1. РАЗДЕЛ 3. РАДИОСИГНАЛЫ.
Введение
При передаче информации с помощью электромагнитных колебаний
необходимо преобразовать эту информацию в электрический сигнал,
соответствующий поступающей информации. Этот электрический сигнал
называют модулирующим или управляющим. Его спектр группируется в
области низких частот, поэтому передача его на большие расстояния
невозможна. Чтобы осуществить передачу информации, она тем или иным
способом закладывается в высокочастотное гармоническое колебание
a(t)=A0cos(ωt+θ0)=A0cos[ψ(t)] (называемое несущим), которое способно
распространяться на большие расстояния. Такое преобразование называется
модуляцией; устройство, в котором производится модуляция – модулятор,
сигнал же на выходе модулятора называется модулированным колебанием или
радиосигналом. Таким образом, радиосигнал – это высокочастотное
модулированное колебание.
При воздействии модулирующего сигнала на амплитуду A0, получается
амплитудно-модулированное колебание
a(t)=A(t)cos(ω0t+θ), (3.1)
если же воздействие производится на фазу ψ(t), модуляция называется
угловой. В этом случае модулированное колебание в общем виде записывается
по формуле
a(t)=A0cos[ω0t+θ(t)+θ0]. (3.2)
Спектр модулированного колебания сосредоточен в области высоких частот
около частоты несущего колебания ω0 и занимает очень узкую полосу частот
2∆Ω, так, что отношение ширины спектра к частоте ω0 значительно меньше
единицы:
2∆Ω
<< 1
ω0
Амплитудно-модулированные колебания. Осциллограммы и
аналитические выражения.
Амплитудная модуляция заключается в том, что амплитуда колебания
изменяется в соответствии с законом изменения управляющего сигнала. Пусть
s(t) – управляющий сигнал. Тогда
A(t)=A0+kams(t) (3.3)
A(t) называется огибающей амплитудно-модулированного колебания.
Амплитудно-модулированное колебание записывается так:
a(t)=[A0+kams(t)]cos(ω0t+θ0) (3.4)
На рис.3.1 приведен пример управляющего сигнала s(t) и
соответствующего ему амплитудно-модулированного колебания (АМК) a(t).
31

2. Если модулирующий сигнал s(t) является гармоническим колебанием
s(t)
0 t
a(t)
0
t
Рис.3.1
s(t)=Scos(Ωt+γ), (3.5)
т.е. модуляция производится одним тоном, то она называется тональной.
В этом случае
A(t)=A0+∆Acos(Ωt+γ),
(3.6)
где Ω - частота модуляции (Ω<<ω0); γ - начальная фаза огибающей; ∆A=
kamS – наибольшее отклонение амплитуды от среднего значения. Мгновенное
значение тонально модулированного колебания выражается как
a(t)=A0[1+Mcos(Ωt+γ)cos(ω0t+θ). (3.7)
a(t)
A0
∆A
0 t
t1 2π/ω0
2π/Ω
Рис. 3.2
32

3. Отношение M=∆A/A0=kamS/A0, называемое коэффициентом модуляции,
является одним из основных параметров АМК. На рис.3.2 изображена
временная диаграмма АМК при тональной модуляции, причем до момента t1
воспроизведена временная диаграмма несущего колебания. Коэффициент
модуляции меняется в пределах от 0 до 1. Если M=0, модуляция отсутствует,
при M=1 модуляция составляет 100%.
Спектры и векторные диаграммы при амплитудной модуляции.
Преобразуем
a ( t ) = A 0 [1 + M cos(Ωt + γ )] cos(ω 0 t + θ 0 ) = A 0 cos(ω 0 t + θ 0 ) +
A0M A M 3.7)
cos[(ω 0 − Ω) t + θ 0 − γ ] + 0 cos[(ω 0 + Ω) t + θ 0 + γ ]
2 2
Из этой формулы следует, что в случае тональной амплитудной
модуляции АМК состоит из трех гармонических составляющих. Они
располагаются на частотах ω0, ω0-Ω и ω0+Ω, амплитуды этих гармоник равны
соответственно A0 и A0M/2, а начальные фазы - θ0,θ0-γ и θ0+γ. Этой формуле
соответствует спектральная диаграмма, представленная на рис. 3.3.
Амплитудные фазовые спектры изображаются на одном графике.
A0;θ0
A0M A0M
; θ0 − γ ; θ0 + γ
2 2
ω0-Ω ω0 ω0+Ω
Рис.3.3
Составляющие, расположенные на суммарной ω0+Ω и разностной ω0-Ω
частотах, называются соответственно верхней и нижней боковыми
составляющими. Их амплитуды равны, а фазы симметричны. Центральная
составляющая находится на частоте несущего колебания ω0. Ее амплитуда
равна A0, а начальная фаза - θ0. Ширина спектра равна 2Ω.
При изучении модулированных колебаний часто используют векторные
диаграммы. Векторная диаграмма, соответствующая тональной амплитудной
модуляции представлена на рис.3.4. На ней каждая из трех составляющих
33

