Integrales definidas explicadas con ejemplos y método de integración por partes

1. República Bolivariana De Venezuela.
Instituto Universitario De Tecnología
De Administración Industrial.
Extensión Puerto La Cruz.
Integrantes: Tutor:
Crysmari Mujica V-26.422.252 Miguel Maestre
Georgina Ríos V-29.538.424
Engelberth Salaya V-29.633.490
Puerto La Cruz, 10 de Agosto de 2020.
INSTITUTO UNIVERSITARIO DE
TECNOLOGÍA DE
ADMINISTRACIÓN INDUSTRIAL
EXTENSIÓN PUERTO LA CRUZ

2. ¿Qué son las Integrales?
Las integrales son la herramienta para calcular “El área bajo la curva” como lo
describen en ingeniería, se trata pues del espacio comprendido entre el tramo de
recta real delimitado por dos puntos y los dos puntos perfectamente paralelos de
la curva que está siendo estudiada. Al unir estos cuatro puntos se forma un área
cerrada, gráficamente es esa una integral de una función.
Las Integrales y las derivadas son herramientas ambiguas, ya que se descubrió
que cuando una función es derivada, el proceso de integración regresa a la
función a su estado original, estos procesos son tan usados en el análisis
matemático en los estudios y aplicaciones de la ingeniería, que se les da una
importancia trascendental en la educación.
Las integrales sobrepasan al análisis matemático e incursionan en el campo de la
física, tienen importante aplicación en el estudio del campo electromagnético y la
física moderna, como herramienta de identificación de planos y áreas en las que
pueda existir una relación con la física y sus derivadas, las integrales son muy
prácticas para el cálculo físico.
¿En qué consiste el método de integración por partes?
Existen varios métodos de integración, consistiendo todos ellos en reducir la
integral buscada a una integral conocida, como por ejemplo a una ya tabulada, o
bien, reducirla a una integral más sencilla. El método de integración por partes
está basado en la derivada de un producto de funciones, por eso es que se usa
para integrales que contienen dos funciones que se multiplican entre sí.
Aunque se trata de un método simple, hay que aplicarlo correctamente, por eso
debemos tener en cuenta el siguiente método de aplicación:
a) El integrando debe ser un producto de dos factores.
b) Uno de los factores será 𝒖 y el otro será 𝒅𝒗.
c) Se calcula du derivando 𝒖 y se calcula v integrando 𝒅𝒗.
d) Se aplica la fórmula correspondiente.
Se aconseja:
Escoger adecuadamente 𝒖 y 𝒅𝒗:
Una mala elección puede complicar más el integrando. Por ejemplo, supongamos
que tenemos un producto en el que uno de sus factores es un monomio (por

3. ejemplo 𝒙𝟑
). Si consideramos 𝒅𝒗 = 𝒙𝟑
. Entonces, integrando tendremos que
𝒗 =
𝟏
𝟒
𝒙𝟒
, con lo que hemos aumentado el grado del exponente y esto suele
suponer un paso atrás. Normalmente, se escogen los monomios como 𝒖 para
reducir su exponente al derivarlos. Cuando el exponente es 𝟎, el monomio es igual
a 𝟏 y el integrando es más fácil. Algo parecido ocurre con las fracciones (como
𝟏
𝒙
⁄ ). Si consideramos 𝒅𝒗 = 𝟏
𝒙
⁄ , tendremos 𝒗 = 𝐥𝐨𝐠|𝒙| y, probablemente,
obtendremos una integral más difícil.
Como norma general, llamaremos 𝒖 a las potencias y logaritmos y 𝒅𝒗 a las
exponenciales, fracciones y funciones trigonométricas.
No cambiar la elección:
A veces tenemos que aplicar el método más de una vez para calcular una misma
integral. En estas integrales, al aplicar el método por n-ésima vez, tenemos que
llamar 𝒖 al resultado 𝒅𝒖 del paso anterior y 𝒅𝒗 al resultado 𝒗. Si no lo hacemos
así, como escoger una opción u otra supone integrar o derivar, estaremos
deshaciendo el paso anterior y no avanzaremos.
Integrales cíclicas:
En ocasiones, tras aplicar dos veces integración por partes, tenemos que despejar
la propia integral de la igualdad obtenida para poder calcularla.
Teorema de la integración por partes.
Cuando el integrando está formado por un producto (o una división, que podemos
tratar como un producto) se recomienda utilizar el método de integración por
partes que consiste en aplicar la siguiente fórmula:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Donde 𝒖 y 𝒗 son funciones reales de clase 𝑪𝟏
, es decir derivable y de derivada
continua.
Existe una regla mnemotécnica, es decir, un juego de palabras muy divertido para
aprendérsela de memoria con facilidad: Un día vi una vaca sin cola vestida de
uniforme.

