вестник южно уральского-государственного_университета._серия_компьютерные_технологии,_управление,_радиоэлектроника_№2_2014
1. Учредитель – Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования «Южно-Уральский государственный
университет» (национальный исследовательский университет)
Журнал освещает новые научные достижения и практические разработки ученых по актуальным проблемам
компьютерных технологий, управления и радиоэлектроники.
Основной целью издания является пропаганда научных исследований в следующих областях:
Автоматизированные системы управления
в энергосбережении
Автоматизированные системы управления
технологическими процессами
Антенная техника
Инфокоммуникационные технологии
Информационно-измерительная техника
Навигационные приборы и системы
Радиотехнические комплексы
Системы автоматизированного управления
предприятиями в промышленности
Системы управления летательными аппаратами
Редакционная коллегия:
А.Л. Шестаков, д.т.н., проф.
(отв. редактор);
Л.С. Казаринов, д.т.н., проф.
(зам. отв. редактора);
М.А. Сагадеева, к.ф.-м.н., доц.
(зам. отв. редактора);
Н.В. Плотникова, к.т.н., доц.
(отв. секретарь).
Редакционный совет:
Н.И. Войтович, д.т.н., проф.;
С.Н. Даровских, д.т.н., проф.;
В.Г. Дегтярь, д.т.н., проф., чл.-корр. РАН
(г. Миасс, Челябинская обл.);
В.В. Жиков, д.ф.-м.н., проф. (г. Владимир);
Ю.Т. Карманов, д.т.н., проф.;
Ю.М. Ковалев, д.ф.-м.н., проф.;
О.В. Логиновский, д.т.н., проф.;
В.И. Меркулов, д.т.н., проф. (г. Москва);
Б.Т. Поляк, д.т.н., проф. (г. Москва);
Х. Радев, д.т.н., проф. (г. София, Болгария);
Г.А. Свиридюк, д.ф.-м.н., проф.;
В.Н. Ушаков, д.ф.-м.н., проф., чл.-корр. РАН
(г. Екатеринбург);
А.В. Фурсиков, д.ф.-м.н., проф. (г. Москва);
Л.Н. Шалимов, к.т.н. (г. Екатеринбург);
В.И. Ширяев, д.т.н., проф.;
Ю.Б. Штессель, д.т.н., проф. (г. Хантсвилл,
Алабама, США).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2. South Ural State University
The journal covers new scientific achievements and practical developments of scientists on actual problems
of computer technologies, control and radio electronics.
The main purpose of the series is information of scientific researches in the following areas:
Automated control systems in energy saving
Automated process control
Antenna technique
Communication technologies
Information and measuring equipment
Navigation devices and systems
Radio engineering complexes
Computer-aided management of enterprises
in industry
Control systems of aircrafts
Editorial Board:
A.L. Shestakov, Dr. of Sci. (Eng.), Prof. (executive editor), South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
L.S. Kazarinov, Dr. of Sci. (Eng.), Prof. (deputy executive editor), South Ural State University, Chelyabinsk, Russian
Federation;
M.A. Sagadeeva, Cand. of Sci. (Phys. and Math.), Ass. Prof. (deputy executive editor), South Ural State University,
Chelyabinsk, Russian Federation;
N.V. Plotnikova, Cand. of Sci. (Eng.), Ass. Prof. (executive secretary), South Ural State University, Chelyabinsk, Russian
Federation.
Editorial Council:
N.I. Voitovich, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
S.N. Darovskykh, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
V.G. Degtyar, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., Member Correspondent of the Russian Academy of Sciences, Academician
V.P. Makeyev State Rocket Centre, Miass, Chelyabinsk region, Russian Federation;
V.V. Zhikov, Dr. of Sci. (Phys. and Math.), Prof., Vladimir State University Alexander G. and Nicholas G. Stoletovs,
Vladimir, Russian Federation;
Yu.T. Karmanov, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
Yu.M. Kovalev, Dr. of Sci. (Phys. and Math.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
O.V. Loginovsky, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
V.I. Merkulov, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., Radio Engineering Corporation “Vega”, Moscow, Russian Federation;
B.T. Polyak, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., V.A. Trapeznikov Institute of Control Sciences of Russian Academy of Sciences,
Moscow, Russian Federation;
Kh. Radev, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., Technical University, Sofia, Bulgaria;
G.A. Sviridyuk, Dr. of Sci. (Phys. and Math.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
V.N. Ushakov, Dr. of Sci. (Phys. and Math.), Prof., Member Correspondent of the Russian Academy of Sciences,
N.N. Krasovsky Institute of Mathematics and Mechanics of Ural Branch of Russian Academy of Sciences, Ekaterinburg,
Russian Federation;
A.V. Fursikov, Dr. of Sci. (Phys. and Math.), Prof., Lomonosov Moscow State University, Moscow, Russian Federation;
L.N. Shalimov, Cand. of Sci. (Eng.), Ac. N.A. Semihatov Scientific and Production Association of Automation,
Ekaterinburg, Russian Federation;
V.I. Shiryaev, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation;
Yu.B. Shtessel, Dr. of Sci. (Eng.), Prof., Huntsville, Alabama, USA.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
4. CONTENTS
SAGADEEVA M.A. The Problem of Optimal Control over Solutions of the Nonstationary
Barenblatt – Zheltov – Cochina Model .............................................................................................. 5
TANANA V.P., SIDIKOVA A.I. About Some Problems the Transformation of Information
in Solid State Physics ....................................................................................................................... 12
UKHOBOTOV V.I., VELICHKO V.S. Stabilization of a Mathematical Pendulum with Base
on Wheel with Fuzzy Control Algorithm ......................................................................................... 18
KRYMSKY V.V., VAKHITOV M.G., SARTASOVA M.Yu. Dependence Analysis of Emitted
Impulse Field from the Distance ...................................................................................................... 24
MOKEYEV V.V., VOROBYOV D.A. Analysis of the Effectiveness of Processes of in Socio-
economic Systems by Method of the Eigenstates ............................................................................ 31
IZMAILOVA E.V., VANKOV Yu.V. Implementation of the Source of the Su-Nielsen for Check
the Serviceability of Acoustic Emission Equipment ........................................................................ 41
SADOV V.B. Formation of Restrictions at Management of the Drive Sucker Rod Pump .............. 47
DANIK Yu.G., SHESTAKOV V.I., CHERNYSHUK S.V. Approach to Cyberthreats Classi-
fication ............................................................................................................................................. 52
ANTYASOV I.S., VOYTOVICH N.I., SOKOLOV A.N. Complex Screening of the Alternative
Measuring Site to Carry out Special Research of Technical Means ................................................ 61
KHASHIMOV A.B. Regularization Techniques for Reconstruction of Antenna Radiated Field
by Near Field Measurements ............................................................................................................ 70
KATSAY D.A. Research of Dynamics of the Unit of Rotational Type ........................................... 81
TAMBOVTSEV V.I., GOLOVENKO A.O., NIKITIN N.S. Antiphase Filtering of the Noise
Influence on Two Symmetric Communication Channels ................................................................... 88
Brief reports
SEMENOV A.P. The Operational Reliability of Subway Trains Based on the System of Collec-
tion, Processing and Analysis of Diagnostic Information ................................................................ 98
VOLOVICH G.I., ADYGAMOV I.R. Regulator of Measuring Current with Adaptation .............. 105
SLINKIN S.A. Measurement of Large Diameters by Indirect Methods. Measurement Tools
Development Prospects .................................................................................................................... 111
ARGUTIN A.V. Increasing Performance of the Semi-global Matching Stereo Algorithm ............. 116
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
5. 2014, том 14, № 2
5
Introduction
Let Ω ⊂ ℝ be a bounded domain with a bound Ω from class . Consider the Dirichlet problem
in the cylinder Ω × ℝ for Sobolev type equation
( − Δ) = ( )Δ + , (1)
that simulates the dynamics of the fluid pressure filters in fractured porous medium [1]. In equation
∈ ℝ is a real parameter and a scalar function : ℝ → ℝ , characterize the environment, and can
take negative values. Vector-function : ℝ → (Ω) is a control function and characterizes the out influ-
ences on the system.
Equation (1) belongs to a class of Sobolev type equations [2], constitutes a large class of non-
classical equations of mathematical physics [3–5]. Let’s note that in contrast to earlier equation (1) stu-
dies (see for example [2]), we consider the equation (1) with a coefficient that depends on time.
Introduce the quality functional
( ) = ∑ ∫ ( )
( ) −
( )
( )
ℨ
+ ∫ 〈 ( )
( ), ( )
( )〉 , = , (2)
where and ℨ are Hilbert spaces, ∈ ℝ , ∈ ℓ( , ℨ), is planned state of the system. Our task is
to find the optimal control , which minimizes functional (2) at a closed convex subset for equation (1)
with Showalter – Sidorov condition [6]:
( (0) − ) = 0. (3)
1. Abstract results
Let , be Banach spaces, operator ∈ ℒ( ; ) with nontrivial kernel ker ≠ {0}, operator
∈ ℓ( ; ).
