-

1. МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Государственного образовательного учреждение высшего профессионального образования
«Калмыцкий государственный университет»
ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КРИСТАЛЛОГРАФИИ
Методические указания
к спецкурсу «Основы кристаллографии и
рентгеноструктурного анализа» для студентов физических
и инженерных специальностей
Элиста 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. Составители: доц. Очиров В.А., доц. Сангаджиев М.М.
«Основные понятия кристаллографии»: Методические указания к спецкур-
су «Основы кристаллографии и рентгеноструктурного анализа» для сту-
дентов специальностей 010701 «Физика», 270102 ПГС и 280402 ПООТ /
Калм.ун –т. Сост. доц. Очиров В.А., доц. Сангаджиев М.М. – Элиста,
2011г.
В работе приведены основные свойства кристаллов, тип симметрии и
разновидности кристаллических решеток.
Методические разработки предназначены для студентов специально-
стей 010701 «Физика», 270102 ПГС и 280402 ПООТ.
Утверждено учебно – методической комиссией факультета матема-
тики, физики и информационных технологий.
Рецензент: кандидат физики – математических наук Бисенгалиев
Р.А.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. Основные понятия кристаллографии
Кристаллография изучает атомную структуру кристаллов, их сим-
метрию и внешнюю огранку. Она является одной из классических фунда-
ментальных наук. Природные кристаллы интересовали философов антич-
ного мира, а в настоящее время кристаллография продолжает бурно разви-
ваться.
Содержание этой науки изменялось по мере ее развития и взаимо-
действия с другими направлениями человеческого познания. Кристаллы
были объектами исследования минералогии, а затем физики, математики,
химии и биологии.
Видающийся советский кристаллограф академик Н.В.Белов схемати-
чески изображал место кристаллографии в центре треугольника, в верши-
нах которого располагал минералогию, физику и химию: минералы и гор-
ные породы, из которых сложена земная кора, существуют в природе в ви-
де кристаллов; кристаллы детально исследует современная физика твердо-
го тела; к кристаллам относится большое число твердых химических про-
дуктов –органических, неорганических и т.д.
Математический аппарат появился в кристаллографии в 19 веке, ко-
гда русский кристаллограф Е.С.Федоров и немецкий математик
А.Шенфлис вывели 230 групп симметрии, которыми описываются атом-
ные структуры кристаллов.
Наглядными и очень удобными считаются в кристаллографии три
метода: аналитическая геометрия кристаллического пространства; метод
теории групп симметрии; метод плотнейших упаковок геометрических тел
в пространстве.
Открытие М.Лауэ в 1912 г. явления дифракции рентгеновских лучей
на кристаллических структурах позволило не только экспериментально
подтвердить основные представления об атомных структурах кристаллов,
но и дало мощный метод исследования структуры кристаллов.
Достижения кристаллографии позволило выращивать кристаллы в
промышленных масштабах с наперед заданными свойствами.
§1. Характерные свойства кристаллов
Кристаллы представляют собой однородные твердые тела, огра-
ниченные плоскими гранями, образующимися при закономерном распре-
делении в пространстве ионов, атомов и молекул.
В отдельных случаях кристаллы могут иметь округлые грани, воз-
никновение которых связано с особенностями условий их роста.
Грани кристаллов пересекаются по ребрам, последние же пересека-
ются в вершинах. Грани, ребра и вершины кристалла являются элемента-
ми его огранения. Так, например, у поваренная соли — 6 квадратными
граней, 12 ребер и 8 вершин.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. Р и с. 1. Куб.
Грани идеально развитого кристалла могут быть
одинаковыми или различными по форме и размерам.
Если форма и размер всех граней кристалла одинаковы,
то ее называют простой кристаллической формой (рис.
1). В случае огранения кристалла различными по форме
и размерам гранями кристаллическая форма называется
комбинированной.
Если в простой кубической форме равномерно притупить вершины,
получим комбинированную форму с двумя типами граней: равносторон-
ние треугольники и восьмиугольники. Если продолжить притупление
вершин куба до тех пор, пока октаэдрические грани соединятся в общих
вершинах, то сохранившие свою форму, но увеличенные в размерах окта-
эдрические грани соединятся в общих вершинах, восстановят квадратную
форму граней куба. При дальнейшем притуплении тех же вершин октаэд-
рические грани превращаются в шестиугольники. Комбинированные
формы показаны на рис. 2 и 3.
а) б) в)
Р и с. 2. Комбинированные формы.
а) – куб с вершинами, притупленными октаэдрическими гранями;
б) – одинаковое развитие кубических и октаэдрических граней;
в) – октаэдр с вершинами, притупленными кубическими гранями
Р и с 3 . Куб с притуп-
ленными вершинами и
ребрами.
Кроме однородности и плоскогранности, основной особенностью
кристаллов является их анизотропия, то есть способность проявлять раз-
личные свойства в разных направлениях. Спайкость – способность кри-
сталлов раскалываться под действием механических сил по плоскостям,
параллельным граням кристалла. Упругость – кристалл, подвергнутый
определенной нагрузке, испытывает напряжение, то есть сжимается или
растягивается. После снятия нагрузки кристалл принимает первоначаль-
ную форму. Твердость кристаллов определяется сопротивлением, которое
они оказывают тому или иному механическому воздействию.
Кристаллы также обладают тепловыми, электрическими и оптиче-
скими свойствами.
§2. Закон постоянства углов.
Кристалл считается идеально развитым, если расстояния (по пер-
пендикуляру) от его центра до различных граней одинаковы. Если же эти