4. Ejemplos del Método de Integración por Partes:
𝒂) ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙
Recordemos el teorema de integración por parte:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒙, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙
Integrando, nos queda que: 𝒗 = 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙) − ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒅𝒙
Integrando, nos queda entonces:
𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝒄
Por lo tanto:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝒙) + 𝐜𝐨𝐬(𝒙) + 𝒄
𝒃) ∫ 𝒙𝟐
𝐥𝐧|𝒙| 𝒅𝒙
Recordemos el teorema de integración por parte:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝐥𝐧|𝒙|, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝟏
𝒙
⁄ 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒙𝟐
𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒙𝟐
𝒅𝒙

5. Integrando, nos queda que: 𝒗 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
+ 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒙𝟐
𝐥𝐧|𝒙| 𝒅𝒙 = 𝐥𝐧|𝒙| ∗
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
− ∫
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
∗
𝟏
𝒙
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
𝐥𝐧|𝒙| −
𝟏
𝟑
∫ 𝒙−𝟏
𝒙𝟑
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
𝐥𝐧|𝒙| −
𝟏
𝟑
∫ 𝒙𝟐
𝒅𝒙
Integrando, nos queda:
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
𝐥𝐧|𝒙| −
𝟏
𝟑
𝒙𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
+ 𝒄 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
𝐥𝐧|𝒙| −
𝟏
𝟗
𝒙𝟑
+ 𝒄
Por lo tanto:
∫ 𝒙𝟐
𝐥𝐧|𝒙| 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
[𝐥𝐧|𝒙| −
𝟏
𝟑
] + 𝒄
¿Qué se entiende por integral definida?
Dada una función 𝒇(𝒙) y un intervalo [𝒂, 𝒃], la integral definida es igual al área
limitada entre la gráfica de 𝒇(𝒙), el eje de abscisas, y las rectas verticales 𝒙 = 𝒂 y
𝒙 = 𝒃.
Figura 1: Área debajo la curva definida por la función 𝒇(𝒙) y un intervalo [𝒂, 𝒃]

6. Características:
a) La integral definida se representa por ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙.
b) ∫ es el signo de integración.
c) 𝒂 es el límite inferior de la integración.
d) 𝒃 es el límite superior de la integración.
e) 𝒇(𝒙) es el integrando o función a integrar.
f) 𝒅𝒙 es diferencial de 𝒙, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades:
a) El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de
integración.
b) Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
c) Si c es un punto interior del intervalo [𝒂, 𝒃], la integral definida se descompone
como una suma de dos integrales extendidas a los intervalos [𝒂, 𝒄] y [𝒄, 𝒃].
d) La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales·
e) La integral del producto de una constante por una función es igual a la
constante por la integral de la función.
Teoremas de Integrales Definidas:
Teorema 1: Regla de Barrow:
La regla de Barrow dice que la integral definida de una función continua 𝒇(𝒙) en
un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃] es igual a la diferencia entre los valores que toma una
función primitiva 𝑮(𝒙) de 𝒇(𝒙), en los extremos de dicho intervalo.
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 = [𝑮(𝒙)]𝒂
𝒃
= 𝑮(𝒃) − 𝑮(𝒂)

7. Teorema 2: Valor Medio:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [𝒂, 𝒃], existe un punto 𝒄 en el
interior del intervalo tal que:
∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 = (𝒃 − 𝒂) ∗ 𝒇(𝒄)
Ejemplos de Integrales Definidas:
a) Inmediatas:
𝒂. 𝟏) ∫ 𝒙
𝟔
𝟑
𝒅𝒙
Integramos:
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
=
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
Evaluamos los límites de integración:
𝟏
𝟐
(𝟔)𝟐
−
𝟏
𝟐
(𝟑)𝟐
=
𝟏
𝟐
(𝟑𝟔) −
𝟏
𝟐
(𝟗) =
𝟐𝟕
𝟐
Por lo tanto:
∫ 𝒙
𝟔
𝟑
𝒅𝒙 =
𝟐𝟕
𝟐
𝒂. 𝟐) ∫ (𝟐 + 𝒙)𝟐
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
Desarrollamos el binomio al cuadrado, nos queda:
∫ (𝟒 + 𝟒𝒙 + 𝒙𝟐
)
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 = 𝟒 ∫ 𝒅𝒙
𝟐
𝟎
+ 𝟒 ∫ 𝒙
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 + ∫ 𝒙𝟐
𝟐
𝟎
𝒅𝒙