The sets ( ) = { ∈ ℂ: ( − ) ∈ ℒ( , )} and ( ) = ℂ ( ) are called respectively
L-resolvent set and L-spectrum of the operator .
On condition ker ∩ ker = {0}, then ( ) = ∅.
Operator-function ( − ) , ( ) = ( − ) , ( ) = ( − ) are called respec-
tively a resolvent, right resolvent, and left resolvent of an operator with respect to the operator
(or briefly L-resolvent, right L-resolvent, and left L-resolvent of an operator correspondingly).
Definition 1. Operator is called spectrally bounded with respect to the operator (or briefly
( , )-bounded), if ∃ > 0 ∀ ∈ ℂ (| | > ) ⟹ ( ∈ ( )).
Let the operator be ( , )-bounded, choose in complex subspace ℂ the counter = { ∈ ℂ:
| | = > }. Let us consider integrals of F. Riss type
= ∫ ( − ) , = ∫ ( − ) .
THE PROBLEM OF OPTIMAL CONTROL
OVER SOLUTIONS OF THE NONSTATIONARY
BARENBLATT – ZHELTOV – COCHINA MODEL
M.A. Sagadeeva, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
sagadeeva_ma@mail.ru,
A.D. Badoyan, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
badoyanani@mail.ru
The problem of optimal control over solutions for the Barenblatt – Zheltov – Cochina
nonstationary equation with Showalter – Sidorov condition is studied in this article. This
study presents a numerical algorithm for solving optimal control problems. In the final
part there is a numerical experiment for Barenblatt – Zheltov – Cochin non-stationary
equation considered on a rectangle.
Keywords: non-stationary Sobolev equation, the optimal control problem, Showalter–
Sidorov condition, Barenblatt – Zheltov – Cochina model.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
6. М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
6
Operators and are projectors. Let’s denote = ker , = ker , = im , = im ,
then = ⨁ , = ⨁ . Let the restriction of the operator ( ) to dom = dom ∩ ,
= 0, 1 is denoted by ( ).
In addition through ( ) is denoted the set ℂ ( ) – -spectrum of the operator .
Theorem 1. [2] Let operator be ( , )-bounded. Then
1) ∈ ℒ ; , =0, 1;
2) ∈ ℓ( ; ), ∈ ℓ( ; );
3) there exists an operator ∈ ℒ( ; );
4) ( ) = ∅, in particular, there exists an operator ∈ ℒ( ; );
5) there is an analytic solving semigroup { ∈ ℒ( ): ∈ ℝ} of equation ̇( ) = ( )
({ ∈ ℒ( ): ∈ ℝ} for ( − ) ̇( ) = ( − ) ( ) when ∈ ( )), form
= = ∫ ( ) = = ∫ ( ) .
Definition 2. If operator M is ( , )-bounded let introduce operators = ∈ ℒ( ) and
= ∈ ℒ( ). In this case
if = , then the point ∞ is called a removable singularity of the -resolvent of the operator
and operator is ( , 0)-bounded;
if ≠ , а = , then the point ∞ is called pole of order ∈ ℕ of the -resolvent of the
operator and operator is ( , )-bounded;
if ∀ ∈ ℕ ≠ , then the point ∞ is called essential singularity of the -resolvent of the opera-
tor and operator is ( , ∞)-bounded.
Through is denoted the zero operator defined on the space .
Consider the space ( ) = { ∈ (Ω; ): ( )
∈ (Ω; ), ∈ (ℕ ∪ 0), Ω ∈ ℝ }, that is
Hilbert space because of is Hilbert space with the scalar product
[ , ] = ∑ ∫ 〈 ( )
, ( )〉 .
Let , , be Hilbert space. In the domain Ω ∈ ℝ consider Showalter–Sidorov (4) condition for
the Sobolev type equation [2]
̇( ) = ( ) ( ) + ( ). (4)
Here ∈ ℒ( ; ), ∈ ℓ( ; ), scalar function : ℝ → ℝ , function : ℝ → (Ω) is a control func-
tion.
Theorem 2. Let the operator be ( , )-bounded, ∈ {0} ∪ ℕ, then for every ∈ ,
∈ ([0, ); ℝ ) ([0, ) ⊂ ℝ , < +∞) there exists a unique solution ∈ ( ) of the problem
(3), (4) of the form
( ) = ∫ ( )
+ ∫ ∫ ( )
( ) + ∑ ( − )
( )
( )
( )
, (5)
where the expression ( )
in the last component is consistent application of the operator times.
The proof of this theorem in a more general case is given in [7].
Let us consider the optimal control problem. Separate in space ( ) closed and convex subset
( ) = is the set of admissible controls.
Definition 3. Vector function is optimal control of the solutions of problem (3), (4) with func-
tional (2), if
( ) = min ∈ ( ), (6)
where ∈ ( ), constructed from ∈ , is the solution of problem (1), (3).
Theorem 3. Let operator be ( , )-bounded, ∈ {0} ∪ ℕ, function ∈ (ℝ ;ℝ ) is sepa-
rated from zero. Then for every ∈ there exists unique optimal control ∈ for problems (3), (4),
(6) with functional (2).
Theorem 3 follows from the form of the solution (5). For details, see [7].
The first results of the optimal control for linear Sobolev type equation can be found in [2].
The optimal control problem for non-linear Sobolev type equation is considered in the monograph [8].
Also recently the optimal control over solutions of the Sobolev type equations considered for various
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
7. Задача оптимального управления решениями
нестационарной модели Баренблатта – Желтова – Кочиной
2014, том 14, № 2
7
models [9, 10]. As for the non-stationary Sobolev type equations for equation (4) in the case of relatively
p-sectorial [2] is considered in work [7], and in a more general setting, where the operator M is an ope-
rator-valued function of the variable t, the optimal control problem is considered in [11].
Following [12] let’s describe the approximate solution of the problem of the optimal measurement.
Replace the control space for finite-dimensional space = (ℝ ) vector-polynomials of the form
= ( ), where
= col ∑ , ∑ , … , ∑ , … .
Counting the form (5), it is necessary that > . Substituting instead in (2), (5) and considering the
optimal control problem = min ∈ let’s obtain the solution ( , ), where = ( , ).
2. Barenblatt – Zheltov – Kochin model
Let consider Barenvlatt – Zheltov – Kochin equation [1]
( − Δ) = Δ + , (7)
which simulates the dynamics of the fluid pressure filters in fractured porous medium Furthermore,
equation (7) describes flow of the second-order fluid [13], process of moisture transfer in the soil [15]
and other.
In equation ∈ ℝ is a real parameter characterizes the environment; can take negative values [2].
In the Barenvlatt – Zheltov – Kochin model (7) parameter is composite parameter value [1], depending
on the fluid properties and fluid permeability of the system and corresponds to cracks and porosity and
compressibility of blocks. Its value is determined by the formula
=
( )
,
where is the dimensionless characteristic fractured medium, is the liquid viscosity, is porosity
value blocks at standard pressure, is compressibility coefficient of blocks, is compressibility coeffi-
cient of liquid [1]. To improve the adequacy of the model to real physical processes, coefficient and
advisable to take time-dependent and consider this parameter as a time dependent scalar function
: ℝ → ℝ .
For the reduction of (1) to the Sobolev type equation (4) let’s take a bounded domain Ω ∈ ℝ with
boundary Ω of class . Let find the function = ( , , ), defined in the cylinder Ω × ℝ satisfying
the equation (1), the initial condition (3) and the boundary condition
( , ) = 0, ∈ Ω. (8)
In this case problems (3), (8) for equation (1) are reduced to the abstract problem (3) for the equa-
tion (4), taking as Sobolev spaces , , where
= { ∈ (Ω): ( ) = 0, ∈ Ω}, = (Ω), 1 < < ∞, = 0, 1,... (9)
Then the operators take the form
= − ∆: → , = ∆: → . (10)
Lemma 1. [2] Let the spaces , is defined in (9), the operators , is defined in (10). Then ope-
rator is ( , 0)-bounded.
In condition lemma 1 the existence theorem of solution for the Barenblatt – Zheltov – Cochin equa-
tion is fair.