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. расстояния отличаются друг от друга, кристалл считается искаженным.
Обычно искажены природные или полученные синтезом кристаллы при
неблагоприятных условиях роста. Однако независимо от того, идеально
развит кристалл или искажен, углы между его однотипными парами граней
остаются постоянными. Это — один на основных законов кристаллогра-
фии. Закон гласит: при постоянных физико-химических условиях (темпе-
ратура и давление постоянны) углы между однотипными парами граней
данного кристалла постоянны. Формы и размеры кристаллических граней
могут быть различными в зависимости от условий кристаллизации, но уг-
лы между двумя однотипными парами граней для данного вещества всегда
неизменны. На рис. 4 изображены идеально развитый и искаженный кри-
сталлы обыкновенных квасцов, октаэдрические грани которых и в том и в
другом случаях составляют между собой острые углы в 70°31'44" (рис. 4.).
а) б)
Р и с. 4. Кристаллы квасцов.
а) – идеально развитый октаэдрический кристалл;
б) – искаженный октаэдрический кристалл.
Датский минералог Н.Стенон проводил измерения на рядах кри-
сталлов кварца и показал, что, какова бы ни была форма их граней, углы
между соответствующими гранями в однотипных сечениях разных кри-
сталлов всегда одни и те же (рис. 5).
а) б) в) г)
д) е)
Р и с. 5. Кристаллы кварца и их сечения.
а) – идеально развитый кристалл; б) - г) – искаженные кристаллы;
д) – сечения, перпендикулярные ребру аb; в) – сечения, перпендикулярные ребру ac.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. Так, сечение, перпендикулярное вертикальному ребру аб, представ-
ляет правильный шестиугольник лишь в нормально развитых неискажен-
ных кристаллах.
В природных кристаллах формы этих сечений различны (неправиль-
ные шестиугольники), но во всех случаях углы между соответствующими
гранями равны 120°.
Сечения, перпендикулярные ребру ас, также будут шестиугольника-
ми; углы между соответствующими гранями отличаются от 120°, но они
остаются постоянными независимо от изменения формы этих сечений.
§3. Симметрия кристаллов.
До этого отмечалось, что кристаллы представляют собой однород-
ные твердые анизотропные тела, имеющие плоские грани, появление кото-
рых обусловлено тем, что составляющие кристалла частицы (ионы, атомы
и молекулы) расположены в трехмерном пространстве прямолинейно (ше-
ренгами).
Правильная геометрическая форма является одним из характерных
признаков кристалла. В правильных кристаллических многогранниках
имеет место закономерная повторяемость элементов их огранения (граней,
ребер и вершин) при существующих операциях – в этом и проявляется
симметрия кристаллов.
Основными операциями, подчеркивающими симметрию, то есть ус-
танавливающими повторяемость их огранения, являются либо отражение
в воображаемой плоскости равных частей кристалла, либо вращение во-
круг воображаемой прямой, проходящей через его середину. В соответст-
вии с этим приходим к двум наиболее характерным элементам симмет-
рии кристаллов: плоскостям симметрии и осям симметрии.
К этим двум типам симметрии дополнением служит так называемый
центр симметрии. В кристаллах, имеющих центр симметрии, противопо-
ложные грани попарно равны (рис. 6). В этом случае соответствующие
грани повторяются при отражении их в некоторой воображаемой точке,
такую операцию называют инверсией. На рис. 6 для наглядности заштри-
хована пара инверсионно равных граней.
Плоскость симметрии. Если хорошо оформленный кубический кри-
сталл поваренной соли расколоть точно посередине параллельно одной из
граней куба, то получим две зеркально равные его половины. Эта опера-
ция совершается, конечно, мысленно, так как не все кубические кристал-
лы других веществ обладают спайностью по граням куба, как это имеет
место для поваренной соли.
В любом идеально развитом кристалле кубической формы через се-
редины его граней можно провести три взаимно перпендикулярные плос-
кости, параллельные граням куба (рис. 7).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. Р и с. 6. Кристалл, содержащий
лишь центр симметрии
Р и с. 7. Куб с тремя плоскостями
симметрии, параллельными
кубическим граням
Кроме того, воображаемая плоскость, делящая куб пополам, может
проходить через диагонали двух противоположных его граней и два про-
тивоположных ребра (рис. 8). Таких плоскостей симметрии в кубе может
быть только шесть. Это количество плоскостей симметрии куба (три па-
раллельные его граням и шесть диагональных) является максимальным для
кристаллов. Девять плоскостей симметрии мы находим в кристаллах, изо-
браженных на рис. 2, 3.
а)_ б)Р и с. 8. Куб с шестью
диагональными плоскостями
симметрии.
Р и с. 9. Кристалл гипса, содержащий одну
плоскость симметрии и 2 ось, перпендикулярную
этой плоскости.
В других кристаллах могут присутствовать одна, две, три, четыре,
пять и семь плоскостей симметрии. На рис. 9, а изображен кристалл гипса
(CaSO4·2H2O), имеющий лишь одну плоскость симметрии (показана точ-
ками). Плоскости симметрии обозначаются буквами Р и т.
Оси симметрии. В кристаллах гипса выступает и второй основной
элемент симметрии — ось симметрии. Это—воображаемая прямая, прохо-
дящая через середину кристалла и в данном случае перпендикулярная
плоскости симметрии (рис. 9а, б). Если поворачивать кристалл вокруг этой
воображаемой прямой на 360°, то он окажется в положении самосовмеще-
ния (конгруентном) 2 раза, т. е. при повороте на каждые 180°. Такая ось
симметрии, при повороте вокруг которой на 360° кристалл дважды оказы-
вается в положении, аналогичном исходному, называется двойной осью и
обозначается 2.
На рис. 10 дана стереографическая проекция элементов симметрии
кристалла гипса совместно с проекциями граней кристалла в общем поло-
