Divulgamos um simples e direto método de resolução de equações diferenciais parciais lineares de ordem única. A vantagem do método é ser aplicável a ordens quaisquer e, a grande desvantagem, é ser restrito a uma única ordem, de cada vez. Por ser muito fácil em comparação com os métodos clássicos, possui grande valor didático.

1. 1
UMA MESMA SOLUÇÃO PARA MUITAS EQUAÇÕES
DIFERENCIAIS PARCIAIS LINEARES DE ORDEM ÚNICA
1Lohans de Oliveira Miranda; 2Lossian Barbosa Bacelar Miranda
1Universidad Europea del Atlântico, Espanha, lohansmiranda@gmail.com
2IFPI, Brasil, lossianm@gmail.com
Resumo. Divulgamos um simples e direto método de resolução de equações
diferenciais parciais lineares de ordem única. A vantagem do método é ser
aplicável a ordens quaisquer e, a grande desvantagem, é ser restrito a uma
única ordem, de cada vez. Por ser muito fácil em comparação com os métodos
clássicos, possui grande valor didático.
1. Preliminares
Sejam:
1) 𝑥
⃗ = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐴, 𝐴 conjunto aberto de ℝ𝑛
;
2) 𝑘 ∈ 𝐼𝑛 = {1, 2, 3, … , 𝑛};
3) 𝑢: 𝐴 → ℝ, função diferenciável 𝑘 vezes, com derivadas contínuas.
(1)
Consideremos a “matriz hessiana de dimensão 𝑘” dada por
𝐻 = (
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) (2)
A partir de 𝐻, consideremos o sistema seguinte, sendo 𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) e
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) funções diferenciáveis 𝑘 vezes com derivadas contínuas, com
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
estando bem definida em 𝐴:
(𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (3)
Denotemos:
𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) =
𝑓𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑏𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
(4)
Então (3) se escreverá como
(
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
) = (𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)) (5)

2. 2
Observação 1. Aplicações reiteradas do Teorema Fundamental do Cálculo
para cada uma das 𝑛𝑘
equações diferenciais parciais
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
= 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (6)
nos dão as 𝑛𝑘
soluções
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) = ∭ … ∫ 𝑔𝑖1…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘−1
+
∑ 𝑐𝑠,𝑖1…𝑖𝑘
𝑘−1
𝑠=1
∏ 𝑥𝑖𝜃
𝑘−1
𝜃=𝑠+1
+ 𝑐𝑘−1,𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(7)
Aqui, os 𝑐 (subindexados) são números reais ou complexos. Obviamente,
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 𝑔𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗) (8)
caso (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) = (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Agora, consideremos a função
𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
(9)
2. Resultados principais
Proposição 1. Nas hipóteses acima estabelecidas, se para (𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠
(𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘) tivermos
𝜕𝑘
𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑗1
𝜕𝑥𝑗2
… 𝜕𝑥𝑗
= 0 (10)
então 𝑢
̃(𝑥
⃗) = ∑ 𝑢𝑖1𝑖2…𝑖𝑘
(𝑥
⃗)
𝑖1,𝑖2,…,𝑖𝑘∈𝐼𝑛
definida em (9) será solução das 𝑛𝑘
equações diferenciais parciais definidas em (3), ou alternativamente em
(6). Em particular, 𝑢
̃(𝑥
⃗) será solução das 2𝑛𝑘
− 1 equações diferenciais
definidas pelas somas dos elementos de todos os subconjuntos não vazios
do conjunto
𝐵 = {
𝜕𝑘
𝑢(𝑥
⃗)
𝜕𝑥𝑖1
𝜕𝑥𝑖2
… 𝜕𝑥𝑖𝑘
; 𝑖1,𝑖2, … , 𝑖𝑘 ∈ 𝐼𝑛 } (11)
Demonstração: é óbvia, devido à construção de 𝑢
̃(𝑥
⃗) e da hipótese
(𝑖1, 𝑖2, … , 𝑖𝑘) ≠ (𝑗1, 𝑗2, … , 𝑗𝑘).
Observação 2. A tese da Proposição 1 ainda pode ser obtida mesmo se as
hipóteses estabelecidas em (10) não forem satisfeitas. Para tanto, basta
encontrarmos as funções incógnitas envolvidas que satisfaçam à equação