Theorem 4. Operator is ( , 0)-bounded, λ ∈ ℝ, ∈ (ℝ ;ℝ ), ∈ ( ). Then there exists
a unique solution the problems (3), (8) for equation (1) represented by the form
( ) = ∑
∫ ( )
( , )∈ℕ: + ∑ ∫
∫ ( )
∈ℕ:
( ( ), )
−
− ( )
∑ ( , )∈ℕ: . (11)
Here { } and { } are the set of orthon set of orthonormal eigenfunctions and the corresponding eigen-
values of the Dirichlet problem for the Laplace operator in Ω, indexed descending eigenvalues with mul-
tiplicities. Here accounting the possibility of getting the parameter in the relative L-spectrum of the
operator , where = .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
8. М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
8
3. Numerical experiment
Based on the obtained results numerical method for solving optimal control problem has been de-
signed for non-stationary model Barenblatt-Zheltov-Kochina in some domain.
Let consider the basic steps of an algorithm for finding the optimal control problem solutions.
Step 1. Input parameters , ( ), the boundary condition ( , ) = 0, ∈ Ω, initial condition of
problem and planned state system .
Step 2. Generation type component of optimal control in the form of a polynomial
( ) = col ∑ , ∑ , … , ∑ , … .
Step 3. Computation of the solution of the problem Showalter-Sidorova (3) for the equation (1) with
the condition (8) in the form
( ) =
∫ ( )
( , )
∈ℕ:
+
∫ ( )
∈ℕ:
( ),
−
−
− ( )
∑ ,∈ℕ: .
Step 4. Building the functional
= ∑ ∫ ( )
( ) −
( )
( )
ℨ
+ ∫ 〈 ( )
( )
, ( )
( )
〉
and closed convex subset of admissible controls ( )
ℨ
< 1.
Step 5. On the subset of admissible controls with built-in procedure for finding extrema of functions
of several variables in a system of 14 Maple calculated minimum of the functional .
Let consider an example illustrating the results obtained above. Required to find the solution (1),
(3), (8) for the following parameters. Let = 2, = 4. Domain Ω = {( , ) ∈ ℝ :0 ≤ ≤ 1,0 ≤
≤ ≤ 1} ⊂ ℝ . The initial condition is given in the form
(0, , ) = sin( ) sin( ) + sin(2 ) sin( ) +
+sin( ) sin(2 ) + sin(2 ) sin(2 ).
Planned state at the final time has the form (fig. 1)
( , , ) = ( + 1)(sin( ) sin( ) + sin(2 ) sin( ) +
+ sin( ) sin(2 ) + sin(2 ) sin(2 )).
Fig. 1. Required state at the final time
The function ( ) = , parameter = −5 (coincides with a second eigenvalue), = 1. Substi-
tuting these parameters in (11) and solving the optimal control problem (6) with the functional (2) let
find the function .
The resulting solution of the problem of optimal control in the final time is shown in fig. 2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
9. Задача оптимального управления решениями
нестационарной модели Баренблатта – Желтова – Кочиной
2014, том 14, № 2
9
Fig. 2. Solution of the optimal control problem at the final time
Fig. 3 shows graphs of solutions of optimal control (solid line) and the planned state (dashed line).
As seen from the results obtained by routine monitoring and close decision in the integral sense.
Fig. 3. Required observation and solution
of the optimal control problem at the final time
References
1. Barenblatt G.I., Zheltov Yu.P., Cochin I.N. Basic Concepts in the Theory of Seepage of Homo-
geneous Fluids in Fissurized Rocks. J. Applied Mathematics and Mechanics (PMM), 1960, vol. 24, no 4.
pp. 1268–1303.
2. Sviridyuk G.A., Fedorov V.E. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of
Operator. Utrecht; Boston, VSP, 2003. 216 p.
3. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. [Nonclassical Mathematical Physics Models]. Bulletin of the
South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software, 2012,
no. 40 (229). pp. 7–18. (in Russ.)
4. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Uravneniya i sistemy, ne razreshennye otnositel'no starshey
proizvodnoy [Equations and Systems that are not allowed for the highest derivative]. Novosibirsk,
House of Science Book, 1998. 438 p.
5. Sidorov N., Loginov B., Sinithyn A. and Falaleev M. Lyapunov – Shmidt Methods in Nonlinear
Analysis and Applications. Dordrecht; Boston; London, Kluwer Academic Publishers, 2002. 548 p.
6. Sviridyuk G.A., Zagrebina S.A. [The Showalter–Sidorov Problem as a Phenomena of Sobolev Type
Equations]. News of Irkutsk State University. Ser. Mathematics, 2010, vol. 3, no. 1, pp. 104–125. (in Russ.)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
10. М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
10
7. Sagadeeva M.A., Badoyan A.D. [The Optimal Control over Solutions of Special Form of Non-
stacionary Sobolev Type Equations in Relatively Spectral Case]. Bulletin of Magnitogorsk State Univer-
suty. Mathematics, 2013, iss. 15, pp. 68–80. (in Russ.)
8. Manakova N.A. Zadachi optimal'nogo upravleniya dlya polulineynykh uravneniy sobolevskogo
tipa [Optimal Control Problem for Semilinear Sobolev Type Equations]. Chelyabinsk, South Ural St.
Univ. Publ., 2012. 88 p.
9. Zamyshlyaeva A.A., Tsyplenkova O.N. [Optimal control of solutions of the Showalter-Sidorov-
Dirichlet problem for the Boussinesq-Love equation]. Differential Equation, 2013, vol. 49, no. 11,
pp. 1356–1365. DOI: 10.1134/S0012266113110049. (in Russ.)
10. Manakova N.A., Dyl’kov A.G. [Optimal Control of the Solutions of the Initial-Finish Hoff
Model]. Mathematical Notes, 2013, vol. 94, no. 1-2, pp. 220-230. DOI: 10.1134/S0001434613070225.
(in Russ.)
11. Sagadeeva M.A. [Problems of Optimal and Hard Control over Solution for One Class of Non-
stationar Linear Sobolev Type Equations]. Mathematical Notes of YSU, 2013, vol. 20, no. 2, pp. 170–
179. (in Russ.)
12. Keller A.V., Sagadeeva M.A. [The Numerical Solution of Optimal and Hard Control for Non-
stationary System of Leontiev Type]. Belgorod State University Scientific Bulletin. Mathematics &
Physics, 2013, vol. 32, no. 19, pp. 57–66. (in Russ.)
13. Chen P.J., Gurtin M.E. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures. Z. An-
gew. Math. Phys., 1968, vol. 19, pp. 614–627.
14. Hallaire M. On a Theory of Moisture-transfer. Inst. Rech. Agronom, 1964, no. 3, pp. 62–72.
Received 13 February 2014
Bulletin of the South Ural State University
Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2014, vol. 14, no. 2, pp. 5–11
УДК 517.93
ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
РЕШЕНИЯМИ НЕСТАЦИОНАРНОЙ МОДЕЛИ
БАРЕНБЛАТТА – ЖЕЛТОВА – КОЧИНОЙ
М.А. Сагадеева, А.Д. Бадоян
В статье рассматривается задача оптимального управления решениями задачи
Шоуолтера – Сидорова для нестационарного уравнения Баренблатта – Желтова –
Кочиной. В работе представлен алгоритм численного решения задачи оптимального
управления. В заключительной части приводится вычисленный эксперимент для
нестационарного уравнения Баренблатта – Желтова – Кочиной, рассмотренной на
прямоугольнике.
Ключевые слова: нестационарные уравнения соболевского типа, задача опти-
мального управления, задача Шоуолтера – Сидорова, модель Баренблатта – Жел-
това – Кочиной.
Литература
1. Баренблатт, Г.И. Об основных представлениях теории фильтрации в трещиноватых
средах / Г.И. Баренблатт, Ю.П. Желтов, И.Н. Кочина // Прикладная математика и механика. –
1960. – Т. 24, № 5. – С. 852–864.
2. Sviridyuk, G.A. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operator / G.A. Svi-
ridyuk, V.E. Fedorov. – Utrecht, Boston: VSP, 2003. – 216 p.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
11. Задача оптимального управления решениями
нестационарной модели Баренблатта – Желтова – Кочиной
2014, том 14, № 2
11
3. Свиридюк, Г.А. Неклассические модели математической физики / Г.А. Свиридюк, С.А. За-
гребина // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математическое моделирование и программирование». –
2012. – № 40 (229). – С. 7–18.
4. Демиденко, Г.В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производ-
ной / Г.В. Демиденко, С.В. Успенский. – Новосибирск: Изд-во «Научная книга», 1998. – 438 c.
5. Lyapunov – Shmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov,
A. Sinithyn, M. Falaleev. – Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, 2002. – 548 p.
6. Свиридюк, Г.А. Задача Шоуолтера – Сидорова как феномен уравнений соболевского типа /
Г.А. Свиридюк, С.А. Загребина // Известия Иркутстк. гос. ун-та. Серия «Математика». – 2010. –
Т. 3, № 1. – С. 104–125.
7. Сагадеева, М.А. Оптимальное управление решениями нестационарных уравнений соболев-
ского типа специального вида в относительно секториальном случае / М.А. Сагадеева, А.Д. Ба-
доян // Вестник МаГУ. Математика. – 2013. – Вып. 15. – С. 68–80.
8. Манакова, Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевско-
го типа / Н.А. Манакова. – Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ, 2012. – 88 с.
9. Замышляева, А.А. Оптимальное управление решениями задачи Шоуолтера – Сидорова–
Дирихле для уравнения Буссинеска – Лява / А.А. Замышляева, О.Н. Цыпленкова // Дифференциаль-
ные уравнения. – 2013. – Т. 49, № 11. – С. 1390–1399. DOI: 10.1134/S0374064113110046.
10. Манакова, Н.А. Оптимальное управление решениями начально-конечной задачи для ли-
нейной модели Хоффа / Н.А. Манакова, А.Г. Дыльков // Математические заметки. – 2013. –
Т. 97, № 2. – С. 225–236. DOI: 10.4213/mzm9283.
11. Сагадеева, М.А. Задачи оптимального и жесткого управления решениями одного класса
нестационарных уравнений соболевского типа / М.А. Сагадеева // Математические заметки
ЯГУ. – 2013. – Т. 20, № 2 – С.170–179.
12. Келлер, А.В. Численное решение задач оптимального и жесткого управления для одной
нестационарной системы леонтьевского типа / А.В. Келлер, М.А. Сагадеева // Научные ведомо-
сти БелГУ. Серия «Математика и физика». – 2013. – Т. 32, № 19. – C. 57–66.
13. Chen, P.J. On a Theory of Heat Conduction Involving Two Temperatures / P.J. Chen,
M.E. Gurtin // Z. Angew. Math. Phys. – 1968. – Vol. 19. – P. 614–627.
14. Hallaire, M. On a Theory of Moisture-transfer / M. Hallaire // Inst. Rech. Agronom. – 1964. –
№ 3. – P. 62–72.
Сагадеева Минзиля Алмасовна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры информационно-
измерительной техники, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск);
sagadeeva_ma@mail.ru.
Бадоян Ани Давидовна, магистрант кафедры уравнений математической физики, Южно-
Уральский государственный университет (г. Челябинск); badoyanani@mail.ru.
Поступила в редакцию 13 февраля 2014 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
12. Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
12
Введение
Как известно [1], многие физические свойства кристаллов определяет «тонкая структура» их
энергетических спектров. Так как энергетические спектры кристаллов недоступны прямому из-
мерению, то для их косвенного определения используют экспериментальные данные о теплоем-
кости. Связь фононного спектра кристалла с его теплоемкостью, зависящей от температуры, опи-
сывается интегральным уравнением первого рода [1]. Поскольку задача численного решения та-
кого уравнения сильно неустойчива, то это осложняет определение «тонкой структуры» фонон-
ного спектра кристалла. Как следует из работы [2], применение известных методов регуляриза-
ции заглаживает «тонкую структуру» энергетического спектра кристалла. В настоящей работе
предложена двойная регуляризация, позволяющая получить равномерное приближение фононно-
го кристалла, а также оценку погрешности этого приближения.
1. Постановка задачи
Связь энергетического спектра бозе-системы с ее теплоемкостью, зависящей от температуры,
описывается интегральным уравнением первого рода
0
( )
( ) ( ) ; 0 ,
d C
Sn S n
(1)
где
2
2
( )
2
2
x
S x
x
sh
; ( )C – теплоемкость системы; kT ; T – абсолютная температура;
k – константа, определяемая системой, а ( )n – спектральная плотность [1].
Обозначим через H действительное пространство измеримых на [0, ) функций ( )f x с
нормой, определяемой формулой
2 2
0
( ) ( ) .H
dx
f x f x
x
(2)
УДК 517.948
О НЕКОТОРЫХ ПРОБЛЕМАХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИИ
В ФИЗИКЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА
В.П. Танана, А.И. Сидикова
При математическом моделировании многих процессов и явлений, происходя-
щих в природе и обществе, приходится сталкиваться с задачами, не удовлетворяю-
щими условиям корректности Адамара. Основной трудностью решения таких задач
является то, что их математическая модель и метод должны быть увязаны друг с
другом. Задачи, не удовлетворяющие условиям корректности, получили название
некорректно поставленными и основы теории моделирования и решения таких за-
дач были заложены в трудах академиков А.Н. Тихонова, М.М. Лаврентьева и член-
корр. РАН В.К. Иванова.
Настоящая статья посвящена исследованию и решению обратной задачи физи-
ки твердого тела. Данная задача является некорректной. При оценке погрешности
методов решения некорректно поставленных задач приходится сталкиваться с
трудностью, связанной с неопределенностью точного решения, поэтому необходи-
ма разработка новых эффективных методов решения обратных задач физики твер-
дого тела, оценки их эффективности и разработки на их основе программ для чис-
ленного решения соответствующих задач. В статье рассматривается двойная регу-
ляризация, позволяющая получить равномерное приближение фононного кристал-
ла, а также оценку погрешности этого приближения.
Ключевые слова: регуляризация, интегральное уравнение, оценка погрешности,
некорректная задача.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
13. О некоторых проблемах преобразования информации
в физике твердого тела
2014, том 14, № 2
13
Предложим, что при 0 ( )( ) CC
H
существует точное решение 0( ) [0, )n H C
уравнения (1), которое единственно и удовлетворяет соотношению 0 ( ) ,rn G где
2
2 2
0 0
( )
( ) : ( ) , [ '( )] ,r
n
G n n H d n d r
(3)
а число r предполагается известным, '( )n обобщенная производная Соболева от функции ( ),n
но вместо точного значения правой части 0 ( )C
уравнения (1) известны некоторое приближение
( )C
H
и уровень погрешности 0 такие, что
0( ) ( )
,
H
C C
(4)
где H определено в (2).
Кроме того, предположим, что существует число 0 0 такое, что для любого 0
0 ( ) 0.n (5)
Требуется по исходным данным 0, ,r и
( )
,
C
удовлетворяющим соотношениям (3)–(5),
определить приближенное решение 0( ) [0; ]n C уравнения (1) и оценить его уклонение от
точного решения в метрике
0
0
0;
max ( ) ( ) .n n
(6)
2. Метод регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка
Метод регуляризации А.Н. Тихонова первого порядка [3] заключается в сведении уравне-
ния (1) к вариационной задаче
2
2 2 1
0 0 0 0
inf ( ) [ '( )] ( ) : ( ) [0, ] ,
Cd d d
S n n d n n H
(7)
где 1
[0, ]H гильбертово пространство, определяемое нормой
1
2 2 2
[0, )
0 0
( ) [ '( )] ( ) , 0.H
d
n n d n
В [3] доказано, что для любых значений
( )C
H
и 0 существует единственное решение
( )n
вариационной задачи (7).
Для определения параметра в задаче (7) используем принцип невязки [4], который сводит-
ся к решению уравнения
2
2
0
( )
( )
Cd d
S n
(8)
относительно .
В работе [4] доказано, что при выполнении условия
2
0
( )C d
уравнение (8) имеет единственное решение ( , ),C а в [5], что при выполнении условия 4 r
справедлива оценка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
14. В.П. Танана, А.И. Сидикова
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
14
1
22
( , )
0
20
2
2
( ) ( ) .
1
1 ln
4
C d r
n n
r
(9)
Из (5) и (9) следует, что
0 22
( , )
0
2
0
2
4
( ) ( ) .
1
1 ln
4
C d r
n n
r
(10)
В решениях 0 ( )n и
( , )
( )C
n
сделаем замену переменных, обозначив через x величину
0 ,
0 0 0( ) ,v x n (11)
( , )
0( ) .C
v x n
(12)
Из (10)–(12) следует, что
1 2
2
0
2
0
2
4
( ) ( ) .
1
1 ln
4
dx r
v x v x
rx
(13)
Так как
1 1
2 2
0 0
0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ,
dx
x v x x v x dx v x v x
x
то из (13) следует, что
1 22
0
2
0
2
4
( ) ( ) .
1
1 ln
4
r
x v x x v x dx
r
(14)
При этом условии (3) перейдет в следующее
1 12
' 2 20
0
0 0
( )
[ ( )] .
v x
dx v x xdx r
x
(15)
Теперь оценим норму 1
2
0 ( )
W
xv x в пространстве 1
2 [0,1]W функции 0 ( ).x v x
1
2
21 1
'2 2
0 0 0
0 0
( ) ( ) ( )
W
x v x xv x dx x v x dx
1 1 1 12 22 ' '0
0 0 0 0
0 0 0 0
( )1
( ) ( ) ( ) ( ) .
