Toan pt.de021.2011
- 1. Thi thử Đại học www.toanpt.net
Së GD vµ §T h¶i d¬ng
Trêng THPT Thanh B×nh
§Ò thi thö ®¹i häc, cao ®¼ng n¨m 2011
M«n thi : to¸n, Khèi A, B
(Thêi gian lµm bµi 180 phót , kh«ng kÓ giao ®Ò)
A. PhÇn chung cho tÊt c¶ c¸c thÝ sinh ( 7,0 ®iÓm)
C©u I ( 2 ®): Cho hµm sè:
2
1
x
y
x
(1)
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè (1).
2) T×m ®iÓm M trªn (C) sao cho tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn hai ®êng tiÖm cËn lµ
nhá nhÊt.
C©u II ( 2 ®):
1) Gi¶i ph¬ng tr×nh:
6 6
4(sin cos ) 6.cos2 2.cos4
0
sin 2
x x x x
x
2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
2 2
8 2 2 3 2
x y
y x
x y y
3) Gi¶i ph¬ng tr×nh :
2
2x 3
x 2 x
3 .4 18
C©u III (1 ®): TÝnh tÝch ph©n sau: 2
2
1
1
ln
4 ln
e
I x dx
x x
C©u IV (1 ®:Cho h×nh l¨ng trô tam gi¸c ABC.A’B’C’ cã ®¸y ABC lµ tam gi¸c vu«ng
c©n t¹i A, 2BC a , h×nh chiÕu cña A’ trªn mÆt ph¼ng (ABC) lµ träng t©m tam gi¸c
ABC, c¹nh bªn t¹o víi mÆt ®¸y mét gãc 600
. TÝnh thÓ tÝch cña khèi l¨ng trô ®ã.
C©u V (1 ®): Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n : 3 1 3 2x x y y
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt vµ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A = x + y.
B. PhÇn tù chän ( 3,0 ®iÓm)
1. Theo ch¬ng tr×nh chuÈn:
C©u VI.a ( 2®):
1) Trong mÆt ph¼ng víi hÖ to¹ ®é Oxy cho h×nh vu«ng ABCD cã ®Ønh A(4; 5), ®êng
chÐo BD cã ph¬ng tr×nh: y - 3 = 0. T×m to¹ ®é cña c¸c ®Ønh cßn l¹i cña h×nh vu«ng ®ã.
2) Trong kh«ng gian Oxyz cho (P): 3x - 2y - 3z - 7 = 0 vµ
x 2 y 4 z 1
d :
3 2 2
.
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua A(-1; 0; 1), song song víi mÆt ph¼ng (P) vµ c¾t
®êng th¼ng d.
C©u VII.a (1®): TÝnh tæng sau:
2 4 6 2010
1 3 5 2009
2010 2010 2010 2010
2 1 2 1 2 1 2 1
. . . ... .
2 4 6 2010
S C C C C
.
2. Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao:
C©u VI.b ( 2®):
1) Trong mÆt ph¼ng Oxy cho A(2;1) vµ ®êng th¼ng (d):2x+3y+4=0 . LËp ph¬ng tr×nh
®êng th¼ng ®i qua A t¹o víi ®êng th¼ng (d) mét gãc 450
.
2) Trong kh«ng gian Oxyz cho 3 ®êng th¼ng:
1
x 2 y 2 z 1
d :
3 4 1
; 2
x 7 y 3 z 9
d :
1 2 1
; 3
x 1 y 3 z 2
d :
1 1 2
ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng d song song víi d3 vµ c¾t d1, d2.
C©u VII.b ( 1®): Mét hép ®ùng 4 viªn bi xanh , 3 viªn bi ®á vµ 2 viªn bi vµng.
Chän ngÉu nhiªn ra hai viªn bi.
a) TÝnh x¸c suÊt ®Ó chän ®îc 2 viªn bi cïng mµu.
b) TÝnh x¸c suÊt ®Ó chän ®îc 2 viªn bi kh¸c mµu.
§Ò chÝnh thøc
- 2. Thi thử Đại học www.toanpt.net
§¸P ¸N
C©u I:
1) Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ hµm sè: ( tr×nh bµy theo ch¬ng tr×nh c¬ b¶n)
a) TËp x¸c ®Þnh: D = R {-1}
b) Sù biÕn thiªn
. ChiÒu biÕn thiªn: 2 2
( 1) ( 2) 3
' 0 1
( 1) ( 1)
x x
y x R
x x
=> Hµm sè ®ång biÕn trªn c¸c kho¶ng (- ∞, -1) vµ (-1, +∞)
. Hµm sè kh«ng cã cùc trÞ
. Giíi h¹n:
+
2
lim lim 1
1x x
x
y
x
=> §êng th¼ng y = 1 lµ tiÖm cËn ngang cña ®å thÞ hµm sè
+
( 1) ( 1)
2
lim lim
1x x
x
y
x
;
( 1) ( 1)
2
lim lim
1x x
x
y
x
=> ®êng th¼ng x = - 1 lµ tiÖm cËn ®øng cña ®å thÞ hµm sè.