4. (Ωt+γ)
Ω D2 F
-(Ωt+γ)
A0M/2 D1 Ω
С
А0 A0M/2
θ0
О
ω0t
a(t) F1
t
Рис. 3.4
АМК представлена соответствующим вектором. Ось времени t вращается по
часовой стрелке с угловой частотой ω0; несущее колебание изображается
неподвижным вектором OC длиной A0 с начальной фазой γ. Векторы CD1 и
CD2 длиной A0M/2 изображают соответственно нижнюю и верхнюю боковые
составляющие. Они пристраиваются к концу вектора OC, составляя с его
направлением углы –(Ωt-γ) и (Ωt+γ). Они вращаются в противоположных
направлениях с угловой частотой Ω. Суммой векторов CD1 и CD2 является
вектор CF. Поскольку векторы боковых составляющих расположены
симметрично относительно вектора OC и вращаются с одинаковой угловой
частотой в разные стороны, то направление вектора CF и суммарного вектора
OF, отображающего модулированное колебание, в любой момент времени
совпадает с направлением вектора несущего колебания OC. Длина вектора
OF соответствует мгновенному значению амплитуды модулированного
колебания a(t). Она изменяется периодически (с периодом 2π/Ω) от
минимальной (A0-MA0) до максимальной (A0+MA0) величины, когда векторы
боковых составляющих CD1 и CD2 занимают положения, показанные на
рис.5а и 5б соответственно. Проекция OF1 суммарного вектора OF на
вращающуюся ось времени t определяет мгновенное значение АМК a(t).
Пользуясь векторной диаграммой, можно показать, что, если нарушается
равенство амплитуд боковых составляющих или симметрия их фаз
относительно фазы несущего колебания (например в результате прохождения
АМК через электрическую цепь), то вектор OF, отображающий
модулированное колебание, качается относительно направления OC.
Любая из рассмотренных форм представления АМК: аналитическая,
спектральная или векторная, полностью определяет все параметры АМК.
Рассмотрим мощность АМК. Из выражения
a(t)=A0[1+Mcos(Ωt+γ)cos(ω0t+θ)
следует, что амплитуда модулированного колебания изменяется от
Amin=A0(1-M) до Amax=A0(1+M), следовательно, средняя за период высокой
частоты мощность модулированного колебания изменяется соответственно
34

5. а)
С
Ω
D1
D2
θ0 Ω
О
Ω
б) D1
Ω
D2
С
θ0
О
Рис. 3.5
от Pmin=P0(1-M)2 до Pmax=P0(1+M)2, где P0=A02/2 – мощность несущего
колебания.
Средняя мощность P АМК за период модуляции определяется суммой
мощностей гармонических составляющих
2 2
1 2 1  MA 0  1  MA 0 
P = A0 +  +  (3.8)
2 2 2   2 2  
или P=P0(1+0,5M2).
При M=1 Pmax=4P0, P=1,5P0, отношение средней мощности P к
максимальной Pmax равно 0,375. Эти соотношения указывают на
существенные недостатки рассмотренного вида амплитудной модуляции. Из
равенства P=1,5P0 (при M=1)следует, что только третья часть мощности
передатчика затрачивается на излучение боковых составляющих АМК,
несущих передаваемую информацию, а две трети мощности – на излучение
колебания несущей частоты. Равенство Pmax=4P0 и низкий уровень отношения
P/Pmax=0,375 указывают на плохое использование мощности передатчика,
который приходится рассчитывать на пиковое значение мощности сигнала
Pmax т.е. на режим его кратковременной работы.
35

6. Рассмотрим модуляцию более сложными сигналами. Пусть управляющий
сигнал является суммой двух гармонических составляющих с частотами Ω1 и
Ω2:
s(t)=S1cos(Ω1t+γ1)+S2cos(Ω2+γ2) (3.9)
Тогда
a ( t ) = A 0 [1 + M1 cos(Ω1 t + γ 1 ) + M 2 cos(Ω1 t + γ 2 )] cos(ω 0 t + θ 0 ) . (3.10)
М1 и М2 – парциальные коэффициенты модуляции. Они равны
соответственно kamS1/A0 и kamS2/A0.
Разложение этого выражения на гармонические составляющие
A 0 M1
a ( t ) = A 0 cos(ω 0 t + θ 0 ) + cos[(ω 0 + Ω1 ) t + θ 0 + γ 1 ] +
2
A0M2 A M
cos[(ω 0 + Ω 2 ) t + θ 0 + γ 2 ] + 0 1 cos[(ω 0 − Ω1 ) + θ 0 − γ1 ] + (3.11)
2 2
A0M2
cos[(ω 0 − Ω 2 ) t + θ 0 − γ 2 ]
2
позволяет сделать заключение, что спектр этого АМК состоит из пяти
гармонических составляющих: одна соответствует несущему колебанию на
частоте ω0 с амплитудой A0, две составляющие на частотах ω0+Ω1 и ω0+Ω2 с
амплитудами A0M1/2 образуют верхнюю боковую полосу и две составляющие
на частотах ω0-Ω1 и ω0-Ω2 с амплитудами A0M/2 образуют нижнюю боковую
полосу. Начальные фазы составляющих равны соответственно θ0,θ0±γ1 и θ0±γ2.
Спектральная диаграмма, соответствующая этому АМК представлена на
рис. 3.6, а на рис. 3.7 – векторная диаграмма. На рис. 3.7 отсутствует ось
времени.
A0; θ0
A 0 M1 A 0 M1
; θ 0 − γ1 ; θ 0 + γ1
2 2
A0M 2 A0M2
; θ0 − γ 2 ; θ0 + λ 2
2 2
ω0-Ω2 ω0
-Ω1 ω0 ω0+Ω1 ω0+Ω2
Рис.3.6
36

7. G2
D2
F G1
D1
С
О
Рис. 3.7
Если модулирующий сигнал содержит N гармоник (рис. 3.8), то АМК может
быть представлен формулой
 N 
a ( t ) = A 0 1 + ∑ M n cos(Ω n t + γ n )  cos(ω0 t + θ0 ) = A 0 cos(ω0 t + θ0 ) +
 n =1
 

N A M N A M
0 n cos[ (ω + Ω ) t + θ + γ ] +
∑ 2 0 n 0 n ∑ 02 n cos[ ( ω0 − Ω n ) t + θ0 − γ n ],
n =1 n =1
(3.8)
где Mn=Snkam/2 – парциальный коэффициент модуляции.
Ωn Ω
Ω1
Рис. 3.8
На рис. 3.9 показан спектр амплитудно-модулированного сигнала. Ширина
спектра определяется удвоенной верхней частотой
2∆ω=2ΩN.
В спектре АМК присутствуют 2N+1 линий: линия на частоте ω0
соответствует несущему колебанию, N линий образуют верхнюю боковую
полосу и N – нижнюю боковую полосу.
37

