1. РАЗДЕЛ 6. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ В
ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЯХ.
Спектрально-корреляционные характеристики случайного процесса на
выходе линейного фильтра.
Исчерпывающее решение вопроса о прохождении случайного процесса
через линейный четырехполюсник в общем случае требует отыскания
многомерных распределений выходного колебания, что представляет сложную
задачу. Она существенно упрощается, если ограничиться расчетом
характеристик, необходимых в рамках корреляционной теории, и
рассматривать только установившиеся процессы.
Рассмотрим задачу нахождения энергетического спектра W2(Ω) и
корреляционной функции Ψ2(τ) стационарного случайного процесса на выходе
линейного четырехполюсника с комплексной передаточной характеристикой

K (ω) или импульсной характеристикой g(t) при условии, что спектр W1(ω) или
функция корреляции входного процесса Ψ1(τ) заданы (рис. 6.18).
W1(ω) W2(ω)
или илиg(t) или
Ψ1(τ) Ψ2(τ)
Рис. 6.1
Пусть на четырехполюсник действует конкретная «усеченная» реализация

входного случайного процесса x1(t)T→ S1 (ω) T . Вызываемый им отклик на выходе
 
x2(t)T обладает спектром K (ω)S1 (ω) T . Если подставим это выражение в основную
формулу для определения энергетического спектра
2

S(ω) T
W (ω) = lim ,
(6.1)
T →∞ T
то получим
2 2 2
 
K (ω)S(ω) T  
K (ω) S1 (ω) T
W2 (ω) = lim = lim . (6.2)
T →∞ T T →∞ T
 (ω) не зависит от T, этот множитель выносится за знак предела.
Так как K
Тогда сам предел в соответствии с определением есть энергетический спектр
выходного процесса. Иначе говоря,
W2(ω)=K2(ω)W1(ω), (6.3)
т.е. энергетический спектр на выходе линейного фильтра равен произведению
квадрата модуля его коэффициента передачи на входной энергетический
спектр. Как и следовало ожидать, результат не зависит от фазочастотной
характеристики системы. Используя обратное Фурье-преобразование функции
W2(ω), получим Ψ2(τ) – корреляционную функцию выходного процесса.
Корреляционную характеристику выходного сигнала можно получить и
непосредственно. Для этого сравним формулу для W2(ω) с известным
выражением, связывающим обычные спектры Фурье входных и выходных
7
77

2. сигналов во всяком линейном четырехполюснике с передаточной функцией и

импульсной характеристикой: K (ω) ↔ g( t ) :
  
u 2 ( t ) = g( t ) ⊗ u1( t ) ↔ S2 (ω) = K (ω)S1(ω) . (6.4)
По аналогии с формулой W2(ω)=K2(ω)W1(ω), можно сразу записать Ψ2(τ) как
свертку Ψ1(τ) с некоторой функцией ϕ(τ), имеющей своим Фурье-изображением
квадрат модуля частотной характеристики K2(ω):
Ψ2 ( τ) = ϕ( τ) ⊗ Ψ1(τ) ↔ K 2 (ω) W1(ω) = W2 (ω) , (6.5)
где K2(ω)↔ϕ(τ). Эту функцию можно трактовать как функцию корреляции
импульсной характеристики: ϕ(τ)= Ψg(τ), поэтому
∞
ψ 2 (τ) = ∫ ψ1 (τ) ⋅ ψ1 (τ − t )dt . (6.6)
−∞
Таким образом, по заданной корреляционной характеристике входного
сигнала Ψ1(τ) определяется корреляционная характеристика Ψ2(τ) выходного
сигнала, после чего находится энергетический спектр отклика
∞
∫ Ψ2 (τ)e
− jωτ
W2 (ω) = dτ . (6.7)
−∞
Итак, корреляционный или спектральный анализ прохождения
стационарного случайного сигнала через линейную цепь с постоянными
параметрами не связан с какими-либо трудностями. Иначе обстоит дело с
определением закона распределения случайного процесса на выходе линейной
цепи. В общем случае при произвольном распределении процесса на входе
отыскать распределение на выходе инерционной цепи представляет собой
весьма сложную задачу линейной цепи. В общем случае при произвольном
распределении процесса на входе отыскать распределение на выходе
инерционной цепи представляет собой весьма сложную задачу.
Действие белого шума на линейные фильтры с постоянными
параметрами.
Во многих задачах спектральная плотность мощности стационарного
случайного входного колебания почти постоянна в пределах, превышающих
полосу пропускания системы. При подобных обстоятельствах входной процесс
удобно считать белым шумом.
Задавшись постоянной спектральной плотностью W1(ω)=W0 на входе цепи с
характеристикой K2(ω), получаем, что энергетический спектр на выходе в этом
случае с точностью до постоянного множителя повторяет характеристику
K2(ω):
W2(ω)=W0 K2(ω), (6.8)
и, следовательно, в соответствии с формулой Винера – Хинчина функция
корреляции выходного процесса пропорциональна функции корреляции
импульсного отклика.
Таким образом, спектрально-корреляционные параметры случайного
колебания на выходе фильтра при белом шуме на входе полностью
78

