Rencana Program Kegiatan Pembelajaran Semester (RPKPS) mata kuliah Matematika Geodesi mencakup materi dasar aljabar vektor, diferensial vektor, geometri diferensial, medan skalar dan vektor, serta ilmu ukur segitiga bola untuk membantu mahasiswa memahami konsep matematika yang digunakan dalam geodesi."

1. RENCANA PROGRAM KEGIATAN
PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS)
Matematika Geodesi
TKGD 230 / 2 SKS
Dosen Pengampu:
Ir. Sri Narni, MT
Dwi Lestari, ST, ME
JURUSAN TEKNIK GEODESI FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS GADJAH MADA
YOGYAKARTA
2012

2. RENCANA PROGRAM KEGIATAN
PEMBELAJARAN SEMESTER (RPKPS)
Matematika Geodesi
TKGD 230 / 2 SKS
Disusun oleh:
Dwi Lestari, ST, ME
Ir. Sri Narni, MT
Tanggal penyerahan Mengetahui:
PPJ Bidang Akademik
()

3. MATEMATIKA GEODESI
1. Nama Matakuliah : Matematika Geodesi ( Mathematics for Geodesy)
2. Kode MK/SKS/Sifat : TKGD230/2 SKS/Wajib
3. Prasyarat : Kalkulus II
4. Deskripsi Singkat : Mata kuliah ini menjelaskan dasar-dasar matematika yang digunakan
dalam ilmu Geodesi, meliputi aljabar vektor, differensial vektor,
geometri differensial, medan skalar dan medan vektor, serta ilmu
ukur segitiga bola.
5. Tujuan Pembelajaran : mahasiswa mampu menyelesaikan persoalan-persoalan hitungan
dalam aljabar vektor dan hitungan differensial pada vektor, dapat
menerapkan hitungan vektor untuk menyelesaikan persoalan pada
kurva dan luasan (geometri differensial) serta mampu menyelesaikan
persoalan-persoalan hitungan dalam ilmu segitiga bola. Mata kuliah
ini gayut dengan kompetensi A1 dan A3.
6. Learning outcomes :
Kognitif : Memahami konsep dasar matematika geodesi dan aplikasinya di
bidang geodesi
Psikomotorik : Mampu melakukan hitungan matematika geodesi dan
mengaplikasikannya dalam bidang geodesi
Afektif : Mampu mengembangkan kemampuan berpikir analitis, serta
kerjasama dalam tim, berkomunikasi dengan baik, mandiri dan
bertanggung jawab melalui kerja kelompok dalam kegiatan tutorial.
7. Materi Pembelajaran :
Tujuan Pembelajaran
Minggu ke Pokok Bahasan Sub Pokok Bahasan
Mingguan
Mahasiswa dapat:
Mengerti maksud dan tujuan a. Penggunaan vektor dan ilmu ukur
kuliah dan dapat segitiga bola di geodesi
menguraikan pengertian b. Pengertian vektor, jenis dan sifat-
vektor, jenis dan sifat vektor, sifatnya
serta dalil-dalil yang berlaku c. Letak relatif 2 vektor (dependent
Pendahuluan dan review
1 & indepent linear)
aljabar vektor
d. Letak relatif 3 vektor (asas
koplanaritas)
e. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi)
dan R3 (3-dimensi)
menjelaskan komponen a. Komponen vektor dalam bidang
vektor dalam ruang serta dan ruang dan vektor satuan
dapat melakukan operasi Sistem koordinat vektor b. Operasi vektor : penjumlahan,
2
hitungan pada vektor dan operasi vektor selisih, perkalian dengan skalar
c. Dot product dan cross product
d. Perkalian 3 vektor
Menerapkan aplikasi a. Persamaan garis dan bidang yang
hitungan vektor pada sejajar dan tegak lurus sebuah
geometri analitik untuk vektor
Aplikasi vektor dalam
3 mencari persamaan garis b. Persamaan bidang tertentu oleh 3
geometri analitik
dan bidang. buah vektor
c. Sudut antara 2 bidang
a. Jarak titik ke garis
4 Melakukan hitungan Diferensial vektor a. Vektor sebagai fungsi dari satu
diferensial pada vektor perubah (kurve)

4. (fungsi dari satu perubah b. Rumus-rumus diferensial
dan lebih dari satu perubah) a. Vektor sebagai fungsi lebih dari
satu perubah (partial derivative)
Menguraikan pengertian a. Pengertian medan skalar dan
medan skalar dan medan medan vektor
vektor serta melakukan Medan skalar dan b. Gradien (operator Nabla), derivatif
5
hitungannya medan vektor berarah
c. Divergensi, operator Laplacian,
Curl
Menguraikan terbentuknya a. Kurva dalam ruang
kurva dalam ruang dan b. Vektor singgung, vektor normal,
luasan dalam konsep dan vektor binormal pada kurva
geometri diferensial, dapat c. Kelengkungan dan puntiran pada
6,7 Geometri diferensial
menerapkan kurva (rumus Serret-Fernet)
hitungannya.serta d. Sifat-sifat kurva
mengidentifikasi sifat-sifat a. Aplikasinya di bidang Geodesi-
kurva Geomatika
Menghitung besaran a. Luasan atau permukaan dan
fundamental orde I dan II garis-garis parameternya
pada suatu luasan, dan b. Besaran fundamental orde I
mengidentifikasi luasan (besaran dasar Gauss) dan orde II
10,11 sebagai suatu developable Geometri Differensial c. Kelengkungan normal, utama dan
survace serta menentukan Gauss, serta sifat developable
sifat titik pada luasan surface
Sifat titik pada luasan (eliptis,
hiperbolis atau parabolis)
Menjelaskan pengertian a. Pengertian dan terbentuknya
segitiga bola, menguraikan segitiga bola
proses terbentuknya b. Istilah-istilah dalam segitiga bola
segitiga bola dan dapat (lingkaran kecil, lingkaran besar,
12 Pengertian Segitiga Bola
mengidentifikasi posisi parallel, meridian, lintang, bujur,
sebuah titik dalam sistem ekses sferis, jarak sferis, sudut
koordinat bola. sferis)
Mengidentifikasi perbedaan a. Syarat hitungan pada segitiga
segitiga bidang datar dan bola
segitiga bola, b. Macam-macam segitiga bola
mengidentifikasi macam- c. Hitungan pada segitiga bola siku-
macam segitiga bola dan siku (aturan Napier)
13,14 perbedaannya, serta Geometri Segitiga Bola d. Hitungan pada segitiga bola kutub
mampu melakukan hitungan e. Hitungan pada segitiga bola
untuk setiap macam segitiga kwadran
bola. f. Hitungan pada segitiga bola
sembarang ( aturan Sinus dan
Cosinus)
Menerapkan hitungan a. Pelayaran melalui lingkara besar
segitiga bola pada aplikasi- (great circle sailing), penentuan
15,16 aplikasi terkait misal Aplikasi segitiga bola arah kiblat
pelayaran & astronomi b. Segitiga bola astronomis (bola
langit)
8. Evaluasi Pembelajaran:

5. Ada dua macam evaluasi yang dilakukan, yaitu evaluasi terhadap sistem pembelajaran dan evaluasi
terhadap keberhasilan mahasiswa dalam menyerap materi yang dipelajari. Dalam pelaksanaannya
kedua evaluasi dilaksanakan dengan menilai keberhasilan mahasiswa dalam memahami dan
menyelesaikan tugas atau soal yang disampaikan. Evaluasi terdiri atas :
1. Pemberian Tugas dan latihan menyelesaikan soal yang dikerjakan secara individu yang
dilakukan beberapa kali dan hasilnya dikumpulkan.
2. Ujian tengah semester (UTS) yang dilaksanakan secara tertulis sesuai jadwal dengan materi
yang telah diberikan selama sebelum UTS berlangsung.
3. Ujian akhir semester (UAS) yang dilaksanakan secara tertulis sesuai jadwal dengan materi
mencakup keseluruhan materi yang telah diberikan. Syarat untuk bisa mengikuti ujian akhir
semester adalah minimal kehadiran 75%.
Bobot atau proporsi penilaian masing-masing bentuk evaluasi adalah:
a. Tugas dan latihan serta keaktifan pada kuliah dan tutorial 25 %
b. Ujian Tengah Semester 35 %
c. Ujian Akhir Semester 40 %
9. Daftar Pustaka :
Davis, H.F., 1961, Introduction To Vector Analysis, Allyn and Bacon, Inc., Boston
Donnay, J.D.H., 2007, Spherical Trigonometry, Read Books
Koesdiono, dan Sinaga, I., 1979, Dasar-dasar Matematika untuk Geodesi, Departemen Geodesi,
Fakultas Teknik Sipil dan Perencanaan, ITB, Bandung.
Narni, S., dan Muryamto, R., 1999, Matematika Geodesi, Jurusan Teknik Geodesi, Fakultas
Teknik UGM, Yogyakarta.
Spiegel, M.R., 1959, Vector Analysis and an Introduction to Tensor Analysis, Schaum Publishing
Co., NewYork, USA
Stein, F.M, Ph.D, 1963, An Introduction to Vector Analysis, Harper and Row Publishers, New York
Strang, G & K. Borre, 1997, Linear Algebra, Geodesy, and GPS, Wellesley-Cambridge Press,
USA
Todhunter, M.A.F.R.S, 1878, Spherical Trigonometry with numerous Examples, Macmillan & Co,
London, on-line version from www.forgottenbooks.com

6. BAHAN AJAR
MATEMATIKA GEODESI

7. POKOK BAHASAN 1
RUANG VEKTOR
1. Pengertian vektor dan skalar
Vektor didefinisikan sebagai suatu besaran yang mempunyai arah, misalnya
kecepatan, gaya, pergeseran, percepatan dll, sedangkan skalar adalah suatu besaran
saja / tidak mempunyai arah misalnya masa, panjang, waktu, suhu, tinggi dll. Untuk
memperjelas perbedaan skalar dan vektor bisa diperhatikan Tabel 1. berikut.
Tabel 1. Perbedaan vektor dan skalar
skalar vektor
- Besaran tanpa arah - Besaran yang mempunyai arah
- Contoh: luas, panjang, tinggi, - Contoh: gaya, kecepatan,
suhu, dll percepatan, pergeseran/translasi,
- Penulisan simbol: huruf kecil dll
atau besar tanpa strip di bawah, - Penulisan simbol: huruf kecil
misal : a, b, D, M atau besar dengan strip di
- Operasi pada skalar mengikuti bawah, misal a, P, DF,... atau
aturan pada aljabar dasar cara tulis lain dengan tanda
panah di atas atau dibawah
huruf
- Ada aturan tentang aljabar
vektor
Lambang vektor:
Q Vektor PQ = PQ
P = pangkal
Q = ujung
P Besar vektor PQ = magnitude = |
a PQ |
Besar vektor a = magnitude a = | a |
Vektor PQ bisa ditulis PQ , PQ , PQ , PQ
2. Jenis-jenis vektor
Beberapa jenis vektor yaitu:
• Vektor bebas: boleh dipindah asal sejajar dan sama besar
Contoh :
• Vektor meluncur: boleh digeser sepanjang garis kerja
• Vektor terikat tetap : titik pangkal tetap, atau biasa disebut dengan vektor letak

8. • Vektor nol = 0 : vektor yang besarnya nol (arah tak tentu)
• Vektor satuan (unit vector): vektor yang panjangnya/besarnya/magnitudenya = 1
satuan
• Vektor lawan : adalah vektor yang sama besarnya, arah berlawanan
|a| = |-a|
a
-a
Dua buah vektor a dan b dikatakan sama apabila
- Sama panjang
- Sejajar
- Sama arahnya
a
a a
b b
b
a=b a≠b a≠b
3. Operasi vektor (secara grafis)
Operasi yang dimaksud di sini adalah operasi-operasi aljabar seperti pada
bilangan scalar, yaitu penjumlahan, pengurangan, dan perkalian.
a. Penjumlahan
a b
a
a +b a +b
b+a
b
b a
Sehingga pada penjumlahan vektor berlaku sifat komutatif : a + b = b + a
a
0 b
(a + b) + c

