урок

1. № 34–36 (442–444) грудень 2014 р.
Нестандартний урок
35
МатематикавшколахУкраїни
Нестандартний урок
Комбінаторні задачі.
Урок математики. 5 клас
Т. О. Терехова, Підгородненський НВК № 1, Дніпропетровський р-н, Дніпропетровська обл.
Тема. Комбінаторні задачі
Цілі: формувати вміння розв’язувати найпрості-
ші комбінаторні задачі методом перебору можливих
варіантів; розвивати комбінаторне мислення; вихо-
вувати стохастичну культуру.
Тип уроку: засвоєння нових знань, умінь.
Обладнання: набір креслярського приладдя,
таблиці, інструктивні картки.
Методи: пояснювально-ілюстративний з елемен-
тами гри; самоаналізу та колективної творчості.
Хід уроку
І. Організаційний етап
ІІ. Повідомлення теми уроку
ІІІ. Мотивація навчальної діяльності
— У житті часто доводиться розв’язувати
задачі, що мають декілька різних варіантів
розв’язання, і щоб зробити правильний вибір,
важливо жоден з них не пропустити. Для цього
треба вміти перебирати всі можливі варіанти
або комбінації і порахувати їх кількість.
Задачі, які передбачають перебір усіх мож-
ливих варіантів під час їх розв’язування, на-
зивають комбінаторними, а розділ математики,
у якому розв’язують такі задачі, — комбіна-
торикою.
Комбінаторні задачі люди розв’язували ще
в глибоку давнину. У стародавньому Китаї за-
хоплювались складанням магічних квадратів,
у яких числа розташовували так, що їх сума
по всім горизонталям і головним діагоналям
була однаковою.
11 1 12
9 8 7
4 15 5
16 3 2 13
5 10 11 8
9 6 7 12
4 15 14 1
Комбінаторні задачі виникли у зв’язку з та-
кими іграми, як шашки, шахи, доміно, карти
тощо.
Тепер комбінаторику використовують в усіх
галузях науки і техніки: біології, хімії, меха-
ніці та ін.
ІV. Формування нових знань
— Розв’яжемо задачі за допомогою скла-
дання дерева можливих варіантів, так званого
графа.
Розпочнемо гру, де задачі розв’язуватимуть
«Конструктори» та «Наукові діячі».
Задача 1. Запишіть усі трицифрові числа
цифрами 1, 2, 3 без повторень. Скільки таких
чисел можна записати?
Розв’язання
Побудуємо граф (рис. 1).
сотні
десятки
одиниці
2 3 1 3 1 2
3 2 3 1 2 1
1 2 3
Рис. 1
Коментар
1) На партах лежать картки, цифри на них
відповідають номеру ряду, на якому сидять
учні.
2) З кожного ряду виходять учні по черзі
з цифрами номерів свого ряду: 1; 2; 3.
3) Потім до кожного учня виходять два учня
з цифрами, відмінними від попередньої: 2,
3; 1, 3; 1, 2.
4) Потім до кожної пари виходять по одному
учню з цифрами, відмінними від попере-
дньої, а саме: 3, 2; 3, 1; 2, 1.