8. Integrando:
𝟒𝒙 + 𝟒
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
+
𝒙𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
= 𝟒𝒙 + 𝟐𝒙𝟐
+
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
Evaluamos los límites de integración:
𝟒(𝟐) + 𝟐(𝟐)𝟐
+
𝟏
𝟑
(𝟐)𝟑
− [𝟒(𝟎) + 𝟐(𝟎)𝟐
+
𝟏
𝟑
(𝟎)𝟑
] = 𝟖 + 𝟖 +
𝟖
𝟑
= 𝟏𝟔 +
𝟖
𝟑
=
𝟓𝟔
𝟑
Por lo tanto:
∫ (𝟐 + 𝒙)𝟐
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 =
𝟓𝟔
𝟑
b) Por Cambio De Variable:
𝒃. 𝟏) ∫ (𝒙 + 𝟐)𝟑
𝟎
−𝟑
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable:
𝒖 = 𝒙 + 𝟐
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
Nos queda:
∫ 𝒖𝟑
𝒅𝒖
Integrando:
𝒖𝟑+𝟏
𝟑 + 𝟏
=
𝟏
𝟒
𝒖𝟒
Regresando a la variable original, tenemos:
𝟏
𝟒
(𝒙 + 𝟐)𝟒
Evaluamos los límites de integración:
𝟏
𝟒
(−𝟑 + 𝟐)𝟒
−
𝟏
𝟒
(𝟎 + 𝟐)𝟒
=
𝟏
𝟒
− 𝟒 = −
𝟏𝟓
𝟒

9. Por lo tanto:
∫ (𝒙 + 𝟐)𝟑
𝟎
−𝟑
𝒅𝒙 = −
𝟏𝟓
𝟒
𝒃. 𝟐) ∫
𝒙
√𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
𝟎
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable:
𝒖 = 𝟏 + 𝒙𝟐
𝒅𝒖 = 𝟐𝒙𝒅𝒙
𝒅𝒖
𝟐
= 𝒙𝒅𝒙
Nos queda:
∫
𝟏
𝟐
𝟏
√𝒖
𝒅𝒖 =
𝟏
𝟐
∫ 𝒖−𝟏
𝟐
⁄
𝒅𝒖
Integramos:
𝟏
𝟐
𝒖
(−
𝟏
𝟐
+𝟏)
(−
𝟏
𝟐
+ 𝟏)
=
𝟏
𝟐
𝒖
𝟏
𝟐
⁄
(𝟏
𝟐
⁄ )
= 𝒖
𝟏
𝟐
⁄
= √𝒖
Regresando a la variable original, tenemos:
√𝟏 + 𝒙𝟐
Evaluamos los límites de integración:
√𝟏 + (𝟐)𝟐 − √𝟏 + (𝟎)𝟐 ≅ √𝟓 − √𝟏 = 𝟏, 𝟐𝟒
Por lo tanto:
∫
𝒙
√𝟏 + 𝒙𝟐
𝟐
𝟎
𝒅𝒙 ≅ 𝟏, 𝟐𝟒

10. c) De Funciones Trigonométricas:
𝒄. 𝟏) ∫ 𝐬𝐢𝐧 (
𝟑
𝟐
𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable:
𝒖 =
𝟑
𝟐
𝒙
𝒅𝒖 =
𝟑
𝟐
𝒅𝒙
𝟐
𝟑
𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
Nos queda:
∫
𝟐
𝟑
𝐬𝐢𝐧(𝒖) 𝒅𝒖 =
𝟐
𝟑
∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒖) 𝒅𝒖
Integrando, nos queda:
−
𝟐
𝟑
𝐜𝐨𝐬(𝒖)
Regresando a la variable original, tenemos:
−
𝟐
𝟑
𝐜𝐨𝐬 (
𝟑
𝟐
𝒙)
Evaluando los límites de integración:
−
𝟐
𝟑
𝐜𝐨𝐬 (
𝟑
𝟐
𝝅) +
𝟐
𝟑
𝐜𝐨𝐬(𝟎) =
𝟐
𝟑
Por lo tanto:
∫ 𝐬𝐢𝐧 (
𝟑
𝟐
𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙 =
𝟐
𝟑

