-

1. 91Спектральный анализ электрических сигналов
в лабораторном практикуме курса общей физики
УДК 53.07
Спектральный анализ электрических сигналов
в лабораторном практикуме курса общей физики
Анатолий Деомидович Гладун, Юрий Владимирович Маношкин,
Алексей Андреевич Теврюков, Владимир Владимирович Усков,
Юрий Вячеславович Юрьев
Московский физико технический институт (Государственный университет)
141700 Долгопрудный Моск. обл., Институтский пер., 9; e mail: gladun.ad@mipt.ru
(А.Д. Гладун), iurev.iuv@mipt.ru (Ю.В. Юрьев)
Описывается лабораторная установка для изучения спектров периодических
электрических сигналов. Проводится рассмотрение спектров нескольких типов
электрических сигналов: периодической последовательности прямоугольных
импульсовицугов,атакжеамплитудно модулированногоичастотно модулированного
гармонического колебания.
Ключевые слова: спектральный анализ, ряд Фурье, амплитудная модуляция, частотная
модуляция.
Введение
В курсе общей физики важное место занимают вопросы спектрального
анализа. Лабораторная работа по этой теме может быть поставлена с использованием
современных физических приборов. Представим периодический сигнал в виде ряда
Фурье. Если периодическая функция f(t) имеет период T, то:
0
1
( ) cos( )
2
n n
n
a
f t A n t ϕ
∞
=
= + Ω −∑ , (1)
Ω = 2π/T,
2 2
n n nA a b= + , ϕn
= arctg(bn
/an
), (2)
0
2
( )cos( )
T
na f t n t dt
T
= Ω∫ ,
0
2
( )sin( )
T
nb f t n t dt
T
= Ω∫ . (3)
Для четных функций f(t) все bn
= 0, и An
= |an
|. Для нечетных функций f(t) все an
= 0
и An
= |bn
|.
Экспериментальная установка
Схема установки приведена на рис. 1.
Функциональный генератор WaveStation 2012 позволяет сформировать два
различных электрических сигнала, которые выводятся на два независимых канала –
«CH1»и«CH2».Сигналсканала«CH1»подаетсянавход«А»,асигналсканала«CH2»
Физическое образование в вузах. Т. 21, № 3, 2015
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 92 А.Д. Гладун, Ю.В. Маношкин, А.А. Теврюков, В.В. Усков, Ю.В. Юрьев
– на вход «В» USB осциллографа АКИП 4107. Затем эти сигналы подаются на вход
компьютера через USB соединение. USB осциллограф может работать как в режиме
осциллографа, так и в режиме спектроанализатора. Сигналы и их спектры выводятся
на экран компьютера, на котором установлена программа PicoScope 6, входящая в
комплектUSB осциллографа.ПриработеUSB осциллографаврежимеосциллографа,
наэкранекомпьютераможнонаблюдатькаждыйизсигналоввотдельности,атакжеих
произведение.Врежимеспектроанализатораможнонаблюдатьспектрыэтихсигналов.
Следует отметить, что для теоретического описания периодических сигналов удобно
пользоваться круговыми частотами ω иΩ, а на практике – линейными частотами
2
f
ω
π
=
и
2
F
π
Ω
= .
Периодическая последовательность прямоугольных импульсов
Рассмотрим периодическую последовательность прямоугольных импульсов с
амплитудойV0
,длительностьюτ ипериодомповторенияT.Есливыбратьначалоотсчета
времениt так,чтобыфункцияf(t)быласимметричной,тоизформул(2),(3)получаем:
2
0 0
2
2 sin( 2)
cos( ) 2
2
n
n
A V n t dt V
T T n
τ
τ
τ τ
τ−
Ω
= Ω =
Ω∫ . (4)
На рис. 2 слева показана периодическая последовательность прямоугольных
импульсов, сформированная с помощью функционального генератора, которая
наблюдается на экране компьютера от USB осциллографа. Частота повторения
импульсов
2
F
π
Ω
= = 1 кГц, длительность импульса τ = 100 мкс. На рис. 2 справа
показан спектр данного сигнала, наблюдаемый на экране компьютера, когда USB
осциллограф работает в режиме спектроанализатора.