. B¶ng biÕn thiªn:
x - ∞ -1 +∞
y' + +
y
1
+∞
-∞
1
c) §å thÞ:
§å thÞ hµm sè c¾t trôc Ox t¹i ®iÓm (2;0 )
§å thÞ hµm sè c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm (0;-2)
f(x)=(x-2)/(x+1)
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-5
5
x
y
2) Gäi M(x0, y0) (C) , ( Trong ®ã 0
0
2
1
x
y
x
vµ x0 ≠ -1)
Gäi d1 lµ ph¬ng tr×nh tiÖm cËn ®øng: x + 1 = 0
Gäi d2 lµ ph¬ng tr×nh tiÖm cËn ngang: y - 1 = 0
Ta cã: 1( ; ) 0 1M dd x ; 2( ; ) 0 1M dd y
Ta cã tæng kho¶ng c¸ch tõ M ®Õn 2 tiÖm cËn lµ: 1 2
0
( , ) ( , ) 0
0
2
1 1
1
M d M d
x
d d d x
x
0 0 0
0 0 0
3 3 3
1 1 2 1. 2 3
1 1 1
x x x
x x x
- 3. Thi thử Đại học www.toanpt.net
VËy: min 0
0
3
2 3 1
1
d x
x
0 02
0
0 0
1 3 3 1
( 1) 3
1 3 3 1
x x
x
x x
Víi: . 0 03 1 1 3x y
. 0 03 1 1 3x y
VËy cã 2 ®iÓm M (C) tho¶ m·n yªu cÇu bµi to¸n lµ: 1 1 3;1 3M vµ
2 3 1;1 3M .
C©u II:
1)
6 6
4(sin cos ) 6.cos2 2.cos4
0
sin 2
x x x x
x
(1)
§iÒu kiÖn: sin2x ≠ 0.
Ta cã (1) 2 23
4(1 sin 2 ) 6cos2 2(2cos 2 1) 0
4
x x x
2 2
4 3sin 2 6cos2 4cos 2 2 0x x x
2 2
4 3(1 cos 2 ) 6cos2 4cos 2 2 0x x x
2 2
4 3 3cos 2 6cos2 4cos 2 2 0x x x
2
7cos 2 6cos2 1 0x x
cos 2 1 sin 2 0 ( )
1
cos 2 ( )
7
x x L
x TM
.
1
2 arccos 2
71
cos2
7 1
2 arccos 2
7
x k
x
x k
1 1
cos ( )
2 7
x arc k k Z
VËy ph¬ng tr×nh ®· cho cã hai hä nghiÖm
1 1
arccos
2 7
x k
vµ
1 1
arccos
2 7
x k
( )k Z
2) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh sau:
2 2
(1)
8 2 2 3 2 (2)
x y
y x
x y y
* §iÒu kiÖn
8 0
2
3
x
y
Gi¶i (1) ta cã:
2 2 2 2
(*)x y x y
y x x y
XÐt hµm sè
2
( )f t t
t
víi t 0.
2
2
'( ) 1 0 0f t t
t
=> Hµm sè ®ång biÕn trªn D ;0 0; .
Mµ (*) ( ) ( )f x f y x y thÕ vµo PT (2) ta cã:
8 2 2 3 2x x x ®iÒu kiÖn
2
3
x
8 3 2 2 2x x x
8 5 2 (3 2)(2 2)x x x x
8 4 2 (3 2)(2 2)x x x
4 2 (3 2)(2 2)x x x
- 4. Thi thử Đại học www.toanpt.net
2
2 2
2
2 4 0 2
3
(3 2)(2 2) (4 2 )
6 2 4 16 16 4
x x
x x x
x x x x
2
2
22
2 3
3
1 ( )
2 18 20 0
10 ( )
x
x
x TM
x x
x L
VËy ta cã :
1
1
x
y
=>HÖ ph¬ng tr×nh ®· cho cã 1 nghiÖm (x, y) lµ (1; 1).
3). §iÒu kiÖn: x 0.
Ta cã:
2 2
2x 3 2x 3
x 2 x 2x x
3 33 .4 18 log 3 .4 log 18
2
3 3
4x 6
x 2 .log 2 2 log 2
x
2
3
3(x 2)
x 4 .log 2 0
x
(x-2)(x2
+ 2x + 3log32) = 0
2
3
x 2 = 0
2 ( )
x 2x 3log 2=0 (VN)
x tm
.