3. определяются свойствами самого фильтра. Это касается и энергетической
ширины выходного спектра, которая в этом случае определяет шумовую
полосу линейного четырехполюсника.
Формально шумовую полосу можно найти, по формуле
∞
2 1 ∞ 2
∫K (f )df ∫ K (ω)dω
2π 0 . (6.9)
∆f ш = 0 =
K 2 (f 0 ) K 2 (ω0 )
Здесь f0=ω0/2π - частота, на которой располагается максимум передаточной
функции фильтра.
В качестве иллюстрации проанализируем спектрально-корреляционные
характеристики случайного напряжения на конденсаторе в RC-цепи при
действии на ее входе стационарного белого шума с единичной спектральной
плотностью мощности W0=1.
W1(ω) W2(ω)
Рис. 6.2
Комплексная передаточная функция и импульсная характеристика такой
цепи имеют вид
 1
K (ω) = (6.10)
1 + jωτ0
1 1
 exp(− ), при t ≥ 0
g ( τ) =  τ 0 τ0 , (6.11)

 0, при t < 0
где τ0=RC – постоянная времени.
Энергетический спектр на выходе
1 1
W2 (ω) = K 2 (ω) = = (6.12) ,
2 2 2 2
1 + ω τ0 1 + (2πf ) τ0
а функцию корреляции найдем, используя формулу обратного преобразования
Фурье от W2(ω).
1 τ
Ψ2 (τ) = exp(− ). (6.13)
2τ0 τ0
Так как в данном случае f0=ω0/2π, то шумовая полоса интегрирующей RC
цепи
Ψ (0) 1
∆f ш = 2 = . (6.14)
2K 2 (0) 4τ0
79

4. Ψ2(τ)
W2(ω)
1 1/2τ0
0 0 ∆τk=τ0 τ
f
Рис. 6.3
На рисунках 6.3 показаны спектр сигнала и его корреляционная функция на
выходе цепи, причем приведена только одна ветвь корреляционной функции.
Другая, из-за свойств четности функции корреляции симметрична первой.
Интересно сравнить найденное значение шумовой полосы ∆fш RC-цепи с ее
полосой пропускания ∆f0,7, определяемой по спаду модуля частотной
характеристики фильтра до уровня 0,707 от максимума. Известно. Что в
рассматриваемом четырехполюснике полоса ∆f0,7 занимает интервал (0, fc), где
∆f0,7=1/2πτ0. Сопоставляя это значение с ∆fш, находим, что шумовая полоса
превышает ∆f0,7 в π/2 раз:
∆f ш π
= . (6.15)
∆f 0,707 2
Полученный результат будет понятен, если вернуться к определению
шумовой полосы. Шумовая полоса ∆fш зависит от площади, заключенной под
всей кривой K2(ω) и, следовательно, позволяет рассчитать полную мощность
шумов на выходе фильтра при равномерном спектре на входе. Величина же ∆f0,7
определяется по некоторому условному уровню и не зависит от поведения
частотной характеристики за пределами полосы пропускания.
Различия между шумовой и обычной полосой приходится учитывать в
случае, когда четырехполюсник имеет пологую частотную характеристику.
Если кривая K(f) близка к прямоугольной, т.е. резко спадает, начиная с
некоторой частоты, то разница между ∆f0,7 и ∆fш незначительна.
Решим задачу о действии стационарного случайного тока i(t), обладающего
равномерным энергетическим спектром W1=1 (единичной плотности) на
параллельный колебательный LC − контур с высокой добротностью Q.
Необходимо найти энергетический спектр и функцию корреляции напряжения
u(t) на контуре.
Роль частотной характеристики, связывающий заданный ток с искомым
напряжением, играет комплексное сопротивление контура
Rр

Z(ω) ≈ , (6.16)
1 + j(ω − ω0 )τ0
где ω=ωр – резонансная частота контура; Rр – резонансное сопротивление; τ0 –
постоянная времени контура, определяемая как τ0=2Q/ω0.
80

5. Квадрат модуля характеристики в заданных условиях численно равен
интересующему нас энергетическому спектру напряжения
2 R р2
W2 (ω) = Z (ω) ≈ . (6.17)
1 + (ω − ω0 ) 2 τ0 2
Корреляционную функцию можно найти посредством преобразования
Винера – Хинчина. В результате при ω0>>1/τ0, оказывается, что
R р 2 − τ / τ0
Ψ2 ( τ) ≈ e cos ω0 τ . (6.18)
τ0
Энергетический спектр и корреляционная функция в рассмотренном случае
имеют вид, представленный на рисунке 6.4
W2(ω)
Ψ2(τ)
0
0 f0 f τ
Рис. 6.4
Форма корреляционной характеристики типична для колебательной системы
с узкой полосой и симметрична относительно ω0 частотной характеристикой.
Найдем значение шумовой полосы контура
Ψ2 (0) 1
∆f ш = = . (6.19)
2K 2 (ω0 ) 2τ0
Сравнив результат с полосой пропускания ∆f0,707=1/πτ0, приходим к
отношению
∆f ш π
= . (6.20)
∆f 0,707 2
Видим, что полученная величина не отличается от найденной для
интегрирующей RC – цепи. Этот результат станет понятным, если учесть, что
частотные характеристики обеих рассмотренных цепей отличаются лишь
сдвигом по оси частот на ω0 и при равных τ0 имеют одинаковую форму.
81

6. 82