9. c
a + (b + c) f
b+c
a+b c
b
e
a
d
f = ??
Sifat asosiatif juga berlaku pada penjumlahan vektor :
(a + b) + c = a + (b + c)
b
a
c a+b+c+d=0
d
b. Pengurangan
-a
c
b b c
a
a+b=c c–a=b
dapat ditafsirkan sebagai c + (- a) = b
c. Perkalian dengan skalar
Jika m adalah suatu skalar dan a adalah suatu vektor, maka
ma=b, dengan a // b dan |b| = |m| |a|
untuk m > 0 , arah b sama arah dengan a
untuk m < 0 , arah b berlawanan arah dengan a
contoh :

10. c b=½a
a
b d c=¾a
d=-¼a
4. Sifat-sifat vektor
Beberapa sifat vektor dapat dinyatakan sebagai berikut:
- a + (- a) = 0
- 1a=a
- 0a=0
- m0=0
- a+0=a
- m (a + b) = ma + mb
- (m + n) a = ma + na
- Kombinasi linear
a p=ma
q=nb
b
----------------- +
r=p+q=ma+nb
r merupakan kombinasi linear a dan b
s=ma+nb+pc+td
s merupakan kombinasi linear dari a, b, c, dan d
5. Soal – soal Latihan
1. Tentukan 3 buah vektor a, b, c sembarang dan tidak saling sejajar. Lakukan
operasi berikut secara grafis:
a. a + b + 2c
b. 2a – b + c
c. ½ a + b – c

11. 2. Jika a dan b adalah sisi-sisi jajaran genjang (parallelogram), tentukan vektor-
vektor yang membentuk dua sisi lainnya dan diagonalnya.
3. Buktikan bahwa pada penjumlahan vektor berlaku hukum asosiatif.
4. Buktikan bahwa pada perkalian vektor dengan skalar berlaku hukum
distributive.
5. Tanto bersepeda ke arah Utara sejauh 3 km, kemudian berbelok ke arah
Tenggara sejauh 5 km. Gambarkan arah pergerakan Tanto dan berapa
resultan pergerakannya?

12. POKOK BAHASAN II
ALJABAR VEKTOR
1. Letak relatif 2 vektor (dependen & indepen linear)
Di dalam suatu bidang dua buah vektor dapat dikatakan sebagai linearly
dependent atau linearly independent.
1. Dependen linear
a a
b
b
a // b , dengan kata lain b dapat dinyatakan dengan a atau sebaliknya.
Misalkan : b = m a
a // b , a dan b saling dependen linear atau a dan b berbeda hanya dari
perkalian konstan m (kolinear)
2. Independen linear
a b
a tidak sejajar b, dengan kata lain a dan b saling independen linear (non
kolinear)
Jika a dan b dua vektor bukan nol yang tidak saling sejajar, vektor c dalam
bidang (R2) diperoleh dengan memilih m dan n yang tepat.
c=ma+nb
ma c
a
b nb
2. Letak relatif 3 vektor (asas koplanaritas)
α α a
a
b
b c
β β c

13. Jika dua bidang α dan β sejajar, vektor a, b, c akan sejajar dengan suatu bidang
(koplanar), atau vektor a, b, c saling dependen linear
atau
a, b, c sejajar dengan suatu arah bidang yang memuat vektor (koplanar), a, b, c
saling dependen linier.
sebaliknya bidang α tidak sejajar bidang β,
disebut independen linier
p p, q, dan r : tidak ada bidang
α sejajar ketiganya (nonkoplanar)
r
q
β
Tiga buah vektor nonkoplanar a, b, c menjadi basis untuk R3, dan vektor d
dalam ruang dapat diperoleh dengan menentukann h, m, n yang tepat pada :
d=ha+mb+nc
nc
d
c
b mb
a
ha
3. Dalil-dalil dalam R2 (2-dimensi) dan R3 (3-dimensi)
Dalil 1 :
Bila a dan b sejajar, maka selalu dapat ditemukan skalar m sehingga
b=ma
Dalil 2 :
Dalam bidang ( R2) sembarang vektor c selalu dapat dituliskan sebagai
kombinasi linear dari dua vektor yang tidak saling sejajar (independen linier)
Dalil 3 :
Dalam ruang (R3), sembarang vektor d selalu dapat ditulis sebagai kombinasi
linier 3 vektor yang nonkoplanar (independen linier)
Dalil 4 :

14. Dalam bidang, 3 vektor atau lebih selalu dependen linier
Dalil 5 :
Dalam ruang, 4 vektor atau lebih selalu dependen linier
4. Soal- soal Latihan
Tunjukan vektor-vektor yang independen dan dependen linier pada contoh
bangun bidang dan ruang berikut ini.
a.
b.
c.
d.

15. POKOK BAHASAN III
SISTEM KOORDINAT VEKTOR
1. Komponen vektor dalam bidang dan ruang
a. Vektor letak
Suatu titik dalam ruang dapat ditentukan letaknya dengan vektor letaknya
(position vector).
Bila O (titik pangkal) sudah ditentukan, maka letak
P suatu titik P dapat ditentukan dengan vektor OP = p
yang berpangkal di O dan berujung di P, maka vektor
letak ini harus berjenis vektor terikat.
p
O
b. Sistem koordinat R2
Dalam bidang ditentukan titik pangkal
D O dan sepasang vektor basis yang
B independen linier: u1 dan u2.
Titik B ditandai oleh vektor letak b =
C OB, maka menurut dalil 2, b akan dapat
u2 ditulis sebagai kombinasi linier u1 dan
u2.
o u1
Contoh : b = 2 u1 + 3 u2
Dalam hal ini titik B lalu diberi koordinat B(2, 3), periksa koordinat C dan D.
Sistem koordinat yang timbul disebut Cartesius (yang umum)
Apabila u1 tegaklurus u2, maka didapat sistem koordinat Cartesius
orthogonal.
Yang biasa digunakan di geodesi adalah sistem koordinat Cartesius
Ortonormal, yaitu u1 tegaklurus u2 dan magnitude u1 = magnitude u2
Sistem ini juga disebut koordinat tegak dan vektor basisnya biasa diberi
nama: i (pada arah sumbu x) dan j (pada arah sumbu y).
Secara umum, vektor letak suatu titik P juga akan diberi koordinat,
samadengan koordinat P.
Dalam gambar di atas, B ditandai oleh b = 2 u1 + 3 u2 lalu ditulis b = (2,3)
yang dianggap sebagai bentuk singkat penulisan b = 2 u1 + 3 u2.
Bilangan 2 dan 3 disebut koordinat = komponen skalar vektor b.
Dalam sistem koordinat tegak, a = OA = (4, -2) artinya a = 4i – 2j yang akan
menunjuk titik A(4, -2).
c. Sistem koordinat R3