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. жении (черными кружками показаны верхние грани, белыми — нижние).
Плоскость симметрии изображена двойной линией, а 2-ная ось — прямой с
эллипсоидальными значками на концах, подчеркивающими двукратный
ритм вращения.
В кубических кристаллах поваренной соли 2 оси симметрии соеди-
няют попарно середины 12 противоположных ребер куба, следовательно,
всего здесь шесть 2 осей (рис.11). Каждая 2 ось кубического кристалла в
проекции перекрывается плоскостью симметрии, показанной на рис.8.
Р и с. 10. Стереографическая про-
екция элементов симметрии
кристалла гипса.
Р и с. 11. Расположение 4-ных, 3-ных
и 2-ных осей симметрии куба.
Кроме 2 осей, в кристалле, имеющем форму куба, можно найти еще
три четверные оси симметрии, проходящие через середины противополож-
ных граней, и четыре тройные оси симметрии, соединяющие противопо-
ложные вершины (рис.11).
Если поворот осуществляется вокруг 4 осей симметрии, то элементы
огранения оказываются в положении самосовмещения через каждые 90°,
а если вокруг 3 осей, то через 120°. Ритм симметрического преобразо-
вания (порядок оси симметрии) определяется из равенства п=3600
/, где
п — порядок оси симметрии,  — угол поворота, при котором происходит
совмещение соответствующих элементов огранения кристалла.
Р и с. 12. Стереографическая
проекция элементов
симметрии куба.
Оси симметрии обозначаются латинскими
буквами G или L с цифровыми индексами,
показывающими порядок оси, например, L1,
L2, L3, L4, L6. Графически 2 ось обозначают эл-
липсом, 3 — равносторонним треугольником, 4
— квадратом, 6 — правильным шестиуголь-
ником. На рис. 11 в аксонометрии изо-
бражены все оси симметрии для кристалла
кубической формы, а на рис. 12 — стерео-
графическая проекция всех возможных осей
и плоскостей симметрии куба.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. При  = 360° п = 1, то есть кристалл возвращается в исходное
положение. При  = 180° п = 2, имеем ось симметрии 2 порядка,  =
120° п = 3 – ось симметрии 3 порядка,  = 90° п = 4 – ось симметрии 4
порядка,  = 60° п = 6 – ось симметрии 6 порядка.
Кроме буквенного (с цифровыми индексами) и графического изо-
бражений, для осей симметрии часто используются цифровые обозна-
чения, причем цифры соответствуют порядку осей: 1, 2, 3, 4 и 6.
При изучении кристаллов было установлено, что в них могут при-
сутствовать лишь оси симметрии перечисленных выше порядков. Причина
– закономерное распределение в пространстве слагающих кристалл эле-
ментов.
Ось симметрии — воображаемая прямая, проходящая через середину
кристалла,— может соединять либо два совершенно одинаковых, либо два
различных элемента огранения, например вершину и грань, ребро и грань,
две грани, различные по форме и размерам. Оси симметрии, соединяю-
щие одинаковые элементы огранения кристалла, называются биполярными
в отличие от полярных осей, соединяющих различные элементы огранения.
а) б)
Р и с. 13. 4-ные оси и соответствующие стереографические проекции.
а) – биполярная 4-ная ось; б) – полярная 4-ная ось.
На рис. 13,а изображен кристалл с биполярной 4 осью, а на рис. 13,б
— кристалл с полярной 4 осью. Ниже приведены их стереографические
проекции. Из стереограмм видно, что в первом случае в кристалле имеется
как плоскость симметрии, перпендикулярная 4 оси, так и центр симметрии;
во втором случае таковые отсутствуют.
Кроме простых операций симметрии в кристаллах возможны комби-
нированные геометрические преобразования: одновременные поворот и
отражение либо в точке, либо в плоскости. В результате этих составных
геометрических преобразований приходим к дополнительным элементам
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. симметрии кристалла, а именно к инверсионным и зеркальным осям сим-
метрии.
Подобно обыкновенным осям симметрии, инверсионные и зеркаль-
ные оси могут быть 1, 2, 3, 4 и 6 порядков в зависимости от углов поворо-
та. На рис. 14,а изображена составная операция, осуществляемая инверси-
онной осью 1 порядка. Точка а кристалла при повороте на 360 около во-
ображаемой оси возвращается в исходное положение. Отразившись затем в
центре, она оказывается в положении а1. Отразив точку а не в центре, а в
воображаемой плоскости перпендикулярной оси вращения, получим точку
а1'.
а) б)
Р и с. 14. Операции инверсии и отражения
для оси идентичности (а) и 2—ной оси (б).
Из рисунка следует, что инверсионная ось 1 порядка соответствует
центру симметрии, а зеркальная ось 1 порядка – обыкновенной плоскости
симметрии.
Геометрические преобразования, связанные с инверсионной осью 2-
го порядка, показаны на фиг. 14,б. Из рисунка следует, что при повороте
на 180° точка а попадет в положение а', а затем после дополнительного от-
ражения в центре — в положение а1. Отразив же точку а' в плоскости сим-
метрии, переведем ее в положение а1'. Сравнивая между собой две части
рис. 14, замечаем некоторую аналогию соответствующих операций. Одна-
ко в противоположность инверсионной и зеркальной осям 1-го порядка
инверсионная ось 2-го порядка отвечает плоскости симметрии, а зеркаль-
ная ось 2-го порядка — центру симметрии.
Операции, осуществляемые при помощи инверсионной оси 3-го по-
рядка, показаны на рис. 15, а. Точки а1, а2 и а3 верхней половины кристалла
могут быть совмещены с точками а4, а5 и а6 нижней его половины путем
поворота на 120° и отражения в центре. Точка а1 при повороте на 120° по-
падает сначала в положение а2, отразившись же в центре,— в положение
а4; точка аг переходит в положение а3, а затем после отражения в центре
совмещается с точкой а5; точка а3 сначала занимает место точки a1, а затем
после отражения в центре — точки а6.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