4
v x
xv x dx v x v x dx v x xdx
x
(16)
Из неравенства Коши – Буняковского следует, что
1 1 12 2' '0
0 0 0
0 0 0
( )1 1
( ) ( ) ( ) .
8 2
v x
v x v x dx dx v x xdx
x
(17)
Из (16) и (17) следует, что
1
2
1 1 12 22 2 '0
0 0 0
0 0 0
( )3 3
( ) ( ) ( ) .
8 2W
v x
xv x xv x dx dx v x xdx
x
(18)
Так как
1 1 2
2 0
0
0 0
( )
( ) ,
v x
xv x dx dx
x
то из (18) следует, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
15. О некоторых проблемах преобразования информации
в физике твердого тела
2014, том 14, № 2
15
1
2
1 12 22 '0
0 0
0 0
( )3 3
( ) ( ) ,
2 2W
v x
x v x dx v x xdx
x
(19)
а из (15) и (19), что
1
2
2 2
0
3
( ) .
2W
x v x r (20)
3. Решение задачи восстановления непрерывной функции,
заданной со среднеквадратичной погрешностью
Из (14) и (20) следует, что нашу задачу свели к известной задаче восстановления непрерыв-
ной функции, заданной с погрешностью в пространстве 2[0,1].L
В дальнейшем введём обозначения
1
2
3 2
( ) ( ); [0,1], , .
2 1
1 ln
4
r
u x x v x x r r
r
Предположим, что неизвестная функция 0 ( ) [0,1]u x C и удовлетворяет условию
1 1
2 ' 2 2
0 0 1
0 0
( ) [ ( )]u x dx u x dx r (21)
и известна функция 2( ) [0,1]g x L и уровень погрешности такие, что
2
0( ) ( ) .
L
g x u x (22)
Требуется по исходным данным ,g и 1,r удовлетворяющим (21) и (22), определить функ-
цию ( ) [0,1]u x C и оценить величину уклонения 0( ) ( ) .
C
u x u x
Для решения данной задачи используем метод усредняющих функций, описанный в [6].
Рассмотрим усредняющую функцию
2
1
11
, 1;
( )
0, 1,
y
e y
y
y
(23)
где
2
1
1
1
1
.y
e dy
По функции ( ),y определенной (23), для любого 0h зададим функцию
1
( ) , .h
y
y y R
h h
Теперь, используя функцию ( )h y , определим регуляризующее семейство : 0hP h линей-
ных ограниченных операторов, отображающих пространство 2[0,1]L в [0,1]C
1
2
0
( ) ( ) ( ) ; ( ) [0,1].h hP g y g y x y dy u y L
В одной из лемм, доказанных в [6, с. 47], следует, что для любого 0h
1
.hP
h
Обозначим через 1rM множество из пространства [0,1]C и определяемое формулой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
16. В.П. Танана, А.И. Сидикова
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
16
1
1 1
1 2 2 2
2 1
0 0
( ) : ( ) [0,1], ( ) [ '( )] ,rM u x u x W u x dx u x dx r
а через 0 ( )h
u x – функцию, определяемую формулой
0 0( ) ( ).h
hu x P u x
В [6, с. 67] доказано, что
0 0 1
[0,1]
( ) ( ) .h
C
u x u x r h
Окончательно, в качестве приближенного значения ( )u x восстанавливаемой функции
0 ( )u x возьмем функцию
( )( ) ( ),hu x P g x
в которой h определено формулой
1
( ) .h
r
(24)
Учитывая, что
( )
0 0 ( )0[0,1]
( ) ( ) ( ) ( ) ,h
hC
u x u x u x u x P
где ( )h определено формулой (24), получим
1
0 1 2[0,1]
( ) ( ) 2 .
C
r
u x u x
(25)
Теперь, сделав замены, обратные (11) и (12), мы получим решение ( )n уравнения (1)
0 0
( ) .
u
n
(26)
Тогда из (6), (25) и (26) следует, что
0
1
42
0 21 2[0, ]
0
2 1
max ( ) ( ) 1 ln .
4
r
n n
Литература
1. Лифшиц, И.М. Об определении энергетического спектра бозе-системы по ее теплоемко-
сти / И.М. Лифшиц // ЖЭТФ. –1954. – Т. 26, № 5. – С. 551–556.
2. Определение фононного спектра кристалла по теплоемкости / В.И. Иверонова, А.Н. Тихо-
нов, П.Н. Заикин, А.П. Звягина // ФТТ. –1966. – Т. 8, № 12. – С. 3459–3462.
3. Тихонов, А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации /
А.Н. Тихонов. – Докл. АН СССР. – 1963. – Т. 151, № 3. – С. 501–504.
4. Морозов, В.А. О регуляризации некорректно поставленных задач и выборе параметра ре-
гуляризации / В.А. Морозов // Журн. вычислит. мат. и мат. физ. – 1966. – Т. 6, № 1. – С. 170–175.
5. Танана, В.П. Об оценке погрешности приближенного решения одной обратной задачи фи-
зики твердого тела / В.П. Танана, А.А. Ерыгина // Вестник ЮУрГУ. Сер. «Математика. Меха-
ника. Физика». – 2013. – Т. 5, № 2. – С. 72–77.
6. Танана, В.П. Оптимальные методы решения некорректно поставленных задач: учеб. по-
собие / В.П. Танана, А.И. Сидикова. – Челябинск: ЮУрГУ, 2012. – 162 с.
Танана Виталий Павлович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой вычисли-
тельной математики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); tvpa@susu.ac.ru.
Сидикова Анна Ивановна, канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры вычислительной матема-
тики, Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск); 7413604@mail.ru.
Поступила в редакцию 25 декабря 2013 г.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
17. О некоторых проблемах преобразования информации
в физике твердого тела
2014, том 14, № 2
17
Bulletin of the South Ural State University
Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2014, vol. 14, no. 2, pp. 12–17
ABOUT SOME PROBLEMS THE TRANSFORMATION
OF INFORMATION IN SOLID STATE PHYSICS
V.P. Tanana, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
tvpa@susu.ac.ru,
A.I. Sidikova, South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation,
7413604@mail.ru
At the mathematical modeling there are many problems, which do not satisfy the Ha-
damar’s conditions. The main difficulty in solving such problems is that mathematical
model and method must be linked to one another. They got the name are ill-posed prob-
lems. The bases for the solution of such tasks were laid down in the works of academi-
cians A.N. Tikhonov, M.M. Lavrentiev, corresponding member V.K. Ivanov.
This article is devoted to the study and solution of the inverse problem of solid state
physics. The task is incorrect. When the error evaluation methods of the solution of ill-
posed problem is necessary, we have a difficulty associated with the uncertainly of the ex-
act solution. Therefore, to develop new effective methods of solution of inverse problems
of solid state physics, assess their effectiveness and development of programs for numeri-
cal solution of this tasks are necessary. This paper describes double regularization , which
allows to obtain uniform approximation of phonon crystal and estimate the error of this
approximation.
Keywords: regularization, integral equation, evaluation of inaccuracy, ill-posed
problem.
References
1. Lifshits I.M. [About the Determination of the Energy Spectrum of the Bose System for its Ther-
mal Capacity]. Journal of Experimental and Theoretical Physics, 1954, vol. 26, iss. 5, pp. 551–556.
(in Russ.)
2. Iveronova V.I., Tikhonov A.N., Zaikin P.N., Zvyagina A.P. [Definition of the Phonon Spectrum
of the Crystal Heat Capacity ]. Journal of Solid State Physics, 1966, vol. 8, no. 12, pp. 3459–3462.
(in Russ.)
3. Tikhonov A.N. [Solving Ill-posed Problems and Regularization Method]. Doklady of Science
Academy, 1963, vol. 151, no. 3, pp. 501–504. (in Russ.)
4. Morozov V.A. [On Regularization of Ill-posed Problems and Choosing the Regularization Para-
meter]. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 1966, vol. 6, no. 1, pp. 170–175.
(in Russ.)
5. Tanana V.P., Erygina A.A. [About the Evaluation of Inaccuracy of Approximate Solution of the
Inverse Problem of Solid State Physics]. Bulletin of the South-Ural State University. Ser. Mathematics,
Mechanics, Physics, 2013, vol. 5, no. 2, pp. 72–77. (in Russ.)
6. Tanana V.P., Sidikova A.I. Optimalnie metodi resheniya necorrectno postavlennikh zadach
[Optimal Methods for Solving Ill-posed Problems]. Chelyabinsk, South Ural St. Univ., 2012. 162 p.
Received 25 December 2013
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
18. Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
18
Введение
Исследованию движения многозвенных механизмов посвящено большое количество литера-
туры. Весьма актуальна задача компьютерного управления поведением механических объектов.