8. А0; θ0
A0Mn/A0; θ0+γn A0Mn/A0; θ0+γn
ω0-Ω ω0 +Ω1 ω0+Ω2 +Ωn
ω0 ω0
Рис. 3.9

Пусть s(t) – непериодический сигнал, а спектральная плотность его S(ω) .
Запишем
A(t)=A0+kams(t) и a(t)=[A0+kams(t)]cos(ω0t+θ0).
Из теоремы о линейности преобразования Фурье следует, что спектральная

плотность S A (ω) огибающей A(t) есть сумма спектральной плотности S(ω)
непериодического сигнала s(t) (с точностью до множителя kam) и спектральной
плотности постоянной составляющей A0, равной 2πA0δ(ω) (рис. 3.10а)
SA(ω)
а)
S(ω)
2πA0δ(ω)
0 ω
б)
б) Sa(ω)
πA0δ(ω+ω01
) πA0δ(ω-ω0) 1
S(ω + ω 0 ) S(ω − ω 0 )
2 2
-ω0 0 ω0 ω
Рис. 3.10
Воспользовавшись теоремой о спектральной плотности произведения двух
сигналов, получим выражение
1
S am (ω) = e jθ0 1 S A (ω − ω 0 ) + e − jθ0 S(ω + ω 0 )

2 2
(3.9)
Эта спектральная плотность изображена на рис. 3.10б.
38

9. При амплитудной модуляции спектральная плотность огибающей,
сосредоточенная в области нижних частот, «раздваивается» и переносится в
область высоких частот, смещаясь на ±ω0. Из рисунка видно, что

спектральная плотность S am (ω) АМК имеет две составляющие:
1 S (ω − ω )
 1
2 A 0 и S A (ω + ω 0 ) , сконцентрированные вблизи частот ω0 и -ω0
2
соответственно. Ширина спектра 2∆ωam АМК вдвое превышает ширину
спектра ∆ωA огибающей.
Из рис. 3.10 видно, что для узкополосного процесса вклад, вносимый
слагаемым, сосредоточенным около частоты -ω0 мал и им можно пренебречь.
Поэтому в окрестности частоты ω0 можно не учитывать второе слагаемое и
определить спектральную плотность АМК по приближенной формуле
 1
S am (ω) ≈ S(ω − ω 0 ) ,
2
(3.10)
соответствующей правой ветви на рис. 3.10
Угловая модуляция
Осциллограммы и аналитические выражения.
Колебание, модулированное по углу, записывается так
a(t)=A0cosψ(t)=A0cos[ω0t+θ(t)]. (3.11)
В этом выражении θ(t) – переменная часть фазы, изменяющаяся по закону
передаваемого сообщения.
Это колебание можно изобразить вектором длиной A0, вращающимся против
часовой стрелки. В каждый момент времени он раcположен под углом ψ(t) к
оси проекций (рис. 3.11):
A0 ψ(t)
Рис. 3.11
Частота колебаний определяется как число полных оборотов вектора в
единицу времени. В общем случае количество оборотов и, следовательно,
частота колебаний будут переменными величинами. Для определения средней
частоты на некотором отрезке времени ∆t следует взять отношение приращения
количества оборотов вектора ко времени, затраченному на это:
39

10. ∆n 1 ∆ψ
f ∆t = = , (3.12)
∆t 2π ∆t
так как ∆ψ=2π∆n – набег фазы за время ∆t.
В пределе, при ∆t→0 получим мгновенную частоту колебания
 1 ∆ψ 
f ( t ) = lim  
∆t →0  2π ∆t 
(3.13)
Мгновенная угловая частота
 ∆ψ( t )  dψ( t )
ω( t ) = 2πf ( t ) = lim  = (3.13)
∆t →0  ∆t  dt
Угловая частота колебания есть производная по времени полной фазы. В
частности, если ψ(t)=ω0t+ϕ0, то
d
ω( t ) = ( ω0 t + ϕ0 ) = ω0 (3.14)
dt
Таким образом, мгновенная угловая частота колебания связана с полной
фазой колебания соотношением
dψ ( t )
ω( t ) = , (3.15)
dt
а полная фаза высокочастотного колебания в момент времени может быть
определена так:
t
ψ( t ) = ∫ ω( t )dt + θ 0 . (3.16)
0
Первое слагаемое в правой части дает набег фазы за время от начала отсчета
времени до рассматриваемого момента t. А θ0 – это начальная фаза колебания
(т.е. фаза в момент времени t=0). Полная фаза колебания теперь может быть
записана в следующем виде
ψ(t)=ω0t+θ(t)+θ0.
(3.17)
Итак, общее выражение высокочастотного колебания, амплитуда которого A0
постоянна, а аргумент ψ(t) модулирован, может быть представлен в форме
a(t)=A0cos(ω0t+θ(t)+θ0). (3.18)
Связь частотной модуляции с фазовой.
40