11. а) б)
Р и с. 15. Инверсионная и зеркальная 3-ная (а) и 6-ная (б) оси симметрии.
Если точки верхней половины кристалла после поворота на 120° от-
разить не в центре, а в плоскости симметрии, перпендикулярной оси вра-
щения, то придем к расположению точек a4, a5, а6, показанному на рис.
15,б. В данном случае точки верхней половины кристалла размещаются
точно над соответствующими точками нижней его половины. Чтобы прий-
ти к подобному расположению точек, применяя операции, показанные на
рис. 15,а (поворот и отражение в центре), необходимо повернуть мысленно
точки a1, а2 и а3 верхней половины кристалла не на 120, а на 60°. Тогда эти
точки перейдут в положения a'1, a'2 и а'3, а после отражения в центре со-
вместятся с точками а4, а5 и а6 нижней половины кристалла. В этом случае
мы имеем дело с 6-ной инверсионной осью, так как угол поворота равен
60°. Точки верхней и нижней половин кристалла (рис. 15,а) можно привес-
ти в совмещение путем поворота на 60° и последующего отражения их в
плоскости, перпендикулярной оси вращения, то есть оперируя с 6-ной зер-
кальной осью. Следовательно, инверсионная ось 3-го порядка будет одно-
временно зеркальной осью 6-го порядка и, наоборот, инверсионная ось 6-
го порядка является зеркальной осью 3-го порядка.
а) б)
Р и с. 16. Кристаллы с 3-ной (а) и 6-ной инверсионной (б) осями
и их стереографические проекции.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