11. 𝒄. 𝟐) ∫
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable:
𝒖 = 𝐜𝐨𝐬(𝒙)
𝒅𝒖 = − 𝐬𝐢𝐧(𝒙) 𝒅𝒙
Nos queda:
− ∫
𝟏
𝒖𝟐
𝒅𝒖 = − ∫ 𝒖−𝟐
𝒅𝒖
Integrando, nos queda:
𝟏
𝒖
Regresando a la variable original, tenemos:
𝟏
𝐜𝐨𝐬(𝒙)
= 𝐬𝐞𝐜(𝒙)
Evaluando los límites de integración:
𝐬𝐞𝐜(𝝅) − 𝐬𝐞𝐜(𝟎) = −𝟏 − 𝟏 = −𝟐
Por lo tanto:
∫
𝐬𝐢𝐧(𝒙)
𝐜𝐨𝐬𝟐(𝒙)
𝝅
𝟎
𝒅𝒙 = −𝟐
¿Cuál es el uso de las integrales definidas?
El concepto de integral está asociado al concepto de área. Cuando una figura
plana está acotada por líneas rectas es sencillo calcular su área. Sin embargo,
áreas acotadas por curvas son más difíciles de calcular (incluso, de definir). Uno
de los momentos clave de la historia de las matemáticas fue cuando Arquímedes
(𝟐𝟖𝟕 − 𝟐𝟏𝟐 𝒂. 𝑪) fue capaz de calcular el área de segmentos de una parábola
usando el método de exhausción de Eudoxo.
Cavalieri (alrededor de 1630) sabía cómo integrar funciones potencia (𝒇(𝒙) = 𝒙𝒏
)
desde 𝒏 = 𝟏 hasta 𝒏 = 𝟗. El resultado general, para 𝒏 arbitrario, fue obtenido por
Fermat. Aunque Cavalieri no conocía el término “función” podemos decir que una

12. de sus contribuciones fue que él consideró el problema de calcular el área limitada
por la gráfica de una función positiva, el eje 𝒙 y dos rectas verticales (un
“trapezoide curvilíneo” o “el área bajo una curva”)
Aplicaciones de las integrales definidas:
a) El cálculo del área del recinto limitado por la gráfica de una función:
Sea 𝒇(𝒙) continua y 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 para todo 𝒙 en [𝒂, 𝒃]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de las
abscisas y dos rectas verticales es:
𝑨 = ∫ 𝒇(𝒙)
𝒃
𝒂
𝒅𝒙 = 𝒇(𝒃) − 𝒇(𝒂)
Ejemplo: Área de la función 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎 delimitada por las rectas 𝒙 = 𝟐 y 𝒙 = 𝟖.
Despejando 𝒚, tenemos: 𝒚 = 𝟏𝟎 − 𝒙, la integral sería entonces:
∫ (𝟏𝟎 − 𝒙)
𝟖
𝟐
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Y el teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando ambos teoremas a nuestra integral, tenemos:
𝟏𝟎 ∫ 𝒅𝒙
𝟖
𝟐
− ∫ 𝒙
𝟖
𝟐
𝒅𝒙
Integramos:
𝟏𝟎𝒙 −
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
= 𝟏𝟎𝒙 −
𝟏
𝟐
𝒙𝟐
Evaluando los límites de integración, tenemos:
𝟏𝟎(𝟖) −
𝟏
𝟐
(𝟖)𝟐
− [𝟏𝟎(𝟐) −
𝟏
𝟐
(𝟐)𝟐
] = 𝟖𝟎 − 𝟑𝟐 − 𝟐𝟎 + 𝟐 = 𝟑𝟎𝒖𝟐

13. Por lo tanto:
∫ (𝟏𝟎 − 𝒙)
𝟖
𝟐
𝒅𝒙 = 𝟑𝟎𝒖𝟐
El área de la función 𝒙 + 𝒚 = 𝟏𝟎
delimitada por las rectas 𝒙 = 𝟐 y
𝒙 = 𝟖, es de 𝟑𝟎𝒖𝟐
.
b) El cálculo del área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones:
Si 𝒇(𝒙) y 𝒈(𝒙) son dos funciones distintas, integrables en [𝒂, 𝒃] y tales que
𝒇(𝒙) ≤ 𝒈(𝒙) para todo 𝒙 en [𝒂, 𝒃], entonces el área de la región está dada por:
𝑨 = ∫ 𝒈(𝒙)
𝒃
𝒂
− 𝒇(𝒙)𝒅𝒙
Ejemplo: Área limitada por las gráficas de las funciones 𝒚𝟐
= 𝟒𝒙 e 𝒚 = 𝒙𝟐
.
{
𝒚𝟐
= 𝟒𝒙
𝒚 = 𝒙𝟐 , es to lo podemos escribir también como: {
𝒚 = 𝟐√𝒙
𝒚 = 𝒙𝟐
Tenemos: 𝒚𝟐
= 𝟒𝒙, como 𝒚 = 𝒙𝟐
, entonces: (𝒙𝟐
)𝟐
= 𝟒𝒙
Nos queda: 𝒙𝟒
− 𝟒𝒙 = 𝟎, sacando factor común: 𝒙(𝒙𝟑
− 𝟒) = 𝟎
La función se hace cero en 𝒙 = 𝟎 y 𝒙 = √𝟒
𝟑
, estos vendrían a ser nuestros límites
de integración, por tanto:
∫ [𝟐√𝒙 − 𝒙𝟐
]
√𝟒
𝟑
𝟎
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Y el teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙

14. Aplicando ambos teoremas a nuestra integral, tenemos:
𝟐 ∫ 𝒙
𝟏
𝟐
⁄
√𝟒
𝟑
𝟎
𝒅𝒙 − ∫ 𝒙𝟐
√𝟒
𝟑
𝟎
𝒅𝒙
Integramos:
𝟐
𝒙
𝟏
𝟐
+𝟏
[
𝟏
𝟐
+ 𝟏]
−
𝒙𝟐+𝟏
𝟐 + 𝟏
= 𝟐
𝒙
𝟑
𝟐
⁄
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
=
𝟒
𝟑
𝒙
𝟑
𝟐
⁄
−
𝟏
𝟑
𝒙𝟑
Evaluando los límites de integración, tenemos:
𝟒
𝟑
(√𝟒
𝟑
)
𝟑
𝟐
⁄
−
𝟏
𝟑
(√𝟒
𝟑
)
𝟑
− [
𝟒
𝟑
(𝟎)
𝟑
𝟐
⁄
−
𝟏
𝟑
(𝟎)𝟑
] =
𝟒
𝟑
(𝟐) −
𝟏
𝟑
(𝟒) =
𝟖
𝟑
−
𝟒
𝟑
=
𝟒
𝟑
𝒖𝟐
Por lo tanto:
∫ [𝟐√𝒙 − 𝒙𝟐
]
√𝟒
𝟑
𝟎
𝒅𝒙 =
𝟒
𝟑
𝒖𝟐
El área limitada por las gráficas de las
funciones 𝒚𝟐
= 𝟒𝒙 e 𝒚 = 𝒙𝟐
es
𝟒
𝟑
𝒖𝟐
.
c) El cálculo de volúmenes de revolución:
El volumen 𝑽 de revolución engendrado por el área que define una curva continua
𝒇(𝒙) sobre un intervalo dado del eje de las abscisas puede considerarse igual a la
suma de los infinitos cilindros de altura infinitesimal que pueden ser construidos
por cortes perpendiculares al eje de simetría del volumen 𝑽 (el volumen del
cilindro infinitesimal es la superficie de la base, es decir el círculo de radio 𝒇(𝒙𝒊),
por la altura 𝜟𝒙𝒊).
Sea 𝒇(𝒙) una función real continua en [𝒂, 𝒃], entonces el volumen de revolución
engendrado al girar en torno al eje 𝒙, el recinto limitado por las rectas 𝒙 = 𝒂, 𝒙 = 𝒃,
el eje 𝒙 y la gráfica de 𝒇(𝒙) viene dado por:
𝑽 =
𝟏
𝝅
∫ [𝒇(𝒙)]𝟐
𝒃
𝒂
𝒅𝒙

15. Ejemplo: Volumen del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por
la gráfica de la función 𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝟏, el eje 𝒙, alrededor de 𝒙 = 𝟏.
Del lado izquierdo tenemos la gráfica de la función 𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝟏, del lado derecho
tenemos el sólido descrito por la la función 𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝟏 que gira alrededor de 𝒙 = 𝟏.
Para calcular el volumen del sólido, tomamos un diferencial de volumen:
𝒅𝒗 = 𝟐𝝅(𝟏 − 𝒙)𝒚𝒅𝒙
Entonces, tendremos:
𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟏 − 𝒙)(𝒙𝟑
+ 𝟏)
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙
Desarrollamos:
𝟐𝝅 ∫ (𝒙𝟑
+ 𝟏 − 𝒙𝟒
− 𝒙)
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Y el teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando ambos teoremas a nuestra integral, tenemos:
𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝟑
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 + 𝟐𝝅 ∫ 𝒅𝒙
𝟏
−𝟏
− 𝟐𝝅 ∫ 𝒙𝟒
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 − 𝟐𝝅 ∫ 𝒙
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙

16. Integramos:
𝟐𝝅
𝒙𝟑+𝟏
𝟑 + 𝟏
+ 𝟐𝝅𝒙 − 𝟐𝝅
𝒙𝟒+𝟏
𝟒 + 𝟏
− 𝟐𝝅
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
=
𝝅
𝟐
𝒙𝟒
+ 𝟐𝝅𝒙 −
𝟐
𝟓
𝝅𝒙𝟓
− 𝝅𝒙𝟐
Evaluando los límites de integración, tenemos:
𝝅
𝟐
(𝟏)𝟒
+ 𝟐𝝅(𝟏) −
𝟐
𝟓
𝝅(𝟏)𝟓
− 𝝅(𝟏)𝟐
− [
𝝅
𝟐
(−𝟏)𝟒
+ 𝟐𝝅(−𝟏) −
𝟐
𝟓
𝝅(−𝟏)𝟓
− 𝝅(−𝟏)𝟐
]
=
𝝅
𝟐
+ 𝟐𝝅 −
𝟐
𝟓
𝝅 − 𝝅 −
𝝅
𝟐
+ 𝟐𝝅 −
𝟐
𝟓
𝝅 + 𝝅 = 𝟒𝝅 −
𝟒
𝟓
𝝅 =
𝟏𝟔
𝟓
𝝅 𝒖𝟑
Por lo tanto:
𝑽 = 𝟐𝝅 ∫ (𝟏 − 𝒙)(𝒙𝟑
+ 𝟏)
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 =
𝟏𝟔
𝟓
𝝅 𝒖𝟑
El volumen del sólido de revolución generado al rotar la región limitada por la
gráfica de la función 𝒚 = 𝒙𝟑
+ 𝟏, en el eje 𝒙, alrededor de 𝒙 = 𝟏 es
𝟏𝟔
𝟓
𝝅 𝒖𝟑
.
d) El cálculo de longitud del arco de una curva:
La longitud de un arco cualquiera para una curva continua e integrable Riemann,
se obtendría como la suma infinita de las longitudes infinitesimales de arco.
Sea 𝒇(𝒙) una función real continua en [𝒂, 𝒃], tal que su derivada 𝒇′(𝒙) también es
continua en [𝒂, 𝒃]; entonces la longitud de la gráfica de 𝒇(𝒙) entre 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃
es:
𝑳 = ∫ √𝟏 + [𝒇′(𝒙)]𝟐
𝒃
𝒂
𝒅𝒙
Ejemplo: Longitud de arco de un semicírculo de radio 𝒓 = 𝟏.
Recordemos que un círculo de radio
𝒓 = 𝟏 está descrito mediante la
expresión:
𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏

17. Como trataremos con un semicírculo,
tendremos entonces la función:
𝒚 = √𝟏 − 𝒙𝟐
Derivando la función anterior, nos queda:
𝒇′(𝒙) =
−𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
Por tanto:
𝑳 = ∫ √𝟏 + [
−𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
]
𝟐
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙
Desarrollamos:
∫ √𝟏 +
𝒙𝟐
𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 = ∫ √
𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒙𝟐
𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 = ∫
𝟏
√𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙
Integrando, nos queda:
𝐬𝐢𝐧−𝟏
(𝒙)
Evaluando los límites de integración, tenemos:
𝐬𝐢𝐧−𝟏
(𝟏) − 𝐬𝐢𝐧−𝟏(−𝟏) = 𝝅
Por tanto:
𝑳 = ∫ √𝟏 + [
−𝒙
√𝟏 − 𝒙𝟐
]
𝟐
𝟏
−𝟏
𝒅𝒙 = 𝝅
La longitud de arco de un semicírculo de radio 𝒓 = 𝟏 es 𝝅.

18. e) El cálculo del área lateral de revolución:
Sea 𝒇(𝒙) una función real continua en [𝒂, 𝒃], tal que su derivada 𝒇′(𝒙) también es
continua en [𝒂, 𝒃]; entonces el área lateral de revolución engendrada por 𝒇(𝒙) al
girar en torno al eje 𝒙, entre las rectas 𝒙 = 𝒂 y 𝒙 = 𝒃 es:
𝑺𝑳 = 𝟐𝝅 ∫ 𝒇(𝒙)√𝟏 + [𝒇′(𝒙)]𝟐
𝒃
𝒂
𝒅𝒙
Ejemplo: Área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva 𝟖𝒚𝟐
=
𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
alrededor del eje 𝒙.
Tenemos la función: 𝟖𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
, la podemos escribir como:
𝒚 = ±
𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐√𝟐
Derivando, nos queda:
𝒇′(𝒙) = ±
𝟏
𝟐√𝟐
𝟏 − 𝟐𝒙𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐
Elevamos al cuadrado cada miembro de la expresión para eliminar el negativo, y
le sumamos uno para facilitarnos el trabajo a la hora de meterlo en la integral:
(𝒇′(𝒙))𝟐
+ 𝟏 = 𝟏 + [±
𝟏
𝟐√𝟐
𝟏 − 𝟐𝒙𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐
]
𝟐
= (𝒇′(𝒙))𝟐
+ 𝟏 = 𝟏 +
𝟏
𝟖
𝟏 − 𝟒𝒙𝟐
+ 𝟒𝒙𝟒
𝟏 − 𝒙𝟐
Desarrollando, nos queda:
(𝒇′(𝒙))𝟐
+ 𝟏 =
(𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
)𝟐
𝟖(𝟏 − 𝒙𝟐)
Los puntos de cortes de la función son:
𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
= 𝟎 𝒙𝟐(𝟏 − 𝒙𝟐) = 𝟎 {
𝒙𝟐
= 𝟎 𝒙 = 𝟎
𝟏 − 𝒙𝟐
= 𝟎 𝒙 = ±𝟏