11. Из соотношений, устанавливающих связь между изменениями полной фазы
колебания и мгновенной частоты, следует, что изменение фазы колебаний по
закону ψ(t) приводит к изменению мгновенной частоты по закону производной
от ψ(t), а изменение мгновенной частоты по закон ω(t) приводит к изменению
фазы по закону интеграла от ω(t). Это положение, являющееся основным для
теории угловой модуляции, определяет связь между изменениями частоты и
фазы и указывает на общность, существующую между двумя разновидностями
угловой модуляции – частотной и фазовой.
Следует отметить, что определение периода колебаний T как величины,
обратной частоте f, имеет смысл только при условии, что f – величина
постоянная. В случае же, когда частота f(t) является непрерывной функцией
времени, величина 1/f(t) также является непрерывной функцией, в то время, как
период T является дискретной величиной. Действительно, под периодом T
подразумевается время, в течение которого фаза колебания изменяется на 2π.
При представлении колебания в виде вектора, вращающегося с угловой
частотой ω(t)=2πf(t), T равняется времени одного полного оборота вектора.
Ясно, что это время не обязательно совпадает с величиной 1/f(t), так как сама
величина f(t) изменяется внутри рассматриваемого интервала времени T.
Поэтому говоря о мгновенной частоте f(t), следует в общем виде отказаться от
представления, что период колебания равен 1/f(t).
Пусть в соответствии с модулирующим колебанием s(t) изменяется частота
некоторого колебания относительно среднего значения ω0, так что
ω(t)=ω0+kчмs(t). (3.19)
Тогда полная фаза колебания
t t t
ψ( t ) = ∫ ω( t ) dt + θ 0 = ∫ [ ω 0 + k чм s( t )] dt = ω 0 t + k чм ∫ s( t )dt + θ 0 ,
0 0 0
(3.20)
а частотно-модулированное колебание (ЧМК) запишется так
t
a ( t ) = A 0 cos(ω 0 t + k чм ∫ s( t )dt + θ 0 . (3.21)
0
Рассмотрим случай тональной модуляции, когда s(t)=ScosΩt. В этом случае
 k S 
a ( t ) = A 0 cos ω 0 t + чм sin Ωt + θ 0 . (3.22)
 Ω 
В этой формуле kчмS - амплитуда частотного отклонения, которая называется
девиацией частоты: ωд=kчмS, а ωд/Ω=m – индекс модуляции, амплитудного
фазового отклонения.
Фазо - модулированным колебанием (ФМК) называется колебание, у
которого сдвиг фазы изменяется от начального значения θ0 пропорционально
модулирующему колебанию s(t): θ(t)=θ0+kфмs(t), а ФМК записывается так:
a(t)=A0cos[ω0t+kфмs(t)+θ0] (3.23)
41

12. В случае тональной модуляции, когда s(t)=SsinΩt получим
a(t)=A0cos(ω0t+kфмSsinΩt+θ0). (3.24)
Здесь индекс модуляции m= kфмS
a(t)=A0cos(ω0t+msin(Ωt+θ0). (3.25)
Найдем частоту этого колебания:
d
ω( t ) = [ ω 0 t + m sin Ωt + θ 0 ] = ω 0 + m cos Ωt. (3.26)
dt
Так как m=ωд/Ω, то в этом случае ωд=mΩ. Таким образом, гармоническая
модуляция фазы с индексом m эквивалентна частотной модуляции с девиацией
mΩ.
На рис. 3.12 приведена осциллограмма колебания, модулированного по углу
гармоническим колебанием.
a(t)
t
Рис. 3.12
Из этого примера видно, что при тональной модуляции, по характеру
колебания нельзя заключить, с какой модуляцией мы имеем дело – с частотной
или фазовой. При фазовой модуляции вектор модулированного колебания
качается относительно своего исходного положения таким образом, что угол
θ(t) изменяется во времени по закону θ(t)=msinΩt, а при частотной модуляции
ωд
θ( t ) = sin Ωt = m sin Ωt (3.27)
Ω
Различие между частотной и фазовой модуляциями проявляется при
изменении частоты модуляции. При частотной модуляции величина девиации
ωд пропорциональна амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от
частоты модуляции Ω. При фазовой модуляции величина индекса модуляции m
амплитуде модулирующего напряжения и не зависит от частоты модуляции:
ЧМК ФМК
ωд=kчмS m=kфмS
m=ωд/Ω ωд=mΩ
Эти зависимости представлены на рис. 3.13
42

13. m, ωд m, ωд
ЧМК ФМК
ωд=kчмS m=kфмS
m=ωд/Ω ωд=mΩ
Ω Ω
Рис. 3.13
Если на вход модулятора подается не гармоническое, а сложное колебание,
то структура модулированного колебания различна при ЧМ и ФМ. В первом
случае медленным изменениям сигнала, т.е. низким частотам соответствуют
большие значения m, а во втором – очень малые значения ωд.
Помимо различия в структуре колебания (при модуляции сложным
сигналом) частотная и фазовая модуляции различаются по способу
осуществления. В первом случае обычно применяется прямое воздействие на
частоту колебаний генератора. В случае фазовой модуляции генератор дает
стабильную частоту, а фаза колебания модулируется в одном из последующих
элементов устройства.
Спектры и векторные диаграммы при угловой модуляции.
Пусть задано колебание
a(t)=A0cos[ω0t+θ(t)] (3.28)
Передаваемое сообщение s(t) заложено в функцию θ(t). Если колебание a(t)
получено с помощью фазовой модуляции, то функции θ(t) и s(t) полностью
совпадают по форме и отличаются лишь постоянным коэффициентом. При
этом с точностью до постоянного множителя совпадают спектры функций θ(t)
и s(t). В случае же частотной модуляции функция θ(t) является интегралом от
передаваемого сообщения. Так как интеграл является линейным
преобразованием, то при частотной модуляции спектр функции θ(t) состоит из
тех же компонентов, что и спектр функции s(t), но с измененными амплитудами
и фазами.
Найдем спектр a(t), считая, что спектр θ(t) известен и задан:
a(t)=A0cos[ω0t+θ(t)]=A0cosθ(t)cosω0t-A0sinθ(t)sinω0t. (3.29)
A0cosθ(t) и A0sinθ(t) являются медленноменяющимися функциями времени и их
можно считать огибающими высокочастотных функций cosω0t и sinω0t, т.е.
колебание модулированное по углу можно рассматривать как сумму двух
амплитудно-модулированных колебаний:
43

14. a(t)= A1(t)cosω0t-A2(t) sinω0t, (3.30)
где A1(t)= A0cosθ(t) и A2(t)= A0sinθ(t).
Расчет спектров при угловой модуляции довольно сложная задача, т.к.
функции θ(t) могут быть достаточно сложными функциями. Поэтому
ограничимся анализом спектров для случая тональной угловой модуляции.
Спектры при тональной угловой модуляции.
Мгновенное значение колебания, модулированного по частоте или фазе
чистым тоном Ω
a(t)= A0cos[ω0t+m sinΩt]=A0cosω0tcos(msinΩt)-A0sinω0tsin(msinΩt)=
[A0cos(msinΩt]cosω0t-[A0sin(msinΩt)]sinω0t (3.31)
Выражения, стоящие в квадратных скобках являются изменяющимися
амплитудами высокочастотных колебаний: A1(t)=A0cos(msinΩt) и
A2(t)=A0sin(msinΩt). Функции cos(msinΩt) и sin(msinΩt) периодические, а
следовательно они могут быть разложены в ряд Фурье. Подобное разложение
осуществляется при помощи функций Бесселя.
Но сначала рассмотрим свойства колебания при “неглубокой” модуляции,
характеризующейся относительно небольшим значением фазового отклонения,
т.е. индексом модуляции m<<1. В этом случае можно считать, что
sin(msinΩt)≈msinΩt, а cos(msinΩt)≈1. Тогда
a ( t ) = A 0 cos ω 0 t − mA 0 sin ω 0 t sin Ωt = A 0 cos ω 0 t +
A0m A m (3.32)
cos(ω 0 + Ω) t − 0 cos(ω 0 − Ω) t
2 2
Сравним это выражение с выражением для случая тонального АМК. Спектр
колебания в этом случае состоит, как и спектр АМК, из трех составляющих,
которые расположены на несущей частоте ω0 и на частотах ω0+Ω и ω0-Ω.
Единственное отличие заключается в сдвиге колебания нижней боковой
частоты на 180° относительно того положения, какое оно занимает при
амплитудной модуляции. Об этом свидетельствует знак минус перед последним
слагаемым. Векторная диаграмма, соответствующая этому случаю, приведена
на рис. 3.14.
F
D1
D2
A0M/2
C
θ A0
O Рис. 3.14
44

15. Результирующий вектор боковых частот CF сдвинут относительно вектора
несущей OC на угол π/2. Суммарный вектор OF сдвинут относительно вектора
несущей на угол θ. Вектор OF, изображающий результирующее колебание,
изменяется по фазе и по амплитуде, однако при m<<1 амплитудными
изменениями можно пренебречь, вследствие чего модуляция может, в первом
приближении, рассматриваться как чисто угловая. Спектральная диаграмма
угловой модуляции при m<<1 показана на рис. 3.15.
Характер спектральной диаграммы получается такой же, как и в случае
амплитудной модуляции. Амплитуды колебаний боковых частот равны A0m/2.
Таким образом, в данном случае индекс модуляции m совпадает по величине с
коэффициентом модуляции M, характеризующим глубину изменения
амплитуды в случае амплитудной модуляции. Ширина спектра при m<<1
A0
A0m/2
ω0-Ω
ω0 ω0+Ω ω
A0m/2
Рис. 3.15
практически совпадает с шириной спектра при тональной амплитудной
модуляции и равна 2Ω. Этот результат показывает, что при очень малых
девиациях частоты ωд (по сравнению с Ω) ширина спектра от величины ωд не
зависит.
При увеличении амплитуды S модулирующего сигнала (Ω=const) в ЧМ и
ФМ колебаниях изменяется индекс модуляции m, и, следовательно, изменяются
число боковых составляющих, ширина спектра и амплитуды составляющих.
Чтобы найти спектральный состав этого колебания при любом значении
индекса модуляции, воспользуемся соотношениями, известными из теории
Бесселевых функций:
∞
sin( m sin Ωt ) = 2 ∑ J 2n +1 (m) sin( 2n + 1)Ωt
n =0
(3.33)
∞
cos(m sin Ωt ) = J 0 ( m) + 2 ∑ J 2n (m) cos(2nΩt )
n =1
В этих формулах Jn(m) – функция Бесселя первого рода порядка “n” от
аргумента m. С помощью этих разложений уравнение модулированных
колебаний может быть представлено в виде:
45