Из формулы (4) видно, что амплитуды гармоник An
меняются по закону
An
~ sin( 2) sin( )
2
n n F
n n F
τ π τ
τ π τ
Ω
=
Ω
. Если определить ширину спектра ∆f как расстояние от
Рисунок 1.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 94 А.Д. Гладун, Ю.В. Маношкин, А.А. Теврюков, В.В. Усков, Ю.В. Юрьев
100мкс.СпомощьюкомпьютернойпрограммыPicoScope6былполученсигнал,равный
произведению сигналов с каналов «CH1» и «CH2», и этот сигнал выводился на экран
компьютера. Данный сигнал и его спектр показаны на рис. 3.
Рисунок 3.
Сравнивая спектры на рисунках 2 и 3, можно видеть, что они аналогичны, но их
максимумы сдвинуты по частоте на величину 0f = 25 кГц (несущая частота). Меняя
длительность импульсов τ, частоту их повторения F и частоту несущей 0f , на экране
компьютера можно наблюдать, как изменяется спектр цугов.
Амплитудно модулированное колебание
Рассмотримгармоническоеколебаниевысокойчастотыω0
,амплитудакоторого
медленно меняется по гармоническому закону с частотой Ω (Ω << ω0
):
[ ]0 0( ) 1 cos( ) cos( )f t A m t tω= + Ω , (6)
гдеm–глубинамодуляции.Приm<1амплитудаколебанийменяетсяотминимальной
Amin
= A0
(1 – m) до максимальной Amax
= A0
(1 + m). Таким образом, глубину модуляции
можно выразить через Amax
и Amin
:
max min
max min
A A
m
A A
−
=
+
. (7)
Амплитудно модулированное колебание (6) можно представить в виде:
[ ] [ ]0 0
0 0 0 0( ) cos( ) cos ( ) cos ( )
2 2
A m A m
f t A t t tω ω ω= + + Ω + −Ω . (8)
Из (8) видно, что спектр амплитудно модулированного колебания состоит из трех
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 96 А.Д. Гладун, Ю.В. Маношкин, А.А. Теврюков, В.В. Усков, Ю.В. Юрьев
Частотно модулированное колебание
При частотной модуляции мгновенная частота колебания равна:
0( ) sin( )mt tω ω ω= + ∆ ⋅ Ω , (9)
где ∆ωm
= 2π∆fm
– амплитуда отклонения частоты (девиация частоты), Ω = 2πF –
модулирующая частота. Фаза частотно модулированного колебания:
0
0
( ) ( ) cos( )
t
m
t t dt t t
ω
ϕ ω ω
∆
= = − Ω
Ω∫ . (10)
Величина m mf
F
ω
β
∆ ∆
= =
Ω
называется индексом частотной модуляции. С учетом (10)
частотно модулированное колебание имеет вид:
[ ]0 0 0( ) cos ( ) cos cos( )f t A t A t tϕ ω β= = − Ω . (11)
Рассмотрим частный случай, когда β << 1. Из (11) имеем:
0 0 0 0( ) cos( ) cos[ cos( )] sin( ) sin[ cos( )]f t A t t A t tω β ω β= ⋅ Ω + ⋅ Ω ≅
≅ 0 0 0 0cos( ) sin( ) cos( )A t A t tω β ω+ ⋅ Ω ≅
≅
0 0
0 0 0 0cos( ) cos ( ) cos ( )
2 2 2 2
A A
A t t t
β βπ π
ω ω ω
   
+ − Ω − + + Ω −      
. (12)
Таким образом, спектр частотно модулированного колебания при β << 1 состоит из
колебания на основной (несущей) частоте с амплитудой A0
и двух боковых компонент
с частотами (ω0
± Ω) и амплитудами A0
β/2. Данный спектр отличается от спектра
амплитудно модулированного колебания (8) тем, что боковые компоненты спектра
сдвинуты по фазе на 90°. Из выражения (12) следует, что при β << 1 спектр частотно
модулированного колебания с большой точностью можно представить в виде трех
компонент.Приувеличенииβ спектрчастотно модулированногоколебаниястановится
более сложным, и в общем случае надо учитывать, что он содержит кроме колебания с
частотой ω0
бесконечное число боковых частот (ω0
± kΩ), где k = 1, 2, 3... Амплитуда
колебания на основной частоте равна A0
J0
(β), а на боковых частотах A0
Jk
(β), где Jk
(β) –
функцииБесселя1 города.Напрактикеширинуспектраможносчитатьограниченной,
т.к.функцииJk
(β)приk >βимеютмалоезначение.Впредельномслучаеβ>>1,ширина
спектра примерно равна 2∆fm
.