16. Dalam ruang dapat ditentukan pangkal O dan 3 vektor independen linear u1,
u2, u3 sebagai basis dan setiap titik akan ditandai dengan vektor letaknya.
a Titik A ditentukan oleh
u3 a = OA = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 = (a1, a2, a3)
maka koordinat A ialah A(a1, a2, a3)
O u2
u1
Z
2. Vektor satuan
Dalam R2: Dalam R3:
Y
k
j i j Y
i X
X
i, j, k = vektor basis / satuan
| i | = | j | = | k | = 1, saling tegak lurus, orientasi tangan kanan
Dalam R2: vektor posisi suatu titik P (p1, p2)
ditulis p = p1 i + p2 j
| p | = p1 2 + p 2 2
Dalam R3: vektor posisi suatu titik A (a1, a2, a3)
ditulis a = a1 i + a2 j + a3 k
| a | = a1 2 + a 2 2 + a3 2
Vektor satuan a = μa= a / | a |
3. Operasi vektor :
Jika a = a1 i + a2 j + a3 k dan b = b1 i + b2 j + b3 k
penjumlahan:
a + b = (a1+ b1) i + (a2 + b2) j + (a3 + b3) k
= (a1+ b1 , a2 + b2 , a3 + b3)

17. selisih :
a - b = (a1 - b1) i + (a2 - b2) j + (a3 - b3) k
= (a1- b1 , a2 - b2 , a3 - b3)
perkalian dengan skalar:
m a = (ma1) i + (ma2) j + (ma3) k = ( ma1, ma2, ma3)
Perhatikan:
B AB = b - a
b
a = (a1, a2, a3)
b = (b1, b2, b3)
sehingga b – a = (b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)
O A
a
|AB| = jarak = |b – a| = (b1 − a1 ) 2 + (b2 − a2 ) 2 + (b3 − a3 ) 2
4. Soal-soal Latihan
1. Tentukan titik D supaya ABCD menyusun sebuah jajaran genjang, dimana
A(4,4,1); B(2,1,5); C(6,8,0)
2. Diketahui p = 3i – 2j + k ; q = 2i – 4j – 3k ; r = -i + 2j + 2k
a. Tentukan magnitude dari p ; p + q - r ; 2p – 3q + r
b. Tentukan vektor satuan p, q dan r
3. Jika r1 = 2i – j + k ; r2 = i + 3j – 2k ; r3 = -2i + j – 3k dan r4 = 3i + 2j + 5k.
Tentukan skalar h, m, n, sehingga r4 = hr1 + mr2 + nr3

18. POKOK BAHASAN IV
PERKALIAN DUA VEKTOR
Pada materi sebelumnya telah dibahas perkalian vektor dengan suatu skalar. Pada
pokok bahasan ini akan dibahas perkalian vektor dengan vektor.
Hasil kali dua buah vektor dibedakan menjadi hasil kali titik (dot product) dan hasil
kali silang (cross product)
1. Hasil kali titik (dot atau scalar product)
Hasil kali titik dua buah vektor a dan b didefinisikan sebagai:
a ⋅b = a b cos θ
dimana θ adalah sudut terkecil yang dibentuk oleh vektor a dan b.
Secara geometrik, hasil kali titik adalah panjang vektor a dikalikan panjang
dari proyeksi vektor b di a atau panjang proyeksi a di b dikalikan panjang
vektor b
B
b
O θ
Bo A
a
a . b = |a| |b| cos θ
= |OA| |OB| cos θ
= |OA| |OBo|
= panjang a kali panjang proyeksi b pada a
Ao
B
b
θ
O
A
a
a . b = |OB| |OA| cos θ
= |OB| |OAo|
= |b| |a| cos θ
=b.a
Sifat –sifat yang berlaku pada hasil kali titik:
1. a . b = b . a , sifat komutatif
2. a . (b + c) = a . b + a . c , sifat distributif
(a + b) . c = a . c + b . c
3. m (a . b) = (ma) . b = a . (mb)
4. jika a tegaklurus b maka a . b = 0
5. a . 0 = |a||0| cos θ = 0

19. 6. a . a = |a||a| cos 0 = |a|2 sehingga |a| = (a . a)1/2
7. i . j = i . k = j . k = 0
8. i . i = j . j = k . k = 1
Misal a = a1i + a2j + a3k dan b = b1i + b2j + b3k
a . b = (a1i).(b1i) + (a1i).(b2j) + (a1i).(b3k) + (a2j).(b1i) + …..
(silahkan dijabarkan sendiri…)
a . b = a1b1 + a2b2 + a3b3
a ⋅b a1b1 + a2b2 + a3b3
Sudut antara 2 arah : cos θ = a b = 2 2 2 2 2 2
a1 + a2 + a3 b1 + b2 + b3
Contoh : p = (2, 4, 1) dan q = (6, -3, 0)
p . q = 2 . 6 + 4 . (-3) + 1 . 0 = 0 artinya p tegaklurus q
Jadi jika a . b = 0 , maka a = 0 atau b = 0 atau θ = 90º
a.a = a1a1 + a2a2 + a3a3 = a12 + a22 + a32
Contoh.
Diketahui : a = 2i + j + 3k
b = i – 4k
c = 3i – j + 2k
Hitunglah :
a. a . b dan b . a
b. |a| , |b|, |c|
c. |a + b|, |a + c|
d. (a – b) . c
e. 3a . 2c dan 6(a . c)
f. (a + b) . c
g. sudut yang terbentuk oleh a dan b
h. vektor satuan pada arah a
i. komponen vektor b pada a
2. Hasil kali silang (Cross product)
Hasil kali silang dua buah vektor a dan b ditulis sebagai:
a ×b = c ,
hasilnya berupa vektor dengan vektor c tegaklurus vektor a dan tegaklurus
vektor b (orientasi tangan kanan).
|c| = |a| |b| sinθ,
c tegak lurus pada bidang yang tertentu oleh a dan b
c=axb
b
a
θ θ
a b
c=axb