3. 3
(∆𝑢
̃)(𝑥
⃗) = 0, obtida de (9) com aplicação do operador laplaciano. Devido
ao fato de o método acima ser muito simples, primitivo, robusto e
plausível, o mesmo também possui essa flexibilidade.
Proposição 2. Seja 𝑓: ℝ2
→ ℝ, função analítica em seu domínio. Então, se
𝑓 é função afim, teremos
𝐿(𝑓)(𝑥, 𝑦) ≝ ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑥 − ∬
𝜕2
𝑓
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦𝜕𝑦 = 0 (12)
Demonstração. Se 𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐, então
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
= 0 e disso segue
(12).
3. Exemplos
Quando se considera a ordem 2 o método acima resolve as
principais equações da ciência tais como as equações da onda, de Laplace
e de Poisson. Em particular, dão as soluções mais óbvias no caso da
equação da onda, como as simples translações da corda vibrante. No caso
da equação de Poisson dão soluções muito variadas. Vejamos um caso
da equação de Laplace.
(
𝜕2
𝑢
𝜕𝑥2
0
0
𝜕2
𝑢
𝜕𝑦2
)
= (
𝑓(𝑥, 𝑦) 0
0 −𝑓(𝑥, 𝑦)
) (13)
Pela teoria apresentada temos:
𝑢11(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑥 + 𝑘1(𝑦)𝑥 + 𝑘2(𝑦)
𝑢22(𝑥, 𝑦) = − ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦𝜕𝑦 + 𝑣1(𝑥)𝑦 + 𝑣2(𝑥)
𝑢
̃(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑥 − ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦𝜕𝑦 + 𝑘1(𝑦)𝑥 + 𝑘2(𝑦) + 𝑣1(𝑥)𝑦
+ 𝑣2(𝑥) (14)
Notemos que as hipóteses estabelecidas em (10) não são satisfeitas pois,
por exemplo,
𝜕2𝑢11
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦) = ∬
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑥 + 𝑘1′′(𝑦)𝑥 + 𝑘2′′(𝑦). Mas se
tomarmos 𝑘1(𝑦), 𝑘2(𝑦), 𝑣1(𝑥) e 𝑣2(𝑥) para serem funções afins, todas as
segundas derivadas das mesmas se anularão e obteremos a partir de (14)
a candidata a função harmônica, rebatizada com mesma nomenclatura,
seguinte:
𝑢
̃(𝑥, 𝑦) = ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑥𝜕𝑥 − ∬ 𝑓(𝑥, 𝑦)𝜕𝑦𝜕𝑦 + 𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (15)

4. 4
Em (15), os parâmetros são números reais ou complexos quaisquer.
Derivando (15) teremos que
𝜕2𝑢
̃
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) +
𝜕2𝑢
̃
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) = (𝑓(𝑥, 𝑦) −
∬
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦𝜕𝑦) + (∬
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥𝜕𝑥 − 𝑓(𝑥, 𝑦)). Esta, igualada a zero nos dá
∬
𝜕2𝑓
𝜕𝑦2
(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑦𝜕𝑦 − ∬
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
(𝑥, 𝑦) 𝜕𝑥𝜕𝑥 = 0. Pela Proposição 2, 𝑢
̃(𝑥, 𝑦) em (15)
será harmônica (solução da equação de Laplace) se 𝑓(𝑥, 𝑦) for função afim,
ou seja, for do tipo
𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐷 (16)
A substituição de (16) em (15) fornece o polinômio harmônico de grau
três abaixo:
𝑢
̃(𝑥, 𝑦) =
𝐴
2
(
𝑥3
3
− 𝑥𝑦2
) +
𝐵
2
(𝑥2
𝑦 −
𝑦3
3
) +
𝐷
2
(𝑥2
− 𝑦2) +
𝑎𝑥𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑐𝑦 + 𝑑 (17)
Conclusão
Os métodos clássicos como os apresentados em [1] obviamente
abrangem o método em estudo. No entanto, este se apresenta explícito
em muitas situações. Além disso, as ferramentas matemáticas
necessárias para o entendimento do método estão restritas ao cálculo
diferencial mais básico. Uma abordagem como a estabelecida seria de
grande estímulo para os alunos em um primeiro contato com a teoria das
equações diferenciais parciais. E para facilitar ainda mais a
aprendizagem, poderíamos desenvolver os resultados, inicialmente, nas
dimensões dois e três.
Referências
[1]. GERALD B. FOLLAND. Introduction to Partial Differential Equations,
2nd ed. Princeton University Press, New Jersey, 1995.