C©u III: 2
2
1
1
ln
4 ln
e
I x dx
x x
2
2
1 1
1
ln .
4 ln
e e
dx x dx
x x
* Ta tÝnh tÝch ph©n 1 2
1
1
.
4 ln
e
I dx
x x
§Æt u = lnx => du =
dx
x
Khi x = 1 th× u = 0; Khi x = e th× u = 1
1
1 2
0 4
du
I
u
§Æt u = 2sint => du = 2costdt
Khi u = 0 th× t = 0; u = 1 th× t =
6
6 6 6
1 2
0 0 0
2.cos 2.cos
.
2.cos4 4sin
t t
I dt dt dt
tt
6
6
0
x
* Ta tÝnh tÝch ph©n 2
2
1
ln .
e
I x dx
§Æt
2
2.ln .ln
dx
du xu x
x
dv du
v x
2
2
1
.ln .2ln .
1
e
e dx
I x x x x
x
2
1
.ln 2.ln .
1
e
e
x x x dx
§Æt
ln
2
2
dx
u x du
x
dv dx
v x
2
2
1
.ln 2 .ln 2
1 1
e
e e dx
I x x x x x
x
2
.ln 2 ln 2
1 1 1
e e e
x x x x x
= e - 2e + 2e - 2 = e - 2
VËy: 1 2 2
6
I I I e
.
- 5. Thi thử Đại học www.toanpt.net
C©u IV:
Do ABC vu«ng c©n t¹i A mµ BC = 2a
=> AB = BC = a
2
1
.
2 2
ABC
a
S AB BC (®vdt)
Ta cã A'G (ABC) => A'G lµ ®êng cao
cña khèi l¨ng trô A'B'C'.ABC
Gäi M lµ trung ®iÓm cña BC
1 2
2 2
a
AM BC
Do G lµ träng t©m ABC
2 2
3 3
a
AG AM
XÐt A'AG ta cã:
0 0' 2 6
tan60 ' .tan 60 3.
3 3
A G a a
A G AG
AG
2 3
. ' ' '
6 6
. ' .
2 3 6
ABC A B C ABC
a a a
V S A G (®vdt)
C©u V: Ta cã : 3 1 3 2 3 1 2x x y y x y x y
§Æt: x y a 3 1 2x y a
Ta ®i t×m ®iÒu kiÖn cña a ®ª hÖ ph¬ng tr×nh sau cã nghiÖm:
3 1 2
x y a
x y a
(I)
Ta cã hÖ (I)
( 1) ( 2) 3
3 1 2
x y a
x y a
§Æt 1 ; 2 ( 0; 0)u x v y u v
Ta cã hÖ ph¬ng tr×nh:
2
2 2
2
2 3 33
13
33 2 9
a
u vu v uv au v a
a au v a u v uv a
Suy ra : u vµ v lµ nghiÖm cña ph¬ng tr×nh:
2
2 1
3 0
3 2 9
a a
t t a
(*)
HÖ (I) cã nghiÖm khi vµ chØ khi ph¬ng tr×nh (*) cã hai nghiÖm t1, t2 kh«ng ©m
2
2
0 18 54 0
9 3 21
0 0 9 3 15
2
0 9 27 0
a a
S a a
P a a
hay
9 3 21
9 3 15
2
A
VËy:
9 3 21
9 3 15;
2
MaxA MinA
.
PhÇn tù chän
1. Theo ch¬ng tr×nh chuÈn:
C©u VIa:
1). §êng th¼ng AC vu«ng gãc víi BD: y - 3 = 0 nªn
cã ph¬ng tr×nh d¹ng: x + c = 0. mÆt kh¸c AC l¹i
®i qua A( 4; 5) nªn c = - 4.
VËy AC: x- 4 = 0 (4;3)I .
B
A' C'
G
A
B'
C
M
60
0
a
a
A(4;5) C
B
I(4;3
)
y=3
- 6. Thi thử Đại học www.toanpt.net
§êng trßn ngo¹i tiÕp ABCD cã t©m I(4;3), b¸n kÝnh
R= AI = 2 nªn cã ph¬ng tr×nh:
2 2
4 3 4x y
To¹ ®é ®iÓm B vµ D tho¶ m·n hÖ ph¬ng tr×nh:
2 2 2
3
3 3
6
4 3 4 4 4
2
y
y y
x
x y x
x
VËy: A(4;5), B(6;3), C(4;1), D(2;3).
HoÆc: A(4;5), B(2;3), C(4;1), D(6;3).
2).
Gäi B = d => B(2 + 3t; -4- 2t; 1 + 2t)
Ta cã: (3 3 ; 4 2 ;2 )AB t t t
.