16. a ( t ) = A 0 cos(m sin Ωt ) cos ω 0 t − A 0 sin( m sin Ωt ) sin ω 0 t =
 ∞   ∞ 
= A 0 J 0 ( m) + 2 ∑ J 2n ( m) cos 2nΩt  cos ω 0 t − A 0 2 ∑ J 2n +1 ( m) sin( 2n + 1)Ωt  sin ω 0 t =

 n =1 
  n =0
 

∞ ∞
= A 0 J 0 ( m) cos ω 0 t + ∑ A 0 J 2n (m) cos(ω 0 + 2nΩ)t + ∑ A 0 J 2n (m) cos(ω0 − 2nΩt ) +
n =1 n =1
∞ ∞
+ ∑ A 0 J 2n +1 (m) cos[ω0 + (2n + 1)Ω]t − ∑ A 0 J 2n +1 (m) cos[ω0 − (2n + 1)Ω]t =
n =0 n =0
= A 0 J 0 ( m) cos(ω 0 t ) + A 0 J1 (m) cos(ω 0 + Ω) t − A 0 J1 (m) cos(ω 0 − Ω) t +
+ A 0 J 2 ( m) cos(ω 0 + 2Ω) t + A 0 J 2 (m) cos(ω 0 − 2Ωt ) + A 0 J 3 (m) cos(ω 0 + 3Ω) t −
− A 0 J 3 (m) cos(ω 0 − 3Ω) t + 
(3.34)
Эти соотношения приводят к выводу, что модулированное колебание при
угловой модуляции гармоническим сигналом содержит в своем составе, кроме
несущей частоты, бесконечное множество пар боковых частот. Разность между
любой боковой частотой и соседней с ней равна частоте управляющего сигнала
Ω. Амплитуда n-ой боковой составляющей An=Jn(m)A0, где A0 – амплитуда
немодулированного колебания, а m – индекс модуляции. Амплитуды боковых
частот определяются исключительно отношением ωд/Ω, т.е. m и совершенно не
зависят от абсолютного значения несущей частоты ω0.
Амплитуды боковых составляющих могут превосходить амплитуду
основной гармоники, которая при некоторых значениях m (например, m=2,4;
5,5 и т.д.) для которых J0(m)=0, даже обращаться в нуль. При таких значениях
индекса модуляции спектр не содержит составляющей несущей частоты
Компоненты вида A0Jn(m)cos (ω0+nΩ)t и (-1)nA0Jn(m)cos (ω0-nΩ)t можно
рассматривать как составляющие модуляционного вектора, пульсирующего с
частотой nΩ. При n – четном модуляционный вектор Aмод(n) будет параллелен
вектору несущей A0, при n – нечетном он будет перпендикулярен к вектору
несущей.
46

17. Вектор, характеризующий ЧМК равен геометрической сумме вектора
несущей и всех модуляционных векторов (рис. 3.16).
Aмод1(Ω)
Aмод2(2Ω)
Aмод6(6Ω)
Aмод3(3Ω) A0
Am
Рис. 3.16
Каждый модуляционный вектор пульсирует со своей частотой nΩ. Поэтому
векторная диаграмма с течением времени претерпевает сложные изменения, а
результирующий вектор Am перемещается по углу не изменяя своей величины.
В общем амплитуды боковых гармоник уменьшаются, хотя и не монотонно, по
мере удаления частоты составляющей от частоты несущей. Теоретически
ширина спектра колебания даже при модуляции одним тоном не ограничена.
Однако, практически спектр всегда можно ограничить исходя из того, что
коэффициенты функций Бесселя Jn(m) второго порядка выше (n≥2) можно
считать равными нулю. При этом J0(m)≈1, а J1(m) ≈0,5. При больших m
заметную величину приобретают коэффициенты более высоких порядков –
второго, третьего, четвертого и т.д. и их необходимо учитывать. При значениях
m от 0,5 до 1 приобретают некоторое значение вторая пара боковых частот,
ввиду чего ширина спектра должна быть приравнена к 4Ω. При 1<m<2
приходится считаться с третьей и четвертой парами боковых частот и т.д.
Существует эмпирическая формула для оценки числа боковых составляющих в
одной боковой полосе: m+1 линия. Поэтому ширина спектра при тональной
угловой модуляции 2∆Ω=2(m+1)Ω. Если m<<1, 2∆Ωmin=2Ω, а 2∆Ωmax=2mΩ=2ωд.
47