Презентация квалификационная работа магистра Поляниной Юлии Владимировны. Научный руководитель: Асланов Владимир Степанович.

1. МИНОБРНАУКИ РОССИИ
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ
ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
«САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ
УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АКАДЕМИКА С.П. КОРОЛЁВА
(НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)» (СГАУ)
Кафедра теоретической механики
Полянина Юлия Владимировна
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
Научный руководитель: д.т.н., профессор Асланов В.С.
Магистерская диссертация на тему
Самара 2013
Факультет летательных аппаратов

2. 2
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ:
1. найти оптимальное управление, позволяющее
переводить КА из заданного начального положения в
пространстве состояний в заданное конечное положение
за фиксированное время с помощью
-кватернионов;
- модифицированных параметров Родрига;
2. разработать алгоритм синтеза оптимального
программного управления;
3. проиллюстрировать графически полученные
результаты.

3. 3
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРТА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В
КВАТЕРНИОННОЙ ФОРМЕ
(1)
где -вектор абсолютной угловой скорости космического аппарата
в проекции на оси ССК,
- кватернион ориентации ССК относительно ИСК,
- тензор инерции космического аппарата относительно его центра
масс.
ω
Λ
0I
Начальное состояние:
Конечное состояние:
за фиксированное время , доставляя минимум функционалу:
0 0
(0) , (0) .= =Λ Λ ω ω (2)
( ) , ( ) .f f
T T= =Λ Λ ω ω
T
(3)
1
( , ),
2
.
Λ

Λ = Λ = Λ

 × ⋅ =
ɺ
ɺ -1 -1
0 0 ω 0
ω f ω
ω = I (M - ω (I ω)) f (ω)+ I M
dttt
T
∫=
0
T
)()(
2
1
MMJ (4)

4. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРТА
ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ
4
Гамильтониан системы (1) имеет вид:
(5)
(6)
(7)
[ ] ( )T T T 1
o
1 1
( )
2 2
H ω
− 
= + + + 
 
M M Γ Λ ω µ f ω I M
где - кватернион и угловая скорость сопряженной системыµΓ,
( )
T
1
/ ( , ),
2
1
/ / ( ) ( , , ).
2
H
H vectω µ
Γ

= −∂ ∂ = =

 = −∂ ∂ = − ∂ ∂ − =

Γ Λ Γ ω f Γ ω
µ ω f ω µ Λ Γ f Γ Λ ω
ɺ
ɶɺ
Оптимальное управление при отсутствии ограничений на управление
имеет вид:
( )tM
1
0
−
= −M I µ
и определяется из необходимого условия оптимальности принципа
Максимума Понтрягина
0.
H∂
=
∂M

5. УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
5
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Обозначая решение системы (1), (6), при начальных условиях
, через , введем вектор
Вариаций переменных состояния системы .
(8)
0 0 0 0 0
(0) { , , , }T
= =x x Λ ω Γ µ T
)](),(),(),([)( ttttt µΓωΛx =
T
( ) [ ( ), ( ), ( ), ( )]t t t t tδ δ δ δ δ=x Λ ω Γ µ
( ) ( ) ( ), [0, ]t t t t Tδ δ= ∈x A xɺ
Линейное нестационарное уравнение имеет вид:
где - матрица, состоящая из подматриц Якоби
для подвекторов правой части системы (1), (6) и имеющей следующую
структуру:
( )tA / , , , , ,ij i j i j= ∂ ∂ =A f λ ω Γ µ
if
λλ λω
ωω ω ωµ
ω
µλ µω µ µµ
Γ
Γ ΓΓ
Γ
 
 
 =
 
 
 
A A 0 0
0 A A A
A
0 A A 0
A A A A
(9)

6. 6
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Развернутая запись первых двух векторных уравнений системы (10) имеет
вид:
(11)
0 0
0 0
( ) ,
( ) .
f
f
T
T
λ λµ
ω ωµ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
Γ
Γ
= = +
= = +
λ λ Φ Γ Φ µ
ω ω Φ Γ Φ µ
Тогда невязки левой части уравнений (11) для t = T при
определении их по формулам
,f f
δ δλ ω
( ) ,
( ) ,
f f
f f
T
T
δ
δ ∗
= −
= −
Λ Λ Λ
ω ω ω
(12)
становятся известными.
0
(0, ) .f
Tδ δ=x Φ x
Формула переноса вариаций краевых условий:
(10)

7. 7
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
(13)
(14)
1
T T 1
,
( )
λ λµ ω
−
Γ Γ
+ −
= −
=
Φ Φ Φ Φ
Φ Φ ΦΦ
ɶ
ɶ ɶ ɶ ɶ
где
( )
( )
0 1
1
0 1 0
1 1
,
, 1,2,...
f f
i i i
f
i i i i
λµ ωµ
ωµ ω
δ δ δ
δ δ δ
+ −
+
−
+ Γ +
= −
= − =
Γ Φ λ Φ Φ ω
µ Φ ω Φ Γ
ɶ
Это позволяет получить явные итерационные формулы для вычисления
поправок к очередным значениям
переменных сопряженной системы уменьшающих невязки (12) на правом
конце траектории:
0 0 0 0 0 0
1 1, , 1,2,...i i i i iδ + += − = − =Γ Γ Γ µ µ µ
Краевые условия и значения тензора инерции КА для промежуточной n-ой
задачи представляются в виде:
n
o o e
0
(1 ),
(1 ),
0, , 0, , 0, 1,
m m m
n n s n
n n
N
q q
I I q I q
m f n N q q
= + −
= + −
= = = =
ω ω ω
где - некоторый эквивалентный момент инерции корпуса КА.eI