V× // (P) ( (3; 2; 3) )P PAB n n
)
. 0PAB n
3(3 + 3t) - 2(-4 - 2t) - 3(2t) = 0
9 + 9t + 8 + 4t - 6t = 0
7t = -17
17
7
t
Lóc ®ã
30 6 34 2
; ; ( 15;3; 17)
7 7 7 7
AB
VËy () cã PT:
1 1
15 3 17
x y z
C©u VII.a (1®):
2 4 6 1010
1 3 5 2009
2010 2010 2010 2010
2 1 2 1 2 1 2 1
. . . ... .
2 4 6 2010
S C C C C
Ta cã:
2010
2010 0 1 1 2 2 3 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0
(1 ) . . . ... . .K k
k
x C x C C x C x C x C x C x
2010
2010 0 1 1 2 2 3 3 2009 2009 2010 2010
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
0
(1 ) .( ) . . . ... . .k k
k
x C x C C x C x C x C x C x
2010 2010
1 3 3 5 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
(1 ) (1 )
. ... .
2
x x
C x C x C x C x
(1)
LÊy tÝch ph©n 2 vÕ cña (1) víi cËn tõ 1 ®Õn 2 ta ®îc:
2 22010 2010
1 3 3 5 5 2009 2009
2010 2010 2010 2010
1 1
(1 ) (1 )
. ...
2
x x
dx C x C x C x C x dx
2011 2011
1 2 3 4 2009 2010
2010 2010 2010
(1 ) (1 ) 2 2
1 1 12011 2011 ...
2 2 4 2010
1 1
x x
C x C x C x
2011 2011 2 4 2010
1 3 2009
2010 2010 2010
3 1 2 2 1 2 1 2 1
...
4022 2 4 2010
C C C
VËy:
2011 2011
3 2 1
4022
S
.
2. Theo ch¬ng tr×nh n©ng cao
C©u VI.b
1). §êng th¼ng (d): 2x + 3y + 4 = 0 cã vect¬ ph¸p tuyÕn lµ (2;3)dn
§êng th¼ng ®i qua A(2; 1) cã PT d¹ng: a(x - 2) + b(y - 1) = 0 (a2
+ b2
0)
ax + by - (2a +b) = 0
.. BA(-1;0;1)
( )
pn
P
(d)
- 7. Thi thử Đại học www.toanpt.net
() cã vec t¬ ph¸p tuyÕn ( ; )n a b
Theo gi¶ thiÕt th× gãc gi÷a vµ d b»ng 450
.
0
.
cos45 cos( , )
.
d
d
d
n n
n n
n n
2 2
2 32
2 13.
a b
a b
2 2
26. 2 2 3a b a b
26(a2
+ b2
) = 4(4a2
+ 12ab + 9b2
) 5a2
- 24ab - 5b2
= 0
2
5 24 5 0
a a
b b
5
1
5
a
b
a
b
TH1: 5
a
b
chän a = 5, b = 1 cã ph¬ng tr×nh: 5x + y - 11 = 0
TH2:
1
5
a
b
chän a = -1, b= 5 cã ph¬ng tr×nh: -x + 5y - 3 = 0.
2).
Gäi A, B lÇn lît lµ giao ®iÓm cña d víi d1 vµ d2
=> A(2 + 3a; -2+4a; 1+a), B(7+b; 3+2b; 9-b)
=> (5 3 ;5 2 4 ;8 )AB b a b a b a
§êng th¼ng d3 cã vect¬ chØ ph¬ng lµ 3 (1;1;2)u
Ta cã: 3, (2 5 7 ;2 3 5 ; )AB u b a b a b a
V× 3 3// , 0d d AB u
2 5 7 0
1
2 3 5 0
1
0
b a
a
b a
b
b a
Khi ®ã A(5;2;2), B(8;5;8) (3;3;6) 3(1;1;2)AB
VËy ®êng th¼ng (d) cÇn t×m cã PT:
5 2 2
1 1 2
x y z
C©u VII.b (1 ®iÓm)
a) Gäi A lµ biÕn cè “ Chän ®îc 2 viªn bi xanh”
B lµ biÕn cè “ Chän ®îc 2 viªn bi ®á”
C lµ biÕn cè “ Chän ®îc 2 viªn bi vµng”
Vµ H lµ biÕn cè “ Chän ®îc 2 viªn cïng mµu ”
Ta cã: H A B C vµ c¸c biÕn cè A , B , C ®«i mét xung kh¾c. VËy theo quy t¾c céng
x¸c suÊt ta cã:
22 2
34 2
2 2 2
9 9 9
5
18
CC C
P H P A B C P A P B P C
C C C
b) BiÕn cè “ Chän ®îc hai viªn bi kh¸c mµu” chÝnh lµ biÕn cè H . suy ra
5 13
( ) 1 1
18 18
P H P H .
(d1) (d2)
(d)
(d3)
3u
=(1;1;2)
. .
A
B