12. На рис. 16, а,б показаны соответственно кристаллы с 3-ной и 6-ной
инверсионными осями и их стереографические проекции.
Из вышеприведенного, а также из рассмотрения соответствующих
кристаллических форм видно, что 3-ная инверсионная ось представляет
обыкновенную 3-ную ось плюс центр симметрии. 6-ная же инверсионная
ось представляет обыкновенную 3-ную ось плюс плоскость симметрии,
перпендикулярную 3-ной оси.
Составная операция, связанная с инверсионной осью 4-го порядка,
представлена на рис. 17. Для приведения точек а1 и а2 нижней половины
необходимо повернуть эти точки на 90° и отразить в центре. Из рисунка
видно, что в данном случае к тому же результату придем, отразив точки не
в центре, а в плоскости симметрии, перпендикулярной оси вращения, то
есть инверсионная и зеркальная оси 4-го порядка идентичны.
На рис. 18 изображен кристалл с 4 инверсионной (зеркальной) осью
и его проекция.
Р и с. 17. Инверсионная 4-
ная ось.
Р и с. 18. Кристалл с 4-ной осью и его
стереографическая проекция.
В кристаллографии инверсионные оси обозначаются - 6,4,3,2,1 , а
зеркальные оси -

6,4,3,2,1 . Операции любой инверсионной оси могут быть
заменены операциями зеркальной оси:
Инверсионные оси - 6,4,3,2,1
Зеркальные оси -

3,4,6,1,2 .
При описании симметрии кристалла достаточно пользоваться лишь
одним видом этих осей. Учитывая особенности внутреннего строения кри-
сталлов, обычно имеют дело с инверсионными осями. При этом не все ин-
версионные оси представляют собой характерные элементы симметрии.
Выше отмечалось, например, что 3-ная инверсионная ось отвечает обык-
новенной 3-ной оси плюс центр симметрии, т. е. 133  ; 6-ная инверсион-
ная ось m 36 . Лишь 4-ная инверсионная (зеркальная) ось не может быть
заменена обыкновенной осью и центром или плоскостью симметрии.
Таким образом, в кристаллах представлены всего семь независимых
(неприводимых) элементов симметрии, а именно: (даны в цифровом обо-
значении): m,6,4,4,3,2,1 .Символом m обозначается плоскость симметрии.
Из этих семи неприводимых элементов симметрии 6-ная ось в сущности
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