19. Como la función es simétrica par, es decir, simétrica respecto al eje 𝒚, el área
entre 𝒙 = − 𝟏 y 𝒙 = 𝟏 es el doble de la superficie engendrada entre 𝒙 = 𝟎 y
𝒙 = 𝟏 .
Tenemos entonces la integral:
𝑺𝑳 = 𝟒𝝅 ∫
𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐√𝟐
√
(𝟑 − 𝟐𝒙𝟐)𝟐
𝟖(𝟏 − 𝒙𝟐)
𝟏
𝟎
𝒅𝒙
Desarrollamos:
𝟒𝝅 ∫
𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐√𝟐
𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
𝟐√𝟐√𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 = 𝟒𝝅 ∫
𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐
𝟖
𝟑 − 𝟐𝒙𝟐
√𝟏 − 𝒙𝟐
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
∫ 𝟑𝒙 − 𝟐𝒙𝟑
𝟏
𝟎
𝒅𝒙
El teorema de la suma establece que:
∫[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝒅𝒙 = ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 ± ∫ 𝒈(𝒙) 𝒅𝒙
Y el teorema de la constante establece que:
∫ 𝒄𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒄 ∫ 𝒇(𝒙) 𝒅𝒙
Aplicando ambos teoremas a nuestra integral, tenemos:
𝟑
𝟐
𝝅 ∫ 𝒙
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 − 𝝅 ∫ 𝒙𝟑
𝟏
𝟎
𝒅𝒙
Integramos:
𝟑
𝟐
𝝅
𝒙𝟏+𝟏
𝟏 + 𝟏
− 𝝅
𝒙𝟑+𝟏
𝟑 + 𝟏
=
𝟑
𝟒
𝝅𝒙𝟐
−
𝝅
𝟒
𝒙𝟒
Evaluando los límites de integración, tenemos:
𝟑
𝟒
𝝅(𝟏)𝟐
−
𝝅
𝟒
(𝟏)𝟒
− [
𝟑
𝟒
𝝅(𝟎)𝟐
−
𝝅
𝟒
(𝟎)𝟒
] =
𝟑
𝟒
𝝅 −
𝝅
𝟒
=
𝝅
𝟐
𝒖𝟐

20. Por lo tanto:
𝑺𝑳 = 𝟒𝝅 ∫
𝒙 √𝟏 − 𝒙𝟐
𝟐√𝟐
√
(𝟑 − 𝟐𝒙𝟐)𝟐
𝟖(𝟏 − 𝒙𝟐)
𝟏
𝟎
𝒅𝒙 =
𝝅
𝟐
𝒖𝟐
El área de la superficie de revolución engendrada al girar la curva 𝟖𝒚𝟐
= 𝒙𝟐
− 𝒙𝟒
alrededor del eje 𝒙 es
𝝅
𝟐
𝒖𝟐
.
Ejercicios:
𝒂) ∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) 𝒅𝒙
Recordemos el teorema de integración por parte:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒙, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) 𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) 𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable, diremos que:
𝒘 = 𝟓𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟓
= 𝒅𝒙. Nos queda:
∫ 𝒅𝒗 =
𝟏
𝟓
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒘) 𝒅𝒘
Integrando y volviendo a la variable original, nos queda que:
𝒗 =
𝟏
𝟓
𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) + 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) −
𝟏
𝟓
∫ 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) 𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable en la integral restante:
𝒘 = 𝟓𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟓
= 𝒅𝒙.

21. Nos queda:
𝟏
𝟓
𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) −
𝟏
𝟐𝟓
∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒘) 𝒅𝒘
Integrando y regresando a la variable original, nos queda:
𝟏
𝟓
𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) +
𝟏
𝟐𝟓
𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) + 𝒄
Por lo tanto:
∫ 𝒙 𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟓
[𝒙 𝐬𝐢𝐧(𝟓𝒙) +
𝟏
𝟓
𝐜𝐨𝐬(𝟓𝒙)] + 𝒄
𝒃) ∫ 𝒙𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙
Recordemos el teorema de integración por parte:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒙, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable, diremos que:
𝒘 = 𝟑𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟑
= 𝒅𝒙.
Nos queda:
∫ 𝒅𝒗 =
𝟏
𝟑
∫ 𝒆𝒘
𝒅𝒘
Integrando y volviendo a la variable original, nos queda que:
𝒗 =
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙
+ 𝒄

22. Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒙𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙
−
𝟏
𝟑
∫ 𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable en la integral restante:
𝒘 = 𝟑𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟑
= 𝒅𝒙. Nos queda:
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙
−
𝟏
𝟗
∫ 𝒆𝒘
𝒅𝒘
Integrando y regresando a la variable original, nos queda:
𝟏
𝟑
𝒙 𝒆𝟑𝒙
−
𝟏
𝟗
𝒆𝟑𝒙
+ 𝒄
Por lo tanto:
∫ 𝒙𝒆𝟑𝒙
𝒅𝒙 =
𝟏
𝟑
[𝒙 𝒆𝟑𝒙
−
𝟏
𝟑
𝒆𝟑𝒙
] + 𝒄
𝒄) ∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
Recordemos el teorema de integración por parte:
∫ 𝒖 𝒅𝒗 = 𝒖𝒗 − ∫ 𝒗 𝒅𝒖
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒆𝒙
, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable, diremos que:
𝒘 = 𝟑𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟑
= 𝒅𝒙.
Nos queda:
∫ 𝒅𝒗 =
𝟏
𝟑
∫ 𝐬𝐢𝐧(𝒘) 𝒅𝒘

23. Integrando y volviendo a la variable original, nos queda que:
𝒗 = −
𝟏
𝟑
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) + 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟑
𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) +
𝟏
𝟑
∫ 𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
Volveremos a aplicar el método de integración por parte a la integral restante:
Diremos por conveniencia que:
𝒖 = 𝒆𝒙
, por tanto: 𝒅𝒖 = 𝒆𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒗 = 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) 𝒅𝒙, por tanto: ∫ 𝒅𝒗 = ∫ 𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
Hacemos un cambio de variable, diremos que:
𝒘 = 𝟑𝒙, por tanto:
𝒅𝒘
𝟑
= 𝒅𝒙. Nos queda:
∫ 𝒅𝒗 =
𝟏
𝟑
∫ 𝐜𝐨𝐬(𝒘) 𝒅𝒘
Integrando y volviendo a la variable original, nos queda que:
𝒗 =
𝟏
𝟑
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) + 𝒄
Sustituyendo, tenemos:
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 = −
𝟏
𝟑
𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) +
𝟏
𝟗
𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) −
𝟏
𝟗
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙
Como hemos llegado a la integral que teníamos inicialmente, las sumaremos:
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 +
𝟏
𝟗
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟗
𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) −
𝟏
𝟑
𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)
𝟏𝟎
𝟗
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟗
𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) −
𝟏
𝟑
𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙)
Por lo tanto:
∫ 𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) 𝒅𝒙 =
𝟏
𝟏𝟎
𝒆𝒙
𝐬𝐢𝐧(𝟑𝒙) −
𝟑
𝟏𝟎
𝒆𝒙
𝐜𝐨𝐬(𝟑𝒙) + 𝒄

24. Bibliografía:
Título: Integrales. Sitio: Concepto-Definición. Fecha: 02/08/2019
Web: https://conceptodefinicion.de/integrales/
Título: Integración Por Partes. Sitio: EcuRed.
Web: https://www.ecured.cu/Integraci%C3%B3n_por_parte
Título: Método de Integración Por Parte. Sitio: Totumat.
Autor: Anthonny Arias. Fecha: 03/05/2020.
Web: https://totumat.com/2020/05/03/metodo-de-integracion-por-partes/
Título: Integración Por Partes. Sitio: MatesFácil.
Web: https://www.matesfacil.com/resueltos-integracion-por-partes.htm
Título: Integración Definida. Sitio: SuperProf.
Web:https://www.superprof.es/apuntes/escolar/matematicas/calculo/integrales/integral-
definida.html
Título: Arquímedes: el área del segmento de parábola.
Sitio: Matemáticas Visuales.
Web:http://www.matematicasvisuales.com/html/historia/archimedes/parabola.html
Título: Aplicaciones de la integral definida. Sitio: DMA
Web:http://www.dma.fi.upm.es/recursos/aplicaciones/calculo_infinitesimal/web/integracion2/ht
ml/aplicaciones.html
Título: Ejercicios aplicaciones de la integral. Áreas. Sitio: Matemáticas Online.
Web:https://www.matematicasonline.es/pdf/ejercicios/2%C2%BABach%20Cienc/Ejercicios%2
0aplicaciones%20de%20la%20integral%20areas.pdf
Título: Ejercicios Sólido de Revolución. Autor: Dennis David. Sitio: Academia.
Web:https://www.academia.edu/16757431/EJERCICIOS_S%C3%B3lidos_de_revoluci%C3%
B3n
Título: Ejemplos sobre la longitud de arco de gráficas de funciones.
Sitio: Khan Academy.
Web:https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-
functions/line-integrals-for-scalar-functions-articles/a/arc-length-of-function-graphs-examples
Título: Ejercicios resueltos de superficies de revolución. Sitio: Calculo.
Web:https://calculo.cc/temas/temas_bachillerato/segundo_ciencias/integral_defi/problemas/p_i
ntegral_superficie.html