Если рассматривать эти объекты и управляющий ими компьютер как единое целое, то эту задачу
можно сформулировать как попытку создания объекта, способного самостоятельно управлять
своими действиями.
Настоящая статья посвящена задаче управления перевернутым маятником на колесе: требуется
привести маятник в верхнее неустойчивое положение и стабилизировать в этом положении для
произвольных начальных условий при ограниченном управлении на базе нечеткой логики [1–3].
За основу работы была взята статья [4], в которой рассматривается механика движения маятника на
колесе. Исходя из уравнений движения были получены нечеткие правила для управления системой.
1. Уравнения движения
Рассматриваемая конструкция маятника на колесе изо-
браженный на рис. 1. Она состоит из колеса, свободно дви-
гающегося по прямой, и маятника в виде стержня. Маятник
относительно колеса может приводиться во вращение
управляемым электродвигателем. Управление движением
маятника осуществляется за счет изменения направления и
скорости вращения приводного двигателя под действием
управляющего напряжения питания в цепи якоря. Это
управление задается в соответствии с поступающими от
компьютера командами и ограничено по модулю. Управ-
ляющий момент, приложенный между колесом и звеном
маятника, не зависит от положения колеса и его скорости и
ограничен по абсолютной величине. При этом из математи-
ческой модели системы можно выделить уравнения, опи-
сывающие только движение маятника. В статье [4] по-
строено в виде обратной связи управление маятником,
обеспечивающее глобальную стабилизацию его верхнего неустойчивого положения равновесия.
Рис. 1. Маятник на колесе
УДК 004.942
СТАБИЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА
С ОСНОВАНИЕМ НА КОЛЕСЕ С ПОМОЩЬЮ
НЕЧЕТКОГО АЛГОРИТМА УПРАВЛЕНИЯ
В.И. Ухоботов, В.С. Величко
Излагается задача стабилизации верхнего положения равновесия перевернуто-
го однозвенного маятника на колесе. Маятник расположен на горизонтальной плос-
кости и на него действуют внешние силы. Исследуется механика движения маятни-
ка на колесе. Строится математическая модель. Производится вывод уравнений
движения системы. Приводятся используемые методы обработки нечетких правил.
Рассматривается задача о компьютерном моделировании механизма с помощью па-
кета программ моделирования физических законов. Описывается итоговая про-
грамма, которая производит построение визуализации механизма, позволяет изме-
нять начальные параметры системы, предоставляет возможность интерактивно соз-
давать и изменять внешние возмущения. Исследуется задача управления моделью с
помощью системы нечетких правил. Приводится использованная система правил,
позволяющая стабилизировать верхнее неустойчивое положение маятника. Произ-
водится анализ полученной системы управления модели. Рассматривается особый
случай поведения механизма, в котором система схожа с моделью руки человека,
вертикально поднятой вверх.
Ключевые слова: перевернутый маятник, нечеткая логика, равновесие.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
19. Стабилизация математического маятника с основанием на колесе
с помощью нечеткого алгоритма управления
2014, том 14, № 2
19
Уравнение движения маятника на колесе имеет следующий вид [4]:
2 2 2 2 2
, (1 cos ) sin cos sin (1 cos )d d e u . (1)
Здесь
2
2 1 1 1
2
0 0 1
( / )
[1 ( / ) ]
m b r
d
m r R m
; e2
= d2
(r1 / R); m0 – масса колеса; m1 – масса маятника; M – мо-
мент; β – угол отклонения маятника; ω – угловое ускорение. Наличие члена e2
cosβ в правой части
второго уравнения (1) связано с тем, что момент M прикладывается не только к маятнику, но и к
колесу, вызывая ускорение точки O, которое, в свою очередь, влияет на движение маятника.
В диапазоне –π/2 < β < π/2 это ускорение направлено в одну сторону, а в диапазоне π/2 < β < 3π/2
при этом же значении u – в другую сторону. Следовательно, член e2
cosβ при π/2 < β < π/2 усили-
вает влияние управления, а при π/2 < β < 3π/2 ослабляет.
Интеграл энергии системы имеет вид E = [(1 – d 2
cos2
β)ω2
+ cosβ] / 2 = const. Полная произ-
водная энергии по времени
E' = (1 – e2
cos2
β)ωu). (2)
Производная (2) максимальна при управлении [4]
u = u0sign[(1 + e2
cos2
β)ω]. (3)
Если e2
< 1, то знак управляющего воздействия u определяется только знаком скорости ω. Если же
e2
> 1, то управление u меняет знак «около» положения β = π, независимо от знака скорости ω.
При управлении (3) энергия E монотонно возрастает и в некоторый момент времени стано-
вится равной единице. При u = 0 после этого момента система будет стремиться к β = 0, 2π; ω = 0.
2. Физическое моделирование
2.1. Среда моделирования
Графическая и физическая модели построены при помощи библиотеки Box2D 2.0 [5]. Это
библиотека физического моделирования и визуализации с реализациями на наиболее распро-
страненных языках программирования с открытым исходным кодом. С ее помощью программи-
рование двумерной графики становится более простым и быстрым. Эта библиотека промышлен-
ного качества, предназначенная для использования в интерактивных симуляторах, а также симу-
ляторах реального времени, хорошо подходит для моделирования шарнирно связанных твердых
тел. Например, она хорошо подходит для транспортных средств (у которых колеса соединены с
подвеской), существ с ногами и движущихся объектов в виртуальном пространстве. Она быстра,
гибка и проста. Встроенная система обнаружения столкновений позволяет моделировать взаимо-
действие тел при их столкновении. В Box2D также реализована симуляция сухого трения между
телами.
При выводе уравнения движения (1) в работе [4] не допускается проскальзывание колеса от-
носительно поверхности. При создании среды для физического моделирования допускается такое
проскальзывание. Это сделано для большей правдоподобности физического процесса и увеличе-
ния нечеткости в характере модели.
2.2. Создание компьютерной модели
В качестве среды программирования использована Embarcadero Delphi XE2. Для Delphi су-
ществует реализация библиотеки Box2D.
В целях упрощения анализа поведения модель была взята максимально простой. Однако,
чтобы сохранялись все основные свойства ее поведения, модель должна оставаться похожей на
реальную.
Для каждого элемента модели создается объект с заданными габаритами, массой, степенями
свободы и т. п. На каждом шаге моделирования для каждой пары объектов обрабатываются
столкновения и силы взаимодействия.
3. Обработка нечетких правил
При построении нечеткой системы управления для каждой физической переменной были оп-
ределены соответствующие лингвистические переменные с выбранными именами. Для каждой
переменной были взяты пять термов: verynegative, negative, zero, positive, verypositive (очень от-
рицательно, отрицательно, ноль, положительно, очень положительно соответственно).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
20. В.И. Ухоботов, В.С. Величко
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
20
Графический вид этих переменных может отличаться лишь смещением узлов в зависимости
от параметров конкретного маятника (рис. 2).
Рис. 2. Общий графический вид термов переменных
При этом количество правил получается равным 52
= 25 (количество всевозможных комби-
наций всех термов всех входных переменных). Нечеткие правила и функции принадлежности
составлены в системе FuzzyTECH 5.54 [6].
При фаззификации используется стандартный метод фаззификации (Compute MBF). Он
предполагает использование функций принадлежности стандартного типа – треугольных, трапе-
циевидных и кусочно-линейных кривых.
Для агрегирования подусловий правил нечетких продукций было применено правило мини-
мума ''
{1, 2, ..., }
min { ( )}k i
i m
b a
.
Для композиции заключений правил был использован стандартный (Standart) вариант зада-
ния весовых коэффициентов правил, при котором значение весового коэффициента для каждого
правила предполагается неизменным и равным 1.
Для аккумуляции заключений правил был выбран метод граничной суммы (Bsum), при кото-
ром результат нечеткого вывода в блоке правил определяется как объединение нечетких множеств.
Для дефаззификации выходной переменной u используется стандартный метод (Center_off_
Maximum или сокращенно CoM). В программе fuzzyTECH метод дефаззификации CoM работает
аналогично методу центра тяжести CoG, определяемому по формуле
max
min
max
min
· ( )
( )
x x dx
y
x dx
.
Здесь у – результат дефаззификации; x – переменная, соответствующая выходной лингвистиче-
ской переменной; μ(x) – функция принадлежности нечеткого множества, соответствующего вы-
ходной переменной после этапа аккумуляции; min и max – левая и правая точки интервала носи-
теля нечеткого множества рассматриваемой выходной переменной.
Например, если маятник отклонен на небольшой положительный угол и при этом скорость его
поворота сильно отрицательна, то необходимо «притормозить» маятник управлением u > 0 (u = +),
чтобы он не проскочил верхнее вертикальное положение. Примеры нечетких правил:
IF β = positive AND ω = verynegative THEN u = positive;
IF β = verypositive AND ω = verypositive THEN u = verynegative.
Нечеткие правила можно представить в виде таблицы, в которой положительные и очень по-
ложительные значения переменных обозначены как + и ++, а отрицательные и очень отрицатель-
ные – и – – соответственно. Нулем обозначим значения близкие к нулю.
Нечеткие правила
β ω – – – 0 + + +
– – + + + + + + + 0
– + + + + + 0 –
0 + + 0 – –
+ + 0 – – – – –
+ + 0 – – – – – – –
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
21. Стабилизация математического маятника с основанием на колесе
с помощью нечеткого алгоритма управления
2014, том 14, № 2
21
Те же правила можно представить в виде трехмерной поверхности (рис. 3), где по горизон-
тальным осям расположены входные переменные β и ω, а на вертикальной оси – управление u.
Рис. 3. Представление термов в виде трехмерной поверхности
При программировании используем модуль обработки в реальном времени FTRUN32.DLL из
пакета FuzzyTECH 5.54.
Использование модуля обработки в коде программы на Delphi:
ftrOpen (hinstance, 'BIKE.ftr', hftrTra_c).
Передавая входные параметры системы управления, получаем выходные на каждом шаге
управления (каждые 1–2 мс):
ftrSetShellValue (hftrTrafc, 0, beta);
ftrSetShellValue (hftrTraffc, 1, omega);
ftrGetShellValue (hftrTraffc, 2, u, NoHitFlag).
4. Итоговая программа
При запуске программы на черном фоне виден сам механизм на зеленой плоскости (рис. 4).
В правом верхнем углу располагается панель, с полями для изменения направления и силы тяже-
сти, кнопки сброса системы в исходное состояние, остановки системы и пошагового движения.
На панели также отображается текущее значение управления.
а) б)
Рис. 4. Вид окна программы: a – маятник в спокойном (устойчивом) состоянии;
б – маятник выведен из состояния равновесия
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
22. В.И. Ухоботов, В.С. Величко
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
22
С помощью левой кнопки мыши, можно «хватать» маятник за звено и за колесо для внесения
помех в систему и вывода системы из равновесия.
На поверхности кроме маятника на колесе также расположено круглое тело, «схватив» которое
курсором мыши и ударяя по маятнику, можно вызывать изменения состояния системы (рис. 4, а).
Для удобства просмотра масштабом отображения можно управлять с помощью колеса мы-
ши. Правой кнопкой мыши, хватая за фон, можно перемещать отображаемую область. Если же
маятник вышел за область видимости и его поиск затруднителен, то в любой момент времени
можно нажать кнопку сброса, приводящую систему в исходное состояние.
Для выхода из программы необходимо нажать Escape.
5. Анализ полученной системы управления модели
Без вмешательства пользователя система находится в состоянии покоя, так как маятник на-
ходится в верхнем неустойчивом положении равновесия.
При внесении помех система управления приводит маятник в вертикальное положение.
При попытке задать силу тяжести близкую к нулю, система способна привести маятник в
вертикальное (относительно поверхности) положение.
Особого внимания заслуживает случай, когда курсором мыши можно подвешивать маятник
за колесо, приподнимая над поверхностью и фиксируя точку подвеса (рис. 5, а). Управление
справляется с поставленной задачей, несмотря на то, что система значительно изменяется и сис-
тему можно представить в виде, представленном на рис. 5, б).
а) б)
Рис. 5. Иное представление системы: а – вид окна программы; б – шарнирно соединенные звенья
Система в этом случае будет состоять из двух стержневых звеньев, шарнирно соединенных в
точке B. Один из стержней шарнирно соединен в жестко фиксированной точке A. Такая система
может являться моделью руки человека, вертикально поднятой вверх. Можно рассматривать за-
дачу вертикального удержания «предплечья».
Заключение
В работе построена на основании нечеткой логики система управления маятника на колесе.
Она стабилизирует верхнее неустойчивое положение маятника, при наличии внешних возмущений.
Эта система управления обеспечивает равновесие маятника в широком диапазоне его параметров.
Литература
1. Заде, Л.А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию прибли-
женных решений / Л.А. Заде. – М.: Мир, 1976. – 161 c.
2. Ухоботов, В.И. Избранные главы теории нечетких множеств : учеб. пособие / В.И. Ухо-
ботов. – Челябинск: Изд-во ЧелГУ, 2011. – 245 с.
3. Ухоботов В.И. Моделирование заданного движения пятизвенного механизма / В.С. Велич-
ко, В.И. Ухоботов. – Вестник ЮУрГУ. Сер. «Вычислительная математика и информатика»,
2013. – Т. 2, № 3. – С. 104–110.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
23. Стабилизация математического маятника с основанием на колесе
с помощью нечеткого алгоритма управления
2014, том 14, № 2
23
4. Мартыненко, Ю.Г. Маятник на подвижном основании / Ю.Г. Мартыненко, А.М. Фор-
мальский // Доклады Академии наук, 2011. – Т. 439, № 6. – С. 746–751.
5. Catto, E. Box2D v2.0.2 Руководство / Erin Catto. – http://box2d.ru/page/manual/.
6. Леоненко, А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH / А.В. Леоненко. –
СПб.: БХВ-Петербург, 2005. – 736 с.
Ухоботов Виктор Иванович, д-р физ.-мат. наук, профессор, заведующий кафедрой теории
управления и оптимизации, Челябинский государственный университет (г. Челябинск); ukh@csu.ru.
Величко Владислав Станиславович, аспирант, математик УНЛ методов оптимизации и
моделирования игровых ситуаций кафедры теории управления и оптимизации, Челябинский го-
сударственный университет (г. Челябинск); 124816@list.ru.
Поступила в редакцию 20 января 2014 г.
Bulletin of the South Ural State University
Series “Computer Technologies, Automatic Control, Radio Electronics”
2014, vol. 14, no. 2, pp. 18–23
STABILIZATION OF A MATHEMATICAL PENDULUM
WITH BASE ON WHEEL WITH FUZZY CONTROL ALGORITHM
V.I. Ukhobotov, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, ukh@csu.ru,
V.S. Velichko, Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russian Federation, 124816@list.ru
The article describes the problem of stabilizing upper equilibrium for one section
inverted pendulum on the wheel. The pendulum is located on the horizontal plane, the
external forces act on it. The mechanical motion of the pendulum on the wheel is investi-
gated. The mathematical model is built. Derivation of the equations of motion of the sys-
tem is produced. The paper describes the used methods for the processing of fuzzy rules.
The research considers the problem of computer simulation of the mechanism using
а software package for modeling physics. The final program is described, that visualizes
the mechanism, allows changing the input system parameters, gives an opportunity to
create and vary external perturbations. The problem of control model with а system of
fuzzy rules is presented. The used system of rules is shown; it allows stabilizing the upper
equilibrium of pendulum. The article considers the analysis of the received system for
controlling the model. The special case is studied: system is similar to the model of the
raised up human hand.
Keywords: inverted pendulum, fuzzy logic, equilibrium.
References
1. Zadeh L.A. Ponyatie lingvisticheskoy peremennoy i ego primenenie k prinyatiyu priblizhennykh
resheniy [The Concept of a Linguistic Variable and its Application to Approximate Reasoning]. New
York, American Elsevier Publishing Company, 1973. 161 p.
2. Ukhobotov V.I. Izbrannie glavi teorii nechetkikh mnozhestv [Selected Chapters of the Theory of
Fuzzy Sets]. Chelyabinsk, ChelGU Publ., 2011. 245 p.
3. Uhobotov V.I. [Simulation of the Given Five-section Mechanism]. Bulletin of the South-Ural State
University. Ser. Computational Mathematics and Informatics, 2013, vol. 2, no. 3, pp. 104–110. (in Russ.)
4. Martynenko Y.G. [Pendulum on a Movable Base ]. Reports of the Academy of Sciences, 2011,
vol. 439, no. 6, pp. 746–751. (in Russ.)
5. Catto E. Box2Dv2.0.2 User Manual. Available at: http://box2d.org/manual.html (accessed
20 December 2013).
6. Leonenko A.V. Nechetkoe modelirovanie v srede MATLAB i FuzzyTECH [Fuzzy Simu-lation in
MATLAB and FuzzyTECH Environment]. St. Petersburg, BKhV-Peterburg Publ., 2005. 736 p.