Частотно модулированное колебание можно сформировать с помощью функ
циональногогенератора.Нарис.5показаныспектрычастотно модулированногоколе
баниянаэкранекомпьютера,когдаUSB осциллографработалврежимеспектроанали
затора.Приэтомчастотанесущей 0
0
2
f
ω
π
= =25кГц,частотамодуляции
2
F
π
Ω
= =1кГц.
Изображение на рис. 5 слева соответствует случаю девиации частоты ∆fm
= 100 Гц (β =
0,1), а на рис. 5 справа – случаю ∆fm
= 5 кГц (β = 5).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. 97Спектральный анализ электрических сигналов
в лабораторном практикуме курса общей физики
Рисунок 5.
Видно, что при больших β спектр частотно модулированного колебания содержит
большоеколичествобоковыхчастот.Изспектрачастотно модулированногоколебания
можно найти отношение амплитуды боковых компонент спектра A±1
на частоте (f0
± F)
к амплитуде A0
на основной частоте f0
. На рис. 6 построен график зависимости
отношения A±1
/A0
от индекса модуляции mf
F
β
∆
= . На этом же графике проведена
предельная прямая, соответствующая случаю β << 1 (см. выражение (12)). Из данной
зависимости видно, что при β ≤ 0,8 экспериментальная зависимость отличается от
предельной прямой менее чем на 10%.
Рисунок 6.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 98 А.Д. Гладун, Ю.В. Маношкин, А.А. Теврюков, В.В. Усков, Ю.В. Юрьев
Заключение
Даннаялабораторнаяустановкапозволяетпроводитьнаблюдениепериодической
последовательности электрических сигналов, а также наблюдать и проводить анализ
ихспектральногосостава.Основнымпреимуществомданнойлабораторнойустановки
является использование USB осциллографа АКИП 4107, который в режиме
осциллографа позволяет наблюдать временные зависимости электрических сигналов,
а в режиме спектроанализатора наблюдать и изучать их спектры.
Литература
1. Лабораторный практикум по общей физике, т. 2. Электричество и магнетизм. Под ред.
А.Д. Гладуна. – М.: Москва, 2007.
2. Харкевич А.А. Спектры и анализ. – М.: Издательская группа УРСС, 2009.
Spectral Analysis of Electrical Signals
in the General Physics Laboratory Practicum
A.D. Gladun, Yu.V. Manoshkin, A.A. Tevrukov, V.V. Uskov, Yu.V. Yuriev
Moscow Institute of Physics and Technology
141700 Dolgoprudny, Moscow Region, Institutskaya str., 9, gladun.ad@mipt.ru
Received June 9, 2015 PACS 07.05.Wr
Thelaboratoryequipmentforthespectraofperiodicelectricalsignalsstudyisdescribed.
Thespectrumofseveralelectricsignaltypesisconsider.Theperiodicsequenceofrectangular
pulses and trains (as well as amplitude modulated and frequency modulated harmonic
oscillations) is studied.
Keywords: spectral analysis, Fourier series, amplitude modulation, frequency
modulation.
References [in Russian]
1. Laboratory workshop on general physics, vol. 2. Electricity and magnetism. Edited by A.D.
Gladun. – M.: Moscow, 2007.
2. Kharkevich A.A. Spectra and analysis. – M.: Editorial URSS, 2009.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»