8. 8
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
СТАРТОВАЯ ЗАДАЧА
Кватернион переориентации:
где - эквивалентный момент инерции.
0
0{ , },f
λ∆ = = ∆ ∆Λ Λ Λ λɶ
02arccos ,
/ sin( / 2).
e
e
ϕ λ
ϕ
= ∆
= ∆ν λ
тогда
Эквивалентный тензор инерции: e 3,eI=I I
T 1/2
e o o[( ) ( )]I = I ν I ν
Тогда стартовая краевая задача имеет вид:
1 2
e
1
,
2
( ) .
1
,
2
1
( ),
2
vect
−

=

= −

=

 = − Λ

Λ Λ ω
ω µ I
Γ Γ ω
µ Γ
ɺ
ɺ
ɺ
ɶɺ
(15)
С краевыми условиями вида:
начальные:
0
(0) ,=Λ Λ
0
(0) ;sω=ω ν
конечные: ( ) ,f
T =Λ Λ
( ) .f
sT ω=ω ν

9. 9
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ
СТАРТОВОЙ ЗАДАЧИ
0
0 0
0 0
1 0
( ) ( ),
( ) { ( ), ( )}, ( ) cos( ( ) / 2), ( ) sin( ( ) / 2),
( ) ( ),
( ) { ( ), ( )}, ( ) sin( ( ) / 2), ( ) cos( ( ) / 2),
( ),
s s
s
s s
t t
t t t t t t t
t ω t
t t t t t t t
ct c
φ
φ
λ λ ϕ ϕ
γ γ ϕ ϕ
=
= = =
= ⋅
= = − = ⋅
= ⋅ +
Λ Λ Λ
Λ λ λ ν
ω ν
Γ γ γ ν
µ ν
Решение стартовой задачи:
где 2 0
1 0
3 2 0 0
1 0
( ) / 2 , [0, ],
( ) / 6 / 2 ,
s s
s s
t at a t t T
t at a t t
ω ω
φ ω φ
= + + ∈
= + + +
2 2
1 1 0 0/ , / .e ea c I a c I= =
Компоненты кватерниона ориентации ИСК-ССК Компоненты вектора угловой скорости
,град/сω

10. 10
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компоненты кватерниона
ориентации ИСК-ССК
Компоненты вектора
угловой скорости
Компоненты вектора управляющего момента
,град/сω
,Н мM

11. 11
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
где - вектор модифицированных параметрах Родрига,
- орт оси поворота, - угол поворота.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ В ФОРМЕ
МОДИФИЦИРОВАННЫХ ПАРАМЕТРОВ РОДРИГА
Начальное состояние:
2 Τ
1 1
0 0 0
1 1 1
(1 ) ( ( , )
4 2 2 ,
( ) ( )
ρ
ω
ρ
− −

= − + × + ⋅ =

 = − × = +
ρ ρ ρ ρ f ρ ω
ω I M ω I ω f ω I M
ɺ
ɺ
ω ω ω)ω ω ω)ω ω ω)ω ω ω)
(16)
( )
( ) ( )
4
t
t t tg
φ
= = ⋅ρ ρ ν
ν φ
Конечное состояние:
0 0
(0) , (0) .= =ρ ρ ω ω ( ) , ( ) .f f
T T= =ρ ρ ω ω
За фиксированное время T, доставляя минимум функционалу:
T
0
1
( ) ( ) .
2
T
t t dt= ∫J M M
Гамильтониан системы (16) имеет вид:
( ) ( )T T T 1
o
1
( ) ( )
2
H ρ ω
−
= + + +M M σ f ω µ f ω I M
Система сопряженных уравнений:
( )
T T
/ ( , ),
/ / ( ( ) / ) ( , ).
H
H
σ
ω ρ µ
= −∂ ∂ =

= −∂ ∂ = − ∂ ∂ − ∂ ∂ =
σ ρ f ρ ω
µ ω f ω µ f ω ω σ f ρ,σ ω
ɺ
ɺ
(17)

12. 12
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
РЕШЕНИЕ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Линейное нестационарное уравнение:
( ) ( ) ( ), [0, ]t t t t Tδ δ= ∈x A xɺ
где
ρρ ρω
ωω ωσ ωµ
σω σσ
µρ µω µσ µµ
 
 
 =
 
 
 
A A 0 0
0 A A A
A
0 A A 0
A A A A
Развернутая запись первых двух формул переноса вариаций краевых условий:
0 0
0 0
( ) ,
( )
f
f
T
T
ρσ ρµ
ωσ ωµ
δ δ δ δ
δ δ δ δ
= = +
= = +
ρ ρ Φ σ Φ µ
ω ω Φ σ Φ µ
Формулы уменьшающие невязки на правом конце траектории:
( )
( )
0 1 1
1
0 1 0
1 1
,
, 1,2,...
f f
i i i
f
i i i i
ρµ ωµ
ωµ ωσ
δ δ δ
δ δ δ
− −
+
−
+ +
= −
= − =
σ Φ ρ Φ Φ ω
µ Φ ω Φ σ
ɶ
где
1
.ρσ ρµ ωσ
−
= −Φ Φ Φ Φɶ

13. 13
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА
РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ
Компоненты вектора
модифицированных параметров
Родрига
Компоненты вектора
угловой скорости
Компоненты вектора управляющего момента
,град/сω
,Н мM

14. РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ
1. Найдено оптимальное управление, позволяющее
переводить КА из заданного начального положения в
пространстве состояний в заданное конечное положение
за фиксированное время с помощью
-кватернионов;
- модифицированных параметров Родрига.
2. Разработан алгоритм синтеза оптимального программного
управления.
3. Полученные результаты графически проиллюстрированы.
14
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

15. БЛАГОДАРЮ ЗА ВНИМАНИЕ
15
УПРАВЛЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ПОВОРОТНЫМ МАНЕВРОМ
КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА