Κατασκευή "εξίσωσης" κύματος χωρίς πρόσθετη κουβέντα για την αρχική φάση του κύματος! Συγγραφέας άρθρου: Κώστας Παπιώτης Αναδημοσίευση: Λάμπρος Αδάμ

1. Κώστας Παπιώτης-Φυσικός
Όπως θα καταλάβετε διαβάζοντας το άρθρο του Κώστα
Παπιώτη εκτός από τον παραστατικότατο τρόπο με τον
οποίο διηγείται τη κατασκευή της «εξίσωσης» κύματος
(ξεδιαλύνοντας τη διαφορά μεταξύ χρονικής στιγμής και
χρονικής διάρκειας, αλλά και μεταξύ θέσης και
μετατόπισης… έννοιες Γυμνασίου και Α΄Λυκείου…!) κάνει
και κάτι για το οποίο έχει χυθεί πολλή μελάνη…. χωρίς
επιτυχία, από πλευράς κατανόησης των μαθητών: καταργεί
ουσιαστικά την όποια πρόσθετη συζήτηση για την «αρχική
φάση» στην ‘εξίσωση’ κύματος… επειδή…έτσι απλά,
εμπεριέχεται στην ίδια τη γέννεση της ‘εξίσωσης’…..όπως
ένα αρτιμελές νεογέννητο…..εννοείται ότι έχει δύο χέρια
και δύο πόδια….δεν το συζητάμε!
Κώστα σε ευχαριστούμε
Λάμπρος Αδάμ
ΕΝΑΣ ΤΡΟΠΟΣ ΝΑ
ΜΙΛΗΣΟΥΜΕ ΓΙΑ
ΤΗΝ «ΕΞΙΣΩΣΗ»
ΚΥΜΑΤΟΣ

2. 2/3
Κ. Παπιώτης
ΕΝΑΣ ΤΡΟΠΟΣ ΝΑ ΜΙΛΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ «ΕΞΙΣΩΣΗ» ΚΥΜΑΤΟΣ
Διαθέτουμε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτισμένο με τον άξονα χ΄χ.
Α) Σε ένα σημείο του, γεννιέται ένα αρμονικό κύμα και πρόκειται να διαδοθεί στο μέσο.
Β) Ένα αρμονικό κύμα έχει γεννηθεί κάπου- κάποτε από κάποια πηγή και ήδη διαδίδεται στο μέσο.
Α
Επειδή όλα τα υλικά σημεία ξεκινούν την ταλάντωσή τους μετά το υλικό σημείο x0 και για να έχει νόημα η
ταλάντωση αυτών των υλικών σημείων τη στιγμή t, η μόνη δυνατή διάταξη των χρονικών στιγμών είναι
t0 < tx < t
Τότε, το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση x0 ταλαντώνεται με βάση την:
ψx0 = A.ημ(ω.χρόνος κίνησης του x0) δηλαδή ψx0=A.ημ[ω.(t-t0)] και
το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση x ταλαντώνεται με βάση την ψx = Αημ(ω.χρόνος κίνησης του x)
δηλαδή ψx=Αημ[ω.(t-tx)] άρα ψx=Αημ[ω.(t-(x-x0)/υδ+t0)] και με αντικατάσταση του ω=2π/Τ έχουμε
Αν το κύμα διαδίδεται προς τα θετικά, η αλγεβρική τιμή της υδ είναι +|υδ| ενώ αν διαδίδεται προς τα
αρνητικά, είναι -|υδ|. Δεδομένου ότι λ=Τ|υδ|, έχουμε :
Για κύμα που διαδίδεται προς
τα θετικά
όπου για τη φάση φx,t είναι πάντα
Για κύμα που διαδίδεται προς
τα αρνητικά
≥ 0
Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος έχει
αλγεβρική τιμή υδ, ισχύουν :
άρα
Έστω ότι το υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση x0 γίνεται
αιφνίδια, πηγή αρμονικού κύματος, ξεκινώντας τη στιγμή t0
μια ΑΑΤ με αρχική ταχύτητα υ0>0.
Έστω ότι το αρμονικό κύμα που δημιουργήθηκε στη θέση xο,
φτάνει στη θέση x τη στιγμή tx και «επιβάλλει» στο υλικό
σημείο που βρίσκεται στη θέση αυτή, να κινηθεί προς τα
θετικά (ψ0=0, υ0>0), κάνοντας την ίδια ΑΑΤ με την πηγή.
Τη στιγμή t, το υλικό σημείο xo, έχει κινηθεί για χρονικό διά-
στημα t-t0 και το υλικό σημείο x για χρονικό διάστημα t-tx

3. 3/3
Κ. Παπιώτης
Β
Για να έχει νόημα η ταλάντωση αυτών των υλικών σημείων τη στιγμή t και επειδή το υλικό σημείο της θέσης
x μπορεί να ξεκίνησε πριν ή μετά το xο, έχουμε δύο πιθανές διατάξεις των χρονικών στιγμών t0 και tx ,t όπως
φαίνεται στον πίνακα :
α) t0<tx<t οπότε υδ=x-x0/tx-t0 Άρα και στις δύο περιπτώσεις
ισχύει υδ=x-x0/tx-t0. Αυτό σημαίνει
ότι το μαθηματικό μέρος της
απόδειξης παραμένει το ίδιο και
επομένως καταλήγουμε στην ίδια
μορφή της εξίσωσης κύματος.β) tx < t0 < t
οπότε υδ=x0-x/t0-tx
Όμως x0-x/t0-tx= -(x-x0)/-(tx-t0)
= x-x0/tx-t0
Παρατήρηση:
Αν το υλικό σημείο που αποτελεί την πηγή του κύματος κάνει ΑΑΤ με αρχική ταχύτητα υ0<0, δηλαδή έχει
αρχική φάση π, συμφωνήσαμε στις παραπάνω εξισώσεις κύματος να προσθέτουμε στη φάση του κύματος
τον όρο π.
Τη στιγμή t, το υλικό σημείο xo, έχει κινηθεί για χρονικό διά-
στημα t-t0 και το υλικό σημείο x για χρονικό διάστημα t-tx
Έστω ότι το αρμονικό κύμα, φτάνει στη θέση x τη στιγμή tx και
«επιβάλλει» στο υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση αυτή,
να κινηθεί προς τα θετικά (ψ0=0, υ0>0).
Έστω ότι ένα αρμονικό κύμα φτάνει στη θέση x0 τη στιγμή t0
και «επιβάλλει» στο υλικό σημείο που βρίσκεται στη θέση
αυτή, να κινηθεί προς τα θετικά (ψ0=0, υ0>0)