20. Arti Geometris:
|a x b| = |a| |b| sin θ
= |OA| |OB| sinθ
B C = |OA||BBo|
b = Luas OACB
= luas jajaran genjang yang
tertentu oleh a dan b
θ
O A
Bo a
R
Akibatnya luas Δ OAB = ½ |a x b|
Umumnya:
Luas ΔPQR = ½ |PQ x PR| θ
= ½ |PQ| |PR| sinθ
P Q
Sifat-sifat hasil kali silang:
a. Jika a // b maka a x b = 0, khususnya a x a = 0
b. a x b = -b x a
c. a x (b + c) = a x b + a x c
(a + b) x c = a x c + b x c
d. m ( a x b) = (ma) x b = a x (mb)
e. a x b = 0 , maka a = 0, b = 0, atau a // b
f. i x j = |i| |j| sin 90º k = 1.1k = k, j x k = i, k x i =j
g. i x i = j x j = k x k = 0
jika a = a1i +a2j + a3k
b = b1i +b2j + b3k
a x b = silahkan dijabarkan berdasar sifat-sifat di atas…
3. Soal-soal latihan
1. Tunjukan bahwa dot product dapat digunakan untuk merumuskan aturan
cosines pada segitiga.
2. Jika c tegaklurus a dan b, buktikan bahwa c juga tegaklurus terhadap
a. a + b
b. 2a – b
c. b – a
3. Tentukan sudut antara a = 3i + 2j – 2k dan b = 2i – 3j + k
4. Tentukan nilai m sehingga a = 2i + mj + k tegaklurus b = 4i – 2j – 2k
5. Tentukan panjang proyeksi vektor a = i – 2j + k pada b = 4i - 4j + 7k
6. Diketahui a = 3i – j +2k, b = 2i +j – k, dan c = i – 2j + 2k , tentukan:
a. a x b; b x c; (a x b) x c
b. Luas segitiga tertentu oleh a, b, dan c
7. Tentukan vektor satuan yang tegaklurus bidang yang tertentu oleh
a = 2i – 3 j + k dan b = i + 3j + 2k
8. Tunjukan bahwa cross product dapat digunakan untuk merumuskan
aturan sinus pada segitiga.

21. POKOK BAHASAN V
PERKALIAN TIGA VEKTOR
Pada pokok bahasan sebelumnya telah dibahas tentang cara-cara perkalian dua buah
vektor yaitu dot dan cross product. Perkalian tiga buah vektor dapat dilakukan
dengan mengikuti langkah-langkah perkalian pada dua vektor, namun perlu
diperhatikan beberapa hal berikut:
a. a.b.c = tidak berarti
b. (a x b) . c = tidak berarti
c. (a . b) c = m c = hasil berupa vektor
d. a ( b . c) = a m = hasil berupa vektor
e. (a x b) . c = a x b . c = hasil berupa skalar hasil kali triple skalar
f. a . (b x c) = a . b x c = hasil berupa skalar
g. (a x b) x c = hasil berupa vektor
h. a x (b x c) = hasil berupa vektor hasil kali triple vektor
1. Hasil kali triple skalar
axb.c
C a x b = L …vektor luas OADB
Co
c B dengan |L| = luas OADB
θ
b axb.c=L.c
O = |L||c| cosθ
D
= |L| OCo
a
A
OCo = proyeksi c ke L
= tinggi c di atas bidang OADB
a x b . c = Luas OADB x tinggi C,
adalah volume parallel epipedum yang tertentu oleh a, b, c
Jika a = a1 i + a2 j + a3 k
b = b1 i + b2 j + b3 k
c = c1 i + c2 j + c3 k
a2 a3 a3 a1 a1 a2
a ×b = i+ j+ k
b2 b3 b3 b1 b1 b2
c = c1i + c2j + c3k
----------------------------------------------------- . (perkalian dot)
a2 a3 a a1 a a2
= c1 + 3 c2 + 1 c3
b2 b3 b3 b1 b1 b2

22. c1 c2 c3 a1 a2 a3 a1 a2 a3
a × b • c = a1 a2 a3 = − c1 c2 c3 = b1 b2 b3
b1 b2 b3 b1 b2 b3 c1 c2 c3
sesuai sifat determinan, maka
POKOK BAHASAN VI

23. GEOMETRI ANALITIK
Pada pokok bahasan ini akan dipelajari beberapa persamaan garis dan bidang
yang dapat ditentukan oleh vektor-vektor tertentu.
Bila diketahui:
OR = r = (x, y, z) = xi + yj + zk = vektor letak titik R, bergerak (R3)
= (x,y) = xi + yj = vektor letak titik R, bergerak (R2)
OA = a = (a1, a2, a3) = a1i + a2j + a3k = vektor letak titik A, tetap (R3)
= (a1, a2) = a1i + a2j k = vektor letak titik A, tetap (R2)
maka dapat ditentukan :
1. Persamaan garis AB
1
B
λ R Misalkan AR = λ AB
A
g r = OR = OA + AR
r b = a + λAB
a = a + λ (b – a)
= (1 – λ)a + λb
O
Apabila λ dijalankan, r = (1 – λ) a + λ b memberikan persamaan garis g (AB).
Penjabaran ke persamaan skalarnya:
r – a = λ(b – a)
dalam R3 menjadi :
(x – a1, y – a2, z – a3) = λ(b1 – a1, b2 – a2, b3 – a3)
= (λ(b1 – a1), λ(b2 – a2), λ(b3 – a3))
x – a1 = λ(b1 – a1)
persamaan skalar dengan
y – a2 = λ(b2 – a2)
parameter λ
z – a3 = λ(b3 – a3)
eliminasi λ menghasilkan:
x − a1 y − a2 z − a3
= =
b1 − a1 b2 − a 2 b3 − a3
x − a1 y − a2 x−XA y − YA
dalam R2 menjadi = (biasanya ditulis = )
b1 − a1 b2 − a2 X B − X A YB − Y A