2. № 34–36 (442–444) грудень 2014 р.
Нестандартний урок
36
МатематикавшколахУкраїни
— Отже, ми побудували граф. Тепер запи-
шемо числа, що при цьому утворилися:
123; 132; 213; 231; 312; 321.
Можна скласти 6 чисел.
Відповідь. 6 чисел.
V. Первинне застосування знань
— Зараз ви самостійно побудуєте граф.
Задача 2. Скільки двоцифрових чисел мож-
на записати, використовуючи цифри 1, 2, 3?
Цифри можуть повторюватись.
десятки
одиниці1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 2 3
Рис. 2
Утворилися такі числа: 11; 12; 13; 21; 22;
23; 31; 32; 33.
Відповідь. 9 двоцифрових чисел.
— Молодці, ви гарно впоралися із завдан-
ням, будуючи граф (рис. 2).
— Зараз об’єднайтеся у дві команди «На-
укові діячі» та «Конструктори» та розв’яжіть
задачу.
Задача 3. Восьмеро учнів повинні взяти
участь у турнірі з шашок так, щоб кожен зі-
грав з кожним одну партію. Скільки всього
партій буде зіграно?
— «Наукові діячі» розв’яжуть задачу за до-
помогою математичних суджень, а конструкто-
ри — за допомогою графа.
«Наукові діячі» стверджують, що:
1) перший учень може зіграти 7 партій;
2) другий може зіграти 6 партій (відкидаємо
першого і другого гравців);
3) третій — 5 партій (без першого, другого,
третього);
4) четвертий — 4 партії (без першого, другого,
третього, четвертого);
5) п’ятий — 3 партії (без першого, другого,
третього, четвертого, п’ятого);
6) шостий — 2 партії (без першого, другого,
третього, четвертого, п’ятого, шостого);
7) сьомий — 1 партію (без першого, другого,
третього, четвертого, п’ятого, шостого, сьо-
мого).
Усього зіграють
7 6 5 4 3 2 1 28+ + + + + + = партій.
«Конструктори» подали розв’язання у ви-
гляді графа (рис. 3).
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8
5 6 7 8
4 5 6 7 8
6 7 8
7 8 8
1
2
3
4
5 6 7
Рис. 3
Отже, маємо
1 2 3 4 5 6 7 28+ + + + + + = партій.
Відповідь. 28 партій.
VI. Засвоєння вмінь та навичок
Учні самостійно розв’язують задачі, потім
обговорюють їх розв’язання.
Задача 1 (№ 652). Віслюк Іа має три надувні
кульки: червону, зелену та жовту. Він хоче по-
дарувати по одній кульці своїм друзям: Вінні-
Пуху, П’ятачку і Кролику. Скільки варіантів
зро­бити подарунки соїм друзям є у віслюка Іа?
Задача 2 (№ 655). Запишіть усі трицифрові
числа, для запису яких використовуються циф-
ри: 1) 3, 4 і 6; 2) 4, 7 і 0. (Цифри в числі не
можуть повторюватися.)
Задача 3 (№ 658). Скільки двоцифрових чи-
сел можна записати за допомогою цифр 6, 7,
8 і 9 так, щоб цифри були записані в порядку
зростання?
VІI. Підсумки уроку
— Сьогодні на уроці ми ознайомилися з ком­
бінаторними задачами та деякими способами їх
розв’язання.

3. № 34–36 (442–444) грудень 2014 р.
Нестандартний урок
37
МатематикавшколахУкраїни
Бліцопитування
1. Скільки двоцифрових чисел можна скласти
з цифр 5 і 7, якщо цифри в числі не мо-
жуть повторюватися?
2. Скільки двоцифрових чисел можна скласти
з цифр 5 і 7, якщо цифри в числі можуть
повторюватися?
VІІI. Домашнє завдання
1. Вивчити § 3 п. 24.
2. Розв’язати задачі: № 653, 656, 659.
1 (№ 653). Скільки двоцифрових чисел, усі
цифри яких різні, можна записати за допомо-
гою цифр 0, 1 і 2?
2 (№ 656). Скільки різних трицифрових чисел
можна записати за допомогою цифр: 1) 1 і 2;
2) 0 і 1? (Цифри в числі можуть повторюватися.)
3 (№ 659). Скільки двоцифрових чисел мож-
на записати за допомогою цифр 6, 7, 8 і 9 так,
щоб цифри були записані в порядку спадання?
3. Для сильних учнів.
1) (№ 670). У загоні космонавтів є три піло-
ти та два інженери. Скільки існує способів
скласти екіпаж з одного пілота й одного ін-
женера?
2) Заповнити магічний квадрат:
5
4 3
3) Чотири подруги купили чотири білети в кі-
нотеатр. Скількома різними способами вони
можуть сісти на свої місця в глядацькому
залі?
Література
Мерзляк А. Г. Математика : підруч. для 5 кл.
за­га­льноосвіт. навч. закладів / А. Г. Мерзляк,
В. Б. Полонський, М. С. Якір. — Х. : Гімназія,
2013.