:=a32-M.a12; … …
an1 an2 … ann bn an1
M= a
an1:=an1-M.a11=0; 0 an2 … ann bn
11 an2:=an2-M.a12; …
б. Формирование второго столбца матрицы
a11 a12 … a1n b1 a11 a12 … a1n b1
0 a22 … a2n b2 0 a22 … a2n b2
a32 a32:=a32-M.a22=0;
0 a32 … a3n b3 M= a 0 0 … a3n b3
22 a33:=a33-M.a23; …
… …
0 an2 … ann bn M= a
an2 an2:=an2-M.a22=0; 0 0 … ann bn
22 an3:=an3-M.a23; …
a
И т.д. до n-го столбца: M = ik ; aij: := aij – M.akj
akk
03/13/13 Но возникает вопрос …
БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
10

11. Если на главной диагонали
встретится нулевой элемент, то
рассчитать коэффициент M будет
невозможно (делить на ноль
нельзя)
Перед обнулением элементов в k-том столбце среди элементов, лежащих
ниже диагонального, найти максимальный по модулю, запомнить номер
строки, в котором он находится, и поменять эту строку с k-той строкой
местами. Например,
a11 a12 … a1n b1 a11 a12 … a1n b1
Допустим, среди
0 0 … a2n b2 элементов а32 …аn2 0 a22 … a2n b2
0 a32 … a3n b3 максимальным является 0 0 … a3n b3
элемент 3-ей строки а32
… …
0 an2 … ann bn 0 an2 … ann bn
Фрагмент
блок-схемы
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
11

12. Шаг 3
Обратный ход метода Гаусса - нахождение неизвестных
После преобразований система уравнений имеет вид:
a11x1 + … + a1 n-2xn-2 + a1 n-1 xn-1 + a1 n xn = b1
…
an-2n-2xn-2 + an-2n-1xn-1 + an-2nxn = bn-2
an-1n-1xn-1 + an-1nxn = bn-1 Фрагмент
блок-схемы
annxn = bn
Из последнего уравнения:
bn
Если ann = 0, то xn =
ann
;
если ann = 0 и bn = 0, то система имеет бесконечное множество решений;
если ann = 0 и bn = 0, то система решений не имеет.
bn-1- an-1n.xn n
xn-1 =
an-1n-1 ; bi - j∑1 aij.xj
xi = =i +
bn-2- an-2n-1.xn-1 - an-2n.xn aii
xn-2 = ;…
03/13/13 an-2n-2 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
12

13. 1
начало
2 вводим размерность матрицы
n
3
i:=1,n
- открываем внешний цикл по номеру строки
+
4
j:=1,n - открываем внутренний цикл по номеру столбца
+
5 aij вводим значение элемента строки
6
bi в качестве последнего элемента каждой строки
вводим значение свободного члена
Вернуться
к описанию
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
13

14. 1
начало открываем цикл по номеру столбца
- 7
k:=1,n
2 сохраняем в max модуль диагонального элемента +
n текущей строки; 8 max:=|akk|
3
i:=1,n
- в r запоминаем номер текущей строки r:=k
+
внутренний цикл по номеру строки для просмотра 9
i:=k+1,n -
4
j:=1,n - элементов, лежащих ниже диагонального
+
10
+ если модуль текущего элемента больше max, то |aik|>max
5 aij - +
сохраняем его значение в max, а в r запоминаем 11 max:=|aik|
6 номер текущей строки
bi r:=i
открываем цикл по номеру столбца 12
j:=1,n
+
13 c:=akj
меняем местами элементы текущей
строки и строки, содержащей akj:=arj
максимальный элемент arj:=c
aik
M= a ;
kk
aij := aij – M.akj
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ Дисциплина Числ
14

15. 1
начало открываем цикл по номеру столбца
- 7
k:=1,n
2 сохраняем в max модуль диагонального элемента +
n текущей строки; 8 max:=|akk|
3
i:=1,n
- в r запоминаем номер текущей строки r:=k
+
внутренний цикл по номеру строки для просмотра 9
i:=k+1,n -
4
j:=1,n - элементов, лежащих ниже диагонального
+
10
+ если модуль текущего элемента больше max, то |aik|>max
5 aij - +
сохраняем его значение в max, а в r запоминаем 11 max:=|aik|
6 номер текущей строки
bi r:=i
открываем цикл по номеру столбца 12
- j:=1,n
14 c:=bk
+
13 c:=akj
меняем местами элементы текущей
строки и строки, содержащей bk:=br akj:=arj
максимальный элемент br:=c arj:=c
aik
M= a ; 15 -
kk открываем цикл по номерам строк, лежащих i:=k+1,n
ниже диагонали
16 +
aij := aij – M.akj находим коэффициент для текущей строки M:=aik/akk
в цикле по номеру строки
17
j:=1,n -
18 +
присваиваем элементам строки новые значения aij:=aij - Makj
Вернуться
к описанию последним элементом строки является новое
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ19 b :=b - Mb
15
значение свободного членаДисциплина Числ i i k

16. 1
начало - 7
k:=1,n
2 n +
n max:=|akk|
bi - j∑1 aij.xj
8
3
i:=1,n
- xi = =i + r:=k
+
aii 9
i:=k+1,n -
4
j:=1,n - +
10
+ |aik|>max
5 aij -
+ 20
ann=0 +
если последний элемент диагонали
равен 0, то… 11 max:=|aik|
6
bi -
- 24 i:=n,1, -1 иначе открываем обратный цикл по
r:=i
если последний свободный номеру строки 12
член равен 0, то… 25 + - j:=1,n
s:=0 обнуляем сумму
+
21
- bn=0 14 c:=bk c:=akj 13
26
j:=i+1, n - цикл по номерам столбцов, лежащих правее
bk:=br akj:=arj
диагонального элемента (для последней
+ 27 + строки не выполняется)
22 Бесконечное s:=s + aijxj br:=c arj:=c
накапливаем сумму
иначе… мн-во решений
28
15
i:=k+1,n -
xi:=(bi – s)/aii находим неизвестное в
+
23 Нет текущей строке 16
решений
M:=aik/akk
29 xi выводим текущее неизвестное
17
j:=1,n -
18 +
конец aij:=aij - Makj
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ19 b :=b - Mb
16Дисциплина Числ i i k

17. 1
начало - 7
k:=1,n
2 +
n 8 max:=|akk|
3
i:=1,n
- r:=k
+
9
i:=k+1,n -
4
j:=1,n - +
10
+ |aik|>max
5 aij -
+ 20
ann=0 +
11 max:=|aik|
6
bi -
- 24 i:=n,1, -1 r:=i
25 + 12
s:=0 - j:=1,n
21 +
- bn=0 14 c:=bk 13 c:=akj
26
j:=i+1, n - bk:=br akj:=arj
+ 27 +
22 Бесконечное s:=s + aijxj br:=c arj:=c
мн-во решений
28
15
i:=k+1,n -
xi:=(bi – s)/aii +
23 Нет 16
решений
M:=aik/akk
29 xi 17
j:=1,n -
18 +
конец aij:=aij - Makj
03/13/13 БИК Специальность ПОВТ19 b :=b - Mb
17Дисциплина Числ i i k