24. 2. Persamaan garis melalui A // b
A R
g
r = OR = OA + AR
r = a + λb
r
a untuk λ berubah, menyatakan
persamaan garis g, melalui A,
sejajar b
O b atau (r – a) x b = 0
Dalam R3:
r – a = λb
(x – a1, y – a2, z – a3) = (λb1, λb2, λb3)
x − a1 y − a 2 z − a3
= = =λ
b1 b2 b3
b1, b2, b3 disebut bilangan arah
b disebut vektor arah
Dalam R2:
x − a1 y − a 2 b
= atau ( y − a 2 ) = 2 ( x − a1 )
b1 b2 b1
b2/b1 biasa dikenal dengan gradient (m)
3. Persamaan garis/bidang melalui A, tegaklurus b
A
R
R A
b a g α
r
a r
b
O
(r – a) . b = 0
O
Persamaan di atas merupakan persamaan garis (R2) atau persamaan bidang
(R3) yang melalui A tegaklurus pada b.
Bentuk persamaan skalarnya adalah:
b1 (x – a1) + b2 (y – a2) + b3 (z – a3) = 0
4. Persamaan bidang melalui A, // b dan //c
Pada bidang β : t = λb + μc
R
A titik R pada bidang α, sehingga
α OR = OA + AR
r=a+t
c maka: r = a + λb + μc
t
β O b

25. Bentuk skalar persamaannya adalah: [r – a, b, c] = 0, atau
x − a1 y − a2 z − a3
b1 b2 b3 =0
c1 c2 c3
Sedangkan bentuk khusus persamaan di atas adalah:
r = λb + μc
yaitu persamaan bidang melalui O, // b dan c (ingat jika tiga buah vektor a,
b, c dependen linear, maka ada bidang yang sejajar ketiganya, atau parallel
epipedum collaps)
5. Menentukan jarak titik ke garis atau bidang
b r . b = k, merupakan persamaan garis (R2)
atau bidang (R3) yang tegak lurus b, berjarak
k
b dari O.
r
O
b
Bila disusun vektor satuan arah b, μ = b maka persamaan menjadi: r . μ = p
(Persamaan Hess (Normal)) merupakan persamaan garis (R2) atau bidang
(R3) yang tegak lurus μ, berjarak p dari O.
Jarak titik-garis
Titik A dengan vektor a, garis g dengan persamaan Hess r . μ = p atau r . μ –
p = 0 maka jarak (A, g) = |a . μ – p|
Jarak titik-bidang
Titik A dengan vektor a, bidang α dengan persamaan Hess r . μ – p = 0 maka
jarak (A, α) = |a . μ – p|
Latihan
1. Jika u = 2i + j + 2k adalah vektor letak titik A dan v = 3i -j + 4k adalah
vektor letak titik B, tentukan :
a. Persamaan garis yang melalui A dan sejajar vektor B
b. Persamaan bidang yang melalui B dan tegak lurus vektor AB
c. Apabila w = 2i + j + k adalah vektor letak C, tentukan persamaan
bidang yang melalui C sejajar B dan sejajar A
d. Jarak titik X(1,-2,1) terhadap bidang yang melalui B dan tegak lurus
vektor AB

26. POKOK BAHASAN VII
DIFERENSIAL VEKTOR
1. Fungsi Satu Perubah
Diketahui pada persamaan skalar : y = f(x), mempunyai arti
f : x ( x merupakan perubah bebas) menghasilkan y ( tak bebas).
Contoh: y = f(x) = sin x  1 perubah bebas
z = f(x, y) = cos (x+y)  2 perubah bebas
Vektor v berubah sebagai fungsi suatu perubah t, dapat ditulis V = v(t)
Jika V = (v1, v2, v3) maka V = v(t) berarti masing-masing komponen merupakan
fungsi dari t, dan ditulis:
V = ( v1(t), v2(t), v3(t))
contoh: v = (cos t, sin t, sin 2t)
Jika V (t) merupakan suatu vektor yang bergantung pada variable skalar tunggal t,
maka:
v(t + ∆t ) = v(v1 (t + ∆t ), v2 (t + ∆t ), v3 (t + ∆t ))
v(t)
Δv v(t ) = v(v1 (t ), v2 (t ), v3 (t ))
v(t+Δt) ∆v = v (t + ∆ ) − v(t )
t
∆v v(t + ∆t ) − v(t )
=
∆t ∆t
Derivatif v ke t , ditulis dv/dt, didefinisikan sebagai:
dv ∆v v(t + ∆t ) − v(t )
= lim = lim
dt ∆t →0 ∆t ∆t →0 ∆t
dv d
atau dapat ditulis: = v '(t ) = v (t )  berupa vektor
dt dt
hasil pendeferensialan berupa vektor dan dapat dideferensialkan lagi ke t :
d 2v d 3v
; dst.
dt 2 dt 3
Kejadian khusus:
Jika v merupakan vektor letak titik, ditulis r:
R3 : r = (x, y, z)
R2 : r = (x, y) dan r = r(u), maka
R3 : r = (x(u), y(u), z(u))
R2 : r = (x(u), y(u))
r = r(u) menyatakan suatu kurva (R2 maupun R3).
P
dr/du
Δr
r(u) = OP
r(u +Δu) = OQ
r(u) Q
Δr = PQ
r(u+Δu) γ jika Δu → 0 maka Q→P, Δr/
Δu →dr

27. r’ = dr/du = vektor singgung pada kurva γ di titik P.
Jika perubahnya adalah panjang busur kurva itu sendiri, sehingga r = r(s), maka :
r’(s) = dr/ds = t = vektor singgung satuan, atau
t = r’/|r’| → |t| = 1
Contoh dalam fisika:
Jika perubah t : waktu, r = r(t) merupakan persamaan gerak titik,
r’(t) = v(t) : adalah vektor kecepatan
r’’(t) = v’(t) = a(t) : adalah vektor percepatan titik.
Vektor kecepatan akan menyinggung kurva lintasan.
Sifat-sifat derivatif vektor:
Jika u, v, w merupakan vektor fungsi dan φ adalah skalar fungsi dengan perubah
skalar t:
d
1. a = 0 ; a vektor tetap
dt
d du dv
2. (u + v ) = +
dt dt dt
d du dv
3. (u ⋅ v ) = v ⋅ +u ⋅
dt dt dt
d dv du
4. (u × v) = u × + ×v
dt dt dt
d d u dϕ
5. (ϕu ) = ϕ + u
dt dt dt
d dw dv du
6. (u ⋅ v × w) = u ⋅ v × +u ⋅ ×w + ⋅v×w
dt dt dt dt
d
7. {u × (v × w)} = u × (v × d w ) + u × ( d v × w) + d u × (v × w)
dt dt dt dt
Hati-hati dengan urutan operasinya!
Pada vektor letak v = (v1, v2, v3) = v1i + v2j + v3k
Jika v = v(t) maka
v1= v1(t) ; v2= v2(t) ; v3= v3(t)
sehingga v = v1(t) i + v2(t) j + v3(t) k
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
s v s v s v
sehingga:
dv d i dv1 d j dv2 d k dv3
= (v1 + i ) + (v2 + j ) + (v3 + k)
dt dt dt dt dt dt dt
ingat da/dt = 0
maka :
d v dv1 dv dv
= i+ 2 j+ 3k
dt dt dt dt
dv dv1 dv2 dv3
=( , , )
dt dt dt dt
Latihan Soal :
1. v = (2, t2, 1/t) tentukan dv/dt !