13. также может рассматриваться как комбинация 3-ной и 2-ной осей: 6 = 3 +
2. Поэтому, строго говоря, лишь шесть элементов симметрии кристаллов
не могут быть заменены какими-либо комбинациями или выведены один
из другого. Инверсионная ось 1-го порядка ( 1 ) обозначает здесь центр
симметрии.
При наличии оси вращения бесконечного порядка имеет место так
называемая предельная симметрия. П. Кюри выделил всего семь групп
предельной симметрии. Предельная симметрия характеризует электриче-
ское и магнитное поля, аморфные тела и т. д.
§4. Классы симметрии.
В 1830 г. немецкий ученый Гессель, а в 1867 г. русский академик
А.Гадолин независимо друг от друга доказали, что в кристаллах возможны
лишь 32 вида симметрии. Для их вывода пользуются пятью основными
ступенями симметрии.
1. Полярная, или примитивная, симметрия — без элементов сим-
метрии. Все грани кристалла различны по форме и размерам и, следова-
тельно, не повторяются. В таких кристаллах присутствуют лишь оси иден-
тичности (оси 1 порядка). Каждая грань этих кристаллов представляет со-
бой независимую простую форму, называемую моноэдром, или педионом,
где «моноэдр» с греческого означает одна грань, а «педион» — плоскость.
2. Центральная симметрия — имеется центр симметрии. Каж-
дой грани отвечает другая, одинаковая по форме, размерам и антипарал-
лельная первой. Две такие грани образуют простую форму, назы-
ваемую пинакоидом («пинакс»— доска, таблица).
3. Аксиальная, или осевая, симметрия — имеется одна полярная 2-
ная ось. Здесь любая грань совмещается с другой путем поворота на 180°
вокруг 2-ной оси. Две такие грани образуют клиновидную форму — сфе-
ноид, или осевой диэдр («сфен»— клин, «ди»— две).
4. Планалъная симметрия — с плоскостью симметрии между двумя
гранями, расположенными в виде крыши и совмещающимися друг с дру-
гом при отражении в плоскости симметрии. Отсюда название формы —
безосный диэдр.
5. Планаксиалъная симметрия — сочетание двух предыдущих типов
(ступеней) симметрии. Характерна четырехгранная форма, называемая
призмой.
Эти пять основных форм симметрии показаны на рис. 19.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

14. Р и с. 19. Основные ступени симметрии.
I – полярная (моноэдр, педион); II – центральная (пинакоид); III - аксиальная, или осевая (сфено-
ид, осевой диэдр); IV – планальная (безосный диэдр); V – планаксиальная (призма)
Р и с. 20. Вывод пяти классов симметрии путем сочетания 3-ной оси с основны-
ми ступенями симметрии.
Так могут быть выведены все 32 класса симметрии кристаллов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15. Р и с. 21. Симметрические комплексы 32 классов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

16. Р и с. 22. Характеристические формы 32 классов.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

17. Р и с. 23. Представители 32 классов симметрии среди кристаллов.
§5. Решетки Бравэ.
Основы современной теории внутреннего строения кристаллов были
заложены в начале XIX в. Предложенная в 1784 г. Р.Гаюи теория о плот-
ной упаковке интегрирующих молекул уступила в 1812 г. идее
В.Волластона о строении кристаллов по закону пространственной решет-
ки. Эта идея была экспериментально подтверждена в начале ХХ века не-
мецким физиком М.Лауэ, а затем целым рядом исследований строения
кристаллов.
В 1842 г. немецкий кристаллограф М. Л. Франкенгейм вывел 15 раз-
личных вариантов симметричного расположения точек (узлов) в простран-
стве. В 1948 г. Бравэ, проверяя результаты предыдущего ученого, устано-
вил, что две из выведенных им комбинаций идентичны и поэтому число
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. возможных пространственных решеток равно 14. Симметрия, параметры и
обозначения этих решеток: кубические (а=b=с, ===90) – P, J, F;
тетрагональные (а=bс, ===90) – P, J; ромбические (аbс,
===90) – P, C, F, J; ромбоэдрическая (а=b=с, ==90) – R; моно-
клинные (аbс, ==90 ) – P, C; гексагональные (а=bс, ==90,
=120) – P (С); триклинная (аbс, 90) – P. Обозначения: Р–
примитивная элементарная ячейка, J – объемноцентрированная, С – базо-
центрированная, F – гранецентрированная, R – ромбоэдрическая. 14 типов
решеток Бравэ приведены на рис. 24.
Р и с. 24. 14 типов решеток Бравэ.
Рецензия
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

19. на методические указания «Основные понятия кристаллографии»
для студентов физических и инженерных специальностей
Методические разработки подготовлены доцентом кафедры ЭиОФ
Очировым В.А. и доцентом кафедры ПГС Сангаджиевым М.М.
В работе подробно рассмотрены характерные свойства кристаллов,
представлены типы симметрии и разновидности кристаллических решеток.
Темы раскрыты подробно, на хорошем научно-методическом уровне,
что окажет существенную помощь студентам физических и инженерных
специальностей.
Данную работу необходимо опубликовать.
Рецензент: кандидат физико-математических наук, доцент кафедры
ЭОФ КГУ Бисенгалиев Р.А.
Канд. физ.-мат. наук,
доц. каф. ЭОФ Бисенгалиев Р.А.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

20. Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»