Received 20 January 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
24. Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
24
Зоны излучения для излучателей синусоидальных волн
Анализ зависимости поля от расстояния восходит к работам по дифракции света [1]. Было
введено понятие двух зон для дифрагирующего поля. Зоной Френеля называют зону, располо-
женную от дифрагирующего объекта размером D на расстоянии
2
4D
R . (1)
На больших расстояниях считают, что расположена зона Фраунгофера. Иногда зоны Френеля
и Фраунгофера называют соответственно ближней и дальней зонами дифракции или ближней и
волновой зонами. Позднее эти понятия были перенесены и в процесс излучения электромагнит-
ных волн. Остановимся вначале на математическом аспекте понятия зон излучения для синусои-
дальной зависимости тока от времени [2].
Рассматривается излучающая система, занимающая объем V с током I
. Векторный потенциал
определяется выражением
V
0
z,y,x(I
4
z)y,(x,A dV
r
e
)
ikr , (2)
где r – расстояние между точкой наблюдения p(x, y, z) и точкой интегрирования q(x , y , z ) . Рас-
стояние r представляется в виде
cosRR2)R( 22
Rr , (3)
где r – расстояние между центром системы координат О и точкой р, R – расстояние между точ-
кой О и точкой q, – угол между направлениями Оq и Ор. Для приближения квадратного корня
используется разложение в ряд по степеням R R :
...])2cos1(cos
R2
)R(
)2cos1(
R2
)R(
cos
2
2
2
2
R
R
R[1r . (4)
Область дальней зоны определяют двумя условиями:
1) в знаменателе подынтегрального выражения (2) полагают r = R, и тогда множитель 1/R
выходит из-под интеграла, так как R не изменяется;
2) в показателе экспоненты полагают:
cosRRr ,
т. е. учитывают только два первых члена ряда, и тогда множитель ikR
e
также выходит из-под
знака интеграла.
При сделанных предположениях в расчетах возникают ошибки двух видов – по амплитуде,
которая связана с первым условием, и по фазе, которая связана со вторым. Итак, в данном случае
УДК 621.396.67
АНАЛИЗ ЗАВИСИМОСТИ ИЗЛУЧАЕМОГО
ИМПУЛЬСНОГО ПОЛЯ ОТ РАССТОЯНИЯ
В.В. Крымский, М.Г. Вахитов, М.Ю. Сартасова
В настоящее время повысился интерес к использованию в радиолокации сверх-
коротких видеоимпульсных сигналов. Это приводит к значительным изменениям в
аппаратуре РЛС. Особенно изменяется теория и конструкция антенн.
Рассматриваются вопросы расчета поля излучения антенн, излучающих им-
пульсные поля. Вначале проводится анализ математических и физических принци-
пов, которые описывают поля излучения антенн на разных расстояниях при сину-
соидальных сигналах. Приведены результаты для импульсных полей.
Отмечена новая особенность в поле излучения импульсных сигналов: зависи-
мость формы импульса от направления излучения.
Предлагается новый принцип оценки расстояния до дальней зоны излучения
различных излучателей в виде зоны формирования импульса поля.
Ключевые слова: антенна, поле, импульс, зона излучения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
25. Анализ зависимости излучаемого
импульсного поля от расстояния
2014, том 14, № 2
25
ошибка по амплитуде имеет порядок R R , а ошибка по фазе определяется третьим членом ря-
да (4) и равна 2 2
k(R ) sin / 2R . Далее полагают, что максимальное значение R равно примерно
половине диаметра излучающей системы D. Тогда максимальная фазовая ошибка равна 2
kD / 8R .
Сравнивая это значение с периодом колебаний 2π, полагают абсолютную ошибку равной / 8 , т. е:
88R
kD2
. (5)
А для границы дальней зоны получается выражение
2
2D
R . (6)
Выражение (6) принимается за границу дальней зоны не только по потенциалу, но и по по-
лям Е и Н, так как при выполнении дифференцирования отбрасываются члены с зависимостью
2
1 R , 3
1 R и т. д. Заметим, что выражение для границы зоны дифракции Френеля (1) получается
аналогично, если положить абсолютную ошибку в правой части выражения (5) равной / 4 .
Промежуточную область излучения определяют следующими приближениями:
1) в знаменателе выражения (2) полагают r = R;
2) в показателе степени учитывают три члена ряда, т. е. полагают
R2/)cos1()R(cosR 22
Rr ;
3) при выполнении операций дифференцирования в выражениях для Е и Н отбрасываются
члены с зависимостью 2
1 R , 3
1 R и т. д.
Для границ промежуточной зоны величину R определяют выражением
2
2D
R3
1
)
D
(
2
D
4
D . (7)
Слагаемое D/4 учитывает амплитудную ошибку при замене 1/r на 1/R в знаменателе и суще-
ственно для малых антенн.
Границу ближней зоны определяют выражением
3
1
)
D
(
2
D
4
D
R , (8)
а для расчета потенциала и полей рекомендуют использовать точные формулы.
Итак, введение понятий зоны излучения здесь носит чисто математический характер и связа-
но с приближенным вычислением расстояния между точкой наблюдения при расчете потенциа-
лов, а также с вычислением производных при расчете полей.
Для самого простого излучателя – диполя Герца – при синусоидальном возбуждении для со-
ставляющих полей Е и Н в работе [3] приведены выражения:
)
ikR
1
(1
R
e
θcos
2π
zlI
E 2
ikR
0
R
;
)
k
1
ikR
1
(1
R
e
θsin
4π
zlIi
E 22
ikR
0
θ 2
R
; 0E
;
)
ikR
1
(1
R
e
θsin
4π
lIki
H
ikR
.
Понятие ближней зоны вводится из условия R
2
, при этом в выражении для Н преоб-
ладает слагаемое, пропорциональное 1/R2
, а в выражениях для RE и E – слагаемые, пропор-
циональные 1/R3
.
Промежуточную зону определяют из условия, что модули всех слагаемых имеют примерно
одинаковую величину. И, наконец, дальнюю зону определяют из условия R
2
и учитывают
только слагаемые, пропорциональные 1/R. Сравнение с предыдущим способом введения понятия
зон излучения показывает некоторые отличия. Здесь идет сравнение величин слагаемых, по-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
26. В.В. Крымский, М.Г. Вахитов,
М.Ю. Сартасова
Вестник ЮУрГУ. Серия «Компьютерные технологии, управление, радиоэлектроника»
26
разному зависящих от расстояния, а там используются различные приближения для вычисления
интеграла.
Зоны излучения для излучателей импульсных полей
Теперь проследим за этими понятиями в случае несинусоидальных токов. Для этого обра-
тимся к работам Х. Хармута [4–6]. При анализе поля излучения диполя Герца в выражении для
векторного потенциала также вводится приближение для расчета расстояния, и оставляются чле-
ны пропорциональные 1/R. Для векторного потенциала A
получено выражение
2
)
R
l
(O)
c
R
t(I
R
l
4
t),r(A 0 , (9)
где l – длина диполя.
После взятия операции rot для поля Н получено выражение
Rl
Rxl
I)
R
c
dt
dI
R
1
(
c4π
l
t),R(H
2
, (10)
где уже появилась компонента поля, которая зависит от R как 1/R2
. Характерным в этом выраже-
нии является то, что с компонентой поля, зависящей как 1/R, связана производная тока по време-
ни, а с компонентой 1/R2
– сам ток.
Далее для поля Е получено выражение
)]2()Idt
R
c
I
R
c
(
3
2
2 222
0
Rl
R)lR(
Rl
)Rxl(xR
Rl
RxlxR
dt
dI
R
1
[l
4π
t)(R,E
. (11)
В этом выражении с компонентой поля, зависящей от расстояния как 1/R, также стоит произ-
водная тока, с компонентой, зависящей как 1/R2
, стоит функция тока, а с компонентой, зависящей
как 1/R3
, стоит интеграл от тока по времени.
Границы волновой зоны Хармут определяет отдельно для поля Е и для поля Н путем сравне-
ния величин слагаемых с зависимостью 1/R и с зависимостью 1/R2
. В его первой работе было для
поля Е [5]:
dt
)t(dI
I(t)dt
cR 22
, (12)
для поля Н:
dt
)t(dI
I(t)dt
cR . (13)
Для синусоидальной зависимости тока соотношения (12) и (13) дают одинаковый результат,
который совпадает с обычным критерием R
2
для волновой зоны диполя Герца [3]. В своей
следующей работе [6] Хармут к выражениям (12) и (13) добавляет модули векторных слагаемых,
которые стоят при множителях
dI(t)
I(t)dt, I(t),
dt
. В выражении для поля Е появляется зависи-
мость границы волновой зоны от угла излучения, однако порядок величины R для синусоидаль-
ного тока по-прежнему равен
2
. Для более сложных излучателей критерия определения границ
волновой зоны в работах Хармута нет.
В отечественной литературе также есть упоминание о зонах излучения при несинусоидаль-
ных токах. Так в работе Л.Г. Содина [7] предлагается использовать для апертурных антенн кри-
терий зоны Френеля в виде
эc
2
D
R , (14)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