28. 2. r = sin t i + cos t j + t k = (sin t, cos t, t)
Carilah : dr/dt , d2r/dt2 , | dr/dt| , | d2r/dt2|
3. Persamaan gerak suatu titik sepanjang kurva dalam bentuk parameter:
x = e-t , y = 2 cos 3t ; z = 2 sin 3t
Tentukan magnitude dari kecepatan dan percepatan pada saat t = 1.
4. Sebuah titik bergerak sepanjang kurva x = 2t2 , y = t2 – 4t , z = 3t – 5
Carilah komponen kecepatan dan percepatannya pada saat
t = 1 dalam arah i – 3j + 2k
5. Persamaan gerak titik diberikan dengan r = (x, y, z) = (2 cos t, sin t,
4)
Carilah vektor normal pada kurva pada saat t = π/4
6. Jika a = 5t2 i + t j - t3 k dan b = sin t i – cos t j, carilah:
a. d/dt(a . b) b. d/dt (a x b) c. d/dt (a . a)
7. Tentukan persamaan garis singgung dan garis normal di titik φ = π/3
pada kurva r = (x, y) = (φ cosφ, sin2φ)
2. Fungsi Lebih dari satu Perubah
Jika v = (v1, v2, v3), sedang v1, v2, v3 merupakan fungsi dua perubah s, t, maka v
adalah fungsi s,t.
v = v(s, t) = (v1(s,t), v2(s,t), v3(s,t))
Derivatif parsial v ke s dan t :
∂v  ∂v1 ∂v 2 ∂v3 
= , , 
∂s  ∂s ∂s ds 
∂v  ∂v1 ∂v 2 ∂v3 
= , ,  dst untuk derivative orde yang lebih tinggi disusun dengan
∂t  ∂t ∂t dt 
cara sama.
Jika vektor letak r merupakan fungsi 2 perubah r = r (s, t), maka tempat kedudukan
titiknya berupa luasan dalam ruang.
∂a ∂a ∂a
Jika a = a (x, y, z) → d a = ∂x dx + ∂y dy + ∂z dz
∂2 a ∂  ∂a  ∂2 a ∂  ∂a  ∂2 a ∂  ∂a 
=  , =  , =  
∂x 2
∂x  ∂x  ∂y 2
∂y  ∂y 
  ∂z 2
∂z  ∂z 
∂2 a ∂  ∂a  ∂2 a ∂  ∂a  ∂3 a ∂  ∂2 a 
=  , =  , =  
∂∂
x y ∂  ∂  ∂y∂x
x y ∂y  ∂x  ∂x∂z 2 ∂x  ∂z 2 
 
∂ a
2
∂ a
2
Jika a memiliki derivatif partial orde dua atau lebih, =
∂∂
x y ∂∂
y x

29. Contoh latihan:
1. a = (2x2y – x4) i + (exy – ysinx) j + (x2 cosy) k
∂a ∂ a ∂2 a ∂2 a ∂a2
∂a
2
∂ a
3
∂ a
3
carilah , ∂ , , , , , ,
∂x y ∂x 2 ∂ 2
y ∂∂ y x ∂ ∂ 2 ∂ 2∂
x y ∂∂ x y x y
POKOK BAHASAN VIII
GEOMETRI DIFERENSIAL

30. 1. Kurva dalam Ruang
Suatu kurva dalam ruang (R3) adalah tempat kedudukan suatu titik r(x, y, z)
yang dapat dinyatakan sebagai suatu fungsi dari suatu parameter tunggal u.
R3 : r (x, y, z) → r = r (u) dengan u : parameter
dapat ditulis r = r (u) = (x(u), y(u), z(u))
atau x = x(u)
y = y(u)
z = z(u).
Suatu kurva dalam ruang dapat pula merupakan kurva hasil perpotongan dari
2 luasan : F (x,y,z) = 0
G (x,y,z) = 0
dr
r = r (u) → = r (u ) adalah vektor singgung pada kurva.

du
r (u )

Untuk suatu nilai u = uo tertentu titik r
(uo) = ro pada kurva yaitu To dan
r = r (u) r (u o ) =ro = vektor singgung di To
 
0
r = ro + λro
 → garis singgung di To pada kurva
( r − ro ) ⋅ ro = 0
 →bidang normal pada kurva di To
Khusus : jika sebagai parameter adalah s = panjang busur kurva, sehingga
r = r (s), maka dr/ds = r´(s) = t merupakan vektor singgung satuan ( |t| = 1).
Ctt :
lambang aksen (´) digunakan untuk derivatif ke s, sedangkan lambang flux (·)
untuk derivatif ke parameter lain yang bukan s.
Di antara keduanya terdapat hubungan :
d r d r ds ds
r=
 = =t = ts

du ds du du
d r d r du
t = r′ = = = ru′

ds du ds
• Vektor normal utama
r = r (s) → r´= t → vektor singgung satuan, karena |t| = konstan(=1)
maka t´┴ t

31. dt d 2 r
t′ = = = κn n : vektor normal utama satuan
ds ds 2
κ : kelengkungan dari kurva pd suatu titik ( dipilih
yang tidak negatif)
dapat ditulis κ = |t´| = |r˝|= (r˝.r˝)
ρ = 1/κ → jari-jari kelengkungan
• Koordinat berjalan
b b : suatu unit vektor yang tegaklurus bidang yang
t
T tertentu oleh n dan t
Maka b = t x n
n b : vektor binormal satuan
Ketiga vektor t, n, b menyusun suatu sistem orthogonal yang disebut sistem
koordinat yang berjalan, karena di setiap titik di kurva dapat disusun sepasang t,
n, b kemudian semua vektor berkaitan dengan titik tersebut dapat dinyatakan
dengan t, n, b secara tunggal.
t.n=n.b=b.t=0
t.t=n.n=b.b=1
Vektor t, n menyusun bidang Oskulasi (Os)
Vektor n, b menyusun bidang normal (N)
Vektor t, b menyusun bidang rektifikasi (R)
Garis melalui T, sejajar t disebut garis singgung,
garis melalui T, sejajar n disebut garis normal utama,
garis melalui T, sejajar b disebut garis binormal.
Jadi misalnya:
persamaan bidang Oskulasi di To:
(r – ro) . bo = 0 atau r = ro + λto + μno atau bisa ditulis [r – ro, to, no] = 0
garis normal utama di To:
r = ro + γno
Bidang Oskulasi
n (r – ro). bo = 0
t Bidang
rektifikasi/pelurus
b (r – ro). no = 0
Ctt : Bidang N adalah bidang tegak lurus kurva, dan
bidang Os adalah bidang yang di sekitar titiknya seolah-olah memuat
kurvanya. Bidang Normal
(r – ro). to = 0

32. • Rumus Serret-Frenet
Rumus ini menyatakan derivatif t, n, b, ke s (panjang busur kurva).
dt dn db
= t′ = κ n = n′ = τ b − κ t τ
= b′ = − n
ds ds ds
τ : suatu skalar dinamakan torsi = puntiran yang mungkin positif, nol atau
negative
σ = 1/ τ : jari-jari torsi
periksa : κ = |t´| = kecepatan sudut t
| τ | = | b´| = kecepatan sudut b
Untuk parameter bukan s (umum):
Ingat kembali : untuk r = r (u) di titik u = Uo, maka garis singgung dapat ditulis
r = ro + λro

ds
sudah ditulis pula bahwa r = t
 sehingga
du
d r d 2 r d t ds ds
 d 2s
 =
r = = +t 2
du du 2 ds du du du
2
 ds  d 2s
= κ n  +t
 du  du 2
jadi r dan  dua-duanya sejajar dengan bidang Os, maka persamaan bidang Os
 r
di To dapat ditulis:
r = ro +l ro + m atau [r − ro , ro ,  ] = 0
 ro  ro
ditulis dengan skalar, persamaan bidang Os di To menjadi:
x − xo y − yo z − zo
 dx   dy   dz 
      =0
 du o  du o  du o
d x 
2
d y 
2
d 2z 

 du 2 
 
 du 2 
 
 du 2 

 o  o  o
• Rumus untuk mencari κ dan τ
Jika digunakan parameter s :
κ = (r˝. r˝)1/2
r˝ = d2r / ds2
τ = [r´, r˝, r”’]/ κ2
Jika digunakan parameter yang umum u :
r ×r
 
τ=
[ r , r,r]
  
κ= 3 2
r
 r × 
 r
κ dan τ adalah ukuran penting bagi kurva, sebab jika κ dan τ tiap titik tertentu
maka bentuk kurva tertentu, kecuali letaknya belum.
Sifat – sifat yang didasarkan atas κ dan τ adalah:

33. o jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus yang τ
nya tidak tentu)
o κ = 0, maka kurvanya garis lurus
o κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix ( kurva bersudut tetap dengan
suatu arah)
o κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran (garis
sekrup)
o τ = 0, κ = konstan, kurva berupa lingkaran
Contoh dan Latihan
1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´,
n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ =
θo.
2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa
helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3)
3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:
x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t
tentukan t di titik t = 2.
4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada
kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.
Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

34. o jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus yang τ
nya tidak tentu)
o κ = 0, maka kurvanya garis lurus
o κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix ( kurva bersudut tetap dengan
suatu arah)
o κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran (garis
sekrup)
o τ = 0, κ = konstan, kurva berupa lingkaran
Contoh dan Latihan
1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´,
n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ =
θo.
2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa
helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3)
3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:
x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t
tentukan t di titik t = 2.
4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada
kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.
Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

35. o jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus yang τ
nya tidak tentu)
o κ = 0, maka kurvanya garis lurus
o κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix ( kurva bersudut tetap dengan
suatu arah)
o κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran (garis
sekrup)
o τ = 0, κ = konstan, kurva berupa lingkaran
Contoh dan Latihan
1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´,
n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ =
θo.
2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa
helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3)
3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:
x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t
tentukan t di titik t = 2.
4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada
kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.
Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.

36. o jika kurvanya datar, maka τ = 0 dan sebaliknya (kecuali garis lurus yang τ
nya tidak tentu)
o κ = 0, maka kurvanya garis lurus
o κ/ τ = konstan, maka kurvanya berupa helix ( kurva bersudut tetap dengan
suatu arah)
o κ = konstan dan τ = konstan, maka kurvanya adalah helix lingkaran (garis
sekrup)
o τ = 0, κ = konstan, kurva berupa lingkaran
Contoh dan Latihan
1. Kurva r = (x,y,z) = (a cosθ, a sinθ, cθ) dengan θ = parameter. Tentukan t, t´,
n, κ, b, persamaan garis singgung di θ = θo dan persamaan bidang Os di θ =
θo.
2. Jika r = (av, bv2, v3), v parameter dan memenuhi 2b2 = 3a, maka kurva berupa
helix yang tabungnya sejajar vektor (1, 0, 1). Periksa r = (6v, 3v2, v3)
3. Tentukan vektor singgung satuan pada kurva r = (x,y,z) dimana:
x = t2 + 1 ; y = 4t – 3 ; z = 2t2 – 6t
tentukan t di titik t = 2.
4. Tentukan vektor singgung satuan dan vektor normal utama satuan pada
kurva: r = r(β) = (β-sinβ, 1-cosβ, 4sin(β/2)) untuk β = Π/3.
Tentukan pula κ dan τ, persamaan garis singgung dan bidang normalnya.